Cours de Calcul Différentiel - Licence Mathématiques

Cours de Calcul Différentiel pour la Licence de
Mathématiques
Prof. Assohoun ADJE
Abidjan, le 19 juillet 2018

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Table des matières
1 Différentiabilité 1
1.1 Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notion de Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Exemples ........................... 4
1.3 Propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Différentiabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Linéarité de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Différentielle d’une application affine . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Différentielle d’une composition d’applications . . . . . . 7
1.3.5 Différentielle d’une application bilinéaire continue . . . . . 8
1.3.6 Différentiabilité d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.7 Différentiabilité des fonctions à valeurs dans un produit
d’espaces ........................... 10
1.3.8 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.9 Différentiabilité des fonctions définies dans un produit
d’espaces vectoriels normés - Dérivées partielles . . . . . . 12
1.3.10 Le cas où E=Rnet F=Rm. Calcul de la matrice
jacobienne........................... 15
2 Théorème des accroissements finis et applications 17
2.1 Le cas où la variable est réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Le cas où la variable est vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une applica-
tion soit de classe C1..................... 22
2.3.2 Critère de convergence uniforme pour une suite d’appli-
cations différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Théorèmes des fonctions implicites 25
3.1 Introduction.............................. 25
3.2 Existenceetunicité.......................... 27
3.3 Continuité et différentiabilité de la fonction implicite . . . . . . . 29
3.3.1 Le cas où les espaces E,Fet Gsont de dimensions finies . 32

Chapitre 1
Différentiabilité
1.1 Dérivée directionnelle
Soit Eun espace vectoriel normé, Uun ouvert de E,f:U⊂E→Fune
application, a∈Uet u∈E.
Définition 1. On dit que fadmet une dérivée dans la direction uau point a
si la fonction
t→f(a+tu)−f(a)
t(1.1)
admet une limite lorsque ttend vers 0.
On pose alors :
f′(a;u) = limt→0
f(a+tu)−f(a)
t(1.2)
Le vecteur f′(a;u)∈Fest appelée dérivée directionnelle de fen adans la
direction u.
1.2 Notion de Différentielle
1.2.1 Définitions et exemples
Soient Eet Fdes espaces de Banach sur un corps commutatif Kavec K∈
{R,C}normés respectivement par |.|Eet |.|F,Uun ouvert de E, a ∈Uet
f:U→Fune application.
Lemme 1. Il existe au plus une application linéaire continue T:E→Ftelle
que
f(a+h)−f(a) = T(h) + |h|Eφ(h)(1.3)
où φ, définie dans un voisinage de 0dans Eet à valeurs dans F, est telle que,
lim
h→0φ(h) = 0.(1.4)
1

2CHAPITRE 1. DIFFÉRENTIABILITÉ
Démonstration. Soient T1et T2:E→Fdeux applications linéaires conti-
nues qui satisfont à la condition du 1.
Soit v∈E.Uétant ouvert et aétant dans U, il existe un réel t0>0
suffisamment petit tel que a+tv ∈Upour tout 0< t < t0. Soit 0<t<t0,
posons h=tv. Nous avons l’existence de fonctions φi,1≤i≤2v’erifiant la
condition
lim
h→oE
φi(h) = oF
et
f(a+h)−f(a) = Ti(h) + |h|Eφi(h).
Posons T=T1−T2. En retranchant les deux epressions de f(a+h)−f(a),
nous trouvons :
T(h) = |h|E(φ2−φ1) (h)
et, puisque h=tv, la linéarité de Tpermet d’avoir
tT (v) = t|v|E(φ2(tV )−φ1(tv))
qui, après simplification par t > 0, donne
T(v) = |v|E(φ2(tV )−φ1(tv)) .
En prenant la limite des deux membres lorsque ttend vers oE, nous obtenons
T(v) = 0. Comme ceci est vrai ∀v∈E, nous avons T1=T2.
Définition 2. On dit que fest différentiable au point as’il existe T∈L(E)et
φqui vérifient les relations du Lemme 1. Dans ce cas, l’application linéaire T
est appelée différentielle de fau point a.Elle est notée f′(a)ou Df(a).
Proposition 1. Si fest différentiable au point a, elle admet une dérivée direc-
tionnelle au point adans toute direction u.
Démonstration fétant différentiable en a, il existe une fonction φdéfinie
dans un voisinage de 0Etelle que par tout vecteur u∈Eet par tout réel tassez
petit
f(a+tu)−f(a) = t f′(a)u+|t| ∥u∥φ(u)avec lim
h→0φ(h) = 0.
D’où
lim
h→0
f(a+tu)−f(a)
t=f′(a).u.
D’où f′(a;u)existe et f′(a;u) = f′(a).u.
Remarque :
Une fonction fpeut être continue en un point a, avoir des dérivées direc-
tionnelles relativement à tout vecteur u∈E, l’application φ:E→F u →
f′(a;u)peut être linéaire, continue sans que fsoit différentiable au point a.
Cette affirmation est confirmée par l’exemple suivant.
Exemple :