Grandeurs fondamentales (1)

I - 2 ) Grandeurs sinusoïdales ( AC ou
Une grandeur sinusoïdale s’exprime par :
):
s(t)  Smax  sin( t   )  Seff  2  sin( t   )
Smax est l’amplitude du signal, est la pulsation, et  est la phase à l’origine des temps.
Remarque : En électrotechnique, on prend la phase à l’origine des temps de la tension nulle, on
aura : v(t)  V  2  cos(t ) et i(t)  I  2  cos(t   )
 est le déphasage du courant sur la tension; il s’agit d’un retard algébrique qui est positif pour
les récepteurs inductifs, négatif pour les récepteurs capacitifs.
a - Représentation complexe des courants et des tensions alternatifs sinusoïdales :
On représente une grandeur sinusoïdale, dans le plan complexe, par son module et sa phase.
On aura l’équivalence suivante :
* Grandeurs temporelles : v(t)  V  2  cos(t ) et i( t )  I  2  cos (t   )
v( )
  0 : dipole inductif
i( )
  t
0


2

2
* Grandeurs complexes associées :
On représente ces complexes dans le plan complexe ( appelé aussi diagramme de Fresnel ) sous
la forme : V  V et I  I  exp(-j )
Im
Im
V
I
0
 0
Re
V
Re
I
Dipôle inductif
Dipôle capacitif
b – Récepteurs électriques :
En régime alternatif quelconque, il existe trois types de dipôles : les résistances, les inductances
et les capacités. A chacun de ces dipôles correspond une relation liant la tension à ses bornes et
le courant qui le traverse : i
R
- Pour la résistance :
v (t)  R  i (t)
v
L
i
- Pour l’inductance :
i
v (t)  L 
v
C
i (t)  C 
- Pour la capacité :
v
di
dt
dv
dt
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En utilisant la notation complexe, les relations courant tension des dipôles deviennent :
V
I
V  R I

R 
V  jL  I

I  jC  V

V
I
1
V

jC
I
jL 
La grandeur, notée : Z 
V
est appelée impédance.
I
II – Les puissances électriques:
II – 1 ) La puissance active:
Un dipôle électrique placé sous une tension de valeur efficace V et parcouru par un courant de
valeur efficace I consomme une puissance P , dite active, toujours inférieure ou égale au
produit V.I , on écrit alors en convention récepteur : P = k .V. I ou 0≤ k ≤ 1.
Le facteur k est appelé : facteur de puissance.
P > 0 : correspond à une puissance consommée par le dipôle.
P < 0 : correspond à une puissance fournie par le dipôle.
II- 2 ) Puissance électrique en alternatif sinusoïdal :
On considère le cas général le plus répandu en électrotechnique d’un dipôle inductif, c-à-d d’un
courant déphasé en arrière d’un angle  par rapport à la tension :
v(t)  V  2  cos(t ) et i(t)  I  2  cos(t   )
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a – Puissance instantanée :
La puissance instantanée est définit par : p(t)  v(t)  i(t)
C-à-d : p (t)  V  I  cos ( )  V  I  cos (2t   )
b – Puissance active :
C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée, c-à-d : P  < p(t) >  V  I  cos 
c – Puissance apparente :
Les grandeurs v (t) et i (t) étant périodiques, on les caractérisent par leurs valeurs efficaces
V et I.
On définit alors la puissance apparente comme la grandeur nommée S : S = V . I (en VA ).
d – facteur de puissance :
En alternatif sinusoïdal , le facteur de puissance est défini comme la grandeur sans unité :
P
k   cos 
S
e – Puissance réactive :
On définit la puissance réactive par : Q  V  I  sin  . Son unité est le Volt Ampère Réactif (VAR)
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f – Triangle des puissances :
Notons que : P  V  I  cos  , Q  V  I  sin  et S  V  I d' ou : S2  P 2  Q2
Cette formule fait apparaitre également une relation graphique entre les différentes grandeurs.
On parle alors de triangle des puissances :
S
Q

P
D’autre part, on fait également apparaitre la grandeur
Q
caractéristique : tg  
P
g – Puissance apparente complexe :
Pour relier toutes ces grandeurs, en régime sinusoïdal , on peut faire apparaitre une grandeur de
calcul: la puissance apparente complexe, notée S qu’on définit comme suit :
S  V  I ( I est le complexe conjugé de I )
*
*
Comme : I  I  exp ( j )  I  cos   j I  sin  et V  V
Donc : V  I  V  I  exp (j )  V  I  cos   j V  I  sin 
*
D' ou : V  I  P  j Q
On retrouve également que : S = S
On exprime dans le tableau ci-dessous les puissances absorbées par les différents récepteurs
fondamentaux de l’électrotechnique, en régime alternatif sinusoïdal :
*
6
S  V  I  R  I2
P  R  I2
V2

R
*
S  V  I  j L  I 2
V2

R
P0
Q  L  I 2
P0
V2

L
Q   C  V 2
*
Résistance
Inductance
Condensateur
V2
j
L
*
S  V  I   j C  V 2
I2
 j
C
Q0
I
R
V
I2

C
L
I
V
I
C
V
h – Théorème de Boucherot :
La puissance active d’un système est la somme des puissances actives des éléments le
constituant de même pour la puissance réactive. Cependant, c’est faux en ce qui concerne la
puissance apparente.
Remarque : Ce théorème traduit le principe de la conservation de l’énergie électrique. On peut
représenter le théorème par le schéma ci-dessous qui fait apparaitre n charges consommant
chacune sa puissance active et sa puissance réactive :
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S
Sn
Qn
P2
S1
Q1
S2
Q2
P1
Pn
On constate bien sur cette construction que les puissances actives et réactives s’ajoutent
algébriquement, alors que la puissance apparente S n’est pas égale, en valeur, à la somme des
puissances S1 , S2 ,...., Sn .
En revanche, la puissance apparente complexe S est bien la somme vectorielle des puissances
complexes des diverses charges. On peut donc écrire:
S  S1  S2  ...  Sn alors que : S  S1  S2  ...  Sn
II - 3 ) Mesure des puissances électriques :
a – Mesure d’une puissance active :
Pour mesurer la puissance active fournie ou consommée par un dipôle, il n’existe qu’un seul
type d’appareil: Le wattmètre .
Un wattmètre se symbolise par l’indication W et comporte 4 bornes.
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I
Entrée du
Circuit courant
*
Sortie de
circuit courant
w
*
V Circuit tension
Le wattmètre mesure :
Pmoy = < v (t) . i (t) > = P
Schéma de branchement du wattmètre :
I
* W
*
V
Charge
b – Mesure d’une puissance apparente :
Pour mesurer une puissance apparente, il suffit de mesurer indépendamment V et I ,c-à-d
disposer d’un voltmètre et d’un ampèremètre.
Schéma de branchement des appareils de mesure :
I
V
V
A
Charge
S=V.I
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c – Mesure d’une puissance réactive :
Pour mesurer une puissance réactive, on peut utiliser un appareil spécialisé appelé VAR-mètre,
ou bien mesurer P et S et en déduire Q. Avec : Q  S 2  P 2  V  I  sin 
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III – Application :
Exercice 1 :
11
Exercice 2 :
12
Exercice 3 :
13
Correction 1:
14
15
15
16
Correction 2 :
1717
Correction 3 :
18
19