Exos probas condi crorrige TS

Terminale S1Probabilit´es conditionnelles −exercices
Probabilit´es conditionnelles
Exercices corrig´es
Exercice 1 :(solution)
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la
circulation.
85 %des dossiers entraˆınent des frais de r´eparation mat´erielle. 20 %des dossiers entraˆınent des frais de dommages
corporels. Parmi les dossiers entraˆınant des frais de r´eparation mat´erielle, 12 %entraˆınent des frais de dommages
corporels.
Soit les ´ev´enements suivants : R:«le dossier trait´e entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle »;
D:«le dossier trait´e entraˆıne des frais de dommages corporels ».
On choisit un dossier au hasard.
Dans tout l’exercice, les r´esultats seront donn´es sous forme d´ecimale, arrondis au milli`eme pr`es.
1. a. Recopier et compl´eter le tableau.
R R Total
D
D
Total 85 100
b. Recopier et compl´eter l’arbre pond´er´e.
R
0,85
D
0,12
D
. . .
R
... D
. . .
D
. . .
2. On choisit un dossier au hasard. Calculer la probabilit´e pour qu’un dossier :
a. entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle et des frais de dommages corporels ;
b. entraˆıne seulement des frais de r´eparation mat´erielle ;
c. entraˆıne seulement des frais de dommages corporels ;
d. n’entraˆıne ni frais de r´eparation mat´erielle ni frais de dommages corporels ;
e. entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle sachant qu’il entraˆıne des frais de dommages corporels.
3. On constate que 40% des dossiers trait´es correspondent `a des exc`es de vitesse et parmi ces derniers 60%
entraˆınent des frais de dommages corporels.
On note E:«le dossier trait´e correspond `a un exc`es de vitesse ».
a. On choisit un dossier. Quelle est la probabilit´e ppour que ce dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et
entraˆıne des frais de dommages corporels ?
b. On choisit cinq dossiers de fa¸con ind´ependante. Quelle est la probabilit´e pour qu’au moins un dossier
corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels ?
c. Soit nun entier (n>1). On choisit ndossiers de fa¸con ind´ependante. D´eterminer la valeur minimale de
npour que la probabilit´e qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais
de dommages corporels, soit sup´erieure ou ´egale `a 0,9. Attendre l’´etude de la fonction logarithme n´ep´erien pour r´esoudre
cette question.
Exercice 2 :(solution)
Un jeu consiste `a lancer des fl´echettes sur une cible. La cible est partag´ee en quatre secteurs, comme indiqu´e sur
la figure ci-dessous.
http://mathematiques.ac.free.fr 1/10 15 d´ecembre 2013

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0 point
5 points
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont ind´ependants et que le joueur touche la cible `a tous les coups.
1. Le joueur lance une fl´echette.
On note p0la probabilit´e d’obtenir 0 point.
On note p3la probabilit´e d’obtenir 3 points.
On note p5la probabilit´e d’obtenir 5 points.
On a donc p0+p3+p5= 1.
Sachant que p5=1
2p3et que p5=1 3p0d´eterminer les valeurs de p0, p3et p5·
2. Une partie de ce jeu consiste `a lancer trois fl´echettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient
un total (pour les 3 lancers) sup´erieur ou ´egal `a 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total sup´erieur ou
´egal `a 8 points, il ne lance pas la troisi`eme fl´echette.
On note G2l’´ev`enement : «le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G3l’´ev`enement : «le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note Pl’´ev`enement : «le joueur perd la partie ».
On note p(A)la probabilit´e d’un ´ev`enement A.
a. Montrer, en utilisant un arbre pond´er´e, que p(G2) = 5
36.
On admettra dans la suite que p(G3) = 7
36
b. En d´eduire p(P).
3. Un joueur joue six parties avec les r`egles donn´ees `a la question 2.
Quelle est la probabilit´e qu’il gagne au moins une partie ?
4. Pour une partie, la mise est fix´ee `a 2 e.
Si le joueur gagne en deux lancers, il re¸coit 5 e. S’il gagne en trois lancers, il re¸coit 3 e. S’il perd, il ne
re¸coit rien.
On note Xla variable al´eatoire correspondant au gain alg´ebrique du joueur pour une partie. Les valeurs
possibles pour Xsont donc : −2, 1 et 3.
a. Donner la loi de probabilit´e de X.
b. D´eterminer l’esp´erance math´ematique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Exercice 3 :(solution)
Une entreprise confie `a une soci´et´e de sondage par t´el´ephone une enquˆete sur la qualit´e de ses produits.
On admet que lors du premier appel t´el´ephonique, la probabilit´e que le correspondant ne d´ecroche pas est 0,4et
que s’il d´ecroche, la probabilit´e pour qu’il r´eponde au questionnaire est 0,3.
On pourra construire un arbre pond´er´e.
1. On note :
•D1l’´ev´enement : «la personne d´ecroche au premier appel »;
•R1l’´ev´enement : «la personne r´epond au questionnaire lors du premier appel ».
Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement R1.
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2. Lorsqu’une personne ne d´ecroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilit´e pour que
le correspondant ne d´ecroche pas la seconde fois est 0,3et la probabilit´e pour qu’il r´eponde au questionnaire
sachant qu’il d´ecroche est 0,2. Si une personne ne d´ecroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la
contacter.
On note :
•D2l’´ev´enement : «la personne d´ecroche au second appel »;
•R2l’´ev´enement : «la personne r´epond au questionnaire lors du second appel »;
•R l’´ev´enement : «la personne r´epond au questionnaire ».
Montrer que la probabilit´e de l’´ev´enement R est 0,236.
3. Sachant qu’une personne a r´epondu au questionnaire, calculer la probabilit´e pour que la r´eponse ait ´et´e donn´ee
lors du premier appel. (on donnera la r´eponse arrondie au milli`eme)
4. Un enquˆeteur a une liste de npersonnes `a contacter (n>1). Les sondages aupr`es des personnes d’une mˆeme
liste sont ind´ependants.
a. Calculer en fonction de n, la probabilit´e qu’au moins une personne de la liste r´eponde au questionnaire.
b. D´eterminer le nombre minimal de personnes que doit contenir la liste pour que la probabilit´e qu’au moins
l’une d’entre elles r´eponde au questionnaire, soit sup´erieure `a 0,9.Attendre l’´etude de la fonction logarithme n´ep´erien
pour r´esoudre cette question.
Exercice 4 :(solution)
Dans un pays imaginaire, on admet qu’un jour donn´e soit il fait beau, soit il pleut !
S’il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilit´e ´egale `a 1
2. S’il pleut un jour, alors il
pleuvra encore le lendemain avec un probabilit´e ´egale `a 2
3.
Aujourd’hui il pleut.
On s’int´eresse `a la probabilit´e qu’il fasse beau demain, dans 2 jours, dans 3 jours, ..., dans njours.
1. Pour n>1, on d´esigne par Bnl’´ev´enement «il fera beau dans njours ».
a. Illustrer par un arbre pond´er´e l’´evolution possible de la m´et´eo pour demain et apr`es demain. Donner P(B1)
et calculer P(B2).
b. Donner, pour n>1, les valeurs de PBn(Bn+1)et PBn(Bn+1).
Exprimer P(Bn+1 ∩Bn)et PBn+1 ∩Bnen fonction de P(Bn).
Prouver que, pour n>1, P (Bn+1) = 1
6P(Bn) + 1 3.
2. On suppose d´esormais, pour n>1, pn=P(Bn)et un=pn−2
5.
a. Prouver que (un)est une suite g´eom´etrique.
b. En d´eduire l’expression de un, puis de pnen fonction de n, pour n>1.
c. ´ Etudier le sens de variation de la suite (pn)et montrer que cette suite admet une limite que l’on calculera.
Peut-on interpr´eter ces r´esultats ?
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Solution n˚1 :
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la
circulation.
85 %des dossiers entraˆınent des frais de r´eparation mat´erielle. 20 %des dossiers entraˆınent des frais de dommages
corporels. Parmi les dossiers entraˆınant des frais de r´eparation mat´erielle, 12 %entraˆınent des frais de dommages
corporels.
Soit les ´ev´enements suivants : R:«le dossier trait´e entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle »;
D:«le dossier trait´e entraˆıne des frais de dommages corporels ».
On choisit un dossier au hasard.
Dans tout l’exercice, les r´esultats seront donn´es sous forme d´ecimale, arrondis au milli`eme pr`es.
1. a.
R R Total
D10,2 9,8 20
D74,8 5,2 80
Total 85 15 100
b.
R
0,85
D
0,12
D
0,88
R
0,15
D
0,653
D
0,347
La probabilit´e d’une branche est ´egale au produit des poids situ´es sur cette branche.
2. On utilise l’arbre pond´er´e.
a. P(D∩R) = PR(D)×P(R) = 0,12 ×0,85 = 0,102
La probabilit´e que le dossier entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle et des frais de dommages cor-
porels est 0,102.
b. P(D∩R) = PRD×P(R) = 0,88 ×0,85 = 0,748
La probabilit´e que le dossier entraˆıne seulement des frais de r´eparation mat´erielle est 0,748.
c. P(D∩R) = PR(D)×P(R) = 0,653 ×0,15 = 0,098
La probabilit´e que le dossier entraˆıne seulement des frais de dommages corporels est 0,098.
d. P(D∩R) = PRD×P(R) = 0,347 ×0,15 = 0,052
La probabilit´e que le dossier n’entraˆıne ni frais de r´eparation mat´erielle ni frais de dommages corporels
0,052.
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e. PD(R) = P(D∩R)
P(D)=0,102 0,2= 0,51
La probabilit´e que le dossier entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle sachant qu’il entraˆıne des frais
de dommages corporels est 0,51.
3. a. p=P(D∩E) = PE(D)×P(E) = 60
100 ×40 100 = 0,24
p= 0,24
La probabilit´e pour que ce dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages
corporels est p= 0,24.
b. On choisit cinq dossiers de fa¸con ind´ependante. On est donc dans une situation d’ind´ependance.
La probabilit´e qu’aucun des 5 dossiers ne corresponde `a «un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de
dommages corporels »est (1−p)5. Donc la probabilit´e pour qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es
de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels est 1−(1 −p)5, soit 0,746.
c. Soit nun entier (n>1). On choisit ndossiers de fa¸con ind´ependante. On est donc dans une situation
d’ind´ependance.
La probabilit´e qu’aucun des ndossiers ne corresponde `a «un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de
dommages corporels »est (1 −p)n. Donc la probabilit´e pour qu’au moins un dossier corresponde `a un
exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels est 1−(1 −p)n, soit 1−(0,76)n. D’o`u,
1−(0,76)n>0,9.
1−(0,76)n>0,9
⇐⇒ (0,76)n60,1
⇐⇒ ln (0,76)n6ln 0,1
⇐⇒ nln 0,76 6ln 0,1
⇐⇒ n>ln 0,1
ln 0,76 car ln 0,76 <0
Or, ln 0,1
ln 0,76 ≈8,39. La valeur minimale de npour que la probabilit´e qu’au moins un dossier corresponde
`a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels, soit sup´erieure ou ´egale `a 0,9, est 9 (9
dossiers).
Solution n˚2 :
Un jeu consiste `a lancer des fl´echettes sur une cible. La cible est partag´ee en quatre secteurs, comme indiqu´e sur
la figure ci-dessous.
0 point
5 points
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont ind´ependants et que le joueur touche la cible `a tous les coups.
1. On sait que p5=1
2p3donc p3= 2p5. De plus, p5=1 3p0donc p0= 3p5.
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