La Cinématique analytique permet à partir d’équations de définir à tout instant, la position, la vitesse et l’accélération d’un point en fonction du mouvement du solide auquel il appartient. 1 - GENERALITES Quelle que soit l’étude cinématique, on a toujours besoin de se situer dans le temps. On appelle instant t ou date t le temps écoulé depuis une origine des temps t0=0, choisie arbitrairement. L’unité de mesure du temps (système ISO) est la seconde, notée s. t = t2-t1 est appelée durée entre les deux instants t1 et t2. 1.1 Vitesse : ➢ ➢ La vitesse moyenne (vmoy) est le rapport de la distance parcourue sur un intervalle de temps plus ou moins long La vitesse instantanée (v) est le rapport de la distance parcourue sur un intervalle de temps infiniment petit 1.2 Accélération : ➢ L’accélération moyenne (amoy) est le rapport de la variation de vitesse sur un intervalle de temps plus ou moins long ➢ L’accélération instantanée (a) est le rapport de la variation de vitesse sur un intervalle de temps infiniment petit ➢ ➢ L’accélération est positive, si le mouvement est accéléré (accélération dans le sens du mouvement) L’accélération est négative, si le mouvement est décéléré ou ralenti (accélération opposée au mouvement) De cette manière un solide lâché d’une hauteur x0 à un temps t0, sans vitesse initiale ne serait soumis qu’à l’accélération de la pesanteur (constante), soit g = 9,81 m.s-2 : -au temps t0 +1 seconde, ce solide atteindrait une vitesse instantanée de 9,81 m.s-1 -au temps t0 +2 secondes, ce solide atteindrait une vitesse instantanée de 9,81 x 2 soit 19,62 m.s-1 1.3 Unités du S.I : • • • • Position notée x exprimée en m Temps noté t exprimée en s Vitesse notée v exprimée en m.s-1 Accélération notée a exprimée en m.s-2 CINEMATIQUE DU POINT SI 2020 -1- 2 - TRANSLATION RECTILIGNE REPERAGE ESPACE & TEMPS : 2.1 Vitesse constante : Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) : ➢ Définition : Un solide est en MRU si : • • la trajectoire de chacun de ses points est une droite, sa vitesse est constante (a = 0). Equations horaires : a : accélération du solide en m.s-2 v0 : vitesse initiale du solide en m.s-1 x0 : position initiale du solide en m x : Position d’un point à un instant t. X(t) = v0 . t + x0 v(t) = v0 = Constante a(t) = 0 ➢ MRU Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une route rectiligne. Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) : Vitesse constante x v x = v0t + x0 α tanα = v0 x0 a v = v0 = cte V0 a= 0 0 CINEMATIQUE DU POINT SI 2020 t 0 t -2- 0 t 2.2 Si Vitesse variable et accélération constante : Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) : Equations horaires : 1 𝑥 = 𝑎. 𝑡² + 𝑣𝑜. 𝑡 + 𝑥𝑜 2 a = v ' = x' ' = cste v = x ' = a.t + vo Remarque : On peut déduire de ces 2 équations une formule utile : v 2 = vo 2 + 2a( x − xo) ➢ Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’appuyer (raisonnablement) sur l’accélérateur : MRUV Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) : x Branche de parabole v a a= cte v = a.t + v0 x= x0 1 a t 2 + v0 t + x 0 2 0 CINEMATIQUE DU POINT SI 2020 t V0 0 t -3- 0 t 3 - ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE 3.1 Vitesse angulaire constante : Mouvement Circulaire Uniforme (MCU) : ➢ Définition : Un solide est en MCU si : • la trajectoire de chacun de ses points est un cercle, • sa vitesse est constante (’ = 0). ω= ➢ Rappel : 2. N 60 Si N est la vitesse de rotation en tours par minute alors : On remarquera que : 1 tr/min = 0,1047 rad/s Avec : ω en rad/s et N en tr/min. Equations horaires : (t) = 0 . t + 0 (t) = 0 = Constante ’(t) = 0 MCU vitesse constante : (at=0) A vA vA A A an vA x vA Décélération ouangulaire du solide en rad.s-2 ’ : accélération 0 : freinage vitesse angulaire initiale du solide en rad.s-1 0 : position angulaire initiale du solide en rad :vPosition Aangulaire d’un point à un instant t. A at ω x O TA TA TA vA aA α ω x O r an vA r α = 0 ; at = 0 ; ω = cte et vA = cste α<0 3.2 Si accélération angulaire constante : Mouvement Circulaire Uniformément Varié (MCUV) : Equations horaires : 1 2 MCUV = t ² + 0t + 0 = t + 0 ' = ' ' = cste Remarque : On peut déduire de ces 2 équations une formule utile : 2 = o 2 + 2 ' ( − o) CINEMATIQUE DU POINT SI 2020 -4-
