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Cours de Commande optimale Mastère professionnelle
ISSAT Kairouan 2010-2011
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Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale
1- Objet de la commande optimale
Pour introduire la notion de commande optimale, considérons
l’exemple suivant : Pour arrêter la rotation d’un rotor tournant à une
vitesse constante, on peut lui appliquer une charge extérieure
( )
C t
perpendiculaire à son axe de rotation. Il s’agit alors de déterminer la
commande
( )
C t
qui permet d’amener la vitesse de rotation du système
de
0
v v
=
à
0
v
=
.
Cette détermination répond souvent à un objectif tel que, l’arrêt du
système en un temps minimum. Trouver
( )
C t
qui répond à cet objectif,
est l’objet de la théorie de la commande optimale.
Le problème de détermination d’une commande optimale d’un
processus peut s’énoncer comme suit :
Un processus dynamique étant donné et défini par son modèle
(représentation d’état, matrice de transfère, équations aux
différences,…), trouver parmi les commandes admissibles celles qui
permet à la fois :
- de vérifier des conditions initiales et finales donnés.
- de satisfaire diverses contraintes imposées.
- d’optimiser un critère choisi.
La théorie de la commande optimale à un champ d’application
extrêmement vaste :
- Régulation de la température d’une pièce ou d’un four en
utilisant le minimum d’énergie.
- Problème de poursuite : on souhaite que la sortie du système
suive le mieux possible la consigne désirée ou prévue. Il s’agit
dans ce cas de déterminer la commande qui minimise l’énergie
de poursuite.
D’un point de vue formel, le problème de commande optimale est un
problème de minimisation ou de maximisation d’une fonctionnelle ;
c'est-à-dire, un problème de calcul des variations
2- Formulation du problème de commande optimale
La théorie de la commande optimale couvre toutes les activités
dynamiques où une performance optimale est exigée. Les systèmes à
commander peuvent donc être d’origine diverses : mécanique,
électrique, électronique, biologie, chimie, économie,…
Chaque problème de commande nécessite une description des
propriétés dynamiques du processus à commander.

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1. Détermination du modèle mathématique du système
Les systèmes étudiés sont décrits par des variables d’état. Par exemple :
(a) Systèmes linéaires continus commandés
( ) ( )
X A t X B t U
= +
&
où
n
X
∈ℜ
et
m
U
∈ℜ
.
Dans le cas où les matrices
A
et
B
sont constantes, on dit que le
système est stationnaire.
(b) Systèmes non linéaires continus commandés
( , , )
X f X U t
=
&
où
( , , )
f X U t
est une fonction
vectorielle non linéaire.
(c) Systèmes discrets linéaires
1
k k k k k
X A X B U
+
= +
(d) Systèmes discrets non linéaires
1
( , , )
k k k
X f X U k
+
=
Outre ce modèle, il faut formuler, pour un problème de commande
optimale, le critère de performance à optimiser et les contraintes
physiques.
2. Formulation de l’indice de performances et des contraintes
physiques
Il s’agit d’une grandeur mathématique désignée dans la littérature
techniques selon le domaine : critère (en automatique), fonction coût
(en économie), fonctionnelle (en mathématique).
Dans ce qui suit, on utilise le mot critère.
Remarque :
Sur le plan pratique il n’est pas facile de déterminer un critère ;
toutefois on peut toujours se ranger dans l’une des catégories
suivantes :
- minimiser un temps ;
- optimiser une amplitude ;
- maximiser un profit où un revenu ;
- minimiser une erreur ;
- minimiser une consommation.
Les critères les plus utilisés sont :
(a) Problème à temps minimal
0
T
t
J dt
=
∫
(b) Cas linéaire quadratique

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0
1 1
2 2
TT T
t
J X QX U RU dt
= +
∫
Cas général :
0
( ( ), ) ( , , )
T
t
J X T T L X U t dt
φ = +
∫
où
( , , )
L X U t
est une fonction non linéaire et
( ( ), )
X T T
φ
représente la
fonction coût terminal.
Pour la formulation des contraintes, il faut noter leur diversité lors de la
commande d’un processus : soit sur le temps de simulation, sur la
valeur de la commande, sur l’état du système,…
On peut citer :
- temps final fixe :
T
est donné ;
- temps final libre ;
- état initial fixe ;
- contrainte sur l’état
( ), ( ( )) 0
X T X T
ψ
=
;
- contrainte sur la commande
U
. Par exemple :
1 ( ) 1
U t
− ≤ ≤
.

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Chapitre 2 : Commande optimale des systèmes continus
1- Éléments de calcul des variations
Nous présentons les deux relations les plus importantes pour la
résolution du problème de commande optimale des systèmes continus.
Ces relations seront utiles pour la détermination des conditions
nécessaires d’optimalité à partir de la minimisation du critère augmenté.
1.1 Relation entre variation et différentielle
Soit
( )
X t
une fonction continue en
t
, les deux différentielles
( )
dX t
et
dt
sont alors dépendantes. On définit la variation
( )
X t
δ
qui représente
la variation sur
( )
X t
à
t
fixé :
( ) ( )
dX t X t Xdt
δ = +
&
1.2 Règle de Leibnitz
La règle de Leibnitz permet de déterminer la variation d’une
fonctionnelle de la forme :
0
( ) ( ( ), )
T
t
J X h X t t dt
=
∫
où
( )
J
⋅
et
( )
h
⋅
sont deux fonctionnelles scalaires (c-à-d fonctions de la
fonction
( )
X t
).
Alors :
0
0 0 0
( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( )
TT
X
t
dJ X h X T T dT h X t t dt h X t t X t dt
δ = − +
∫
(
X
h
h
X
∂
=
∂
)
2- Solution du problème de commande optimale des systèmes
continus
2.1 Position du problème
Soit le système décrit par les équations d’état :
( ) ( ( ), ( ), )
X t f X t U t t
=
&
(1)
avec ( )
n
X t
∈ℜ
et ( )
m
U t
∈ℜ
,
et soit à minimiser le critère :
0
0
( ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), )
T
t
J t X T T L X t U t t dt
φ = +
∫ (2)
où
( ( ), )
X T T
φ
est la fonction coût terminal et
( ( ), ( ), )
L X t U t t
décrit le
coût à chaque instant sur la trajectoire
( )
X t
.

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On suppose que
,
f L
et
φ
sont de classes
2
C
.
Il s’agit de déterminer
*
( )
U t
sur l’intervalle
[
]
0
,
t T
qui transfère
le système décrit par (1) le long d’une trajectoire optimale
*
( )
X t
qui
minimise le critère (2) et tel que :
( ( ), ) 0
X T T
ψ
=
(3)
avec
p
ψ
∈ℜ
appelé cible.
2.1 Hamiltonien et équations adjointes
Pour résoudre ce problème de C.O nous allons utiliser les
multiplicateurs de Lagrange.
Soit ( )
n
t λ
∈ℜ
et
p
υ
∈ℜ
les multiplicateurs correspondant
respectivement à la contrainte donnée par les équations (1) et à la
contrainte donnée par la cible (3).
Le critère augmenté est alors :
( )
0
( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ),
T
T T
t
J X T T X T T L X t U t t f X t U t t X dt
φ υ ψ λ
′
= + + + −
∫
&
Posons :
( ( ), ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), )
T
H X t U t t t L X t U t t f X t U t t
λ λ = +
appelé Hamiltonien.
Le critère augmenté devient :
0
( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ( ), )
T
T T
t
J X T T X T T H X t U t t X dt
φ υ ψ λ
′
= + + −
∫
&
En utilisons la règle de Leibnitz pour déterminer
dJ
′
, on obtient après
calcul :
dJ
′
=
0
dJ
′
=
donne les conditions d’optimalité :
 La première condition redonne les équations d’états du
système :
0
( ( ), ( ), ),
H
X f X t U t t t t
λ
∂
= + =
∂
&
f
La deuxième condition donne le système suivant :
0
,
T
H f L
t t
X X X
λ λ
∂ ∂ ∂
− = = +
∂ ∂ ∂
&
p
(4)
appelé système adjoint.