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Cours Chapitre 14

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Cours de mathématiques
ECE 1ère année
Chapitre 14
Compléments de probabilités
Ce chapitre complète et généralise les résultats établis au Chapitre 11 dans le cas des univers finis. Les principales notions sont reprises dans ce nouveau cadre. Certaines changent
peu, d’autres au contraire nécéssitent de prendre des précautions supplémentaire. Ainsi,
les sommes qui intervenaient dans le Chapitre 11 sont remplacées par des séries dont il
faut d’abord s’assurer de la convergence.
Adrien Fontaine
Année scolaire 2017–2018
Cours de mathématiques
ECE1
1. Espaces probabilisables : cas général
1.1. Quelques exemples
Dans le chapitre 11, on s’est intéressé à la modélisation d’expériences aléatoires dont
l’ensemble des issues possibles (l’univers Ω) est fini. Cependant, il existe une multitude
de situations ou l’univers Ω est infini :
Exemple :
1. On jette une pièce et on note le premier rang pour lequel le résultat est « Pile ».
Alors, Ω = N∗ .
2. On jette un dé à six faces une infinité de fois et on note la suite des résultats
obtenus. Alors, Ω = J1; 6KN (l’ensemble des suites d’éléments de J1; 6K).
3. On note le temps d’attente d’un bus, qui est un nombre aléatoire dans R+ .
1.2. Ensemble dénombrable
Définition 1 : Ensemble dénombrable
Un ensemble E est dit dénombrable s’il existe une bijection de N sur E.
Exemple :
1. N, N∗ , Z, Z × Z, Q sont dénombrables.
2. R n’est pas dénombrable.
3. J1; 6KN n’est pas dénombrable.
Dans la suite, on va vouloir calculer la probabilité de certaines parties de l’univers Ω.
Malheureusement, sauf lorsque Ω sera fini ou dénombrable, on ne pourra pas s’intéresser
à l’ensemble P(Ω) de toutes les parties de Ω car celui-ci est beaucoup "trop gros". On
se restreindra donc à un sous-ensemble T de P(Ω) qui constituera l’ensemble des parties
dont on peut calculer la probabilité. Afin d’obtenir un modèle aussi cohérent que possible,
il faut imposer certaines conditions de stabilité à T : par union, intersection, passage au
complémentaire, etc. C’est pourquoi on introduit la notion de tribu.
1.3. Tribu et espace probabilisable
Définition 2 :
Soit Ω un ensemble. On appelle tribu (ou parfois σ-algèbre de Ω tout sous-ensemble T de
P(Ω) vérifiant :
• Ω∈T ;
• T est stable par passage au complémentaire : si A ∈ T , alors A ∈ T ;
• T[est stable par union dénombrable : si (An )n∈N est une suite d’éléments de T , alors
An ∈ T .
n∈N
Le couple (Ω, T ) est alors appelé espace probabilisable, et les éléments de T sont appelés
les évènements.
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ECE1
Exemple :
1. P(Ω) est une tribu de Ω. On l’appelle tribu discrète de Ω. C’est celle que l’on
utilisait (sans utiliser le terme de tribu) dans le cas d’un univers fini.
2. Si A ⊆ Ω, alors T = {∅, A, A, Ω} est une tribu de Ω, appelée tribu engendrée
par A.
Remarque :
• Les éléments d’une tribu T sont des ensembles.
• En pratique, c’est l’énoncé qui précisera la tribu T à considérer.
Proposition 1 :
Soit T
•
•
•
une tribu de Ω. Alors :
∅∈T ;
Si A ∈ T et B ∈ T , alors A ∪ B, A ∩ B et A \ B sont aussi des éléments de T ;
T est \
stable par intersection dénombrable : si (An )n∈N est une suite d’éléments de T ,
alors
An ∈ T .
n∈N
Remarque : On rappelle que :
\
An =
n∈N
[
An
et
n∈N
[
n∈N
An =
\
An .
n∈N
Définition 3 : Système complet d’évènements
Soit (Ω, T ) un espace probabilisable et I une partie (finie ou non) de N. Une famille (Ai )i∈I
d’évènements est un système complet d’évènements si :
• Les évènements sont deux à deux incompatibles : pour tout (i; j) ∈ I 2 avec i 6= j,
Ai ∩ Aj = ∅.
[
• Leur réunion est Ω :
Ai = Ω.
i∈I
Remarque : Un système complet d’évènements peut comporter une infinité d’évènements !
Exemple : On lance un dé jusqu’à obtenir un premier 6. On note A0 l’évènement « ne
jamais obtenir un 6 » et An l’évènement « on obtient le premier 6 au n-ième lancer ». La
famille d’évènements (An )n∈N forme un système complet d’évènements.
3
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2. Espaces probabilisés : cas général
2.1. Définitions
Définition 4 : Espace probabilisé
Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, T )
toute application P de T dans [0; 1] vérifiant :
• P(Ω) = 1
• Si (An )n∈N est une suite d’évènements deux à deux incompatibles, alors :
! +∞
X
[
P(An ) .
An =
P
n=0
n∈N
Le triplet (Ω, T , P) est alors appelé espace probabilisé, et pour tout A ∈ T , P(A) est la
probabilité de l’évènement A.
Remarque :
X
• La série
P(An ) est bien convergente.
n>0
• Toutes les formules du chapitre 11 restent vraies, car la définition précédente généralise celle donnée dans ce chapitre :
1. P(A) = 1 − P(A) .
2. P(∅) = 0 .
3. Si A ⊂ B, alors P(A) 6 P(B) .
4. P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) .
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) .
Exercice résolu 1 :
On considère l’espace probabilisable (N∗ , P(N∗ )). Montrer que l’on définit une probabilité sur cet espace en posant :
∀n ∈ N∗ ,
P({n}) =
1
.
2n
On considère A = {2k ; k ∈ N∗ } et B = {2k + 1 ; k ∈ N}. Calculer P(A) et P(B).
X
X 1
Solution : La série
P({n}) =
est la série géométrique de raison 12 ∈] − 1; 1[
n
2
n>1
n>1
donc elle converge et
+∞
X
1
1
1
= ×
1 = 1.
k
2
2
1
−
2
k=1
Ainsi définie, P définit donc bien une probabilité. Par ailleurs,
+∞
+∞
X
X
1
1
=
.
P(A) =
2k
2
4k
k=1
k=1
4
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Suite de la solution :
On reconnaît la série géométrique de raison 41 . Ainsi,
P(A) =
1
1
×
4 1−
1
4
=
1
.
3
Par ailleurs, il est clair que N∗ = A ∪ B, et que A et B sont incompatibles. Dès lors :
P(B) = 1 − P(A) = 1 −
1
2
= .
3
3
Définition 5 :
Soit (Ω, T , P) un espace probabilisé.
• Si A est un évènement de probabilité nulle (P(A) = 0), alors on dit que A est négligeable.
• Si A est un évènement de probabilité égale à 1 (P(A) = 1), alors on dit que A est
presque sûr.
• Soit P une propriété et A = {ω ∈ Ω ; ω vérifie la propriété P}.
Si P(A) = 1, on dit que la propriété P est vraie presque sûrement.
Remarque : Dans le cas fini, les notions d’évènements impossibles et d’évènements négligeables se confondent. De même pour les notions d’évènements certains et presque sûrs.
Mais, dans le cas d’un univers infini, ce n’est plus le cas.
Exemple : On jette indéfiniment un dé à 6 faces et on note la suite des résultats obtenus.
On note C l’évènement « Au moins un des résultats est un 1 » et D l’évènement « Aucun
lancer ne donne un 1 ». Que dire, intuitivement, des évènements C et D ?
Le théorème suivant (de la limite monotone) permet de démontrer rigoureusement ce
résultat.
2.2. Théorème de la limite monotone
Soit (Ω, T , P) un espace probabilisé.
Définition 6 :
Soit (Bn ) une famille d’évènements de T .
• La famille (Bn )n∈N est croissante lorsque :
∀n ∈ N ,
Bn ⊆ Bn+1 .
La famille (Bn )n∈N est décroissante lorsque :
∀n ∈ N ,
Bn ⊇ Bn+1 .
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Théorème 1 :
• Si (Bn )n∈N est une famille croissante d’évènements de T , alors la suite (P(Bn ))n∈N
converge et :
!
+∞
[
Bn = lim P(Bn ) .
P
n→+∞
n=0
• Si (Bn )n∈N est une famille décroissante d’évènements de T , alors la suite (P(Bn ))n∈N
converge et :
!
+∞
\
P
Bn = lim P(Bn ) .
n→+∞
n=0
Ce théorème permet de démontrer le résultat (très important) suivant :
Corollaire 1 :
Si (An ) est une famille quelconque d’évènements de T , alors on a :
!
!
!
+∞
n
+∞
\
[
[
Ak = lim P
Ak
et
P
Ak = lim P
P
k=0
n→+∞
k=0
k=0
n→+∞
n
\
k=0
Ak
!
.
Exemple : Les évènements C et D introduits dans l’exemple précédent sont respectivement
presque sûrs et négligeables.
Exercice résolu 2 :
On effectue une succession de lancers d’un dé équilibré jusqu’à obtenir le premier 6.
On note A l’évènement « on effectue un nombre fini de lancers ». Autrement dit, A est
l’évènement « on obtient au moins un 6 ». On souhaite calculer P(A). Pour cela, on
considère les évènements An « on obtient 6 pour la première fois au n-ième lancer ».
1. Comment écrire A à l’aide des évènements An ?
2. Exprimer P(An ) en fonction de n.
!
n
[
Ak en fonction de n.
3. Pour tout n > 1, calculer P
k=1
4. En déduire P(A). Que peut-on dire de l’évènement A ?
Solution :
1. L’évènement A est réalisé, si et seulement si, il existe un entier n ∈ N tel que An
est réalisé. Autrement dit,
+∞
[
A=
An .
n=0
2. An est réalisé si on a obtenu un nombre autre que 6 aux n − 1 premiers lancers
et un 6 au n-ième lancer. Ainsi,
n−1
5
1
P(An ) =
× .
6
6
6
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Suite de la solution :
3. Les évènements A1 , . . . , An sont deux à deux incompatibles, donc :
!
n
n k−1
n
X
[
1X 5
P(Ak ) =
Ak =
P
.
6 k=1 6
k=1
k=1
On est donc ramené au calcul d’une somme géométrique. Dès lors :
!
n
n
n
[
5
1 1 − 56
=1−
P
Ak = ×
.
5
6
6
1
−
6
k=1
4. D’après le corollaire du théorème de la limite monotone, et avec les résultats des
questions précédentes, on a :
!
!
n +∞
n
[
[
5
Ak = lim 1 −
= 0.
P(A) = P
An ) = lim P
n→+∞
n→+∞
6
n=0
k=1
3. Probabilités conditionnelles : cas général
Presque tout ce qui a été vu dans le cas fini fonctionne à l’identique dans le cas infini :
définition de la probabilité conditionnelle, indépendance d’évènements, formule de Bayes,
formule des probabilités composées. Il faut cependant adapter les notions d’indépendance
mutuelle d’évènements et la formule des probabilités totales.
3.1. Définition
Définition 7 :
Soit (Ω, T , P) un espace probabilisé et A ∈ T un évènement tel que P(A) 6= 0. Soit B ∈ T .
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre :
PA (B) =
P(A ∩ B)
.
P(A)
Théorème 2 :
L’application PA ainsi définie est une probabilité sur (Ω, T ).
3.2. Formule des probabilités composées
Proposition 2 :
Soit (Ω, T , P) un espace probabilisé et soient A1 , A2 , · · · , An des évènements de T tels que
P(A1 ∩ · · · An−1 ) 6= 0. Alors :
P(A1 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 )PA1 (A2 )PA1 ∩A2 (A3 ) · · · PA1 ∩···An−1 (An ) .
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3.3. Formule des probabilités totales
Proposition 3 :
Soit (An )n∈N∗ un système complet d’évènements d’un espace probabilisé (Ω, T , P). Pour tout
évènement B ∈ T , on a :
+∞
X
P(B ∩ Ak ) .
P(B) =
k=1
Si de plus, pour tout n ∈
N∗ ,
P(An ) 6= 0, alors on a aussi :
P(B) =
+∞
X
PAk (B)P(Ak ) .
k=1
Remarque : En particulier, la formule des probabilités totales assure que les séries
X
P(B∩
n>1
An ) et
X
PAn (B)P(An ) sont convergentes.
n>1
3.4. Formule de Bayes
Proposition 4 :
1. Si A et B sont deux évènements de probabilité non nulles, alors on a :
PB (A) =
P(A)PA (B)
.
P(B)
2. Soit I une partie (finie ou non) de N et (Ai )i∈I un systéme complet d’évènements tel
que P(Ai ) 6= 0 pour tout i ∈ I. Si B est un évènement de probabilité non nulle, alors
pour tout k ∈ I :
P(Ak )PAk (B)
.
PB (Ak ) = P
i∈I P(Ai )PAi (B)
4. Indépendance : cas général
Définition 8 :
Soit (An )n∈N∗ une famille d’évènements d’un espace probabilisé (Ω, T , P).
• On dit que les évènements A1 , A2 , · · · , An , · · · sont deux à deux indépendants si :
∀(k; l) ∈ (N∗ )2 ,
k 6= l ⇒ P(Ak ∩ Al ) = P(Ak )P(Al ) .
• On dit que les évènements A1 , A2 , · · · , An , · · · sont mutuellement indépendants
si :
!
Y
\
P(Ai ) .
Ai =
pour tout partie finie I ⊆ N∗
P
i∈I
8
i∈I
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5. Exercices
14.1 On jette un dé à six faces une infinité de fois et on note la suite des résultats
obtenus. On note pour tout entier naturel i ∈ N∗ , Ai l’évènement « le résultat du i-ème
lancer est 1 ». Exprimer les évènements suivants à l’aide des évènements Ai :
1. Bi : « Le premier 1 apparaît au i-ème lancer. »
2. C : « Au moins un des résultats est un 1. »
3. D : « Aucun lancer ne donne un 1 ».
14.2 On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Dans l’urne numérotée k se trouvent k
boules blanches et n − k boules rouges. On choisit au hasard (de manière équiprobable)
une urne, puis on tire deux boules dans cette urne.
1. Quelle est la probabilité d’avoir deux boules blanches ?
2. Même question si on tire les deux boules blanches successivement et avec remise.
3. Quelle est la limite de ces probabilités quand n tend vers +∞ ?
14.3 On effectue un infinité de lancers d’une pièce truquée où 13 est la probabilité d’avoir
pile. On introduit B l’évènement « avoir au moins une fois pile », ainsi que An l’évènement
« obtenir au moins un pile au cours des n premiers lancers ». Déterminer P(An ) en fonction
de n pour tout n ∈ N∗ et en déduire P(B).
14.4 On considère une infinité de lancers d’un dé non truqué et on veut déterminer la
probabilité de ne jamais obtenir le nombre 1. Pour cela, on introduit les évènements :
• B : « ne jamais obtenir de 1 ».
• An : « ne pas obtenir de 1 au cours des n premiers lancers ».
1. Comment écrire B à l’aide des évènements An ?
2. (An )n∈N∗ est-elle une suite croissante d’évènements ?
3. Exprimer P(An ) en fonction de n.
4. En déduire P(B). Que peut-on dire de l’évènement B ?
14.5 Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue
dans cette urne une suite de tirages. À chaque tirage, on note la couleur de la boule tirée,
on la remet dans l’urne et on ajoute en plus une boule noire. Pour tout n dans N∗ , on
définit les évènements :
• En : « on obtient la première boule blanche au n-ième tirage ».
• Fn : « on obtient la première boule noire au n-ième tirage ».
1. a. Soit n dans N∗ . Montrer que :
P(En ) =
1
.
n(n + 1)
b. Déterminer deux réels a et b tels que :
∀n ∈ N∗ ,
P(En ) =
b
a
+
.
n n+1
c. En déduire que l’on obtient presque sûrement au moins une boule blanche.
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2. a. Soit n dans N∗ . Montrer que :
P(Fn ) =
1
1
−
.
n! (n + 1)!
b. En déduire que l’on obtient presque sûrement au moins une boule noire.
14.6 On jette un dé à six faces une infinité de fois et on note la suite des résultats
obtenus. On note pour tout entier naturel i ∈ N∗ , Ai l’évènement « le résultat du i-ème
lancer est 1 ».On note de plus Cn l’évènement « au moins un des résultats est un 1 lors
de n premiers lancers ».
1. a. Exprimer Cn à l’aide des Ai .
b. En déduire que P(Cn ) = 1 − P(A1 ∩ · · · ∩ An ).
c. Calculer alors P(Cn ).
2. a. Justifier que Cn est une suite croissante d’évènements.
b. On note C : « Au moins un des résultats est un 1 ». Exprimer C en fonction
des Cn et en déduire que C est presque sûr.
c. On note D : « Aucun lancer ne donne un 1 ». Montrer que D est négligeable.
3. a. Exprimer C à l’aide des Ai . La suite (An )n∈N∗ est-elle une suite monotone
d’évènements ?
b. Appliquer le corollaire du théorème de la limite monotone pour retrouver que
C est négligeable ?
14.7 Deux joueurs A et B jouent chacun avec deux dés équilibrés. Le joueur A gagne si
le total de ses deux dés donne 7, et B gagne si le total de ses deux dés donne 6. B joue le
premier et ensuite (si nécéssaire), A et B jouent alternativement. Le jeu s’arrête dès que
l’un des deux gagne.
1. Déterminer la probabilité des évènements :
• GA : « le joueur A obtient 7 »
• GB : « le joueur B obtient 6 »
2. On introduit les évènements :
• Bn : « le joueur B gagne à son n-ième lancer »
• An : « le joueur A gagne à son n-ème lancer »
Déterminer la probabilité de ces évènements.
3. On note :
• VA : « le joueur A gagne »
• VB : « le joueur B gagne »
Écrire VA et VB en fonction des évènements An et Bn .
4. En déduire la probabilité de VA et VB . Le jeu est-il équilibré ?
10
6. Table des matières
1 Espaces probabilisables : cas général
1.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ensemble dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tribu et espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
2 Espaces probabilisés : cas général
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
3 Probabilités conditionnelles : cas général
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Formule des probabilités composées . . .
3.3 Formule des probabilités totales . . . . .
3.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
8
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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4 Indépendance : cas général
8
5 Exercices
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