cours co version1

Cours de Commande optimale
Mastère professionnelle
-
de satisfaire diverses contraintes imposées.
-
d’optimiser un critère choisi.
Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale
La théorie de la commande optimale à un champ d’application
1- Objet de la commande optimale
extrêmement vaste :
Pour introduire la notion de commande optimale, considérons
-
l’exemple suivant : Pour arrêter la rotation d’un rotor tournant à une
Régulation de la température d’une pièce ou d’un four en
utilisant le minimum d’énergie.
vitesse constante, on peut lui appliquer une charge extérieure C (t )
-
perpendiculaire à son axe de rotation. Il s’agit alors de déterminer la
Problème de poursuite : on souhaite que la sortie du système
suive le mieux possible la consigne désirée ou prévue. Il s’agit
commande C (t ) qui permet d’amener la vitesse de rotation du système
dans ce cas de déterminer la commande qui minimise l’énergie
de v = v0 à v = 0 .
de poursuite.
Cette détermination répond souvent à un objectif tel que, l’arrêt du
D’un point de vue formel, le problème de commande optimale est un
système en un temps minimum. Trouver C (t ) qui répond à cet objectif,
problème de minimisation ou de maximisation d’une fonctionnelle ;
est l’objet de la théorie de la commande optimale.
c'est-à-dire, un problème de calcul des variations
Le problème de détermination d’une commande optimale d’un
2- Formulation du problème de commande optimale
processus peut s’énoncer comme suit :
La théorie de la commande optimale couvre toutes les activités
Un processus dynamique étant donné et défini par son modèle
dynamiques où une performance optimale est exigée. Les systèmes à
(représentation
commander peuvent donc être d’origine diverses : mécanique,
d’état,
matrice
de
transfère,
équations
aux
différences,…), trouver parmi les commandes admissibles celles qui
électrique, électronique, biologie, chimie, économie,…
permet à la fois :
-
Chaque problème de commande nécessite une description des
de vérifier des conditions initiales et finales donnés.
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propriétés dynamiques du processus à commander.
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1. Détermination du modèle mathématique du système
2. Formulation de l’indice de performances et des contraintes
physiques
Les systèmes étudiés sont décrits par des variables d’état. Par exemple :
Il s’agit d’une grandeur mathématique désignée dans la littérature
(a) Systèmes linéaires continus commandés
X& = A(t ) X + B(t )U
techniques selon le domaine : critère (en automatique), fonction coût
où X ∈ ℜ et U ∈ ℜ .
n
m
(en économie), fonctionnelle (en mathématique).
Dans le cas où les matrices A et B sont constantes, on dit que le
Dans ce qui suit, on utilise le mot critère.
système est stationnaire.
Remarque :
(b) Systèmes non linéaires continus commandés
X& = f ( X ,U , t )
où
Sur le plan pratique il n’est pas facile de déterminer un critère ;
toutefois on peut toujours se ranger dans l’une des catégories
f ( X , U , t ) est une fonction
suivantes :
vectorielle non linéaire.
-
minimiser un temps ;
-
optimiser une amplitude ;
-
maximiser un profit où un revenu ;
-
minimiser une erreur ;
-
minimiser une consommation.
(c) Systèmes discrets linéaires
X k +1 = Ak X k + BkU k
(d) Systèmes discrets non linéaires
X k +1 = f ( X k ,U k , k )
Les critères les plus utilisés sont :
Outre ce modèle, il faut formuler, pour un problème de commande
(a) Problème à temps minimal
optimale, le critère de performance à optimiser et les contraintes
physiques.
T
J = ∫ dt
t0
(b) Cas linéaire quadratique
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T1
1

J = ∫  X T QX + U T RU  dt
t0
2
2

Cas général :
T
J = φ ( X (T ), T ) + ∫ L( X , U , t ) dt
t0
où L ( X , U , t ) est une fonction non linéaire et φ ( X (T ), T ) représente la
fonction coût terminal.
Pour la formulation des contraintes, il faut noter leur diversité lors de la
commande d’un processus : soit sur le temps de simulation, sur la
valeur de la commande, sur l’état du système,…
On peut citer :
-
temps final fixe : T est donné ;
-
temps final libre ;
-
état initial fixe ;
-
contrainte sur l’état X (T ), ψ ( X (T )) = 0 ;
-
contrainte sur la commande U . Par exemple : −1 ≤ U (t ) ≤ 1 .
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où J (⋅) et h (⋅) sont deux fonctionnelles scalaires (c-à-d fonctions de la
Chapitre 2 : Commande optimale des systèmes continus
fonction X (t ) ).
Alors :
1- Éléments de calcul des variations
T
Nous présentons les deux relations les plus importantes pour la
dJ ( X ) = h( X (T ), T ) dT − h( X (t0 ), t0 ) dt0 + ∫ hXT ( X (t ), t )δ X (t ) dt
t0
résolution du problème de commande optimale des systèmes continus.
( hX =
Ces relations seront utiles pour la détermination des conditions
nécessaires d’optimalité à partir de la minimisation du critère augmenté.
∂h
)
∂X
2- Solution du problème de commande optimale des systèmes
1.1 Relation entre variation et différentielle
continus
Soit X (t ) une fonction continue en t , les deux différentielles dX (t ) et
dt sont alors dépendantes. On définit la variation δ X (t ) qui représente
2.1 Position du problème
la variation sur X (t ) à t fixé :
Soit le système décrit par les équations d’état :
X& (t ) = f ( X (t ),U (t ), t )
&
dX (t ) = δ X (t ) + Xdt
(1)
avec X (t ) ∈ℜn et U (t ) ∈ℜm ,
1.2 Règle de Leibnitz
et soit à minimiser le critère :
La règle de Leibnitz permet de déterminer la variation d’une
fonctionnelle de la forme :
T
J (t0 ) = φ ( X (T ), T ) + ∫ L( X (t ), U (t ), t ) dt
t0
(2)
T
J ( X ) = ∫ h( X (t ), t ) dt
t0
où φ ( X (T ), T ) est la fonction coût terminal et L ( X (t ), U (t ), t ) décrit le
coût à chaque instant sur la trajectoire X (t ) .
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On suppose que f , L et φ sont de classes C 2 .
appelé Hamiltonien.
Il s’agit de déterminer U * (t ) sur l’intervalle [t0 , T ] qui transfère
Le critère augmenté devient :
le système décrit par (1) le long d’une trajectoire optimale X * (t ) qui
T
J ′ = φ ( X (T ), T ) + υ Tψ ( X (T ), T ) + ∫  H ( X (t ), U (t ), t ) − λ T X&  dt
t0
minimise le critère (2) et tel que :
ψ ( X (T ), T ) = 0
(3)
En utilisons la règle de Leibnitz pour déterminer dJ ′ , on obtient après
avec ψ ∈ ℜ p appelé cible.
calcul :
dJ ′ =
2.1 Hamiltonien et équations adjointes
Pour résoudre ce problème de C.O nous allons utiliser les
dJ ′ = 0 donne les conditions d’optimalité :
multiplicateurs de Lagrange.
Soit λ (t ) ∈ℜn et υ ∈ ℜ p les multiplicateurs correspondant
La première condition redonne les équations d’états du
système :
respectivement à la contrainte donnée par les équations (1) et à la
contrainte donnée par la cible (3).
∂H
X& = +
= f ( X (t ), U (t ), t ), t f t0
∂λ
Le critère augmenté est alors :
La deuxième condition donne le système suivant :
T
J ′ = φ ( X (T ), T ) + υ Tψ ( X (T ), T ) + ∫  L( X (t ), U (t ), t ) + λ T ( f ( X (t ), U (t ), t ) − X&  dt
t0
∂H  ∂f 
∂L
, t p t0
−λ& =
=
 λ+
∂X  ∂X 
∂X
T
(4)
Posons :
appelé système adjoint.
H ( X (t ),U (t ), λ (t ), t ) = L( X (t ),U (t ), t ) + λ f ( X (t ),U (t ), t )
T
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En effet on a : −λ& = H X (4) et HU = 0 (5).
La troisième condition est appelée condition de stationnarité :
∂H  ∂f 
∂L
=
 λ+
∂U  ∂U 
∂U
T
0=
Si f et L ne dépendent pas du temps alors :
(5)
H& = 0
X (t0 ) donné, les variables dX (T ) et dT ne sont pas indépendantes, la
Dans le cas des systèmes stationnaires, le Hamiltonien est constant le
condition terminale est alors :
(φ
X
+ψ υ − λ ) dX + (φt +ψ υ + H ) dt = 0
T
T
X
T
t
T
T
long d’une trajectoire.
(6)
et enfin on retrouve la contrainte sur l’état final :
ψ ( X (T ), T ) = 0
Remarques :
i.
La solution du problème de C.O dépend de la condition
initiale X (t0 ) et de la condition terminale λ (T ) déterminée à
partir de (6). Ce problème est en général très difficile à
résoudre.
ii.
Le long d’une trajectoire optimale nous avons :
H& = H t + H XT X& + HUT U& + H λT λ&
(
)
T
= H t + HUT U& + H X + λ& f
{ 14243
0
0
= Ht
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H=
Chapitre 3 : Commande optimale linéaire quadratique
(LQ)
1 T
X QX + U T RU ) + λ T ( AX + BU )
(
2
La première condition nécessaire d’optimalité redonne les équations
d’états du système :
Dans ce cas le système à commander est représenté par des équations
∂H
X& =
= AX + BU
∂λ
d’états linéaires et le critère à minimiser est quadratique.
1- Mise en équations du problème
La deuxième condition (4) donne le système adjoint :
Soit le système linéaire décrit par les équations suivantes :
X& = A(t ) X (t ) + B(t )U (t )
−λ& =
(7)
0=
et soit le critère quadratique suivant :
1 T
1 T
X (T ) S (T ) X (T ) + ∫ ( X T Q (t ) X + U T R (t )U ) dt
2
2 t0
(9)
et la condition de stationnarité est donné par :
avec X ∈ ℜ n et U ∈ ℜ m , l’instant initial X (t0 ) est donné.
J (t0 ) =
∂H
= QX + AT λ
∂X
(8)
∂H
= RU + BT λ
∂U
(10)
D’où l’expression de U :
U = − R −1 BT λ
où S (T ) et Q sont des matrices semi-définies positives et R , matrice
définie positive.
(11)
En remplaçant (11) dans (7) on obtient :
Résoudre le problème LQ, revient à déterminer U * (t ) qui minimise
X& = AX − BR −1 BT λ
J (t0 ) sur [t0 , T ] .
(12)
Les équations d’état et les équations adjointes couplées donne alors le
système suivant :
2- Hamiltonien et équations adjointes
Le hamiltonien de ce problème est donné par :
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 X&   A − BR −1 BT   X 
 &  = 
 
− AT   λ 
 λ   −Q
J (t0 ) =
(13)
1 T T
U RUdt
2 ∫t0
Il s’agit donc de déterminer la commande qui transfère le système de
3- Solution du problème LQ
l’état initial X (t0 ) donné, à l’état final X (T ) = r (T ) donné, en
Pour résoudre le système (13), il faut tenir compte des conditions
minimisant l’énergie de commande.
terminales. Deux cas sont envisagés :
-
Etat final connu, conduisant à une commande en boucle ouverte.
-
Etat final libre, conduisant à une commande en boucle fermée.
Dans ce cas les équations d’état et les équations adjacentes sont
données par :
3.1 Commande en boucle ouverte (Etat final connu)
X& = AX − BR −1 BT λ
(14)
λ& = − AT λ
(15)
et
On suppose que l’état final est connu X (T ) = r (T ) , c’est-àdire dX (T ) = 0 , le temps final étant fixé, alors dT = 0 , la
condition (6) est donc vérifiée.
D’autre
part,
puisque
X (T )
est
fixé,
le
La solution de (15) est obtenue simplement en fonction de λ (T ) :
terme
λ (t ) = e A
T
X (T )T S (T ) X (T ) est une constante, il est donc inutile de le
garder dans le critère.
(T − t )
λ (T )
(16)
En utilisons (16) dans (14) :
Il s’agit de résoudre le système Hamiltonien (13) formé par 2n
T
X& = AX − BR −1BT e A (T −t ) λ (T )
équations différentielles couplées connaissant la condition initiale
(17)
d’où :
X (t0 ) et condition finale X (T ) .
Solution analytique dans le cas particulier Q = 0
t
X (t ) = e A (t −t0 ) X (t0 ) − ∫ e A (t −τ ) BR −1 BT e A
t0
T
(T −τ )
λ (T )dτ
(18)
Le critère est alors réduit à :
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En l’absence d’entrée, X (t ) = e A ( t −t0 ) X (t0 ) .
On a :
T
X (T ) = e A(T −t0 ) X (t0 ) − ∫ e A (T −τ ) BR −1 BT e A
T
(T −τ )
t0
ii.
λ (T )dτ
L’expression de U * (t ) montre que la commande optimale est
proportionnelle à la différence entre l’état final désiré et la
solution du système en régime libre à t = T .
où encore :
iii.
X (T ) = e A(T −t0 ) X (t0 ) − G (t0 , T )λ (T )
U * (t ) existe si G (t0 , T ) est inversible, ce qui correspond à la
( A, B )
condition de commondabilité du système. Donc si
avec :
commandable
T
G (t0 , T ) = ∫ e A (T −τ ) BR −1 BT e A
T
( T −τ )
t0
existe
une
commande
optimale
1 T T
U RUdt )
2 ∫t0
et qui transfère le système d’un état initial donné à n’importe
quel état désiré.
λ (T ) = −G −1 (t0 , T ) ( r (T ) − e A(T −t ) X (t0 ) )
0
3.2 Commande en boucle fermée (Etat final libre)
L’état X (T ) étant libre, dX (T ) ≠ 0 . D’autre part, le temps T est fixé,
et la commande optimale d’après (11) :
U * (t ) = − R −1 BT e A
T
(T − t )
dT = 0 , la condition (6) devient alors :
G −1 (t0 , T )  r (T ) − e A(T −t0 ) X (t0 ) 
S (T ) X (T ) = λ (T )
Remarques :
En effet (6) ⇒
La commande optimale est en boucle ouverte puisqu’elle
φ X = λ (T )
car ( φ =
1 T
X (T ) S (T ) X (T ) ) soit
2
S (T ) X (T ) = λ (T ) .
dépend de l’état initial et non de l’état courant X (t ) .
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il
minimisant l’énergie de commande (c-à-d J (t0 ) =
dτ
λ (T ) est alors donné par :
i.
alors
est
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U * (t ) = − R −1 BT S (t ) X (t )
= −G (t ) X (t )
Cette relation est la nouvelle condition terminale. On démontre qu’elle
est vraie pour t p T .
λ (T ) = S (T ) X (T )
G (t ) est appelé le gain de Kalman.
(a)
Le système en boucle fermé est donné par :
En utilisons cette relation dans (12), on obtient :
X& = ( A − BG ) X
X& = AX (t ) − BR −1 BT S (t ) X (t )
On peut montrer aussi que le critère optimisé ne dépend que de X (t0 )
& + SX& = SX
& + S ( AX − BR −1 BT SX )
or (a) : λ& = SX
et S (t0 ) .
donc (9) devient :
J * (t0 ) =
& = ( Q + AT S + SA − SBR −1 BT S ) X
− SX
4- Commande LQ à horizon infini
Cette condition, valable pour tout t , nous avons :
− S& = Q + AT S + SA − SBR −1 BT S ,
1
X (t0 )T S (t0 ) X (t0 )
2
On suppose que les matrices A, B, Q, R sont indépendantes du temps.
tpT
(19)
En régime permanent, c'est-à-dire pour T → ∞ , en supposant que S (t )
Cette équation différentielle non linéaire est appelée équation de
converge, nous avons alors :
Ricatti dans le cas continu. Connaissant S (T ) , on peut déterminer S (t )
S& = 0, t p T
pour t p T .
Dans ce cas S est une constante solution de l’équation algébrique de
La commande optimale est donné par :
Ricatti :
U (t ) = − R B λ (t )
*
−1
T
AT S + SA − SBR −1 BT S + Q = 0
(20)
Soit :
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Supposons que ( A, C ) est observable. Alors ( A, B ) est stabilisable si et
La commande optimale est :
U = −GX (t )
seulement si :
-
avec :
il existe une solution unique S définie positive de l’équation de
Ricatti. Mieux encore cette solution, est l’unique solution
G = R −1 BT S
définie positive de l’équation algébrique de Ricatti.
(21)
-
et le système bouclé est donné par :
Le système bouclé donné par (22), où G est donné par (21), est
asymptôtiquement stable.
X& = ( A − BG ) X
(22)
Remarques :
Nous devons donc connaître les conditions d’existence d’une telle
i. La condition de stabilisabilité du système est une condition
limite pour tout S (T ) . De plus, il serait intéressant de savoir quand
nécessaire pour la résolution du problème LQ à horizon infini. Or
cette limite est indépendante de S (T ) .
un système est stabilisable s’il est commandable, ou si les
variables non commandables ont une dynamique stable.
Les théorèmes suivants permettent de répondre à ces questions :
Une condition moins forte que la condition de commandabilité
Théorème 1 :
du système est donc exigée. Notons que, comme on l’a déjà vu,
Si ( A, B ) est stabilisable alors pour chaque S (T ) , il existe une limite
la solution dans le cas LQ à état final libre et à horizon fini, ne
bornée S quand T → ∞ , solution de l’équation de Ricatti. Mieux
nécessite pas la commandabilité du système.
encore S est une solution semi définie positive de l’équation
ii. Le deuxième théorème a aussi permis de conclure à la stabilité
algébrique de Ricatti.
asymptôtique du système en boucle fermée.
Théorème 2 :
iii. Par un choix convenable de Q et R , on peut placer les pôles
Soit C une matrice tel que Q = C T C .
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désirés du système en boucle fermée.
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 W11 


 W21 
5- Solution analytique de l’équation de Ricatti
Pour le problème LQ, les équations d’état et les équations adjointes
couplées s’écrivent :
les n vecteurs propres correspondant aux n valeurs propres stables de
 X&   A − BR −1 BT   X 
 &  = 
 
− AT   λ 
 λ   −Q
H.
Nous avons donc :
W −1 HW = D
Posons :
 A − BR −1 BT 
H =

− AT 
 −Q
Définissons le changement de variables suivants :
 x   W11 W12   w 
  = W W   
 λ   21
22   z 
On montre que la solution de Ricatti peut être déterminée en fonction
des valeurs propres et vecteurs propres de la matrice H .
Si S (T ) est la condition terminale de l’équation de Ricatti, définissons :
Posons :
 −M
D=
 0
V (T ) = − (W22 − S (T )W12 )
0

M
−1
(W21 − S (T )W11 )
et
où M est une matrice diagonale contenant les valeurs propres instables
V (t ) = e − M (T −t )V (T )e − M (T −t )
de H (valeurs propres à partie réelle positive), et soit :
On obtient alors la solution de l’équation de Ricatti :
 W W12 
W =  11

 W21 W22 
S (t ) = (W21 + W22V (t ) )(W11 + W12V (t ) )
la matrice de passage formée par les valeurs propres de H , avec :
−1
Quand T → ∞ la solution de l’équation algébrique de Ricatti s’écrit :
S = W21W12−1
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