THERMODYNAMIQUE II

THERMODYNAMIQUE
TECHNIQUE 1
GI
NOTIONS FONDAMENTALES – PREMIER PRINCIPE –
ETUDE THERMODYNAMIQUE DES GAZ PARFAITS –
SECOND PRINCIPE – AGENTS THERMODYNAMIQUES –
MACHINES THERMIQUES
BUKASA BINENE
04/01/2018
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THERMODYNAMIQUE TECHNIQUE I
NOTIONS FONDAMENTALES
PREMIER PRINCIPE
ETUDE THERMODYNAMIQUE DES GAZ PARFAITS
SECOND PRINCIPE
AGENTS THREMODYNAMIQUES
MACHINES THERMIQUES
BUKASA BINENE
3
PENSEES ET PAROLES
Quand une loi a reçu une confirmation suffisante de l’expérience, nous
pouvons adopter deux attitudes, ou bien laisser cette loi dans la mêlée ;
elle sera soumise alors à une incessante révision qui sans aucun doute
finira par démontrer qu’elle n’est qu’approximative. Ou bien, on peut
l’ériger en principe, en adoptant des conventions telles que la proposition
soit certainement vraie.
Henri POINCARE (1854-1912, mathématicien, physicien et philosophe français)
LA THERMODYNAMIQUE EST UN SUJET CURIEUX . LA PREMIERE FOIS QU ’ON L’ABORDE,
ON NE LE COMPREND PAS DU TOUT . LA DEUXIEME FOIS , ON PENSE QU ’ON LE
COMPREND, SAUF L’UN OU L ’AUTRE POINT . LA TROISIEME FOIS, ON SAIT QU ’ON NE LE
COMPREND PAS, MAIS A CE STADE , ON Y EST TELLEMENT HABITUE QU’ON NE S’EN
PREOCCUPE PLUS.
ARNOLD SOMMERFELD (1868-1951, PHYSICIEN ALLEMAND )
4
CHAPITRE 1 : NOTIONS
FONDAMENTALES
1. OBJET DE LA THERMODYNAMIQUE
C’est une technologie, la machine à vapeur pour ne pas la citer, qui a donné naissance à la
thermodynamique. En effet, vers 1769, JAMES WATT invente la machine à vapeur, cela conduit
les hommes de science à étudier profondément les relations entre les phénomènes calorifiques
et les phénomènes mécaniques.
La thermodynamique a donc, à ses origines, pour objet l’étude des relations entre la mécanique
et la chaleur, mais son domaine s’est fortement étendu, en effet, des phénomènes calorifiques
interviennent dans tous les domaines de la physique.
5
-
Dans les phénomènes électriques, il y a apparition de la chaleur.
L’étude de l’incandescence et rayonnement fait l’objet d’une partie spéciale de la
thermodynamique.
Dans les réactions chimiques, il y a production ou absorption de chaleur, la thermochimie est
une branche de la thermodynamique.
Cette extension très vaste et débordant le sens étroit du mot, conduit à considérer la
thermodynamique comme la science générale des échanges et des transformations
énergétiques. Elle est aussi habituellement considérée comme une branche de la physique et de
la chimie qui étudie le comportement thermique des corps et l’énergie de leurs transformations.
La THERMODYNAMIQUE TECHNIQUE, qui fait l’objet de ce cours, est l’étude des conditions les
plus avantageuses de transformation de l’énergie thermique en énergie mécanique et vice-versa
dans les machines thermiques, les installations motrices thermiques et les installations
frigorifiques. La transformation de l’énergie thermique en énergie mécanique se fait dans des
moteurs thermiques à l’aide d’un fluide moteur dont le volume peut varier. Les fluides moteurs
sont en général des gaz et des vapeurs, la thermodynamique technique doit donc étudier les
propriétés des substances gazeuses.
2 PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE
Un principe est une proposition inspirée par l’expérience, une vérité non discutée et admise tant
que les conséquences qu’on peut en déduire restent en accord avec l’expérience. Le
raisonnement en déduit un ensemble de propositions ou de lois, si toutes se vérifient
expérimentalement, on doit conclure à l’exactitude des principes. Les principes de la
thermodynamique permettent de prévoir les caractéristiques macroscopiques d’un système,
ainsi que ses états d’équilibre.
PRINCIPE ZERO
‘’Deux systèmes en équilibre thermique avec un troisième sont en équilibre thermique entre
eux’’
PREMIER PRINCIPE
C’est le principe de l’équivalence ou principe de la conservation de l’énergie également appelé
« principe de l’état initial et de l’état final ».
DEUXIEME PRINCIPE
Appelé aussi principe de Carnot, il fait intervenir une grandeur d’état, l’entropie S, qui mesure le
désordre du système à l’échelle moléculaire, c’est le principe de la dégradation de l’énergie.
TROISIEME PRINCIPE
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C’est le postulat de Nernst-Planck : l’entropie de tous les corps à la température 0°K est égale à 0,
c’est un état qu’on ne peut atteindre qu’asymptotiquement.
3 TERMINOLOGIE
Nous rencontrerons souvent des termes tels que : système, milieu extérieur, source de chaleur,
transformation, etc. Nous en définissons quelques-uns.
*UN SYSTEME est une région parfaitement délimitée de l’espace contenant une quantité de
matière ; cette quantité de matière est séparée du reste du monde matériel par une enveloppe
soit réelle, soit imaginaire, à travers laquelle on dit que le travail et la chaleur sont échangés
avec le MILIEU EXTERIEUR.
*Lorsqu’un système passe d’un état d’équilibre à un autre, on dit que ce système est le siège
d’une TRANSFORMATION THERMODYNAMIQUE.
*Un système est MECANIQUEMENT ISOLE si les transformations qui s’y produisent ne se
traduisent par aucun travail extérieur.
*Un système est THERMIQUEMENT ISOLE s’il ne peut échanger aucune quantité de chaleur avec
le milieu extérieur.
*Un système est COMPLETEMENT ISOLE s’il est isolé mécaniquement et thermiquement.
*Un système subit une transformation ADIABATIQUE, lorsqu’ au cours de cette transformation il
est thermiquement isolé du milieu extérieur. Au cours d’une telle transformation, le système
peut échanger du travail avec le milieu extérieur.
*Une transformation au cours de laquelle la température du système reste constante est appelée
transformation ISOTHERME.
*Une transformation au cours de laquelle la pression reste constante est appelée transformation
ISOBARE.
*Lorsqu’il y a échange de chaleur entre un milieu extérieur E et un système S (la capacité
calorifique de E étant très grande par rapport à celle de S) et que cet échange de chaleur ne
modifie pratiquement pas la température de E (qui du reste est uniforme), ce milieu extérieur E
est appelé SOURCE DE CHALEUR.
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*Le signe de l’échange de chaleur peut correspondre suivant les cas à un gain de chaleur ou à
une perte de chaleur.
*Lorsqu’au cours d’une transformation, un système est en contact avec une seule source de
chaleur restant à une température constante, nous disons que la transformation est
MONOTHERME.
*Lorsque la transformation est monotherme et que la température en tous les points du système
reste égale à celle de la source de chaleur, cette transformation est dite ISOTHERME.
4 VARIABLES D’ETAT
La thermodynamique fait une étude globale de systèmes contenant un très grand nombre de
« composantes » ; l’air chaud dans le cylindre d’une voiture, par exemple, contient environ 10 23
molécules, une description mécanique complète exige de connaître le développement dans le
temps d’un nombre de variables (position et vitesse) égal à six fois ce nombre ! C’est ridicule et
complètement inutile pour étudier le fonctionnement du moteur ; la température de cet air, sa
pression et le volume qu’il occupe sont suffisants pour étudier son rôle dans le fonctionnement
du moteur. La thermodynamique s’en tient donc à des variables mesurables.
A chaque instant, un système est dans un certain état qui est défini par des valeurs numériques
d’un certain nombre de variables indépendantes. On appelle donc variables ou paramètres
d’état, les grandeurs physiques qui déterminent l’état d’un gaz.
Les variables d’état les plus simples, qui sont accessibles à la mesure directe sont : la pression p,
la température T ou t et le volume spécifique v.
L’expérience nous apprend que ces trois variables ne sont pas indépendantes, l’état d’équilibre
d’un système peut donc se définir par un de ces systèmes : (p,v) ; (v,t) ; (p,T), les caractéristiques
étant reliées par une équation d’état :
f(p,v,T)=0
telle que deux d’entre elles déterminent univoquement la troisième et suffisent donc à définir
l’état. Si l’on veut décrire plus précisément le système, on peut lui associer d’autres variables,
comme la densité, la capacité calorifique, la compressibilité ou encore le coefficient e dilatation.
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a. LA PRESSION
La pression absolue d’un gaz est le résultat des chocs des molécules extrêmement nombreuses
qui constituent le gaz contre la paroi de l’enceinte. La force agissant sur l’unité de surface de
l’enceinte est appelée pression p (ou pression spécifique).
Dans le S.I. l’unité de pression est le Pascal « Pa », comme une pression de 1 Pa est très petite, on
adopte comme unité pratique le « bar » :
1 bar = 10 N/cm2 = 106 dynes/cm2 = 105 Pa
On utilise aussi assez fréquemment les unités suivantes :
-
atm (atmosphère)
mmHg
mCE (mètre colonne d’eau)
kg/cm2
N/m2 et daN/cm2
Il nous arrivera d’utiliser le « système technique », il présente un avantage dans ce sens qu’il
simplifie certains calculs (lors de la conversion des unités) et qu’il est souvent rattaché au
système international.
MKSA
S.I.
S.T.
Masse
kg
kg
kg
Force
kgf
N
daN (10N=1kgf)
Longueur
m
m
m
Temps
sec
sec
sec
Pression
kgf/cm2
bar
daN/cm2 (1kgf/cm2)
Travail
kgm
Joule
daNm
Signalons enfin qu’on trouve aussi assez souvent dans la littérature, l’unité de pression
“atmosphère”, mais il est utile de savoir distinguer ce qu’on appelle atm physique et atm
technique.
1 atm phys = 1,013 bar = 760 mmHg = 10,33 mCE
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1 atm tech = 1daN/cm2 = 1 bar = 10 mCE = 1 kg/cm2
1 kgm = 1 daNm = 9,81 Joules = 9,81.107 ergs
b. LA TEMPERATURE
La température est une grandeur qui mesure le degré d’échauffement d’un corps. Pour
mesurer pratiquement les températures, on utilise la propriété que possèdent les corps de
modifier leur état quand leur degré d’échauffement varie. La température mesurée de cette
façon est appelée température empirique et on la représente par t.
L’échelle la plus rationnelle des températures, c’est-à-dire celle qui ne dépend pas des
propriétés fortuites de tel ou tel corps, est celle proposée par Kelvin c’est l’échelle absolue.
La température mesurée suivant cette échelle est représentée par T°K.
La réalisation pratique de l’échelle absolue est l’échelle centigrade internationale, dans
laquelle la température de fusion de la glace et la température d’ébullition de l’eau pure sous
la pression atmosphérique normale représentent respectivement 0°C et 100°C. La
température mesurée suivant cette échelle est représentée par t°C. Entre T°K et t°C existe la
relation :
T = 273,15 + t ≈ 273 + t
Dans les formules où la température n’intervient que sous forme de différence, on pourra
prendre indifféremment T ou t puisque:
T 1 – T 2 = t 1 - t2
On définit une échelle centigrade de température par la relation linéaire suivante où v est le
volume du liquide utilisé dans le thermomètre.
𝑣 = 𝑣0 (1 + αt)
α = 1/273,15 (coefficient de dilatation)
𝑣 –𝑣0 = 𝑣0 αt
α = 𝑣 – 𝑣0 / 𝑣0 t =
𝑣 − 𝑣0 = 𝑣0 .
𝒕=𝒗
𝒗−𝒗𝟎
𝟏𝟎𝟎 −𝒗𝟎
𝑣100 −𝑣0
𝑣0 .100
𝑣100 −𝑣0
𝑣0 .100
.𝑡
. 𝟏𝟎𝟎
Lorsque deux corps en contact ont la même température, ces deux corps sont en équilibre
thermique. Au cours du changement d’état d’un corps pur, la température reste invariable
quelles que soient les proportions des deux phases en présence.
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c. LE VOLUME SPECIFIQUE
Le volume spécifique est le volume de l’unité de masse d’une matière déterminée :
𝒗=
𝑽
𝑴
𝒎𝟑
[ 𝒌𝒈 ]
L’inverse de la grandeur précédente est appelée masse spécifique :
𝟏
𝒗
=
𝑴
𝑽
𝒌𝒈
= ϒ [𝒎𝟑]
Il existe d’autres paramètres d’état en dehors des variables que nous venons d’examiner, il
s’agit notamment de l’entropie S, l’énergie interne U et de l’enthalpie H, ils sont fonctions de
p, T et v. Ces variables seront étudiées plus loin.
5 PHENOMENES THERMODYNAMIQUES
Rappelons que l’équation d’état f(v,p,T) = 0 caractérise un état d’équilibre d’un système.
Autrement dit, elle exprime une situation dans laquelle les paramètres d’état sont constants en
chaque point du système, et ont la même valeur que dans le milieu extérieur : l’égalité des
pressions exprime l’équilibre mécanique, et l’égalité des températures exprime l’équilibre
thermique.
Un tel état d’équilibre du système ne peut être rompu que par suite d’une action mécanique ou
thermique provenant du milieu extérieur. Quand l’état du système varie, la succession des états
de ce système constitue une transformation thermodynamique.
Quand un système évolue en fonction du temps, nous disons que la transformation qu’il subit est
réversible lorsqu’à chaque instant de son évolution, l’état momentané du système peut être
caractérisé par une équation d’état (donc considéré comme étant en équilibre). La
transformation progressive du système peut alors être considérée à des infiniment petits près
des variables, comme une succession continue d’états d’équilibre infiniment voisins (ceci
implique que la transformation envisagée soit infiniment lente). Puisque l’état du système reste
toujours infiniment voisin d’un état d’équilibre, l’écart des pressions (écart entre les forces
motrices et les forces résistantes) qui produit la transformation reste faible et les énergies
cinétiques restent négligeables. De même, les écarts de températures qui conditionnent les
échanges de chaleur qui se produisent restent infiniment petits (et ces échanges de chaleur qui
se produisent entre le système et le milieu extérieur sont infiniment lents).
Lorsqu’il en est ainsi, il suffit d’une petite modification des facteurs qui déterminent le sens de
l’évolution pour inverser le sens de la transformation en fonction du temps.
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Les transformations ne pouvant satisfaire à toutes ces conditions sont des transformations
irréversibles.
Il n’existe pas des transformations réversibles dans la nature. La conception des transformations
réversibles est une abstraction scientifique qui facilite la résolution des problèmes de
thermodynamique technique.
Lorsqu’un système initialement dans un certain état d’équilibre défini par les variables qui la
caractérisent (p1, v1, T1) subit un certain nombre de transformations successives et lorsque, à la
fin de ces transformations, il se trouve dans un état d’équilibre final identique à l’état initial,
(même valeurs de p, v, et T donc p1, v1, T1) nous disons que le système décrit un cycle.
6 CHALEUR SPECIFIQUE -_ TRAVAIL
6.1. NOTION DE CHALEUR
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6.2. CHALEUR SPECIFIQUE
L’expression :
∆𝑸 = 𝒎 . 𝒄 . ∆𝒕
Représente par définition la quantité de chaleur échangée par un corps de masse m, avec les
autres corps en contact avec lui.
Le produit 𝑚. 𝑐 qui caractérise un corps donné est appelé : capacité calorifique. Ce n’est pas
une chaleur mais une capacité ; il dépend de la structure microscopique du milieu et peut être
grand comme dans le cas de l’eau ou faible comme dans les métaux.
La capacité calorifique moyenne peut être alors calculée de la façon suivante :
𝒎. 𝒄 =
𝑸
𝒕𝟐 −𝒕𝟏
La capacité calorifique qui correspond à une variation infiniment petite de la température dt est
appelée capacité calorifique réelle.
𝒎. 𝒄 =
𝒅𝑸
𝒅𝒕
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La capacité calorifique rapportée à l’unité de quantité de substance est appelée chaleur
spécifique. Dans une transformation déterminée, la chaleur spécifique est donc une variable qui
dépend principalement de la température.
Suivant l’unité de quantité de matière que l’on adopte, on distingue :
-
La chaleur spécifique massique : rapportée à 1kg [kcal/kg.deg]
La chaleur spécifique volumique : rapportée à 1Nm3 [kcal/Nm3.deg]
La chaleur spécifique molaire : rapportée à une mole de substance [kcal/mole.deg]
Comme la quantité de chaleur dépend de la façon dont la transformation s’effectue, la chaleur
spécifique dépend également des conditions dans lesquelles s’effectuent les échanges de chaleur
entre le système et le milieu extérieur. Parmi les diverses chaleurs spécifiques qu’on peut
rencontrer, la chaleur spécifique à volume constant cv et la chaleur spécifique à pression
constante cp présentent un intérêt particulier.
REMARQUE
Un corps n’a pas une quantité de chaleur déterminée (contrairement à la température). Il
perd ou gagne de la chaleur (ou quantité de chaleur) en fonction des corps avec lesquels il
entre en contact et en fonction du type de transformation menée. La chaleur Q n’est donc
pas une fonction ou grandeur d’état.
6.3. CHALEUR LATENTE ET CHALEUR DE COMBUSTION
La relation
∆𝑸 = 𝒎 . 𝒄 . ∆𝒕
N’est cependant pas générale : en effet, on a vu qu’en plaçant un métal chaud dans un
bain d’eau - glace, ce bain recevait une quantité de chaleur Q qui servait à faire fondre la
glace et non à augmenter la température : Q ≠ 0 or ∆T = 0 ; la relation précédente est
donc mise en défaut.
En fait la chaleur reçue par la glace a servi à créer un changement de phase solide (glace)
→ liquide (eau) et non à augmenter la température de la glace : cette chaleur est
appelée CHALEUR LATENTE. Cette chaleur est une chaleur que doit perdre ou gagner un
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corps pour changer de phase (état physique) et non pour augmenter sa température. Un
changement de phase s’effectue toujours à température constante et à pression
constante.
𝑄𝐿 = 𝑀 x 𝐿𝑓
QUELQUES CHALEURS LATENTES DE FUSION
Argent : 102.103 J/kg (24,36 kcal/kg) -- Fer : 270.103 J/kg (64,49 kcal/kg) -- Platine : 111.103 J/kg (26,56 kcal/kg)
Glace : 352.103 J/kg (84 kcal/kg)
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6.3 NOTION DE TRAVAIL
Le travail est une autre forme d’énergie que la chaleur, c’est l’énergie qui intervient dès qu’il
y a mouvement ou déformation d’un corps.
Pour bouger un corps sur une distance L, admettons qu’il faille développer une force
constante F. dans ce cas il faut dépenser une énergie :
F
L
x
x2
x1
𝑥2
𝑊𝑥1→𝑥2 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 = 𝐹. 𝐿 = 𝑊12
suffisamment lent pour avoir la pression P𝑥1du gaz égale à la pression Pext, on démontre facilement
que le travail reçu par le gaz u=au cours de la transformation 1 – 2 vaut
𝑉2
6.4. TRAVAIL DES FORCES DE PRESSION
W12 = − ∫ 𝑃𝑑𝑉
[𝐽]
𝑉1
𝑣
2
𝐽
ou
𝒲
=
−
∫
𝑝𝑑𝑣 produit
[ ⁄𝑘𝑔
] des forces de pression
12
Nous aurons à évaluer fréquemment le travail
mécanique
par
𝑣1
qu’un fluide exerce sur les parois mobiles qui le séparent du milieu extérieur. La pression d’un gaz
sera à l’origine du travail effectué par le gaz, ce qui aboutira au déplacement d’un piston (moteurs
thermiques). La pression est donc à l’origine des énergies mécaniques qui seront développées
dans les systèmes que l’on étudiera. Les gaz sont des systèmes dont le volume varie beaucoup en
fonction des échanges de chaleur, ce sont des systèmes privilégiés en thermodynamique.
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Considérons un gaz enfermé dans un cylindre sous un piston mobile (fig. 1) pouvant se déplacer
sans frottement. Appliquons une pression Pext sur le piston, en admettant que le déplacement est
suffisamment lent pour avoir la pression P du gaz égale à la pression Pext on démontre assez
facilement (voir Fig. 1) que le travail (énergie) reçu par le gaz au cours de la transformation 1 – 2
vaut :
V
W12 = − ∫V 2 PdV 𝑒𝑛 [J]
1
𝑜𝑢
𝑣
𝒲12 = − ∫𝑣 2 𝑝𝑑𝑣
1
𝑒𝑛 [J/kg]
Il faudra exprimer P en fonction du volume V du gaz (=volume du cylindre) pour le calcul de
l’intégrale.
De même que pour la chaleur, un corps ne possède pas un travail : il rejette une quantité de
travail ou en absorbe, selon le type de contrainte qu’on lui soumet. On dit que le travail ne
représente pas l’état d’un corps, on dit aussi que le travail n’est pas une grandeur d’état.
Lors de la compression il est probable que le gaz s’échauffe (échauffement dû à l’apport de
travail et non à l’apport de chaleur). Il faut souligner le fait que le gaz va recevoir ou rejeter du
travail, de la même manière qu’il recevait ou rejetait de la chaleur. Un travail reçu par le système
(gaz) est positif, un travail rejeté par le système est négatif.
Ainsi, lors du déplacement de la position 1 à la position 2 :
-
W12 est > 0 si le volume du fluide diminue : on a une machine (gaz) qui reçoit du travail de
l’extérieur (elle agit comme un frein pour l’extérieur), la transformation est résistante.
W12 est < 0 si le volume du fluide augmente : on a une machine qui fournit du travail à
l’extérieur (elle agit comme un moteur pour l’extérieur), la transformation est motrice.
Le diagramme p(v) ou P(V) permet de trouver graphiquement le travail développé par le
système, ce diagramme est appelé « DIAGRAMME DE CLAPEYRON » quand v ou V représente le
volume du système (gaz) : on dit que le système est fermé ; il est appelé « DIAGRAMME DE
WATT » quand v ou V représente le volume du cylindre : on dit que le système est ouvert (c’est le
cas fréquent du gaz contenu dans un cylindre de moteur à combustion interne qui est admis dans
le cylindre puis évacué grâce à des soupapes d’admission et d’échappement.
17
FIG. 1
18
Sur la figure 2, ce travail est représenté par la surface entièrement hachurée.
p
2
d𝒲
1
p
V2
dv
V1
dx
𝑣2
𝒲12 = − ∫ 𝑝𝑑𝑣
𝑣1
FIG.2
V
19
CHAPITRE 2 : PREMIER PRINCIPE DE
LA THERMODYNAMIQUE
1. ENONCE DU PREMIER PRINCIPE
Une grande loi domine la mécanique, c’est la loi de la conservation de l’énergie. « L’énergie ne
peut être ni créée ni détruite, elle peut seulement être transformée d’une forme en une autre ».
Dans les phénomènes d’échange de chaleur entre plusieurs corps, la quantité de chaleur se
conserve, quand ces échanges conduisent à l’équilibre thermique de ces corps. Certains
phénomènes mettent en jeu à la fois des échanges de travail mécanique et des échanges de
chaleur où ces deux grandeurs ne se conservent pas séparément mais apparaissent liées l’une à
l’autre.
Le premier principe de la thermodynamique peut donc s’énoncer de façon suivante : « Lorsqu’un
système matériel parcourt un cycle de transformations au cours duquel il y a échange de chaleur
et échange de travail avec le milieu extérieur (sans échange d’autres formes d’énergie), il existe
un rapport constant entre les signes et les grandeurs des quantités de travail et de chaleur
échangées.
Ce rapport peut s’écrire : J =
W
Q
et
Q
W
= A
Avec Q : quantité de chaleur transformée en travail
W : Travail mécanique
A : équivalent calorifique de l’énergie mécanique
J : équivalent mécanique de la chaleur
A = 1/J, et J = 427 kgm/kcal = 427 daNm/kcal en S.I. technique
J = 4187 J/kcal en S.I. physique
2. L’EXPERIENCE DE JOULE
L’expérience de Joule a fourni la première valeur précise de A. Le dispositif de Joule pour la
détermination de l’équivalent calorifique du kgm A est représenté par la figure 3. Joule a eu l’idée de
comparer l’apport de chaleur donnant une élévation de température ΔT à l’énergie mécanique
dépensée pour obtenir ΔT. Chaleur et Travail (énergie mécanique) provoquent donc le même effet
apparent (augmentation de la température ΔT), c’est pourquoi on considère que la chaleur est
également une énergie qu’on appelle « énergie thermique ». Actuellement, dans le système
international, on préfère donner à la chaleur Q la même unité que le travail.
20
P
P
h
h
FIG.3
On réalise 20 chutes des poids P = 15 kg d’une hauteur h = 2 m. L’élévation de la température du
calorimètre est Δt = 0,56 °C, la capacité calorifique de l’ensemble du calorimètre est
m.c = K = 5 kcal/°C
Le travail de chute n’est pas intégralement transformé en chaleur dans le calorimètre, mais
partiellement utilisé à augmenter l’énergie cinétique des masses et partiellement transformé en
chaleur par frottement hors du calorimètre. On a constaté que cette quantité de travail cédée à
l’extérieur au cours de l’expérience correspond au travail effectué par le poids de 0,12 kg ; d’où
la relation :
ℎ .20 (2𝑃 − 0,12). 𝐴 = 𝐾 . ∆𝑡
𝑲 . ∆𝒕
𝑨 = 𝒉 .𝟐𝟎 (𝟐𝑷−𝟎,𝟏𝟐) =
𝟓 . 𝟎,𝟓𝟔
𝟐 .𝟐𝟎 .(𝟐 .𝟏𝟓−𝟎,𝟏𝟐)
=
𝟏
𝟒𝟐𝟔,𝟖𝟓
≅
𝟏
𝟒𝟐𝟕
𝒌𝒄𝒂𝒍/𝒌𝒈𝒎
L’unité kcal est de plus en plus remplacée par le J, unité de l’énergie.
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3. ENERGIE INTERNE
Nous avons vu qu’un gaz enfermé dans un cylindre sous un piston mobile pouvant se déplacer
sans frottement peut produire un travail, il perd donc de l’énergie et pour en perdre, il doit en
contenir. On appelle cette énergie qu’il contient « l’énergie interne » et on la note u, c’est
l’énergie thermique totale que peut fournir un corps immobile (absence d’énergie cinétique
macroscopique) sans qu’il ne se désagrège ou sans perdre de matière, c’est-à-dire ne perdant
d’énergie que sous forme de chaleur. Si un corps perd toute son énergie interne, sa température
tombe à 0°K. Pour un fluide (gaz ou liquide) l’énergie interne correspond à l’énergie cinétique
moyenne des molécules qui le compose (en l’absence de mouvement d’ensemble). Intuitivement
plus un gaz est comprimé ou plus sa température est élevée, plus il a d’énergie interne.
Clairement, il y a deux façons de changer l’énergie interne du gaz, u. On peut le chauffer en lui
fournissant une quantité de chaleur Δq, on peut le comprimer en faisant un travail Δ𝒲 sur lui.
Dans les deux cas, le gaz est par la suite capable de faire un travail sur l’extérieur. On note
conventionnellement la chaleur reçue comme positive, selon la même convention que le travail,
donc le changement d’énergie interne du gaz ayant reçu chaleur et travail est :
Δu = Δq + Δ𝒲
Cette équation nous dit que l’énergie interne augmente si de la chaleur est absorbée et
diminue si le gaz fait un travail et vice-versa.
On peut aussi énoncer le premier principe de la thermodynamique de la façon
suivante : « le travail requis pour amener un système thermiquement isolé depuis un
premier état initial jusqu’à un autre entièrement défini appelé état final, est
indépendant de la source génératrice de travail et du chemin suivi ».
Ce travail requis ne dépend donc que des états initial et final lors d’une transformation
adiabatique et nous pouvons écrire :
A∆𝒲 = uf − ui = ∆u
u est appelé énergie interne du système, il comprend l’énergie cinétique et l’énergie potentielle
u = uc + up
Dans le cas d’un gaz parfait, up = 0 et u = f(T)
seulement.
L’égalité AΔ𝒲 = Δu n’est valable que pour une transformation adiabatique. Si la transformation
n’est pas adiabatique, on dit qu’outre un travail, il absorbe une quantité de chaleur q ou encore
qu’il rejette une quantité de chaleur –q d’où :
Δq = Δu - AΔ𝒲 (1)
22
Pour un processus élémentaire, l’équation devient :
dq = du - A d𝒲 (2)
Pour une unité de masse :
q1-2 = u2 – u1 - A𝒲1-2 (3)
Or d𝒲 = - pdv, (2) devient :
dq = du + Apdv
𝒗
q1-2 = u2 – u1 + A∫𝒗 𝟐 𝒑𝒅𝒗
et (3)
𝟏
Pour une transformation finie :
dQ = dU + ApdV
𝑽
Q1-2 = U2 – U1 + A∫𝑽 𝟐 𝒑𝒅𝑽
𝟏
Cette équation constitue l’expression générale du premier principe de la thermodynamique.
Cas d’une transformation isochore (à volume constant donc dv=0), l’expression
𝑣
q1-2 = u2 – u1 + A∫𝑣 2 𝑝𝑑𝑣 devient q1-2 = u2 – u1
1
Donc la chaleur cédée au système n’a d’autre effet que d’accroître l’énergie interne.
Nous savons que : Q = mcΔt ou encore q = cΔt = cΔT, la transformation étant isochore, nous
pouvons ajouter à c l’indice v (volume constant)
q = cvΔT donc q1-2 = u2 – u1 = cv(T2 – T1) ou encore sous forme différentielle : du = cvdT
et cv =
du
dT
Comme la variation de l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend pas du caractère de la
transformation et est déterminée seulement par la variation de température, l’expression cidessus s’applique à toutes les transformations thermodynamiques.
De tout ce qui précède, on comprend que l’énergie interne qui caractérise un gaz est une mesure
de l’état (énergétique) dans lequel il se trouve et comme, en plus, elle est fonction des variables
d’état p, v et T, elle est elle-même variable d’état.
23
4. DIAGRAMME DE CLAPEYRON
Le calcul de l’intégral ∫ 𝑝𝑑𝑣 figurant dans les différentes équations établies, ne peut se faire que
si l’on connaît la façon dont la pression varie en fonction du volume spécifique, c’est-à-dire la
relation ou la loi de la transformation p = f(v).
On se sert souvent dans le raisonnement de la courbe représentant dans un diagramme p-v la
transformation thermodynamique que subit le fluide dans la machine (fig.4).
p
2
P2
1
v2
P1
v1
FIG.4
5. ENTHALPIE
Considérons 1 kg d’un fluide moteur qui se trouve sous un piston dans un cylindre à la pression p
(fig. 5). Pour équilibrer la pression p du gaz, il faut charger le piston avec une masse dont le poids
G=p.S
FIG. 5
G=p.S
p
l
24
Dans ce cas l’énergie totale E du système considéré (gaz et charge) est la somme de l’énergie interne
du fluide moteur u et de l’énergie potentielle de la charge :
E=u+G.l
G.l=p.S.l=p.v
E = u + Apv
pv est appelé énergie potentielle de pression ou travail de pression. La grandeur u+Apv est
appelée enthalpie du gaz, on la représente par la lettre h.
h = u + Apv (exprimée en kcal/kg)
L’enthalpie est une grandeur d’état, car u et pv prennent des valeurs bien déterminées pour
chaque état du gaz ; h peut donc être employé comme variable d’état. En conséquence, une
variation Δh ne dépend pas du chemin suivi par la transformation mais dépend seulement de
l’état initial et de l’état final. Par ailleurs :
𝑑𝑞 = 𝑑𝑢 + 𝐴𝑝𝑑𝑣
𝑑(𝑝𝑣) = 𝑝. 𝑑𝑣 + 𝑣. 𝑑𝑝
𝑝. 𝑑𝑣 = 𝑑(𝑝𝑣) − 𝑣𝑑𝑝
𝑑𝑞 = 𝑑𝑢 + 𝐴𝑑(𝑝𝑣) − 𝐴𝑣𝑑𝑝
𝑑𝑞 = 𝑑(𝑢 + 𝐴𝑝𝑣) − 𝐴𝑣𝑑𝑝
ℎ = 𝑢 + 𝐴𝑝𝑣
d’où
𝒅𝒒 = 𝒅𝒉 − 𝑨𝒗𝒅𝒑
si la transformation est isobare, alors dp=0 et l’expression ci-dessus devient :
𝒅𝒒 = 𝒅𝒉 = 𝒄𝒑 𝒅𝑻
𝒆𝒕 𝒄𝒑 =
𝒅𝒉
𝒅𝑻
L’augmentation de l’enthalpie est donc égale à la quantité de chaleur reçue au cours d’un
échauffement à pression constante.
Pour une transformation finie nous pouvons écrire :
𝑄 = 𝐻2 - 𝐻1 = ∆𝐻 = ∫ 𝑐𝑝 𝑑𝑇
§§§§
25
CHAPITRE 3 : ETUDE
THERMODYNAMIQUE DES GAZ
PARFAITS
1. ASPECT FONDAMENTAL
Un gaz déterminé peut être considéré comme un gaz parfait ou idéal dans certaines conditions
(par exemple à faible pression ou à haute température), tandis qu’il faut le considérer comme un
gaz réel dans d’autres conditions (sous forte pression ou bien à basse température).
Un gaz est dit parfait, si l’on peut négliger le volume de ses molécules et l’effet des forces
d’interaction moléculaire ; il doit à cet effet respecter les lois de Boyle et Mariotte, Gay-Lussac et
Joule. Les gaz réels diffèrent donc des gaz parfaits par les interactions entre les molécules.
1.1. LOI DE BOYLE et MARIOTTE
A température constante et pour une masse gazeuse fixe, la pression et le volume sont
inversement proportionnels :
𝑝1
𝑝2
=
𝑣2
𝑣1
à T = Cte
d’où p1v1 = p2v2 le rapport pv est une Cte
1.2. LOI DE GAY-LUSSAC
A 0°C un gaz occupe un volume v0, en le chauffant sous une pression p qu’on laisse
constante, il va occuper à une température t °C un volume v tel que
v = v0 (1 + αt) à p = C te 𝛼 = coefficient de dilatation cubique à pression constante
Ce même gaz occupe un volume v et est à 0 °C à la pression p0. Le volume est laissé constant. On
chauffe le gaz, sa pression devient p, et on vérifie que :
𝑝 = 𝑝0 (1 + 𝛽𝑡)
à v = Ct β = coefficient d’accroissement de pression à volume constant.
On constate que α et β sont sensiblement voisins et valent :
26
α=β=
1
273,15
≈
1
273
1.3. LOI DE JOULE
L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température, elle est indépendante de la
pression ou du volume de la masse de gaz envisagée. (Voir chap. 2 §3).
1.4. LOI D’AVOGADRO
Des volumes égaux de gaz parfait, à même pression et température contiennent le même
nombre de kilomole.
1.5. EQUATION D’ETAT
La théorie et l’expérience montrent que les variables p, v et T concernant un milieu homogène ne
sont pas indépendantes. A l’état d’équilibre, ces variables possèdent une propriété que l’on peut
exprimer par l’égalité suivante :
f(p,v,T) = 0
Pour déterminer la forme de cette fonction nous utiliserons les lois expérimentales de Boyle et
Mariotte, de Gay-Lussac et de Joule.
En supposant que la quantité de gaz soumise à l’expérience pèse 1kg :
v désigne le volume spécifique (m 3/kg)
v0 et p0 : volume et pression à 0 °C
Considérons pour un système gazeux, un état S défini par les caractéristiques p, v et T et un état
de référence S0 défini par p0, v0 et T0
p
S (p, v, T)
p
S0(p0, v0, T0)
S1(p0, v1, T)
P0
FIG.6
0
v0
v
v1
v
27
En faisant passer le gaz de l’état S0 à l’état S1 défini par p0, v1 et T, on peut écrire d’après GayLussac :
𝑣1 = 𝑣0 (1 + 𝛼𝑡)
De S1 à S, la température est constante, nous pouvons écrire d’après la loi de Boyle et Mariotte :
𝑝𝑣 = 𝑝0 𝑣1
𝑝𝑣 = 𝑝0 𝑣0 (1 + 𝛼𝑡)
D’où
1
= 𝑝0 𝑣0 α(𝛼 + 𝑡)
Or
𝛼=
Donc
𝑝𝑣 =
=
1
273
𝑝0 𝑣0
(273
273
+ t)
𝑝0 𝑣0
.𝑇
𝑇0
𝑝𝑣
𝑝0 𝑣0
=
=𝑅
𝑇
𝑇0
pv = RT
2
3
R sera exprimé en kg/m x m /kg x 1/°K = kgm/kg °K = daNm/kg °K ou en J/kg °K
Pour le calcul de R, il est cependant intéressant de se rapporter à une kilo mole : on convient de
désigner µ kg d’une substance, µ étant son poids moléculaire, on doit écrire alors :
µpv = µRT
D’après la loi d’Avogadro (n = 6,028. 1026 molécules par kilo mole) et d’Ampère, des nombres
égaux de molécules gazeuses occupent, dans les conditions identiques de pression et de
température, des volumes égaux, quelle que soit la nature chimique du gaz. C’est ainsi qu’une
kilo mole d’un gaz prise à la température de 0°C et sous la pression atmosphérique normale (760
mmHg ou 10332 kg/m2) rempli un volume de :
µv0 = 22,414 Nm3/kmole
Nous utiliserons le symbole « Nm3 » pour désigner l’unité de mesure (m3) d’un volume de gaz
pris dans les conditions que l’on considère conventionnellement comme normales : 0°C et 1 atm
28
appelée atmosphère physique par opposition à l’atmosphère qui elle correspond à 735,5 mmHg
ou à 1 kg/cm2. On obtient alors :
µv0 = 22,414 Nm3/kmole
µp0v0 = µRT0
𝜇𝑅 =
=
µ𝑝0 𝑣0
𝑇0
p0 = 10332 kg/cm2
22,414 𝑥 10332
273
T0 = 273 °K
= 848,2836
μR = 8314 J/deg.kmole
μR = 848 daNm/deg.kmole
Un grand nombre de gaz satisfont d’une façon très approchée à ces équations, pour l’ensemble
des états suffisamment éloignés de leurs points de liquéfaction et d’autant mieux que ces états
sont plus éloignés (températures élevées, pression faible).
Pour tous les gaz qui satisfont d’une façon suffisamment approchée à l’ensemble des lois
rappelées ici, on peut donc écrire :
pv = RT avec R =
En S.I. physique, R =
8314
𝜇
848
𝜇
(daNm/deg.kg)
(Joules/deg.kg)
1.6. RELATION DE ROBERT MAYER
Selon le premier principe de la thermodynamique :
dq = du + Apdv
u = f(T)
∂q
∂u
∂v
𝑐p = (∂T) = (∂T) + A . p (∂T)
p
cv = (
cp − cv = (
p
p
∂q
∂u
) = ( )
∂T v
∂T v
∂u
∂v
∂u
∂v
) + A . p ( ) − ( ) = Ap ( )
∂T p
∂T p
∂T v
∂T p
∂v
Car u ne dépend que de T. Comme pv = RT donc (∂T) =
𝑐p − cv = A. p (
cp – cv = AR
AR
R
p
d’où :
∂v
R
) = A. p. = A. R
∂T p
p
29
𝑐p − cv =
c
Par ailleurs : cp = γ
848
µ427
=
1,985 2
=𝜇
µ
donc µcp - µcv = 2
cp = γ cv
v
𝛾𝑐𝑣 − 𝑐𝑣 = 𝐴𝑅
𝑐𝑝 −
𝑐𝑝
= 𝐴𝑅
𝛾
§§§§
𝑐𝑣 =
𝐴𝑅
𝛾−1
𝑐𝑝 =
𝛾
𝐴𝑅
𝛾−1
30
2. ETUDE DES TRANSFORMATIONS DES SYSTEMES GAZEUX
2.1. TRANSFORMATION ISOTHERME
La température reste constante pendant la transformation tandis que la pression et le volume
varient, nous savons que :
pv = RT
Or T = Cte, R = Cte donc pv = Cte et p1v1 = p2v2 si le système évolue d’un état (1) à un état (2).
Le travail indiqué 𝒲 in des forces de la pression pendant une compression isotherme de (1) à (2) est :
2
𝒲in = − ∫ pdv
1
Il est représenté dans le diagramme p-v par la surface comprise entre l’axe 0v, et la courbe
(1,2) et les verticales des deux points.
p
2
P2
𝒲in
1
P1
0
v2
v1
p=
p1 v1
v2
v
=
p2 v2
v
=
v
RT
v
dv
𝒲in = − RT ∫
= RT. ln(𝑣1 ⁄𝑣2 ) = RT[lnv1 − lnv2 ]
v1 v
FIG. 7
31
v1
v2
= RT ln
= 2,3 RT log
𝑣
v1
v2
p2
Ou encore en remarquant que ; 𝑣1 =
p1
2
𝒲in = 2,3 RT log
p2
p1
Pour une compression de 1 à 2 on aurait :
𝒲in = −2,3 RT log
p2
p1
= 2,3 RT log
p1
p2
Remarquons que pour une transformation isotherme on a aussi (puisque p 1v1 = p2v2)
1
2
∫ pdv = ∫ vdp
2
1
Cette dernière intégrale, représentée par la surface du diagramme comprise entre l’axe 0-p,
la courbe (1,2) et les horizontales des points 1 et 2, constitue la valeur du travail moteur 𝒲m
du gaz, dans une machine qui utiliserait cette détente isotherme.
D’autre part, en vertu de la loi de Joule, l’énergie interne u d’un gaz ne se modifie pas dans
une transformation isotherme.
du = cvdT = 0
On aura donc :
dq = du + Apdv = 0 + Apdv = Apdv
v
p
p
q1−2 = A ∫v 1 pdv = ART ln p1 = - ART ln p2
2
2
1
On obtient ainsi en grandeur et en signe, la quantité de chaleur que le gaz doit échanger au
cours de la détente pour conserver une température constante, elle est égale et de signe
contraire au travail.
2.2. TRANSFORMATION ISOCHORE
Le volume spécifique reste constant, p et T varient et sont constamment reliées par la loi :
pv = RT
32
p R
= = Ct
T T
p1
T1
p2
=
T2
et p1T2 = p2T1
Dans le diagramme p-v (fig. 8) la transformation isochore est représentée par une droite verticale.
Comme dv = 0, le travail 𝒲in est nul.
p
p2
2
1
p1
FIG. 8
0
v
v1 = v2
Toutefois on peut écrire :
2
𝒲m = ∫ vdp = v(p2 − p1 )
1
p=
𝒲m = v [
RT
v
RT2
v
−
RT1
v
𝒲m = R(T2 − T1 )
]
33
1.7. TRANSFORMATION ISOBARE
La pression reste invariable au cours de la transformation, v et T se modifient mais restent
constamment reliés par la loi :
pv = RT
v
R
= = Cte
T
p
p
1
2
p1=p2
FIG. 9
0
v1
v2
v
Dans le diagramme p-v (fig. 9), la transformation isobare est représentée par une droite horizontale.
2
𝒲in = − ∫1 pdv = −p(v2 − v1 )
or v1 =
RT1
p
et v2 =
RT2
p
𝒲in = −R(T2 − T1 )
34
Si T2 – T1 = 1 on trouve 𝒲n = R, ceci montre que R est en daNm et que c’est le travail de la pression
relatif à la dilatation isobare de 1kg de gaz pour une élévation de température de 1 °C.
2.4. TRANSFORMATION ADIABATIQUE
Le volume spécifique v, la température T et la pression p varient, mais la quantité de chaleur
échangée avec le milieu extérieur est nulle. (dq = 0 ; q = 0). Nous pouvons écrire d’après le
premier principe de la thermodynamique :
dq = du + Apdv
dq = dh − Avdp
Mais nous savons que pour les gaz parfaits :
du = cv dT et dh = cp dT
On aura donc :
dq = cv dT + Apdv = 0 soit cv dT = −Apdv (1)
dq = cp dT − Avdp = 0 soit cp dT = Avdp (2)
En divisant (2) par (1) nous obtenons :
cp
cp
vdp
vdp
= −
or
= γ ; γ=−
,
cv
pdv
cv
pdv
Ou encore
dp
p
+ γ
dv
v
γpdv + vdp = 0
=0
Après intégration nous trouvons :
lnp2 – lnp1 +ϒ (lnv2 – lnv1) = 0
γ
γ
lnp2 + lnv2 = lnp1 + lnv1
γ
γ
lnp2 v2 = lnp1 v1
γ
γ
p2 v2 = p1 v1 (3)
d′ où pv γ = Cte (équation de Poisson)
Dans le diagramme p-v (fig. 10) la transformation adiabatique est représentée par une
hyperbole équilatère de degré ϒ+1.
35
p
2
p2
1
p1
FIG. 10
0
v1
v2
D’après (3) nous pouvons écrire :
p2
v1 γ
= ( )
p1
v2
comme pv = RT alors
T2
p2 v2
v1 γ v2
v1 γ−1
=
= ( )
= ( )
T1
p1 v1
v2 v1
v2
1
γ−1
γ
T2
p2 p2 − γ
p2
ou
=
( ) = ( )
T1
p1 p1
p1
γ−1
γ
T2
v1 γ−1
p2
= ( )
= ( )
T1
v2
p1
Pour une détente adiabatique de 2 à 1 pour laquelle on a donc p2 > p1 (fig. 11)
p
2
p2
FIG. 11
1
p1
𝒲in
0
v2
v1
v
36
p
v1 γ ′
v1 γ
= ( ) d où p = p1 ( )
p1
v
v
1
γ
𝒲in = ∫ pdv avec p = p1 v1 .
2
v1
𝒲in =
v
dv
v −γ+1 1
γ
∫ γ = p1 v1 .
]
v
−γ + 1 v
γ
p1 v1
2
v2
v2
=
γ
p1 v1
1
vγ
γ
v −(γ−1)
p1 v1 −(γ−1)
−(γ−1)
.
] =
[v
− v1
]
γ−1 v
γ−1 2
1
γ
γ
γ−1
p1 v1 1
1
p1 v1
1 v
=
[ γ−1 − γ−1 ] =
. γ−1 [ 1γ−1 − 1]
γ − 1 v2
γ − 1 v1
v1
v2
𝒲in =
p1 v1 v1 γ−1
[( )
− 1]
γ − 1 v2
1
v1
p2 γ
= ( )
v2
p1
γ−1
γ
p1 v1 p2
𝒲in =
[( )
γ − 1 p1
=
− 1] =
p1 v1 T2
[ − 1]
γ − 1 T1
RT1 T2 − T1
1
.
=
R(T2 − T1 )
γ−1
T1
γ−1
=
p2 v2 − p1 v1
γ−1
En unité de chaleur nous écrivons :
A𝒲in =
AR
(T − T1 )
γ−1 2
37
𝐀𝓦𝐢𝐧 = 𝐜𝐯 (𝐓𝟐 − 𝐓𝟏 )
Et pour le travail moteur nous aurons :
2
1
𝒲m = ∫ vdp = ∫ pdv + p2 v2 − p1 v1
1
=
2
p1 v1 v1 γ−1
p2 v2
[( )
− 1] + p1 v1 [
− 1]
γ − 1 v2
p1 v1
=
p1 v1 v1 γ−1
v1 γ v2
[( )
− 1] + p1 v1 [( )
− 1]
γ − 1 v2
v2 v1
=
p1 v1 v1 γ−1
v1 γ−1
[( )
− 1] + p1 v1 [( )
− 1]
γ − 1 v2
v2
v1 γ−1
p1 v1
= [( )
− 1] [
+ p1 v1 ]
v2
γ−1
v1 γ−1
p1 v1 + γp1 v1 − p1 v1
= [( )
− 1]
v2
γ−1
γ
v1 γ−1
=
p v [( )
− 1] = γ𝒲in
γ − 1 1 1 v2
𝓦𝐦 = 𝛄𝓦𝐢𝐧
A𝒲m = γA𝒲in = γcv (T2 − T1 ) or cp = γcv
𝐀𝓦𝐦 = 𝐜𝐩 (𝐓𝟐 − 𝐓𝟏 )
Pour une compression adiabatique de 1 à 2, le travail 𝒲𝑖𝑛 se calcule alors comme cidessus et s’exprime par les mêmes formules mais devient négatif.
2.5.
TRANSFORMATION POLYTROPIQUE
On appelle transformation polytropique (du grec POLY-TROPOS : plusieurs chemins) une
transformation qui satisfait à l’équation :
pv m = Cte
Il va de soi que le travail sera exprimé par les formules suivantes :
38
1
𝒲in =
R(T2 − T1 )
m−1
m
m
(p v − p1 v1 )
𝒲m = m𝒲in =
R(T2 − T1 ) =
m−1
m−1 2 2
Les relations polytropiques permettent d’étudier les phénomènes très divers qui se
déroulent dans les machines thermiques.
On peut montrer facilement que les transformations étudiées précédemment sont un
cas particulier des transformations polytropiques.
En effet :
 m=0
p = Cte et c = cp
 m=1
pv = Cte et T = Cte et c = ∞
 m=ϒ
pvᵞ = Cte et c = 0
 m = ±∞
v = Cte et c = cv
T=Cte, m=1
p
v=Cte, m=∞
p=Cte, m=0
q=0, m=ϒ
v
FIG. 12
39
CHAPITRE 4 : LE SECOND PRINCIPE
DE LA THERMODYNAMIQUE ET LA
FONCTION ENTROPIE
1. CONDITIONS PHYSIQUES DE LA REALISATION DE LA
REVERSIBILITE
1.1. RAPPEL
L’idée de réversibilité a été introduite par Carnot dans la discussion des conditions à remplir
pour qu’une machine à vapeur, seul moteur thermique connu de son temps puisse marcher à
l’envers, prenant ainsi de la chaleur au condenseur pour en restituer à la chaudière.
Cette propriété des transformations réversibles, de pouvoir être effectuées indifféremment
dans les deux sens résulte du caractère fondamental suivant :
A chaque instant l’état du système en évolution coïncide avec l’un de ses états d’équilibre
possible. Expliquons ceci suivant sur l’exemple d’un gaz parfait contenu dans un cylindre
suivant le schéma de la figure 13.
A
M
A’
FIG. 13
40
Amenons le piston de A en A’ de façon qu’au cours de la compression la pression et la
température du gaz soient constamment uniforme. Le gaz possède donc à chaque instant une
pression et une température bien déterminées qui définissent un état d’équilibre.
En fait, le gaz n’est pas en équilibre puisque par hypothèse, il se transforme, mais, à chaque
instant, son état coïncide avec un des états d’équilibre qu’il peut avoir.
On se trouve en présence du phénomène de la coïncidence instantanée familier en mécanique.
Considérons un point matériel qui parcourt la courbe (C) (figure 14).
v
A’
M(X,Y,Z)
FIG. 14
A
A l’instant t il est en M et sa position coïncide avec le point fixe M de la courbe dont les
coordonnées X, Y, Z définissent précisément la position. Pour le gaz de même le piston est en M,
définissant le volume v, la pression p, la température T et les trois nombres p, v, T caractérisent
un état d’équilibre possible du gaz ; il y a coïncidence instantanée entre l’état actuel et l’état
d’équilibre, ce dernier étant défini par les trois nombres fixes p, v, T, le premier par les valeurs à
l’instant t des fonctions p(t), v(t), T(t).
Le point M étant arrivé en A’ peut revenir en A en passant en sens inverse par les mêmes
positions qu’à l’aller. Il en est de même pour le gaz ; lorsque le piston passe en M en montant on
peut obtenir que pression et température aient les mêmes valeurs qu’à l’aller.
Soit alors M une position du piston, la pression au passage en M étant la même à l’aller
et au retour pour un même déplacement dx, fait à partir de M en montant et en descendant, le
travail échangé par le gaz avec le milieu extérieur est le même en valeur absolue, les quantités
de chaleur échangées dans ces deux déplacements sont aussi égales et de signes contraires.
Ainsi une transformation opérée sur un gaz de façon à respecter l’uniformité des
paramètres d’états est réversible au sens de Carnot puisqu’elle peut s’effectuer dans les deux
sens en passant exactement par les mêmes états intermédiaires.
41
1.2. COMPRESSION ISOTHERME
La température doit rester constante ce qui exige que la chaleur produite au cours de la
compression soit évacuée au fur et mesure de sa production ; or, les mouvements de chaleur
à travers un gaz sont lents ; la compression doit donc se faire lentement. Et même alors, la
réversibilité n’est pas réalisable, en effet pour que la chaleur se transmette, il faut un
gradient de température, si bien que l’uniformité de la température n’est jamais obtenue de
façon approchée.
1.3. COMPRESSION ADIABATIQUE
Chaque élément de volume s’échauffe pour son propre compte et il n’y aurait pas de raison
pour qu’il perde de la chaleur vers les éléments voisins si n’intervient pas l’action
refroidissante des parois. Pour éviter ce flux de chaleur vers les parois on a intérêt à aller
vite, et le plus vite est le mieux pour réaliser l’uniformité de la température.
Or comme le gaz est en général aspiré par un orifice pour être introduit dans le cylindre de la
machine, il se produit une chute de pression qui croît lorsque la vitesse de l’écoulement
augmente, par ailleurs, lors de la compression, si le piston se déplace trop vite, on conçoit
que la pression en son voisinage immédiat soit plus grande que dans la masse du gaz. Pour
obtenir l’uniformité de la pression, il faut donc opérer lentement. Les conditions de la
réversibilité la meilleure ne peuvent résulter que d’un compromis.
2. ENTROPIE – PRINCIPE DE CARNOT
2.1. ENTROPIE
Plusieurs énoncés existent pour le deuxième principe, nous en donnons deux :
« Une transformation dont le seul résultat final est de transformer en travail de la chaleur
extraite d’une seule source dont la température reste fixe est impossible » (Lord Kelvin).
« Une transformation dont le seul résultat final est de transférer de la chaleur d’un corps à
une température vers un corps à une température plus élevée est impossible » (Clausius).
Le premier principe est centré sur une fonction d’état u. Nous avons vu que, pour un état
donné, un système possède une énergie interne bien déterminée. L’énergie interne est ainsi
une grandeur attachée à l’état et dont la valeur est indépendante de la façon dont le système
a été amené dans l’état considéré. Les grandeurs possédant cette propriété sont appelées
« grandeurs d’état ». Il s’avère pratique de trouver une autre fonction d’état autour de
42
laquelle graviterait le deuxième principe. Cette variable (fonction) d’état, on la doit à Clausius
qui l’a énoncée autour des années 1850. On l’appelle entropie et on la note S.
Soit par exemple 1 kg d’eau dont la température T est uniforme. Fournissons à cette eau une
quantité de chaleur dQ assez faible pour qu’il n’en résulte pas une variation appréciable de
sa température, nous disons que l’eau a reçu du milieu extérieur une quantité d’entropie dS
mesurée par le quotient dQ/T.
Pour une transformation finie amenant la température de T0 à T1 nous pouvons écrire :
T1
∆S = ∫
T0
dQ
T
Pour un solide ou un liquide homogène, la quantité d’entropie échangée est facile à calculer,
on a :
dQ = m . c . dT
T1
T1
T1
dQ
m. c. dT
cdT
et ∆S = ∫
= ∫
= m∫
T
T
T
T0
T0
T0
Les chaleurs spécifiques des solides et des liquides variant relativement peu avec la
température, nous pouvons remplacer c par une valeur moyenne constante :
T1
∆S = m . c ∫
T0
dT
T1
T1
= m . c . ln = 2,3 m c log
T
T0
T0
Ce qui donne numériquement pour 1 kg d’eau échauffée par exemple de 20°C à 30°C :
∆S = 2,3 .1 .1 . log
273 + 30
= 2,3 log 1,034
273 + 20
= 0,033396 kcal/degré
Admettant que l’entropie est une grandeur d’état, nous écrirons pour 1 kg d’eau :
𝐓𝟏
𝐓𝟏
𝐝𝐪
𝐜 𝐝𝐓
∆𝐬 = 𝐬𝟎 + ∫
= 𝐬𝟎 + ∫
𝐓
𝐓
𝐓𝟎
𝐓𝟎
43
Nous définissons ainsi une fonction s de T, s0 est la valeur de l’entropie du corps à la
température T0, comme pour l’énergie interne, nous ne définissons l’entropie qu’à
une constante additive près.
2.2. PRINCIPE DE CARNOT
Nous avons supposé jusqu’à présent que l’échauffement se produisait sous la simple action
d’un apport de chaleur, mais il est aussi possible d’échauffer par frottement comme cela a
lieu dans le calorimètre de Joule. La température augmente alors sans que le système reçoive
de la chaleur, donc de l’entropie du milieu extérieur. Dans ces conditions nous devons :
o Ou admettre que l’entropie n’a pas changé puisque le système n’en a pas reçu et
abandonner l’idée que l’entropie est une grandeur d’état.
o Ou maintenir cette idée ce qui nous met dans l’obligation d’admettre que, dans le
calorimètre de Joule, il s’est formé de l’entropie et qu’il s’en est formé la quantité
juste nécessaire pour que soit valable la formule :
T cdT
S = S0 + ∆S = S0 + m ∫T 1
o
T
, qui définit l’entropie en fonction de la
température, unique paramètre d’état en l’occurrence.
Dans l’exemple examiné ci-dessus d’un kg d’eau passant de 20°C à 30°C si nous
échauffons en fournissant de la chaleur, l’eau reçoit du milieu extérieur une quantité
d’entropie de 0,033396 kcal/degré, si nous échauffons par frottement, l’eau ne
reçoit pas d’entropie mais au cours de l’opération il se forme ces mêmes 0,033396
kcal/degré d’entropie.
En général, les deux phénomènes d’entropie échangée et d’entropie formée se
superposent : par exemple dans l’expérience de Joule le calorimètre présente des
fuites, à une entropie formée positive se superpose une entropie échangée négative,
cette dernière pourrait être positive si l’on opérait dans un milieu ambiant à
température supérieure à celle du calorimètre qui alors recevrait de la chaleur et de
l’entropie.
En toutes circonstances nous écrirons :
T dQ
∆S = ΔSe + ∆Sf = ∫T 1
o
T
+ ∆Sf
Sf est l’entropie formée, Se correspond à l’échange de chaleur, sa valeur est
donnée par l’intégrale
T1
∆Se = ∫
To
dQ
T
44
Où T est la température du système alors qu’il reçoit la quantité de chaleur
dQ.
Notre hypothèse que l’entropie est une grandeur d’état a pour conséquence
qu’elle est une fonction de la température seule et ne dépend pas de la façon
dont le système a été amené à sa température actuelle.
Il résulte de là que, partant d’une même température T1, s’il y a plusieurs
voies pour atteindre la température T2, ΔSe et ΔSf s’ajustent pour que leur
somme soit la même le long de toutes ces voies ; on a en toutes
circonstances :
∆Se + ∆Sf = ∆S = S2 − S1
S étant la fonction que défini la relation :
T1
S = So + m ∫
To
cdT
T
Revenons au calorimètre de Joule dont l’entropie s’est élevée de S1 à S2 par
suite d’augmentation de sa température de T1 à T2 : pour ramener la
température à T1, il faut évidemment enlever la quantité d’entropie
ΔS = S2 – S1. Cette opération ne peut se faire qu’en enlevant de la chaleur.
On ne peut pas, en effet, revenir à la température initiale T1 en soustrayant
du travail au calorimètre par une opération inverse de celle qui l’a échauffée.
Elle consisterait à le voir se refroidir du fait qu’il ferait remonter le poids P.
Alors que l’entropie reçue ΔSe peut s’échanger dans les deux sens, pour ΔSf il
faut prendre le mot “formée “ dans sa signification stricte. Il ne peut pas y
avoir une formation négative qui serait une destruction. Algébriquement,
nous exprimons ceci en disant que ΔSf est nécessairement positif ou
éventuellement nul.
Le second principe de la thermodynamique consiste à admettre que sont
générales les constatations élémentaires que nous venons de faire sur des
systèmes thermodynamiques simples.
Nous admettons :
1. Qu’à tout système thermodynamique est attachée une grandeur d’état
appelée son entropie. L’entropie dépend donc uniquement de l’état du
45
système et non de la façon dont il a été amené dans cet état ; elle est une
fonction des paramètres d’état et d’eux seuls.
2. La variation que subit l’entropie dans une transformation est la somme de
deux termes. L’un correspond à un échange d’entropie avec le milieu
extérieur, il est positif ou négatif suivant que le système reçoit de
l’entropie du milieu extérieur ou qu’il lui en fournit. On le calcule en
faisant l’intégrale :
2
∆Se = ∫
1
dQ
T
Prise entre l’état initial (1) et l’état final (2) ; dQ est la quantité de chaleur
reçue alors que la température est T ; chaleur reçue doit être entendue en
grandeur et en signe.
Le second terme ΔSf correspond à une formation d’entropie à l’intérieur
même du système, il est toujours positif ou à la limite nul.
L’entropie d’un système augmente donc : soit parce qu’il en reçoit de
l’extérieur, soit parce qu’il s’en forme en son sein, soit par les deux causes
simultanées.
L’entropie d’un système ne peut diminuer que par perte d’entropie vers le
milieu extérieur : il n’y a jamais destruction d’entropie à l’intérieur du
système.
Reprenons l’expression S2 − S1 = ∆S = ∆Se + ∆Sf , il y a comme nous
l’avons déjà remarqué, entre les termes ΔSe et ΔSf une compensation
analogue à celle que le premier principe établit entre travail et chaleur
échangés, son effet est que l’entropie échangée et l’entropie formée
s’ajustent pour que leur somme soit la même le long de tous les chemins
allant de l’état (1) à l’état (2). Or il est facile de voir que pour tout chemin
réversible ΔSf = 0.
Dans une transformation réversible, il est en effet possible de revenir à
l’état initial en passant exactement par les mêmes états intermédiaires
d’où résulte que si à l’aller la quantité de chaleur reçue est dQ alors que la
température est T, au retour, lorsque le système passe par le même état,
sa température a la même valeur T, et la quantité de chaleur échangée est
2 dQ
dQ’ = - dQ, les deux intégrales ∫1
T
1 dQ′
et ∫2
T
sont donc formées
d’éléments différentiels deux à deux opposés, elles ont par conséquent,
des valeurs numériques opposées. On peut écrire :
46
[∆Se ]12 = − [∆Se ]12
La transformation inverse écoule dans le milieu extérieur une quantité
d’entropie égale à celle qui avait été reçue lors de la transformation
directe ; s’il s’était formé de l’entropie au cours de cette transformation
directe, elle pourrait ne pas être évacuée au cours de la transformation de
retour et on reviendrait à l’état initial avec une entropie plus grande qu’au
départ ce qui est en contradiction avec l’hypothèse que l’entropie est une
grandeur d’état.
Indépendamment de son résultat dont nous allons voir l’importance, cette
démonstration est un exemple caractéristique du raisonnement
thermodynamique ; nous assujettissons les phénomènes à des règles très
générales et en tirons des conséquences nécessaires, des mécanismes des
phénomènes et les propriétés spécifiques des corps doivent se
coordonner pour que ces conséquences soient vérifiées.
2.3.
DIAGRAMME ENTROPIQUE T-S
Considérons une transformation quelconque d’un système S d’un état (1) à un
état (2). Toutes les caractéristiques et fonctions d’état varient : p1, v1, T1, u1,
h1 et S1 deviennent p2, v2, T2, u2, h2 et S2. Si on admet qu’à chaque instant le
système fluide est homogène et uniforme, on peut représenter la
transformation par une courbe 1 – 2 du diagramme p – v (fig. 15).
A cette courbe correspond dans un diagramme T – S (fig. 16) une ligne
représentative de la même évolution : à chaque couple de valeurs (p,v),
coordonnées d’un point du diagramme p – v correspond en effet un couple de
valeurs (T,S) du diagramme T – S , car T et S sont fonctions de p et de v.
1
1
Dans le digramme p – v , les quantités 𝒲in = ∫2 pdv et 𝒲m = ∫2 vdp se
représentent par des surfaces comprises respectivement entre les lignes :
47
p
2
p2
FIG. 15
é
1
p1
0
v2


v1
v
1 – 2, ov et les verticales des points 1 et 2
1 – 2, op et les horizontales des points 1 et 2.
Le diagramme T – S présente une propriété analogue. La quantité de chaleur
élémentaire fournie au système est :
dq = TdS et la chaleur totale :
1
Q = ∫ TdS
2
On voit que la chaleur fournie est représentée par l’aire délimité par la courbe
représentant la transformation, l’axe des entropies et les parallèles à de température
menées par les points figurant les états extrêmes de la modification.
T
2
T2
1
T1
FIG. 16
dS
0
S2
S1
S
48
Cette quantité de chaleur est positive (fournie par une source) si l’entropie va en
croissant au cours de la transformation ; elle sera négative (cédée aux sources) dans le
cas contraire (fig. 17a et 17b).
T
+Q
T
2
2
-Q
1
1
+Q
-Q
0
0
S2
S1
S
S2
FIG. 17a
dS =
dQ
T
dS =
S1
S
FIG.17b
dQ = TdS
dQ = du + Apdv
du + Apdv
dh − Avdp
=
T
T
1
1
Q = ∫ dQ = ∫ TdS = u2 − u1 + A ∫ pdv = h2 − h1 − A ∫ vdp
2
2.4.
2
ENTROPIE D’UN GAZ PARFAIT
Le moyen le plus courant pour calculer les valeurs numériques des entropies est d’utiliser
la propriété des transformations réversibles de ne pas former d’entropie, la relation
fondamentale exprimant le deuxième principe se réduit alors à
49
S = S0 + ∆Se = S0 + ∫
dQ
T
S0 est l’entropie dans un état de référence, en principe arbitraire, l’intégrale est prise le
long d’un chemin réversible (ℛ) quelconque, allant de l’état de référence à l’état
courant. Elle est calculable lorsqu’on connaît les propriétés spécifiques des substances
constituant le système et ces propriétés doivent se coordonner pour que sa valeur soit la
même le long de tous les chemins réversibles.
Pour le calcul de l’entropie des gaz, nous devons faire intervenir deux paramètres
d’états, les plus commodes sont ici : Température et volume.
Nous supposons donc 1 kg d’un gaz parfait dans l’état de référence A 0 (défini par T0, V0)
et dont l’entropie est S0. L’état final est A (T, V, S). (fig. 17c).
T
a
A
T
FIG. 17c
AO
TO
VO
b
V
V
Quel que soit le chemin suivi, l’intégrale de la formule ∫
dQ
T
a la même valeur, nous avons
donc droit de choisir le plus commode, adoptons A0 - a - A.
La transformation (A0-a) est une élévation de température à volume constant. Pour
l’échauffement ΔT la quantité de chaleur absorbée est
dQ = dU + ApdV , mais dV=0
dQ = Cv dT + 0 = Cv dT
T
∆S(A0−a) = ∫
T0
Cv dT
T
= Cv ln
T
T0
50
La transformation (a-A) est une augmentation du volume à la température constante T, en
d’autres termes une détente isotherme, il y a donc absorption d’une quantité de chaleur
T = Cte dU = 0 dQ = dU + ApdV = ApdV
dQ = A
p=
RT
dV]: T
V
V
∆Sa−A = ∫
V0
RT
dS =
V
dQ
dV
= AR
T
V
ARdV
V
= ARln
V
V0
En ajoutant les entropies reçues dans les deux phases successives de la transformation.
D’où
T
V
0
0
∆S = ∆SA0−a + ∆Sa−A = Cv ln T + ARln V
S = S0 + Cv ln
T
S = S0 + ∫
T0
T
V
+ ARln
T0
V0
(1)
Cv dT
V
+ ARln
T
V0
(2)
La formule (1) suppose que la chaleur spécifique Cv est pratiquement indépendante de la
température, la formule (2) est générale, valable que Cv dépende ou non de façon
appréciable de T.
Le chemin A0-b-A donne le même résultat.
L’entropie d’un gaz parfait s’exprime tout aussi simplement en variables température –
pression.
S = S0 + Cv ln
pV = RT et p0V0 = RT0
pV
p0 V0
=
T
V
T0
V0
=
T
V
+ ARln
T0
V0
T
T0
p
p0
T
T
T
T
p
T0
S = S0 + Cv ln + ARln p = S0 + Cv ln + AR [ln − ln
]
T0
T0
T0
p0
p0
51
= S0 + Cv ln
T
T
p
T
p
+ ARln − ARln = S0 + (Cv + AR )ln − ARln
T0
T0
p0
T0
p0
= S0 + (Cv + Cp − Cv )ln
T Cp dT
S = S0 + ∫T
Ou
0
T
T
p
T
p
− ARln = S0 + Cp ln − ARln
T0
p0
T0
p0
p
− ARln p
(1)
(2)
0
S s’exprime ici en fonction de la chaleur spécifique à pression constante, la première formule
(1) la suppose constante, la seconde tient compte de ses variations éventuelles avec la
température.
REPRESENTATION SUR LE DIAGRAMME ENTROPIQUE (BELPAIRE) DES TRANSFORMATIONS
DES SYSTEMES GAZEUX
-
Transformation isochore
T2
∆S = S2 − S1 = c ∫
T1
dT
T2
= c ln
T
T1
Dans ce cas c = cv donc
T2
T1
Il existe donc une relation logarithmique entre l’entropie et la température.
∆S = cv ln
T
p
2
2
T2
P2
p1
1
T1
FIG. 18
1
+Q
v1 = v2
S1
S2
La figure 18 donne les graphiques d’une transformation isochore dans des systèmes de
coordonnées p-v et T-S.
-
Transformation isobare
S
52
T2
T1
Dans un diagramme T-S une transformation isobare par une courbe sera aussi
représentée par une courbe logarithmique (fig. 19). La transformation isochore est
représentée en pointillé sur le même diagramme. Comme cp est plus grand que cv, le
coefficient angulaire de l’isobare est plus faible que celui de l’isochore.
∆S = cp ln
T
p
2
2
1
T2
p1=p2
+𝒲in
T1
1
+Q
0
0
v1
v2
v
S1
S2
FIG. 19
-
Transformation isotherme
dS =
dQ
T
dQ = TdS Q1−2 = T(S2 − S1 ) = ARTln
v2
v1
Dans un diagramme T – S, une isotherme est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
S
53
p
T
1
p1
1
2
T1=T2
FIG.20
2
+Q
p2
𝒲in
v1
-
v2
v
S1
S2
S
Transformation adiabatique
La variation de l’entropie dans une transformation adiabatique est nulle, car d’après la
définition même d’une transformation adiabatique dQ = 0 et dS = dQ/T = 0. Une
transformation adiabatique se déroule donc à entropie constante. Dans un diagramme T-S,
une adiabatique est une verticale.
p
1
1
T1
p1
T2
2
p2
v1
2
v2
S1=S2
FIG. 21
S
54
3. LES TRANSFORMATIONS FERMEES ET LE CYCLE DE CARNOT
3.1. LES CYCLES FERMES
Un gaz qui est enfermé dans un cylindre à piston peut effectuer un travail dans une
transformation quelconque comportant une augmentation de volume (1-m-2).
p
m
1
2
FIG. 22
𝒲1
v1
v2
v
Mais une telle transformation nécessite un mouvement continu et de sens unique du piston et la
valeur 𝒲1 du travail est limitée par les dimensions réelles du cylindre et des autres organes de la
machine ; nous devons donc répéter périodiquement le phénomène précédant de détente, c’està-dire ramener le gaz à l’état initial après sa détente.
On peut obtenir ce résultat par une compression 2-n-1 qui exige que l’on fournisse au gaz un
certain travail 𝒲2. (Voir figure 23).
Si le travail de détente 𝒲1 est supérieur au travail de compression 𝒲2, l’ensemble des deux
transformations nous donne un travail positif 𝒲o représenté sur la figure 24 par l’aire 1-m2-n-1 délimitée par la courbe formée représentant les deux transformations. Ainsi qu’on l’a
déjà dit, une telle transformation fermée est appelée un cycle.
55
p
Q1
T
1
m
1
Qo
m
𝒲o
2
2
Q2
v1
n
n
v2
S1
v
S2
S
FIG. 24
Si l’on représente un cycle quelconque de ce genre dans le diagramme T-S (fig. 24), la détente du
fluide moteur, qui est accompagnée par un apport de chaleur Q1 (transformation 1-m-2), est
également accompagnée par une augmentation de l’entropie. On voit d’autre part que la
transformation qui ramène le fluide moteur dans son état initial (transformation 2-n-1) est
accompagnée d’une diminution d’entropie c’est-à-dire par la perte d’une quantité de chaleur Q2.
Pour réaliser une transformation fermée (qui est le principe même des machines thermiques), il
faut donc non seulement fournir une quantité de chaleur Q1 au fluide moteur, mais également lui
enlever une certaine quantité de chaleur Q2. En d’autres mots, pour réaliser un cycle, il est
nécessaire que le fluide reçoive de la chaleur provenant d’une source chaude (Q1) et qu’il cède de
la chaleur à une source froide (Q2).
Dans un cycle, l’état final et l’état initial du fluide moteur coïncident. La variation de l’énergie
interne est donc nulle et nous pouvons écrire d’après le premier principe de la thermodynamique
Q o = Q1 − Q 2 = A(𝒲1 − 𝒲2 ) = A𝒲o
Le rapport de la quantité de chaleur Qo transformée en travail à la quantité totale de chaleur Q1
fournie au fluide moteur pendant un cycle est appelé rendement thermique.
ηth =
Qo
Q1 − Q 2
=
Q1
Q1
56
Comme un moteur thermique ne peut fonctionner sans céder de la chaleur à une source froide
(Q2>0), le rendement est toujours inférieur à l’unité.
3.2. LE CYCLE DE CARNOT
Le cycle de Carnot est celui de la machine dans laquelle les échanges de chaleur se font
uniquement avec deux sources aux températures fixes T1 et T2.
T
T
Q1
1
1
2
T1
T1/Q1
2
Qo=Q1-Q2
T2
4
3
3
4
Q2
T2/Q2
v
S1=S4
S2=S3
S
Fig. 25
Il comprend : deux transformations isothermes 1-2 et 3-4 au cours desquelles la chaleur est
échangée avec chacune des deux sources et deux transformations amenant les fluides de l’une à
l’autre des températures d’échanges (2-3 et 4-1) ; ces deux dernières transformations sont
nécessairement adiabatiques puisque les fluides s’y trouvent constamment à des températures
intermédiaires entre T1 et T2.
Le long du segment 1-2, le fluide moteur reçoit de la source 1 la quantité de chaleur
Q1 = T1 (S2 − S1 ) = aire 1 − 2 − S2 − S1 − 1
Il y a ensuite une détente adiabatique 2-3 sans échange de chaleur. La suite de la transformation,
qui ramène le fluide moteur à l’état initial, se fait suivant l’isotherme 3-4 et consiste à céder une
57
quantité de chaleur Q2 à la source froide à une température T2 qui est constante et commune au
fluide moteur et à la source froide.
Q2 = T2 (S3 − S4 ) = T2 (S2 − S1 ) = aire 3 − 4 − S3 − S4 − 3
Au point 4, on sépare le fluide moteur de la source froide, et l’on continue à le comprimer
suivant l’adiabatique 4-1.
Le rendement thermique est déterminé de la façon suivante :
ηth =
Q1 − Q 2
T1 (S2 − S1 ) − T2 (S2 − S1 )
T1 − T2
=
=
Q1
T1 (S2 − S1 )
T1
Par ailleurs A𝒲m = Q1 − Q2 donc ηth =
A𝒲m
Q1
Nous pouvons conclure que le rendement thermique du cycle ne dépend que des
températures T1 et T2 et augmente lorsque T1 est plus élevée et lorsque T2 est plus
petite.
Reprenons l’expression de 𝜂𝑡ℎ
ηth =
Q1 − Q 2
T1 − T2
=
Q1
T1
Nous pouvons écrire :
T1 Q1 − T1 Q2 = T1 Q1 − T2 Q1
T1 Q2 = T2 Q1
T1 Q2
T2 Q1
=
T1 T2
T1 T2
Q1 Q 2
−
=0
T1
T2
Le long de 1 − 2 et de 3 − 4 nous avons ∫
Nous pouvons donc écrire : ∫
dQ
T
dQ
Q1
dQ
Q2
=
et ∫
=
T1
T1
T2
T2
=0
Dans ces conditions le second principe de la thermodynamique se traduit par l’égalité
58
∑
dQ
=0
T
La somme s’étendant à tout le cycle. Si la transformation réversible fait passer le système
d’un état A à un état différent B, nous ne pouvons plus écrire ∑
poserons : ∑
dQ
T
dQ
T
= 0 , mais nous
= ∆S
Quand la transformation considérée est irréversible, le deuxième principe exprime que :
∑
dQ
< ∆S
T
Cette expression constitue une forme mathématique du deuxième principe de la
dégradation de l’énergie, il se traduit donc par une inégalité.
&&&&&&
&&&
59
CHAPITRE 5 : LES MACHINES
THERMIQUES
1. COMPRESSEUR A PISTON
1.1. COMPRESSEUR THEORIQUE
Pour obtenir des gaz comprimés, on emploie des machines que l’on appelle des
compresseurs. D’après leur mode de fonctionnement et leur construction, on peut trouver
les compresseurs à piston, les compresseurs centrifuges, les compresseurs axiaux, les
compresseurs à jet de vapeur, … Les compresseurs à piston sont les plus répandus.
Nous examinerons d’abord le cas théorique d’un compresseur sans espace mort et
fournissant de l’air ou tout autre gaz considéré comme parfait.
SR
R
A
SA
3
2
p2
FIG. 26
1
p1
4
0
v2
v1
60
Le gaz est aspiré par la conduite A sous la pression p1 et ensuite refoulé dans la conduite R, où
règne la pression p2.
Dès que le piston commence sa course vers la droite, il se produit dans le cylindre une dépression
qui provoque l’ouverture de la soupape d’aspiration SA. Le gaz est aspiré et remplit le cylindre au
fur et à mesure du déplacement du piston ; c’est la phase d’aspiration qui s’effectue à la pression
constante p1 et se termine quand le piston est arrivé à fond de course. Sur le diagramme (fig. 26)
l’aspiration est représentée par l’horizontale 4-1. Au point final, le volume v1 est celui du poids de
gaz admis en une course, volume mesuré à la pression p1 et à la température T1, régnant dans
l’enceinte où le gaz est prélevé.
Le piston commence ensuite sa course de retour ce qui provoque une légère surpression dans le
cylindre, il s’ensuit la fermeture automatique de la soupape SA. Le fluide est comprimé suivant
une certaine loi que nous étudierons ultérieurement et la phase de compression se traduit sur le
diagramme par la courbe 1-2. A un moment donné, la pression dans le cylindre atteint et dépasse
légèrement la pression p2 régnant dans la conduite de refoulement R. La soupape SR s’ouvre
automatiquement et le piston refoule le gaz comprimé dans le réservoir. La phase de
refoulement s’effectue ensuite à la pression constante p2, elle est traduite sur le diagramme p-v,
par la droite 2-3. Pendant cette phase, la pression et la température du fluide restent
invariables ; leurs valeurs sont celles qui avaient été atteinte au point 2, fin de la compression.
Nous avons admis que le compresseur ne possédait pas d’espace mort, c’est-à-dire que le piston,
lors de sa course retour, expulse tout le gaz contenu dans le cylindre. Par conséquent, lorsque le
piston reprendra son mouvement vers la droite, il créera un vide derrière lui, ceci provoquera
l’ouverture immédiate de la soupape SA et un nouveau cycle commencera.
Le travail produit par le moteur du compresseur pour comprimer 1 kg de gaz, est représenté par
l’aire délimitée par les lignes rouges et peut être calculé comme suit :
𝒲m = (aire 1 − 2 − v2 − v1 − 1) + (aire 2 − v2 − 0 − 3 − 2) − (aire 4 − 1 −
v1 −
0 − 4)
ou encore
2
𝒲m = p2 v2 + ∫ pdv − p1 v1
1
1.2. DIFFERENTS MODES DE COMPRESSION
1.2.1.
La compression est isotherme ce qui sera réalisé en refroidissant énergiquement les parois
du cylindre au moyen d’une enveloppe dans laquelle passe une quantité suffisante d’un
fluide frigorifique (transformation 1-2bis) sur la fig. 27.
On aura :
61
𝒲m = p1 v1 ln
p1v1 = p2v2
p1
p2
2
Q1−2 = H2 − H1 − A ∫ vdp = A𝒲m
1
comme H1 = H2
p1=Cte
donc 𝐐 = 𝐀𝓦𝐦
T
2bis
p2=Cte
p2
1
p1
2bis
1
v2
S
v1
FIG. 28
FIG. 27
1.2.2.
La compression est adiabatique et réversible, donc isentropique ce qui est réalisable si les parois
du cylindre sont parfaitement imperméable à la chaleur (transformation 1-2 sur la fig. 29).
2bis
p1
T
2
1
2
FIG. 29
2bis
p2
1
v2
v1
S
62
On aura
q=0
1
q = h2 − h1 + A ∫2 vdp = 0
Donc h2 − h1 = A𝒲m or h2 − h1 = cp dT = cp (T2 − T1 ) = A𝒲m
La température T2 se lit directement sur le diagramme entropique T-S quand l’état 1 est
fixé et la pression p2 donnée. Si on ne dispose pas d’un tel graphique, on utilise les
relations des gaz parfaits :
γ
γ
p1 v1 = p2 v2
T2
p2
=( )
T1
p1
γ−1
γ
1.2.3.
En réalité, la compression ne peut être ni isotherme, ni adiabatique, la courbe réelle 1-2’ est
comprise entre 1-2bis et 1-2. Généralement on admet que la compression s’effectue suivant la
loi pvm = Ct dite, loi polytropique. Le coefficient m est compris entre 1 (isotherme) et 1,4
(isentropique ou adiabatique), il est d’autant plus faible que l’effet du refroidissement de la
chemise d’eau est plus intense, m est voisin de 1,3 pour le compresseur d’air à piston.
2
T
2bis
2’
2
p2
2’
1
p1
2bis
1
v2
v1
s
FIG. 30
1-2 : adiabatique
On aura alors :
1-2’ : polytropique
pv
m
= C
te
soit
p1 v1m
1-2bis : isotherme
= p2 v2m
63
m−1
m
T2
p2
= ( )
T1
p1
𝒲m =
m
m
(p v − p1 v1 )
R(T2 − T1 ) =
m−1
m−1 2 2
La figure 30 montre que le travail correspondant à un cycle est minimal, si l’on adopte la
compression isotherme. Le compresseur techniquement idéal est le compresseur
isotherme. On se rapproche de cette condition en réalisant une compression étagée.
1.3.
COMPRESSION ETAGEE
Dans un compresseur à un seul étage, le coefficient de compression est limité par la
température limite admissible de l’air. L’échauffement de l’air rend le graissage plus
difficile.
Lorsqu’on veut obtenir de l’air ou un gaz à haute pression, on emploie des
compresseurs à plusieurs étages, avec refroidissement du gaz après chaque étage.
En agissant ainsi, on se rapproche d’ailleurs davantage du fonctionnement isotherme,
qui est comme on l’a vu, le fonctionnement le plus économique du compresseur.
pi
p4
5
4
2’
p4
4
T2
3
2
p1
2
5
pi
T1
1
1
3
p1
Ech.
S
Cyl. 1
FIG. 31
Cyl2
64
Prenons le cas d’un compresseur bi-étagé figure 31, la compression s’effectue dans un premier
cylindre suivant la courbe 1-2 répondant à la loi pvϒ=Ct, mais l’opération est arrêtée lorsque la
pression a atteint une certaine valeur pi intermédiaire entre p1 et pfinal . La température est alors
T2, l’air est refoulé à la pression pi et à la température T2 dans un échangeur refroidi par de l’eau
et sa température est, théoriquement du moins, ramenée à la valeur initiale T1. L’air à la pression
pi et à la température T3 = T1, est aspiré dans un deuxième cylindre. Au début de la nouvelle
compression, l’état du fluide est figuré par le point qui se trouve sur l’isotherme 1-5 passant par
le point 1.La compression s’effectue suivant la courbe 3-4 répondant encore à la loi pvϒ = Ct et le
refoulement s’effectue à la pression p4 et à la température T4 = T2.
On constate sur le diagramme p-v que le gain de travail réalisé avec la compression étagée est
représenté par l’aire 2’ – 2 – 3 – 4 – 2’.
On peut rechercher pour quelle valeur de la pression intermédiaire pi ce gain est net (maximal).
Le travail du compresseur est égal à la somme des travaux consommés dans les deux cylindres.
Pour le développement mathématique, nous prendrons le cas général pvm = Ct.
m−1
m
m
pi
𝒲m =
p1 v1 [( )
m−1
p1
m−1
= p1 v1
= p1 v1
m
m−1
m
m−1
[
[
pi m
m−1
p1 m
1
m−1
p1 m
m−1
m
m
p4
− 1] +
pi v3 [( )
m−1
pi
− 1]
m−1
− 2+
m−1
p4 m
m−1
pi m
] N. B. 1 − 5 ∶ isotherme
m−1
−(m−1)
m
. pi m + p4m . pi
− 2]
Nous avons une équation en pi, nous pouvons déterminer son extremum, dans ce cas
précis c’est le minimum qui nous intéresse. Il nous faut donc trouver une valeur de p i
pour laquelle le travail dépensé 𝒯m est minimal.
∂𝒲m
∂pi
= 0 nous donne la valeur de pi pour laquelle 𝒯m est minimal.
m−1
m−1
m−1
(−1)
∂𝒲m
m
1 m − 1 m−1
−1
−
−1
m
m
m
= p1 v1
[ m−1 .
. pi
+ p4
. pi m ] = 0
∂pi
m−1
m
p1 m
1
−
1
m−1 −2m+1
m
m
− p4 m pi
m−1 pi
p1 m
=0
65
1
−
m−1 pi
p1 m
1
m
=
1 2m−1
− +
m
pi m
2(m−1)
m
pi
p2i = p1 p4
m−1 −2m+1
p 4 m pi m
m−1
m
= (p1 p4 )
m−1
m
= (p1 p4 )
ou
p4
pi
=
pi
p1
pi = √p1 p4
Rappelons encore une fois que quand on veut obtenir une pression très élevée (10
daN/cm2) on emploie des compresseurs à piston à plusieurs étages. Cela tient à ce qu’on
est obligé de refroidir l’air chaud. La compression réchauffe en effet fortement l’air, et
cet air pourrait enflammer les vapeurs d’huile de graissage et faire éclater le
compresseur ou des tuyautages d’air. De plus, on l’a d’ailleurs démontré, la
thermodynamique montre qu’une compression en plusieurs étages est plus économique.
1.4. INFLUENCE DE L’ESPACE MORT
En pratique il n’est pas possible d’expulser complètement le gaz comprimé. A la fin de la
course il reste dans le cylindre un certain volume vm de fluide, à la pression d’émission. Ce
volume est le volume mort qu’on peut évaluer en remplissant d’huile l’espace inutilisable de
la machine étudiée.
Si on appelle vc la cylindrée (soit le volume engendré par le piston en une course), on
désigne par ℇ le rapport :
ℇ=
vm
vc
Le diagramme du compresseur est donné par la figure 32
66
3
2
P2
4
p1
1
FIG. 32
Va
vm
Vc
En fin d’émission le fluide renfermé dans l’espace mort est à la pression p3 = p2 et occupe le
volume Vm. Quand le piston commence sa course vers la droite, l’air comprimé dans l’espace
mort se détend suivant la courbe 3-4. En 4, la pression est tombée à la valeur p1 de l’admission et
la soupape peut s’ouvrir permettant l’entrée dans le cylindre d’une nouvelle charge d’air frais. Le
travail dépensé est représenté par l’aire 1 – 2 – 3 – 4. Le volume occupé au point 4 se calcule
facilement :
1
v4
v3
=
p m
(p3 )
4
v4
v3
=
1
1
p m
(p2 )
1
p m
v3 (p2 )
1
v4 =
mais v3 = vm
1
D’où v4 =
p m
vm (p2 )
1
On appelle coefficient de remplissage λi le rapport λi =
ℇ=
va
λi =
vc
vm
vc
va
vc
or va = vm + vc − v4
vm = ℇ. vc
1
va = λi . vc
1
p2 m
v4 = vm ( )
p1
1
p2 m
p2 m
λi vc = ℇvc + vc − vm ( ) = ℇvc + vc + ℇvc ( )
p1
p1
67
1
1
p2 m
p2 m
λi = ℇ + 1 − ℇ ( ) = 1 − ℇ [( ) − 1]
p1
p1
λi = 1 − ℇ [
p2
v1 m
= ( )
p1
v2
v1
− 1]
v2
Le coefficient de remplissage décroit lorsque ℇ augmente, c’est-à-dire avec l’importance
p
relative de l’espace mort et lorsque le rapport de compression p2 croît.
1
Pour une valeur donnée de ℇ, le coefficient de remplissage s’annule si
1
p2 m
ℇ [( ) − 1] = 1
p1
1
p2 m
1
( ) =1+
p1
ℇ
p2
1 m
= (1 + )
p1
ℇ
Pour un tel rapport de compression, le compresseur cesse de débiter.
1.5. INFLUENCE DES PERTES DE CHARGE
Les diagrammes d’indicateurs sont encore assez différents des diagrammes
théoriques. Par suite de la résistance des ressorts chargeant les soupapes, des pertes
de charge dans les conduites, etc. Les organes d’admission ne s’ouvrent que lorsque
la pression dans le cylindre est légèrement inférieure à la pression d’admission p 1 et
les organes de refoulement ne s’ouvrent que lorsque la pression dans le cylindre est
légèrement supérieure à la pression de refoulement p2. La différence de pression
nécessaire est de l’ordre de 2 à 5 % de la pression absolue correspondant et elle est
d’autant plus importante que le compresseur est plus rapide.
Le travail absorbé par les pertes de charge est représenté par les aires hachurées de
la figure 33.
68
2
3
p2=p3
FIG. 33
p1=p4
1
4
va
vm
v
vc
vm
Les pressions théoriques d’admission et de refoulement étant p1 et p2, on calculera les valeurs
moyennes p1 − ∆p1 et p2 + ∆p2 des pressions réellement obtenues et le rapport de
compression :
p2 + ∆p2
p2
supérieur au rapport théorique
p1 − ∆p1
p1
1.6. PARTICULARITES THERMODYNAMIQUES DES COMPRESSEURS A PISTON
Un examen attentif des diagrammes relevés sur les machines en fonctionnement révèle que
la compression 1-2 n’est nullement polytropique et qu’il n’existe donc pas de caractéristique
m constante pour la transformation 1-2. En fait si l’on détermine en chaque point de la ligne
1-2 (fig. 34) la valeur momentanée de m, on constate que m diminue pendant la
transformation de 1 à 2. Au début on a m>ϒ, la différence m – ϒ diminue et devient nulle en
X où m=ϒ puis on a m˂ϒ. Donc au début de la compression le gaz subit une action calorifique
provenant de la paroi intérieure du cylindre plus chaude que lui ; mais la température du gaz
s’élève rapidement et bientôt le flux calorifique s’inverse, cette inversion du flux calorifique
a lieu un peu avant le point X où, momentanément, la transformation est isentropique.
69
3
2
P2
Y
X
4
p1
1
Va
FIG. 34
vm
Vc
Pendant le refoulement isobare 2-3, la température ne reste pas constante, sous l’influence de
l’enveloppe réfrigérante on arrive en 3 à T3˂T2 ; mais cette diminution est général petite.
La détente 3-4 des gaz comprimés restés dans l’espace mort ne s’opère pas non plus de façon
polytropique. La caractéristique m diminue également, au début on a m>ϒ, au point Y m=ϒ et
enfin m˂ϒ. Au début le gaz se refroidit non seulement à cause de la détente mais aussi à cause
des calories cédées à la paroi refroidie du cylindre ; mais la température du gaz s’abaisse en
dessous de celle de la paroi ce qui provoque une inversion du flux calorifique, celle-ci a lieu peu
après le point Y où, momentanément, la transformation est isentropique.
A partir du point 4 s’opère le mélange du gaz comprimé détendu, de température T4, avec le gaz
frais aspiré de température To, ce mélange aura une température T’1 qui est différente de T1
(température que le mélange aura au point 1) à cause aussi des effets des parois du cylindre sur
le gaz (le plus souvent T1>T’1).
Le travail moteur 𝒲m peut se calculer en recherchant séparément le travail 𝒯mc effectué sur le
fluide pendant sa compression 1-2 et celui 𝒯md qu’effectue le fluide resté dans l’espace mort par
sa détente 3-4. Pour 1 kg de gaz entrant dans la machine à l’état 1 et sortant à l’état 2,
abstraction faite des pertes de l’espace mort, on a :
1
𝒲mc = ∫2 vdp
Et pour 1 kg de gaz entrant dans la machine à l’état 3 et sortant à l’état 4 :
70
3
𝒲md = ∫ vdp
4
En effet, pour le calcul de 𝒲mc , la machine doit être considérée comme réceptrice,
tandis que pour celui de 𝒲md , elle est motrice.
Dès lors si G désigne le poids de gaz débité par cycle et Gm le poids de gaz restant dans
l’espace mort, nous aurons, 𝒲m étant le travail moteur total pour 1 kg de gaz débité :
G𝒲m = 𝒲mc (G + Gm ) − 𝒲md . Gm
𝒲m = 𝒲mc (1 +
= 𝒲mc +
Le rapport
Gm
G
Gm
Gm
) − 𝒲md
G
G
Gm
(𝒲mc − 𝒲md )
G
peut être calculé en fonction des caractéristiques de la machine, en effet :
ℇ=
vm
va
Vm
Va
et λi =
ou encore ℇ =
et λi =
vc
vc
Vc
Vc
Gm =
Vm
Vc
= ℇ
v3
v3
G=
Va
λi Vc
=
v1
v1
Gm
ℇ. Vc . v1
ℇ. v1
=
=
G
v3 . λi . Vc
λi . v3
D’autre part, on a V3 ˂V2 et V4 ˂V1 mais les différences entre les volumes spécifiques
sont tellement petites qu’on peut écrire en première approximation :
v1 = v4 et v2 = v3 d′ où
et
𝒲m = 𝒯𝒲mc +
Gm
ℇ. v1
=
G
λi . v2
ℇ. v1
(𝒲mc − 𝒲md )
λi . v2
71
Si, dès lors, Gh est le poids horaire débité par le compresseur, la puissance indiquée, ou
théorique (Ni ou Nth) devient :
Ni =
Gh . 𝒲m
3600.75
[CV]
Ni =
Ni [CV]
1,35
[kW]
Ni =
Gh . 𝒲m
3600 .102
[kW]
Mais cette puissance peut encore s’exprimer en fonction de la surface S du piston, de sa
course C, du nombre de tours par minute n et de la pression moyenne indiquée dans le
cylindre pi. On appelle ainsi la pression représentée par la hauteur d’un rectangle ayant
la même surface que le diagramme d’indicateur et la même base (figure 35).
p
2
3
pi
FIG. 35
1
4
v3
v1
V1 − V3 = S . C
Ni ou Nth =
S. C. pi . n
60 .75
on obtient alors
[CV] ou encore Ni =
S. C. pi . n
[kW]
60 .102
72
Et pour une machine à double effet la puissance est multipliée par 2.
Si l’on tient compte d’autres parts de l’expression de Gh écrite pour un compresseur à
simple effet :
Gh = G . n .60 =
Ni =
Va
Vc . λi
S . C . λi
. n .60 =
. n .60 =
. n .60
v1
v1
v1
Gh . 𝒲m
S . C . pi . n
𝒲m . S. C. λi . n. 60
=
=
3600 .75
60 .75
3600 .75 . v1
S. C. pi . n
𝒲m . S. C. λi . n. 60
=
60 .75
3600 .75. v1
d′ où
pi =
𝒲m . λi kg
[ ⁄cm2 ]
v1
Et pour un compresseur à double effet (les deux faces du piston étant supposées présenter la
même surface S) :
Gh =
Ni =
S. C. λi . n. 120
v1
𝒲m . S. C. λi . n. 120
𝒲m . S. C. λi . n
S . C . n . pi
=
=
3600 .75. v1
30 .75 . v1
30 .75
[CV]
Par ailleurs, si 𝜂𝑚 est le rendement mécanique, on obtient pour le travail 𝒯 à effectuer
sur la machine à son point de connexion avec le système qui l’actionne :
𝒲=
Et pour la puissance effective Neff : Neff =
𝒲m
ηm
Ni
ηm
ou
Neff =
Nth
ηm
Lors de l’élaboration du projet d’un compresseur à piston, il est indispensable d’avoir
recours à la notion de rendement volumétrique qui intervient dans le calcul des
dimensions S et C des cylindres. Par ce concept on compare en effet le volume d’air pris
dans l’ambiance et réellement aspiré lors d’un déplacement du piston au volume V c de la
cylindrée. En conséquence, le rendement volumétrique 𝜌 peut s’exprimer en rapportant
le volume aspiré par heure au volume engendré par le déplacement du piston pendant le
même temps :
73
ρ=
Gh . Vo
S. C. λi . n. 60. Vo
Vo
=
= λi
n. S. C. 60
v1 . n. S. C. 60
v1
Remarquons que le rendement volumétrique d’un compresseur à piston est d’autant
meilleur que l’espace mort est plus petite que le rapport de compression de la machine
est plus faible, que le cylindre est mieux refroidi, que la soupape d’admission est plus
large et que la vitesse de déplacement du piston est plus modéré.
2. MACHINES MOTRICES A COMBUSTION INTERNE
Faisons remarquer que nous ne nous étendrons pas beaucoup sur la description et les
particularités constructives des différentes machines, cela relevant plutôt du cours de description
et construction des machines.
Les moteurs thermiques diffèrent les unes des autres par les propriétés des fluides moteurs qu’ils
emploient, par la façon dont on produit l’énergie mécanique et par la forme des transformations
thermodynamiques constituant les cycles de ces moteurs. L’appellation “moteur à combustion
interne “ vient du fait que la production de la chaleur ainsi que sa transformation en travail
mécanique se font dans un même organe.
Du point de vue thermodynamique, un moteur à combustion interne de même que tout autre
moteur thermique devrait fonctionner suivant le cycle de Carnot, puisque ce cycle possède le
rendement thermique le plus élevé. Mais à cause des contraintes constructives, on n’a pas pu
réaliser un moteur dans lequel le fluide moteur recevrait et céderait sa chaleur en
transformation isothermique. Avec des températures t1=1800 °C et t2=15 °C que l’on
rencontre dans les moteurs actuels, un cycle de Carnot correspondrait à une pression maximale
de l’ordre de 3000 daN/cm2 et à des dimensions de moteur fantastiques. Dans les moteurs réels
la pression atteint 40 à 50 daN/cm2.
Il est pratiquement plus commode de fournir la chaleur au fluide moteur suivant une isochore ou
une isobare ; c’est pourquoi il existe deux cycles :
-
Le cycle à apport de chaleur à volume constant ;
Le cycle à apport de chaleur à pression constante.
Nous pouvons aussi citer le cycle où l’apport de chaleur est mixte (isochore en partie et isobare).
Dans l’étude thermodynamique des cycles des moteurs à combustion interne, il est convenu que
74
l’on remplace les phénomènes réels irréversibles qui se produisent dans le cylindre par des
transformations réversibles. On admet en outre que le fluide moteur est un gaz parfait, et que la
série des transformations effectuées dans le moteur constitue un cycle fermé. En réalité, dans les
moteurs le fluide moteur ne revient pas chaque fois dans un état initial, il est rejeté hors du
cylindre (échappement) et remplacé par du fluide frais (aspiration).
Malgré toutes ces simplifications, l’étude des cycles théoriques des moteurs revêt d’une grande
importance dans la recherche des conditions optimales de transformation d’énergie thermique
et dans la détermination des facteurs dont dépend la valeur économique des moteurs.
Signalons aussi que d’après le procédé de réalisation du cycle moteur, on distingue les moteurs à
quatre temps et des moteurs à deux temps. Dans les moteurs à quatre temps, le cycle complet
est réalisé en quatre courses du piston, c’est-à-dire en deux tours de l’arbre moteur, il est
constitué par l’ensemble des phénomènes suivants : la préparation de l’air et du combustible, la
combustion, la détente des produits de combustion et l’évacuation des gaz épuisés. Si nous
voulons être un peu plus précis nous pouvons classer les quatre temps comme suit :




Premier temps
Deuxième temps
Troisième temps
Quatrième temps
: aspiration
: compression
: course motrice (combustion et détente)
: échappement
Dans les moteurs à deux temps le cycle est réalisé en deux courses du piston, c’est-à-dire en un
seul tour de l’arbre moteur. Dans ce cas, on supprime les temps d’aspiration et de refoulement
(échappement). Les gaz brûlés sont refoulés par une injection d’air, cet air constitue l’air de
balayage, il est fournit par une soufflante de balayage ; une pompe spéciale introduit également
à ce moment le combustible gazeux dans le cylindre. On a donc :


Une course préparatoire : échappement partiel des gaz épuisés, balayage et compression
Une course motrice : combustion, détente et début d’échappement.
75
2.1. LES MOTEURS A COMBUSTION INTERNE SOUS VOLUME CONSTANT
Le cycle avec apport de chaleur à volume constant est le prototype des cycles moteurs à
allumage extérieur (l’allumage est provoqué par une étincelle électrique) : moteur d’automobile,
d’avion, etc.
p
T
3
v1=const
3
2
q1
4
4
2
q2
1
v2=const.
1
v
s
FIG. 36
Ce cycle comprend deux adiabatiques et deux isochores, l’adiabatique 1-2 correspond à la
compression du mélange combustible, l’isochore 2-3 correspond à la combustion du mélange
(apport de la chaleur q1 jusqu’à p3. Ensuite les produits d la combustion se détendent
adiabatiquement (courbe 3-4). Dans la transformation isochore 4-1, on enlève au gaz la quantité
de chaleur q2 (source froide).
Ce cycle est appelé parfois cycle de Beau de Rochas et se caractérise par la compression
préalable à la combustion sous volume constant. Otto construit en 1877 le premier moteur
fonctionnant suivant ces principes.
Afin d’étudier ce cycle, considérons les diagrammes équivalents p-v et T-S (fig. 37). Le cycle
étant supposé fermé, la variation d’énergie interne est nulle et nous pouvons écrire :
76
q1 − q 2 = A𝒲m
p
T
3
3
2
4
4
2
𝒯o
1
1
v
s
FIG. 37
q1 = cv (T3 − T2 )
q 2 = cv (T4 − T1 )
A𝒲m = cv (T3 − T2 ) − cv (T4 − T1 )
Le rendement thermique sera :
ηth =
ηth
q1 − q 2
cv (T3 − T2 ) − cv (T4 − T1 )
=
q1
cv (T3 − T2 )
T
T4 (1 − T1 )
cv (T4 − T1 )
4
= 1−
= 1−
T2
cv (T3 − T2 )
T3 (1 − )
T3
T2
v1 ϒ−1 T3
v4 ϒ−1
v1 ϒ−1
= ( )
= ( )
= ( )
v3 = v2 et v1 = v4
T1
v2
T4
v3
v2
77
d′ où
ηth
T2
T3
=
et
T1
T4
T1
T2
=
T4
T3
T
T4 (1 − T1 )
T4
T1
4
= 1−
=1−
= 1−
T
T3
T2
T3 (1 − T1 )
4
v2 ϒ−1
1
1
ηth = 1 − ( )
=1−
=
1
−
ϒ−1
v ϒ−1
v1
p2 ϒ
(v1 )
(p )
2
1
Nous voyons aisément que le rendement théorique augmente quand le rapport ou taux
de compression augmente. Mais on est limité supérieurement dans le choix de p 2/p1 à
cause des phénomènes de détonation et de cognement provoqués par l’autoallumage.
Les approximations admises pour l’établissement de l’expression ci-dessus (on a supposé
entre autre que cv = Cte) conduisent à des valeurs de 𝜂th beaucoup trop élevées.
Si l’on calcule les caractéristiques du cycle en tenant compte des variations de cv et celles
de ϒ, on obtient des valeurs de 𝒲m conduisant à des valeurs de 𝜂th plus précises et de 12
à 15 % plus faibles. Mais même si on compare le travail indiqué 𝒲i au travail 𝒲m ainsi
calculé, on constate encore une différence importante. Le diagramme a une surface plus
faible que celui établi par le calcul envisagé (fig. 38).
Les principales causes de ces différences sont :



L’action calorifique des parois refroidies sur les gaz (surtout au cours de la
détente).
Les pertes de pression.
L’allumage qui se fait avant qu’on arrive en 2 pour éviter la combustion au
cours de la détente.
78
p
3
4
2
1
v
FIG. 38
Dans les calculs, on tient compte de la différence entre 𝒲i et 𝒲m au moyen du rendement interne
ou rendement indiqué du moteur
𝛈𝐢 =
𝓦𝐢
𝓦𝐦
Ce rendement exprime en même temps le rapport des surfaces des diagrammes
respectivement réel et théorique (en général 𝜂i≈0,82). Le rendement total du moteur
s’obtient en tenant compte en même temps des rendements : thermique 𝜂th, interne 𝜂i et
mécanique 𝜂m d’où :
𝛈𝐭𝐨𝐭 = 𝛈𝐭𝐡 𝛈𝐢 𝛈𝐦
A côté des rendements, la pression moyenne des gaz est une autre caractéristique
importante d’un cycle, car elle est liée aux dimensions principales de la machine et elle
constitue pour les cycles et les moteurs un élément de comparaison très commode. La
pression moyenne théorique sera :
pth =
𝒲m
v1 − v2
[
kg
]
m2
79
La pression moyenne indiquée : pi =
𝒲i
v1 −v2
Dès lors si S désigne la surface utile du piston, C sa course, n le nombre de tours par minute,
la puissance théorique et la puissance indiquée du moteur en CV seront respectivement :
Nth =
S. C. n. pth
60.75.2
(1) moteur à 4 temps
Nth =
S. C. n. pth
60.75
moteur à 2 temps
Ni =
S. C. n. pi
75.60.2
Ni =
S. C. n. pi
75.60
moteur à 4 temps
moteur à 2 temps
Ne étant la puissance effective, on aura :
Ne = Ni ηm = Nth ηi ηm
On a du reste
pi = pth ηi
Si Gh est le poids des gaz parcourant le cycle par heure, on a encore :
Nth =
En égalant (1) et (2)
𝒲m Gh
3600.75
(2)
et Ni =
𝒲i Gh
3600.75
80
Nth =
Gh =
2.2.
S. C. n. pth
𝒲m Gh
=
75.60.2
3600.75
60. S. C. n. pth
60. S. C. n. 𝒲m
=
2𝒲m
2𝒲m (v1 − v2 )
𝐆𝐡 =
𝟔𝟎. 𝐒. 𝐂. 𝐧
𝟐(𝐯𝟏 − 𝐯𝟐 )
LE MOTEURS A COMBUSTION INTERNE SOUS PRESSION CONSTANTE
q1
2
3
T
p
3
p1=Const.
2
4
4
q2
1
v2=Const.
1
v
FIG. 39
Le cycle avec apport de chaleur isobare comprend deux adiabatiques, une isobare et une
isochore (fig. 39). Le gaz, c’est-à-dire l’air, est comprimé suivant l’adiabatique 1-2, ce qui
échauffe l’air jusqu’à la température nécessaire à l’auto-allumage du combustible. La
transformation isobare 2-3 consiste en l’injection du combustible et sa combustion
(apport de chaleur q1). Ensuite, le gaz de combustion se détend adiabatiquement suivant
3-4, puis s’échappe à l’extérieur suivant l’isobare 4-1 (prélèvement de chaleur q2). Le
S
81
cycle caractérisé par la combustion à pression constante, constitue le cycle de Joule, c’est
le cycle du moteur Diesel.
Pour étudier le fonctionnement de la machine considérons les diagrammes équivalents
p-v et T-S (figure 40).
2
3
T
3
p2=p3
𝒯o
2
4
qo
4
1
p1
1
v2
v3
v1=v4
v
S2=S1
S3=S4
FIG. 40
Les quantités de travail sont celles représentées sur les diagrammes p-v et T-S par les
surfaces hachurées (1-2-3-4-1). En admettant que les chaleurs spécifiques restent les
mêmes pendant tout le cycle, on peut en déduire les expressions classiques du
rendement. En effet, on peut écrire :
A𝒲m = cp (T3 − T2 ) − cv (T4 − T1 )
D’où le rendement thermique :
ηth
T4
cp (T3 − T2 ) − cp (T4 − T1 )
cv (T4 − T1 )
1 T1 [T1 − 1]
=
=1−
= 1−
cp (T3 − T2 )
cp (T3 − T2 )
ϒ T2 [T3 − 1]
T2
S
82
Mais on peut écrire aussi les trois suites d’égalités relatives aux transformations
adiabatiques 1-2 et 3-4 à la transformation isobare 2-3
T1
v2 ϒ−1 T3
v4 ϒ−1
T3 v3
= ( )
;
= ( )
;
=
T2
v1
T4
v3
T2 v2
T4 T4 T3 T2
v4 ϒ−1 v3 v1 ϒ−1
=
= ( )
( )
or v4 = v1
T1 T3 T2 T1
v3
v2 v2
T4
v3 ϒ−1 v3 v1 ϒ−1 v3ϒ−1 . v3 . v1ϒ−1 v3ϒ
=( )
( )
= ϒ−1
= ϒ
T1
v1
v2 v2
v1 v2 v2ϒ−1
v2
ηth
T4
v3 ϒ
donc
=( )
T1
v2
v3 ϒ
v3 ϒ
v3 ϒ
[(
)
−
1]
[(
)
−
1]
[(
1 1 v2
1
1
1 v2 ) − 1]
v2
=1−
=
1
−
posons
X
=
v3
ϒ T2 [v3 − 1]
ϒ p ϒ−1
ϒ [v3 − 1]
[
−
1]
ϒ
2
v2
v2
T1 v2
(p )
1
𝛈𝐭𝐡 = 𝟏 −
𝟏
𝐩
(𝐩𝟐 )
𝟏
ϒ−𝟏 𝐗
ϒ
Le rendement thermique du cycle à combustion sous pression constante augmente avec
le taux de compression. Mais il dépend encore du rapport v3/v2 tout accroissement de
v3/v2 donne lieu à une augmentation de X. Le rendement 𝜂th diminue donc lorsque v3/v2
croît. Pour diminuer la puissance on diminue la durée de l’injection donc aussi v 3/v2. Le
rendement thermique d’un moteur à combustion sous pression constante augmente
donc lorsque la puissance diminue.
D’autre part à cause de X toujours supérieur à 1, le rendement du cycle à apport de
chaleur isobare est inférieur à celui du cycle à apport de chaleur isochore qui aurait le
83
même rapport de compression p2/p1. Ce dernier rendement ne serait atteint à la limite
que lorsque v3=v2 ce qui entraînerait X=1.
Mais du point de vue pratique, il est plus logique de comparer entre eux les cycles ayant
les mêmes valeurs extrêmes de pressions et de températures. Par ailleurs les moteurs à
apport de chaleur isobare utilisent une plus forte compression si bien qu’ils sont plus
économiques, les moteurs à apport de chaleur isochore étant limités par les
phénomènes d’auto-allumage.
Comme pour les moteurs à combustion sous volume constant, les approximations
admises conduisent à des valeurs de 𝜂th trop élevées. Le travail indiqué n’est ainsi qu’une
fraction du travail théorique. On écrira donc :
𝒲i = ηi 𝒲m et ηtot = ηth ηi ηm
Relativement aux pressions moyennes théoriques et indiquées on peut écrire pour le
cycle actuel les mêmes formules que celles écrites pour le moteur à combustion sous
volume constant.
pi =
𝒲i
𝒲m
; pth =
;
v1 − v2
v1 − v2
Il en est de même pour les expressions des puissances.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
pi = pth ηi
84
3. LA TURBINE A COMBUSTION
La turbine à combustion est une machine motrice comprenant un compresseur rotatif C,
une chambre de combustion CC et une turbine T connectés entre eux suivant le schéma
de la figure 41.
Le compresseur C aspire de l’air atmosphérique à l’état 1 et le comprime jusqu’à la
pression p2.
cb
CC
3
2
C
T
1
4
FIG. 41
A cause des travaux de frottement dans le compresseur supposé non refroidi, la courbe
de compression 1-2 n’est pas en réalité isentropique comme nous allons le supposer.
q1
p
2
p2=p3
3
T
P=Cte
3
2
’
p=Cte
2
2’
p1=p4
1
4
4’
q2
v1
1
v4
S2=S1
FIG. 42
S3=S4
85
Sur la figure 42, le cycle réel est représenté par 1 – 2’ – 3 – 4’ – 1 et le cycle théorique
par 1 – 2 – 3 – 4 – 1.
L’air ainsi comprimé pénètre dans la chambre de combustion CC dans laquelle on
introduit en même temps un combustible cb liquide ou gazeux. La combustion s’y
effectue sous la pression p2 et produit des gaz comburés, qui en raison de leur haute
température T3 ont un volume spécifique élevé et peuvent être utilisés dans la turbine à
gaz T. Dans ces conditions, les gaz comburés obtenus présentent, à très peu près, les
mêmes propriétés que l’air, il est dès lors, inutile de tenir compte, dans les calculs
théoriques relatifs au cycle, des variations du poids et de la nature chimique du système
en cours de la combustion, et l’on peut, avec une approximation excellente, étudier la
suite de son évolution sur les diagrammes p-v et T-S de l’air (figure 42).
On néglige les pertes de charge dans la chambre de combustion, on a donc p 2=p3. A
partir de cet état, les gaz sont détendus dans la turbine jusqu’à la pression p 1. La courbe
3-4 est isentropique, on a en 4 : p4=p1.
Lorsque le travail 𝒲T effectué par la turbine est plus grand que le travail 𝒲C absorbé
par le compresseur ; la turbine tout en entraînant le compresseur, peut encore effectuer
sur le milieu extérieur un travail :
𝒲 = 𝒲T − 𝒲C
L’ensemble comprenant la turbine, le compresseur et la chambre de combustion
constitue alors une machine motrice que l’on considère comme une machine unique et
qu’on a appelée TURBINE A COMBUSTION ou TURBINE A GAZ. Si 𝜂m désigne le
rendement mécanique de la turbine à combustion considérée dans son ensemble, on a :
𝒲 = ηm 𝒲m = ηm (𝒲m.T − 𝒲m.C )
𝒲m étant le travail moteur théorique de la turbine à combustion, différence du travail
𝒲m.T de la turbine et de celui 𝒲m.C du compresseur.
En admettant que cp et cv restent constantes :
1 – 2 : adiabatique donc dq = dh − Avdp = 0 soit Ad𝒲m = dh
86
A𝒲m.C = h2 − h1 = cp (T2 − T1 )
3 – 4 : adiabatique
A𝒲m.T = h3 − h4 = cp (T3 − T4 )
Alors 𝒲m pour 1 kg de gaz sera :
𝒲m = 𝒲m.T − 𝒲m.C = (h3 − h4 ) − (h2 − h1 ) = cp (T3 − T4 ) − cp (T2 − T1 )
Le rendement thermique sera :
ηth =
A𝒲m
h3 − h4 − h2 + h1 (h3 − h2 ) − (h4 − h1 )
h4 − h1
=
=
=1−
h3 − h2
h3 − h2
h3 − h2
h3 − h2
ηth = 1 −
ηth
cp (T4 − T1 )
T4 − T1
= 1−
cp (T3 − T2 )
T3 − T2
T4
T4
T1 (T1 − 1)
1 (T1 − 1)
= 1−
= 1−
T2 T3
T2 (T3 − 1)
T1 (T2 − 1)
T2
Cette expression montre que le travail moteur 𝒯m effectué par kg de fluide augmente
T
lorsque T3 et T2 augmentent. Par ailleurs nous pouvons écrire :
1
ϒ−1
ϒ
T4
p4
=( )
T3
p3
or p4 = p1 et p2 = p3
T4 T1
=
T3 T2
ϒ−1
ϒ
T4
p1
=( )
T3
P2
T4 T3
=
T1 T2
ϒ−1
ϒ
T1
p1
et
=( )
T2
p2
87
ηth = 1 −
T1
1
1
1
=1−
= 1−
=1−
ϒ−1
T2
v1 ϒ−1
T2
p2 ϒ
(
T1
(p )
v2 )
1
La température des gaz d’échappement de la turbine à combustion est comme on l’a vu,
relativement élevée. Ces gaz quittent la machine avec une chaleur qui est encore
utilisable et dont l’abandon constitue la perte à l’échappement de la turbine à
combustion. On peut améliorer le rendement thermique de la machine en récupérant
une partie de cette chaleur. On réalise le cycle avec récupération, le schéma de la figure
43 montre comment il faut à cet effet modifier le cycle.
T
E
6
5
CC
2
3
4
5
ΔT
3
4
Cb
6
ΔT
T
C
p=Cte
2
1
1
FIG. 43
S
Dans le compresseur C a lieu la transformation 1-2 . L’air comprimé est ensuite
réchauffé de façon isobare dans l’échangeur E jusqu’à la température T3 caractérisant
l’état 3. L’air comprimé et réchauffé passe dans la chambre de combustion CC, où est
injecté d’autre part le combustible Cb. Par suite de la combustion, on obtient en 4 des
gaz de combustion chauds. Les gaz sont ensuite détendus dans la turbine (4-5), l’état
final caractérisé par la pression p5=p1 et la température T5.Les gaz chauds obtenus en 5
passent ensuite dans l’échangeur E et y servent au réchauffage isobare 2-3 de l’air
comprimé. A la sortie de l’échangeur, on a T6˂T5 ; les pertes à l’échappement de la
machine ainsi conçue sont donc moindres.
88
Comme pour la turbine à combustion simple que nous avons étudié, on peut écrire
l’expression du travail moteur :
A𝒲m = A𝒲mT − A𝒲mC = cp (T4 − T5 ) − cp (T2 − T1 )
Et celle relative à la combustion : H4 − H3 = Cp (T4 − T3 )
Le rendement thermique de la turbine à combustion devient dès lors :
ηth =
A𝒲m Cp (T4 − T5 ) − Cp (T2 − T1 )
=
Q3−4
Cp (T4 − T3 )
Dans cette expression figure la température T3 qui dépend de l’efficacité de l’échangeur.
De plus, la différence de température ΔT à la faveur de laquelle s’effectue la
transmission, et l’on aura :
∆T = T5 − T3 = T6 − T2 → T5 − T6 = T3 − T2
Nous pouvons déterminer le rendement σ de l’échangeur :
σ=
T3 − T2
T5 − T2
Cette expression constitue aussi ce qu’on appelle degré ou rapport de récupération de la
chaleur.
T3 = T2 + σ(T5 − T2 )
Q3−4 = Cp (T4 − T3 ) = Cp [(T4 − T2 ) − σ(T5 − T2 )]
Le rendement ηth devient par substitution:
ηth =
Cp (T4 − T5 ) − Cp (T2 − T1 )
(T4 − T2 ) − (T5 − T1 )
=
(T4 − T2 ) − σ(T5 − T2 )
Cp (T4 − T2 ) − σ(T5 − T2 )
lorsque T5 = T3
ηth =
σ=
T3 − T2 T3 − T2
=
=1
T5 − T2 T3 − T2
(T4 − T2 ) − (T3 − T2 ) (T4 − T3 ) − (T2 − T1 ) (T4 − T3 ) − (T2 − T1 )
=
=
(T4 − T2 ) − (T3 − T2 )
(T4 − T2 ) − T3 + T2
T4 − T2
ηth
T
T1 (T2 − 1)
T2 − T1
1
=1−
= 1−
T4
T4 − T3
T5 (T − 1)
5
T2 T4
p2
or
=
=( )
T1 T5
p1
ϒ−1
ϒ
89
𝛈𝐭𝐡 = 𝟏 −
&&&
𝐓𝟏
𝐓𝟓