livre de proba stat

Probabilit´es et statistique pour l’ing´enieur
Benjamin JOURDAIN
10 janvier 2018

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Remerciements
Je tiens `a remercier
— les membres de l’´equipe enseignante du cours de probabilit´es de premi`ere ann´ee,
Aur´elien Alfonsi, Mohamed Ben Alaya, Anne Dutfoy, Michel de Lara, Julien Guyon,
Tony Leli`evre, Jean-Michel Marin, Mohamed Sbai et Alain Toubol pour les nom-
breuses am´eliorations qu’ils ont apport´e `a ce polycopi´e par leurs remarques ainsi
que pour leur contribution `a la compilation d’exercices corrig´es du chapitre 10,
— Jean-Fran¸cois Delmas pour les emprunts faits au polycopi´e de son cours de premi`ere
ann´ee `a l’ENSTA : “Introduction aux probabilit´es et `a la statistique”,
— l’´equipe enseignante du cours de statistique de seconde ann´ee pour les emprunts
faits au polycopi´e et au recueil d’exercices qu’ils ont r´edig´es sous la direction de
Jean-Pierre Raoult puis de Jean-Fran¸cois Delmas.

ii

Table des mati`eres
1 Introduction : probabilit´e sur un espace fini 1
1.1 Probabilit´e sur un espace fini, ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Probabilit´es uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Probabilit´e conditionnelle et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Variables al´eatoires discr`etes 11
2.1 Espace de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Rappel sur les manipulations de s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Lois discr`etes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5 Loi marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Fonction g´en´eratrice
des variables al´eatoires enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Loi et esp´erance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Variables al´eatoires `a densit´e 37
3.1 Manipulation d’int´egrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Variables al´eatoires r´eelles `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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