Calcul du champ électrostatique créé par un cylindre infini chargé uniformément Fiche réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62) et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62) © http://b.louchart.free.fr Enoncé : Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par un cylindre infini de rayon R et uniformément chargé (avec une densité volumique de charge ρ). Corrigé : (∆) u u M u O Plaçons nous dans un repère cylindrique. M = E r, θ, z. u + Eθ r, θ, z. uθ + E r, θ, z. u On a alors : E Etude des symétries : appartient à ce plan. Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E appartient à ce plan. Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E est donc dirigé selon u : E M = E r, θ, z. u Le champ E Etude des invariances : Il y a invariance de la distribution de charges : - par translation selon l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de z - par rotation autour de l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de θ M = Er. u On obtient donc : E Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss : Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé d'axe (Oz), de rayon r et de hauteur h. (∆) dS (Sbase 1) dS M h (Slatérale) (Sbase 2) dS D'après le théorème de Gauss, & E. dS = '( Q*+, ε. (1) = & E. dS '( = E. dS + "#é%" E. dS + E. dS ! ⇒ E. dS = 0 Sur les surfaces de base du cylindre, E ⊥ dS Donc E. dS = E. dS = 0 ! Sur la surface latérale, E = Er. u Donc "#é%" = . dS E "#é%" et dS = dS. u Er. dS = Er "#é%" dS = Er × 2πrh (car E(r) est constant sur la surface latérale) Donc & E. dS = 2πrh × Er '( 1er cas : si r R Qint = ρ × πR1 h L'équation (1) donne ainsi : Finalement, 2πrh × Er = si r R, EM = ρ × πR1 h ε. , soit Er = ρR1 2ε. r ρ × πr 1 h ε. , soit Er = ρr 2ε. ρR1 u 2ε. r 2ème cas : si r R Qint = ρ × πr 1 h L'équation (1) donne alors : 2πrh × Er = Finalement, M = si r R, E ρr u 2ε.
