Les nombres réels 1 L’ensemble des nombres réels, la droite numérique Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a : les nombres entiers naturels les nombres entiers relatifs les nombres décimaux D; les nombres rationnels Q; enf in, les nombres réels La droite numérique de N; Z; R. R , se représente par une droite graduée : chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée ; réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel. 2 Les intervalles de R L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter . ] − ∞ ; +∞[ x tels que −2 ≤ x ≤ 3 peut se représenter sur la droite des réels et est noté [−2; 3] L’intervalle de tous les nombres réels Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit borné. Parfois, une borne est « plus l’inf ini » ou « moins l’inf ini » : on parle d’intervalles non-bornés. On considère deux réels a et b tels que a\le b\ : SchoolMouv.fr 1 sur 3 Notation Représentation sur la droite des réels Ensemble des x tels que : Signif ication [a; b] IMG3 a≤x≤b Intervalle fermé : les bornes appartiennent à l’intervalle. ]a; b] IMG4 a<x≤b a et fermé en b . Seul b appartient à l’intervalle. Intervalle semi-ouvert : ouvert en b [a; b[ IMG5 a≤x<b ]a; b[ IMG6 a<x<b Intervalle ouvert : a et b n’appartiennent pas à l’intervalle. et fermé en a . Seul a appartient à l’intervalle. ] − ∞; b] IMG7 x≤b Intervalle fermé en b et dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à b . ] − ∞; b[ IMG8 x<b Intervalle ouvert en b et dont toutes les valeurs sont strictement inférieures à b . [a; +∞[ IMG9 a≤x Intervalle fermé en a et dont toutes les valeurs sont supérieures ou égales à a . a<x Intervalle ouvert en a et dont toutes les valeurs sont supérieures strictement à a . ]a; +∞[ 3 1 Intervalle semi-ouvert : ouvert en IMG10 Représenter la distance entre deux nombres réels La valeur absolue d’un nombre : a se note ∣a∣ . ∣a∣ = a si a ≥ 0 ou ∣a∣ = −a si a ≤ 0 . La valeur absolue d’un nombre Propriété 2 Distance entre deux nombres réels : Soit Propriété a et b deux réels. On note d(a; b) la distance entre a et b . On a : d est positif ou nul ; d(a; b) = d(b; a) . SchoolMouv.fr 2 sur 3 Il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des nombres réels ou des variables comme 3 Distance et valeur absolue : Pour tous nombres réels 4 x par exemple. ∣a − b∣ = a − b si a > b ∣a − b∣ = b − a si a < b a et b on a d(a; b) = ∣a − b∣ = ∣b − a∣ . Application La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des inéquations de type SchoolMouv.fr d(x; a) ≤ r ou encore ∣x − a∣ ≤ r . 3 sur 3
