Calcul du champ électrostatique
créé par un cylindre infini chargé uniformément
Fiche réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62)
et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62)
© http://b.louchart.free.fr
Enoncé :
Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par un cylindre infini de rayon R et
uniformément chargé (avec une densité volumique de charge ρ).
Corrigé :
Plaçons nous dans un repère cylindrique.
On a alors :
θ
θ
θ
θ
θ
Etude des symétries :
Le plan
est un plan de symétrie, donc
appartient à ce plan.
Le plan
est un plan de symétrie, donc
appartient à ce plan.
Le champ
est donc dirigé selon
:
(
∆
)
O
M
Etude des invariances :
Il y a invariance de la distribution de charges :
- par translation selon l'axe (Oz)
⇒
E ne dépend pas de z
- par rotation autour de l'axe (Oz)
⇒
E ne dépend pas de θ
On obtient donc :
Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss :
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé d'axe (Oz), de rayon r et de hauteur h.
D'après le théorème de Gauss, = (1)
= + +
Sur les surfaces de base du cylindre,
⇒
= 0
Donc = = 0
Sur la surface latérale,
et
Donc = = =
(
∆
)
(car E(r) est constant
sur la surface latérale)
=
M
h
(S
base 1
)
(S
base 2
)
(S
latérale
)
Donc =
1
er
cas : si r R
Q
int
=
L'équation (1) donne ainsi : , soit
Finalement, si r R,
2
ème
cas : si r R
Q
int
=
L'équation (1) donne alors : , soit
Finalement, si r R,
1
/
3
100%
