Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Cours - Travaux Dirigés et Travaux Pratiques de Traitement du signal Benoît Decoux [email protected] 1 Traitement du Signal I) Introduction générale Plan du cours Cours – TD Grandes parties : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 Généralités sur les signaux Analyse fréquentielle des signaux (Séries de Fourier, Transformée de Fourier…) Filtrage analogique et numérique(Transformée de Laplace…) Dans chaque partie : Approfondissements théoriques (T. Laplace, distributions, intégration…) Cas continu, cas discret Cas des images Applications Exercices TP Utilisation de Scilab 2 Traitement du Signal I) Introduction générale Modalités de déroulement Chaque séance : 1h-1h30 cours / 1h30-2h TP Approche pédagogique : très appliquée voire inductive Logiciel/langage de programmation utilisé : Scilab TP par binôme, sur ordinateurs portables personnels Partie voisée du mot six (au milieu du mot) Compte-rendus de TP (1 par séance) : 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Contenu : 0.01 o réponses aux questions posées 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 o programmes écrits o résultats de leur test o interprétation de ces résultats Format fichiers : compatible MsWord Nom fichier : TPn_Nom1Nom2.doc (n numéro du TP) Possibilité de compléter avant séance suivante ; envoi des compléments à : [email protected] Evaluation QCM de 5 à 10 questions en fin de chaque séance (10 mn) ; questions de cours, TD et TP Compte-rendus de TP Examen final 3 Traitement du Signal I) Introduction générale Quelques généralités Qu’est-ce qu’un signal ? ! une grandeur physique variant au cours du temps ! une fonction mathématique (variable : le temps) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 mais également… Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 ! une image (variables : les 2 dimensions spatiales) Qu’est-ce que le traitement du signal ? ! A la fois très théorique et très appliqué Applications ! téléphonie, communications, audio-visuel, médecine… Outils ! ordinateur / logiciels-programmation "bas-niveau" ! processeurs spécialisés (DSP) 4 Traitement du Signal II) Notions générales II.1) Rappels Signal sinusoïdal : s(t) = A sin(ωt + ϕ) π s(t) = A cos(ωt + ϕ) = A sin(ωt + ϕ + ) 2 ou avec : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) A : amplitude ; ω pulsation (=2πf ; f=1/T) en rad/s ; φ : phase à l’origine (0<=φ<2π) en rad 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Représentations : Spectre d’amplitude s(t) Spectre de phase A A φ t t0=φ/ω f0 f f0 f T temporelle fréquentielle 5 Traitement du Signal II) Notions générales II.1) Rappels Signal quelconque : Représentations (exemple : mot "zéro") : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 temporelle : 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Spectre d’amplitude fréquentielle : 6 Traitement du Signal II) Notions générales II.2) Caractéristiques des signaux Domaine continu signal périodique signal non périodique Valeur moyenne : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 Smoy(t1, t2) = 0.03 -0.01 -0.05 1 t2 s(t)dt t2 − t1 ∫t1 Smoy = 1 t0 + T s(t)dt T ∫t0 Seff = 1 t0 + T 2 s (t)dt T ∫t0 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 Valeur efficace : 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 t2 1 s2(t)dt ∫ t 2 − t1 t1 Seff (t1, t2) = Energie : Et1,t2 = ∫ t2 t1 s2(t)dt Puissance : Instantanée : Moyenne : P = s2(t) Pmoy = Et1,t2 t2 − t1 = 1 t2 2 s (t)dt = S2eff t2 − t1 ∫t1 Pmoy = 1 t0 + T 2 s (t)dt T ∫t0 7 Traitement du Signal II) Notions générales II.2) Caractéristiques des signaux Domaine discret Soit s={s1, s2, …sN} un signal discret composé de N échantillons. Par analogie avec le domaine continu, on peut définir les notions de valeur moyenne, d’énergie et de puissance (la somme continue ∫ se transforme en somme discrète ∑ ): Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Smoy = Valeur moyenne : 1 N−1 ∑s N n =0 n N−1 Energie : E = ∑ sn2 n=0 Puissance : Pn = sn2 Instantanée : Moyenne : P= , n indice d’échantillon E 1 N−1 2 1 N−1 = ∑ s = ∑P N N n =0 n N n = 0 n 8 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Principe Tout signal s(t) périodique peut se décomposer sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales (sinus-cosinus) dont les fréquences sont des multiples entiers n de sa fréquence, et et les amplitudes diminuent lorsque n augmente : ∞ Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 s(t) = a0 + ∑ (an cos(nω0)t + bn sin(nω0t)) 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 n=1 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 2π Avec ω0 = 2πf0 = , T période du signal et f0 sa fréquence T0 a0 est la valeur moyenne du signal : 1 T a0 = ∫ s(t)dt T 0 Les termes de la somme sont appelés harmoniques (partiels en musique) : 2 T (n≥1) an = ∫ s(t) cos(nω0t)dt T 0 2 T bn = ∫ s(t) sin(nω0t)dt T 0 Propriétés importantes • Si la fonction s(t) est paire, bn=0 pour tout n>0. • Si la fonction s(t) est impaire, an=0 pour tout n≥0. 9 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Exemple pour signal carré : s(t) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 A A pour t ∈ [0, T / 2 + kT[ − A pour t ∈ [T / 2 + kT, T + kT[ T/2 0.07 0.03 -A -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 La décomposition donne : s(t) = 4a ∞ sin nωt ∑ π n=1 n , n impair (=0 pour n pair) La re-synthèse à partir de ces coefficients donne (fondamental + 3 premiers harmoniques) : 10 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Exemple pour signal triangulaire : + t pour t ∈ [−T / 4, T / 4[ s(t) = 2A − t pour t ∈]T / 4,3T / 4[ Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 -A 0.07 0.03 -0.01 -0.05 T/2 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 La décomposition donne : 8A ∞ sin(nωt ) s(t) = 2 ∑ (−1) 2 n2 π n=1 n −1 , n impair (=0 pour n pair) La re-synthèse à partir de ces coefficients donne (fondamental + 3 premiers harmoniques) : 11 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Exemple pour signal en dents de scie : A s(t) = 2A t pour t ∈ [−T / 2 + kT, T / 2 + kT [ T Partie voisée du mot six (au milieu du mot) T -A 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 La décomposition donne : 2A ∞ sin( n ωt) s (t ) = (−1)n−1 ∑ n π n =1 La re-synthèse à partir de ces coefficients donne (fondamental + 3 premiers harmoniques) : 12 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Représentations fréquentielles bn b1 Signal carré Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 s(t) = 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 4A ∞ sin(nωt) ∑ n π n=1 b3 , n impair f0 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 3f0 b5 5f0 f0 3f0 5f0 f0 3f0 5f0 Signal triangulaire s(t) = ∞ n −1 2 8A ∑ (−1) π2 n=1 sin(nωt ) , n impair n2 bn π f0 Signal en dents de scie s (t ) = 3f0 5f0 bn π 2A ∞ sin( nωt) (−1)n−1 ∑ n π n =1 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 Spectres d’amplitude f0 2f0 3f0 4f0 5f0 Spectres de phase 13 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Exemple d’un signal quelconque Signal périodique quelconque (ici ni pair ni impair), de fréquence f0 : s(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 0 t T0 peut se mettre sous la forme d’une somme de sinusoïdes et cosinusoïdes : ∞ ∞ n =1 n=1 s(t) = a0 + ∑ bn sin(nω0t) + ∑ an cos(nω0t) ! Etonnant, non ? 14 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Remarques 8A ∞ sin(nωt ) Pour obtenir le triangle précédent, il a fallu alterner le signe des sinus : s(t) = 2 ∑ (−1) 2 π n=1 n2 n −1 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Pour décaler ce triangle de –π/2, il aurait fallu utiliser des cosinus : s(t) = 8A ∞ cos(nω0t) ∑ n2 π2 n=1 15 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.1) Forme de base Phénomène de Gibbs Quand le nombre d’harmoniques tend vers l’infini, on obtient : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Explications Convergence en moyenne quadratique : Notons ~ s (t) le signal décomposé : alors lim ∫ +∞ n→∞ − ∞ ∞ ∞ n=1 n=1 ~ s (t) = a0 + ∑ bn sin(nω0t) + ∑ an cos(nω0t) (s(t) − ~s(t)) dt = 0 2 Mais pas convergence uniforme (=en tous points) : ∃ ti t.q. 2 lim(s(ti) − ~ s (ti) ) ≠ 0 n →∞ 16 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.2) Forme avec un seul coefficient s(t) peut se mettre sous la forme suivante : ∞ s(t) = a0 + ∑ cn cos(nω0t + ϕn) avec Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 n=1 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 cn = an2 + bn2 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 et b ϕn = arctg n an Intérêt : séparation en spectre d’amplitude et spectre de phase : |Cn| a0 arg(Cn) C1 C2 C3 φ1 φ2 C4 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 f φ3 φ4 φ5 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 f 17 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe En utilisant les formules d’Euler : eα − e−jα eα − e−jα = −j sin α = 2j 2 eα + e−jα cos α = 2 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 on obtient une nouvelle expression (complexe) du signal : 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 s(t) = ∞ ∑c e n jnωt n = −∞ avec cn = 1 T s(t)e− jnωtdt ∫ T 0 Avantage : forme compacte Interprétation : fréquences négatives (!) 18 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe Spectre de cos(ω0t) : Re(cn) |cn| Im(cn) 0,5 0,5 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 -f0 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 f0 f f f0 -f0 f Spectre de sin(ω0t) : Re(cn) Im(cn) |cn| 0,5 -f0 f 0,5 f0 Spectre du signal carré : f -f0 f0 f Im(cn) b1/2 -3f0 -b3/2 b3/2 -f0 f0 -b1/2 3f0 f 19 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe Représentation du passage de sin(ωt) à cos(ωt) : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) Im 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 f sin cos Re 20 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.4) Formalisation Formalisation des spectres de fréquence, par utilisation de l’impulsion de Dirac δ ( t ) : Exemples : Cosinus : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 Sinus : 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 1 [δ(f + F0) + δ(f − F0)] 2 j S(f) = [δ(f + F0) − δ(f − F0)] 2 S(f) = 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 voir Théorie des Distributions Définition de δ ( t ) : δ ( 0 ) = +∞ +∞ δ(t ≠ 0) = 0 ∫ δ(t)dt = 1 −∞ On peut l’obtenir par exemple de la manière suivante : δ(t-t0) δ(t) 1 1 1 t rect T →0 T T δ(t) = lim 0 t t0 t Importance de δ (t ) : - permet de connaître la réponse impulsionnelle d’un système (qui permet à son tour de connaître la réponse du système à n’importe quel signal) - outil mathématique très utile (échantillonnage, Transformée de Fourier, etc) 21 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.4) Formalisation Propriétés de δ (t ) : s(t).δ(t) ≠ s(0) s(t).δ(t) = s(0).δ(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 s(t).δ(t − t0) = s(t0).δ(t − t0) 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 +∞ 0.00 -0.01 ∫ s(t).δ(t)dt = s(0) -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 −∞ +∞ ∫ s(t).δ(t − t )dt = s(t ) 0 0 −∞ Peigne de Dirac δT(t) = +∞ ∑ δ(t − kT) k = −∞ +∞ +∞ k = −∞ k = −∞ ∑ x(t).δ(t − kT) = ∑ x(kT).δ(t − kT) Utile pour l’étude de l’échantillonnage des signaux 22 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.5) Répartition de l’énergie On peut démontrer la propriété suivante : N 1 t0 + T 2 1 2 P = ∫ s (t)dt = a0 + lim ∑ (an2 + bn2) T t0 2 N→∞ n=1 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Il y a donc conservation de l’énergie en passant de la représentation temporelle à la représentation fréquentielle. Avec les coefficients complexe ci : P = lim N→∞ N ∑ cn 2 n = −N C’est le théorème de Parseval (ou Besse-Parseval) 23 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.6) Approfondissements théoriques Rappels Continuité Une fonction est continue en un point si la valeur de la fonction en ce point est la même que l’on y arrive par la droite ou par la gauche. Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 Si le nombre de points de discontinuité sur un intervalle est fini, et qu’elle admet des limites finies à droite et à gauche, la fonction est continue par morceaux : lim f(x) = lim− f(x) x → x 0+ x → x0 Exemple de fonction continue par morceaux : signal carré, signal en dents de scie… Dérivabilité Une fonction est dérivable en un point si sa dérivée en ce point est finie, soit si : f(x) − f(x0) <∞ x →x0 x − x0 f' (x0) = lim Une fonction dérivable en un point est continue en ce point. 24 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.6) Approfondissements théoriques Notions de convergence s (t) ici) représente bien le signal original s(t), on définit Pour savoir si le signal approximé (noté ~ plusieurs types de convergences. 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 ∫ Convergence en moyenne quadratique (=moyenne au sens de l’énergie) ∫ (s(t) − s(t) ) dt Convergence uniforme sup s(t) − ~ s (t) Convergence ponctuelle (=convergence simple) s(t) − ~ s (t) , ∀t ∈ I -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 s(t) − ~ s (t) dt Convergence en moyenne Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 I Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 ~ 2 I ( ) ,t ∈I Il en existe d’autres… (voir plus tard) On étudie la limite de ces quantités, quand n → ∞ Pour avoir convergence, il faut que cette limite tende vers 0. 25 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.6) Approfondissements théoriques Notions de convergence Exemple Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 n=5 Soit sn(t) une suite de signaux définis sur [0,1] par : sn(t) = tn et s(t) le signal défini par : s(t) = 0 pour t ∈ [0,1[ s (1 ) = 1 Convergence simple On cherche si sn(t) → s(t) quand n → ∞ On a : ∀t ∈ I, s(t) − sn(t) → 0 donc il y a convergence simple sn(t) n =1 s(t) t Convergence uniforme s(1) − sn(1) = 0 n s(t) − sn(t) = t ∀t ∈ [0,1[ n Pour n fixé, lim s(t) − sn(t) = lim t = 1 t →1 t →1 Convergence en moyenne quadratique donc on n’a pas convergence uniforme. [ ] 1 1 1 t2n +1 0 = → 0 qd n → ∞ 2n + 1 2n + 1 Donc on a la convergence en moyenne quadratique. On aurait pu montrer de la même manière qu’on a la convergence en moyenne 2 2n ∫0(s(t) − sn(t) ) dt = ∫0t dt = 1 1 26 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.6) Approfondissements théoriques Signaux décomposables en SF Signaux intégrables (ou sommables) : espace L1(t1,t2) ∫ Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 t2 t1 0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 s(t) dt < ∞ Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Signaux de carré intégrables : espace L2(t1,t2) ∫ t2 t1 2 s(t) dt < ∞ Intérêt de cet espace : - notion d’énergie - notion d’orthogonalité - notion de projection Condition d’application de la décomposition en SF : s(t) ∈ L1(0,T) ou L2(0,T) 27 Traitement du Signal III) Séries de Fourier III.6) Approfondissements théoriques Bases orthogonales Rappel : produit scalaire t2 < x(t), y(t) >= ∫ x(t)y(t)dt 2 fonctions x(t) et y(t) sur l’intervalle [t1,t2] : t1 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 x = {x1, x2,..., xn } 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 2 vecteurs et y = {y1, y2,..., yn } Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 n x.y = ∑ xi.yi i= 0 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 jn ωt Produit scalaire sur [0,T] de 2 fonctions exponentielles x(t) = e 1 T < x(t), y(t) >= ∫ e 0 Les fonctions x(t) = ejnωt jn ωt et y(t) = e 2 : jn1ωt − jn2ωt e dt = 0 forment une base orthogonale ∀n1, n2 ∈ Ζ Développement en série : cas général +∞ s(t) = ∑ anΦn(t) n =1 Cas des séries de Fourier : avec T an =< s(t), Φn >= ∫ s(t)Φndt 0 * < Φ k , Φ l >= 0 ∀k, l ∈ Ζ, k ≠ l Φn = e−jnωt 28 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.1) Définition Définition S(f) = F(s(t) ) = ∫ +∞ t = −∞ s(t)e− j2πftdt Comparaison avec Transformée de Laplace : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 S(p) = L(s(t)) = ∫ 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 +∞ t = 0− Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 s(t)e−ptdt p = σ + jω 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 p = jω Fourier cas particulier de Laplace avec : Transformée inverse : Condition d’application : s(t) = F−1(S(f)) = ∫ +∞ f = −∞ ∫ +∞ t = −∞ S(f)ej2πftdf x(t) .dt < ∞ 29 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.2) Propriétés Linéarité F a.x(t) + b.y(t) ←→ a.X(f) + b.Y(f) Parité Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Cas d’un signal réel : • Si s(t) est une fonction paire, alors S(f) est une fonction paire et réelle. • Si s(t) est une fonction impaire, alors S(f) est une fonction impaire et imaginaire. • Si s(t) n’est ni paire ni impaire, alors S(f) comporte une partie réelle paire et une partie imaginaire impaire. Remarque : le signal peut être complexe (purement théorique) Changement d’échelle (ou homothétie) F x(at) ←→ Dérivation Intégration 1 a f X a dnx(t) F ←→(j2πf)n.X(f) n dt t 1 ∫ x(τ).dτ ←→ jω .X(f) F 0 30 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.2) Propriétés Translation a) temporelle b) Fréquentielle Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 F x(t − a) ←→ X(f).e−j2πaf avec a ∈ ℜ F x(t).ej2πat ←→ X(f − a) Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Théorème de Parseval (ou de Bessel-Parseval) ∫ +∞ −∞ Convolution +∞ s2(t)dt = ∫ S(f) df 2 −∞ F x(t) * y(t) → X(f).Y(f) F x(t).y(t) → X(f) * Y(f) Conservation de l’énergie Rappel : +∞ x(t) * y(t) = ∫ u=−∞ y(u)x(t − u)du Densité spectrale de puissance S(f) 2 31 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.2) TF de quelques signaux courants Tableau de transformées s(t) S(f)=F[s(t)] δ(t) 1 1 δ(f) s(t) = cos(2πf0t) 1 [δ(f + f0) + δ(f − f0)] 2 s(t) = sin(2πf0t) j [δ(f + f0) − δ(f − f0)] 2 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 t t Π( ) = rect T T T sin c(Tf) t tri T T sin c2(Tf) δT(t) = +∞ ∑ δ(t − nT) n = −∞ 1 +∞ n 1 δ(f − ) = δ 1(f) ∑ T n= −∞ T T T 32 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.2) TF de quelques signaux courants Quelques démonstrations Signal porte S(f) = ∫ +∞ t = −∞ Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) = A∫ +T / 2 e− j2πftdt = − t = −T / 2 0.02 0.01 [ ] s(t)e− j2πftdt [ ] [ ] +T / 2 A A A A e− j2πft −T / 2 = − e− jπfT − ejπfT = ejπfT − e− jπfT = sin πfT = AT sin c(Tf) j2πf j2πf j2πf πf 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Rappel : Signal sinusoïdal [ F x(t).e j2πf0t sin c(x) = sin πx πx ] = X(f − f ) [ 0 F[1] = δ(f) S(f) = F(cos(2πf0t)) = ( ] F ej2πf0t = δ(f − f0) ) 1 1 F(ej2πf0t) + F(ej2πf0t) = (δ(f − f0) + δ(f + f0) ) 2 2 33 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.3) Lien avec séries de Fourier Principe |Cn| s(t) f0=1/T SF Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 -f0 0 f0 2f0 3f0 t T f Dans le cas d’un signal non-périodique, on peut considérer qu’il est périodique en faisant : T → ∞ Détail On reprend l’expression de la forme complexe : +∞ s(t) = ∑c e n n j2 π t T n avec − j 2π t 1 T/2 cn = ∫ s(t).e T dt T −T / 2 avec − j2π t 1 T/2 S(nF0) = ∫ s(t).e T dt T −T / 2 n = −∞ Ré-écriture : s(t) = +∞ ∑ S(nf ).e 0 n = −∞ n j 2π t T n 34 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.3) Lien avec séries de Fourier n − j2π τ T/2 j2π Tn t 1 T s(t) = ∑ ∫ s(τ).e dτe −T / 2 T n=−∞ +∞ s(t) = ∫ +∞ −∞ Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 +∞s(τ).e− j2πfτdτ.ej2πftdf ∫−∞ -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 Finalement : 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 s(t) = F−1(S(f)) = ∫ S(f).ej2πftdf +∞ −∞ avec S(f) = F(s(t) ) = ∫ s(t).e− j2πftdt +∞ −∞ Interprétation : |S(f)| s(t) TF 0 t 0 f 35 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Définitions n − j2πk 1 N−1 N X(k) = ∑ x(n)e N n= 0 1 N−1 X(k) = ∑ x(n)WNkn N n=0 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 ou 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) k=0, 1, …, N-1 − avec W = e nk N j2πnk N 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 N−1 TFD inverse x(n) = ∑ X(k)WN−kn (TFD-1): k =0 k=0, 1, …, N-1 Propriétés Signification des indices Entrées [0;N − 1] [0;(N − 1)Te ] Sorties [0;N − 1] fe 0; fe − N 36 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Echantillonnage Consiste à relever les valeurs d’un signal à intervalles de temps réguliers : la période d’échantillonnage f e. Exemple : CD audio, son échantillonné à fe=44100Hz. Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) Conséquence de l’échantillonnage : réplication périodique du spectre 0.02 0.01 0.00 -0.01 échantillonnage -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 fe > 2fmax Bon -2fe 0 -fe 0 fmax fe 2fe fmax spectre du signal continu Mauvais fe < 2fmax -2fe -fe 0 fe 2fe D’où la condition d’échantillonnage de Shannon (ou de Nyquist) : fe > 2fmax 37 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Effet de la troncature du signal Nombre de périodes infini : théorique |S(f)| s(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 TF Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 f t En pratique : nombre de périodes fini |S(f)| s(t) TF t f 38 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Effet de la troncature du signal (suite) Explications 1) On a déjà vu la transformée d’un produit : TF x(t).y(t) ← → X(f) * Y(f) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Ici, la troncature du signal est équivalente à une multiplication par un signal porte : Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 sta(t) = s(t) × rectta(t) = s(t) × rect(t / ta) -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Transformée : ta durée d’analyse Sta(f) = S(f) * ta sin c(fta) d’où, dans le cas d’un sinus : S(f) = soit 1 j TF [δ(f + F0) − δ(f − F0)]← → Sta(f) = [δ(f + f0) * ta sin c(fta) − δ(f − f0) * ta sin c(fta)] 2 2 S(f) = j 1 TF [δ(f + F0) − δ(f − F0)]← → Sta(f) = [ta sin c((f + f0)ta) − ta sin c((f − f0)ta)] 2 2 2) Cette dernière expression est obtenue par utilisation de la propriété de translation du produit de convolution (voir plus loin) : f(x) * δ(x − x0) = f(x − x0) 39 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) En résumé…. Pour pouvoir interpréter correctement les résultats de la programmation de la TFD, il faut prendre en compte : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 - l’effet de la troncature du signal (sinus cardinaux au lieu d’impulsions de Dirac) - l’effet de l’échantillonnage (répétition périodique du spectre) - la signification des indices des points de sortie de la TFD -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 résumés sur le schéma suivant : s(t) im(S(f)) N points TF NTe t échantillonné à Te N points fe/2 échantillonné à fe=1/Te résolution spectrale : fe/N fe f 40 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Améliorations par fenêtrage (ou apodisation) On peut atténuer les effets du fenêtrage en utilisant une fenêtre moins abrupte que la fonction porte. Il existe plusieurs types de fenêtres possibles, dont voici 2 exemples courants : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 Fenêtre de Hamming f(t) = 0,54 + 0,46 cos(2πf0t ) Fenêtre de Hanning f(t) = 0,5(1 + cos(2πf0t )) -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 s(t) s(t) x t t im(S(f)) s’(t) TF = fe/2 fe f 41 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Il s’agit d’un algorithme de calcul rapide de la TFD Il est basé sur des simplifications des calculs permises par les propriétés de l’exponentielle. Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Rappels 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 L’objectif est de calculer Développement selon n : puis selon k : X(k) = 1 N−1 ∑ x(n)WNkn N n=0 avec − WNnk = e j2πnk N X(k) = wN0×k x(0) + w1N×k x(1) + ... + w N(N−1)×k x(N − 1) , k=0,1,2,…,N , k=0,1,2,…,N X(0) = wN0×0x(0) + w1N×0x(1) + ... + wN(N−1)×0x(N − 1) X(1) = wN0×1x(0) + w1N×1x(1) + ... + wN(N−1)×1x(N − 1) ………………………………. X(N − 1) = wN0×(N−1)x(0) + w1N×(N−1)x(1) + ... + wN(N−1)×(N−1)x(N − 1) Forme matricielle : 0×0 X(0) wN ... = 0... X(N − 2) wN×(N−2) X(N − 1) w0×(N−1) N ... wN(N−2)×0 wN(N−1)×0 x(0) ... ... ... ... ... ... wN(N−1)×(N−2) x(N − 2) ... wN(N−2)×(N−1) wN(N−1)×(N−1) x(N − 1) [X] = [W ][X] 42 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Exercice 1) Calculer la matrice des facteurs de phase dans le cas d’un signal de 4 points. Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 2) Calculer la TFR du signal défini par : 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 x(n), n=0,…,3 : 0 1 0 -1 3) Interpréter les résultats (en prenant en compte que ce signal peut être considéré comme une période de signal sinusoïdal) 4) Recommencer avec le signal suivant : 0 1 0 -1 0 1 0 -1 43 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Exemples sin(2πft) Im(S(f)) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 |S(f)| 0.11 0.07 1 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 TFD -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 0 1 0,5 0,5 1 7 1 7 7 -0,5 Re(S(f)) cos(2πft) |S(f)| 1 TFD 0 1 7 0,5 0,5 1 7 1 7 44 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Principe X(k ) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 N / 2 −1 N / 2 −1 n=0 n=0 0.15 0.11 0.07 0.03 ∑ x(2n)WNk2n + ∑ x(2n + 1)W k (2 n +1 ) N -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 N / 2 −1 k k2n k 2n x ( 2 n ) W + ∑ x(2 n + 1 )WN WN ∑ N n =0 n=0 2πk 2π2k = WNk / 2 WN2k = exp − j = exp − j N N 2 X(k ) = 0.02 120 140 N / 2 −1 N / 2 −1 X(k) = ∑ x(2n)W + ∑ x(2n + 1)WNkn WNk n =0 2 n =0 N / 2 −1 kn N 2 On reconnaît 2 TFD de N/2 points : celle des termes d’indices pairs et celle des termes d’indices impairs ; seuls les sorties de ces derniers sont multipliées par un facteur de phase. coût de calcul moindre En répétant cette opération jusqu’à obtenir des TFD de 2 points, on obtient une forte réduction du coût de calcul : N Log2N au lieu de N2 45 2 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Structure (exemple pour 8 points) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 papillon 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 X(0) x(0) 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) W X(1) 0 2 W W 20 X(2) 0 4 X(3) W 41 X(4) 0 8 W W 0 2 1 8 W W W 20 0 4 W 1 4 2 8 W X(5) X(6) X(7) 3 8 W 46 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Analyse spectrale Principe Partie voisée du mot six (au milieu du mot) s(n) t signal 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 f -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 fenêtrage × tramage t(nTe) FFT FFT FFT FFT spectrogramme En pratique (image obtenue avec Matplot de Scilab) Chevauchement des trames Choix de la taille de la fenêtre Compromis temps (durée la plus courte possible) – fréquence (durée la plus grande possible) 47 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Reconstruction du signal original s(n) signal Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 Modifications possibles : 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 nTe 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 fenêtrage × - Etirement temporel (time stretching) Intérêt : changer la durée du signal sans changer son contenu fréquentiel - Transposition de fréquence par décalage du spectre (pitch shifting) Intérêt (exemple) : changer la hauteur d’une voix sans changer son timbre FFT FFT FFT FFT spectrogramme FFT-1 FFT-1 FFT-1 FFT-1 - Modification du spectre (diminution ou réhaussement de l’énergie dans certaines bandes de fréquences, etc), et notamment filtrage (mais attention aux pentes raides !) + s(n) nTe 48 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Application aux images Transformée directe Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 F(p, q) = 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.02 0 20 40 60 80 100 120 ∑ ∑ f (m, n).e −j 2 πmp M .e −j 2 πnq N p=0,1,…,M-1 et q=0,1,…,N-1 m =0n=0 -0.01 -0.03 M − 1 N −1 140 m et n : dimensions spatiales de l’image originale (positions) p et q : dimensions de l’image transformée (fréquences spatiales) F(0,0) : composante continue = valeur moyenne des pixels Transformée inverse j 1 M − 1 N −1 f (m, n) = F(p, q).e ∑ ∑ MN p = 0 q = 0 2 πmp M .e j 2 πnq N m=0,1,…,M-1 et n=0,1,…,N-1 49 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Application aux images Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 TF2D Explication : t t Π( ) = rect T T T sin c(Tf ) TF T 2 T 50 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Applications concrètes Prothèse auditive Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Un petit boîtier monté sur ou dans les oreilles intègre un processeur spécialisé dans le traitement du signal (DSP), réalisant une TFR. Différents paramètres du spectre de fréquences obtenu peuvent alors être modifiés, en fonction des besoins de l’utilisateur : · l’énergie du signal dans les bandes de fréquence, · modification du contenu spectral (pitch et voisement), · modification de l'enveloppe spectrale, · modification du rythme temporel. Un signal temporel modifié est alors re-synthétisé et généré en son. 51 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Applications concrètes Spectroscopie à infra-rouge (IR) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 La spectroscopie IR est basée sur l'absorption d'un rayonnement infrarouge par le matériau analysé. Elle permet via la détection des vibrations caractéristiques des liaisons chimiques, d'effectuer l'analyse des fonctions chimiques présentes dans le matériau. Permet de déterminer la présence ou l’absence de composés chimiques. La spectroscopie IR à Transformée de Fourier (ou FTIR : Fourier Transformed InfraRed Spectroscopy) transforme un interférogramme (intensité en fonction de la position d’un miroir) en sectre infrarouge. TF 52 Traitement du Signal IV) Transformée de Fourier IV.4) Transformée de Fourier Discrète (TFD) Applications concrètes Format d’images JPEG Compression : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Décompression : Les mêmes étapes mais en sens inverse. 53 Traitement du Signal V) Filtrage V.1) Introduction Objectifs En général : laisser passer certaines choses et en retenir d’autres. En traitement du signal : ces choses = plages (ou bandes) de fréquences. Nuance : filtrage actif = augmenter (l’énergie de) certaines bandes de fréquences. Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Exemple : filtrage passe-bas : ne laisse passer que des basses fréquences. 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Définitions Un filtre est un système linéaire. Il peut être décrit par - une équation différentielle linéaire - une fonction de transfert de Laplace - un produit de convolution avec sa réponse impulsionnelle Ces 3 descriptions sont équivalentes. En général, le système est stationnaire : coefficients de l’équa. diff. constants. 54 Traitement du Signal V) Filtrage V.1) Introduction Définitions e(t) entrée s(t) sortie E(p) =TL[e(t)] S(p)=TL[s(t)] h(t) réponse impulsionnelle (à δ(t)) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Représentations 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Equation différentielle TL dns(t) dn−1s(t) an + a + ... + a0s(t) = b0e(t) n−1 dtn dtn Réponse impulsionnelle Fonction de transfert de Laplace H(p) = S(p) E(p) TL p=jω h (t ) Réponse générale +∞ s(t) = (e * h)(t) = ∫ h(t − τ)e(τ)dτ −∞ Domaine temporel Fonction de transfert harmonique H(jω) = S (j ω) E(jω) Domaine fréquentiel (complexe) 55 Traitement du Signal V) Filtrage V.1) Introduction Propriétés e(t) filtre s(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Un filtre est un système linéaire, stationnaire. 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Un filtre physiquement réalisable est causal. Linéarité a1e1(t)+a2e2(t) → a1s1(t)+a2s2(t) e(t-t0) → s(t-t0) δ(t) → Stationnarité Causalité h(t)=0 pour t<0 56 Traitement du Signal V) Filtrage V.1) Introduction Transformée de Laplace Définition L{s(t)} = S(p) = ∫ s(t)e−ptdt +∞ Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0 0.19 0.15 0.11 0.07 s(t) causal 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Propriétés 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Linéarité Retard L a.x(t) + b.y(t) ←→ a.X(p) + b.Y(p) −t p L x(t − t0) ←→ e 0 X(p) Dérivée i−1 n dns(t) n n −i d s(t) L n = p .S(p) − ∑ p . i−1 dt dt t =0+ i=1 Le 2e terme correspond aux conditions initiales. Il est souvent pris nul. 57 Traitement du Signal V) Filtrage V.1) Introduction Transformée de Laplace Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 Théorème de la valeur initiale 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 lim pF(p) = lim+ f(t) = f(0+) Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 p →∞ 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Théorème de la valeur finale t →0 lim pF(p) = lim f(t) p→0 t →∞ Convolution et transformée de Laplace L x(t) * y(t) → X(p).Y(p) L x(t).y(t) → X(p) * Y(p) 58 Traitement du Signal V) Filtrage V.1) Introduction Transformée de Laplace Transformée de quelques signaux courants s(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 S(p)=L[s(t)] 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) δ(t) 1 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 u ( t) t . u (t ) e−at.u(t) e−at.tn.u(t) e−αt. sin( ωt).u(t) sin(ωt).u(t) cos(ωt).u(t) 1 p 1 p2 1 p+a 1 (p + a)n+1 ω ω = (p + α + jω)(p + α − jω) (p + α)2 + ω2 ω p + ω2 p 2 p + ω2 2 59 Traitement du Signal V) Filtrage V.1) Introduction Transformée de Laplace Exercice Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 1) Calculer la transformée de Laplace de l’échelon unité u(t) (=1 pour t ≥0, 0 pour t<0) 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 2) Calculer la transformée de Laplace d’une impulsion de Dirac décalée : δ(t-t0) 60 Traitement du Signal V) Filtrage V.2) Réponse impulsionnelle Importance Permet de caractériser complètement un système, par le biais de : - sa réponse à n’importe quel signal, de n’importe quelle fréquence - sa fonction de transfert de Laplace Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Lien entre réponse impulsionnelle et fonction de transfert Transformé e de Laplace h(t) → H(p) Réponse du système à une entrée quelconque e(t) : produit de convolution +∞ s(t) = (e * h)(t) = ∫ h(t − τ)e(τ)dτ −∞ Rappel Transformé e de Fourier δ(t) → 1 ↔ l’impulsion de Dirac comporte toutes les fréquences 61 Traitement du Signal V) Filtrage V.2) Réponse impulsionnelle Remarque : l’impulsion de Dirac δ(t) n’est pas une fonction, mais une distribution Rappel : δ(t) est définie par : +∞ δ ( 0 ) = +∞ Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 δ(t ≠ 0) = 0 0.07 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 ∫ δ(t)dt = 1 −∞ 0.03 0 20 40 60 80 100 Une distribution permet de définir indirectement une fonction : par une fonctionnelle : Soit φ une distribution, la fonctionnelle de f, Tf est définie par : Tf(ϕ) = +∞ ∫ f(t)ϕ(t)dt −∞ φ peut être quelconque, mais doit être : - à support borné (=nulle en dehors d’un intervalle borné) - indéfiniment dérivable La théorie des distributions permet de formaliser, entre autres : d / dt - de définir la dérivée de fonctions non dérivables, ex. de l’échelon : u(t) → δ(t) - la représentation fréquentielle des signaux sinusoïdaux : - la représentation fréquentielle de l’impulsion de Dirac (qui comporte toutes les fréquences) : - l’opération d’échantillonnage : - etc. F sin(2πf0t) → j [δ(f + f0) − δ(f − f0)] 2 F δ(t) → 1 +∞ +∞ k = −∞ k = −∞ x(t) ∑ δ(t − kT ) = ∑ x(kT ).δ(t − kT ) 62 Traitement du Signal V) Filtrage V.3) Description d’un filtre par une équation différentielle Cas général Na dns(t) Nb dne(t) ∑ an dtn = ∑ bn dtn n =0 n=0 e(t) signal d’entrée s(t) signal de sortie Nb≤Na Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Résolution 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Principe : utilisation de la propriété de dérivation de la transformée de Laplace (TL) : dnf(t) TL ← → pnF(p) n dt où : f(t) une fonction du temps F(p) sa transformée de Laplace (pour simplifier, les conditions initiales sont ici prises nulles) Etapes de résolution : - on applique cette propriété à e(t), s(t) et leurs dérivées respectives - on exprime S(p) en fonction de E(p) - on remplace E(p) par son expression - par TL inverse, on détermine alors s(t), la réponse à e(t) 63 Traitement du Signal V) Filtrage V.3) Description d’un filtre par une équation différentielle Cas du 1er ordre Exemple d’équation différentielle : ds(t) + a.s(t) = b.e(t) dt Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Transformée de Laplace (en supposant les conditions initiales nulles) 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 pS(p) + a.S(p) = b.E(p) S(p)(p + a) = b.E(p) S(p) b = (= H(p)) E(p) p + a Résolution pour e(t)=δ(t) (δ(t)=impulsion de Dirac, donc s(t)=réponse impulsionnelle) : -remplacement de E(p) par 1 (=TL(δ(t)) -consultation de la table des transformées s ( t ) = b . e − at =h(t), notation habituelle de la réponse impulsionnelle 64 Traitement du Signal V) Filtrage V.3) Description d’un filtre par une équation différentielle Exemple du 1er ordre : circuit RC e(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) i(t) R R : résistance C s(t) 0.19 0.15 0.11 0.07 C : condensateur i(t) : courant 0.03 -0.01 -0.05 e(t), s(t) : tensions -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 i(t) = e(t) − s(t) R i(t) = C ds(t) dt Equation différentielle RC ds(t) + s(t) = e(t) dt Résolution pour e(t)=δ(t) (→ réponse impulsionnelle) t 1 − RC s(t) = e RC 65 Traitement du Signal V) Filtrage V.3) Description d’un filtre par une équation différentielle Cas du 2e ordre Exemple d’équation différentielle : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 d2s(t) ds(t) a2 + a1 + a0s(t) = e(t) 2 dt dt 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Transformée de Laplace : a2p2S(p) + a1pS(p) + a0S(p) = E(p) S(p)(a2p2 + a1p + a0) = E(p) S (p ) 1 1 = (= H(p)) = 1 . 2 E(p) a2p + a1p + a0 a2 p2 + a1 p + a0 a2 a2 66 Traitement du Signal V) Filtrage V.3) Description d’un filtre par une équation différentielle Cas du 2e ordre : résolution (pour une entrée donnée e(t)) Pour e(t)= δ(t) : E(p)=1 → s(t) réponse impulsionnelle Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 ! 0.01 0.00 -0.01 ∆>0 : 2 racines réelles r1 et r2 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 s(t) = cer1t + der2t ! ∆ =0 : 1 racine réelle double r s ( t) = (ct + d ). ert ! ∆ <0 : 2 racines complexes conjuguées r1,2=α+jβ s(t) = c.eαt cos(β t + ϕ ) c, d des constantes De même, on peut remplacer E(p) par la TL de n’importe quel signal → s(t) réponse du système à ce signal 67 Traitement du Signal V) Filtrage V.3) Description d’un filtre par une équation différentielle Exemple du 2e ordre : circuit RLC R e(t) L C s(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 Equation différentielle : -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 d2s(t) ds(t) + 2 m ω + ω02s(t) = e(t) 0 2 dt dt ω0 = 1 LC m= R C 2 L Résolution pour e(t)=δ(t) (→ réponse impulsionnelle) ! m>1 ! m=1 s(t) = 1 e−ω0(m− 2 2ω0 m − 1 s (t) = t.e ! − m<1 s(t) = m2 −1)t − ω0(m + m2 −1)t −e 1 t ω0 ( ) π −m ω0t 2 e cos 1 m t ω − − 0 2 ω0 1 − m2 1 68 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Fonction de transfert (ou transmittance) de Laplace Permet de connaître la réponse du filtre à n’importe quel signal d’entrée H(p) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 S(p) E(p) -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Fonction de transfert harmonique ↔ Régime sinusoïdal (ou régime harmonique) Permet de connaître la réponse en fréquence p = jω H(p) ← → H(jω) Gain en décibel (dB) et phase G(ω) = 20 logH(jω) ϕ(ω) = arg G(jω) Remarque : H(jω) représente un gain sans unité, ou gain en amplitude Rappels : module et phase d’un complexe z = a + jb z = a2 + b2 b ϕ(z) = arg(z) = arctg a 69 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Fonction de transfert harmonique (suite) H(jω) = S(jω) E(jω) Représentation graphique : diagramme de Bode Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Axe des abscisses logarithmique 0.01 0.00 f2 = 10f1 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 log10 f2 = log10 10 + log10(f1) log10 f2 = log10(10f1) log10 f2 = 1 + log10(f1) la longueur d’une décade est constante Avantages 1) Précision sur les petites valeurs du gain 2) Mise en série de fonctions de transferts élémentaires H1 H = H1 × H2 × .... × Hn H2 Hn 20 logH = 20 log(H1 × H2 × .... × Hn) = 20logH1 + 20logH2 + .... + 20logHn argH = arg(H1 × H2 × .... × Hn) = arg H1 + arg H2 + .... + arg Hn Les courbes de gain et de phase s’ajoutent (et notamment les pentes des variations) 70 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Fonction de transfert harmonique (suite) Exemple d’un filtre passe-bas du 1er ordre H(jω) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 S(jω) 1 = E(jω) 1 + j ω ωc 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Gain en amplitude (sans unité) : Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 H(jω) = -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 1 2 ω 1 + ωc Gain en décibels (dB) : HdB(ω) = 20 log10 H(jω) = 20 log10 1 2 ω 1 + ωc Phase : Im( H(jω) ϕ(ω) = arg(H(jω)) = arctg Re( H(jω) = 20 log10(1) − 20 log10 = arctg 1 ω 1+ j ω c 2 ω 2 ω 1 + = −10 log10 1 + ω ωc c = arctg(1) − arctg 1 + j ω = −arctg 1 + j ω ωc ωc 71 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Fonction de transfert harmonique (suite) Fréquences de coupure Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Diminution de la puissance de moitié Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 ↔ diminution du gain en dB de 3 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 ↔ multiplication du gain en amplitude (=|H(jω)|) par 1/ 2 (≈0,7) Démonstration : G(ω) = 20 logH(jω) = −3 ↔ 20 logH(jω) = −3 ↔ logH(jω) = − ↔ − H(jω) = 10 3 20 = 3 20 1 10 3 20 = 1 2 72 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Fonction de transfert harmonique (suite) Exemple d’un filtre passe-bas du 1er ordre (pour f0=300Hz) : H(jω) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 1 1+ j 0.11 0.07 0.03 -0.01 ω ωc pente=-20dB/décade -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Gain en dB : 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 HdB(ω) = 20 logH(jω) Phase (en rad) : Im( H(jω) ϕ(ω) = arctg Re( H(jω) (figure obtenue par la fonction bode de Scilab) 73 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Fonction de transfert harmonique (suite) Exemple d’un filtre passe-bas du 2e ordre (pour f0=300Hz) : H(jω) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 1 2 ω ω 1 + 2ξj + j ωc ωc pente=-40dB/décade Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Gain en dB : 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 ξ=0,1 0 20 40 60 80 100 HdB(ω) = 20 logH(jω) ξ=0,7 Phase (en rad) : Im( H(jω) ϕ(ω) = arctg Re( H(jω) 74 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Filtres élémentaires 1er ordre 0.11 0.07 passe-bas : 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 H(jω) = Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 ω ω0 H(jω) = ω 1+ j ω0 j Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 1 passe-haut : ω 1+ j ω0 2e ordre 2 passe-bas : H(jω) = passe-bande : H(jω) = passe-haut : 1 2 ω ω 1 + 2ξj + j ω0 ω0 ω 2ξj ω0 ω j ω 0 H(jω) = 2 ω ω 1 + 2ξj + j ω0 ω0 2 2 ω ω 1 + 2ξj + j ω0 ω0 ω j + 1 ω coupe-bande (*) : 1 H(jω) = 2 ω ω 1 + 2ξj + j ω0 ω0 (*) ou réjecteur de bande 75 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Décomposition des fonctions de transfert Décomposition sous forme de produit Une fonction de transfert d’ordre n quelconque peut se décomposer en un produit de fonctions de transfert élémentaires d’ordres 1 et 2 (les ordres s’ajoutent). Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) Exemple : ordre 5 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 5 = 2 2 1 → importance de l’étude des filtres d’ordre 1 et 2 On utilise cette décomposition pour obtenir le diagramme de Bode de la fonction de transfert harmonique (en jω). 76 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Décomposition des fonctions de transfert (suite) Décomposition sous forme de somme (=en éléments simples) H(p) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 n −1 p + an−1p n A1 A2 An k = + + ... + 2 (p − p1) (p − p2 ) (p − pn ) + a2p + a1p + a0 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 avec 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Ai = [F(p)(p − pi )]p=p i (pi : pôles simples) ou Ai,q−1 = 1 dq−1(F(p)(p − pi)q) (q − 1)! dpq−1 p=p i (pi : pôles multiples, d’ordre q) Cette décomposition correspond à des blocs élémentaires disposés en parallèle. 1 3 = 1 1 On utilise cette décomposition pour déterminer la réponse du système à un signal d’entrée quelconque 77 (permet d’utiliser des transformées connues, à partir de la table des transformées). Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Formule des résidus Un pôle peut être multiple. Par exemple, dans la fraction rationnelle suivante, pi est un pôle d’ordre q : S(p) 1 = q E(p) (p − p1)...(p − pi ) ...(p − pn ) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Sa décomposition en éléments simples donne : Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 Ai,q−1 Ai,0 Ai,1 S(p) A1 An = + ... + + ... + q + q−1 + ... + (p − pi ) (p − pn ) E(p) (p − p1) (p − pi ) (p − pi ) avec [ ] Ai,0 = F(p)(p − pi)q p=p i Ai,1 = 1 d(F(p)(p − pi)q) 1! dp p =p i 1 d2(F(p)(p − pi)q) Ai,2 = 2! dp2 p =p i ……. Ai,q−1 = 1 dq−1(F(p)(p − pi)q) (q − 1)! dpq−1 p=p i Remarque : 0!=1 Exercice : décomposer en éléments simples : F(p) = p (p + 1)3 78 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Exercice Soit une fraction rationnelle définie par : F(p) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 1 p + 3p + 2 2 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 1) Déterminer sa transformée de Laplace inverse (en la décomposant préalablement en fonctions de transfert élémentaires) 2) En déduire la réponse impulsionnelle d’un système possédant F(p) pour transmittance. 3) Calculer la réponse de ce système à un signal échelon u(t), de 2 manières différentes : - transformée de Laplace inverse - produit de convolution avec réponse impulsionnelle Représenter graphiquement cette réponse. 4) Représenter le diagramme de Bode de la fonction de transfert harmonique correspondant à F(p). 79 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Exemple de programmation avec Scilab Exemple H(p) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 1 p + 2,61p + 3,41p2 + 2,61p + 1 4 3 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 num=1; den=poly([1 2.61 3.41 2.61 1], "s", "coef"); sys=syslin('c', num, den) bode(sys, 0.0001, 0.3); 80 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Autre exemple de programmation avec Scilab Autre exemple H(jω) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 1 2 ω ω 1 + 2ξj + j ωc ωc 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 f=[0:1:10000]; f0=300; w=2*%pi*f; w0=2*%pi*f0; xi=0.1; den=(1+2*xi*%i*w/w0-(w/w0)^2); H=1../den; PhaseH=-atan(imag(den),real(den)); GainHdB=20*log10(abs(H)); xbasc bode(f+1,GainHdB,PhaseH); 81 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Autres filtres Filtres de Butterworth Ils sont définis par la fonction de transfert : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 2 H(ω) = 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 1 2N ω 1 + ωc N ordre du filtre Caractéristiques • Pente de la décroissance du gain : N×20 dB/décade. • Valeur du gain de ce filtre à la fréquence de coupure : –3dB (quel que soit l’ordre N). 82 Traitement du Signal V) Filtrage V.4) Fonction de transfert Stabilité Condition par rapport aux pôles Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont situés dans le demi-plan situé à gauche de l’axe imaginaire du plan de la variable p : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 plan p risque d’instabilité Explication Pôle réel p0 : Pôles complexes conjugués p1,2=α+jβ : H(p) = A p t L ←→ h(t) = Ae 0 p − p0 H(p) = A L ←→ h(t) = Aωeαt. sin(ωt) (p − p1)(p − p2) Condition par rapport à la réponse impulsionnelle Soit h(t) la réponse impulsionnelle d’un système. Ce système est stable si : ∫ +∞ t = −∞ h(t)dt < ∞ 83 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Définition du produit de convolution +∞ s(t) = e1(t) * e2(t) = ∫ e1(τ).e2(t −τ).dτ Définition générale (domaine continu) −∞ t Partie voisée du mot six (au milieu du mot) s(t) = ∫ e1(τ).e2(t −τ).dτ 0.19 0.15 0.11 Cas des signaux physiques ( ↔ causaux) 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 0 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 sk = ek * hk = Domaine discret N −1 ∑e .hi k −i k = 0,..., +∞ i= 0 Convolution avec réponse impulsionnelle h(t) La convolution avec la réponse impulsionnelle permet de connaître la réponse du système à un signal quelconque e(t). Rappel : la réponse impulsionnelle peut être connue à partir de l’équation différentielle, par le biais de la fonction de transfert de Laplace : t s(t) = (e * h)(t) = ∫ h(t − τ)e(τ)dτ 0 84 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Illustrations Exemple dans le domaine continu : circuit RC R e(t) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 C s(t) 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 1/RC h(t)=(1/RC)e –t /RC h(τ) t τ changement de nom de variable h(t-τ) h(-τ) τ retournement t τ décalage 85 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Illustrations Exemple dans le domaine continu : circuit RC (suite) e(τ) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 h(t-τ) 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 τ -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 définition d’un signal d’entrée h(t-τ) τ t multiplication e(τ) x h(t-τ) intégration de 0 à t τ t 1 S τ t résultat : un point de la réponse recherchée t résultat pour toutes les valeurs de τ 86 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Illustrations Exemple dans le domaine discret (suite) Rappel, cas continu : k sk = hk * ek = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 ∑h t s(t) = (e * h)(t) = ∫ h(t − τ)e(τ)dτ e k −i i 0 i = k − N +1 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 k = 0,1,..., M − 1 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 0 avec e un signal échantillonné défini par (M=10) : 0 0 1 et h un autre signal (représentant la réponse impulsionnelle d’un filtre) défini par (N=2) : 1 1 0 0 0 0 1 -1 0 Résultat de la convolution entre ces 2 signaux : 1 .x -1 1 = 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 Dans cet exemple, la convolution permet une détection des bords de l’impulsion présente dans le signal long. Exercice Donner l’expression de s3 (et vérifier sa valeur). s3 = 3 ∑h e = h1e2 + h0e3 = (− 1 ) × 0 + 1 × 1 = 1 3 −i i i= 2 87 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Illustrations Exemples dans le domaine discret, à 2 dimensions (traitement d’images) sx,y = ex,y * hx,y = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 N/ 2 N/ 2 j = −N / 2 i = −N / 2 ∑ ∑e .hi, j i+ x, j+ y x, y = 0,1,..., M − 1 (en supposant que le point central de h a pour coordonnées (0,0) et que les indices des ordonnées sont croissantes du haut vers le bas) ; M taille de l’image et N taille du filtre 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 -1 -1 0 0 1 1 0 ? ? 0 -2 -2 0 0 2 2 0 ? 1 1 1 1 ? 0 -3 -3 0 0 3 3 0 ? 1 1 1 1 * 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 = ? 0 -2 -2 0 Les ? Peuvent prendre des valeurs différentes selon la manière dont sont gérés les effets de bord. Remarque : en général, N est pris impair, donc N/2 doit être considéré comme la division entière. Exercice Calculer explicitement s2,2 , et compléter l’image résultat. 88 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Illustrations Exemples dans le domaine discret, à 2 dimensions (traitement d’images) (suite) Autres exemples de filtres couramment utilisés : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 - Filtre Laplacien 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 permet d’extraire des contours quelle que soit leur orientation - Filtre moyenneur permet de lisser une image Les filtres peuvent être de différentes tailles. 89 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Illustrations Exemples dans le domaine discret, à 2 dimensions (traitement d’images) (suite) Remarque Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 L’opération de convolution peut être très coûteuse en terme de temps de traitement. On peut alors 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 tirer partie de : - La propriété suivante de la Transformée de Fourier : F x(t) * y(t) → X(f).Y(f) - L’existence de l’algorithme de Transformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT). Le principe est alors le suivant : −1 TF TF image1(x1, x2) * filtre(x1, x2) → IMAGE1(f1, f2).FILTRE(f1, f2) = IMAGE2(f1, f2) → image2(x1, x2) 90 Traitement du Signal V) Filtrage V.5) Convolution Propriétés Commutativité : Associativité : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 x(t) * y(t) = y(t) * x(t) [x(t ) * y(t)] * z(t) = x(t) * [y(t ) * z(t)] Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 Distributivité : 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 [x(t ) + y(t)] * z(t) = x(t) * z(t) + y(t) * z(t) Elément neutre : impulsion de Dirac x(t) * δ(t) = x(t) Translation (ou échantillonnage) : x(t) * δ(t − t0) = x(t − t0) Exercice Démontrer l’une des propriétés 91 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.1) Introduction Intérêt Pouvoir réaliser des filtres avec des systèmes numériques (ordinateur standard, DSP, circuit intégré personnalisé…). Représentation Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 Correspond à un système linéaire dont les signaux d’entrée et de sortie sont échantillonnés : -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 La référence au temps peut être omise : n est l’indice de l’échantillon courant du temps discrétisé (le système est considéré comme "tempsréel" : à chaque nouvel instant n, un échantillon e(n) entre et un échantillon s(n) sort. Equation aux différences Concrètement, un filtrage numérique consiste à calculer un terme de la forme : s(n) = a0e(n) + a1e(n − 1) + ... + aPe(n − P) + b1s(n − 1) + b2s(n − 2) + ... + bQs(n − Q) Ce sont les coefficients ai et bi qui déterminent les caractéristiques du filtre (type, fréquences de coupure, etc). Cette équation est appelée équation aux différences. 92 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.1) Introduction Réalisation pratique Pour pouvoir calculer cette équation dans un système temps réel, le bloc du schéma précédent doit comporter de la mémoire pour les échantillons e(n-i) et s(n-i) : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 2 types de filtres numériques • RIF : à réponse impulsionnelle finie ; ne comportent que les termes en e(n-i) ; permettent d’obtenir des filtres à partir d’une réponse en fréquence idéale ; les coefficients ai sont les échantillons de la réponse impulsionnelle (ils sont souvent notés hi) • RII : à réponse impulsionnelle infinie ; comportent des termes en e(n-i) et des termes en s(n-i) ; permettent de synthétiser des filtres à partir des caractéristiques de filtres analogiques. 93 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.1) Introduction Pourquoi "Réponse Impulsionnelle Finie" et "Réponse Impulsionnelle Infinie" ? Réponse "intuitive" : Prenons l’exemple du filtre d’équation de récurrence : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 s(n) = e(n) + ks(n − 1) 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Appliquons lui une impulsion de Kronecker (δk={1,0,0,0,….}, équivalent de l’impulsion de Dirac du domaine continu). - si k>1, le signal de sortie s(n) peut diverger vers des valeurs ∞ - si k=1, s(n) garde une valeur constante - si k<1, s(n) tend vers 0 quand n → ∞ Comment obtenir l’équation aux différences, à partir du filtre recherché ? on utilise la transformée en Z 94 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.2) La transformée en Z, outil d’étude des systèmes échantillonnés Définition TZ d’un signal numérique s(n) : ∞ S(z) = ∑ s(n)z−n n =0 Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Propriétés élémentaires Rappel T. Laplace Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 Linéarité 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 Z a1s1(n) + a2s2(n) ←→ a1S1(z) + a2S2(z) L a1.s1(t) + a2.s2(t) ←→ a1.S1(p) + a2.S2(p) Retard temporel Z s(n − n0) ←→ z−n0S(z) −t p L s(t − t0) ←→ e 0 S(p) Transformées élémentaires Impulsion Il s’agit ici de l’impulsion de Kronecker, définie par δk={1,0,0,…} : Z δk ←→ 1 Signal exponentiel Z s(nT ) = e−anT ←→ S(z) = 1 z = −1 − aT 1− z e z − e−aT 95 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.2) La transformée en Z, outil d’étude des systèmes échantillonnés Rappel : suites géométriques ∞ S∞ = u0 + u1 + u2 + ... = ∑ un n =0 un+1 = r.un avec Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 r :raison -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 Somme des N+1 premiers termes : 0.01 0.00 SN = u0 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 Somme de tous les termes : 1 − rN+1 1− r 1 − rn+1 n→ ∞ 1 − r S∞ = u0 lim Exemple ∞ S∞ = 1 + 0,51 + 0,52 + 0,53 + ... = ∑ 0,5n n =0 n +1 un+1 = 0,5 S2 = u 0 = 0,5 × 0,5 = un × 0,5 n 1− r2 1 − 0,52 1 − 0,25 0,75 = 1× = = = 1,5 1− r 1 − 0,5 1 − 0,5 0,5 1 − rn 1 − 0,5n 1 = lim = =2 n→ ∞ 1 − r n → ∞ 1 − 0 ,5 0 ,5 S∞ = u0 lim 96 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.2) La transformée en Z, outil d’étude des systèmes échantillonnés Lien avec la Transformée de Laplace z = eTep La TZ est la TL d’un signal échantillonné, en posant : Démonstration Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 L{s(t)} = S(p) = ∫ s(t)e−ptdt +∞ 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 0 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 L δ(t) ←→ 1 −t0p L δ(t − t0) ←→ e Soit s(t) un signal et se(t) sa version échantillonnée : se(t) = s(t) × +∞ +∞ ∑ δ(t − nT ) = ∑ s(nT )δ(t − nT ) e n = −∞ e n = −∞ z = eTep e ∞ L ←→ Se(p) = ∑ s(nTe)e S (z ) = −nTep n =0 ∞ ∑ s ( nT )z −n e n=0 97 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.2) La transformée en Z, outil d’étude des systèmes échantillonnés Fonction de transfert en Z et réponse impulsionnelle H(z) = S(z) E(z) Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 Z e(nT) = δk → E(z) = 1 H(z) = -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 S(z) = S(z) 1 ∞ H(z) = ∑ h(n)z−n = Z{h(n)} n=0 la fonction de transfert est la TZ de la réponse impulsionnelle (idem Laplace) 98 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.2) La transformée en Z, outil d’étude des systèmes échantillonnés De la fonction de transfert en z à l’équation aux différences Forme générale de la fonction de transfert en z du filtre numérique : P H(z) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 −1 −2 −P S(z) a0 + a1z + a2z + ... + aPz = = E(z) 1 − b1z−1 − b2z−2 − ... − bQz−Q Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 ∑a z −p p p =0 Q 1 − ∑ bq.z−q q=1 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 E(z) et S(z) représentent respectivement les transformées en z des échantillons d’entrée e(n) (avec n correspond à nTe) et de sortie s(n) courants : E(z)=Z{e(n)} S(z)=Z{s(n)} • Z{e(n-n0)}=z-n0 E(z) (propriétés de retard temporel • Z{aea(n)+beb(n)}=aEa(z)+bEb(z) et de linéarité) s(n) = a0e(n) + a1e(n − 1) + a2e(n − 2) + ... + aPe(n − P) + b1s(n − 1) + b2s(n − 2) + ... + bQs(n − Q) 99 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.3) Synthèse des filtres Objectif Déterminer les coefficients ai et bi des filtres RII et les coefficients ai des filtres RIF, à partir de caractéristiques souhaitées (type des filtres, ordre, etc). Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Synthèse des filtres RII par Transformée bilinéaire (exemple pour l’ordre 2) Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 Y(p) a0'+a1' p + a2' p2 H(p) = = X(p) 1 − b1' p − b2' p2 2 1− z p→ Te 1 + z 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Fonction de transfert de Laplace transformée bilinéaire Y(z) a0 + a1z−1 + a2z−2 H(z) = = X(z) 1 − b1z−1 − b2z−2 Fonction de transfert en Z Z[e(n − n0)] = z−n0E(z) s(n) = a0e(n) + a1e(n − 1) + a2e(n − 2) + b1s(n − 1) + b2s(n − 2) Equation aux différences Fondement théorique : équivalence de l’intégration t y(t) = ∫ x(t).dt → y(n) = y(n − 1) + Te 0 x(n) + x(n − 1) 2 100 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.3) Synthèse des filtres Exemple : Filtre passe-bas d’ordre 2 H(jω) = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 1 2 ω ω 1 + 2ξj + j ω0 ω0 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Relations obtenues par application de la transformée bilinéaire : a0 = 1 k1 a1 = 2 = 2a0 k1 avec : a2 = k= fe πfc 1 = a0 k1 b1 = ( 2 1 − k2 k1 ) b2 = ( 1 1 − 2ξk + k2 k1 ) k1 = 1 + 2ξk + k2 Exemple d’application numérique fc=500Hz ; ξ=0,1 ; fe=44100Hz a0=0,00126 a1=2 a2=1 b1=-1,98084 b2=0,98587 s(n) = a0e(n) + a1e(n − 1) + a2e(n − 2) + b1s(n − 1) + b2s(n − 2) = 0,00126e(n) + 2e(n − 1) + e(n − 2) − 1,98084 s(n − 1) + 0,98587 s(n − 2) 101 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.3) Synthèse des filtres Synthèse des filtres RIF par développement en série de Fourier de la réponse fréquentielle Principe 2 propriétés importantes : Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 1) F h(t) → H(f) 2) s(n) = ∑ h(n)e(n − i) -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 h(t) réponse impulsionnelle |H(f)| réponse en fréquence (=module de la FT harmonique) N i=0 h(n) coefficients du filtre (qui en contient N) les coefficients d’un filtre RIF peuvent s’obtenir par TFD-1 102 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.3) Synthèse des filtres Synthèse pas développement en série de Fourier de la réponse fréquentielle (suite) Principe Part du constat que la réponse en fréquence désirée est une fonction périodique de période fe (conséquence de l’échantillonnage) on peut la développer en série de Fourier Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 s(t) = Cas classique : 0.01 ∑ c .e jk2π t T +∞ jk2π f fe +∞ k t avec k = −∞ 0.00 -0.01 − jk 2π 1 T T ck = ∫ s(t).e dt 0 T -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 120 140 Ici : H(f) = ∑ g .e k f − jk 2π 1 fe fe gk = ∫ H(f).e df 0 fe avec k = −∞ On annule la partie imaginaire : Simplification : F= Décalage pour causalité : f fe gk = 1 fe f df H ( f ). cos 2 π k fe ∫0 f e gk = 2∫ H(F). cos(2πkF )dF 0 ,5 0 hk = gk −p avec p= N 2 , k=0,…,N-1 si N pair, p = (1) N −1 si N impair 2 Développement de (1) : passe-bas : hk = 1 sin(2π(k − p)Fc ) (k − p)π passe-haut : hk = − + passe-bande, coupe-bande… 1 sin(2π(k − p)Fc ) (k − p)π 103 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.3) Synthèse des filtres Synthèse pas développement en série de Fourier de la réponse fréquentielle (suite) Algorithme du cas passe-bas Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Lire la valeur de N (nombre de coefficients du filtre) Si N pair p=N/2 sinon p=(N-1)/2 Lire la valeur de la fréquence de coupure normalisée Fc Pour k variant de 0 à N-1 Si k!=p h(k+1)=sin(2*pi*(k-p)*Fc)/((k-p)*pi); sinon h(k+1)=2*Fc; Diviser les coefficients h(i) par leur somme //calcul des coefficients h(i) du filtre //k-p pour le décalage //sinus(x)/x pour x=0 traité à part Programme Scilab correspondant N=10 if modulo(N,2)==0 //si N pair p=N/2; else p=(N-1)/2; //si N impair end Fc=0.01 for k=0:N-1 if k~=p h(k+1)=1/(k-p)/%pi*sin(2*Fc*(k-p)*%pi); else h(k+1)=2*Fc; //cas sin(x)/x pour x=0 traité à part end end somme=sum(h); h=h/somme //division des coefficients par leur somme 104 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.3) Synthèse des filtres Synthèse pas développement en série de Fourier de la réponse fréquentielle (suite) Exemple : Réalisation d’un filtre passe-bas avec fe=44100Hz, fc=4410Hz et N=10 fréquence de coupure relative : Fc=0,01 1 sin(0,02kπ ) , k=-5,…,5 kπ N hk = gk −p p= =5 avec 2 gk = Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 passe-bas 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 et 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 hk = 1 sin(0 ,02 (k − 5 )π ) (k − 5 )π , k=0,…,9 Résultats obtenus : h0= 0.0989147 h1= 0.0995054 h2= 0.0999662 h3= 0.1002962 h4= 0.1004945 h5= 0.1005607 = h9 = h8 = h7 = h6 105 Traitement du Signal V) Filtrage V.6) Filtrage numérique V.6.4) Comparaison des filtres RII et RIF Filtres RII Partie voisée du mot six (au milieu du mot) 0.19 0.15 0.11 0.07 0.03 -0.01 -0.05 -0.09 -0.13 0 20 40 60 80 100 120 140 120 140 Partie non-voisée du mot six (aux 3/4 du mot) 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0 20 40 60 80 100 Avantages - peu de coefficients donc calcul rapide - modélisation des filtres analogiques (et notamment possibilité d’obtenir des résonances) Inconvénients - risque d’instabilité surtout pour les grands facteurs de qualité - les coefficients doivent être codés avec beaucoup de précision (conséquence du risque d’instabilité) - phase non-linéaire (se traduit par une déformation du signal). Rm : le temps de propagation de groupe dϕ est défini par : t = g dω Il correspond au temps de transfert de l’énergie du signal d’entrée vers sa sortie. Il doit être constant sinon le signal subit une déformation par le filtre. Filtres RIF Avantages - pas de risque d’instabilité - phase linéaire - permet de synthétiser n’importe quelle fonction de transfert (sauf résonances) Inconvénients - nombreux coefficients surtout pour les pentes raides et les bandes passantes étroites 106
