9 Les incertitudes /B-I CALCUL DES INCERTITUDES :( grandeur physique) . ()! * + # /1 , (&" $ ! " # $ ) /2 :(notion de mesure) : + . / ( 6 )7 2 5 3 $6 1 . " 0, $ ) ( 2 $1 " &" 6 , 0 " 1 (2$ 1 " 8 , # 3 $4 3 9$ 3 $4 ( : .1 " ?1 " + ( x < . " 68 0, = 6) x (erreur absolue) . " (2; 0 " 3 x0 4 " 1" > X "" x : " .@ ! x = x - x0 " ." ) (2 & = "8 / "8 .x + x : A.FIZAZI . (. x 8 1 "8 8. 8 (6.1) x . @8 7 " 9 / z Univ-BECHAR ) 6) (incertitude absolue) x @ A $ x .+ . (5.1) 2 0 7 .X $ = 9$ : y x B "" " > ! $ X = f ( x, y , z ) " LMD1/SM_ST 10 Les incertitudes . X B . dX dX .+/: ! 8 "8 :! 8 9 D" $ ( . X :7 f x 7 0 . .) " A 8 :! :C$ x+ f y 4 @8 X A3 y+ 4 X f z ; X 0 , $ . @8 $ . 7 0 ) : X C$ < X X dX = X X . " C ) " @8 (8.1) /3 (théorèmes des incertitudes) (incertitude absolue d’une somme algébrique) & " ! C ) : ! " ! @8 !" ! 7 p "8 y = nu + pv n !"# $% &"' ( w : % y *& " +"' v # E :$ .* q qw + k % +. / C .2 F 2 u w v u :$ . y= n u+ p v+ q w y= n u+ p v+ q w (9.1) : ./ !"# 0 * 1 2 . : y0 = ( y ± y ) u y : u : A.FIZAZI & , k ,- y = nu + pv - qw + k > (7.1) z (incertitude relative) 8 7 f f f dx + dy + dz x y z dX = X C$ & 5* Univ-BECHAR (10.1) y0 : & & & : y :+"' LMD1/SM_ST 11 Les incertitudes !"# % m2 m1 & ' M " . 1 & : 6.1 "# :;. m2 = 57.327 g m1 = 12.762 g . M M m = ±2mg : 6 - 7# 8 . +"' M = m2 M = 44.565 g m1 M = m1 + m2 = 4mg = 0.004 g * 5 < 2 = **# . "> :+"' ./ !"# 0 * $- > % . ,- :.% & $- "6 > & M = (44.565 ± 0.004) g : (- M M 0.004 = M 44.565 M = 9.10 M m1 + m2 M = M m2 m1 ! + . 5 : :"# $%# &' ( @* $ .A* * * . : : * n p k . w 5 M = 9.10 M (incertitude relative d’un produit ou d’un quotient) v 6 * *# q p n y = ku v w u :$ !"# $% &"' ( w v : * $- ' !"# log y = log ku n v p w log y = log k + n log u + p log v : ) : % @* & . u B " * +' B " C q log w : / < $ Univ-BECHAR q ? % ! q :< A.FIZAZI $ B " 8> D . LMD1/SM_ST 12 Les incertitudes dy dk du dv = +n +p y k u v <& : I (+ 5 /E ! ; – 5 /E F * q dw w ) $ 5 # !; 6 :* *#J &"' y u v w =n + p +q y u v w : A:% (11.1) 5 5*# & C . L di . K + 5 /; ! ; – 5 /E F K !"# $ *& : I K i . &"' ( & :$ - , : y=k log y = log k + dy dk = + y k :+ 5 /E – 5 /E 0 (. (u + v ) ' log u + log v log ( u + v ) log t du dv du dv dt + u v u+v u+v t ' 1> ( $ * * * di 1> y = y u (# u v : dy dk = + du y k u u+v u+v + dv u+ v+ . t 1> M .M dt t u+v u+v v 2 '" +"' v ! t (12.1) t :7.1 < $ 2 : . . @* $ Q R I t = +2 + Q R I t R I t +2 + :+"' R I t . Q = RI t N : & Q = RI 2t Q =Q A.FIZAZI Univ-BECHAR 5 #O :% LMD1/SM_ST 13 Les incertitudes ** EXERCICES Exercice 1.7 Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux on mesure les diamètres ( D1 ) et intérieur extérieur ( D2 ) et on trouve : D1 = (19,5 ± 0,1) mm , D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm 7.1 ( D2 ) D2 = ( 26, 7 ± 0,1) mm Soit à déterminer la masse volumique ( ) de la substance d’un cube homogène à partir de la mesure de sa masse (m) (a) et de son arête ( ) "! # (m) . Ecrire le 8.1 ! ! $ La densité ( ) d’un corps solide par application Où m2 m3 = du théorème d’Archimède est : ( m1 m1 masses effectuées, successivement, avec la même balance. Trouver l’incertitude relative sur . " Exercice 1.10 Calculer l’incertitude relative sur la mesure de la (C ) d’un condensateur équivalent à deux condensateurs montés: a/ en parallèle b/ en série précisions sur ( C1 ) et ( C2 ) . Exercice 1.11 Soit l’expression : µ= 2 m Calculer l’incertitude absolue sur incertitudes absolues m , 2 m) :7 , m1 en fonction des 1 , m2 , m1 . / 5 .$' 01 . 3 7 "! + 8* ; µ= 1 µ m2 m3 y = y0 .e wt Calculer l’incertitude absolue sur incertitudes absolues A.FIZAZI 9.1 '! m1 : & m1 2' m3 , m2 , m1 . 4 2 * 2! . 6 * m2 ( * " 8 " & 4'! 1 ! 4'! ( C ) 2 /" : 4 / . ( C2 ) ( C1 ) 2! 7 m 2 m ) 11.1 m1 : # * ! 1 8* µ 7 ) " . m , 2 , 1 , m2 , m1 Exercice 1.12 Soit la relation : % 10.1 , et cela en fonction des m2 ( ( ) )* * "+ , = m1 , m2 , m3 sont les résultats de trois mesures de capacité " !&. ( a ) . résultat de la mesure. Exercice 1.9 D1 = (19,5 ± 0,1) mm . Donner le résultat de la mesure et sa précision. Exercice 1.8 ( D1 ) : 8 " & /* 8 12.1 . y en fonctions des , t , y0 . y = y0 .e 8* ; y 7 . Univ-BECHAR ) y0 , t , , wt : $ 789: " 8 " & /* 8 LMD1/SM_ST 14 Calcul des incertitudes Corrigés des exercices 1.7 à 1.12: 12.1 7.1 7.1 e= D2 D1 D2 + D1 ; 2 e= ; e=3,6mm : 2 e = ±0,1mm : e = ( 3, 6 ± 0,1) mm : e 0,1 = e 3, 6 e = 0, 03 = 3% : e : 8.1 = m m = V a3 =3,041g/cm3 : : = m a +3 m a m a +3 m a = 0, 02 g / cm3 = 0, 0063 = 6,3 0 / 00 : ! = ( 3, 04 ± 0.02 ) g / cm3 6) 1$ - 3 4 %% "0 ' 1 % $ ( %$ ( -8' $ < -) 1$ - 3 4 * 3 ) . 9 :" # # # : :$ ,;( ) < # # . > -=' # : 9.1 . log = log ( m2 m1 ) log ( m3 d = d A.FIZAZI )') * d ( m2 m1 ) m2 m1 = dm2 m2 m1 & ' ( = m1 ) : % $ d ( m3 m1 ) : m3 m1 dm1 m2 m1 Univ-BECHAR m2 m3 , m1 : $ m1 , % */ 0 dm3 dm1 + m3 m1 m3 m1 % . : 1 -) 2 LMD1/SM_ST 15 Calcul des incertitudes d '$ 1 : % *< 1 = dm1 m3 * $ ( ) ( 8 "0 = m 1 m1 m2 9 A i @ di * % 4 ) m1 = m2 = m3 = m : 1. $ 1 m3 m1 : 1 * $ 9? % % dm3 dm2 + m2 m1 m3 m1 1 m1 m2 m1 + > -) . 2 ( (+) m m + m2 m1 m3 m1 = 2 m : m3 m1 *< B4 : 10.1 C = C1 + C2 : $ : , */ 0 D 0 . -) % $ < C C2 C1 C2 C = + C C1 + C2 C1 + C2 : C1 C2 : , $ / E 0) $ , log C = log ( C1 + C2 ) C1 : 0) % dC1 dC2 dC = + C C1 + C2 C1 + C2 : 6 F G C C1 C2 C2 C = 1 + C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2 : 0) * C / $ < E 0) CC 1 1 1 = + C= 1 2 C C1 C2 C1 + C2 */ 0 . -) % $ , % C1C2 log C = log log C = log C1 + log C2 log ( C1 + C2 ) C1 + C2 dC1 dC2 dC dC1 dC2 = + C C1 C2 C1 + C2 C1 + C2 : 1 * $ 9? % % > dC 1 = dC1 C C1 A.FIZAZI 1 1 + dC2 C1 + C2 C2 Univ-BECHAR 1 C1 + C2 LMD1/SM_ST 16 Calcul des incertitudes :* 1 # $ C1 dC C2 dC dC1 = 1 + 2 1 C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2 : 6 ?. C1 C1 C2 C2 C 1 1 = + C C1 C1 + C2 C2 C1 + C2 m2 ( µ + m1 = 2 m m : *< log ( µ + m1 ) = log m2 + log ( d ( µ + m1 ) dm2 = + µ + m1 m2 d 2 µ + m1 µ + m1 + dm2 +d µ + m1 m2 2 2 d 2 ) :* 1 ) d m m $ 1 log ( : 6 # m 2 m m 1 , d 1 m ) µ + m1 m2 + 2 */ 0 1 1 m d 2 d 2 2 m µ + m1 d m m 2 d m m 1 m µ + m1 d m 1 1 m µ + m1 2 + m µ + m1 m 2 m + m :H µ + m1 m 2 d + m µ + m1 1 F B4 m + 1 1 m µ + m1 +d 1 :H µ = + m1 + m2 % * B%F $ + m , : dm1 dm2 dµ = + + µ + m1 µ + m1 m2 d µ = dm1 %$ : 11.1 1 µ + m1 1 m : 12.1 : /0 ( %$ t log y = log y0 + log e log y = log y0 d ( log y ) = d ( log y0 ) d ( t ) X= t dX d dt d = + dX = X X t dy dy0 d dt = t + y y0 t : y y = 0+ t y y0 A.FIZAZI + t t y= y Univ-BECHAR + dt t , % * B%. %$ t : X = t >/ :G I y0 +t y0 -) .J + t LMD1/SM_ST 17 Rappel sur le calcul vectoriel 9 9 9 9 : 9 9 9 9 9 ,9 / II RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL (grandeur scalaire) /1 : . ( "# * +% ..... $& ' (,& ) $% . 1.2 /. & .( (grandeur vectorielle) $ ) ....... . % / (1.2 / V O ! 4* 5 * * . 4 :/ 4* $ 5 ! . & /2 / 0 : : /3 : V ) 5 5 : ! - 2 *) )' ! : )' ! (vecteur unitaire) : V = V =V : /4 u V O 2.2 / 6 , - 7 . V = u.V = V .u (1.2) : /5 (somme vectorielle) % 7 :$ - 7 V2 : V V = V1 + V2 V = V2 + V1 V1 A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 18 Rappel sur le calcul vectoriel : ) . ; > % = 5 & ( = sin sin ( 2 ; @ = CD CD = AC V CD CD = BC V2 ! ? V ) (/ (2.2) 4*) % ACD V V = 2 sin sin /< (loi des cosinus) V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos V1 ,V2 4.2/ ) : @" $* (3.2) = V 2 .sin V .sin C V2 V E & A 4.2 -./01 : A sin sin loi des ) BE BC BE = AB = D B V1 V2 V = 1 sin sin : @" /" V2 .sin = V1 .sin BEC ) ; B (4.2) (4.2) (3.2) (sinus V V V = 1 = 2 sin sin sin tg = A.FIZAZI V2 V1 2 V = V1 + V2 2 Univ-BECHAR A (5.2) = 2 + ,* : ! " LMD1/SM_ST 19 Rappel sur le calcul vectoriel (5.2 / V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 2 >) : V V3 V2 V4 V5 V1 O 5.2 / V1 6 ? V2 6.2/ D : $2 ; D = V2 + ( V1 ) D'= D :/ ) 5 /" &: D = V2 V1 : / ,& ) + (module du vecteur) : D D = V12 + V2 2 A.FIZAZI Univ-BECHAR 2VV cos 1 2 & ' ( @ (,& - C ) (6.2) LMD1/SM_ST 20 Rappel sur le calcul vectoriel $* ) 5 / (composantes d’un vecteur) (. . % > + 0 : R (O; i , j ) Y : V Vy : " * *) :- + @ V y = V sin i :7.2 OY , V x = V cos u O 5 / V = Vx + Vy j * + /6 X Vx / ( OX j Vx = i .Vx , Vy = j .V y i : *2 ; ; V = Vx + V y ; V = i .Vx + j .V y ; V = i .V cos + j .V sin V = V (i .cos (7.2) + j .sin ) : A V = u.V : * D- u = i .cos + j .sin 2 V = Vx + V y (8.2) V = x2 + y2 . R (O ; i , j ) V = V1 + V2 V1 V :E D* ! x1 x ; V2 2 y1 y2 ; V = i (x 1 + x 2 ) + j ( y1 + y 2 ) . R (O ; i , j ) A.FIZAZI V1 : % 2 : x1 x ; V2 2 y1 y2 Univ-BECHAR : 5 * / < * :1.2 V = ( x1 + x 2 ) 2 + ( y1 + y 2 ) 2 6 ? :/ * :2.2 LMD1/SM_ST 21 Rappel sur le calcul vectoriel V = V1 V2 ; V = i (x 1 x 2 ) + j ( y1 :( V = ( x1 y2 ) x 2 ) 2 + ( y1 ) R (O; i , j , k ) V = Vx + V y + Vz :. /( y2 ) 2 :/ , : *2 ; V = i .V x + j .V y + k .V z Z Vz r k V Vy j i Y Vx X :8.2 : * cos = sin = cos = sin = Vz r r Vx Vy &6 Vz = r . cos = r. sin ; Vx = . cos Vx = r . sin . cos V y = . sin V y = r sin . sin : % V x = V sin . cos V y = V . sin . sin (9.2) V z = V . cos V = Vx 2 + V y 2 + Vz 2 V = A.FIZAZI x2 + y2 + z 2 Univ-BECHAR : : % 5 + " 0 * * LMD1/SM_ST 22 Rappel sur le calcul vectoriel 7 9.2 V ; 5 % < " " ! )' < /" ) 9 ! ) ,' : 0 1 OY OX : Vx = V .cos , Vy = V .cos (10.2) , Vz = V .cos : + cos 2 cos 2 ) " + cos 2 : & % <? * :3.2 R (O ; i , j , k ) / : @ =u * .D 5 D = i ( x2 x1 ) + j ( y 2 ) A & y1 ) + k ( z 2 D = ( x2 z1 ) D = i (0) + j (10) + k (4) : D = V2 V1 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 + ( z 2 z1 ) 2 D = 116 = 10.77u : V1 = (4i (11.2) =1 B(10,6,8) u ; A(10,-4,4)u . F D 3 j ) u;V2 = ( 3i + 2 j ) u; V3 = (2i - 6 j )u;V4 = (7i * :4.2 < 8 j )u;V5 = (9i + j )u : V = (4 3 + 2 + 7 + 9)i + ( 3 + 2 6 8 + 1) j Vy ! & ; tg = Vx tg = 14 19 V = 19i 6 V 5 / * ) : OX 36,38° 0,737 V = 361 + 196 = 23.60u 14 j 7 (produit scalaire) V1 .V2 V2 = V1 :2 0 V % < . /7 :@ V1.V2 = V1.V2 .cos(V1.V2 ) (12.2) : * V1.V2 = 1 V 1 + V2 2 2 V1 2 V2 2 (13.2) : ! " *3 V1 .V2 = 0 A.FIZAZI A : A Univ-BECHAR * V2 = 0 V2 0 V1 = 0 V1 0 ,' ,' LMD1/SM_ST 23 Rappel sur le calcul vectoriel V1 (V1 , V2 ) = cos = 0 V1.V2 = 0 2 2 (V1 ,V2 ) = 0 cos 0 = 1 V1.V = V1V2 V2 V1 // V2 @ = ( F ; AB) : ; W = F .AB. cos :: ) AB ( AB W = F . AB F @ = 9 / :1 & W :* ) F W=F.AB.cos 2 G (2.2) : 2 > 2 & 2 V = V1 + V2 ; V = V1 + V2 + 2V1V2 ; V 1 = V1.V 1 = V1V1 cos(V 1V 1 ) = V12 ; V 2 = V12 + V2 2 + 2VV 1 2 cos(V 1V 2 ) V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos(V 1V 2 ) (expression analytique du produit scalaire) : R (O ; i , j ) V1 x1 x ; V2 2 y1 y2 :@ : . 4 V2 V1 + V1 .V2 = ( x1 .i + y1 . j ) .( x2 .i + y 2 . j ) = x1 . x 2 .i .i + x1 . y 2 .i . j + x 2 . y1 . j .i + y1 . y 2 . j . j i j j .i = i . j = 0 V1 .V2 = x1 . x2 + y1 . y 2 . (14.2) i .i = j . j = i 2 = j 2 = 1 (dans l’espace) . : R (O ; i , j ; k ) i . j = i .k = j .k = 0 i = j = k =1 V2 x1 x2 9& V1 y1 ; V2 y2 z2 z1 V1 /( + V1 .V2 = x1 .x2 + y1 . y2 + z1 .z2 (15.2) (propriétés du produit scalaire): .5 ( &B - ) ( V1. V2 .V3 V1. V2 + .V3 = V1.V2 + V1.V3 V 1 = 3i + 2 j k ) : , . 45 !" V 1 .V 2 = V 2 .V 1 :(commutatif) 9 > :(non associatif) 7 : 6 (distributif) < ! : 7 * :5.2 . V 2 = i + 2 j + 3k A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 24 Rappel sur le calcul vectoriel : cos(V 1V 2 ) = V1 .V 1 : V1V2 ! : = ; :$ V1 .V 1 = 3 + 4 3 = 2 ; V1 = 9 + 4 + 1 = 3.74 ; V2 = 1 + 4 + 9 = 3.74 cos(V 1V 2 ) = V1 .V 1 2 = = 0.143 V1V2 14 = (V 1V 2 ) = 96.2° . : = :2 4 ) : ; < : (produit vectoriel) 4 W 5 V2 V1 . % W = V1 /8 V2 = V1 × V2 W V1 O V2 W : 9.2 / = (caractéristiques du vecteur) : W $& V2 : i i = j i j =k ;i i j = i A.FIZAZI / $ V1 : j =k ) W)' W %0) ) k =0 k = j ;j k = j 4 * ( *7 k =i :8 99: W = W = V1.V2 .sin(V1.V2 ) (16.2) k =1 Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 25 Rappel sur le calcul vectoriel /" W = W = V1.V2 .sin(V1 ;V2 ) . 5 : 5;H- 4! x1 x2 B V1 y1 ; V2 y 2 z1 z2 = E D* : R (O ; i , j , k ) + " +i j W = x1 y1 z1 = i x2 y2 z2 W = ( y1 z2 +k y2 z1 ) i y1 z1 y2 z2 (x z 1 2 j (y z W= y2 z1 ) + ( x1 z2 z1 x2 z2 V1 (V + V ) = (V 2 B 3 1 " +k x2 z1 ) j + ( x1 y2 x2 z1 ) + ( x1 y2 2 1 2 0 / x1 : V1 : 0 1 A x1 y1 x2 y2 x2 y1 ) k : x2 y1 ) = V1 .V2 .sin(V1 ,V2 ) (17.2) 2 2 ( propriétés du produit vectoriel): V 1 V 2 = V 2 V 1 :(anticommutatif) / (V2 V3 ) (V1 V2 ) V3 :(non associatif) ) ( V2 + V1 V3 ) : 7 V1 = (2,1, 1);V2 = (1,0, 2) : A . 6 (distributif) = W 5 45 !" 7 : ' :6.2 . % & ! : W = [ (1 × 2 ) (0 × 1)].i (2 × 2) (1 × 1) . j + ( 2 × 0) (1 × 1) .k W = 2i + 3 j k V1 = 22 + 12 + 12 = 6 V2 = 12 + 0 + 22 = 5 W = 22 + 32 + 12 = 14 = 3,74 W = V1 .V2 .sin = 3,74 A.FIZAZI sin = W V1 .V2 Univ-BECHAR sin = 3,74 = 0,683 30 = 43,06° LMD1/SM_ST 26 Rappel sur le calcul vectoriel (produit mixte):) :9 I ( V1. V2 x1 V3 = x2 x3 ) & y1 y2 y3 z1 z 2 = ( y 2 z3 z3 V3 y3 z2 ) x1 * ";" V 2 ,V 1 ( x2 z3 /9 . D x3 z2 ) y1 + ( x2 y3 :. /( " = x3 y2 ) z1 (18.2) 87 /10 ) (moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace) :9 2 : . /( 87 :2 ) ! O = OA V (J*J10.2/ (19.2) ). AOB ; 2/ = !O : 0 1 !O !" !O u O O !" B ! O' B O' V A V A (") 87 /11 (moment d’un vecteur par rapport à un axe): =: 87 ) - u? O> - 87 : & 2 .* + " 87 : V ( ) ! " = ! O .u = OA V .u A.FIZAZI Univ-BECHAR 2 :) " ) . (20.2) LMD1/SM_ST 27 Rappel sur le calcul vectoriel 5 ! 5 & = H? 5 J:J10.2/ ! :2 ; % . : /12 @A (gradient, divergence, rotationnel) :2 . . + f ( x, y , z ) + V ( x, y , z ) :9 #(nabla ) ,' ,' H? #= F I % . ; ; f ( x, y , z ) /" I V ( x, y , z ) (opérateur) "K $ $ $ i + j+ k $x $y $z .! + A & f ( x, y , z ) (21.2) $ $y $ $x . "K ,& $ $z + ,' @ (gradient) : grad f = #( f ) = :A I $f $f $f i+ j+ k $x $y $z f ( x, y , z ) = f = 3 x 2 y 3 z F (22.2) : grad f = 6 xy 3 z.i + 9 x 2 y 2 z. j + 3x 2 y 3 .k & A $ V = (V x ,V y ,V z ) divV = #.V = + ,' (divergence) : : I $Vx $Vy $Vz + + $x $y $z (23.2) : V ( x, y, z ) = 2 xyi * :7.2 :: : * :8.2 3 yz 2 j + 9 xy 3 k :B divV = 2 y 3 z + 0 = 2 y 3 z 2 A.FIZAZI Univ-BECHAR 2 LMD1/SM_ST 28 Rappel sur le calcul vectoriel : &$ A ,' (rotationnel) : V = (V x , V y , V z ) rot (V ) = # V = $Vz $y : $Vy $z + $Vy $Vx .j + $z $x $Vz $x .i D 5 ' L )' / < : rotV = +i j $ $x Vx $ $y Vy $Vx .k (24.2) $y / / +k $ = A+ B +C $z Vz : 7 C , B, A : /: +i $ $y Vy A= $ $Vz = +i $z $y Vz $Vy $z -j B= $ $x Vx $ $Vz = -j $z $x Vz $Vx $z k C= $ $x Vx $ $y Vy = +k $Vy $x $Vx $y :(24.2) A.FIZAZI Univ-BECHAR ) /< % /F LMD1/SM_ST 29 Rappel sur le calcul vectoriel +i j $ $x Vx $ $y Vy +k $Vy $Vz $ = +i $z $y Vz $z . V ( x, y, z ) = 2 xyi -j $Vz $x 3 yz 2 j + 9 xy 3 k ( rot (V ) = ( 27 xy ) 6 yz ) .i rot (V ) = 27 xy 2 6 yz .i 2 $Vx $Vz +k $z $x :5 $Vx $z *:9.2 : :B (9 y 3 0). j + (0 2 x).k 9 y3 j 2 xk 1 3 /13 (le laplacien) : FM #.# ( f ) = # 2 ( f ) = : ( ) #.# V = # 2 (V ) = 2 " A.FIZAZI , 13 @ : 7 & + * :2 C , ;>J $2 f $2 f $2 f + + $x 2 $y 2 $z 2 FM (25.2) & ;>J $ 2Vy $ 2 Vx $ 2Vz i + j + k $x 2 $y 2 $z 2 @A 4" B + .( + ) & @ 7 Univ-BECHAR (26.2) , + )* C LMD1/SM_ST 30 Rappel sur le calcul vectoriel ** EXERCICES . ! ! "#$ Exercice 2.1 On considère , dans un repère orthonormé OXYZ, les trois V1 = 3i 4 j + 4k , vecteurs : j + 3k . V2 = 2i + 3 j 4k et V3 = 5i a/ calculer les modules de V 1 & V 2 et V 3 , b/ calculer les composantes ainsi que les modules des A = V1 +V 2 +V 3 vecteurs : B = 2V 1 V 2 + V 3 , c/ déterminer le vecteur unitaire et porté par d/ calculer le produit scalaire V 1 .V 3 l’angle formé par les deux vecteurs. e/ calculer le produit vectoriel V 2 et en déduire V3. Exercice 2.2 Montrer que les grandeurs de la somme et de la Ax Bx différence de deux vecteurs A = Ay et B = B y Az Bz exprimées en coordonnées rectangulaires sont respectivement : (A D= (A + Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2 2 x x Bx ) + ( Ay By ) + ( Az 2 2 Exercice 2.3 Trouver la sommes V1 = 5i 2 j + 2k 3 des Bz ) 2 B = 2V 1 V 2 + V 3 E!F G<HIH,) A = V1 +V 2 +V 3 J @)<,) K ' 8+F /D trois 3 Exercice 2.4 a/ Montrer que la surface d’un parallélogramme est sont les côtés du parallélogramme formé par les deux vecteurs . b/ Prouver que les vecteur 2.2 8+F l, m$n,) K<H H,) g)U h iR 8 jhIk C +-) @o T HSPF $% H,) A et B Bx Ax B = By A = Ay Bz Az : Hp ",)< ,) E!F *!+q ?H,) S= ( Ax + Bx ) D= ( Ax 2 + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2 Bx ) + ( Ay 2 By ) + ( Az 2 2 Bz ) 2 1/ 2 1/ 2 3.2 vecteurs : V2 = 3i + j 7k B tels que A et B *; )N,) O P QR - V 1 .V 3 "H!?,) M) ,) >?@A /L . HSP+T JU<VIH,) V2 V3 / 1/ 2 Calculer le module de la résultante ainsi que les angles qu’elle forme avec OY , OX et OZ . A.FIZAZI $% & OXYZ ! "# 3 V1 = 3i 4 j + 4k :*+, ,) *-./,) * '() . V3 = 5i j + 3k 3 V2 = 2i + 3 j 4k . V 3 V 2 & V 1 8 9: *!;<= >?@A /) * '() C.;<= C %:$ >?@A /B 1/ 2 2 V3 = 4i + 7 j + 6k . A 1.2 C = V1 +V 3 C = V1 +V 3, S= %& '( : : 3 V2 = 3i + j 7k V1 = 5i 2 j + 2k 3 . V3 = 4i + 7 j + 6k u S PVk " ,) ;) N,) *!VIH,) *!;<= >?@A . OZ OY , OX 8 9: "p K.w() gx)< gx)< " !w B sont Univ-BECHAR :4.2 *@ ? iA 8p$T /) A y+@ A B .8+F l,) 8 9zlH,) K.w() LMD1/SM_ST 31 Rappel sur le calcul vectoriel perpendiculaires si Exercice 2.5 Soit le vecteur : ( E!F ;L<HF i<z; A K l,) iA 8p$T /B A + B = A B *}. ,) ~hhIk )•R B K l,) A+ B = A B 5.2 ) ( ) ( ) V = 2 xy + z 3 i + x 2 + 2 y j + 3 xz 2 Montrer que grad V = 2 k V =0 ( ) ( :K l,) i : )•R ) ( V = 2 xy + z i + x + 2 y j + 3 xz 2 3 grad 2 V = 0 iA 8p$T V = Exercice 2.6 1 Soient les deux vecteurs A= 6.2 2 , B= ) 2 k 2 3 B= 4 1 3 ; A= i F l,) 8z+, 4 Trouver , pour que B soit parallèle à A , puis déterminer le vecteur unitaire pour chacun des deux vecteurs. - & A K l,) B K l,) gx)<; y+IT , 8+F . HSP 9z, *h#)<H,) J @)<,) "F ' 8+F Exercice 2.7 La résultante de deux vecteurs a 30 unités de long et forme avec eux des angles de 25° et 50°. Trouver la grandeur des deux vecteurs. 7.2 uPVk J @ 30 S,<= 8+F ' *!VI .50° 25° 8+ ; )x .8+F l,) *!;<= ‚ A A.FIZAZI HS Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 32 Rappel sur le calcul vectoriel Corrigés des exercices 2.1 à 2.7 : 7.2 1.2 : 1.2 V1 = 6, 40 A = 10i V2 = 5,38 , 2 j + 3k B = 9i 15 j + 15k , C = uc C C = 8i 5 j + 7 k V3 = 5,91 , 8 i 35 uc = / / 5 7 j+ k 35 35 / / V 1.V 3 = x1 x3 + y1 y3 + z1z3 cos = V 1.V 3 V1V3 V 1.V 3 = 15 + 4 + 12 , V 1.V 3 = 31 cos = 31 31 = , cos 41. 35 37,88 V 3 = 5i V2 = 79,86° 0,176 26 j 17 k / :2.2 Ax A = Ay Bx ; B = By Az Bz S = A + B = ( Ax + Bx ) i + ( Ay + By ) j + ( Az + Bz ) k ( Ax + Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) 2 2 2 D = A B = ( Ax Bx ) i + ( Ay By ) j + ( Az S= D= ( Ax Bx ) + ( Ay 2 By ) + ( Az 2 Bz ) 2 1/ 2 Bz ) k 1/ 2 :3.2 V = V 1 + V 2 + V 3 , V = 6i + 6 j + k Vx 6 = , cos V 8,54 Vy 6 , cos = = V 8,54 V 8,54 Vx = V .cos cos = 0,70 45,6° Vy = V .cos cos 0,70 45,6° A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 33 Rappel sur le calcul vectoriel Vz = V .cos cos = Vz 1 = , cos V 8,54 83,1° 0,70 :4.2 S = h. B A h : S = A B sin B S= A 1 A 2 / h = A sin h S0 = : B= : !"# B = A B sin 1 A B sin 2 : B A " %"& Ax B = Ay A+ B = ( Ax + Bx ) A B= ( Ax A = By ; + ( Ay + By ) + ( Az + Bz ) By ) + ( Az 2 2 Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0 :*"# ! + / 0/ , ( A.B ) = 0 ! /( Bz 2 Bx ) + ( Ay ' Bx Az 2 $ Bz ) - ) A B ," 2 2 1/ 2 1/ 2 . ! ) !) 1 2 3! 4) ) :5.2 x = 2 xy + z 3 V = x2 + 2 y y 2 xz 2 : !# , )# ( 2 z i V= -j x 2 xy + z 3 k y z x2 + 2 y 2 xz 2 = 0 . 5- /$ 2 ( )6 7 2 :6.2 .;) & A.FIZAZI %! ) B = . A 9 :7 (2! !! Univ-BECHAR B A # !, LMD1/SM_ST 34 Rappel sur le calcul vectoriel :) ! / 2 B B =A 1 3 = = 4 : 2 =1 3 4 =2 = 2 = 1,5 = B= ; 3 B=0 ( A !# :B B = 2i 3 j + 4k 180 A= uA = B = uB B ( 25 + 50 ) = 105° 1,5 2 A A = uA A !9 $ & 1 4 =2 A = i 1,5 j + 2k , !9 1 i 7, 25 uB = 2 i 29 ) ! 2! : :7 < 1,5 2 j+ k 7,25 7, 25 3 4 j+ k 29 29 :7.2 :,/ !# !) ! ; !4 $ Vy V V : 9.2 9 :)4 = x = sin105° sin 50 sin 25 V V sin 50 = x Vx = V Vx = 23,8 sin105° sin 50 sin105° V sin 25 V = y Vy = V V y = 13,1 sin105° sin 25 sin105° A.FIZAZI ! Univ-BECHAR ! LMD1/SM_ST 35 Principaux systèmes de coordonnées h L#La 6LOsL L#LXL#L&NL L L1Gl /III PRINCIPAUX SYSTEMES DE COORDONNEES ! "#$ "% &'% !% "##!( )*+ +, % -./ 012 345 6+62 : (repères d’inertie ou galiléens) " ( $ , :(1642 ) $ $ &" S 1% 2 $ 3 - .# .S 1 % 2 $ .9 : 2 . " =+ " 4 5 MNO PQF t !" # # , + / $ 5 : 6 (référentiel) (repère) = " 3+( $ ) " : > " 3+ ( $ ) 9 : 2 ;<# = . 4 ? * " =" * > .# " )* - . # CD. $ M /; " 6D. ( X ,Y , Z , t ) ? ? # #E E 0F M /1 ) ' () * + .- . # " 1564 % : $ = =" A 2 * ? !" = 6B R $ ## )" =F* "6 G ## . #/%D #& EF M !" -./ 345 r = OM ( x, y, z, t ) L$ GH%I JK . t r (t ) R#S- $ T UN!( R ! 12 0F M @ /2 : ( Copernic ( 1473-1543) W K SXG) (repère de Copernic):1 20+ ,-./ _5 * -_ HMN% "% . -/% I 2% ['\$ TN!% ! ]^ .(1.3 efd ) + /!$ `I % $ a b5*G ['a 52G c* % #X d .)M 5f `N$ ! #& E h SMN )M 5f MNO g I6 ! ]^ e ! X+ . /g i'm n d i5O I 6( 6O b5+ i'm o5/p-i j )-. i5O I 6( kIl : CD. B (repère géocentrique) " >$ " 9 : A.FIZAZI EG = ? Univ-BECHAR " G "$ 2 LMD1/SM_ST 36 Principaux systèmes de coordonnées !: " ? # 2 /; 5 . E 24 5D' > 5" .+ " 2 . 2"$ CD. "# 9 : .9 : 5" E %& (repère terrestre) "9 : = ? = ? * .9 : " CD. B 2 $: + # 2 2 : /; /; 5 . .@# ; 9 : 2 /; " 2 nd . M’ 9 : M G "$ 2 1.3 5 !" /3 (coordonnées cartésiennes): Z :4 56 ,-. / •N2 345% 6+62( "f + ‚ #& EF MN2 ƒG M JK OM …!45% † !d$ R (O; i , j , k ) ! 0F M 0-./ ) # " G …( #a 6OQ$ ‡ rené : ;" " ( Descartes :1596-1650 (repère spatial) z M r k i x X Š :x (ordonnée) )#(N :y (altitude)5 ! :z (abscisse) O y j Y m :efd $ M 345% † !j $ M "f + +H#(I f h #a 6O• :2.3 efd OM = r = x.i + y. j + z.k A.FIZAZI Univ-BECHAR (1.3) LMD1/SM_ST 37 Principaux systèmes de coordonnées (repère plan): ! $ /# 0F M 0-./ •N2 345% 6+62( "f + ‚ +5 X% MN2 ƒG M JK : OM …!45% † !d$ ‡ y x …# #a 6OQ$ (3.3 efd ) R(O; i , j ) OM = x.i + y. j (2.3) )#(N : y Š :x :C :, 89 ,-. /7 #. X% MN2 ƒG M JK (repère rectiligne) : ) fG ’#O OX I52 $ • M‘ "f + OM = r = x.i Y Y M j (3.3) M y r u x r X x X : % & !" /4 M •N2 012 345 "##!( "f + ‚“ ]M /^ ‚5 X% W K I X 0 /+ "#O .(4.3 efd ) . ( r , ) "# #S-. "# #a 6O• $ (angle polaire) #S-. + H : (rayon polaire) 0S-. N-. ”•G : (coordonnées polaires) :efd $ 345 OM = r = r.ur : A.FIZAZI Univ-BECHAR = (8.2) !D † !j $ M //f + ’#O (4.3) E % 5. LMD1/SM_ST 38 Principaux systèmes de coordonnées u = i .sin + j .cos :5 E " ur = i .cos + j .sin ? - .# * )" I = , E" OM = r = Ar .ur + A .u ( u , u ) `6_ . r (5.3) 0F OM ( SMN% ^ ( Ar , A ) :’#O : ; ? - .# " - .# x = r.cos = arccos x y = r.sin = arcsin y = r !D (6.3) r : ' $ !" /5 ‚•N2 345% 6+62( 0F H# % I , P S! ( oz ’#O #& EF I X P M JK :’#O ( , , z ) #G 5-gl h #a 6O• i ! g "X2 X+ (angle polaire) ( om, ox ) #S-. + H :— ‚ (rayon polaire) 0S-. N-. ”•G : (altitude) 5 ! : z (coordonnées cylindriques) Z z r uz z u M u u O X m Y OM = r = Om + mM = r.u : # $ f 2Š "% R.2 G r = .u + z.k u = i .cos + j .sin A.FIZAZI Univ-BECHAR (7.3) = J? 5.3 5 = LMD1/SM_ST 39 Principaux systèmes de coordonnées :efd $ 345 † !j `I S_ $ M P˜ //f + . ur " u = ' = OM = r = i . .cos + j . sin + k .z / (8.3) OM = r = i .x + j . y + k .z :efd W _ P5f( ’#O #G 5-gl h #a 6O• W K OM † !d `I S_ e+52( "f + M OM = r = A .u + A .u + Az .u z E 5"% . ( u , u , u z = k ) `6_ . 0F OM h SMN% 0^ ( A , A , Az = z ) :’#O u =F* , E " @# (u ,u ,u u = uz h #a 6O• (9.3) z =k ) @#E ? = , u @# " I @ E :=/ . u " u z = E ( #$ "; u = i .sin + j .cos (10.3) +H#(I f h #a 6O• "#$ ™'! š / XG ( 8.3) x = cos y = sin z=z (1.3) "#(I S! .$ - $ : #G 5-gl = x2 + y2 = arctgy / x = arccos x / = arcsin y / . #S-. h #a 6O• W _ TN! G : 6!S (coordonnées sphériques) ( r, , ) + Nf h #a 6O• i ! g PQF ‚H# % I 6$ O "_ (11.3) z=0 P M JK : 1O'% !" /6 O ? b5.( :’#O :eE œS•+ .(coaltitude) kN! b ( :—‚(azimut) ‚ƒ g :• ‚(rayon polaire):0S-. N-. ”•G : : + Nf h #a 6O• +H#(I f h #a 6O• "#$ h ™'! "% #g6/^ R.2 G x= cos y = sin = r sin A.FIZAZI x = r sin cos y = r sin sin z = r cos Univ-BECHAR (12.3) LMD1/SM_ST 40 Principaux systèmes de coordonnées r= x2 + y2 + z2 = arccos z = arctg y (13.3) r x :0cF #G 5-gl h #a 6O• = r sin + Nf h #a 6O• "#$ ™'! %‡ r= = + z2 2 = z = r cos (14.3) = arctg z Z z Z r u u M r O r u M y O Y Y m X x m X " - .# @#E ! 8.35 " - .# :7.3 5 OM = r = x.i + y. j + z.k : #(I f+6 h #a 6O• 0F 345 † !j ) fG :efd W _ ) f#F + Nf h #a 6O• 0F %‡ OM = r = Ar .ur + A .u + A .u (15.3) ( u , u , u ) `6_ . r 0F OM h SMN% 0^ ( Ar , A , A ) :’#O :N#Ÿ( eS.G ‚ + Nf h #a 6O• $ ž N eM #-Ÿ : . 2¡ W K 0 "% — A.FIZAZI ‚ ¡ W K 0 "% • Univ-BECHAR =/ ‚ W K 0 "% r LMD1/SM_ST 41 Principaux systèmes de coordonnées : $ M //f + RSg % ef , / g :C 0 .AB > ?@ r = r.u r = Om + mM Om = .u = i.cos + j sin mM = z.k = k .r cos . = r.sin r = r i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos :š / XG …/% : u @# " I $ (16.3) u r = i.cos .sin + j.sin .sin + k .cos :I B u = i .sin + j .cos 5^ u `6O 5 † !j PQF `6% ! % ( ur , u , u ) @#E ? = :u u =u " 6u I = ? u "#$ 0_ !d • 6* eŠ O ur = i .cos cos + j .cos sin (coordonnées curvilignes): , , E + + M O )" # # s - .# 2 :9.3 5 '!' !" /7 = % :(abscisse curviligne) E ,$" ' . EO . ? $ #? > N .# BO :M O = 3"? OM = s A.FIZAZI (17.3) k .sin Univ-BECHAR (18.3) LMD1/SM_ST 42 Principaux systèmes de coordonnées ** EXERCICES Exercice 3.1 Convertir le vecteur cartésiennes polaires (u , u ) r (i , j ) suivant des en 1.3 coordonnées coordonnées : V = Xi + Yj (i , j ) : (u , u ) V = Xi + Yj r Exercice 3.2 Convertir le vecteur suivant des coordonnées (u , u sphériques cartésiennes: (i , j, k ) Exercice 3.3 Convertir le (u Exercice 3.4 Convertir le sphériques vecteur r suivant (i , j, k ) ,u ) vecteur (u , u r en (u , u r ,u des en ( (i , j, k ) V = Xi + Yi + Zi ): A = 2 : (u , u , uz ) # (i , j, k ) V = Xi + Yj + Zk : ( ur , u , u ( i , j, k ) A.FIZAZI (u .u + cos .u A= 2 .u + cos .u : ( ur , u , u ) 6.3 , u , u z ) en coordonnées cartésiennes : V = Vr ur + V u + Vz u z ) 5.3 coordonnées Exercice 3.6 Convertir le vecteur suivant des coordonnées cylindriques $% :4.3 coordonnées coordonnées en ) 3.3 : V = Xi + Yj + Zk suivant ) ,u V = Vr ur + V u + V u : i , j , k coordonnées , u , u z ) : V = Xi + Yi + Zi (u , u Exercice 3.5 Convertir le coordonnées V = Vr ur + V u + V u (i , j, k ) cartésiennes sphériques en 2.3 vecteur suivant des coordonnées cartésiennes cylindriques ) ,u r ! (u V = Vr ur + V u + Vz u z Univ-BECHAR , u , uz ) # : (i , j, k ) LMD1/SM_ST $% 43 Principaux systèmes de coordonnées Exercice 3.7 Trouver la M( M , M distance entre , zM ) et N ( N , les N deux points , z N ) par les deux méthodes : 1/ en convertissant l’expression du vecteur coordonnées cartésiennes. 2/ par le calcul direct. Montrer que la distance entre les points s’écrit : MN = A.FIZAZI 2 N 2 + N . 2 M M + ( zN .cos ( zM ) M !# '( &$ N , N , zN ) M( : MN en M , ) * M , zM ) ! /1 MN M et N 2 N N( :7.3 ) &$ : / MN = Univ-BECHAR , -$ . 2 N 2 N + N . 2 M M M + ( zN .cos ( /2 !# zM ) M 2 N LMD1/SM_ST ) 44 Principaux systèmes de coordonnées Corrigés des exercices 3.1 à 3.7 7.3 1.3 :1.3 V = Xi + Yj . V = Vr .ur + V .u .V " V ur = i .cos + j .sin V = Vr ( i .cos + j .sin u = i .sin + j .cos V = i Vr cos V sin u " u i .sin + j .cos : ) $% &' Y =X Vr sin + V cos = Y :V " V :* . ")* +* * Vr = X cos + Y sin V = ( X cos + Y sin . /+ ) +V ( + j Vr sin + V cos V sin X Vr cos (i , j ) # V " V #- " ," "." ; V = X sin + Y cos ) ur + ( 1 * -+ ". + / 0 3 .) 0 )u X sin + Y cos * : 0 "6. - 5"*+ : X = Vr cos -+ /, V 1 )* " 0 2 3 4 1% " )1 " . +. / + ) V sin Y = Vr sin + V cos X cos = sin Y sin cos Vr V Vr cos = V sin sin cos X : Y "6. 5 ", :/, * Vr = X cos + Y sin ; V = X sin + Y cos : V = ( X cos + Y sin . V = Xi + Yj + Zk -+ V = Xi + Yj /, ) ur + ( )u 2.3 (i , j, k ) :/, " i , j , k X sin + Y cos / V = Vr .ur + V .u + V .u 4 (u , u r ,u ) " 2 7 8 ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos u = i .cos cos + j .cos sin k .sin u = i .sin + j .cos A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 45 Principaux systèmes de coordonnées ( V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos V ( ) i .sin + j .cos : ) + V ( i .cos : cos + j .cos sin -+ V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin . $% )+ &' & + j Vr sin sin + V cos sin + cos + Y X k Vr cos k .sin " V sin Z : X = Vr sin cos + V cos cos )' V sin Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos Z = Vr cos V sin : (i , j, k ) V = (Vr sin cos + V cos cos ( Vr cos V sin V sin V = Vr .ur + V .u + V .u / 7 ) i + (V sin )j+ sin + V cos sin + V cos r )k V = V .u + V .u + Vz .u z : : -+ 4 i , j, k u = i .cos + j .sin (u (u , u , uz ) / V , u , uz ) V = Vr ( i .cos + j .sin u = i .sin + j .cos :3.3 " ) +V ( 7 2 i .sin + j .cos ) +V k z uz = k V = i V cos V sin + j V sin + V cos X + Vz k :9 . Z Y : Vz " V < V , * :; X = Vr cos &' 4 :; + * " V sin Y = Vr sin + V cos Z = Vz "6. $ . "* * - "."+ ) : 4 X A.FIZAZI cos sin 0 V V Y = sin 0 Z cos 0 0 V 1 Vz V = Vz Univ-BECHAR +* / #; :/ 0 cos sin 0 X sin 0 cos 0 0 1 Y Z $ 0+ " + "6. = LMD1/SM_ST 46 Principaux systèmes de coordonnées :/, * V = X cos + Y sin ; V = X sin + Y cos V = ( X cos + Y sin )u + ( X sin + Y cos V = Vr .ur + V .u + V .u : : (u , u -+ r (u , u 4 i , j, k r )u ,u ,u ; Vz = Z ) + Zu z :4.3 ) / V " 7 2 ur = i .sin cos + j .sin sin + k .cos u = i .cos cos + j .cos sin k .sin u = i .sin + j .cos ( V = Vr i .sin cos + j .sin sin + k .cos V ( ) i .sin + j .cos ) + V ( i .cos cos + j .cos sin :* V = i Vr sin cos + V cos cos + V sin $% &' & + j Vr sin sin + V cos sin + cos + Y X k Vr cos )+ k .sin V sin Z :V " V < V , * :; X = Vr sin cos + V cos cos 4 :; + * 3" V sin Y = Vr sin sin + V cos sin + V cos Z = Vr cos "6. $ V sin . "* * - "."+ ) : 4 X +* / #; :/ 0 $ 0+ " + "6. sin cos cos cos sin Vr Vr sin cos sin sin cos X Y = sin sin cos Z cos sin sin cos 0 V V V V = cos cos sin cos sin sin sin 0 Y Z :/, * Vr = X sin cos + Y sin sin + Z cos ; V = X cos cos + Y cos sin " Z sin V = X sin + Y cos V = Xi + Yj + Zk :/, " A.FIZAZI Univ-BECHAR $% / LMD1/SM_ST 47 Principaux systèmes de coordonnées V = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos ( ) ur + ( X cos )u X sin + Y cos cos + Y cos sin )u Z sin + 5.3 : A= 2 - B= ( i .cos 2 ) + cos ( + j .sin : .u + cos .u i sin + j cos - A A=i 2 .cos + j cos .sin X X = 2 .cos ; Y= 2 A = ( X sin cos + Y sin sin + Z cos ( X sin + Y cos )u A= ( ( ( 2 .cos 2 .cos 2 >, :4.3 ) ur + ( X cos cos + Y cos sin ) X ,Y , Z A " 4 ) sin cos + ( sin + cos ) sin sin cos .sin ) cos cos + ( sin + cos ) cos sin + cos .sin ) sin + ( sin + cos ) cos u cos .sin .cos ? + @1 ; Z=0 - :>; 2 ) " Z sin + cos 2 : " ) + 0k Y cos .sin 2 . )' & sin + cos 2 2 " 2 2 2 2 2 i , j, k u = i .cos + j .sin 4 (u , u , uz ) V = Vr ( i .cos + j .sin u = i .sin + j .cos Z sin )u ? + + ur + u + 2 6.3 V = V .u + V .u + Vz .u z :", ( u , u , u z ) : * / V " ) +V ( 2 i .sin + j .cos ) +V k z uz = k V = i V cos + j V sin + V cos V sin X + Vz k :9 . Z Y X = Vr cos &' :- . V sin Y = Vr sin + V cos Z = Vz A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 48 Principaux systèmes de coordonnées V = i (Vr cos " N( N , N ) + j (V V sin , zN ) " M ( M , M r MN = ON , zM ) 1 MN = ON ( ( OM = N N u u ) ( + zN uz N M N u M ) + (z M N u uz /1 * : - MN 1 2 C3 + zM uz ) : 2 ' ; + " D" 1 N " M OM = :/, * z :7.3 . : MN ) + kV sin + V cos M zM u z ) (1) zN Z N zM OM M uz = k O y N yM j i Y M M u xM N M N xN X u N :/, u z " u , u N u u N = i .cos N M = i .cos M + j .sin + j .sin uz = k MN = A.FIZAZI N ( i .cos N + j .sin N ) M ( i .cos Univ-BECHAR 2 N M : (1) M " M + j .sin M ) + (z / u ,u N N uz zM u z ) M A" LMD1/SM_ST 49 Principaux systèmes de coordonnées MN = ( N cos N cos M M :9 . : )i + ( N sin : MN ( MN = N cos N M cos M ) N M sin ) j + ( zN M 71 N( + 2 N N , N 2 2 M N , zN ) " M ( MN = ON MN = ( N : < u N " & cos A.FIZAZI + /6 N .cos , M 2 +( sin N N M u + N .cos sin M 2 u N + zN uz 2 N . D" 1 u , u N 2 M 2 sin N . M # N sin M N .sin .sin ) ( M u N zM ) uz M cos(u N , u M ) ) cos( M N = cos ( Univ-BECHAR M ; 1 & 2 2 M ( 2) /2 : : zM ) zM ) ) = cos ( 2 ) ( 3) " ( 2 ) M zM ) 2 " ) + ( zN . N zM ) + ( zN + zM u z ) + ( zN 1 + ( zN 2 * " / M )+ M M 1 ) + (z M M " M N , zM ) ( M M 2 N M N 2 N MN = ( cos M OM = MN = /+ . zM ) k + " D" 1 N " M :* MN = &' 2E ( 3) * " :: ( 2 ) N - ) LMD1/SM_ST / 50 Caractéristiques du mouvement '"nn(nnnn nnnn nnnn +nnnn,nnnn-/ IV CINEMATIQUE ' d(#8/A-IV CARACTERISTIQUES DU MOUVEMENT /1 : ! "# $%& '"( ) * +,.(.....678 9:% " ) '"../# 0 1 2 34 "! => 8 ?38 @ "3A* ".4- BC#! D "8 +/E F ! "# $%& . -:$%# G"/# "A > "%8 "(,#- ,#H8 /2 : J&C 2 K ./& "A B " F.I "G : G "H(,- "8 F (L M N C 9 ! DO 2 M B- ?(3A PQ # ./& "A R 48 . ) F, T DO (+,38) 3E 8 S"=> B((3T ) DM U ? 0,- PI! :B(,CV ?)* 0,? @O +4T .J ./& "A a ] "/4 v - / \ OM [L:# 3Y* S ?Z4 "A : -"3Y .B^(38 "/8 _G "38 ?!? 4A : D .E (position du mobile): /3 (vecteur position):'() Dd(T " e"fG +,38 *+,= , G M ! "8 $%> [L:8 c 3! : OM [L:# ]"3VA ( 1.4 ) (O; i , j , k ) G t Z z M OM = r = x.i + y. j + z.k k O i j y (1.4) Y x X A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 51 Caractéristiques du mouvement (équations horaires): . /0+, B- ,%4/8 x, y, z '"({ ?)| }>" ~1 (repos) :C G M $%& :CT ) G :CT \B8d .B8d, [A :T '"({ ?)| @O } .•* ~1 (mouvement) :nA "H d8 > (2.4) x (t ), y (t ), z (t ) :FCV "A "H&- (.34 BC#! , (&8d '‚ "3# • ? @O #/> (3.4) x = f (t ), y = g (t ), z = h (t ) (trajectoire):1+2 . .Q"348 &8…* •6† "H4,4) 4 ( "44# [L :# ]:#I8 : ! "8 $%> "/8 .( #% "/8) "(# * (_! $ ) "! "8 :C! * "/#, BC#! ‡.ˆ! ‰() R(O; i , j ) +,3# G ,($4/# '"({ ?)|"A +4T !:4/# . x(t ), y (t ) :"# B(4({ ?)ŠA c 38 [L:# (équation cartésienne de la trajectoire).1+2 .7 8 . x = 2t y =0 : 7 8 0+, 4 5 61+3 0+, 79+ 7 :; 9 1+2 ‹"fŒ G }GOQ ! "8 $%> (&8d '‚ "3# :1.4A+B .( ( ? ,#I G ' ?): F ) •J,CY "8 \ "/#, !d(T "C "3# ?E */1 . t = 2s = , G [L:# ]"3Y N ".- P4 * /2 z = -5t 2 + 4t "/# "38 0,- Fˆ &G z N ".- G 2:3> +{ x ‚?A B8d Ž Z4/> /1 :D )E .•G"C8 [$Q B- N ".- : x 2 2 z = 1.25.x + 2.x x = 2t t= OM = (2t ).i + ( 5t 2 + 4t ).k :B(4(&8d B(4 "3# "A T "C!? +,3# A.FIZAZI 0#/T x y(x) ? 0+, <4= >? @ OM (t =2) = 4i G G 38 ! "8 $%> Univ-BECHAR :[L:# ]"3Y N ".-/2 12k ) }>" ~1 :2.4 A+B LMD1/SM_ST 52 Caractéristiques du mouvement x = a sin( t + ) y = a cos( t + ) •[.4# "/# FCY : "#G "38 0,- Fˆ &G c $ c • "#H3#I> +{ B(4 "3# [A > :D )E : a " $Q ‘ˆ> N e x 2 = a 2 sin 2 ( .t + ) y = a cos ( .t + ) 2 2 2 x2 + y 2 = a2 (vecteur vitesse) .B8d N?) •6† -:$%# /4 : G"/# - / * .43> (vecteur vitesse moyenne) : FG)8 = 2 *+,M [L:# R 4# "H(G F”V! 4 t = , B(A : 2.4 FCV “)6> c 38 $ :4# - / ]"3Y ŠG M ' [L:# R 4# "H(G F”V! 4 t' = , : ( "4 N ".3 "A "/# M vmoy = T MM ' ; t' t MM ' vmoy = (4.4) t v (t) O .•"%4>| ]"3Y 0#/! M’ MM ' 2.4 (vecteur vitesse instantanée): "t ! : $ OM ' OM = lim t ' t' t t' vt = lim t t %& # (dérivée) OM dOM = t dt vt = dOM dt (5.4) : + 4F? ) (* + #( %& A.FIZAZI M ! ' / # / Univ-BECHAR : v(t ) .(3.4 0* * $* ) 1 LMD1/SM_ST 53 Caractéristiques du mouvement :2 !* OM = r = x.i + y. j + z.k 34 v = x.i + y. j + z.k (6.4) v :3.4 (conventions): 5 ! %& 89 7* : !* . 7* 5 6 $ 4 4= $ !* 56 $ :(Newton) 46 . 7* 5 6 $ 4 ' < %& = $ > ; . dy :@ B8d, ./& "A y 7* dt x= !* dx dy ; y= ; dt dt z= :(Leibnitz) 56 $ dz dt 1 : x x = vx OM y v y = vy z = vz R : $ (7.4) x2 + y2 + z2 m / s = m.s z " !# " :A* (module du vecteur vitesse instantanée) v= ! " ( MKS : OM v / ; B R /5 (vecteur accélération): . $ / OM ' OM * %& * <8 7* ! (vecteur accélération moyenne):HG)8 * t' t * *8 * > (4.4 ) v' v * * *1+28 *+,* 46 :/ A.FIZAZI 6 Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 54 Caractéristiques du mouvement v M amoy = O v' v v = ; t' t t amoy = v t (8.4) amoy M’ v' 4.4 (vecteur accélération instantanée) !* a = lim t ' $ t v' v = lim t ' t' t * # t /$ C v dv d 2 OM = = t dt dt 2 : *8 OM = r = x.i + y. j + z.k a= ; E< ) (9.4) dv d 2 OM = dt dt 2 ( / :$* v = x.i + y. j + z.k * D * a = x.i + y. j + z.k d2x d2y d2z a= .i + 2 . j + 2 .k (10.4) dt 2 dt dt dx dy dz v = .i + . j + .k dt dt dt .(5.4 :IJ 4 *1+28 *+,* : $ !* + ( a= * : (11.4) x2 + y2 + z2 a(t ) * :5.4 (module du vecteur accélération instantanée):& :(11.4) / A.FIZAZI Univ-BECHAR * / A LMD1/SM_ST * 55 Caractéristiques du mouvement : * . a.v 0 1 x x = vx x = vx = a x r= y z v y = vy a y = vy = ay z = vz R OM = r = x.i + y. j + z.k ) (* * R z = vz = az v = v x .i + v y . j + vz .k 46 * # a.v 0 : '( (12.4) R a = a x .i + a y . j + a z .k 46 * :) #! ) (* # .v F x = 2t 2 0* * 6 . OM y = 4t 5 46 :3.4+ , = %& z = t3 . : *( * 5 6 G v = 4t.i + 4 j + 3t 2k v = 16t 2 + 16 + 9t 4 A.FIZAZI / A 1B * * ** 2 !* * 1 ! :- . a = 4i + 0j + 6tk , Univ-BECHAR a = 16 + 36t 2 LMD1/SM_ST 56 Caractéristiques du mouvement ** EXERCICES Exercice 4.1 Le mouvement rectiligne d’un point est défini par l’équation horaire : s = 2t 9t + 12t + 1 . a/ Calculer la vitesse et l’accélération à la date t . b/ Etudier le mouvement du point lorsque t croît de 0 à + .(Dire dans quel sens se déplace le point et si le mouvement est accéléré ou retardé). 3 1.4 2 s = 2t 3 .t " t " Dans un repère orthonormé ( . x = sin t ; y=1+cos2t :" . Oxy 0 1. 0 ) ( 3 ) 1 x = ln t ; y=t+ . t a/Ecrire l’équation de la trajectoire. b/ Calculer les valeurs algébriques de la vitesse et de l’accélération au temps t . Univ-BECHAR : 0 M3 x = t 3t ; y=-3t 2 ; z=t 3 + 3t 6 4 7 $ t / 2 a 6 2 v .M 3 1. " " v 6 / . Oz 8 7 89 6 Exercice4.4 Un point est mobile dans le plan à partir de la date t = 1 . Ses équations horaires sont : A.FIZAZI :3.4 O, i , j , k , le 2 O, i , j , k ! ) suivantes : x = t 3t ; y=-3t ; z=t + 3t a/ Calculer les coordonnées à la date t, du vecteur vitesse v , et celles du vecteur accélération a , du mobile M. b/ Calculer la norme du vecteur v et montrer que ce vecteur fait un angle constant avec Oz . 2 () * .( - / #$ 0 '. " Oxy . mouvement d’un mobile M est défini par les équations 3 ' ! +, ). + 2 x = sin 2 t ; y=1+cos2t Exercice 4.3 / 2.4: Exercice 4.2 Déterminer la trajectoire du mouvement plan défini par les équations : Dessiner cette trajectoire dans le repère 9t 2 + 12t + 1 : 45 3 :4.4 " : ; : ." x = ln t ; y=t+ . ) 0 ( ' .t = 1 1 t .t / / LMD1/SM_ST 57 Caractéristiques du mouvement Exercice 4.5 ( ) Dans un repère orthonormé O, i , j , un mobile M décrit dans 2 le sens direct l’ellipse 2 2 ( O, i , j , ) ! ) 8 < =9 6 0 - x y d’équation : 2 + 2 = 1 . Le point M est repéré sur 8 a b l’ellipse par l’angle . Exercice 4.6 Soit, dans un plan (P) , un repère orthonormé xOy et un mobile M se déplaçant dans ce plan. A la date t , ses coordonnées sont définies par : t t x = 2 cos ; y= 2 2 sin 2 2 positions du mobile et les coordonnées de avoir un vecteur accélération de longueur 5 . 4 " M . 0 ()5 . 3 2 x y + 2 = 1> 2 a b 6 . " 6 5 5 - 2 ( P ) 6789: ;< =>?@ 1. ' M 3 xOy :? " ( 7 $2 t ! ) .; 0 x = 2 cos v .t . @ !C " v pour " 2 t2 # t t ; y= 2 2 sin 2 2 @( . / 6 4 7 $ / 3 1A a 6 a OM " ) <B . 3 # B @# " 8, =4 t1 = 0 " " /D v 7 $ 1 3 8< . A.FIZAZI 2 :6.4 a/ Quelle est la trajectoire ? b/ Calculer les coordonnées à la date t du vecteur vitesse v et du vecteur accélération a de ce mobile. Quelle relation y a- t- il entre OM et a ? Au bout de combien de temps le mobile repasse-il par une même position sur la courbe ? c/ Entre les dates t1 = 0 et t2 = 4 , déterminer les # v Déterminer les vecteurs vitesse et accélération v et en fonction des dérivées et . :5.4 Univ-BECHAR 5 4 LMD1/SM_ST 58 Caractéristiques du mouvement Corrigés des exercices 4.1 à 4.7 7.4 1.4 :1.4 v= ds = 6t 2 18t + 12 : dt a= ( dv = 12t 18 : dt . s = 2t 3 9t 2 + 12t + 1 ! " .v + , / 0 1 2 * 3 v = 6t 2 18t + 12 = 0 t /1 0 t = 1 ; t=2 + /2 -% (. :4 5 ( * # a = 12t 18 = 0 ; 1 v # $% &! . . av ) * + , 1,5 2 0 0 0 a + + + + a.v t = 1,5 + + + :2.4 7 cos 2t = 2 cos t 1 : 6 6 ( . 1 8( 7 y = 2 cos 2 t :9 y + 7 y = 2 ( sin 2 t 1) : , ( :; 6 6 ( 1 x = sin 2 t 8!( . 3, < ( . y = 2 (1 x ) > 2 y +2 B ( O A +1 x ( 7 0 sin 2 t = x +1 ? 0 x +1 . . B ( 0, +2 ) ( A ( +1, 0 ) % %B (> :t D 1& 4 6 E 4 ( ) , FG vx = x = 3 t 2 1 v v y = y = 6t ( ) A.FIZAZI ) 2 @ A> :3.4 B , /1 a= a y = y = 6 az = z = 6t vz = z = 3 t 2 + 1 v 2 = 18 1 + t 2 43 # ax = x = 6t ; ( ,2 3 * C1 / ( . t 4 ( ) v = 3 2 1 + t 2 :F( Univ-BECHAR (% /2 LMD1/SM_ST 59 Caractéristiques du mouvement : ) * (% #( ( ) A> *. ( ) v .k = v.k .cos v , k = v.cos v , k x 0 v y z , k 0 1 ( ) cos v , k = , ( ( ( ) ( ( ) 2 2 cos v , k = ) < v .k v ; v . k= ( x.0 ) + ( y.0 ) + ( z.0 ) =3 1+t 2 3 1+ t2 v .k = cos v , k = v 3 2 1+ t2 ( ) . Oz ( v ) ( v , Oz ) = 4 rad :4.4 : HA x = ln t 1 y = ex + x e t =e y = ex + e :t D vx = 1 t v= 1 t2 vy = 1 1 t 1 t2 2t 2 ay = 4 = 3 t t ax = 2 1 t2 a= 2 x 1 ( 2 1 + 1 2 t / x 1 t4 ; v= 2 + 3 t 2 ; a= / 1 +1 t2 4 1 + t6 t4 :5.4 : x2 + y2 Y 2 M a O (1) a2 = 0 2 x y + 2 1= 0 2 a b x1 = a cos M1 y1 j BI% : ( 2) M y1 = a sin x1 i X 2 (1) M , a cos 2 + a sin 2 2 a =0 2 cos 2 + sin 2 1= 0 ( 3) ( 3) , ( 2 ) ( 2 ) = ( 3) : cos cos = x a ; sin = y b OM = a cos .i + b sin . j A.FIZAZI = x a :L x=acos ( , sin = JB K% v = a sin .i + b cos . j Univ-BECHAR y b y=bsin M % :M % LMD1/SM_ST 60 Caractéristiques du mouvement = a ( sin + 2 ) .i + b ( cos 2 cos : sin ). j : M % :6.4 ( /1 HA t x = 2 2 t y sin = 2 2 2 cos . : x2 y2 + =1 2 8 (> A, /2 1 2 t sin 2 2 t v y = y = 2 cos 2 vx = x = : 1 2 t cos 4 2 2 t sin 2 2 ax = vx = ay = vy = :K"( a= . ( 0 1 x.i 4 1 y. j 4 5 *. .K"( M (/ BI a= 1 ( x.i 4 @ 3 M & x = 2 cos : ) ; cos 5 / (% 4 * t 2 + y. j ) ; , x ' = 2 cos cos =cos ( +2 < a= 2 (t + T ) t = cos 2 2 *. 1 OM 4 C1 JB K%B ( (t + T ) Univ-BECHAR T 1& 1 :t + T D 1& 1 :/ ( 7 x = x' ( T =2 2 T =4 . * K" ( /3 ,(& 5 @1 ( 4 2 t 2 t 5 t t 2 cos 2 + 8sin 2 = 5 a 2 = cos 2 + sin 2 = 16 2 4 2 16 2 2 t t t t 1 2 1 sin 2 + 8sin 2 = 5 6sin 2 = 3 sin 2 = 2 2 2 2 2 A.FIZAZI + # :t D 4 6 :a = < D LMD1/SM_ST 61 Caractéristiques du mouvement + 2k 4 3 + + 2k 4 (7 0 t 4 t 2 , t sin = ± 2 2 : (* t 0 ; = 2 1 O- k 0 1 t 2 3 2 + vx x y +1 +2 1 +2 % 3 A:N vy 1 2 1 2 +1 1 :7.4 OM = x.i + y. j :/ . K"( + . /1 Y A A' b 2b y M b O : x B' 3 6 E B X F. < x = OA + b cos , x = 2b cos + b cos x = 3b cos y = AA ' b sin , y = 2b sin y = b sin b sin OM = i .3b cos + j .b sin : x 2 = 9b 2 cos 2 .JB K%B : a= + 2 d OM = dt 2 2 A.FIZAZI O y 2 = b 2 sin 2 x2 y 2 = =1 9b b 2 FG K"( , ( i .3b.cos a = 9b 2 .cos 2 t + b 2 .sin 2 t HA t + j .b.sin t ) a= a = b 9 cos 2 t + sin 2 t : @1 Univ-BECHAR 6 2 /2 .OM (% ! . LMD1/SM_ST 62 Mouvements rectilignes ! /B-IV ! 0 MOUVEMENTS RECTILIGNES /1 : (mouvement rectiligne uniforme) : . : ! !" ! "#$% & '( ) * ! OX "# % : t = 0 ; x = x0 X . /01% 23045 6%7 89( .: ;0<= .: :A;E% .%! v=x= x x x0 dx = v0 dt = v0 t ) .5#>% ?@# = A; 0BCD( x dx = v0 .dt t dx = v0 .dt x0 t0 x-x0 = v0 t t 0 : &(! " ! " '! - . ! &! ! ! '( )* + % %, x = v0 .t + x0 . ..: (13.4) ! . /01% . x0 O ! ! )! O A.FIZAZI t (! (* /! X (diagrammes du mouvement): "! ) # ! ! 0 % .(7.4 ) ! ) &! !1 " ) 2 v = C te ( x0 = 0) O x :6.4 ) ! x = v0 t + x0 x = v0 t + x0 . " x t t=0 ! ( x0 t O Univ-BECHAR t O a=0 t LMD1/SM_ST 63 Mouvements rectilignes ! ) ) x = 2t ; y = 2t + 4; z = 0 : ! &! 01 ! :4.4 . ! 5 " .( ! ! ( .! . % ! y = 0; z = 0 . ! z=0 : . 67 ! z 0; y 0; x 0 :. ! ! 8 " 9! ).5 : ! 51 5 " : . ! ; ! y = x+4 ! < : "# ! 5 "1 ! ' : ! + < # =7 ! > . ! v = 2i + 2 j v = 22 + 22 v = 8 = 2.83ms 1 0 (mouvement rectiligne uniformément varié) ! a= /2 : : " + ? @A : 6 "2 t = 0 ; v = v0 v dv dt dv = adt . "# " " : ! t dv = adt v0 '! - . ! v v v0 = at t 0 :< ! " ! B ! 0 (! ! ! '( %- )* : &(! v = v0 .t + v0 >" @A (14.4) %5 t = 0 ; x = x0 dx v= = at + v0 dt : ! x dx = (at + v0) )dt t dx = (at + v0) )dt x0 :< 0 : &! ! ! C 1 x = at 2 + v0 t + x0 2 .) 2 x x= ! ! 1 2 at + v0 t + x0 2 v )! : % 8.4 ) ! ! 0 A a a= Cte v0 = 0 t O O t ! 0 A.FIZAZI (15.4) v = at + v 0 x0 O " t % : 8.4 ) ! Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 64 Mouvements rectilignes 2 v 0 = 2a ( x v2 " (accéléré) a.v > 0 " (retardé) a.v < 0 . v = 2t 5 ( 0: 6 (ms -1 ) ; t ! E ! ! &! ! dv = 2ms dt 2 : ! F (! ( 6 " ! + " > " "# % ! " : & ! ! > .9 :5.4 ! ! D / ! " . t = 0 , x = 5m ) - " /< " OX . a= :"# "$ ! 6 " x0 ) ! ! '( )* / : .0" # : ! + " ) " ! )* t t dx x = x0 + vdt x = x0 + (2t dt 0 0 2 x = x0 + t 6t ; t = 0 , x = 5 x0 = 5 v= (! 6) x = t2 :0 ? (! 1 . t 0 1 + 0 ! v a x av 6 " &! ! 6t + 5 : 3 0 ! ! 5/< 5 + + 0 -4 0 * b + ! 1.4 0 ? ! ) . (mouvement rectiligne à accélération variable) ! ( .! /3 :' ! + ? 0 ! )) a=4 : ! ! : .( a = t2 : ! f (t ) ): &(! " " % ! > &! !1 " ) 2 . ) :6.4 .( MKS ! ! ! " . 5 t = 3s ; v = 2ms -1 ; x = 9m : A.FIZAZI ! + " ) (! Univ-BECHAR ! + " ! '( ) * (! :% ( LMD1/SM_ST 65 Mouvements rectilignes t t v = adt + v0 v = v0 + (4 t 2 )dt 0 0 v = 4t 1 3 t + v0 3 :) H! t x = x0 + vdt x= 0 < . .(! 6 "1 : t = 3s !" t = 3s : x = 2t 2 1 4 t + 2t 2 12 ! &! v0 ! + " ! '( )* ! (* /! ! )* ! 3 x0 = m ; v0 = 1ms 4 1 4 t 12 t+ ) v0 t + x0 ) "! x0 (! ) 2 . I ! J ;0 " ! 1 ! " < 3 4 %1 3 t 1 3 v = 4t : )* .:g;E% .%&0 % . 0 A<;h i7 .@&0; .Djg% .:4:k . :j >; . #'% lm<= :,- ./ :8<$%0 0n #'% /4 (mouvement rectiligne sinusoïdal) x = X m .cos( .t + ) (16.4) :6 o )h (élongation ou abscisse instantanée) * p' % q0D % )h . /01% : x ! #:t @ :(amplitude ou élongation maximale) p5r q0D % )h . >% : X m 1 cos( t + ) +1 Xm x +Xm : @ x = X m. sin( .t + ) ") * (pulsation du mouvement). #'% u4( : * (phase initiale).: v .'19% )h v 3mD% : . (phase instantanée).:p' % .'19% )h p' % 3mD% : (yt+x) v=x= dx : dt &! ! ! > : v = X m . sin( t + ) : A.FIZAZI Univ-BECHAR (17.4) @ " ! E ? LMD1/SM_ST 66 Mouvements rectilignes 1 sin( t + ) +1 X m. + X m. v a= x=v= dv : dt a = Xm cos( .t + ) 2 ! ! 2 a @ : ! ! 2 " ! E ? 2 Xm a= :' (18.4) : +Xm > ! '( ! + " " (19.4) .x .E . 1 C ) ! = < ! ( )* /! 5 " ) & ! =7 9 ! ! ; ! K . - C! 9 ! L (" 5 : " .! ! ! M6 *% 5 9.4) ! '( *%! (équation différentielle du mouvement) :" d 2x + dt 2 a=x= 2 x . x = A cos t + B sin t :) ! . x = X m cos( t + ) ) ! '( A.FIZAZI 2 ! ! ! .x = 0 x+ @A (20.4) 2 .x = 0 (7 / ! #(# ! 0A Univ-BECHAR !) * ! ! E ) 7 ! " ! ! E " LMD1/SM_ST 67 Mouvements rectilignes x0 ) ! N ! )! ! . 0 6 "2 ! ! " ( . '( )* ! ; 8 "# v0 Xm ! " x0 = X m cos t=0 (! )7 / ! : 6 "1 . Xm v0 = X m sin ! ; ) 2 .( ) 0 % =0 % : ) ! )# " (! ) " .! 10.4 ! X,V,a a=h(t) +amax V=g(t) +Vmax x=f(t) +Xm 0 T/2 -Xm 3T/4 T t(s) 2T -Vmax -amax % :10.4 ) ! ! 0 " ! ! = " . & & :7.4 .( MKS 0 . (! 6 "2 /*! ! ; ! ; ! / : . 5 . ! ! /< . 6 "2 ! /O ! ! ;=7 ! / . t = 5s . ! 0 % 5 /P " .! ! (! ! &! ! ! >" : . ! M + ! &! : (! 6 "2 /*! ! ; ! ; ! / ! ) ) x = 4 sin(0.1t + 0.5) : ! X m = 4m ; T = N= 1 T 2 ! " )# T = 20 = 62.8s ; N = 1.59.10 2 Hz ; : = 0.5rad . ! ! < v = x = 0.4cos(0.1t + 0.5) ; a = v = -0.04sin(0.1t + 0.5) = -0.01x A.FIZAZI Univ-BECHAR /< a=-0.01x LMD1/SM_ST 68 Mouvements rectilignes : 6 "2 t =0 x0 = 4sin 0.5 = 1.92m v0 = 0.4cos 0.5 0.35ms v0 = 0.35m ! t = 5s : x = 4sin(0.5 + 0.5) v = 0.4cos1 a = -0.04sin1 !" Q/ 2 " ! ;=7 ! / x = 3.36m ; v = 0.22ms -1 ; a = 0.034ms -2 . ! " <! ! N* : ! '( /O x0 = 1.92m ; 1 : t = 5s ! ! 0 % /P . ! x,v,a x=4sin(0.5t+0.5) 4 2 0 t t+T t+T/2 -2 a=-0.04sin(0.5t+0.5) t+3T/4 t(s) v=2cos(0.5t+0.5) -4 :11.4 A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 69 Mouvements rectilignes ** EXERCICES Exercice 4.8 La position d’un mobile en fonction du temps est indiquée sur la figure ci-dessous. Indiquer : 1/ en quel endroit le mouvement se fait dans la direction des X positifs ou négatifs ? 2/ à quel instant le mouvement est retardé ou accéléré ? 3/ quand le corps passe par l’origine ? 4/ quand la vitesse est nulle ? 5/ faire un graphique de la vitesse et de l’accélération en fonction du temps, 6/ estimer d’après le graphique, la vitesse moyenne pour les intervalles de temps : 1s t 1,8s , 1s t 2, 2 s , 1s t :8.4 !" #$ : & #$ /1 " X ' ) * & #$ /2 ( +,) ( ' % " /3 ( % ./ /4 0 ) #/) % %1 /5 2 % 1 2#/) % )13,/ /6 : / ' " , 3s 1s X ( m) % ( ) . t 3s , 1s t 2, 2 s , 1s t 1,8s 1m 0, 2s t (s) 0 Exercice 4.9 Un point matériel se déplace sur l’axe x ' ox de 2 façon qu’entre le carré v de sa vitesse et son abscisse x , il existe la relation v 2 = Ax + B ,où A et B sont des constantes. 1/ Calculer l’accélération du mobile. Que peut on dire du mouvement ? 2/ Connaissant la nature du mouvement, trouver par une autre méthode les valeurs de A et B en fonction des caractéristiques du mouvement. A.FIZAZI 9.4 5 4/ 4 x )! ')$ v )! 2 " 2 . ) )6 B A 2 v = Ax + B 13. 8) . 0 ) 7 /1 ( 4/ 4 , " 2 . , $ . /2 . ; B A # 19 : Univ-BECHAR ) x ' ox ,4/ 2 LMD1/SM_ST 70 Mouvements rectilignes Exercice 4.10 Une pierre est lancée verticalement vers le haut depuis le toit d’un immeuble avec une vitesse de 29, 4ms 1 .On laisse tomber une seconde pierre 4s après avoir jeté la première. Démontrer que la première pierre dépassera la seconde 4s exactement après que l’on ait lâché la seconde. g = 9,8ms 2 . :10.4 < - ) 1) = )" >84 4s . .= ) ?, )13,/ 29, 4ms 1 /)6 = )" / < = )" >81 )" < = )" @ .,4 . /)6 )/ . , ) 4s /)6 = )" g = 9,8ms 2 Exercice 4.11 Un homme au sommet d’un immeuble lance une boule verticalement vers le haut avec une vitesse :11.4 = < - ) 1) = ) 1 " >84 A < - = ' . 12m.s 1 12m.s 1 . La boule atteint le sol 4, 25s plus tard. .)!$81 4, 25s . 1/ Quelle est la hauteur maximale atteinte par la boule ? (= B &8 # * < 0) @ ) /1 2/ Quelle est la hauteur de l’immeuble ? (= ) . @ % /2 3/ Avec quelle vitesse atteint-elle le sol ? = )! % ,' # #@ ) /3 g = 9,8ms 2 (A < 2 g = 9,8ms Exercice 4.12 L’unité de longueur est le centimètre, l’unité de temps la seconde. Une automobile se déplace en mouvement rectiligne. Son accélération est donnée par a= 2 1/ déterminer la nature du mouvement, écrire son équation horaire. 2/ calculer toutes les constantes qui caractérisent le mouvement, 3/ montrer que x peut s’écrire sous la forme : ). Exercice 4.13 Un corps est animé d’un mouvement rectiligne dont l’accélération est donnée par a = 32 4v ( avec comme conditions initiales x = 0 et v = 4 pour t = 0 ). Trouver v en fonction de t , x en fonction de t et x en fonction de v . A.FIZAZI #@ x , tel C )! 4 que , à la date t = 1s , on ait l’abscisse x = 4cm et la 1 vitesse v = 2 cm.s . x = X m cos ( t + :12.4 t = 1s = ) 2 ,. . * #$ / #@ 4 5 2 , = . /)6 = ) 4/ a= x = 4cm 2 4 x ') . v = 2 cm.s 1 . / )! ). 7 2 . , /1 2 # ; 6 7 /2 : x ) / /3 . x = X m cos ( t + ) :13.4 0 ) v=4 Univ-BECHAR 4 x=0 x + t % " 4/ , ) a = 32 4v .( t = 0 " x 2 t v " .v LMD1/SM_ST 71 Mouvements rectilignes Corrigés des exercices 4.8 à 4.13 13.4 8.4 :8.4 /1 X %! & %!' % #$ %! & . /2 t = 1,8s %! & * t = 2.8s () ' 2, 2 s t 2,8s : . t = 1,8s t = 0,8s ! . t = 0,3s , t=2,8s , t=3,2s + & ,' . t = 1,8s & / t = 0,8s :%! & v= ( v m.s1 x t & !0 ) :% 2m.s v = 10, 62m.s . t = 2.8s t = 1,8s % #$ $ ! /3 - . /4 ' /5 + /6 1 0, 2s 1 v = 3, 75m.s 1 v = 5ms 1 v=0 0 !' - t (s) v = 15ms 1 :) 1 t 1,8s , vmoy = 0 1s t 1s t 1,5 = 1, 25ms 1 1, 2 1,5 9 + 2 = = 2, 25ms 1 2 2, 2 s , vmoy = 3s , vmoy :9.4 2v dv dx =A , 2v.a = A.v dt dt . :' ' 8 ! 97 v = at + v0 A.FIZAZI a= A :% 2 ' %3 -!0 -& ' ' !0 . ) 1 2 /1 +' 4 5 %6 ' %6 7 ' /2 v = a t + v + 2a.v0 .t 2 2 2 Univ-BECHAR 2 0 LMD1/SM_ST 72 Mouvements rectilignes 1 v 2 = 2a ( at 2 + v0 t ) + v02 2 v 2 = a (at 2 + 2v0 t ) + v02 x ( 2) v = Ax + B 2 A= (1) 2a.x + v02 a ; B=v02 :: 2 :+ !). ( 2) (1) %! '. 0' ) ' :10.4 ./ > / , OZ : OZ = / 1 2 gt1 ; 2 z1 = . A 9B % .- & ' ; !< A 6 !0 %! 4 4 ?@ ! 4 ; ' ' A .)B z1 = 78, 4m 4 8 .' ! 4 ; / > ; %6 : 1 2 gt2 +v0 t2 ; z2 = 78, 4m 2 / > D9B .' 4 8 ( z = z1 = z2 ) . C + !). :& 97 A z2 = # .' 4 4 / .$ % ) 0 )0 ! 4 :11.4 DB A .; . D0 6 ' / > / , = OZ & > A ; E ' .- & ' ; !< !0 -. v02 = 2 gh v2 .( t = 4, 25s h= v02 2g ; 1 2 gt + v0 .t ; 2 !; > / , )0 . /2 z =37,5m :F > I ; v = gt + v0 ; : ; , h 7,35m 6 )F > ' A ) z= @ /1 /3 - ) v=-29,65ms -1 ( OZ =! % – ; 2J ) :12.4 ! a= 2 4 x+ x 2 4 x = 0 :/ > % . !'! . x = A cos v= A A.FIZAZI 2 sin 2 t+B 2 cos 2 2 t + B sin t : ! 2 !L . !0 t : . Univ-BECHAR 2 % ; $! 7 C 1 0 2 ' !& ! $%6 & ? /1 !L !6 . AM ; ' : LMD1/SM_ST 73 Mouvements rectilignes :%3 !( ' t = 1s , x=4cm , 4=0+Bsin B = 4cm 2 t = 1s , v=-2 cm.s -1 , -2 = A x = 4 cos 2 t + 4sin 2 x = 4 cos t . 2 2 t + sin !" sin 2 x = X m cos ( t + : 2 / x=4 :! t ) . ' (1) 2 2 :/ 2 =4 2 A = 4cm 2 : 7 !'! !0 . ! % ' +' 4 : 2 /, ! x 0 ! + ! 97 -!B /2 !J ) L 2 2 cos t + sin t 2 2 2 2 0' . ' % ! sin 4 = cos 4 2 %6 2 = ' 2 cos t.cos + sin t.sin = 4 2 cos t.cos + sin t.sin 2 4 2 4 2 4 2 4 2 x = 4 2 c os x = 4 2 cos %! !0 / 2 2 t.cos t 4 + sin 2 t.sin 4 ! 2 t 2 t : 2 / 4 2 t = 9A ! 4 D) %! !0' @O %! ! ) : !A x = 4 2102.cos ' %N - 0 ( 2) 1 = X m .cos ( t + 2 X m = 4 2cm rad : 1 2 t 2 ! . ; ' /, (1) %! . 0' ) ' # 9 : ( 2) x = 4 2 cos = 4 2 cos 4 x = 4 2 cos A ?@ % %M 4 %N . : 44 = ) 2 2 rad .s 1 :" /3 . ( m) :13.4 :/ > % !L v + 4v = 32 4 v = Ae 4t + 32 . 75 ; ' %6 & ? a = 32 4v A.FIZAZI Univ-BECHAR : 2 % AM LMD1/SM_ST 74 Mouvements rectilignes t = 0 , v= 4 , 4= Ae0 +8 : !( ' A=-4 : dx = 4e dt 4t +8 dx = ( 4e x=e 4t ! ) + 8 dt ' . x= ( 4e ) + 8 dt ) 2 % B?) B +' 4 0=e 0 +B : ( 2) 4t + 8t 1 (1) %! . %!' v= -4e-4t +8 x=e :+,-./*0 1 ! A.FIZAZI 4 1 8 v ln 4 4 + 8. x = 2 ln 8 v 4 x= 1 x ( 2) % D9 ' x #$% &'()$* : (1) % v 1 8 v t = - ln 4 4 1 8 v ln 4 4 !B B= 1 :678 9: t x=e . %3 =! / / 4t !B + 8t + B 4t : !( ' t = 0 , x=0 A +' 4 (1) : 7 % v= -4e-4t +8 v= ) 2 P 8 v 4 : ( 2) 2 ln 8 v 4 F . 1 1 v +1 4 Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 75 Mouvement dans le plan / C-IV MOUVEMENT DANS LE PLAN . Y /1 : v : M v v .( C ) ! $ : M r j O (21.4) OM = r = xi + yj C ur u % : '( X i . (22.4) OM = r = r.ur :12.4+ , :) ur = i .cos + j .sin :! OM = r = r (i .cos + j .sin ) . = g (t ) r = f (t ) : $ * : r : : $ (23.4) v = r = xi + yj ur - !. *, ! . 12.4 +, : ur = i .cos + j .sin A.FIZAZI j ; Univ-BECHAR : i - !. *, / u = i .sin + j .cos u (24.4) LMD1/SM_ST 76 Mouvement dans le plan : ' , 0 dur d d d = i .sin . + j cos . =u . dt dt dt dt du d = i .cos . dt dt :(25.4) - * v =r =r dur d =u . dt dt d d = ur j .sin . dt dt du d = ur dt dt * dur dr + ur dt dt . v= dr d ur + r u dt dt : vr v = r.ur + r. .u v = vr + v . v vr = r.ur v = r. .u - . 1 0 (26.4) v = r.ur + r. .u 3 (25.4) . 2 v = r 2 + ( r. ) 2 : +* $ a = v = r = xi + yj : (26.4) - * % , : . :(25.4) - * du dur + r .ur + r. . + r. .u + r. .u dt dt d d a = r.(u . ) + r .ur + r. .( ur ) + r. .u + r. .u dt dt a = v = r. 7 7 *, 8' - * +9 $ + * - * 4 56 : a = r.u . + r .ur + r. .( ur ) + r. .u + r. .u a = (r r. 2 ).ur + (2r. + r. ).u ar :a A.FIZAZI (27.4) a . ar 3 7 ' 6 : a = ar + a (28.4) Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 77 Mouvement dans le plan :!'( ; , a = (r (29.4) r. 2 ) 2 + (2r. + r. ) 2 : : ! 7 *, <( = r = R = C te (mouvement circulaire) :. v=R u (30.4) :7 7 *, - . a = R. 2 ..ur + R. .u ;>? 56 : : 7 ; 2 (accélération normale)" # $ A ,B = a 4? @ . $ a N = ar = R 2u r !( @ ; ar = a N = R 2 . % (32.4) " A . ,B M a = aT = R (mouvement circulaire uniforme) . te 6 : 2 (accélération tangentielle) a = aT = R u <( = r = R = C (31.4) . (33.4) : # -, ! : 6 8 !( :. v=R =R - +:D $ + a = ar = aN = R :(Frenet) = MT 2 * +, A.FIZAZI MN ! .( rad .s 1 ) 2 ( )*+ "( + , 5* = v . 6 : .! =R 2 v2 = R (34.4) $ . . aN = R * ' * = 7 *, + . MN MT Univ-BECHAR . C * ) ' $ : '( 7 2 .ur # C M %( - (35.4) /2 1 D @ '& (C ) !( . MT !. *, u N :0 . uT . LMD1/SM_ST 78 Mouvement dans le plan v = v.uT (36.4) a = aT + aN :0 ( 7 : <( ! a = aT .uT + aN .u N (37.4) N aN a (C ) uN uT M ( 5 * !( 7 aT v . T :13.4 + , : <( % dv dt v2 aN = R aT = v2 a = v.uT + .u N R ( 5 * !( 7 . v2 a= v + R * 2 2 ! (37.4) * ! (36.4) . :8G HI8JA4 K2@L 1M NOPQRA4 S7 189:; <=>?@A4 B2CDEF4 8G ds 123 456 r = uT .ds (38.4) :8.4$ : * 2 .cos 2 ) v=k : 0 .. A.FIZAZI 4 7 *, 2 * =a v Univ-BECHAR . v * -, I J . v 6 a ) .k > 0 0 LMD1/SM_ST 79 Mouvement dans le plan v = .u + .(!! C 6J / ) K v =v +v : .u K ( r 6 / : cos 2 ( / 2) = a = :v v = d d d = . dt d dt 5 . . +9 2 +v 2 3: v2 = k 2 . 2 3: - .%, a.cos( / 2).sin( / 2) . cos 4 ( / 2) :!'( v = . v2 = v * a cos 2 ( / 2) 6 v = C * :$ ' = k 2. 0? = * '? : <( . L * 0 a2 cos 4 ( / 2) :; . a2 a 2 .sin 2 ( / 2) k . 4 = . cos ( / 2) cos6 ( / 2) 2 2 a2 + . cos 4 ( / 2) 2 :0 +9 v = sin 2 ( / 2) k = +1 . cos 2 ( / 2) 2 = k 2 .cos 2 ( / 2) v a.k .sin( / 2) cos2 ( / 2) v = A.FIZAZI 2 ! v . !( ( 2 = k .cos( / 2) : ; ' I * v = v.sin( / 2) a.k cos( / 2) Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 80 Mouvement dans le plan ** EXERCICES Exercice 4.14 Une particule se déplace dans un plan XY selon la :14.4 XY loi : vx = 4t + 4t et v y = 4t . 3 Si le mobile se trouvait au point (1, 2 ) . v y = 4t à l’instant (1, 2 ) !t = 0 t = 0 , trouver l’équation de la trajectoire en . " coordonnées cartésiennes. Exercice 4.15 Une particule se déplace dans un plan loi : vx = 4 t = 0 on ait x = 0 ! y = 3 ! ! v = 0 y XY ) . a y = 3cos t ( 1/ l’équation de la trajectoire, quelle est son allure ? t= 4 ,( #- s. .t = Exercice 4.16 Soit le mouvement défini par sa trajectoire y = 3( x + 2) y = 3 ( x + 2 ) et son équation horaire s ( t ) = 2t 2 . Sachant que que x = 2 et y = 0 quand s ( 0 ) = 0 et s croit avec la croissance de y : 1/ trouver les équations paramétriques y ( t ) du mouvement, x ( t ) et 2/ déterminer l’accélération normale et l’accélération tangentielle du mouvement. x= 2 :y xOy d'origine O et de base ( i , j ). Les coordonnées x et y d'un point M mobile dans le plan ( O, i , j ) t=0 : /1 ! s 4 . /2 ) ' :16.4 # ). s ( t ) = 2t 2 " / " s x (t ) .# 2 # ! s ( 0) = 0 # 0 ' y=0 /1 !# /2 2 :17.4 4 3 . y = 4t 4t x = 2t :1 ' ' ,( #! /1 ! ) 5 /2 !$' % () / ' /3 2 '# /4 !$ .7 8 . 9: ; /5 2 2 Exercice 4.18 Le plan est rapporté à un repère orthonormé " 1 y (t ) Exercice 4.17 On donne les équations paramétriques de la trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un référentiel : x = 2t et y = 4t 4t 1/ Déterminer l'équation de la trajectoire, Quelle est son allure ? 2/Calculer la vitesse du mobile, 3/Montrer que son accélération est constante, 4/Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet. 5/En déduire le rayon de courbure. &' ax = 4sin t vx = 4 ! y = 3 ! x = 0 v y = 0 ! trouver : 2/ la valeur de la vitesse à l’instant # $ % :15.4 XY selon la ax = 4sin t et a y = 3cos t . Sachant que pour vx = 4t 3 + 4t 6 :18.4 xOy 6789:; < =;8>:; ?@>; ABC DE:FGBH IFJK y < x S8:TUH=VWH XTY:P . ( i , j ) OP=Q8R < O LM=N; varient avec le temps suivant la loi: A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 81 Mouvement dans le plan x = 2 cos d;eBH f; ( O, i , j ) DE:FGBH `a ]bXc:; M ]^_JB t t et y = 2sin . 2 2 1/ Déterminer la nature de la trajectoire, 2/ Déterminer les composantes du vecteur vitesse v , ds , ainsi dt que celle de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant t , en prenant comme condition initiale s = 0 quand t = 0 , 3/ Déterminer l'expression de la vitesse 4/ Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet, 5/ En déduire le rayon de courbure de la trajectoire. 6/ La trajectoire reste la même, mais maintenant le point M subit une accélération angulaire d2 = dt 2 = 0, 2t . A quelle date le point M 1 atteindra-t-il une vitesse de 10ms , sachant qu'il est parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcourue ? t t < x = 2 cos : SE78_BH IFV 2 2 .g8FGBH ]>TNh i=V /1 l v ]QXFBH j8>k `:NbX; i=V /2 ds s ]TUH=VWH mg8NQ Hnb < ]QXFBH mg8NQ i=V /3 dt `pH=:qWH rXsBH ntuq l t ]oc@BH `a M ]^_JB ]TJcJGBH l t = 0 8GB s = 0 ?@>; `a jg8F:@B ]TGv8JBH < ]Tw8GGBH dT:NbXGBH i=V /4 lxJKXa .y8Jc7zH X^R {|7 }:J:wC /5 jg8F:q M ]^_JBH XUu:P dTV `a OB8V A@Q •8q g8FGBH /6 d2 M ]^_JBH ‚@NP ]ocB €M `a . = = 0, 2t €<H• dt 2 `… 8; .SEƒFBH d; x_@^7H 8„7M 8G@Q l 10ms 1 ]QXw †8„:>^R `:BH ]a8FGBH . y = 2sin Exercice 4.19 Une particule soumise à des champs électriques et magnétiques complexes est en mouvement dans un référentiel galiléen. Les équations horaires sont, en :19.4 m=_>; ]TFTh8JY; < ]Tp8qX„b ‹E_cB ]>Œ8t ]GTF• Ž_:JP ]TN^_BH •8TUH=VW8q S8:TJ;eBH S8:Bi8>GBH .`@T@• f•X; `a t t t t b b .S8N•E; S8:q8U b < 0 l = < r = r0 e 8G… coordonnées polaires : r = r0 e et = , 0 et b b l]bXc@B ]QXFBH j8>k IFVM /1 b sont des constantes positives. 1/ Calculer le vecteur vitesse de la particule, †]K<HeBH Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( v , u ) ]K<HeBH SM d‘Tq /2 2/ Montrer que l’angle ( v , u ) est constant. Que l]bXc@B jg8F:BH j8>k IFVM /3 vaut cet angle ? Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( a , uN ) ]K<HeBH SM d‘Tq /4 3/ Calculer le vecteur accélération de la particule, l(2‹H’FB8q dT>:F7)†]K<HeBH 4/ Montrer que l’angle ( a , u N ) est constant. Que .g8FGBH y8Jc7H X^R {|7 IFVM /5 vaut cet angle ? (On se servira de la question2), 5/ Calculer le rayon de courbure de la trajectoire. uT u M u uN O Exercice 4.20 Un bras OA tournant avec une vitesse A.FIZAZI x autour Univ-BECHAR '% " ) ' :20.4 OA LMD1/SM_ST 82 Mouvement dans le plan d’un axe O , est articulé en A avec une tige AB . La tige AB est solidaire d’un curseur B pouvant coulisser le long de l’axe Ox . le bras et la tige peuvent se croiser lorsque la tige passe par derrière . AB 5 =. 1 A ) :< ' - !O ' . .8" ' B ) :< AB 5 = OA ' = # . Ox 3 ) 8" > :< 9 ? .8" AB l’articulation en O . Sachant que AB = L : OA = R AB = L # . O et OA = R : A ) B # " /1 1/ trouver l’équation horaire du mouvement de B , ! t = 0 " ) A0 sachant que B passe en A0 au temps t = 0 , ,) 6 $ 4 /2 2/ à quel instants la vitesse s’annule-t-elle ? Y A L R t O Exercice 4.21 Dans le plan ( XOY ) d’un repère X ( O, i , j , k ) , un P se déplace sur un cercle de rayon R et de centre I ( R, 0, 0 ) . point A l’instant t = 0 , B A0 ( ! O, i , j , k . I ( R, 0, 0 ) /"# possède la vitesse positive v0 ( 0, v0 , 0 ) . On désigne par et les coordonnées polaires de P . 1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son équation cartésienne. repère ; ( ur , u ) ( O, u , u , k ) . r 3/ Soit s l’abscisse curviligne de P (l’origine est en A). • Donner l’expression de s en fonction de . • Représenter sur la figure la base intrinsèque (u T, u N ) de P . • Calculer en fonction de et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes de v0 et a dans cette base. • Calculer les composantes polaires de . P B (u " ' ' ' uT et de u N . 4/ On désigne par la vitesse angulaire de P , dont on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante. A.FIZAZI T, uN ) ' Univ-BECHAR ) 5 # & 3 " # /1 . # @) #- 3 ) C% /2 0 8' 5 v ) ) - $ % ( . O, u r , u , k . uN '# - F/ . ) )6 :< # /3 ! 8 ' s @ ') ) • @) #- 3 ) C% • 0 .6 / uT ' !P B Retrouver dans ces conditions les composantes polaires de v0 et a . lt = 0 ' ) PB s :( A . 9: @ A 3 ) P P . P B ( ur , u ) ' " ' ' de P . Calculer en fonction de et de ses dérivées P B a 2 successives par rapport au temps les composantes polaires des vecteurs vitesse v et a de P dans le 2/ Représenter sur la figure la base polaire ( XOY ) 6 . v0 ( 0, v0 , 0 ) ' B' P B ' $ % !@ A ' . 0 ) R / A ( 2 R, 0, 0 ) P se trouve en A ( 2 R, 0, 0 ) et :21.4 8' 5 • a v0 $ % '# 5 • • . a v0 B " ) B' " /4 . ' % 1' # / ' 6% ') ! t 8 ' ) • a v ') ; • LMD1/SM_ST 83 Mouvement dans le plan • Donner en fonction de t , les expressions de puis de . • En déduire les expressions de v et a en fonction de t de .$ @ ). v0 et a dans les bases polaire et de Frenet. A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 84 Mouvement dans le plan 21.4 Corrigés des exercices 4.14 à 21.4 14.4 :14.4 : ( 4t vx = 4t 3 + 4t , x = 3 ) + 4t dt v y = 4t , y= 4t.dt t = 0 , x=1 , y=2: Cx = 1 , C y = 2 : Cy x = t 4 + 2t 2 + C x y=2t 2 + C y !" Cx x = t 4 + 2t 2 + 1 , y=2t 2 + 2 : # : $ ( ) x = t2 +1 2 ( ) , y=2 t 2 + 1 " %& ' y=2 x :15.4 /1 : ax = 4sin t vx = 4 cos t + v0 x , x = 4sin t + v0 x .t + C x a y = 3cos t v y = 3sin t + v0 y , y = 3sin t + v0 y .t + C y : Cy t = 0 , x=0 , y=-3 , vx =4 C x * v0 y * v0 x ) !" v0x = 0 , v0y = 0 , C x = 0 , C y = 0 , v y =0 : # vx = 4cos t , v y = 3sin t x = 4sin t , y = -3cos t : $ x = 4sin t, y=-3cost " %& ' y 2 x2 + =1 9 16 . v = vx2 + v y2 A.FIZAZI v = 16sin 2 4 + 9 cos 2 4 v = 3,53ms Univ-BECHAR 1 :t = 4 s + " & " /2 LMD1/SM_ST 85 Mouvement dans le plan :16.4 v= ds : $ dt & -" . s ( t ) = 2t 2 " $ y 1 x 2 , /$ . v = # ds = 4t : dt " ./$ -" : x = t 2 + t + x0 vx = 2 t + y = t + t + y0 vy = 2 t + 2 ( v2 = 4 t + 2 2 2 +4 .t ) + ( 4 2 t 2 + : ( v2 = 4 2 +4 2 )t + (4 +4 2 )t + ' 2 + 4 .t 3 45 + 2 ) + 2 v 2 = 4t 2 : $2 6 )/ ) (4 +4 2 (4 x0 = 2 )t 2 = 4t 2 )t = 0 = 0 ( 3) +4 2 . y0 = 0 2 76 + 2 2 (1) ( 2) 18 " * = ( 3) =0 : 8 " : $ x= t y = ( x + 2) = 3 ( 2+2 t2 ) y = 3 t2 = t2 2 2 , y= t : . (5) : y = 3 t2 =3 /# ( 4) 2 " ( 5) < 4 +4 2 2 =4 & x 9: ( 4) (1) ; " : /# =3 4 : ( 4) 2 +4 2 &9 =4 * x= =± 2 2 t 5 2 , 5 2 = ±3 /2 > # 2 , y=3 2 5 y = s 1 2 2 t 5 :17.4 t= 1 x 2 y = x2 2x : y & ?/ : " . A.FIZAZI Univ-BECHAR /1 " LMD1/SM_ST 86 Mouvement dans le plan : vx = 2 v y = 8t " v = vx2 + v y2 4 =A (8t v= : dvx =0 dt dv y =8 ay = dt dv dt a = 8ms ( 8t 1 :@ " /2 :@ B " /3 " B " /4 ) C = C te 2 " B 8 ( 8t 4 ) aT = ( 2 " B : aT = C 4 ) + 4 ms " ax = B " ( ms ) 2 4) + 4 2 :; " aN2 = a 2 aN = aT2 16 ( 8t + ( ms ) 2 4) + 4 2 :D aN = 2 v r , r= 2 v aN (8t r= B " 4) + 4 2 16 <? /5 3 ( m) :18.4 * ? #$ & O E 2 E ! " $ @: @/ * < =: " " . x2 + y 2 = 4 : vx = sin t t , v y = cos ; v 2 = vx2 + v y2 2 2 : ) .R = 2 " B /2 " ds = 1ms -1 dt ds " v= dt /3 v =t +C s=t : $ C = 0 %& s = 0 * t = 0 :B " A.FIZAZI /1 v2 = 1 , v = , s = v.dt ?/ Univ-BECHAR " & 1 " C /4 LMD1/SM_ST 87 Mouvement dans le plan 1 t 1 t ; a 2 =a x2 + a y2 = 0, 25ms 2 cos ; a y = sin 2 2 2 2 dv aT = = 0 , aN = a 2 aT2 aN = 0,5ms 2 :) dt ax = v2 R= aN = d = 0, 2t : dt " C " v = R = 0,1Rt 2 10 = 0, 2t 2 &" -" = /5 B " /6 ; " ; " %& ' C = 0 %& * s = 0 * t = 0 & 1 v = 0, 2t 2 : 4 t = 7,1s : + : < & <? = 0,1t 2 + C : $ = 0,1t 2 :; " : R = 2m :D " = 0, 2t.dt &3 & 10ms & " 0,1 3 0,1 3 t , s=R = .2. ( 7,1) 3 3 " F " s G " H " 2 23, 9m :19.4 :@: r = r.ur = v= "B r0 bt e .ur ; b dr = r.ur + r.ur dt = t b v= -" & ur = .u ; ) u = ; t r0 bt r e .ur + 0 .e b .u b b : v .u = v.u .cos r0 e b t b ( ur + u = cos -" /2 ) 4 J " (v, u ) = " D 2 I /1 .ur v= ; <6 ? 4 v .u v.u : E v 9 v t b r0 e ( ur + u ) .u v .u b cos = = v.u r0 bt e .u b ur .u = 0 ; u .u = 1 , u = 1 cos .( :(L & E ( a= r r 2 $ ) 3 ( ur + 2 r + r ) ) (v, u ) = ) E2 LM E u " u a= a= A.FIZAZI 1 =1 u = " B r0 e b2 t b r 2 02 e b t b Univ-BECHAR r0 e b2 C t b ur + = 0 ; v // u v 1 K B " B 2 r0 e b2 -" t b 2 /3 u u LMD1/SM_ST 88 Mouvement dans le plan : 4 J " ( a , uN ) = " D 2 I a.u N = a.u N .cos a.u N a.u N = cos : E cos %& ' * v = v.uT 1 = r0 bt e .u .u N u .u N b = t uN r 2 0 e b .u N b ;1 E2 LM E u 2 a.u N = a.u N * ( v = v.u ) /4 -" : a 9 a (1) 1 ( 2) v P" !" : & uT 1 u u = u .uT =0 cos = 2 u uT .u N : (1) uN = cos rad a & u G 9: %& uT .u N = 0 uN 1 :20.4 :; " $ B 2 ( AB = OB OA AB 2 = OB 2 + OA2 2.OA.OB.cos t L2 = x 2 + R 2 2 Rx cos t M ( L2 = x 2 + R 2 sin 2 t + cos 2 t ( L2 = ( x R cos t ) + R 2 sin 2 t 2 Y ) + x = R cos t + L2 ) 2 Rx cos t R 2 sin 2 t ) 1/ 2 A L R t B A0 O X .t = 0 : dx = R v= dt + 6 /1 1 2 sin t + R sin 2 t ( 2 L2 R 2 sin 2 t ) 1/ 2 x= R+L : 1 C : " )+ : " 3 : A.FIZAZI Univ-BECHAR /2 1 -" " LMD1/SM_ST 89 Mouvement dans le plan v= R sin t + sin t + R sin 2 t ( 2 2 L R sin 2 t ( 2 2 L 2 R sin 2 t 2 ) 1/ 2 R sin t =0 ) 1/ 2 =0 .t = k . t=k :21.4 IP = OP OI R2 = R2 + r 2 Y uT u P y r =2 O I r 2 = 2 R.r.cos u s uN R + 6 /1 : 1 2 R.r.cos x r = 2 R.cos A0 X : $3 /# r = 2 R cos r 2 = x2 + y2 x cos = R x2 + y 2 x2 + y 2 = 2R :=A B 2 R.x = 0 :3 x R 3 C . B " P " ) 3 /2 -" r = OP = r.u : A.FIZAZI " B Univ-BECHAR 3 " 5 C LMD1/SM_ST 90 Mouvement dans le plan dr = r.ur + r u dt r = 2 R cos v= v = 2 R .sin .ur + 2 R .cos .u r = 2 R sin v = 2R ( sin .ur + cos .u :B " B dv = r dt r = 2 R cos ( a= r 2 ) .u + ( 2r r r = 2 R sin r = 2R ( sin + 2 cos " C )u +r ) ( L +1. (1) 3 )u a = 2 R 2 2 .cos + .sin * 3 : ) LM r + 2R ( .cos 2 1 :3 I4 Q 45 ? A ; " E"1 = 2 sin )u ( 2) /3 • : s 3 " $ 4 $ >/ & E"1 = $ # s = AP = R. = 2 R =2 . P R (u T, ( 3) : v = v.uT = 2 R .uT uN ) • / 3 • " B a = aN + aT v2 u N = 4 R 2u N R dv aT = uT = 2 R uT dt aN = 3 M a = 4R 3 u N = cos .ur 2 u N + 2 R uT aN ( 4 ) :B " • " aT & B " " 2 : ) , :8 " ( 4) ( 3) 2, / 3 sin .u uT = sin .ur + cos .u : ( 2) A.FIZAZI (1) " Univ-BECHAR &9 LMD1/SM_ST 91 Mouvement dans le plan v = v.uT = 2 R . ( sin .ur + cos .u ) = (1) : ( a = 2 R 2. 2 .cos + sin ) .u r + 2R ( cos 8 & 3 45 2 . =2 = t = t 2 : $ t 3 64 P 2 sin ? 4 = & 9 1 2 = ( 2) 1 G < " 2 :B " a= 2R 2 .cos A.FIZAZI 2 .u N : % & ' 1 • ( 3) , ( 2 ) , (1) (% t t .ur + cos .u 2 2 2 t .ur R 2 .sin ( 4 ) , ( 3) & 9 a=R 3 " ( 4) ( 2 ) , (1) & 9 sin • t : E& : E v=R " /4 ) r = 2 R cos ) ) .u ./$ + :(' 2 t u ) ) ' (% v = R .uT Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 92 Mouvement dans l’espace /D-IV # MOUVEMENT DANS L’ESPACE !" . # (étude du mouvement en coordonnées cylindriques) $ % # $ /1 : (14.4 ( ) : M Z z z z uz M O X m XOY u (t ) OM u Y m (t ) z (t ) (u , u , u z ) (i , j , k ) u = cos .i + sin . j u = sin .i + cos . j uz = k OM = Om + mM = .u + z.u z (40.4) OM = i . .cos + j . .sin + k .z (41.4) .(6.3) * ds 2 = d # $ 45 ;2 /< A.FIZAZI 6 0 7 , + , :* 2 + 2 * -". / ! 2 1 d 2 + dz 2 (42.4) : 8 ( 9 ( : + = 5 / 1> . 4 Univ-BECHAR 0 $ . % LMD1/SM_ST 93 Mouvement dans l’espace 7 uz = k / 6 " =5 # u @ . 7 /? . ./ r = .u + z.u z : v=r= du du dt dt (v ) ( vr ) + a= 5 ( * :# 2 + / 0 A $ 5 *( (44.4) 9 (A : + 5 +2 du du dv = .u + . + . .u + . .u + . . + z.u z dt dt dt a=( 1+5 2 . 2 (25.4) * a=( (31.4) / ).u + ( . + 2. . ) u + z.u z : A.FIZAZI 5 + ( . )2 + z 2 1+5 2 : ,B * 8 (43.4) % # v= dz dt .u + z.u z :* :8 dt + uz (25.4) v = .u + . ( vz ) du dr d =u + dt dt 2 . * ).u + (45.4) ( 1+5 * 1 d ( dt 2 B0 Univ-BECHAR = / . ) u + z.u z (46.4) = R = C te z=0 / . 0 , "> LMD1/SM_ST 94 Mouvement dans l’espace . ( az ) (a ) ( ar ) (étude du mouvement en coordonnées sphériques): :# 8 + / 0 A /2 (15.4 ( ) :D ; 6 7 /< : 0 ". r (t ) OM OM = r = r.ur (t ) (47.4) (t ) : (i , j , k ) (ur , u , u ) * 5 ( / 17.4 # D 18.4 E" ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k u = sin .i + cos . j u = cos .cos .i + cos .sin . j sin .k r u u u :* 1 ! 2 $ (48.4) ds 2 = dr 2 + (r sin .d ) 2 + (rd ) 2 = (OX , Om) / 0 A : B A > ; . ". = 5 F G 7@ v = r = r.u r + r.u :7 :1+5 2 A.FIZAZI 0 @ D A/ 1+5 = (OZ , OM ) 8 ( * 5 9( : * @ * :0 : u 8 ( 9 ( Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 95 Mouvement dans l’espace ur = i.cos cos + j cos sin + sin k sin i.sin + j cos u u ur = .u + sin .u :5 8 ( B * :/ ! 1> 2 H v = r.ur + r .u + (r sin ) .u :5 v = vr + v + v / + : 1> M 2 8 ( v= 7 / . (t ) 5 # 1+@ dr d d ur + r u + r sin u dt dt dt ( I 8 ( * ( (t ) 8 ( * r (t ) # (49.4) * 5 (ur , u , u ) #A + v @ vr v .5 :8 * 5 1> 2 a= 9 (A dv d = r.ur + (r sin ) .u + r .u dt dt a = a2r + a2 + a2 a = ar + a + a :@ -". / : J / a = (r ! r. 2 ( r. + 2r . 5 r. r. 2 8 (9 ( @ + .sin 2 ).ur + 2 .sin .cos ).u + (50.4) ( r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos )u A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 96 Mouvement dans l’espace @ : 1> 2 (t ) .a 8 ( (t ) #A r (t ) 8 8 ( 6" # + a . ar a :9.4 " 7 8 ( % # a, b, c / +5 OM = a.u + bt.k ; $ =ct ./ . OZ + M * ( dOM d =v = au + btk dt dt du dt + bk :K OM A 8 8 ( 9( :" /1 5 v ) v = a. u + bk = ct 2 = 2ct v = 2actu + bk v = 4 a 2 c 2t 2 + b 2 : 5 :5 = dv d = (2act.u + bk ) dt dt = 2ac t. .u + u . @ # /1 /2 5 D ;2 $ :7 v =a 2 = 2ac = 2ac d (t.u ) dt 8 (*( 8 ( 9( 8 = 2ac t. t.2ct.u + u du + u .1 dt 2ct 2 .u + u = 2ac :8 8 (*( = 2ac 4c 2t 4 + 1 :(rayon de courbure) (= = 2 = ct 2 : A.FIZAZI $ D ;2 t= c = .(!!! " $ 2 c ) : 0 8 " % Univ-BECHAR $ /2 D ;2 : + / &' ( ) * * H : ! ) LMD1/SM_ST 97 Mouvement dans l’espace R= v2 ; N 2 = 2 T ; N T dv 4 a 2 c 2t = = dt 4 a 2 c 2t 2 + b 2 R(t ) = v 2 N R A.FIZAZI 2 c dv = !!!!! dt ( 4a c t 2 2 2 = +b N 2 ) 3 = ( 2ac(128a 2c 3 ( ) 3 1 2 2 + b 2 1 + 16 Univ-BECHAR a 2c 2t 2 + b 2 2 2ac(16a 2c 4t 6 + 4c 2b 2t 4 + b 2 ) 8 a 2ct 2 + b 2 = 2ac 16a 2c + b 2 2 ) ) 1 2 LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 98 ** EXERCICES Exercice 4.22 On donne les équations du mouvement d’un point ( M dans un repère O, i , j , k :22.4 M ): 1 3 x = bt 2 , y = ct , z = bt 2 2 2 Où b, c sont des constantes positives. 1/ Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs modules. 2/ Quelle est l’équation de la trajectoire du point m qui représente la projection verticale du point mobile M sur le plan XOY . ( : O, i , j , k 1 2 3 bt , y = ct , z = bt 2 2 2 . c, b . ! " # $ # % /1 # ' m # & /2 . XOY ) # $ M ( x= Exercice 4.23 Soit la trajectoire définie par : :* +, r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 ) 1/ Trouver le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire. 2/ Si est le vecteur position d’un point se déplaçant sur C au temps t , vérifier que dans ce cas x = R cos ; y = R sin , z=h R est le rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice, h est une constante et l’angle que fait avec OX la projection OM ' de OM sur XOY . 1/ Donner en coordonnées cylindriques les expressions de la vitesse et de l’accélération. 2/ Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan XOY un angle constant. 3/ Montrer que le mouvement de rotation est uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe du cylindre et est parallèle au plan XOY . Calculer le rayon de courbure. . # $ 4/& # 12 % 5 T . " " - & 6 t 3 % /1 /0 /2 C # . v = v.T :24.4 1 OZ ' 8 7 # # : & 7 9 x = R cos ; y = R sin , z = h # #: ; +< ' R ! < 7 h 6 7 ! $ . XOY $ OM * OM ' # OX $ # $ #: = $0 /1 ." # 1 7 1 < $ # " - % , /2 . XOY ) # " - % 6 3 % , /3 ) # (7 #: , " # .> ; +< ?# % . XOY Exercice 4.25 Un mobile se déplace dans l’espace suivant la loi : x = R cos t ; y = R sin t , z = t Où , , R sont des constantes positives. 1/ Soit m la projection de M dans le plan XOY : A.FIZAZI :23.4 C # r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 ) v = v.T . Exercice 4.24 Un point M décrit une hélice circulaire d’axe OZ . Ses équations horaires sont : ) Univ-BECHAR :25.4 : 5 > 2@ A, ' x = R cos t ; y = R sin t , z = t . , , R 9:; LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 99 a/ Quelle est la nature de la trajectoire de m dans le plan XOY ? b/ Quelle est la nature du mouvement de m suivant l’axe OZ ? c/ En déduire la nature de la trajectoire du mobile M . 2/ dans le système des coordonnés cylindriques : OM et représenter la base ( u , u , u z ) en un point M de : XOY ) # M B XOY m B OZ 5 m .M A # : #: 'E OM 12 " .> 2@ M .$ a/ écrire l’expression du vecteur position l’espace. b/ trouver la vitesse et l’accélération de M , ainsi que leurs modules. Déterminer leurs directions puis les représenter en un point de l’espace. d/ en déduire le rayon de courbure. Exercice 4.26 1/ A partir des expressions des vecteurs unitaires de la base (u , u ) ,u r en coordonnées cartésienne, 6M * " # $ # .> 2@ $ ! . ! .> (u , u ,u r 2/ Montrer ( ur , u , u ) ( a= r r ( +(r que .ur + cos .u l’accélération ) dans + r + 2r r 2 sin 2 r 2 )u r la base sin + 2r .sin + 2r r ) , un point ,u )u )u d’une sphère de rayon R . Ses deux coordonnées sphériques sont: ( ) 6 rad , ( +(r + cos = t2 , (u , u r & (u , u r ,u 2 r 2 )u r /2 % & + )u sin .cos sin + 2r .sin + 2r + cos )u :27.4 ) = H # ( = " # sin 2 r ) .ur + cos .u ) .$ ) 6 = OZ , OM = 12 4/! ,u ) , b/ calculer les modules de la vitesse et de l’accélération, d/ en déduire l’accélération normale. 2/ Partant cette fois de l’expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes : a/ trouver la vitesse et l’accélération dans la A.FIZAZI 2 ; +< . Avec constante positive. 1/ Partant de l’expression du vecteur position en coordonnées sphériques : a/ trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile dans la base r ,u + r + 2r M se déplace sur la surface = OZ , OM = r ( Exercice 4.27 Dans le système des coordonnées sphériques (u , u (u , u :? a= r + sin .cos ( sin u = s’écrit : 2 ) =>?@ABC =>;CD EFGH ICJ@K? LM @NOPQC /1 ur = .u + .sin .u ur = .u + .sin .u ( sin ; +< D #0 /C ;F E G 6 ERS:TJ@UBC I@:VC>;W@X u = .ur + .cos .u : .ur + .cos .u u = % /? ! ! , :26.4 s’assurer des expressions suivantes : u = # m /1 # & / " & /? $ D #0 /C = /2 . $ ? % / $ (u , u , uz ) $ M : & 6 & A 0 .R = t2 rad , .? " - . $ 1 ;F /1 : $ # % / 6 ( ur , u , u ) . $ " # 6" # 12 $ # ?# % /? . 3 " # D #0 /C " - . $ . 4/& ;F /2 : I= (i , j, k ) . $ Univ-BECHAR " # $ # %/ LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace base 100 ( i , j , k ) puis calculer de nouveau leurs modules D8 et vérifier qu’ils coïncident avec les résultats de la question 1/b, 3/ a/ Quelle est la trajectoire du point M ? la représenter qualitativement, b/ Quelle est la nature du mouvement du point M ? A.FIZAZI Univ-BECHAR 1 ! . @ G # ' BM BM ! ?# 6?/1 ' J# # & / /3 /? LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 101 Corrigés des exercices 4.22 à 4.27 27.4 22.4 :22.4 /1 : 1 2 3 bt .i + ct. j + bt 2 .k : 2 2 r= : x = vx = bt , y = v y = c , z = vz = 3bt v = bt.i + c. j + 3bt.k v = 10 ( bt ) + c 2 2 ; : x = ax = b , y = a y = 0 , z = az = 3b . y (t ) a = b.i + 3b.k x (t ) " " x= a = 2b ; " ! 1 2 bt 2 t= " #$ /2 ! :m 2x 2x , y=c b b :23.4 (v = v= d dt & /1 ' dr = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k : & dt v = 36 + 64 v = 10m.s 2 :) :v * " C ' v 3 3 4 sin 2t.i + cos 2t. j + .k = v 5 5 5 d v= /. t - '. M dt *" T +! T= dr = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k dt 3 3 4 sin 2t.i + cos 2t. j + .k v = 10 5 5 5 v= v = 10.uT = 10T $, /2 & v = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k v = v.T :24.4 OM = r = .u + z.u z : " " v= A.FIZAZI 0 1 "2 ! 3 dOM = .u + .u + z.u z : dt Univ-BECHAR 45 /1 6 LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 102 =R =0 u = u v = R u + h uz z=h d 2 OM = v = R. .u + R. .u + h. .u z : dt 2 a= =0 u = 8 9: & a = R. 2 .u + R. .u + h. .u z .u " ' OXY ) " ( OXY 7 ) " u /2 8 " ' " ) OXY ) , . 3 ( . u uz /. *" u v Z v uz =R z u vz uz M u r M y O x Y M' u X )= vz h = v R . a = R. 2 .u ' " u . 0 . OXY 7 = tg ( v , u 7 r= a=R . 2 2 2 + h2 . 2 tg ( v , u = Cte : " *< 4 !< =" ) *4 v2 v2 = aN a v2 = R2 . A.FIZAZI uv r= R2 2 + h2 R 2 Univ-BECHAR )= h = Cte R 4 ' " $& ( " ! /3 ) )4 u ; ) a > !" $8. u ; ) a 4 ( OXY : $, ( ) 4 & 2 , r= R2 + h2 , R LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 103 :25.4 #$ ?$8 + @ ! XOY '. m ! . XOY 7 '. x + y = R : y (t ) x (t ) " " .R & " 4 :" z = .t " )4 " A " :" 2 ." A .' - 2 r = OM = .u + z.u z v = r = .u + .u + z.u z v = R .u + b.u z u = .u = R .u a = R .u u = a= R .u = R .u /. * E 4 2 .u z , v = R2 , a=R 2 + b2 2 8 "' " vz b = v R = .) @ ! *D )4 ) :F 8. 3 4 /B A# 2 v aN aN2 = a 2 aT2 a =R . 2 2 T 2 aN2 = R 2 . +b (R . 4 2 2 + b2 2 =R u R2 . 2 ( + b2 2 2 ) 1 b2 uz u r X R2 . vz M x r= v uz z O ) v Z A.FIZAZI / /1 m :u tg r= 5 " ! " A# ( 0, 0 ) & / ! ( OZ " & C: /B 0 1 "2 ! 3 D '. /2 / r = OM = R.u + z.u z : :M / 2 uv M y Y M' u Univ-BECHAR LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 104 :'& " " (u , u 1 "2 ! 3 r ) ,u :26.4 +! +! /1 41 ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k u = cos .cos .i + cos .sin . j sin .k u = sin .i + cos . j :u + ur = cos .cos .i ur = .sin .sin .i + cos .sin . j + .sin .cos . j cos .cos .i + cos .sin . j sin .k sin .k sin .i + .cos . j .sin . u u ur = .u + .sin .u :u + u = sin .cos .i u = sin .sin . j + .cos .cos . j .cos .sin .i sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k + .cos . cos .k sin .i + .cos . j ur u u = .ur + .cos .u :u + u = .cos .i u = .sin . j (1) . cos .i + .sin . j .... : cos '. " 2 ( sin '. 0 .u ur .sin = sin 2 .cos .i + sin 2 .sin . j + sin .cos .k u .cos = cos 2 .cos .i + cos 2 .sin . j '& 1 " D" ?$& ,! u ' cos .sin .k ( 2) ( 3) :6 ". " !"!D " ! D ur .sin + u .cos = cos .i + sin . j (1) :9 u = .[sin .ur + cos .u :" u + '. G H ] 1 "2 ! 3 '. + : /2 & + v = r.ur + r. .u + r. .sin .u : I 5 a = r .ur + r.ur + r. .u + r. .u + r. .u + r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin .u : /1 '. +! D a = r .ur + r. .u + .sin .u 8 + r. .u + r. .u + r. . r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin . A.FIZAZI Univ-BECHAR H u , u , ur .ur + .cos .u + .[sin .ur + cos .u ] LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 105 : a= r 2 r. . + "J0 .ur + r. r. 2 .sin 2 .u + .sin .u ! 5- 52 + r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos .u .u + r. + 2r. r. 2 .sin cos .u 27.4 r = OM = r.u : /1 1 "2 ! 3 v = r.ur + r.u : D KE '. r = R = Cte " " / r =0 ur = .u + .sin .u = Cte =0 = t2 =2 t v = R t.u :1 "2 ! 3 L KE v = R t.u a = R .u + R t. ( a = v = R .u + R t.u u = a= .[sin .ur + cos .u ] .R t sin .ur R .u .[sin .ur + cos .u a= R .R t cos .u 2 2 t .ur 3.R ]) t .u + R .u 2 2 v=R t : " " : a= ( R 2 2 t ) +( 2 a=R 3.R 4 ) 2 2 t 2 + (R ) 2 t +1 2 4 :' a =a 2 N 2 / /B 2 T a dv =R dt a2 = R2 2 4 aT = aN = 2 R 2 2 t t +1 2 4 :" " /2 1 "2 ! 3 OM = x.i + y. j + z.k 1 R cos t 2 1 y = R sin sin = R sin t 2 3 z = R cos = R 2 x = R sin cos A.FIZAZI = OM = r = Univ-BECHAR 1 1 R cos t 2 .i + R sin 2 2 2 t. j + 3 R.k 2 LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 106 ( : i , j, k ) +! '. / v = r = R t sin t 2 .i + R t cos t 2 . j a=v = R sin t 2 2R t cos t 2 .i + R cos t 2 2 2 2R 2 2 t sin t 2 . j : v=R t a=R ; 1+ 4 . /1 = " 2 4 t D" " /3 : x2 + y 2 + z 2 = R2 x2 + y2 = 3 z= R 2 4 . 0, 0, 3 R 2 R & 2 & .+ " @! $ A# 1 2 R 4 + @! 5 M + @! *. O * A 2 +! ( ) @ ! $, (1 2 ' 4 $& 6 J 5 " 8. : " /4 .5 "M Z 3 O' R/2 .R 2 O Y R X A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 107 Mouvement relatif B B B /E-IV BBB BB MOUVEMENT RELATIF /1 : : . ! " ! + %' , . )* ' ( ) ' $ % & / 0 1 2 3 ' .! 2 4 %, $ 5 ! 3 6 + 7 7 " 1 .5 : $ + - ) + 89 $ - : 3 : ; / < %" $ .(cycloïde) . ?$ / : $ &/ 0 %' 1 , '@ . 4 $ %, / 0 $ A . OXYZ : $ %, /2 16.4 B A ; .O - %, Z VB B• rB rAB rA O rBA VA VA •A VAB VB Y X :B B B + 1C VA = drA :%' O / 0 dt . rAB = BA = rA rB D + A 7 VAB = drAB dt :: A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 108 Mouvement relatif VAB = :B A B drAB drA = dt dt drB dt + VB = 1C VAB = VA VB (52.4) drB :%' O / 0 dt rBA = AB = rB B + 7 VBA = rA D drBA dt :: drBA drB = dt dt B B VBA = + % + ; drA VBA = VB VA dt A + E VAB = VBA .A B $ - (53.4) B + )+ 8 + : F a AB = dVAB dVA = dt dt aBA = 3 B B 110km.h : 1 %+ %, B B - - )+ .A I dVBA dVB = dt dt A 6 E dVB dt a AB = a A (54.4) aB dVA aBA = aB a A dt a AB = aBA " ' .A B B 6 (55.4) :11.4 C )+ B A ! /1 A B + 6 ; $$ .% ) + 90km.h 1 7H 9 3 %, / . ' %, /5 + 3 & /2 F B I + %' , 7 30° : 6 ; e H + . v AB = v A vB :%' B I 7(L L17.4 ; ) H 9 3 v AB = v A A.FIZAZI vB = 110e 90e v AB = 20e Univ-BECHAR A I F + v AB = 20km.h + / /1 J, K e I$ :% 1 LMD1/SM_ST 109 Mouvement relatif vB vB vBA e vB e vA 30° vA vA : J, (L5L17.4 ; ) H v AB = v A 9 F vB = 110e ( 90e ) v AB = 200e (LML17.4 ; ) 30° ' $ vBA = vB ( vBA = vB2 + v A2 vA ( v AB = 1102 + 902 - ! vBA v = B sin 30° sin sin 54,5km.h 1 + B I %, 5 F : = % vB sin 30° vBA B I . 55,1° 3 %, $ 1/ 2 v AB sin = $ O - - /2 - ) 1/ 2 , v AB = 54,5km.h + 1 ) 90 .0,5 0,82 54,5 ' .! ! $$ :5 = 55,1° + H'& / 0 .% %, : + 5 : . 1 N A I %, 5 % ' F ) * (LML17.4 ; 5 ) 54,5km.h 1 + A I N .180 ( 30° + 55,1° ) = 94,9° )* 1 ,. '2 4 F ) ( /5 v AB = 200km.h 2v AvB cos30° 2.110.90.0,87 F + ( Rr ) ( Ra ) $ /3 ; )* / (repère absolu) : Ra (repère relatif)% :R %, (point matériel) $ - : M .18.4 . . - A.FIZAZI . H H Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 110 Mouvement relatif . z M Z’ (Ra) k' k A Y’ j ' (Rr) i' O i y j X’ x % :% ( Rr ) (Ra) I U - $ :18.4 %, S? H' %, ( Ra ) i ', j ', k ' Ra %, + .: / 0 7 t =t' 9 F 9 .H$ I U8 & + .% 5 / 0 %, T i , j,k " + r = OM dr va = dt dv aa = a dt r ' = AM dr ' vr = dt dv ar = r dt / 0 ./ 0 ; 6 %, " , : ! " % ' 7 F 3 0 < 7 $ ' $ %, 9* 9 ) A ,9 %, H 1 ' ' 7V " : 18.4 : #$ ; / 0 % # (56.4) OM = OA + AM ( x.i + y. j + z.k = ( xA .i + y A . j + z A .k ) + x '.i '+ y '. j '+ z '.k ' OM OA AM : A.FIZAZI Univ-BECHAR ) % # LMD1/SM_ST 111 Mouvement relatif 0 )+ 8 (56.4) I F ; :& + 1 dOM dOA di ' dj ' dk ' dx ' dy ' dz ' = + x' + y' + z' +i ' + j' +k' dt dt dt dt dt dt dt dt dOM dOA di ' dj ' dk ' dx ' dy ' dz ' = + x' + y' + z' +i ' + j' +k' dt dt dt dt dt dt dt dt va & : ( Rr ) ve vr . ( Ra ) ( Rr ) ! * ( Ra ) 9: M ! + : va (vitesse d’entraînement) : ve - + ' + 7 ( Ra ) * T ( Rr ) 9: M & T $ * M + va M % M ( Rr ) - - (vitesse absolue) + - va ve = 0 & + ve = va + : vr ' % . ( Rr ) + vr = va : ( Ra ) %) + + vr = 0 (vitesse relative) * ( Ra ) 9: M ! :%' (57.4) T0T & + 0 (58.4) va = ve + vr . J, ( ve = 0 ) %+ ; < " D + ( Ra ) + 4 (9 %+ ; 6 $ 3 - ( Rr ) ( Ra ) % 7 / ) .M + di ' dj ' dk ' = = =0 dt dt dt ve = Univ-BECHAR 6 ; : " * + 3 .( OM OA ) * %, ( Rr ) ve J, 7 T i ', j ', k ' dOA dt : A.FIZAZI + % # LMD1/SM_ST 112 Mouvement relatif 1 0 )* 8 / T F (57.4) I ; : &+ d 2 OM dva d 2 OA d 2i ' d2 j ' d 2k ' aa = = = + x' 2 + y' 2 + z' 2 dt dt 2 dt 2 dt dt dt d2x' d2 y' d2z' ' ' j k + + dt 2 dt 2 dt 2 ar +2 dx '.di ' dy '.dj ' dz '.dk ' + + dt 2 dt 2 dt 2 aC - 6 + i' . ( Ra ) M . ( Rr ) M - ( Rr ) )* ' 6 6 ' ' (59.4) - (accélération absolue) (accélération relative) ae % 6 : aa 6 (accélération d’entraînement) : ar 6 : ae . ( Ra ) (accélération de Coriolis) ( ' ) % 6 : aC :" .(Gaspard Coriolis 1792-1843) 1832 :( dx ' dy ' dz ' = = =0 dt dt dt : ( Ra ) (I U aC = 0 : ( Rr ) ' M %, ( Rr ) ) ) d 2i ' d 2 j ' d 2 k ' d 2 OA = 2 = 2 = 0 ae = dt 2 dt dt dt 2 di ' dj ' dk ' = = = 0 ac = 0 dt dt dt )# * * aa = ar + ae :12.4 & A.FIZAZI H' 5 " + O . 8ms 1 + 2 50km.h Univ-BECHAR 1 ; ST & W + I % @ M F LMD1/SM_ST 113 Mouvement relatif : ve va v v va ve va = ve + v r vr = va ve 1 50km.h = 13,9ms 1 ve ( vr = va2 + ve2 ) 1/ 2 vr = 16ms tg = vr = va + ; %, A X .A X ve = 1,74 va = 60,1° O ve % $' 60° 30° + E va 20.4ABCDE S 16ms ': $ :5 23,6° ve = va A.FIZAZI ! F 9: $ 5 $$ 7A X + 7A X %? + .%? + : &9$ )* 8 sin vr .sin ve = - ; 8 A X Univ-BECHAR V : va : ve :v $ 1/ 2 1 : - $$ $ 9 F 5 ; sin + + + vr ve = 2,52km.h ve sin 30° ' . ve = va 2 +vr 2 -2va .vr .cos30° = 5 . '5 - I$; 5 va = ve + vr vr sin 1 : N v ) :13.4 (N60°O) 5 < 60° ; H 9 %, & D %' %? %? + 5 .5km/h + + 4km/h ve 1 = 60,1° .V 5 U H ( = 0,4 + $$ = 23,6° 6 ; % ' LMD1/SM_ST 114 Mouvement relatif . O 23.6°S /4 : : : * #+ $ I$+ %, $ %< D ) H $$ $ v = R sin ; )+ F + " $$ H %, N )+ $ + $ H %+ ; V $ +S 6 ; . : 21.4 ; ) + / 0 v = .R 1 R = r.sin : * J, : v= dr = dt v = .r.sin r = O' / 0 - R $ 4 O / 0 $ d .k dt (60.4) :/ 0 5 : / 0 A $ %, ' (22.4) R' Y8 ; %, . Z M Z Z' % # r=r' Y' C O R v= k Y O X A r X $ X' %, :22.4 ; F / . ; M $ - F + $ + J, OXYZ r = x.i + y. j + z.k A.FIZAZI va = Y + 6 ; :21.4 ; ( / 0 - N / 0 O / 0 : " 6 ;I + dx dy dz .i + . j + .k dt dt dt Univ-BECHAR r (61.4) LMD1/SM_ST 115 Mouvement relatif 7*$ O' 3 : " / 9) OX 'Y ' Z ' 6 ;I + ; M - r ' = r = x '.i '+ y '. j '+ z '.k ' I U i ', j ', k ' I$ ; vr = 3 O'/ 0 J, ( O + dx ' dy ' dz ' .i '+ . j '+ .k ' dt dt dt $ )+ ?$ - + . $ i ', j ', k ' di ' dt T F + ;@ & J, N I / ?$ i' ; dj ' = dt . dk ' = dt di ' dj ' dk ' + y '. + z '. = dt dt dt di ' dj ' dk ' x '. = + y '. + z '. dt dt dt x '. x '.i '+ y '. j '+ / 0 T (63.4) $ z '.k ' di ' dj ' dk ' = + y '. + z '. dt dt dt va = vr + r 7 A - + ( 64.4 ) r (63.4) $ Univ-BECHAR %, A (65.4) 0 . A.FIZAZI %, ' ( x '.i '+ y '. j '+ z '.k ') :) + 8 ' I$ k' : x '. O / 0 F + O j' ; (63.4) J, N : $ Y 8 (60.4) $ di ' = dt (62.4) $ OX 'Y ' Z ' 7O / 0 5 : J, : + .( ) J, % : R' dr dx ' dy ' dz ' di ' dj ' dk ' = .i '+ . j '+ .k '+ x '. + y '. + z '. dt dt dt dt dt dt dt / - %- I $ H' %, LMD1/SM_ST 116 Mouvement relatif + T / (t ) = (t ).k ?$ J, F & T . (t ) B I F + @ H F %, : " * . = .k F . / J, / $ C &+ 1 O 5 0 % : )+ 8 6 M ! dv y d va dv dv = i. x + j. + k. z dt dt dt dt O' 5 : % M ! aa = $ 7 OX 'Y ' Z ' + % # : . 3 : ' OXYZ $ : '7 $ dv y ' dvx ' dv ' + j '. + k '. z dt dt dt T " 7 (65.4) I 6 +9 a r = i '. :) + 8 7 aa = d va d v r = + dt dt ; dr dt (66.4) vr = v ' = i '.vx '+ j '.v y '+ k '.vz ' : dv y ' dv ' dv ' d vr di ' d j' dk ' = i '. x + j '. + k '. z + vx ' + vy ' + vz ' : J, dt dt dt dt dt dt dt :) + 8 J, (64.4) $ )+ 8 T dv y ' dv ' dv ' i '. x + j '. + k '. z = v dt dt dt di ' d j' dk ' vx ' + vy ' + vz ' =a :! dt dt dt $ : J, : d vr = ar + dt (67.4) v' :" dr = va = v r + dt $ (68.4) v :D va = A.FIZAZI dr = dt Univ-BECHAR (v r + r ) LMD1/SM_ST 117 Mouvement relatif dr = dt )+ 1- aa = ( vr + %, 8 (69.4) $ M ! &+ 1 . / $ d vr + dt dr dt ( "# r ) (69.4) %, (68.4) (67.4) 0 %- % %, ' 7 O ' O aa = ar + 2 . r ( vr + r $ (70.4) $ / 0 1 - ) (70.4) ) 2 " ( v ) . $ % - (1.4( & ) *+ ./ 6 8 0, 1 & ' " ( " ) " *+ .$ 23 % * 0& *+ ." .+ *+ *# 0& , 4 * "5 ' ( *+ " "67 6 (23.4 N 9 )." N O O E E S S . *+ , # " " *+ ; < : /; < 3 ( =# &> @+ (59.4) ( #? 2/ : 1 3< d 2 OA d 2i ' d2 j ' d 2k ' ae = + x' 2 + y' 2 + z' 2 dt 2 dt dt dt :"# A.FIZAZI Univ-BECHAR OA = r ' # 5 # LMD1/SM_ST 118 Mouvement relatif d 2 OA d di ' dj ' dk ' d 2 OA d ae = x' 2 + y' 2 + z' 2 = + + ( dt dt dt 2 dt dt dt dt 2 r ') r' d 2 OA d ae = + dt dt 2 r+ dr ' dt r' d 2 OA d ae = + dt dt 2 ( r '+ r ') :B ( Ra ) ,7 E , "# C ( Ra ) # ( Rr ) , "# "% ; , A 3 # , "# # ( Rr ) :$ (71.4) D " : & * : va = va aa = d 2 OM d 2 AM +2. = dt 2 dt 2 aa A.FIZAZI ar ac : , ' #+ # * 2 d dt r' : r' < < , - . / *! # *3 dOM d AM d OA = + + dt dt dt vr + ve d 2 OA : 2 dt < 8 % 0,1 C$ % < E ( Rr ) . < vr , (72.4) AM ve ar +ac + ae d 2 OA d vr + + dt dt 2 AM + ( AM ) (73.4) ae Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 119 Mouvement relatif ** EXERCICES Exercice 4.28 28.4 1 En roulant sous la pluie à 100km.h sur une route plane, un conducteur remarque que les gouttes de pluie ont, vues à travers les vitres latérales de sa voiture, des trajectoires qui font un angle de 80° avec la verticale. Ayant arrêté sa voiture, il remarque que la pluie tombe en fait verticalement. Calculer la vitesse de la pluie par rapport à la voiture immobile et par rapport à la voiture se déplaçant à 100km.h dans chaque cas la 80° /* !" - 0 1 Exercice 4.29 On laisse tomber d’un immeuble de hauteur h une bille sans vitesse initiale. La chute de celle-ci s’effectue à la verticale selon un mouvement uniformément accéléré d’accélération g . 1/ Quelle est la trajectoire de la bille dans un référentiel lié à une voiture se déplaçant suivant un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse v et passant à la verticale de chute au moment du lâcher ? 2/ Quelle est la trajectoire de la bille dans le même référentiel si on admet que la voiture entame au moment du lâcher et à partir de la verticale de chute un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération ae ? (représenter demandée). 100km.h # ! 1 . 100km.h # .* $% & ' ( .) * + . *+ $ 0 ! 29.4 3 4 ! h 1 / 3 ) *+ 5 6 ( 1 .g7 0 ( $5 3 ) *+ : v ! ; <= 3< ( >/! $5 3 ! 3 4 0 ; ae 7 8 ! .( 2 ! . 2 8 ! /1 3 3 4 /2 !% 5 3 )3 $5 )@ ) trajectoire Exercice 4.30 On considère dans le repère fixe OXY le système de deux axes Oxy mobiles tel que l’axe Ox forme l’angle avec l’axe OX . Un point matériel M se déplace sur l’axe Ox , sa position est définie par r = OM . Calculer : 1/ la vitesse et l’accélération relatives du point, 2/ la vitesse et l’accélération d’entraînement, 3/ l’accélération coriolis. 4/ En déduire la vitesse et l’accélération du point M dans les coordonnées polaires. Oxy Ox M M Exercice 4.31 Dans le plan 30.4 ( OXY @ 6 $5 &! Ox )3+ B 3 M 2 !4 . OX : . r = OM 5: & $ ! ! 7 /1 :( 7 /2 > 37 /3 7 D ! = /4 . @2 E XOY , une droite OX ' tourne autour ) OX ' 8 2 de l'axe OZ avec une vitesse angulaire = ) ! . = @ constante. Un mobile M ( OM = r ) se déplace sur la 3 OX ' 8 droite OX ' d'un mouvement rectiligne uniformément 2 $5 . a 7 accéléré d’accélération a . A l'instant initial M se .O 2& 8@ 3 trouve en M 0 , au repos, puis s'éloigne de O . ! &+ 1/Déterminer les expressions littérales vectorielles A.FIZAZI 1 Univ-BECHAR 31.4 XOY - $5 OZ M ( OM = r ) 4 8 ! 0 F $5 M 0 $5 2( M 5 & : /1 LMD1/SM_ST 120 Mouvement relatif des vitesses relative, d'entraînement et absolue de M . Déterminer les expressions littérales donnant la norme et la direction du vecteur vitesse absolue du point M . 2/ Si l'axe OX ' est confondu avec l'axe OX à l'instant initial, calculer les coordonnées du point M à la date t = 3s . Dessiner les trois vecteurs vitesses à cette date. 3/ Déterminer les expressions littérales vectorielles dans une base polaire des accélérations relative, d'entraînement et de Coriolis de M . Déterminer les expressions littérales donnant la norme et la direction du vecteur accélération absolue du point M . Dessiner ces vecteurs accélérations à t =3s. Données: OM 0 = 1cm ; = = a = 2cm.s 5 2 .M ( : 7 &+ 1( 3 <= /2 2 E $5 . t = 3s $5 @G@ &+ 8 5 & : /3 ! @2 H .M $ 5 & : ! 7 7 &+ 1( $5 < &+ 8 OM 0 = 1cm : & (02+ ) & $ & $ 5 .M ! OX ! OX ' $5 M ! @2 = .M 02 * $5 > 3 < &+ ( (02+ ) & $ & .M .M a = 2cm.s 2 ; rad .s 1 . = Exercice 4.32 Un disque circulaire de centre A et de rayon R roule sans glisser sur l’axe OX avec une vitesse angulaire constante. Au départ t = 0 , un point M de la circonférence coïncide avec l’origine O . 1/ Quelles sont les coordonnées du point M au temps t en fonction de , R et t ? En déduire la nature de la trajectoire. 2/ Calculer la vitesse absolue et la vitesse relative en précisant leurs directions par rapport à l’axe OX . 3/ A partir des expression des vecteurs de la vitesse absolue et la vitesse relative, vérifier la norme et la direction du vecteur vitesse d’entraînement. = 5 rad .s & 1 32.4 ! 2 2 ) ' 2 XOY 6 $5 A 3 R * ."! 6 2 I * t = 0 2 $5 . @ OX . O =2 I M ! ! 2 t $5 M ! $ @2 = $ /1 ; & D ! = ;t ,R J% ! /2 . OX ! 1 1( $ &+ $ *G ! /3 . ( 1( 23K ! ( Y R M A O X Exercice 4.33 Dans le plan XOY , une droite tourne autour de OZ avec une vitesse constante = . Un point mobile M ( OM = r ) se déplace sur la droite OX ' suivant la loi : r = r0 ( cos t + sin t ) avec r0 = cte . 1/ Déterminer à l’instant t en fonction de et 0 vitesse relative et la vitesse d’entraînement de A.FIZAZI , la M par OZ ) 3 r0 = cte ! Univ-BECHAR 33.4 8 2 XOY 6 $5 . = @ ( OM = r ) M ! ) ! : ! 5 OX ' 8 r = r0 ( cos t + sin t ) 0 2 t $5 2:2 /1 LMD1/SM_ST 121 Mouvement relatif leurs projections dans le repère mobile X ' O ' Y ' . En déduire la vitesse absolue exprimée dans cette même base de projection, et montrer que le module de celuici est constant. 2/ Déterminer à l’instant t en fonction de 0 et , l’accélération relative l’accélération d’entraînement et l’accélération complémentaire de M par leurs projections dans le repère mobile X ' O ' Y ' . En déduire l’accélération absolue exprimée dans cette même base de projection, et montrer que le module de celle-ci est constant. Exercice 4.34 Une mouche M se déplace sur l’aiguille des secondes d’une montre accrochée à un mur vertical avec un mouvement uniforme de vitesse v . La mouche part du point O à l’instant t = 0 pour atteindre l’extrémité de l’aiguille de longueur 20cm une minute plus tard. 1/ Ecrire les expressions de la vitesse vM et de l’accélération aM de M dans la base mobile ( ur , u ) associée à la mouche. M ( D ! = . X ' O 'Y ' 4 E 02 * >/! $5 7 2 t $5 22 /2 0 M $ 3 7 ( 7 $ ! D ! = . X ' O 'Y ' 4 8& $5 1 L E 02 * >/! $5 #! & 7 . @ < 02+ 8& 1! $5 1 & . @ < 02+ < 02 M . $5 , xM , yM de la instants 0 s,15s,30 s, 45s, 60 s . 2/ Calculer les coordonnées 34.4 @ $! @ I * M < ) ! ! .v 1 ! 3 62 2( *2 2& )" t = 0 $5 O ! . 20cm # 6< I * 1! = aM 7 vM $ 3 /1 < ( ur , u ) < 3 02 , xM , yM @ 2 E 8 . 0 s,15s,30 s, 45s, 60 s M $5 vM . t = 60s 7 &+ $5 aM 7 /2 . 2( )@ /3 M mouche aux Dessiner la trajectoire sur le mur. 3/ Représenter sur la trajectoire le vecteur vitesse vM au temps t = 45s et le vecteur accélération aM $5 7 &+ t = 45s au temps t = 60s . Exercice 4.35 Dans le plan OXY , un cercle de rayon R , de diamètre OA , tourne à la vitesse angulaire constante autour du point O . On lie à son centre mobile O ' deux axes rectangulaires O ' X ' Y ' (l’axe O ' X ' est dirigé suivant OA ). A l’instant t = 0 , A est sur OX , OX et OX ' étant colinéaires. Un point M , initialement en A , parcourt la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire . 1/ Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le repère OXY (en dérivant les composantes de OM ). 2/ Calculer les composantes de la vitesse et de l’accélération relatives de M dans le repère O ' X ' Y ' puis dans OXY . 3/ a/ Calculer les composantes de la vitesse d’entraînement dans le repère OXY par la loi de composition des vitesses. b/ Calculer de même les composantes de l’accélération d’entraînement dans le repère OXY ; en déduire l’accélération complémentaire (Coriolis). A.FIZAZI 35.4 R .O * ."! I * 2 OXY 6 $5 ! ) @ OA * O'4 3 4 +! .( OA 5 #( O ' X ' ) O ' X 'Y ' OX OX A t=0 $5 . M 5 OX ' ) ! A $5 2 $5 ! 3 M ! . >/! ( ( $5 $ &+ $ 3 0 + /1 .( OM 3 +!) OXY 8 & $5 M 7 M ! 7 3 /2 . OXY $5 8@ O ' X ' Y ' 8 & $5 OXY 8 & $5 ( 3 / /3 . 3 !* ) & $5 ( 7 3 )@ / .(> 3)$ 3 7 D ! = N OXY 8 & ( 7 ( 3 23K /4 . 2 7 &+ 8 $ & ) & $ 3 Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 122 Mouvement relatif 4/ vérifier les expressions des composantes de la vitesse d’entraînement et celle de l’accélération complémentaire en utilisant les expressions faisant intervenir le vecteur rotation . Y Y' M A X' O' O A.FIZAZI X Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 123 Mouvement relatif Corrigés des exercices de 4.28 à 4.35 4.35 4.28 :4.28 ve v va . va vr = sin10° sin 90° 80° v 10° 90° va va = ve vr = sin 90° sin 80° ve sin10° vr ; va sin 90° vr = 1 17, 4km.h sin 90° ve ; vr sin 80° 117 km.h 1 :4.29 z= . z )* 1 2 gt + h 2 x ' = vt (1) : ( 2) : /1 "#$ t ( + , - ., :/ 2 : t= . x' = % / 1 2 ae t 2 ( 3) : ( 2 ) (1) "3 x' v 2 : t2 = . " ( Z h h g x' ae g 2 x' 2v 2 01 1 x ' = aet 2 2 A.FIZAZI "5 g z z' ae X' Univ-BECHAR ( % Z' x ' = v.t O' /2 ( "5 Z' z' = h ' g x '+ h ae z = z'= . z' ( 3) (1) "3 2x ' ae ( g 2 x' + h 2v 2 z = z' = & :/ ' 01 "#$ 4 t z' = h & ( O' O x' v X' LMD1/SM_ST 124 Mouvement relatif . ( ur , u , u z ) 5* . M 6 ur , u , u z ( M (" 5 ) . OM = r = r ' = r.ur vr = r.ur + 4.30 . + 5 /1 :9: ar = r .ur = % * > dOO ' + dt d OO ' = 0 (O dt = k = .u z ve = O'M O' ) ur O'M = 0 ve = r z Z k = uz O, O ' i X OXY = % * /2 : OXY )* ; < Oxy u 0 0 uz v e = r .u 0 y u ur j • M Y x > + Oxy )* ; < + : ae = 2 d OO ' + dt 2 dO ' M d dO ' M + O'M , = dt dt dt d 2 OO ' d ae = + O'M + O'M 2 dt dt ( O ' M = .u z d dt ur O'M = 0 r O'M ) r .u = r 2 ur u 0 0 uz =r u ae = r 2 ur + r u 0 :. A.FIZAZI Univ-BECHAR + /3 LMD1/SM_ST 125 Mouvement relatif ac = 2 : OXY = % ur u v r =2. 0 r 0 0 * OXY = % (i , j, k ) ur = i .cos + j .sin 0 va = r.ur + r .u > ( aa = r " / :6 & @ 3 /4 )* M * aa = ae + ar + ac ( a c = 2r u > va = ve + v r : uz M + r 2 ) .u + ( r )* ? ) .u + 2r r = = + * 1@: = AB ( u u u = i .sin + j .cos : OX ' Y ' / OM = r = r.i ' r= i = ur ' vr = r = at.ur : + 52 dOO ' O'M + dt d OO ' = 0 ( O O' ) dt = k = .u z :4.31 + 5 9: /1 1 2 at + r0 .ur 2 "3 ( ( 9: : < + 5?5 + 5 ve = ve = ve = va = ve + v r va = ( at ) 2 A.FIZAZI 0 0 1 2 at + r0 2 0 uz 0 .u 1 2 at + r0 2 1 + at 2 + r0 2 (", D u O'M = 1 2 at + r0 2 va = at.ur + ur ("5 Univ-BECHAR : .u + 5 2 . :C 2 4 *) " * &< LMD1/SM_ST 126 Mouvement relatif 1 2 at + r0 v 2 tg = = vr at : t = 3s 4 = t, (/ @ /2 = % 1 2 at + r0 , r = 0,1m 2 ; y = r.sin , y = 0, 095m = 1,884rad = 108° ; r = x = r.cos , x = -0, 031m vr = at , vr = 0, 06m.s 1 2 at + r0 2 ; ve = 1 : + , ve = 0,0628m.s + 52 ar = a.i = a.ur + 5 ? 5 /3 "3 ( ar = a.ur ' va = vr2 + ve2 , va = 0, 087m.s tg = 1 v = 1, 047 vr 1 = 46,3° :;< + ae = 2 d OO ' + dt 2 dO ' M d + dt dt O'M 0 , dO ' M = dt O'M 0 ae = O'M ve 1 2 at + r0 2 O ' M = .u z .u = r 2 ae = ur 1 2 at + r0 2 2 .u r Y va v X' a v aa M Y' M0 a X O :. ac = 2 A.FIZAZI ur u v r =2. 0 at 0 0 + /3 uz a c = 2at .u 0 Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 127 Mouvement relatif :? aa = ae + ar + ac 1 2 at + r0 2 aa = a aa = a 2 :? tg = + ( 2at. C< a = ar ( .ur + ( 2at. 2 2 1 2 at + r0 2 + ) ) .u :? + + (" 2 ? *) &< 2at 1 2 at + r0 2 a :4.32 ; OM = OA + AM : * 4 # ( ) " 5 t M E t &: . OA ' = vt ( . x = OA ' + xM' :C B 9 @ /1 :M % "#$ : )1 =' ( = 2 t OA ' = v.t = R t xM' = R.cos cos = cos cos 2 2 x = R ( .t .sin .t ) t t = sin .t y = R + yM' :( )" 5 y = R + R.sin sin 0 2 9 .t = cos .t OM 9: ) y = R (1 .cos t ) + 5 & C )1 2 x = R ( t sin t ) : C- F1& "% /2 OM y = R (1 cos t ) z=0 .(cycloïde)! dOM va = dt A.FIZAZI " =x = vx = R (1 :M cos t ) va y = v y = R sin t z = vz = 0 Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 128 Mouvement relatif va = dOM =R dt (1 cos t ) .i + R sin t. j : va = x 2 + y 2 + z 2 ; va = R va = 2 R 2 va = R 2 1 cos t = R 2.sin 2 (1 (1 + [ R sin t ] 2 2 cos t ) t 2 2.2 sin 2 =x cos t ) + 5 &< 4 *) va + 5 i (1 = 2R va .cos t 2 va = 2 R sin , K 1& .(GHG" 5 va .i = va .i.cos x = 2R cos t ) t 2 + 5 )* OX 3 : I < JB 3$ " x = va .cos 2 (1 + 5 cos t ) :2 2 R .sin t .cos 2 (1 =R cos t ) : 2 R.sin vr = t .cos 2 cos = sin cos = cos ( d AM :C dt = 2 R.sin 2 + t 2 '2 = sin cos "3 = 3 t 2 + 2 t 2 = 2 , = 2 t 2 ) X ' AY ' / 9< M : X ' AY ' xM' = R.cos = R.cos 2 xM' = R. s cos t L * "3 ( % M ?5 yM' = R. .sin t ; vr = R. s cos t.i % t = R.cos t 2 : ( M t = R.sin t 2 yM' = R sin = R.sin A.FIZAZI "3 R. .sin t. j :H Univ-BECHAR ( + 5 * LMD1/SM_ST 129 Mouvement relatif vr = + 5 &< & ( R. s cos t ) + ( R. .sin t ) 2 ; ., 9 . 2 vr = R : + 5 &< . :H– " 5 2 @ 4 v i :C vr .i = vr .i.cos vr .cos = xM' = R cos t = cos t cos = ; t=2 vr cos t = cos ( t) 0:) ( * 0 . 2.M ' A ' M = 2 ( ( ) B B . ., . 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( u 0 sin t + cos t ) 2 : '# ? 2 ( cos ( cos a c = 2r0 0 0 5 I < H t + sin t ) u + uz 2 ( Q H sin t + cos t ) u 0 :? a a = 2r0 :0 : ae = r0 aa = ae + ar + ac := A.FIZAZI P t + sin t ) .ur ( cos t + sin t ) r = r0 ( cos r0 r0 % &* 0 ur ae = 0 ac = 2 '" sin t + cos t ) .ur 01 0 0 ( H 2 = Cte : ae = = H + ' ? < + A # = t + sin t ) ur + ( sin t + cos t ) u Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 131 Mouvement relatif : a a = 2r0 % & * P 2 = Cte 2 35.4 OM = r = r.ur = 0 * 2@ C 0 * :/ ( . % J' C( " vM = r = v.ur + vt.ur ur = ( aM = r = v.ur u = ( ) .ur vM = v.ur ) .u v .u , ur = ( : ( 1 9: + 5 /1 1 + )1 H F < # 9< 1 r = v.t..ur :/ vt .u vt aM = v ) .u " < ( AB .u 2 t.ur 3 . M 2v .u /2 M H , xM , yM = % 0, 2 10 2 2 = ( m / s ) ; = = ( rad / s ) 60 3 60 30 2 10 10 2 xM = vt cos t = .t cos .t ; y M = vt sin t = .t cos .t 3 30 3 30 v= t (s) M 0 = ( t rad .s ( rM = vt ms -1 xM ( m ) ) 1 ) 15 0 yM ( m ) 30 /2 0 5.10 0 0 0 5.10 2 10.10 10.10 2 2 ( H 2 t = 45s : vM = v.ur A.FIZAZI + 5 2 15.10 & 2 20.10 2 20.10 2 2 0 ( 1 + . % "% ( =4 /3 t=60s: aM = v v.t. .u vr = 0,33.ur ; v = 1,57.u + 3 /2 0 0 / 60 15.10 ." " 45 + 1$* 2 t..ur 2v .u ar = 0, 22.ur ; a = , 07.u . Univ-BECHAR + 5 . : 1$* LMD1/SM_ST 132 Mouvement relatif y vr = 0.33ur 15.10 vM 2 v = 1,57u 3. vr .u 5.10 2 m 5.10 2 m ar = 0.22ur O 10.10 2 3. a .ur x aM 5.10 :" 5 /1 ) 4 # 2 : :36.4 + 5 H ( 9: OXY "#$ t & E M /1 = t + : L( " 5 2 @ OM = ( R cos t + R cos 2 t ) i + ( R sin t + R sin 2 t ) j O ' M = R cos 2 t.i + R sin 2 t. j + 2 dOM , va = R ( sin t + 2sin 2 t ) i + R dt dv aa = a , aa = R 2 ( cos t + 4 cos 2 t ) i R dt va = A.FIZAZI a = 0, 07u r OM = OO ' + O ' M . = t : = % A & O ' X 'Y ' / t C , "#$ M . OXY 2 =2 t . + OXY OO ' = R cos t.i + R sin t. j 20.10 2 Univ-BECHAR OM 6 ' 5 ( cos t + 2 cos 2 t ) j (1) ( sin t + 4sin 2 t ) j ( 2) "3 2 LMD1/SM_ST 133 Mouvement relatif Y X' M y A Y' x' y' j' i' O' j j' O :" 5 i' i X x 4 # O ' X 'Y ' / ( 9: + 5 O ' M = x '.i '+ y '. j ' = R ( cos t.i '+ sin t. j ') ' 5 . + O ' X 'Y ' : dO 'M , vr ' = R dt dv ar ' = r ' , ar ' = R dt vr ' = :" 5 4 # ( 2 2 "3 "3 2 O'M 6 .% " & !' ( cos t.i '+ sin t. j ' ) ( 9: O ' XY ' 5 () * + O'M 6 sin t.i '+ cos t. j ') + 5 O ' M = x.i + y. j = R ( cos 2 t.i + sin 2 tj ) 2 /2 + M + H $ . OXY , '- . OXY 6 Q H M + + .(57.4) " / 0 / $ & dOM dOO ' di ' dj ' dk ' dx ' dy ' dz ' = + x' + y' + z' +i ' + j' +k' dt dt dt dt dt dt dt dt va ve vr = i ' vr dx ' dy ' dz ' + j' +k' dt dt dt 0 : i ' = cos t.i + sin t. j ; x ' = R cos t x ' = R sin t j ' = sin t.i + cos t. j ; y ' = R sin t y ' = R cos t :2 A.FIZAZI Univ-BECHAR "5 "3 LMD1/SM_ST 134 Mouvement relatif vr = ( cos t.i + sin t. j ) . ( R sin t ) + ( sin t.i + cos t. j ) ( R cos t ) vr = 2 R .sin t.cos t. i + R sin 2 t + cos 2 t j cos 2 t 1 sin 2 t 2 :) ( vr = R " @ M / OXY 6 sin 2 t.i + cos 2 t. j ) 5 ) v $D ( ( 3) - OXY 6 M / + :(59.4) ar = i ' 2 2 2 d x' d y' d z' + j' 2 +k' 2 2 dt dt dt 0 i ' = cos t.i + sin t. j ; x ' = R cos t x' = R 2 cos t j ' = sin t.i + cos t. j ; y ' = R sin t y' = R 2 sin t ar = ( cos t.i + sin t. j ) ar = ( 2 R ar = R 2 cos 2 t.i ( 2 R 2 R ) cos t + ( sin t.i + cos t. j ) cos 2 t sin 2 t .i R 2 ar = R OXY 6 2 ( cos 2 +R ( cos 2 2 sin t ) cos t sin t. j ) t + sin 2 t ) .i + R H '" R ( cos + $D ( < / / /3 ( 4) t + 2 cos 2 t ) j := ae = R M / t.i + sin 2 t. j ) := ( sin s in 2 t.i R 1 sin 2 t 2 :) ve = R 2 ( 2 cos t sin t . j cos 2 t (1) ( 3) = ve = va vr ve = R ( sin t + 2sin 2 t ) i ) ( cos t sin t. j + R :2 @ "3 ( sin 2 t.i + cos 2 t. j ) t + cos 2 t ) . j H '" < + /H /3 d 2 OO ' d 2i ' d2 j ' d 2k ' + x ' + y ' + z ' dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 0 OO ' = R.cos t.i + R sin t. j , A.FIZAZI d 2 OO ' = R dt 2 Univ-BECHAR 2 .cos t.i R 2 sin t. j LMD1/SM_ST 135 Mouvement relatif i '= j'= ae = ( R 2 2 2 .cos t.i 2 cos t.i 2 sin t.i 2 R sin t. j ; x ' = R cos t y ' = R sin t c os t. j ; ) sin t. j + R cos t R sin t ( 2 :2 @ "3 ( 2 2 sin t.i 2 cos t.i c os t. j ) :M / ae = 2 R .cos t R sin 2 t + cos 2 t 2 i R 2 ) sin t. j + < + 2 1 sin 2 t 2 . ( cos t + cos 2 t ) i 2 R : ac = 2 dx '.di ' dy '.dj ' + dt 2 dt 2 :59.4 ( sin t + sin 2 t ) j + *. * aa = ar + ar + ac + ac = + aa O ar i '= sin t.i + cos t. j ; x ' = R sin t j'= cos t.i sin t. j ; y ' = R cos t ac = 2 dx '.di ' dy '.dj ' + = ar + ar + ac dt 2 dt 2 R sin t ( cos t. j ) + R cos t ( sin t.i + ac = 2 R 2 .sin 2 t.i ac = 2 R 2 . sin 2 t cos 2 t .i R 2 .sin t cos t. j 2R 2 R 2 2 ( cos 2 t.i + sin 2 t. j ) aa = ar + ar + ac ( C " ve = dOO ' + dt Univ-BECHAR )0 . = .k 0"* 34 5 + 5 Q "$ : < + 5 /4 O'M i ve = R .sin t.i + R .cos t. j + 0 R cos 2 t A.FIZAZI .cos t sin t. j 1 sin 2 t 2 ac = 2 R (72.4). 2 .sin t cos t . j cos t H R < sin t. j ) cos t.i .cos 2 t.i @ ar : ac = 2 ( sin t + 2sin t.c os t j cos 2 t ae = R $D j 0 R sin 2 t k 0 LMD1/SM_ST 136 Mouvement relatif ve = R .sin t.i + R .cos t. j R .sin 2 t.i + R .sin 2 t. j ve = R . ( sin t + sin 2 t ) .i + R . ( cos t + sin 2 t ) . j :. + * ac =2 < M ( 73.4 ). + i ac = 2 0 R .sin 2 t vr ac = 2 R 2 .cos 2 t.i ac = 2 R A.FIZAZI 2 2R 2 (C j 0 R .cos 2 t " k 0 .sin 2 t. j . ( cos 2 t.i + sin 2 t. j ) Univ-BECHAR LMD1/SM_ST