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Cours de mathématiques
Première année
Exo7

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Sommaire
Exo7
1Logique et raisonnements .........................................9
1Logique .............................................................. 9
2Raisonnements ....................................................... 14
2Ensembles et applications ....................................... 19
1Ensembles ........................................................... 20
2Applications .......................................................... 23
3Injection, surjection, bijection ............................................. 25
4Ensembles finis ....................................................... 29
5Relation d’équivalence .................................................. 36
3Nombres complexes ............................................. 41
1Les nombres complexes ................................................. 41
2Racines carrées, équation du second degré .................................. 45
3Argument et trigonométrie ............................................... 48
4Nombres complexes et géométrie ......................................... 52
4Arithmétique .................................................... 55
1Division euclidienne et pgcd .............................................. 55
2Théorème de Bézout ................................................... 59
3Nombres premiers ..................................................... 63
4Congruences ......................................................... 66
5Polynômes ....................................................... 73
1Définitions ........................................................... 73
2Arithmétique des polynômes ............................................. 76
3Racine d’un polynôme, factorisation ........................................ 80
4Fractions rationnelles ................................................... 85
6Groupes ......................................................... 89
1Groupe ............................................................. 89
2Sous-groupes ........................................................ 94
3Morphismes de groupes ................................................. 96
4Le groupe Z/nZ........................................................ 99
5Le groupe des permutations Sn.......................................... 101
7Les nombres réels .............................................. 107
1L’ensemble des nombres rationnels Q...................................... 108
2Propriétés de R...................................................... 110
3Densité de Qdans R................................................... 114
4Borne supérieure ..................................................... 116
3

4SOMMAIRE
8Les suites ....................................................... 121
1Définitions .......................................................... 121
2Limites ............................................................ 124
3Exemples remarquables ................................................ 130
4Théorème de convergence .............................................. 135
5Suites récurrentes .................................................... 140
9Limites et fonctions continues .................................. 147
1Notions de fonction ................................................... 148
2Limites ............................................................ 152
3Continuité en un point ................................................. 158
4Continuité sur un intervalle ............................................. 163
5Fonctions monotones et bijections ........................................ 166
10 Fonctions usuelles .............................................. 173
1Logarithme et exponentielle ............................................. 173
2Fonctions circulaires inverses ............................................ 177
3Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses ............................ 180
11 Dérivée d’une fonction .......................................... 185
1Dérivée ............................................................ 186
2Calcul des dérivées ................................................... 189
3Extremum local, théorème de Rolle ....................................... 193
4Théorème des accroissements finis ....................................... 197
12 Zéros des fonctions ............................................. 203
1La dichotomie ....................................................... 203
2La méthode de la sécante .............................................. 208
3La méthode de Newton ................................................ 212
13 Intégrales ...................................................... 217
1L’intégrale de Riemann ................................................ 219
2Propriétés de l’intégrale ................................................ 225
3Primitive d’une fonction ................................................ 228
4Intégration par parties – Changement de variable ............................. 234
5Intégration des fractions rationnelles ...................................... 238
14 Développements limités ........................................ 243
1Formules de Taylor .................................................... 244
2Développements limités au voisinage d’un point ............................. 250
3Opérations sur les développements limités .................................. 253
4Applications des développements limités ................................... 257
15 Courbes paramétrées ........................................... 263
1Notions de base ...................................................... 264
2Tangente à une courbe paramétrée ....................................... 271
3Points singuliers – Branches infinies ....................................... 277
4Plan d’étude d’une courbe paramétrée ..................................... 284
5Courbes en polaires : théorie ............................................ 291
6Courbes en polaires : exemples .......................................... 298

SOMMAIRE 5
16 Systèmes linéaires .............................................. 303
1Introduction aux systèmes d’équations linéaires .............................. 303
2Théorie des systèmes linéaires ........................................... 307
3Résolution par la méthode du pivot de Gauss ................................ 310
17 L’espace vectoriel Rn............................................ 317
1Vecteurs de Rn....................................................... 317
2Exemples d’applications linéaires ......................................... 320
3Propriétés des applications linéaires ....................................... 326
18 Matrices ........................................................ 333
1Définition .......................................................... 333
2Multiplication de matrices .............................................. 336
3Inverse d’une matrice : définition ......................................... 341
4Inverse d’une matrice : calcul ........................................... 343
5Inverse d’une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 346
6Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques ................. 353
19 Espaces vectoriels .............................................. 361
1Espace vectoriel (début) ............................................... 361
2Espace vectoriel (fin) .................................................. 365
3Sous-espace vectoriel (début) ........................................... 369
4Sous-espace vectoriel (milieu) ........................................... 373
5Sous-espace vectoriel (fin) .............................................. 376
6Application linéaire (début) ............................................. 383
7Application linéaire (milieu) ............................................. 385
8Application linéaire (fin) ................................................ 388
20 Dimension finie ................................................. 395
1Famille libre ......................................................... 395
2Famille génératrice ................................................... 400
3Base .............................................................. 402
4Dimension d’un espace vectoriel ......................................... 408
5Dimension des sous-espaces vectoriels .................................... 413
21 Matrices et applications linéaires ................................ 419
1Rang d’une famille de vecteurs .......................................... 419
2Applications linéaires en dimension finie ................................... 425
3Matrice d’une application linéaire ......................................... 432
4Changement de bases ................................................. 438
22 Déterminants ................................................... 447
1Déterminant en dimension 2et 3......................................... 447
2Définition du déterminant .............................................. 451
3Propriétés du déterminant .............................................. 457
4Calculs de déterminants ................................................ 462
5Applications des déterminants ........................................... 466