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03 E Cylindre

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Calcul du champ électrostatique
créé par un cylindre infini chargé uniformément
Fiche réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62)
et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62)
© http://b.louchart.free.fr
Enoncé :
Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par un cylindre infini de rayon R et
uniformément chargé (avec une densité volumique de charge ρ).
Corrigé :
(∆)
u
u
M
u
O
Plaçons nous dans un repère cylindrique.
M = E r, θ, z. u + Eθ r, θ, z. uθ + E r, θ, z. u
On a alors : E
Etude des symétries :
appartient à ce plan.
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E
appartient à ce plan.
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E
est donc dirigé selon u : E
M = E r, θ, z. u
Le champ E
Etude des invariances :
Il y a invariance de la distribution de charges :
- par translation selon l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de z
- par rotation autour de l'axe (Oz) ⇒ E ne dépend pas de θ
M = Er. u
On obtient donc : E
Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss :
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé d'axe (Oz), de rayon r et de hauteur h.
(∆)
dS
(Sbase 1)
dS
M
h
(Slatérale)
(Sbase 2)
dS
D'après le théorème de Gauss,
& E. dS
=
'( Q*+,
ε.
(1)
=
& E. dS
'( =
E. dS +
"#é%" E. dS
+
E. dS
! ⇒ E. dS
= 0
Sur les surfaces de base du cylindre, E ⊥ dS
Donc
E. dS =
E. dS = 0
! Sur la surface latérale, E = Er. u
Donc
"#é%" =
. dS
E
"#é%"
et dS = dS. u
Er. dS = Er "#é%"
dS = Er × 2πrh
(car E(r) est constant
sur la surface latérale)
Donc
& E. dS = 2πrh × Er
'( 1er cas : si r  R
Qint = ρ × πR1 h
L'équation (1) donne ainsi :
Finalement,
2πrh × Er =
si r  R, EM =
ρ × πR1 h
ε.
, soit
Er =
ρR1
2ε. r
ρ × πr 1 h
ε.
, soit
Er =
ρr
2ε.
ρR1
u
2ε. r
2ème cas : si r  R
Qint = ρ × πr 1 h
L'équation (1) donne alors : 2πrh × Er =
Finalement,
M =
si r  R, E
ρr
u
2ε.
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