PolyTunis A Perrut

Universit´e Claude Bernard Lyon 1
IREM de Lyon - D´epartement de math´ematiques
Stage ATSM - Aoˆut 2010
Cours de probabilit´ es et statistiques
A. Perrut
contact : [e-mail]

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Table des mati`eres
1 Le mod`ele probabiliste 5
1.1 Introduction.................................... 5
1.2 Espace des possibles, ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Probabilit´e .................................... 7
1.4 Ind´ependance et conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 R´ep´etitions ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Exercices ..................................... 12
2 Variables al´eatoires discr`etes 15
2.1 D´efinitions..................................... 15
2.2 Ind´ependance et conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Sch´ema de Bernoulli et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Trois autres lois discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Loi g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Exercices ..................................... 25
3 Variables al´eatoires continues 27
3.1 Loi d’une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Loiuniforme ................................... 29
3.3 Laloinormale .................................. 30
3.3.1 Loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Loi normale : cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Fonction d’une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Exercices ..................................... 36
4 Th´eor`emes limites 39
4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Th´eor`eme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Exercices ..................................... 45
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4TABLE DES MATI ` ERES
5 Tests statistiques 47
5.1 Tests d’hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Test d’ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Test d’ind´ependance du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Exercices ..................................... 53
A Cardinaux et d´enombrement 57
B Tables statistiques 61
B.1 Fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . 61
B.2 Fractiles de la loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.3 Fractiles de la loi du χ2(ν= nombre de degr´es de libert´e) . . . . . . . . . . 64
C Statistique descriptive univari´ee 65
C.1 Variable quantitative discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Chapitre 1
Le mod`ele probabiliste
1.1 Introduction
Les probabilit´es vont nous servir `a mod´eliser une exp´erience al´eatoire, c’est-`a-dire
un ph´enom`ene dont on ne peut pas pr´edire l’issue avec certitude, et pour lequel on d´ecide
que le d´enouement sera le fait du hasard.
Exemples :
- l’enfant `a naˆıtre sera une fille,
- l’´equipe de l’OL va battre l’OM lors du prochain match qui les opposera,
- le d´e va faire un nombre pair.
La premi`ere tˆache qui vous attend est de d´ecrire les diff´erentes issues possibles de
cette exp´erience al´eatoire. Puis on cherche `a associer `a chacune de ces ´eventualit´es un
nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’elles ont de se r´ealiser. Comment
interpr´eter/fixer ce nombre, appel´e probabilit´e ? Il existe plusieurs mani`eres de voir.
- Proportion :
On lance un d´e. Quelle est la probabilit´e de A=”obtenir un chiffre pair”? Chaque face du
d´e a la mˆeme chance, et il y en a 6. Quant aux chiffres pairs, ils sont 3. D’o`u, intuitivement,
P(A) = 3
6= 1/2.
- Fr´equence :
Un enfant est attendu. Quelle est la probabilit´e que ce soit une fille ? On a observ´e un
grand nombre de naissances. Notons knle nombre de filles n´ees en observant nnaissances.
Alors
P(fille) = lim
n→+∞
kn
n
mais cette limite a-t-elle un sens ?
- Opinion :
Quelle est la probabilit´e pour que l’´equipe de Tunisie gagne la coupe d’Afrique des nations ?
pour que l’OL soit championne de France ? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le mˆeme
match dans les mˆemes conditions plusieurs fois. On peut consid´erer les qualit´es des joueurs,
des entraˆıneurs, les r´esultats de la saison... Mais le choix de la probabilit´e est forc´ement
subjectif.
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