2 Sous-variétés de Rn - IMJ-PRG

2 Sous-vari´et´es de Rn
Exercice 2.1 (Sph`ere comme une sous-vari´et´e).
1) Pour i= 0,1,2, v´erifier que les fonctions 1 − |x|2,xj,j6=i, forment
un syst`eme de coordonn´ees sur les domaines U±
i={x∈R3/±xi>0}. En
d´eduire que la sph`ere est une sous-vari´et´e de R3.
2) Donner les valeurs critiques de la fonction x→ |x|2de R3. En d´eduire
`a nouveau que la sph`ere est une sous-vari´et´e de R3.
Exercice 2.2 (Le tore de r´evolution).On suppose R > r > 0.
1) Repr´esenter la partie de R3d´efinie par l’´equation
(px2+y2−R)2+z2=r2
2) Montrer que c’est une sous-vari´et´e de R3.
Exercice 2.3 (Le double puits et le tore `a deux trous).
1) Repr´esenter la partie de R23(x, ξ) d´efinie par l’´equation
ξ2+V(x) = E
o`u Eest un param`etre r´eel et V(x) = 4x2(x2−1) est un potentiel qui
pr´esente un double puits. Lorsque E= 0, on pourra utiliser le param´etrage
(x, ξ) = (cos θ, sin 2θ). Pour quelle valeur de Eest-ce une sous-vari´et´e de
R2?
2) Montrer que la partie de R3d´efinie par l’´equation
(4x2(x2−1) + y2)2+z2=1
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est une sous-vari´et´e de dimension 2 de R3. Tracer les sections par les plans
horizontaux et en d´eduire que cette sous-vari´et´e est un tore `a deux trous.
Exercice 2.4 (Tore `a gtrous).Soit un entier naturel get les disques D=
{x2+y26R2}et D1, ..., Dgdonn´es par
Di={(x−xi)2+ (y−yi)26r2
i}
On suppose que les Disont deux `a deux disjoints et que int Di⊂D. Soit la
fonction
f(x, y) = R2−(x2+y2)
g
Y
i=1
(x−xi)2+ (y−yi)2−r2
i.
Montrer que M={z2=f(x, y)}est une sous-vari´et´e de R3, compacte et
connexe. La repr´esenter.
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Commentaire. D’apr`es le th´eor`eme de classification des surfaces, toute va-
ri´et´e compacte sans bord de dimension 2 orientable et connexe est diff´eo-
morphe `a un tore `a gtrous. Deux tels tores sont diff´eomorphes ssi ils ont
autant de trous. gs’appelle le genre de la surface.
Exercice 2.5 (Contre-exemples `a un crit`ere bien utile).
Soient X,Ydes espaces m´etriques et fune application continue de X
dans Y.fest dite propre si l’image r´eciproque de tout compact est un
compact.
1) Montrer que fest propre ssi de toute suite (xn) de Xtelle que (f(xn))
converge on peut extraire une suite convergente.
2) Montrer que si fest propre elle est ferm´ee. Par cons´equent, une ap-
plication continue, propre et injective dans des espaces m´etriques est un
hom´eomorphisme sur son image.
3) Soit M,Ndeux vari´et´es et f:M→Nune application C∞. D’apr`es ce
qui pr´ec`ede, si fest immersive, injective et propre alors c’est un plongement.
Donner des contre-exemples `a cette implication si l’on omet une des trois
propri´et´es ”immersive ”, ”injective ” ou ”propre ”.
Exercice 2.6 (Th´eor`eme de Kronecker et droite de pente irrationnelle).
1) Montrer qu’un sous-groupe du tore R/Zengendr´e par un ´el´ement et
de cardinal infini est dense.
2) Soit αun nombre irrationnel. Montrer que l’application jde Rdans
R4qui envoie tsur (cos t, sin t, cos(αt),sin(αt)) est une immersion injective.
3) Quelle est l’adh´erence de l’image de j? En d´eduire que l’image de j
n’est pas une sous-vari´et´e.
4) Que se passe-t-il pour αrationnel ?
Exercice 2.7 (Partie localement ferm´ee).On rappelle qu’une partie E
d’un espace topologique Xest localement ferm´ee si tout point de Eadmet
un voisinage Vtel que V∩E=V∩Favec Fun ferm´e.
1) V´erifier qu’une sous-vari´et´e est une partie localement ferm´ee.
2) V´erifier qu’une partie Eest localement ferm´ee ssi elle est intersection
d’un ouvert et d’un ferm´e ssi elle est intersection de son adh´erence et d’un
ouvert.
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