Les incertitudes
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/B-I
CALCUL DES INCERTITUDES
1/ ( grandeur physique):
! "
# $ )&" $ (()! * +# ,.
2/ (notion de mesure):
+./ ." 0, $ 0 " 1 , :
(2 $ 1" (2$ # 3$ 4)5 3$ 6 (
72 1 &" 6, 1" 8 39$ 3$ 4)6
: 3$ (
1" (2; 4.
" 1"
X
< ." 68 0, = 0>
x
?1" + (
"" " . @!
0
x
." "
x
6) (erreur absolue)
:
x
(5.1)
0
-
xxx
=
A . ) (2 &= / "
." "8 2 07 $ 8)
6)
(incertitude absolue)"8
X
.
(6.1)
xx
. = "" " >
xx
+
xx
.
8 @ @8 7/ 9$ : ! $ :
"
(
)
,,
Xfxyz
=B
x
y
z
+. (. 1"8 8. " 9 .
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4 @8 70
X
C$
X
:! 8 9
dX
B.
XdX
.
+/:!8 "8 D" $ (. A 3; , $ ..
$ .
fff
dX dx dy dz
xyz
=++
@8 70 >
X
4
X
7 :
)7.1(
fff
Xxyz
xyz
++
:) (incertitude relative) " 70 . .)
C$ < ." " @8
X
X
C$ A8 :! 8 C) :
)8.1(
XdX
XX
=
3/ (théorèmes des incertitudes)
! "! #:(incertitude absolue d’une somme algébrique)
$ %:@8 7E ! "! C) & "!
* "8 +./.
F2 , C.2
y nu pv qw k
=++
n
p
q
k
u
v
w
!"# $% &"' (
$ :
u
v
w
*&" +"' ,-
y
% :
y nu pv qw
=++
.
)9.1(-
y nu pv qw k y n u p v q w
=+ + =++
:./ !"# 0* 12 .:
)10.1 (
0
()
yyyu
=±
:&& & :
0
y
& &:
y
+"' :
y
5*:
u
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6.1:". 1&
M
!"# 6- 7#8 &'
1
12.762
=
mg
2
57.327
=
mg
.+"' "# :; .
1
m
2
m
%
2
=±
mmg
M
M
.
:
21
12
44.565
4 0.004
==
=+==
Mm m M g
Mm m mg g
,- :.% ./ !"# 0* . * 5 <2= **# . ">
+"' $- > % & & $- "6>:
(44.565 0.004)
=±
Mg
$
M
(- :
5
0.004
9.10
44.565
MM
MM
==
5
12
21
9.10
mm
MM
Mmm M
+
==
:(incertitude relative d’un produit ou d’un quotient)
?%:
!
:"# $%# &' ( :
) * : . @* $ ! +
A** * . .
% &
:
@* .
np q
ykuvw
=
n
p
q
6 **#
k
u
v
w
$ !"# $% &"' ( :
u
v
w
.
* $-' !"# B" * +':
log log np q
ykuvw
=
B" C <:
log log log log log
yk nupvqw
=+ +
/ < $B" 8> D . :
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dy dk du dv dw
npq
yk u v w
=+ +
$ 5# !; 6 )5/E F *–5/E !; (+<& :I
**#J &"':
)11.1(
yu vw
npq
yu vw
=++
. A:% 5 5*#& C:
K .
di
L
i
K5/E F–5/; !; +
K!"# $ *& :I
&"' (& .
!
: ,$ -:
.
()
uv
yk
uvt
=+
' 1> M:
(
)
log log log log log log
yk u v uv t
=+ + +
dy dk du dv du dv dt
y k u v uv uv t
=+ +
++
1> ' 1> ( $ ** . M
di
5/E * –5/E :+
dy dk dt
du dv
y k u uv v uv t
=+ +
++
)12.1(
y
uvt
yuuv vuv t
=++
++
7.1:(# 0(. 2'" +"' < $
&
2
QRIt
=.
:. . @* $ N :
22
QR It
QRIt
QR It
==+ +
+"' 5# O :% :2
RIt
QQ
RIt
=++
Les incertitudes
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** EXERCICES
7.1
(
)
1
D
(
)
2
D
:
(
)
119, 5 0,1
Dmm
=±
(
)
226,7 0,1
Dmm
=±
.
Exercice 1.7
Pour mesurer l’épaisseur d’un cylindre creux on
mesure les diamètres intérieur
(
)
1
D
et
extérieur
(
)
2
D
et on trouve :
(
)
119, 5 0,1
Dmm
=± ,
(
)
226,7 0,1
Dmm
=±
Donner le résultat de la mesure et sa précision.
8.1
!
(
)
"! #
! $
(
)
m
%
(
)
a
. "!&.
Exercice 1.8
Soit à déterminer la masse volumique
(
)
de la
substance d’un cube homogène à partir de la mesure
de sa masse
(
)
m
et de son arête
(
)
a
.Ecrire le
résultat de la mesure.
9.1
'!
(
)
( )** "+ ,
&-:
21
31
mm
mm
=
.
321
,,
mmm
/ .$' 01 2'
2!3 4 2* ."5
6 *
.
Exercice 1.9
La densité
(
)
d’un corps solide par application
du théorème d’Archimède est :
21
31
mm
mm
=
Où
123
,,
mm m
sont les résultats de trois mesures de
masses effectuées, successivement, avec la même
balance. Trouver l’incertitude relative sur
.
.110
7 "! * "8 " &
(
)
C
4'! 1! 4'!7 + :
/":4 / 8* ; 2
2! 7
(
)
1
C
(
)
2
C
.
Exercice 1.10
Calculer l’incertitude relative sur la mesure de la
capacité
(
)
C
d’un condensateur équivalent à deux
condensateurs montés:
a/ en parallèle b/ en série , et cela en fonction des
précisions sur
(
)
1
C
et
(
)
2
C
.
.111
#* ! :
(
)
22
1
1
m
m
m
m
µ
=
7 ) "8 " &
µ
8*
/*8
21 2 1
,,, ,
m
mm
.
Exercice 1.11
Soit l’expression :
(
)
22
1
1
m
m
m
m
µ
=
Calculer l’incertitude absolue sur
µ
en fonction des
incertitudes absolues
21 2 1
,,, ,
m
mm
.
.112
789: $ :
0
.
wt
yye
=
7 ) "8 " &
y
8* ;
/*8
0
,,,
yt
.
Exercice 1.12
Soit la relation : 0
.
wt
yye
=.
Calculer l’incertitude absolue sur
y
en fonctions des
incertitudes absolues
0
,,
ty
.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
1
/
128
100%
