Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.
1 Exercices
Exercice 1. On jette trois dés non pipés.
1. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un 1.
2. Que vaut la probabilité d’obtenir au moins deux faces portant le même chiffre.
3. Calculer la probabilité que la somme des points marqués sur les trois faces soit paire.
4. Montrer que les deux évènements considérés aux questions 2 et 3 sont indépendants.
Solution. On considère l’univers Ω={1,..,6}3. Les évènements sont les parties de Ω. Les dés étant non pipé on prend
comme probabilité la loi uniforme sur Ω.
1. On considère Al’évènement “au moins un 1 est obtenu”. Il est plus aisé de travailler sur l’évènement contraire “aucun
1 n’est obtenu” qui est de cardinal 53. Le cardinal de Aest donc 63−53et sa probabilité est 1 −5
63, environ 0.42.
2. On note Bl’évènement “au moins deux faces portent le même chiffre”. L’évènement contraire est “toutes les faces
ont un chiffre distinct” et son cardinal est 120 =6×5×4. La probabilité cherchée est donc 1 −5×4
62, c’est à dire
environ 0.44.
3. On note Cl’évènement “la somme des points marqués sur les trois faces est paire”. Cet évènement a lieu dans le cas
où deux des trois faces ont la même parité et la troisième est paire. Ayant trois dés, nécessairement deux dés ont la
même parité, par conséquent la différence se fait sur le troisième. La probabilité de l’évènement Cvaut 1/2.
4. Il suffit de calculer le nombre de cas où la somme des faces est paire et deux faces sont égales. Là encore deux faces
sont les mêmes la parité de la somme se joue sur la dernière face. On en déduit donc que Card (B∩C) = Card B
2. Par
conséquent
P(B∩C) = P(B)
2=P(B)P(C).
Les évènements sont donc indépendants.
Exercice 2. On considère les deux situations suivantes :
1. Mon voisin a deux enfants dont au moins une fille. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon. ?
2. Un autre voisin a deux enfants. Le plus jeune est une fille. Quelle est la probabilité que l’ainé soit un garçon ?
Solution. L’ensemble Ωchoisi est
Ω={(f,g),(g,f),(f,f),(g,g)}
où le premier élément du couple est l’ainé. On suppose que l’on a équiprobabilité.
1. On considère l’évènement F: “mon voisin a deux enfants dont une fille”. Il y a trois cas favorables par conséquent
sa probabilité est 3
4.
On considère l’évènement G: “mon voisin a deux enfants dont un garçon”. Le cardinal de F∩Gest 2. On cherche
la probabilité de l’évènement Gsachant l’évènement Fce qui donne donc
P(G|F) = P(G∩F)
P(F)=2 3.
1

2. On note Jl’évènement “le plus jeune enfant de mon second voisin est une fille”. La probabilité de cet évènement est
1/2.
On note Al’évènement “l’ainé de mon second voisin est un garçon”. Le cardinal de A∩Jest 1. Par conséquent la
probabilité cherchée est
P(A|J) = P(A∩J)
P(J)=1 2.
Exercice 3. On jette deux dés non pipés, l’un est blanc l’autre est noir. Soit Al’évènement “le chiffre du dé noir est pair”, B
l’évènement “le chiffre du dé blanc est impair” et Cl’évènement “les deux chiffres ont la même parité”.
Montrer que Aet C,Aet B,Bet Csont indépendants mais que les trois évènements A,B,Cne le sont pas.
Solution. On considère des couples (b,n)où bdésigne le chiffre du dé blanc et ncelui du dé noir. On note Ωl’ensemble de
tous ces couples. La situation étant équiprobable on considère la probabilité uniforme.
1. L’ensemble Ωest {1,..,6} × {1, ..,6}de cardinal 36.
2. L’ensemble Aest {1,..,6} × {2,4,6}de cardinal 18.
3. L’ensemble Best {1,3,5} × {1,..,6}de cardinal 18.
4. L’ensemble A∩Best {1,3,5} × {2,4,6}de cardinal 18.
5. L’ensemble Cest ({1,3,5} × {1,3,5})∪ {2,4,6} × {2,4,6})de cardinal 18.
6. L’ensemble A∩Cest {1,3,5} × {1,3,5}de cardinal 9.
7. L’ensemble B∩Cest {2,4,6} × {2,4,6}de cardinal 9.
8. L’ensemble A∩B∩Cest vide.
Ainsi nous avons
P(A) = P(B) = P(C) = 1/2
et
P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 1
4.
Les couples d’évènements (A,B),(A,C)et (B,C)sont donc indépendants. Cependant, les trois évènements ne sont pas tous
les trois indépendants puisque le produit des trois probabilités est non nul alors que la probabilité de l’intersection est nulle.
Exercice 4 (Problème des rencontres).On considère nboules numérotées de 1 à nque l’on met dans nboîtes numérotées
elles aussi de 1 à n.
1. Donner un modèle probabiliste associé au problème.
2. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une coïncidence entre le numéro de la boîte et le numéro de la boule ?
Quelle est sa limite lorsque n→∞?
3. Quelle est la probabilité pour qu’il n’y ait aucune coïncidence ?
Solution. Commençons par donner un modèle probabiliste.
On note le résultat d’une expérience par un vecteur [(1,σ(1)),..,(n,σ(n))] où pour un couple (k,σ(k)) correspond à : la
boule numéro σ(k)est dans la boîte numéro k. L’application σest une permutation.
L’univers considéré est donc
Ω={[(1,σ(1)),..,(n,σ(n))] |σpermutation}
Son cardinal est n!
L’ensemble des évènements considéré est A=P(Ω).
Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité, par conséquent la probabilité à choisir est la loi uniforme.
Soit Al’évènement “il y a au moins une coïncidence entre le numéro de la boule et celui de sa boîte”.
On note Ail’évènement “la boîte icontient la boule i.”
Par conséquent, A=∪n
i=1Aiet la probabilité de Adécoule de la formule de Poincaré :
P(∪n
k=1Ak) =
n
∑
k=1
(−1)k−1∑
1≤i1≤...≤ik≤n
P(Ai1∩... ∩Aik).
2

Soient k∈ {1,...,n}, et i1,...,iktels que 1 ≤i1≤... ≤ik≤n.
P(Ai1∩... ∩Aik) = Card (Ai1∩... ∩Aik)
Card (Ω)=(n−k)! n!
on en déduit donc
P(∪n
k=1Ak) =
n
∑
k=1
(−1)k−1Ck
n
(n−k)!
n!=
n
∑
k=1
(−1)k−11
k!→1−1 e.
L’évènement “il n’y a aucune coïncidence” est l’évènement contraire du précédent, sa probabilité est donc 1 −P(A)c’est à
dire ∑n
k=0(−1)k1
k!qui tend vers 1 e.
Exercice 5 (Le paradoxe du chevalier de Méré).Le chevalier de Méré est un personnage marquant de la cour de Louis XIV
qui avait “très bon esprit, mais n’étais pas très bon géomètre” (cf lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654). Ce personnage
était toujours à la recherche de règles cachées lui permettant d’avoir un avantage sur ses adversaires. Voici deux de ses règles.
1. Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un 6 en lançant un dé 4 fois de suite.
2. Il est avantageux de parier sur l’apparition d’au moins un double six en lançant deux dés 24 fois de suite.
Qu’en pensez vous ? Quelle faute de raisonnement a pu faire le chevalier, quel est le paradoxe ?
Solution. 1. Pour la première règle on considère l’ensemble Ω={1,...,6}4avec la loi uniforme.
On considère l’évènement A: “avoir au moins un 6”. En utilisant l’évènement contraire nous obtenons que sa proba-
bilité est
1−5
64
'0.5177 >1
2.
Le chevalier a donc raison.
2. Pour la seconde règle on considère Ω= ({1,...,6} × {1, ...,6})24,avec la loi uniforme.
On considère l’évènement A: “avoir au moins un double 6 sur 24 lancés de deux dés”. En utilisant l’évènement
contraire nous obtenons que sa probabilité est
1−35
3624
'0.4914 <1
2.
Le chevalier a tort.
Exercice 6 (Le problème des trois portes).Vous êtes à un jeu télévisé et le présentateur vous montre trois portes A, B et C.
Dérrière une de ces portes il y a un cadeau. Derrière les autres portes il n’y a rien. Vous choisissez la porte A, le présentateur
ouvre la porte B derrière laquelle il n’y a rien. Le présentateur vous propose alors de changer votre porte. Que faîtes vous ?
On ne cherchera pas à construire un modèle probabiliste associé à la situation. On le suppose construit et on raisonne avec.
Solution. On note A, B, C les trois portes et A(resp Bet C) les évènements “le cadeau est derrière la porte A (resp B, C)”.
La probabilité de ces trois évènements est
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3.
Soit El’évènement “le présentateur ouvre la porte B”. On doit donc examiner les probabilités P(A|E)et P(C|E). Pour
cela on utilise les formules
P(A|E) = P(A∩E)
P(E)=P(E|A)P(A) P(E),
et de même
P(C|E) = P(C∩E)
P(E)=P(E|C)P(C) P(E).
Si le cadeau est effectivement derrière la porte A alors le présentateur a le choix entre les portes B et C, on en déduit
donc que P(E|A) = 1/2.
Si la voiture est effectivement derrière la porte Calors le présentateur ne peut que choisir la porte B car il ne peut ouvrir la
porte A. Par conséquent P(E|C) = 1.
3

Enfin, lévènement Ene peut se produire si le cadeau est derrière la porte B. Par conséquent P(E|B) = 0. Les évènements
A,Bet Cforment un système complet. On calcule donc P(E)par la formule
P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B) + P(E|C)P(C) = 1
2.
Ainsi, P(A|E) = 1/3 et P(C|E) = 2/3 et il y a donc tout intérêt à changer de porte.
Exercice 7. On considère un de nos étudiants du cours de probabilité. Quand on téléphone chez lui, entre 18h et 19h, on a
neuf chances sur dix de tomber sur son répondeur. Lorsqu’il est présent chez lui, il utilise son répondeur deux fois sur trois,
précisément lorsqu’il travaille ses cours et ne souhaite pas être dérangé. Quand il est absent, il utilise toujours son répondeur.
On ne cherchera pas à construire un modèle probabiliste associé à la situation. On le suppose construit et on raisonne avec.
1. Calculer la probabilité pour qu’il soit là chez lui entre 18h et 19h.
2. On tombe sur le répondeur, calculer la probabilité pour qu’il soit présent en train de travailler.
Solution. On considère les évènements A: “tomber sur le répondeur” et B: “l’étudiant est présent”. On note Bl’évènement,
“l’étudiant est absent” D’après l’énoncé nous avons les probabilités suivantes :
P(A) = 9
10,P(A|B) = 2 3,P(A|B) = 1.
1. Par la décomposition
A= (A∩B)t(A∩B)
nous obtenons
P(A) = P(A∩B) + P(A∩B) = P(B)P(A|B)+(1−P(B))P(A|B).
Par conséquent on a
9
10 =2 3P(B) + 1−P(B)
donc P(B) = 3
10 .
2. On calcule
P(B|A) = P(B∩A)
P(A)=P(B)P(A|B) P(A)=2 9.
Exercice 8. Montrer que si l’on tape de manière aléatoire une infinité de fois sur une machine à écrire avec probabilité 1,
votre roman préféré sera tapé une infinité de fois.
Solution. On considère le modèle probabiliste (Ω,A,P)associé à l’expérience où Ωest constitué de l’ensemble des écrits
(infinis !) possibles et Aest l’ensemble des parties de Ω. Soit Rvotre roman préféré et Lle nombre de caractères le consti-
tuant. On considère Rkl’évènement consistant en le fait que le roman soit écrit entre les caractères (k−1)L+1 et kL. Ces
évènements sont indépendants et ont la même probabilité, d’où ∑P(Rn) = ∞. Par le lemme de Borel-Cantelli, avec une
probabilité égale à 1, une infinité d’évènements Rkvont se produire. Autrement dit votre roman sera tapé une infinité de
fois !
Exercice 9 (Modèles statistiques. Boules et urnes).On considère le problème de la répartition de rboules dans nurnes et
l’on suppose les répartitions équiprobables. Cependant on obtient diverses situations suivant que l’on considère les boules et
les urnes discernables ou indiscernables. Tous les modèles ci-dessous sont utilisés en mécanique statistique.
1. Boules et urnes sont discernables (modèles de Maxwell-Boltzmann).
(a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω?
(b) Calculer la probabilité de l’évènement Ai: “la i-ème urne est vide”.
(c) Calculer la probabilité de l’évènement B“chaque boîte contient au plus une boule”.
(d) Calculer la probabilité de l’évènement Cik : “la i-ème urne contient exactement kboules”.
(e) Calculer la probabilité de l’évènement A“parmi murnes fixés à l’avance, aucune n’est vide”
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(f) On considère des entiers (k1,...,kn)avec k1+... +kn=r.
Calculer la probabilité d’avoir k1boules dans l’urne 1, ... , knboules dans l’urne n.
2. Boules indiscernables et urnes discernables (modèle de Bose-Einstein)
(a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω?
(b) Calculer la probabilité de l’évènement Ak: “une urne fixée contient exactement kboules”.
3. Boules indiscernables, urnes discernables et impossibilité d’avoir deux ou plus de deux boules dans une même urne
(modèle de Fermi-Dirac)
(a) Proposer un modèle. Quel est le cardinal de Ω?
(b) Calculer la probabilité de l’évènement A1: “une urne fixée contient exactement une boule”.
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