Espace ExamenBac 4sc L.G (1)

❄Lyc´ ee secondaire El Alia ❄
Baccalaur ´ eat Tunisien
4`
eme sciences
Espace
✍Lahbib Ghaleb ✍
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Session principale 2019 ......................................................1
Session de contrˆ ole 2019 .....................................................2
Session principale 2018 ......................................................3
Session de contrˆ ole 2018 .....................................................4
Session principale 2017 ......................................................5
Session de contrˆ ole 2017 .....................................................6
Session principale 2016 ......................................................7
Session de contrˆ ole 2016 .....................................................8
Session principale 2015 ......................................................9
Session de contrˆ ole 2015 ....................................................10
Session principale 2014 .....................................................11
Session de contrˆ ole 2014 ....................................................12
Session principale 2013 .....................................................13
Session de contrˆ ole 2013 ....................................................14
Session principale 2012 .....................................................15
Session de contrˆ ole 2012 ....................................................16
Session principale 2011 .....................................................17
Session de contrˆ ole 2011 ....................................................18
Session principale 2010 .....................................................19
Session de contrˆ
ole 2010 ....................................................20
Session principale 2009 .....................................................21
Session de contrˆ ole 2009 ....................................................22
Session principale 2008 .....................................................23
Session de contrˆ ole 2008 ....................................................24
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1

Exercice 1Session principale 2019
L’espace est rapport´ e` a un rep` ere orthonorm´ e direct O, −→ ı,−→ ,−→ k.
On consid` ere les points A(−2,1,1),B(−1,−1,0),C(1,1,4),H(0,0,2)et la droite
∆dont une repr´ esentation param´ etrique est
x=α
y=α;α∈R
z= −α+2
.
1aMontrer que les points A,B et C d´
efinissent un plan P.
bMontrer qu’une ´
equation cart´ esienne du plan P est x+y−z+2=0.
2Soit le point E de coordonn´
ees (2,0,0).
aV´
erifier que E n’appartient pas ` a P.
bCalculer le volume du t´
etra` edre EABC.
3Montrer que la droite ∆est perpendiculaire au plan P en un point que l’on
pr´ ecisera.
4Soit α,0 et M(α;α;−α+2)un point de ∆.
aCalculer en fonction de αle volume du t´
etra` edre MABC.
bEn d´
eduire les coordonn´ ees des points M pour lesquels le volume du
t´ etra` edre MABC est ´ egal au double du volume du t´ etra` edre EABC.
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Exercice 2Session de contrˆole 2019
L’espace est rapport´ e` a un rep` ere orthonorm´ e direct O, −→ ı,−→ ,−→ k.
Soit (S) l’ensemble des points M(x,y,z)tels que x2+y2+z2−2x+4y+4z+5=0.
On d´ esigne par P le plan d’´ equation x−2y+2z+1=0.
1aMontrer que (S) est la sph`
ere de centre Ω(1,−2,−2)et de rayon R=2.
bMontrer qu’une l’intersection de (S) et P est un cercle (C) de centre
K7
9,−14 9,−22 9et dont on d´
eterminera le rayon r.
2V´
erifier qu’une repr´ esentation param´ etrique de la droite (KΩ)est :
x=1+t
y= −2−2t t ∈R
z= −2+2t
3Soit I(α,β,γ)un point de la sph`
ere (S) et Q le plan tangent en I ` a (S).
aMontrer qu’une ´
equation du plan Q est :
(α−1)x+ (β+2)y+ (γ+2)z−α+2β+2γ+5=0
bV´
erifier que N(−1,2,−6)est un point de (KΩ).
cMontrer alors que tous les plan Q tangents `
a (S) en un point de (C)
passent par n.
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Exercice 3Session principale 2018
L’espace est rapport´ e` a un rep` ere orthonorm´ e direct O, −→ ı,−→ ,−→ k.
1Soit le plan Q d’´
equation x+y+√2z−2=0.
Montrer que le plan Q coupe les axes O, −→ ı,O, −→ jet O, −→ krespective-
ment aux points A(2,0,0),B(0,2,0)et C(0,0,√2).
2Soit la sph`
ere (S) d’´ equation x2+y2+z2=1.
Montrer que le plan Q et la sph` ere (S) sont tangents et d´ eterminer leur
points de contact.
3Soit aun r´
eel strictement positif .
On consid` ere les points M(a,0,0)et N(0, 4
a,0).
D´ eterminer en fonction de a, les composantes du vecteur −−−→ CM ∧−−→ CN .
4aMontrer qu’une ´
equation du plan (CMN) est 4x+a2y+2a√2z−4a=0.
bSoit d la distance du point O au plan (CMN).
Montrer que d=1−(a−2)2
a2+4.
cEn d´
eduire la valeur du r´ eel apour laquelle la distance dest maximale.
5aMontrer que pour tout r´
eel a > 0, le volume du t´ etra` edre OCMN est
´
egale ` a2√2
3.
bEn d´
eduire que pour tout r´ eel a > 0, l’aire du triangle CMN est sup´ erieure
ou ´ egale ` a 2√2.
cIdentifier les points M et N pour lesquels l’aire du triangle CMN est
´
egale ` a 2√2.
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Exercice 4Session de contrˆole 2018
L’espace est rapport´ e` a un rep` ere orthonorm´ e direct O, −→ ı,−→ ,−→ k.
On consid` ere les points A(1,1,1),B(0,4,0),C(0,0,2)et I(−1,1,−1).
1aD´
eterminer les composantes de −−→ AB ∧−−→ AC .
bCalculer le volume Vdu t´
etra` edre ABCI.
2On d´
esigne par Ple plan (ABC).
Montrer qu’une ´ equation cart´ esienne de P est x+y+2z−4=0.
3Soit Sl’ensemble des points M(x,y,z)de l’espace tels que :
x2+y2+z2+2x−2y+2z−8=0.
aMontrer que Sest la sph`
ere de centre I et de rayon √11.
bMontrer que P∩Sest un cercle Cde rayon √5.
cV´
erifier que le segment [BC]est un diam` etre du cercle C.
En d´ eduire les coordonn´ es du point H, centre de C.
4Soit aun r´
eel et M le point d´ efinie par −−−→ AM =a−−→ AB .
aD´
eterminer ` a l’aide de ales coordonn´ es du point M.
bMontrer que −−→
BM ·−−−→ CM = (a−1)(11a+3).
cEn d´
eduire que la droite (AB) recoupe le cercle Cau point E d´ efini par
−−→
AB = − 3
11 −−→
AB .
dMontrer que le volume V′du t´
etra` edre AECI est ´ egale ` a3
11V.
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