Quelques tests de primalité - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Introduction De Fermat à Miller-Rabin Test de Miller-Rabin Le test de Solovay-Strassen
Quelques tests de primalité
J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier)
Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest
[email protected]
École de printemps C2
Mars 2014

Introduction De Fermat à Miller-Rabin Test de Miller-Rabin Le test de Solovay-Strassen
Plan
1Introduction
2De Fermat à Miller-Rabin
3Test de Miller-Rabin
4Le test de Solovay-Strassen

Introduction De Fermat à Miller-Rabin Test de Miller-Rabin Le test de Solovay-Strassen
Définition et résultats classiques
Euclide, livre sept des Élément, vers -300 : définition, existence
d’un diviseur premier, algorithme pour pgcd et ppcm, infinité,
pk+1≤Ql≤kpl+1,
crible d’Eratosthène,
théorème fondamental de l’arithmétique (preuve par Gauss),
complexité linéaire pour +, quadratique pour ×, exponentielle
pour primalité et factorisation : T=n1/2+o(1).

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Distribution des nombres premiers
A10 100 1000 10000 100000
π(A)4 25 168 1229 9592
A/π(A)2.5 4 5.95 8.14 10.4
log A2.3 4.6 6.9 9.2 11.5
Théorème des nombres premiers : π(A) = A
log A×(1+o(1)) et
pn= (1+o(1)) ×nlog n.
Assez nombreux !

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Exponentiation
Étant donné gdans Get eentier naturel, calculer ge.
Maladroit g,g2,g3, . . . , ge−1,ge.
T= (e−1).
L’algorithme d’exponentiation rapide permet de calculer efficacement
ge. Méthode inventée par Pi ˙ ngala dans son Chandah-sûtra (entre
-450 et -250).
e=P0≤k≤Kk2ket b0=g,bk=b2
k−1pour 1 ≤k≤K.
Puis
ge≡Y
0≤k≤K
bk
k.
T=O(log e).