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Laplace Fonction Causale

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Partie 1 - Séquence 1
Transformée de Laplace d’une fonction
causale
Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
I. Fonctions causales
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
I. Fonctions causales
Définition
Une fonction f définie sur R est dite causale si f(t) = 0 pour
t < 0.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
I. Fonctions causales
Définition
Une fonction f définie sur R est dite causale si f(t) = 0 pour
t < 0.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction échelon-unité
La fonction causale la plus utilisée est la fonction échelon-unité
ou fonction de Heaviside notée U définie par :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction échelon-unité
La fonction causale la plus utilisée est la fonction échelon-unité
ou fonction de Heaviside notée U définie par :
U (t) = 0 si t < 0
U (t) = 1 si t > 0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction échelon-unité
La fonction causale la plus utilisée est la fonction échelon-unité
ou fonction de Heaviside notée U définie par :
U (t) = 0 si t < 0
U (t) = 1 si t > 0
b
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Remarque
Si g est une fonction définie sur R alors la fonction f définie par
f(t) = g(t)U (t) est une fonction causale.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Remarque
Si g est une fonction définie sur R alors la fonction f définie par
f(t) = g(t)U (t) est une fonction causale.
Exemple
Soit f la fonction définie par f(t) = sin t.U (t).
f est une fonction causale dont voici la courbe représentative :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Remarque
Si g est une fonction définie sur R alors la fonction f définie par
f(t) = g(t)U (t) est une fonction causale.
Exemple
Soit f la fonction définie par f(t) = sin t.U (t).
f est une fonction causale dont voici la courbe représentative :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe-unité
La fonction rampe-unité est la fonction t 7→ tU (t).
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe-unité
La fonction rampe-unité est la fonction t 7→ tU (t).
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction avancée ou retardée
Soit f une fonction et a ∈ R.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction avancée ou retardée
Soit f une fonction et a ∈ R.
La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction avancée ou retardée
Soit f une fonction et a ∈ R.
La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a.
La fonction t 7→ f(t − a) est dite retardée de a.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction avancée ou retardée
Soit f une fonction et a ∈ R.
La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a.
La fonction t 7→ f(t − a) est dite retardée de a.
Par exemple, la fonction échelon retardée de 3 est la fonction
t 7→ U (t − 3), voici sa représentation graphique :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction avancée ou retardée
Soit f une fonction et a ∈ R.
La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a.
La fonction t 7→ f(t − a) est dite retardée de a.
Par exemple, la fonction échelon retardée de 3 est la fonction
t 7→ U (t − 3), voici sa représentation graphique :
b
−2 −1
1
2
3
4
5
6
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction créneau
Une fonction créneau est une fonction nulle partout sauf sur un
intervalle sur lequel elle est constante.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction créneau
Une fonction créneau est une fonction nulle partout sauf sur un
intervalle sur lequel elle est constante.
Par exemple, la fonction t 7→ 2[U (t − 1) − U (t − 4)] est une
fonction créneau dont voici la courbe représentative :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction créneau
Une fonction créneau est une fonction nulle partout sauf sur un
intervalle sur lequel elle est constante.
Par exemple, la fonction t 7→ 2[U (t − 1) − U (t − 4)] est une
fonction créneau dont voici la courbe représentative :
b
b
−2 −1
1
2
3
4
5
6
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
II. Intégrales généralisées
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
II. Intégrales généralisées
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
II. Intégrales généralisées
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[.
Zx
Si lim
f(t)dt est un réel A,
x7→+∞ a
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
II. Intégrales généralisées
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[.
Zx
Si lim
f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale
x7→+∞ a
Z +∞
f(t)dt converge
a
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
II. Intégrales généralisées
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[.
Zx
Si lim
f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale
x7→+∞ a
Z +∞
Z +∞
f(t)dt = A.
f(t)dt converge et on a
a
a
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
II. Intégrales généralisées
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[.
Zx
Si lim
f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale
x7→+∞ a
Z +∞
Z +∞
f(t)dt = A.
f(t)dt converge et on a
a
a
Si une intégrale ne converge pas alors on dit qu’elle diverge.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
II. Intégrales généralisées
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[.
Zx
Si lim
f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale
x7→+∞ a
Z +∞
Z +∞
f(t)dt = A.
f(t)dt converge et on a
a
a
Si une intégrale ne converge pas alors on dit qu’elle diverge.
Remarque
Les propriétés connues de l’intégrale restent valables pour les
intégrales généralisées.
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Etudions la convergence de
Z +∞
1
1
dt.
t
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Etudions la convergence de
Zx
1
dt =
1 t
Z +∞
1
1
dt.
t
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Etudions la convergence de
Zx
h ix
1
dt = ln t =
1
1 t
Z +∞
1
1
dt.
t
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t
1
Zx
h ix
1
dt = ln t = ln x − ln 1 =
1
1 t
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t
1
Zx
h ix
1
dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x.
1
1 t
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t
1
Zx
h ix
1
dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x.
1
1 t
Or lim ln x =
x7→+∞
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t
1
Zx
h ix
1
dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x.
1
1 t
Or lim ln x = + ∞.
x7→+∞
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t
1
Zx
h ix
1
dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x.
1
1 t
Or lim ln x = + ∞.
x7→+∞
Z +∞
1
Donc
dt diverge.
t
1
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 1
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t
1
Zx
h ix
1
dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x.
1
1 t
Or lim ln x = + ∞.
x7→+∞
Z +∞
1
Donc
dt diverge.
t
1
y=
1
x
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Etudions la convergence de
Z +∞
1
1
dt.
t2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Etudions la convergence de
Zx
1
dt =
2
t
1
Z +∞
1
1
dt.
t2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Etudions la convergence de
Zx
h 1 ix
1
=
dt
=
−
2
t 1
1 t
Z +∞
1
1
dt.
t2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t2
1
Zx
h 1 ix
1
1
= − + 1.
dt
=
−
2
1
t
t
x
1
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t2
1
Zx
h 1 ix
1
1
= − + 1.
dt
=
−
2
1
t
t
x
1
1
− +1 =
Or lim
x7→+∞
x
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t2
1
Zx
h 1 ix
1
1
= − + 1.
dt
=
−
2
1
t
t
x
1
1
− + 1 = 1.
Or lim
x7→+∞
x
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t2
1
Zx
h 1 ix
1
1
= − + 1.
dt
=
−
2
1
t
t
x
1
1
− + 1 = 1.
Or lim
x7→+∞
x
Z +∞
1
Donc
dt converge
2
t
1
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t2
1
Zx
h 1 ix
1
1
= − + 1.
dt
=
−
2
1
t
t
x
1
1
− + 1 = 1.
Or lim
x7→+∞
x
Z +∞
Z +∞
1
1
Donc
dt converge et
dt = 1.
2
2
t
t
1
1
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Exemple 2
Z +∞
1
Etudions la convergence de
dt.
t2
1
Zx
h 1 ix
1
1
= − + 1.
dt
=
−
2
1
t
t
x
1
1
− + 1 = 1.
Or lim
x7→+∞
x
Z +∞
Z +∞
1
1
Donc
dt converge et
dt = 1.
2
2
t
t
1
1
y=
1
x2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
III. Transformée de Laplace
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
III. Transformée de Laplace
Définition
La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction
Lf de la variable réelle p définie par :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
III. Transformée de Laplace
Définition
La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction
Lf de la variable réelle p définie par :
Lf (p) =
Z +∞
e−pt f(t)dt
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
III. Transformée de Laplace
Définition
La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction
Lf de la variable réelle p définie par :
Lf (p) =
Z +∞
e−pt f(t)dt
0
Remarques
La
transformée de Laplace de f existe si et seulement si
R +∞
e−pt f(t)dt converge.
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
III. Transformée de Laplace
Définition
La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction
Lf de la variable réelle p définie par :
Lf (p) =
Z +∞
e−pt f(t)dt
0
Remarques
La
transformée de Laplace de f existe si et seulement si
R +∞
e−pt f(t)dt converge.
0
On note parfois F(p) ou L [f(t)](p) au lieu de Lf (p).
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
Démonstration :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
Démonstration :
Zx
U (t)e−pt dt =
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
e−pt dt =
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
0
e−pt dt =
−
1 −pt
e
p
=
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
0
e−pt dt =
−
1 −pt
e
p
0
=
1
(−e−px + 1).
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
0
e−pt dt =
−
1 −pt
e
p
0
=
1
(−e−px + 1).
p
Or p étant strictement positif :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
0
e−pt dt =
−
1 −pt
e
p
Or p étant strictement positif : lim
x7→+∞
0
=
1
(−e−px + 1).
p
1
(−e−px + 1) =
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
0
e−pt dt =
−
1 −pt
e
p
Or p étant strictement positif : lim
x7→+∞
0
=
1
(−e−px + 1).
p
1
1
(−e−px + 1) = .
p
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
U (t)e−pt dt =
0
Zx
0
e−pt dt =
−
1 −pt
e
p
Or p étant strictement positif : lim
x7→+∞
0
=
1
(−e−px + 1).
p
1
1
(−e−px + 1) = .
p
p
On a donc
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
e−pt dt =
0
−
1 −pt
e
p
Or p étant strictement positif : lim
x7→+∞
0
=
1
(−e−px + 1).
p
1
1
(−e−px + 1) = .
p
p
On a donc L [U (t)](p) =
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
e−pt dt =
0
−
1 −pt
e
p
Or p étant strictement positif : lim
x7→+∞
On a donc L [U (t)](p) =
Z +∞
=
0
1
(−e−px + 1).
p
1
1
(−e−px + 1) = .
p
p
e−pt U (t)dt =
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
IV. Transformée de Laplace des fonctions
usuelles
Fonction de Heaviside
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie
pour p > 0 et on a :
L [U (t)](p) =
1
p
"
#x
Démonstration :
Zx
0
U (t)e−pt dt =
Zx
e−pt dt =
0
−
1 −pt
e
p
Or p étant strictement positif : lim
x7→+∞
On a donc L [U (t)](p) =
Z +∞
0
0
=
1
(−e−px + 1).
p
1
1
(−e−px + 1) = .
p
p
1
e−pt U (t)dt = .
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
Démonstration :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Il s’agit de calculer
0
e−pt tU (t)dt soit
Zx
te−pt dt.
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
0
e−pt tU (t)dt soit
:
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
0
te−pt dt
=
"
−
1 −pt
te
p
#x
0
+
Zx
:
1 −pt
e
dt
0 p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
:
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
0
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
=
:
0
− e−px
− xe−px
1
+
+ 2
p
p2
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
=
Or
lim
x7→+∞
:
0
− e−px
− xe−px
1
+
+ 2
p
p2
p
− xe−px
=
p
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
=
Or
lim
x7→+∞
:
0
− e−px
− xe−px
1
+
+ 2
p
p2
p
− xe−px
− e−px
=
=
lim
x7→+∞
p
p2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
=
Or
lim
x7→+∞
:
0
− e−px
− xe−px
1
+
+ 2
p
p2
p
− xe−px
− e−px
= 0.
=
lim
x7→+∞
p
p2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
=
Or
lim
x7→+∞
:
0
− e−px
− xe−px
1
+
+ 2
p
p2
p
− xe−px
− e−px
= 0.
=
lim
x7→+∞
p
p2
On a donc L [tU (t)](p) =
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
=
:
0
− e−px
− xe−px
1
+
+ 2
p
p2
p
− xe−px
− e−px
= 0.
=
lim
x7→+∞
p
p2
R +∞ −pt
On a donc L [tU (t)](p) = 0
te
U (t)dt =
Or
lim
x7→+∞
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction rampe
La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour
p > 0 et on a :
1
L [tU (t)](p) = 2
p
DémonstrationZ :
x
Zx
te−pt dt.
0
u(t) = t et donc u ′ (t) = 1
On effectue une intégration par parties avec
1 e−pt
v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p
Il s’agit de calculer
e−pt tU (t)dt soit
0
Zx
te−pt dt
=
0
=
#x Z
x 1
1 −pt
+
te
e−pt dt
p
0 p
0
#x
"
#x
"
1 − e−pt
− e−pt
+
t
p
p
p
"
−
0
=
:
0
− e−px
− xe−px
1
+
+ 2
p
p2
p
− xe−px
− e−px
= 0.
=
lim
x7→+∞
p
p2
R +∞ −pt
1
On a donc L [tU (t)](p) = 0
te
U (t)dt = 2 .
p
Or
lim
x7→+∞
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction t 7→ tn U (t)
La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N
est définie pour p > 0 et on a :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction t 7→ tn U (t)
La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N
est définie pour p > 0 et on a :
L [tn U (t)](p) =
n!
pn+1
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction t 7→ tn U (t)
La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N
est définie pour p > 0 et on a :
L [tn U (t)](p) =
n!
pn+1
Fonction t 7→ e−at U (t)
La transformée de Laplace de la fonction t 7→ e−at U (t) est
définie pour p > a et on a :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction t 7→ tn U (t)
La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N
est définie pour p > 0 et on a :
L [tn U (t)](p) =
n!
pn+1
Fonction t 7→ e−at U (t)
La transformée de Laplace de la fonction t 7→ e−at U (t) est
définie pour p > a et on a :
L [e−at U (t)](p) =
1
p+a
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction sinus
Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction
t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction sinus
Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction
t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a :
L [sin(ωt)U (t)](p) =
ω
p2 + ω2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction sinus
Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction
t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a :
L [sin(ωt)U (t)](p) =
ω
p2 + ω2
Fonction cosinus
Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction
t 7→ cos(ωt)U (t) existe et on a :
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
Fonction sinus
Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction
t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a :
L [sin(ωt)U (t)](p) =
ω
p2 + ω2
Fonction cosinus
Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction
t 7→ cos(ωt)U (t) existe et on a :
L [cos(ωt)U (t)](p) =
p2
p
+ ω2
Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
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