vecteurs

LES VECTEURS 14 avril 2020
I) Dénition d’un vecteur
Un vecteur est un ”outil mathématique” représenté géométriquement par un une èche.
A
B
On le note −→ Vou −−→ AB.
Un vecteur possède 3 caractéristiques :
•une direction : celle de la doite (AB)
•un sens : du point d’origine A vers le point d’arrivé B
•une norme (module ou valeur) : cela correspond à
longeur du segment [AB] et se note commme suit :
−→
V
ou 
−−→
AB
Le vecteur permet de MODÉLISER (représenter) un grand nombre de grandeurs physiques (la vitesse, la force, la
distance ...).
II) Dénition d’un scalaire
C’est une grandeur (température, masse, longeur...) qui ne possède qu’une seule caractéristique : sa norme
(valeur).
III) Vecteurs égaux
•Dénition : Deux vecteurs (−−→ AB et −−→ CD) sont égaux (−−→ AB =−−→ CD) s’ils ont les mêmes caractéristiques (même
direction, même sens et même longeur).
A
B
C
D
•Remarque : Si −−→ AB =−−→ CD alors ABCD est un PARALLÉLOGRAMME.
•Le vecteur nul noté −→ 0est le vecteur dont sa norme est nulle : 
−→
0
= 0
IV) Somme de deux vecteurs
La somme (ou la résultante) des vecteurs −→ Vet −→ West un veecteur −→ S:−→ V+−→ W=−→ S.
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A
B
C
D
−→
V
−→
W
Comment tracer le vecteur −→ S?:
(a) On place le point d’origine Cdu vecteur −→ Wsur le point d’arrivé Bde −→ V.
A
B
C
D
−→
V
−→
W
(b) Enn le vecteur −→ Sest le segment qui a pour point d’origine le point A du vecteur −→ Vet pour point d’arrivé le
point D du vecteur −→ W.
A
B
C
D
−→
V
−→
W
−→
S
Propriété :
•La somme de plus de deux vecteurs est immédiate : −→ V+−→ W+−→ X+... =−→ S
•L’addition vectorielle est commutative : −→ V+−→ W=−→ W+−→ V=−→ S
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V) Produit d’un vecteur par un nombre knon nul
−→
V
k−→ V
(k > 0)
k−→ V
(k < 0)
Observons les caractéristiques entre −→ Vet k−→ V
sens direction norme
si (k > 0) −→ Vet k−→ Vsont dans le
même sens
−→
Vet k−→ Vont la même
direction 
k−→
V
=|k| × 
−→
V
si (k < 0) −→ Vet k−→ Vsont de sens
opposé
Vocabulaire :
•Deux vecteurs −→ Vet −→ Wayant la même direction sont vecteurs colinéaires.
Dans ce cas on peut écrire : −→ W=k×
−→
V
•Deux vecteurs −→ Vet −→ Wla même direction mais de sens opposé sont des vecteurs opposés
Dans ce cas on peut écrire : −→ W=−
−→
V
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VI) Les coordonnées et la norme d’un vecteur
Considérons un plan muni d’un repère orthonormé (les axes xet ysont perpendiculaire).
Soit xl’abscisse et yl’ordonnée du vecteur −−→ AB.
1) Les coordonnées du vecteur −−→ AB se note :
•soit en colonne : x
y!
•soit en ligne : (x;y)
Où x=xB−xAet y=yB−yA
2) La norme du vecteur −→ AB est dénie par la relation :
−→
AB
=px2+y2
−1012345
x
−1
0
1
2
3
y
A
B
•
•
•
xA•xB
•yA
•yB
Remarques :
•Les coordonnées d’un vecteur sont indépendantes de la position du vecteur dans le plan.
Elles ne de dépenent que de ses caractéristiques : direction,sens et norme (longueur).
•Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées vectoriels.
•Soient deux vecteurs −→ V x
y!et −→
W t
u!et −→
S=−→ V+−→ W
Les coordonnées de −→ Ssont : x+t
y+u!
•Soit le vecteur −→ V x
y!et −→
M=k×−→ V
Les coordonnées de −→ Msont k×x
k×y!
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