Solution TD chapitre III

Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal
Département de Mathématiques
A. ABBASSI
Exercices Analyse II
Travaux Dirigés N3
Première version:
Décembre, 2017
FST Beni-Mellal.
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Université Sultan Moulay Slimane Année universitaire 2017/2018
Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal Filières : MIPC/GE-GM
Travaux Dirigés N3
Module Analyse II
Exercice 1 : Résoudre les équations di¤érentielles suivantes:
1- xy0y=x4;
2- (1 + x2)y0(x1)2y+ 2x= 0:
Exercice 2 : Même question
1- (ex1)y0+ (ex+ 1)y= 3 + 2ex;
2- y0+ (cos x)y= cos xsin x:
Exercice 3 :
1- En posant z=y2, résoudre l’équation di¤érentielle suivante: yy0+y2=1
2e2x:
2- Déterminer fpour que les équations y0y= 1 xet xy0y=f(x)aient au moins une
solution commune.
Exercice 4 : Résoudre les équations di¤érentielles linéaires du second ordre suivantes:
1- y00 6y0+ 9y= (3x2+ 1)e3x:
2- y00 2y0+y= 2sh(x);
3- y00 + 4y=xcos2x;
4- y00 + 2y0+ 2y= (chx) cos x.
Exercice 5: Dans tout l’exercice on considère une fonction fcontinue sur Rainsi que l’équation
di¤érentielle:
(E)y00 y=f(x)
1- Résoudre (E)si f= 0.
2- Déterminer toutes les solutions de (E)si f(x) = x.
3- On considère le cas général. Montrer que
shx Zx
0
f(t)ch(t)dt ch(x)Zx
0
f(t)sh(t)dt
est une solution de (E). En déduire toutes les solutions de (E).
4- a) Montrer que (E)admet une unique solution gvéri…ant g(0) = g0(0) = 0.
b) Que peut-on dire de la parité de gsi fest paire (resp. impaire)?
5- Déterminer gsi f(x) = x.

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Solutions:
Exercice 1 : Résoudre les équations di¤érentielles suivantes:
1- Notons par (E)xy0y=x4;
On voit bien que
yp=x4
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est une solution particulière de (E). Considérons l’équation sans second membre associée à
(E) :
(e)xy0y= 0:
y= 0 est une solution triviale de (e).
Si on écarte cette solution triviale, c-à-d y6= 0
(e)() dy
y=dx x;
l’équation (e)ainsi écrite est une équation à variables séparées, la solution de (e)est donc sous
la forme
y0=kx; k 2Ret x2R:
Finalement la solution générale de (E)est:
y=y0+yp
=kx +x4
3; k 2Ret x2R:
2- (E) (1 + x2)y0(x1)2y+ 2x= 0:
XCommençons par résoudre l’équation sans second membre associée à (E) :
(e) (1 + x2)y0
1(x1)2y1= 0:
Ainsi, nous avons une équation à variables séparées:
y0
1
y1
=1 + x22x
1 + x2
= 1 2x
1 + x2;
donc
ln jy1j=xln(1 + x2) + c; c 2R;
c-à-d
y1(x) = k
1 + x2ex; k 2Ret x2R:
XRecherche de solution particulière par la méthode de variation de la constante, se traduit
par la recherche d’une solution particulière sous la forme suivante:
yp=k(x)
1 + x2ex;
où kest une fonction de classe C1véri…ant:
k0(x) = 2x
1 + x21 + x2 ex;(k0=geF)

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donc
k(x) = 2xex+ 2ex+c; c 2R:
Finalement, la solution générale de (E)est donnée par:
y=y1+yp
=
1 + x2ex+2(x+ 1) 1 + x2;  2R:
Exercice 2 :
1- (E) : (ex1)y0+ (ex+ 1)y= 3 + 2ex;
l’équation sans second membre associée à (E)est:
(e) : (ex1)y0
1+ (ex+ 1)y1= 0;
donc pour x6= 0,(e)est une équation à variables séparées:
dy1
y1
=ex+ 1
ex1dx;
=)ln jy1j=Zex+ 1
ex1dx
=Zt+ 1
(1 t)tdt; où t=ex
=Z1t+ 2t
(1 t)tdt
=Z1
tdt +Z2 (1 t)dt
= ln t2 ln(1 t) + c; c 2R
= ln ex
(1 ex)2+c;
d’où
y1=kex
(1 ex)2; k 2Ret x2R:
La solution particulière ypde l’équation (E)par la méthode de la variation de la constante est
constituée à partir de la solution générale de l’équation sans second membre, ypsera cherchée
sous la forme:
yp=k(x)ex
(1 ex)2;
avec kune fonction véri…ant:
k0(x) = (3 + 2ex)ex1
ex
= 1 3ex+ 2ex;
c-à-d
k(x) = x+ 3ex+ 2ex+c; c 2R;

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par conséquent, la solution générale de (E)est:
y(x) = y1+yp
=ex
(1 ex)2+(x+ 3ex+ 2ex)ex (1 ex)2;  2Ret x2R:
2) (E)y0+ (cos x)y= cos xsin x:
La fonction y1(x) = kesin x; k 2R; x 2Rest la solution générale de l’équation sans second
membre associée à (E).
Nous cherchons une solution particulière sous la forme:
yp=k(x)esin x;
avec
k0(x) = esin xsin xcos x;
=)k(x) = Zesin xsin xcos xdx
=Ztetdt; où t= sin x
=tetet+c; c 2R
= (sin x1)ex+c:
Finalement, la solution générale de (E)est:
y=y1+yp
=kesin x+ sin x1; k 2R; x 2R:
Exercice 3 :
1- En posant z=y2,
yy0+y2=1
2e2x() z0+ 2z=e2x(E0)
z1=ke2x; k 2R+; x 2Rest solution générale de de l’équation sans second membre associée
à(E0):
Par la méthode de variation de la constante, cherchons zp=k(x)e2x, où kest une fonction
qui véri…e:
k0= 1;
soit
zp=xe2x:
Par suite, zk= (x+k)e2xest la solution générale de (E0)pour x k.
Par conséquent, la solution générale de (E)est:
yk=px+kex; x  k:
2- On résoud d’abord l’équation (E1) : y0y= 1 xqui a pour solution:
y=x+kex; k 2Ret x2R: