Régime sinusoïdal

Chapitre 04 : Régime sinusoïdal
1. Caractéristiques d'un signal sinusoïdal
1.1. Paramètres d'un signal sinusoïdal
Un signal est sinusoïdal s'il s'écrit sous la forme : e(t)=E cos(t+) (ou sinus mais tg ou ctg)
T
E: Amplitude maximale. On a : -E e(t) +E
: Pulsation ou vitesse angulaire. []=rd/s ou s-1
E
: Phase initiale. []=rd (radian)
T/2
-E
t+: Phase à l'instant t (radian)
Fréquence du signal:
e(t)=E cos(t+)= E cos(t++2)= E cos((t+2/)+)=e(t+2/).
Alors la période du signal e est : T=2/
La fréquence est : f=1/T= /2 d'où : =2f
D'une façon générale, La fréquence f est le nombre de période par seconde.
Valeur moyenne : La valeur moyenne d'un signal sinusoïdal est nulle.
Valeur efficace : La valeur efficace est Eeff  E
2
Dérivation: de  -Esin(t+)= Ecos(t++/2)  et Rotation de +90° en avance.
dt
Intégration:
 e dt=E/sin(t+)= E/cos(t+-/2) / et Rotation de -90° en arrière.
1.2. Représentation d'un signal sinusoïdal
Le signal sinusoïdal est décrit à partir de sa phase et de son amplitude. Pour cela, il est
j
représenté par une amplitude complexe EE e .
Représentation analytique :
Le signal e(t) est représenté par un signal complexe e (t)
*
e (t) e (t)
e (t)E ejt avec EE ej  e(t)
=partie réelle de e (t)E ej(t )
2
Dérivation :
Intégration :
de (t)
 j  E e j t  j  e ( t )
dt
e (t) dt  j1 E e
jt  1 e (t)
j
Chapitre 04 : Régime sinusoïdal
Représentation Géométrique ou de Fresnel :
Il s'agit d'un vecteur e (t) tournant à une vitesse angulaire , démarrant à un angle de .
+90° Dérivationj
de (t)
dt
e (t)
-90°Intégration/j
E
E
t+
e(t)=E cos(t+)
E/
e (t) dt
1.3. Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux
Les signaux a(t)=A cos(t+a) et b(t)=B cos(t+b) passent par 0 à des instants, ta et tb, relatifs à
ta+a=tb+b=/2+k d'où le déphasage a-b :
b-a=(ta-tb)=2(ta-tb)/T=360°(ta-tb)/T
ta < tb  a>b
ta >tb  a<b
ta = tb  a-b=0
a(t) est en avance de b(t)
a(t) est en retard de b(t)
a(t) est en phase de b(t)
b(t)
b(t)
a(t)
b(t)
a(t)
a(t)
tb ta
ta=tb
tatb
Pour déterminer ta et tb, on prend, dans la même période, deux fronts montants ou descendants.
Sachant que -T <ta-tb <+T, alors varie entre -2 < b-a < +2 on a les cas suivants:
a-b=-
a-b=-/2
opposition
a(t) en Quadrature
de phase
arrière sur b(t)
a(t)
a(t)
a-b=0
En phase
a(t)
b(t)
a-b=/2
a-b=
a(t) en Quadrature
Opposition
avance sur b(t)
de phase
a(t)
b(t)
a(t)
b(t)
b(t)
tb
ta
tb ta
ta=tb
ta tb
b(t)
ta
tb
Quadrature de phase : si l'un passe par zéro, l'autre passe par un pic maximum ou minimum.
Opposition de phase : ni retard, ni avance, les 2 signaux démarrent en même temps mais dans 2
directions différentes.
2
Chapitre 04 : Régime sinusoïdal
2. Circuit linéaire et régime sinusoïdal
Lorsqu'un circuit électrique linéaire est excité par une source e(t) (de tension ou de courant)
parfaite sinusoïdale de fréquence f, alors toutes les tensions et les courants s(t) dans le circuit sont
sinusoïdaux et de même fréquence f que l'excitation.
Circuit
Linéaire
Passif
e(t)=E cos(t+)
s(t)=S cos(t+)
Ceci vient du fait que le circuit comporte des dipôles passifs linéaires et donc, il est régit par une
équation différentielle linéaire. Alors, pour une entrée sinusoïdale, la sortie est sinusoïdale.
3. Fonction de transfert
3.1. Réponse à une entrée sinusoïdale complexe
Tout circuit linéaire est caractérisé par une fonction de transfert déterminée à partir de son
équation différentielle. Cette fonction est déterminée à partir d'une entrée sinusoïdale complexe :
Circuit
Linéaire
Passif
e (t)E ejt
s (t)H( j) E ejt
H(j) est appelée fonction de transfert dépend de j et des éléments constituant le circuit.
On a : s (t)H( j) E ejt H( j) e (t)
Et d'autre part : s (t)S ejt avec SH( j) E
On remarque que :
s (t) S
 H(j)
e (t) E
On a une relation linéaire comme les circuits résistifs s(t)=k e(t). Elle permettra d'éviter la variable
du temps t dans l'analyse des circuits en régime sinusoïdal. On ne prendra en considération que les
amplitudes complexes des grandeurs sinusoïdales.
E
H(j)
S H(j) E
3.2. Réponse à une entrée sinusoïdale réelle
e(t)Ecos(t )E e
j
Avec EEe
Donc
*
j(t )
j
*
ej(t )  Eejt E ejt =partie réelle de e (t)Eejt
2
2
et E Ee
*
H(j)Eejt  H(j)E ejt
s(t)
2
3
Chapitre 04 : Régime sinusoïdal
*
Sachant que H(j)H (j) ,alors
s(t)
H(j)Ee
jt
[H(j)Ee
2
jt *
]
=partie réelle de s (t)H(j) e (t)
s(t) H(j) E cos(targH(j))
s(t) est appelée réponse harmonique du circuit.
Ce raisonnement permet de vérifier la règle suivante:
Réponse de la partie réelle de e (t) =Partie réelle de la réponse s (t)
Ceci justifie l'emploi des complexes dans le régime sinusoïdal.
4. Impédance, Admittance et loi d'Ohm complexe
Pour déterminer la fonction de transfert du circuit, on doit déterminer "la fonction de transfert"
de chaque dipôle. Cette fonction ne sera que l'impédance ou l'admittance du dipôle.
Si v(t)=V cos(t+v) et i(t)=I cos(t+i) sont la tension et le courant d'un dipôle en convention
récepteur. Les rapports v(t)/i(t) et i(t)/v(t) ne sont plus significatifs. Pour cela on passe à :
VVejv et IIe ji
L'impédance d'un dipôle est la fonction de transfert exprimant la tension en fonction du courant.
L'admittance d'un dipôle est la fonction de transfert exprimant le courant en fonction de la
tension.
4.1. Impédance
L'impédance est définie comme : Z V
I
X
j
Si on met ZZe alors:
Z

R
Z V appelée module de Z et =v-i appelée phase de Z qui est le déphasage de v sur i.
I
Z s'écrit aussi comme Z =R+JX
R=Résistance et X=Réactance, [Z]=[R]=[X]=Ohm.
On a : R=Z cos et X=Z sin . On a aussi : Z²=R²+X² et =arctg(X/R)
4.2. Admittance
B
L'admittance est définie comme : Y  I  1
V Z
Y

G
j
Si on met YYe alors:
Y I appelée module de Y et =i-v appelée phase de Y qui est le déphasage de i sur v.
V
4
Chapitre 04 : Régime sinusoïdal
Y s'écrit aussi comme Y =G+JB
G=Conductance et B=Susceptance, [Y]=[G]=[B]=S (Siemens).
On a : G=Y cos et B=Y sin . On a aussi : Y²=G²+B² et =arctg(B/G)
4.3. Loi d'Ohm complexe
En faisant l'analogie avec la loi d'Ohm v=Ri, on a la même loi mais dans le plan complexe :
VZI ou I YV
4.4. Formules de passage Z  Y
Z=1/Y et =-
Y =G+JB =
1  R j X G=R/Z² et B=-X/Z²
R  JX R²X² R²X²
De même: R=G/Y² et X=-B/Y²
4.5. Impédances et Admittances des éléments RLC
Résistance :
v=Ri  VRI  ZR R  la résistance a le même comportement en continu et v est en phase
avec i.
Condensateur :
iC dv  ICj V  ZC  1  YC jC
jC
dt
ZC est inversement proportionnelle à la fréquence et i est en avance de +90° sur v.
En DC : ZC==Circuit-ouvert
Bobine :
vL di  VLj I  ZL jL
dt
ZL est proportionnelle à la fréquence et v est en avance de +90° sur i.
En DC : ZL=0=Court-circuit.
Récapitulatif :
I=CV
V=RI
V
V=LI
I
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Chapitre 04 : Régime sinusoïdal
Impédance
R
X
Admittance

Z
G
B

Y
Résistance r
r
0
R
0
1/r
0
1/r
0
Condensateur C
0
-1/C
1/C
-90°
0
C
C
+90°
Bobine L
0
L
L
+90°
0
-1/L 1/L
-90°
4.6. Association de dipôles
En série: Les impédances complexes s'ajoutent ZZi
En parallèle: Les admittances complexes s'ajoutent Y Y i
5. Lois de Kirchhoff complexes
Les lois de Kirchhoff sont appliquées pour les grandeurs instantanées. En régime sinusoïdal, les
mêmes lois sont appliquées pour les amplitudes complexes.
5.1. Loi des nœuds ou 1ère loi de Kirchhoff
i k  i k  Ik  Ik
noeud noeud
noeud noeud
jt
(ceci est vérifié car il y a multiplication par e
qui ne s'annule jamais)
5.2. Loi des mailles ou 2ème loi de Kirchhoff
De même pour la loi des mailles
v k  v k   Vk   Vk
maille
maille maille
maille
5.3. Remarque importante
Formules fausses
Ik  Ik et  Vk  Vk
maille
noeud noeud
maille
Il faut utiliser les amplitudes complexes
C'est une somme vectorielle et non pas une somme de longueurs
V1
V2
V3
On a pas V1 V2 V3 mais V1V2 V3
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Chapitre 04 : Régime sinusoïdal
5.4. Analogie entre circuit résistif et régime sinusoïdal
Parce que les lois de Kirchhoff et d'Ohm sont vérifiées en régime sinusoïdal, alors toutes les
lois des circuits résistifs sont applicables sur les circuits linéaires en régime sinusoïdal. C'est juste
un changement de notations:
v V i I R Z . Attention : n'utilisez pas les modules. Utilisez les nombres complexes
6. Circuit linéaire et régime variable
Pour déterminer la sortie s(t) d'un circuit linéaire excité par e(t) quelconque, il suffira d'étudier le
circuit en régime sinusoïdal parce que :
-N'importe quel signal est décomposable en une somme de sinusoïdes : Somme discrète si le
signal est périodique (Série de Fourier) et Somme continue si le signal est apériodique
(Transformée de Fourier).
-La réponse à une sinusoïde est une sinusoïde parce que le circuit est linéaire.
-La réponse de la somme est la somme des réponses parce que le circuit est linéaire.
On peut donc calculer la sortie s(t) en faisant une sommation des sinusoïdes relatives à celles
constituants l'entrées e(t).

e(t)


E(f) e
j2ft
df
Circuit
Linéaire
Passif

 S(f) e

j2ft
df s(t)
L'étude du régime sinusoïdal est d'une grande importance pratique parce que la tension du réseau
électrique est sinusoïdale (production, transport et distribution simples)
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