J - QUELQUES THEOREMES CLASSIQUES DE GEOMETRIE PLANE

J - QUELQUES THEOREMES CLASSIQUES
DE GEOMETRIE PLANE
Droite de Simson
Théorème - Définition Etant donné un triangle ABC, un point Mse projette orthogonalement
sur les côtés en P,Qet R.
les points P,Q,Rsont alignés si et seulement si le quadrilatère MABC est inscriptible.
La droite P QR est appelée droite de Simson relative à M.
Les triangles rectangles P MB et RMB, qui ont leur hypoténuse commune, sont inscriptibles dans un
même cercle. De même pour P MC et QMC, et pour QMA et RM A. On a donc les égalités d’angles
de droites suivantes : \
(P M, P R) =
\
(BM, BR) =
\
(BM, BA)
\
(P M, P Q) =
\
(CM, CQ) =
\
(CM, CA).
Donc l’égalité
\
(P M, P R) =
\
(P M, P Q)
a lieu si et seulement si, on a
\
(BM, BA) =
\
(CM, CA).
La première égalité se traduit par le fait que les points P,Qet Rsont alignés, et la seconde par le fait
que les points M,A,B,Csont cocycliques, ce qui donne le théorème.
M
Q
R
P
A
B C

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Théorème de Ménélaüs
Théorème Etant donné un triangle ABC, on prend trois points P,Q,Rsitués chacun sur un
des côtés du triangle.
Les points P,Q,Rsont alignés si et seulement si on a l’égalité
P C
P B
·QA
QC
·RB
RA = 1 .
Q
R
P
A
B C
On considère le produit des trois homothéties
H1= (P, P C/P B)H2= (Q, QA/QC)H3= (R, RB/RA).
L’image de Bpar H1est C, l’image de Cpar H2est Aet l’image de Apar H3est B. Le point Best
donc un point fixe de la composée
H=H3◦H2◦H1.
Le rapport de l’homothétie Hest le produit des rapports de chaque homothétie et vaut donc
P C
P B
·QA
QC
·RB
RA .
Si les points R,P,Qsont alignés, la droite RP Q est invariante par l’homothétie Het ne passe pas par
B. C’est donc que Hest l’application identique, et on en déduit que le rapport de l’homothétie vaut 1.
Réciproquement, si le rapport vaut 1, l’homothétie Hest l’application identique, on a successivement
H1(P) = PH2(P) = P′H3(P′) = H(P) = P .

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Si l’on appelle a,b,cles rapports d’homothétie, on a donc
−−→
QP ′=b−−→ QP et −→ RP =c
−−→
RP ′.
Donc
−−→
QR +−→ RP =−−→ QP =1
b(−−→
QR +
−−→
RP ′) = 1
b
−−→
QR +1
bc
−→
RP ,
ce qui donne, puisque abc vaut 1,
1
b−1−−→
QR = (1 −a)−→ RP .
Cela montre que P,Q,Rsont alignés, puisque aet bsont distincts de 1.
Théorème de Céva
Théorème Etant donné un triangle ABC, on prend trois points P,Q,Rsitués chacun sur un
des côtés du triangle.
Les droites AP ,BQ,CR sont concourantes si et seulement si on a l’égalité
P C
P B
·QA
QC
·RB
RA =−1.
B P C P ′
A
R
Q
O
Soit P′le point d’intersection de RQ avec BC. Si les droites AP ,BQ,CR sont concourantes en O, la
polaire de P′par rapport à AB et AC est la droite AP , donc (P P ′, CB)est une division harmonique
(voir G) et
P C
P B =−P′C P′B.

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D’autre part, les points P′,Ret Qétant alignés, on a, d’après le théorème de Ménélaüs,
P′C
P′B
·QA
QC
·RB
RA = 1 .
Alors en combinant les deux relations on obtient
P C
P B
·QA
QC
·RB
RA =−1.
Réciproquement, si la relation
P C
P B
·QA
QC
·RB
RA =−1
a lieu, soit P′le conjugué de Ppar rapport à Bet C. On en déduit comme ci-dessus
P′C
P′B
·QA
QC
·RB
RA = 1 ,
ce qui prouve que P′,Qet Rsont alignés. Comme AP est la polaire de P′par rapport à AB et
AC, elle passe par le point d’intersection Ode RC et QB. Donc les trois droites AP ,BQ,CR sont
concourantes en O.
Cercle des neuf points d’Euler
Théorème Etant donné un triangle ABC, il existe un cercle passant par les neuf points suivants :
– les milieux A′,B′,C′des côtés
– les pieds H,H′,H′′ des hauteurs
– les milieux a,b,cdes segments joignant l’orthocentre ωdu triangle aux sommets A,B,C
1) Soit K,K′,K′′ les symétriques de ωpar rapport aux côtés. Ces points se trouvent sur le cercle de
centre O, circonscrit au triangle ABC.
En effet, le quadrilatère H′′BHω ayant deux angles droits est inscriptible, donc
\
ABC =
\
H′′ωH =
\
CωH .
Mais, par symétrie \
CωH =
\
CKH .
Donc les angles
\
ABC et
\
AKC sont égaux, ce qui prouve que ABCK est inscriptible.
2) L’homothétie de centre ωet de rapport 1/2transforme le cercle circonscrit (O, R)en un cercle
(O′, R/2), où O′est le milieu de Oω.
Les images de A, B, C, K, K′, K′′ sont respectivement a, b, c, H, H′, H′′. Ces six points sont donc sur le
cercle (O′, R/2).

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A
B C
A′
B′C′
H
H′
H′′
a
bc
K
K′
K′′
O
O′
ω
G
3) Les droites AA′,BB′,CC′se coupent en G, centre de gravité du triangle. L’homothétie de centre
Get de rapport −1/2transforme (O, R)en un cercle (I, R/2), avec
−→
IG =−1
2
−−→
OG .
Les points A, B, C se transforment en A′, B′, C′situés sur le cercle (I, R/2). De plus l’orthocentre O
du triangle A′B′C′est l’image de l’orthocentre ωde ABC. On a donc la relation
−−→
GO =−1
2
−→
Gω .
Mais
−→
OI =−−→
OG +−→
GI =−−→
OG +1
2
−−→
OG =3
2
−−→
OG
et
−−→
OG =1
2
−→
Gω =1
2−−→
GO +−→ Gω.