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vecteurs

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LES VECTEURS
I)
14 avril 2020
Définition d’un vecteur
Un vecteur est un ”outil mathématique” représenté géométriquement par un une flèche.
Un vecteur possède 3 caractéristiques :
B
• une direction : celle de la doite (AB)
• un sens : du point d’origine A vers le point d’arrivé B
A
• une norme (module ou valeur) : cela correspond à
longeur du segment [AB] et se note commme suit :
−
→
−−→
V ou AB
−
→
−−→
On le note V ou AB.
Le vecteur permet de MODÉLISER (représenter) un grand nombre de grandeurs physiques (la vitesse, la force, la
distance ...).
II)
Définition d’un scalaire
C’est une grandeur (température, masse, longeur...) qui ne possède qu’une seule caractéristique : sa norme
(valeur).
III)
Vecteurs égaux
−−→
−−→
−−→
−−→
• Définition : Deux vecteurs (AB et CD) sont égaux (AB = CD) s’ils ont les mêmes caractéristiques (même
direction, même sens et même longeur).
B
A
D
C
−−→ −−→
• Remarque : Si AB = CD alors ABCD est un PARALLÉLOGRAMME.
−
→
−
→
• Le vecteur nul noté 0 est le vecteur dont sa norme est nulle : 0 = 0
IV)
Somme de deux vecteurs
−
→
−
→
−
→ −
→ −
→ −
→
La somme (ou la résultante) des vecteurs V et W est un veecteur S : V + W = S .
1/4
LES VECTEURS
14 avril 2020
B
−
→
V
C
−
→
W
A
D
−
→
Comment tracer le vecteur S ?:
−
→
−
→
(a) On place le point d’origine C du vecteur W sur le point d’arrivé B de V .
−
→
V
B
C
−
→
W
A
D
−
→
−
→
(b) Enfin le vecteur S est le segment qui a pour point d’origine le point A du vecteur V et pour point d’arrivé le
−
→
point D du vecteur W .
−
→
V
B
C
−
→
W
A
−
→
S
D
Propriété :
−
→ −
→ −
→
−
→
• La somme de plus de deux vecteurs est immédiate : V + W + X + ... = S
−
→ −
→ −
→ −
→ −
→
• L’addition vectorielle est commutative : V + W = W + V = S
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LES VECTEURS
V)
14 avril 2020
Produit d’un vecteur par un nombre k non nul
−
→
V
−
→
kV
(k < 0)
−
→
kV
(k > 0)
−
→
−
→
Observons les caractéristiques entre V et k V
sens
si (k > 0)
direction
−
→
−
→
V et k V sont dans le
même sens
si (k < 0)
−
→
−
→
V et k V ont la même
direction
norme
−
→
−
→
k V = |k| × V
−
→
−
→
V et k V sont de sens
opposé
Vocabulaire :
−
→
−
→
• Deux vecteurs V et W ayant la même direction sont vecteurs colinéaires.
−
→
−
→
Dans ce cas on peut écrire : W = k × V
−
→
−
→
• Deux vecteurs V et W la même direction mais de sens opposé sont des vecteurs opposés
−
→
−
→
Dans ce cas on peut écrire : W = − V
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LES VECTEURS
VI)
14 avril 2020
Les coordonnées et la norme d’un vecteur
Considérons un plan muni d’un repère orthonormé (les axes x et y sont perpendiculaire).
−−→
Soit x l’abscisse et y l’ordonnée du vecteur AB.
y
3
−−→
1) Les coordonnées du vecteur AB se note :
!
x
• soit en colonne :
y
2 yB
•
1
• soit en ligne : (x; y)
Où x = xB − xA et y = yB − yA
•
yA
A
xA
0
−→
2) La norme du vecteur AB est définie par la relation :
p
−→
AB = x2 + y 2
−1
0
−1
1
•
B
•
4
xB
•
•
2
3
Remarques :
• Les coordonnées d’un vecteur sont indépendantes de la position du vecteur dans le plan.
Elles ne de dépenent que de ses caractéristiques : direction, sens et norme (longueur).
• Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées vectoriels.
!
!
−
→ x
−
→ t
−
→ −
→ −
→
• Soient deux vecteurs V
et W
et S = V + W
y
u
!
x+t
−
→
Les coordonnées de S sont :
y+u
!
−
→ x
−
→
−
→
• Soit le vecteur V
et M = k × V
y
!
k×x
−
→
Les coordonnées de M sont
k×y
4/4
x
5
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