I - 2 ) Grandeurs sinusoïdales ( AC ou Une grandeur sinusoïdale s’exprime par : ): s(t) Smax sin( t ) Seff 2 sin( t ) Smax est l’amplitude du signal, est la pulsation, et est la phase à l’origine des temps. Remarque : En électrotechnique, on prend la phase à l’origine des temps de la tension nulle, on aura : v(t) V 2 cos(t ) et i(t) I 2 cos(t ) est le déphasage du courant sur la tension; il s’agit d’un retard algébrique qui est positif pour les récepteurs inductifs, négatif pour les récepteurs capacitifs. a - Représentation complexe des courants et des tensions alternatifs sinusoïdales : On représente une grandeur sinusoïdale, dans le plan complexe, par son module et sa phase. On aura l’équivalence suivante : * Grandeurs temporelles : v(t) V 2 cos(t ) et i( t ) I 2 cos (t ) v( ) 0 : dipole inductif i( ) t 0 2 2 * Grandeurs complexes associées : On représente ces complexes dans le plan complexe ( appelé aussi diagramme de Fresnel ) sous la forme : V V et I I exp(-j ) Im Im V I 0 0 Re V Re I Dipôle inductif Dipôle capacitif b – Récepteurs électriques : En régime alternatif quelconque, il existe trois types de dipôles : les résistances, les inductances et les capacités. A chacun de ces dipôles correspond une relation liant la tension à ses bornes et le courant qui le traverse : i R - Pour la résistance : v (t) R i (t) v L i - Pour l’inductance : i v (t) L v C i (t) C - Pour la capacité : v di dt dv dt 3 En utilisant la notation complexe, les relations courant tension des dipôles deviennent : V I V R I R V jL I I jC V V I 1 V jC I jL La grandeur, notée : Z V est appelée impédance. I II – Les puissances électriques: II – 1 ) La puissance active: Un dipôle électrique placé sous une tension de valeur efficace V et parcouru par un courant de valeur efficace I consomme une puissance P , dite active, toujours inférieure ou égale au produit V.I , on écrit alors en convention récepteur : P = k .V. I ou 0≤ k ≤ 1. Le facteur k est appelé : facteur de puissance. P > 0 : correspond à une puissance consommée par le dipôle. P < 0 : correspond à une puissance fournie par le dipôle. II- 2 ) Puissance électrique en alternatif sinusoïdal : On considère le cas général le plus répandu en électrotechnique d’un dipôle inductif, c-à-d d’un courant déphasé en arrière d’un angle par rapport à la tension : v(t) V 2 cos(t ) et i(t) I 2 cos(t ) 4 a – Puissance instantanée : La puissance instantanée est définit par : p(t) v(t) i(t) C-à-d : p (t) V I cos ( ) V I cos (2t ) b – Puissance active : C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée, c-à-d : P < p(t) > V I cos c – Puissance apparente : Les grandeurs v (t) et i (t) étant périodiques, on les caractérisent par leurs valeurs efficaces V et I. On définit alors la puissance apparente comme la grandeur nommée S : S = V . I (en VA ). d – facteur de puissance : En alternatif sinusoïdal , le facteur de puissance est défini comme la grandeur sans unité : P k cos S e – Puissance réactive : On définit la puissance réactive par : Q V I sin . Son unité est le Volt Ampère Réactif (VAR) 5 f – Triangle des puissances : Notons que : P V I cos , Q V I sin et S V I d' ou : S2 P 2 Q2 Cette formule fait apparaitre également une relation graphique entre les différentes grandeurs. On parle alors de triangle des puissances : S Q P D’autre part, on fait également apparaitre la grandeur Q caractéristique : tg P g – Puissance apparente complexe : Pour relier toutes ces grandeurs, en régime sinusoïdal , on peut faire apparaitre une grandeur de calcul: la puissance apparente complexe, notée S qu’on définit comme suit : S V I ( I est le complexe conjugé de I ) * * Comme : I I exp ( j ) I cos j I sin et V V Donc : V I V I exp (j ) V I cos j V I sin * D' ou : V I P j Q On retrouve également que : S = S On exprime dans le tableau ci-dessous les puissances absorbées par les différents récepteurs fondamentaux de l’électrotechnique, en régime alternatif sinusoïdal : * 6 S V I R I2 P R I2 V2 R * S V I j L I 2 V2 R P0 Q L I 2 P0 V2 L Q C V 2 * Résistance Inductance Condensateur V2 j L * S V I j C V 2 I2 j C Q0 I R V I2 C L I V I C V h – Théorème de Boucherot : La puissance active d’un système est la somme des puissances actives des éléments le constituant de même pour la puissance réactive. Cependant, c’est faux en ce qui concerne la puissance apparente. Remarque : Ce théorème traduit le principe de la conservation de l’énergie électrique. On peut représenter le théorème par le schéma ci-dessous qui fait apparaitre n charges consommant chacune sa puissance active et sa puissance réactive : 7 S Sn Qn P2 S1 Q1 S2 Q2 P1 Pn On constate bien sur cette construction que les puissances actives et réactives s’ajoutent algébriquement, alors que la puissance apparente S n’est pas égale, en valeur, à la somme des puissances S1 , S2 ,...., Sn . En revanche, la puissance apparente complexe S est bien la somme vectorielle des puissances complexes des diverses charges. On peut donc écrire: S S1 S2 ... Sn alors que : S S1 S2 ... Sn II - 3 ) Mesure des puissances électriques : a – Mesure d’une puissance active : Pour mesurer la puissance active fournie ou consommée par un dipôle, il n’existe qu’un seul type d’appareil: Le wattmètre . Un wattmètre se symbolise par l’indication W et comporte 4 bornes. 8 I Entrée du Circuit courant * Sortie de circuit courant w * V Circuit tension Le wattmètre mesure : Pmoy = < v (t) . i (t) > = P Schéma de branchement du wattmètre : I * W * V Charge b – Mesure d’une puissance apparente : Pour mesurer une puissance apparente, il suffit de mesurer indépendamment V et I ,c-à-d disposer d’un voltmètre et d’un ampèremètre. Schéma de branchement des appareils de mesure : I V V A Charge S=V.I 9 c – Mesure d’une puissance réactive : Pour mesurer une puissance réactive, on peut utiliser un appareil spécialisé appelé VAR-mètre, ou bien mesurer P et S et en déduire Q. Avec : Q S 2 P 2 V I sin 10 III – Application : Exercice 1 : 11 Exercice 2 : 12 Exercice 3 : 13 Correction 1: 14 15 15 16 Correction 2 : 1717 Correction 3 : 18 19