Université Mohammed V I des sciences de la santé Année universitaire 2019-2020 Série N o 1: Méthodes de Monte-Carlo 0.1 1 Fonction de répartition Trouvez la fonction de répartitions F (x) d’une varaiable aléatoire X qui distribue uniformément selon ces lois suivantes: 1. X v 31[0,1/3] (x) 2. X v ε(0.25) 3. X v N (3, 6.25) 4. loi de weibull 5. loi de Cauchy 0.2 Algorithme 1 de Monte-Carlo simple Montrer que l’algorithme suivant permet de simuler une réalisation deloi uniforme sur le disque unité de R 1. Simuler (U,V) couple de deux v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [−1,1]. 2. Tant que U 2 + V 2 > 1, répéter (1). 3. Renvoyer la valeur de (U, V ) en fin de boucle. Coder l’algorithme en C++ 0.3 Algorithme BOX Muller Montrer que l’algorithme suivant permet de simuler un couple de v.a.i.i.d. de loi gaussiennes centrées réduites. 1. Simuler (U, V ) couple de deux v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [−1, 1]. 2. Tant que U 2 + V 2 > 1, répéter (1). 3. Renvoyer la valeur de (U, V ) et de R2 = U 2 + V 2 e fin de boucle. p 4. Poser Z = [−2ln(R2 )/R2 ]. 5. Poser X = ZU etY = ZV . Coder l’algorithme en C++. Vériffer à l’aide d’un histogramme que la variable X simulée suit bien une loi gaussienne centrée réduite. 6. Écrire un algorithme par une loi gaussienne avec une moyenne µ et un écart type σ 0.4 Integration par Monte-Carlo Donner une méthode de Monte-Carlo d’approximation des intégrales suivantes: √ R1 3 1. I1 = 0 ln(x2 − x + 1) · e x+x dx √ R1R4 3 2. I2 = 0 1 ln(x2 − y + 1) · e x+y dxdy √ R1R4R4 3 3. I2 = 0 1 0 ln(x2 − y + z) · e x+y dxdydz 1 1er année master: Physique Médicale
