HOMOTHETIE [Choisir la date] MODULE 15 : CONFIGURATIONS ELEMENTAIRES DU PLAN CHAPITRE 17: HOMOTHETIES INTERET L’homothétie a pour intérêt de construire une image à partir d’une autre. MOTIVATION - Agrandir ou réduire l’image d’un objet de décoration, d’ornement…. - Déployer un raisonnement mathématique pour résoudre les problèmes relatifs à des situations de vie faisant appel aux homothéties. PREREQUIS 1) Trace une demi-droite [AB). 2) A et B sont deux points distincts du plan. Construis les points M et N tels que AM = 2 AB et AN = 3 AB 2 COMPETENCES A ACQUERIR PAR LES APPRENANTS - Définir et caractériser une homothétie - Construire l’image d’un point, d’une figure par une homothétie - Appliquer les propriétés sur les homothéties SITUATION PROBLEM E En rentrant de l’école, deux élèves de troisième s’arrêtent devant un portail par curiosité pour observer un ornement constitué de 2 triangles semblables comme l’indique la figure ci- dessous. L’un d’eux affirme qu’il existe une relation géométrique entre ces deux triangles. At-il raison ? C’ C B’ A’ B A 0 GPM3 (HOMOTHETIE) WAMI DAWA SERGES 1 HOMOTHETIE [Choisir la date] ACTIVITE D’APPRENTISSAGE Sur la figure de la situation problème ci-dessus, on admet que les points A, B et C sont respectivement des milieux des segments [OA’] ; [OB’] et [OC’]. 1) Exprimer OA ' ; OB ' et OC ' respectivement en fonction de OA ; OB et OC 2) On suppose que (AC) // (A’C’) ; (AB) // (A’B’) ; (BC) // (B’C’) en utilisant la règle graduée calculer les rapports A' C ' A' B ' B ' C ' ; ; BC AC AB 3) Donner la solution à la situation problème en précisant la relation géométrique entre les triangles A’B’C’ et ABC. Solution : 1) Exprimons OA ' ; OB ' et OC ' respectivement en fonction de OA ; OB et OC OA ' = 2 OA ; OB ' = 2 OB ; OC ' = 2 OC 2) calculons les rapports A' C ' 4 = =2 AC 2 ; A' C ' A' B ' B ' C ' ; ; BC AC AB A' B' 4 B' C ' 4 = =2 ; = =2 AB 2 BC 2 3) Solution à la situation problème : Le Triangle A’B’C’ est l’image de ABC par l’homothétie de centre O et rapport 2. RESUME a) Définition et notation Soit O un point du plan et k un nombre réel non nul positif, on appelle homothétie h de centre O et de rapport k notée h (O ; k) l’application du plan dans le plan qui à chaque point M associe le point M’ tel que OM ' = k OM . On note h (O ; k) (M)= M’ et on lit « A’ est l’image de A par l’homothétie h de centre O et rapport k . Exemple : si OA ' = 2 OA alors A’ est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport 2. Remarque : - Une homothétie est caractérisée par son centre et son rapport k - L’image de O par l’homothétie de centre O est O (lui-même). . GPM3 (HOMOTHETIE) WAMI DAWA SERGES 2 HOMOTHETIE [Choisir la date] b) . Image d’un point par une homothétie M et O sont deux points et k un nombre réel non nul positif. Pour construire le point M’, image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k, on construit le point M’ tel que OM ' = k OM . Exemple1 : Soit O et P deux points du plan. Construis le point P’ image de P par l’homothétie de centre 0 et de rapport 1 3 Exemple 2 : Soit I et F deux points du plan tel que IF= 2cm. Construis le point G image de F par l’homothétie de centre I et de rapport 2 c) Image d’une figure par une homothétie Pour construire l’image d’une figure par une homothétie, on construit l’image de ses points caractéristiques. Exemple : ABC est un triangle équilatéral de côté 4cm. Construis le triangle A’B’C’ image de ABC par l’homothétie h de centre A et de rapport 1 2 NB : Selon la valeur du rapport k (r réel positif) , l’image d’une figure par une homothétie s’agrandit ou se réduit : - Si k >1, il y’a agrandissement - Si k <1, il y’a réduction d) Propriété Soit A’B’C’ l’image d’une figure ABC par l’homothétie de rapport k , on a : A’B’= k AB Aire A’B’C’= k2 Aire ABC EXERCICES D’APPLICATIONS Exercice 1 : 1) Traduire par une égalité vectorielle la phrase suivante : « P est l’image du point Q par l’homothétie h de centre E et de rapport 2,5 » 2) Les points M, N, P sont des points tels que PN = 2 PM . Traduire cette égalité par une phrase en utilisant les mots image et homothétie. GPM3 (HOMOTHETIE) WAMI DAWA SERGES 3 HOMOTHETIE [Choisir la date] Exercice 2 : Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). A (1 ;-2) est l’image de B (3 ; 2) par l’homothétie de centre C et de rapport 2. Déterminer les coordonnées de C. Exercice 3 : ABCD est un carré de côté 3 cm et I un point extérieur à ce carré. 1) Construire l’image EFGH de ABCD par l’homothétie de centre I et de rapport 2. 2) Calculer l’aire du carré ABCD puis déduire celle du carré EFGH. GPM3 (HOMOTHETIE) WAMI DAWA SERGES 4
