Homothétie - Bilan

Bilan de la classe virtuelle n°4 : Homothéties
 Exercice d’échauffement : n° 19 pg 196
 Cours : Rappel de la définition et de la méthode de construction
La figure bleue n’est pas correcte
car elle n’est pas dans le même
sens que la figure rose.
La figure bleue n’est pas
correcte car elle n’est pas
« alignée avec le centre et la
figure rose ».
La figure verte n’est pas
correcte car ses dimensions
ne sont pas proportionnelles à
celles de la figure rose.
La figure verte n’est pas
correcte car elle est
« penchée ». Le centre, un
point et son image doivent
être alignés.

 Définition
Exercice 3 : Pour chaque nombre k proposé, préciser si, par une homothétie de rapport k, la
figure sera : agrandie ou réduite et retournée ou non retournée.
k
Agrandissement ou réduction
Sens de l’image
Agrandie
Réduite
Retournée
Non retournée
k = 3
X
X
k = -2
X
X
k = 
X
X
k = 
X
X
ATTENTION : k négatif ne veut pas dire que c’est forcément une réduction !!!
Cas 1 : Le chat violet est « retourné »
donc k est négatif et il est plus petit
que le chat vert donc c’est une
réduction.
Cas 2 : Le chat violet est « non
retourné » donc k est positif et il est
plus grand que le chat vert donc c’est
un agrandissement.
Cas 3 : Le chat violet est « non
retourné » donc k est positif et il est
plus petit que le chat vert donc c’est
une réduction.
Cas 4 : Le chat violet est « retourné »
donc k est négatif et il est plus grand
que le chat vert donc c’est un
agrandissement.
A chaque fois, on s’interroge :
- L’image est-elle retournée ou
non ?
*Si oui k est négatif : alors si c’est
un agrandissement k <-1 et si
c’est une réduction -1<k<0
*Si non k est positif : alors si c’est
un agrandissement k >1 et si c’est
une réduction 0<k<-1

 Construction
Exercice 4 : Construction sur un quadrillage.
1) Construis en vert l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport 2
2) Construis en rouge l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport 
 Propriétés
Exercice 5 : Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.
1) Placer le centre de l’homothétie.
On sait que le centre, un point et son image par une
homothétie sont alignés. Donc il suffit de tracer les
droites (AA’) et (BB’) et le point d’intersection de ces
deux droites est le centre O de l’homothétie.
2) Déterminer le rapport de l’homothétie.
L’image et la figure sont dans le même sens donc le rapport k est positif. A’B’C’ est un
agrandissement de ABC donc k = 
 . Donc le rapport de
l’homothétie est 2,25.
3) Déterminer la mesure de l’angle 
 arrondie à l’unité.
On commence par calculer la mesure de l’angle 
 : Dans le triangle ACB rectangle en A,
tan(
 = >    . Or une homothétie conserve les mesures
d’angle. Comme l’angle 
 est l’image de l’angle 
 par l’homothétie de centre O et de
rapport 2,25, on en déduit que 
4) Calculer A’C’.
On sait que AC = 3 cm et que k = 2,25.
Or par une homothétie de rapport k (positif), les longueurs sont multipliées par k.
Donc A’C’ = AC × 2,25 = 3 × 2,25 = 6,75 cm
5) Calculer l’aire du triangle ABC, puis en déduire l’aire du triangle A’B’C’.
 .
Or par une homothétie de rapport k, les aires sont multipliées par k².
Donc            cm².
B
A
A’
C
C’
B’
A’’
B’’
C’’
O
Pour construire l’image d’une figure par une
homothétie sur un quadrillage : c’est facile, il
suffit de savoir compter !!!
On compte d’abord le déplacement pour aller de
O à A : 4 carreaux vers le haut et 2 carreaux vers
la droite.
Pour placer l’image du point A par l’homothétie
de centre O et de rapport 2 : Comme
l’homothétie est de rapport 2, on double le
déplacement pour obtenir A’. Donc pour placer
A’, il faut à partir du point O se déplacer de 8
carreaux vers le haut et de 4 carreaux vers la
droite !
Pour placer l’image du point A par l’homothétie
de centre O et de rapport 1/2, on prend la moitié
du déplacement de O à A. On part de O et on se
déplace de 2 carreaux vers le haut et de 1 carreau
vers la droite !