exerciceees de probabilite

Introduction
au calcul des probabilit´es
et `a la statistique
Exercices, Probl`emes et
corrections

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www.ensta.fr

Jean-Fran¸cois Delmas
Introduction
au calcul des probabilit´es
et `a la statistique
Exercices, Probl`emes et
corrections
PARIS
LES PRESSES DE L’ENSTA
32, boulevard Victor, Paris 15e

Table des mati`eres
I Espaces probabilis´es 9
I.1 D´enombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.2 Formule du crible et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3 Probabilit´es conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Variables al´eatoires discr`etes 15
II.1 Exercices de manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.2 Jeu de pile ou face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.4 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
III Variables al´eatoires continues 25
III.1 Calculs de probabilit´es ou d’esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III.2 Calculs de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.3 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV Fonctions caract´eristiques 33
IV.1 Calculs de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
IV.2 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
V Th´eor`emes limites 37
V.1 Quelques convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
V.2 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
V.3 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
VI Vecteurs Gaussiens 47
VI.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
VI.2 Propri´et´es et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48