Cours et exercices Première L Cours et exercices

MATHEMATIQUES
Cours et exercices
Première L
Ismaila MBODJI
Tout le programme
Avant propos
Nous citons le programme de mathématiques du second cycle – Séries L - Année 2006.
Les mathématiques sont essentiellement, pour l’élève de la série L, un objet d’apprentissage au
service d’autres disciplines. Donner du sens aux concepts doit être le défi permanent à relever
dans l’enseignement - apprentissage des mathématiques dans ces classes. Le sens se mesure, à
ce niveau, surtout par la prise en charge de problèmes courants du champ de leur centre d’intérêt. Ce terrain est propice à faire participer efficacement l’enseignement des mathématiques
à l’installation de compétences citoyennes.
S’approprier une situation, traiter et argumenter, communiquer des résultats, structurer et généraliser sont des compétences générales qui seront développées. On introduira autant que
possible une perspective historique, ce qui permettra de mieux saisir le sens et la portée des
problèmes et des notions étudiées, et de les situer dans le développement scientifique et culturel.
L’enseignement des mathématiques est à relier à celui des autres disciplines. On insistera à la
fois sur la phase de mathématisation et sur la phase d’interprétation des résultats. Dans l’évaluation, on évitera des difficultés supplémentaires qui risqueraient de masquer les objectifs initiaux.
A la fin de la classe de première L, l’élève devrait avoir amélioré ses compétences dans les domaines cités plus haut en convoquant à bon escient les outils mis à sa disposition tels que :
• Factorisation et étude le signe d’un polynôme de degré n (n ≤ 4)
• Calcul, interprétation et utilisation des limites et des dérivées
p
p
• Calcul et utilisation de n , A n , C n
• Etude et représentation graphique des fonctions polynômes et rationnelles.
• Reconnaissance et utilisation des suites arithmétiques et géométriques.
• Ajustement d’un nuage de points par la méthode de MAYER
L’horaire hebdomadaire est de 3 heures
iiii
Sommaire
Sommaire
Chapitre
111
1
2
3
4
POLYNÔMES ET SYSTÈMES
Polynômes . . . . . . . . . . .
Trinôme du second degré . .
Factorisation d’un polynôme
Systèmes . . . . . . . . . . . .
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1
.
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.
iii
iii
1
3
7
8
Sommaire
iv
iv
Chapitre
POLYNÔMES ET SYSTÈMES
1
1
Objectifs
1) Factoriser un polynôme en utilisant la division euclidienne, en utilisant l’identification des coefficients.
2) Utiliser le tableau des signes pour résoudre une inéquation de degré n ≤ 4
3)
1)
4)
2)
Connaitre la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système simple de 3 équations à 3 inconnues
Factoriser un polynôme en utilisant la division euclidienne, en utilisant l’identification des coefficients.
Utiliser la méthode graphique pour résoudre des problèmes simples d’optimisation.
Utiliser le tableau des signes pour résoudre une inéquation de degré n ≤ 4
3) Connaitre la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système simple de 3 équations à 3 inconnues
4) Utiliser la méthode graphique pour résoudre des problèmes simples d’optimisation.
E XERCICES
1 Polynômes
1.1 Définitions et vocabulaire
Définitions
Définitions
Soient a un nombre réel et n un entier naturel.
Soient
a un nombre
réellittérale
et n un du
entier
• Toute
expression
typenaturel.
ax n est appelée monôme en x de coefficient
C OURS
ET EXO
a et deexpression
degré n. littérale du type ax n est appelée monôme en x de coefficient
• Toute
a et de degré n.
Le réel x est la variable ou l’inconnue de ce monôme.
Le réel
x estpolynôme
la variabletoute
ou l’inconnue
de ce
• On
appelle
somme finie
demonôme.
monômes.
• On appelle polynôme toute somme finie de monômes.
Exemples
Ï −4x 3 est un monôme de coefficient −4 et de degré 3.
C OURS
Ï −x est un monôme de coefficient −1 et de degré 1.
Ï 7, −1 et 98 sont des monômes de degré nul.
Ï 2x 5 + 7x 4 − 6x 3 − x + 10 est un polynôme.
Les polynômes en x seront notés P (x), Q(x), A(x), · · ·
• Degré d’un polynôme
On considère le polynôme : P (x) = 4x 3 + 2x 2 − x + 9
P (x) est une somme algébrique de quatre monômes 4x 3 , 2x 2 , −x et 9.
Ces monômes sont rangés du monôme de plus haut degré au monôme de plus bas degré.
On dit que P (x) est ordonné suivant les puissances décroissantes de x
11
Chapitre 1. POLYNÔMES ET SYSTÈMES
Le monôme de plus haut degré de P (x) est 4x 3 .
4x 3 est un monôme de degré 3 ; on dit que P (x) est un polynôme de degré 3. On note d ◦ P = 3.
→ Tout polynôme de degré 1 est appelé binôme du premier degré : il est de la forme ax + b.
→ Tout polynôme de degré 2 est appelé trinôme du second degré :ilest de la forme ax 2 + bx + c.
• Le polynôme nul
0 est un polynôme, appelé polynôme nul : tous ses coefficients sont nuls. On convient que le
polynôme nul n’a pas de degré.
E XERCICES
1
Exercices
Dans chacun des cas suivants, développer, réduire et ordonner le polynôme P (x) suivant les
puissances décroissantes de x. Préciser son degré.
1 P (x) = (x 2 + 5)(x + 1) − x(4x − 3)
3 P (x) = (x 2 − 3)(1 − x)(2 − x)
2 P (x) = (x − 1)2 − (x 2 + 2)2
4 P (x) = 2(x 2 − 3)3
C OURS
C OURS
ET EXO
1.2 Egalité de deux polynômes
1
Activité
On considère les polynômes : P (x) = (x + 2)2 + 1 et Q(x) = (x − 1)2 + 6(x − 1) + 10
Démontrer que P (x) = Q(x).
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes
coefficients.
2 résolu
Exercice
Soient P (x)) = x 3 − 2x 2 − 11x − 8 et Q(x) = (x + 1)(ax 2 + bx + c) deux polynômes.
Déterminer, les réels a, b et c pour que les polynômes P (x) et Q(x) soient égaux.
Correction
3
En développant et ordonnant Q(x), on a
Q(x) = (x + 1)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (a + b)x 2 + (b + c)x + c.
D’après
la propriété précédente : P (x) = Q(x) ⇐⇒*

a
=1






a + b
a = 1
= −2
⇐⇒
b = −3


b + c = −11




c = −8

c = −8
22
2. Trinôme du second degré
1.3 Racines d’un polynôme
1
Activité
On considère le polynôme : P (x) = 2x 2 − x − 3
Déterminer les valeurs prises par ce polynôme en −2 ; −1 et 0.
Définition
Définition
On appelle racine ou zéro d’un polynôme, toute valeur qui annule ce polynôme.
On appelle racine ou zéro d’un polynôme, toute valeur qui annule ce polynôme.
Remarques
E XERCICES
α est une racine de P (x) signifie que : P (α) = 0.
Déterminer les racines d’un polynôme P (x), c’est résoudre l’équation P (x) = 0.
2 Trinôme du second degré
2.1 Forme canonique (Rappel de seconde)
ET EXO
Exemple
Soit le trinôme du second degré suivant : P (x) = 2x 2 − 6x − 1
C OURS
C OURS
µ
¶
µ
¶
1
3 2 9
On a P (x) = 2 x 2 − 3x −
Or x 2 − 3x = x −
−
2
2
4
¶2
¸
·µ
9 1
3
− −
Donc P (x) = 2 x −
2
4 2
·µ
¶
¸
µ
¶
3 2 11
3 2 11
P (x) = 2 x −
−
soit P (x) = 2 x −
−
2
4
2
2
Cette dernière écriture est appelée la forme canonique du trinôme du second degré P (x).
Elle sert entre autre à factoriser P (x).
1
Exercice
Mettre les polynômes suivants sous forme canonique et les factoriser, si possible :
1 P (x) = x 2 + 2x − 8
2 P (x) = 2x 2 − 3x − 5
33
Chapitre 1. POLYNÔMES ET SYSTÈMES
2.2 Equations du second degré
Définition
Définition
On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener sous la
forme
ax 2 +équation
bx + c = 0duavec
a 6= 0.
On
appelle
second
degré toute équation pouvant se ramener sous la
forme ax 2 + bx + c = 0 avec a 6= 0.
Nous rapelons la méthode de résolution vue en classe de seconde.
Soit l’équation (E) suivante : ax 2 + bx + c = 0.
1. Si ∆ < 0 alors l’équation (E) n’a pas de solutions et ax 2 + bx + c n’est pas factorisable.
2. Si ∆ = 0 alors l’équation (E) a une seule solution x 0 = −
b
et ax 2 + bx + c = a (x − x 0 )2
2a
3. Si ∆ > 0 alors l’équation (E) a deux solutions (ou racines) distinctes :
p
p
−b − ∆
−b + ∆
et x 2 =
et ax 2 + bx + c = a (x − x 1 ) (x − x 2 )
x1 =
2a
2a
Remarque
C OURS
ET EXO
E XERCICES
On utilise le discriminant ∆ = b 2 − 4ac.
Si l’équation du second degré est incomplète du type ax 2 + bx = 0 ou ax 2 + c = 0
alors il est inutile de calculer ∆ : il faut faire une factorisation pour trouver les
racines.
C OURS
1
Exercice
Résoudre dans R les équations suivantes puis factoriser le trinôme figurant au 1er membre.
1 3x 2 − 2x − 16 = 0
2 −5x 2 + x − 1 = 0
3 −4x 2 + 20x − 25 = 0
4 2x 2 + 3x − 1 = 0
5 7x 2 + 3x = 0
44
2. Trinôme du second degré
2.3 Signes du trinôme
Propriété (Rappel)
Soit ax 2 + bx + c un trinôme du second degré.
• Si ∆ < 0 alors ax 2 + bx + c est strictement du signe de a pour tout x ∈ R.
x
ax 2 + bx + c
−∞
+∞
signe de a
s’annule en −
b
.
2a
x
ax + bx + c
2
b
−∞
− 2a
signe de a
b
et
2a
E XERCICES
• Si ∆ = 0 alors ax 2 + bx + c est strictement du signe de a pour tout x 6= −
+∞
signe de a
• Si ∆ > 0 alors ax 2 + bx + c est :
ET EXO
→ du signe de a quand x ∈] − ∞; x 1 [∪]x 2 ; +∞[ ;
→ du signe opposé de a quand x ∈]x 1 ; x 2 [ ;
→ s’annule en x 1 et en x 2 .
−∞
signe de a
x1
x2
signe de − a
+∞
signe de a
C OURS
x
ax + bx + c
2
Exercice
1 d’application
C OURS
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
1 3x 2 − 5x + 2 > 0
2 5x 2 − 4x + 12 < 0
3 −3x 2 + 4x + 1 ≥ 0
4 −x 2 + 3x − 12 < 0
5 4x 2 − 12x + 9 > 0
55
Chapitre 1. POLYNÔMES ET SYSTÈMES
2.3 Somme et produit des racines
Propriété
Si l’équation ax 2 + bx + c = 0 a deux racines distinctes ou confondues (i. e. si ∆ ≥ 0),
b
c
alors leur somme est : x 1 + x 2 = − et leur produit est : x 1 × x 2 = .
a
a
Propriété
E XERCICES
Réciproquement, si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont
les solutions de l’équation du second degré : X 2 − S X + P = 0.
Exemple
Déterminons deux nombres tels que leur somme S = 5 et leur produit P = 6. Pour cela,
s’ils existent, ils sont solutions de l’équation X 2 −5X +6 = 0 On trouve ∆ = 1 et x 1 =
3 , x 2 = 2. Les deux nombres en questions sont donc 2 et 3.
C OURS
C OURS
ET EXO
2.4 Equations bicarrées
Définition
Définition
On appelle équation bicarrée, toute équation (E) pouvant se ramener sous la forme :
ax 4appelle
+ bx 2 +équation
c = 0.
On
bicarrée, toute équation (E) pouvant se ramener sous la forme :
4
2
ax + bx + c = 0.
Pour résoudre une telle équation, on procède par un changement d’inconnue en posant X = x 2
qui mène à l’équation du second degré (E’) : a X 2 + bX + c = 0, ensuite on résout si possible les
équations d’inconnue x suivantes ; x 2 = X 1 et x 2 = X 2 où X 1 et X 2 sont les solutions possibles
(E’).
Exemple
Soit à résoudre l’équation : x 4 − 4x 2 + 3 = 0
Posons X = x 2 l’équation devient X 2 − 4X + 3 = 0. Les solutions sont 1 et 3.
On a x 2 = 1 soit x = 1 ou x = −1
p
p
On a x 2 = 3 soit x = 3 ou x = − 3
p p ª
©
D’où S = −1, 1, − 3, 3
66
3. Factorisation d’un polynôme
3 Factorisation d’un polynôme
Nous admettons le théorème suivant.
Théorème
Soit P (x) un polynôme et α un réel.
α est une racine de P (x) si et seulement si P (x) est factorisable par (x − α). Dans ce cas
il existe un polynôme Q(x) tel que : P (x) = (x − α)Q(x)
Q(x) est le quotient de P (x) par (x − α) et d ◦Q = d ◦ P − 1.
Remarque
2x 3 − 3x 2 − 2x + 3
−2x 3 + 3x 2
0
− 2x + 3
2x − 3
2x − 3
x2 − 1
0
• Si α et β sont deux racines de
P (x) alors P (x) est factorisable par
¡
¢
(x − α) x − β et dans ce cas il existe
un polynôme Q(x) tel que P (x) =
¡
¢
(x − α) x − β Q(x) et d ◦Q = d ◦ P − 2.
Le reste est nul et donc on a Q(x) = 2x 2 + x − 3.
77
ET EXO
C OURS
Solution
On a P (3) = 2 × 33 − 5 × 32 − 6 × 3 + 9 = 54 − 45 − 18 + 9 = 9 − 9 = 0
Donc 3 est une racine de P (x) c’est-à-dire que P (x) est factorisable par (x − 3) . D’après le théorème précédent, il existe un polynôme Q(x) tel que : P (x) = (x − 3)Q(x).
Or P (x) est de degré trois donc Q(x) sera de degré deux. Par conséquent nous devons déterminer
¡
¢
trois réels a, b et c tels que P (x) = (x − 3) ax 2 + bx + c
Nous proposons deux méthodes de détermination de Q(x).
Méthode d’identification des coefficients
Posons donc Q(x) = ax 2 + bx + c
On a P (x) = (x − 3)(ax 2 + bx + c) =
Ainsi 2x 3 − 5x 2 − 6x + 9 = ax 3 + (a + b)x 2 + (b + c)x + c
Par
 identification :
a
=1






a + b
a = 2
= −2
⇐⇒
Donc Q(x) = 2x 2 + x − 3 d’où P (x) = (x − 3)(2x 2 + x − 3)
b =1


b
+
c
=
−11




c = −3

c = −8
Méthode de la division euclidienne
On effectue la division euclidienne de P (x) par (x − 3) .
C OURS
P (x) = 2x 3 − 5x 2 − 6x + 9
Montrons que P (x) est factorisable par (x − 3)
Ensuite déterminons le polynôme quotient Q(x) tel que :P (x) = (x − 3)Q(x)
E XERCICES
Exemple
Chapitre 1. POLYNÔMES ET SYSTÈMES
4 Systèmes
4.1 Système d’équations linéaires à 3 ou 4 inconnues
Méthode du pivot de Gauss
1
Activité
On considère le système suivant :



x + y + z
E XERCICES
(S) 4x + 2y + z


9x + 3y + z
= 2 L1
= −3 L 2
= −12 L 3
1 Ecrire le système (S 0 ) obtenu en remplaçant l’équation L 2 par l’équation obtenue en retranchant membre à membre L 2 et l’équation L 1 et en remplaçant de même la ligne L 3
par la différence entre L 3 et L 1 .
C OURS
C OURS
ET EXO
On code L 2 ←− L 2 − L 1 et L 3 ←− L 3 − L 1
2 Les lignes du nouveau système (S 0 ) ainsi formé sont encore notées L 1 , L 2 , L 3 .
Executer alors sur (S 0 ) la procédure L 3 ←− L 3 − 2L 2 .
Le système (S 00 ) ainsi obtenu est un système échelonné. En donner la solution.
Vérifier que la solution (unique) de (S 00 ) est solution du système initial. Conclure.
Méthode
La méthode du pivot de Gauss permet de transformer un système linéaire quelconque en un
système, facile à résoudre, qui a les même solution.
On dit que ces deux systèmes sont équivalents.
Les opérations élémentaires suivantes permettent de passer d’un système à un système équivalents.
Opérations élémentaires
Codages
Echange des lignes L i et L j
L i ←− L j
Multiplier une ligne L i par λ 6= 0
L i ←− λL i
Remplacer une ligne L i par la somme de L i et d’une autre ligne L j
L i ←−
Li + L j
Remplacer une ligne L i par la somme de L i et du produit d’une autre ligne L j par λ
L i ←−
Li + L j
Il est d’usage que , par exemple, après transformation de la ligne L 2 , l’appellation L 2 concerne
cette nouvelle ligne. La première forme est oubliée.
88
4. Systèmes
Exemple
2x − 3y + 8z


x − 2y + 5z
On échange les lignes L 1 et L 3 :



x − 2y + 5z
= −1 L 1
= 16 L 2
= 10 L 3
= 10 L 1
2x − 3y + 8z


−3x + y − 2z
= 16 L 2



x − 2y + 5z
= 10 L 1
= −1 L 3
E XERCICES
Résolvons dans R3 , le système :


−3x + y − 2z

On remplace L 2 par L 2 − 2L 1 :
y − 2z


−3x + y − 2z
= −4 L 2
= −1 L 3
= 10 L 1
y − 2z


−5y + 13z
= −4 L 2



x − 2y + 5z
= 10 L 1
− 2z
= −4 L 2



3z
= 9 L3
C OURS



x − 2y + 5z
ET EXO
On remplace L 3 par L 3 + 3L 1 :
= 29 L 3
y
C OURS
On remplace L 3 par L 3 + 5L 2 :
On obtient alors un système triangulaire que l’ on résout très facilement.
De la dernière équation, on tire z = 3 et, en remontant, on en déduit y = 2, puis x = −1
Conclusion : S = {−1, 2, 3}
99
Chapitre 1. POLYNÔMES ET SYSTÈMES
4.2 Système d’inéquations linéaires à 2 inconnues
Programmation linéaire
1
Activité
On considère le problème suivant :
Une coopérative agricole dispose de 600 bouteilles de jus de bissap rouge et 600 bouteille de jus
de bissap blanc. Il est décidé de proposer à la vente deux assortiments :
• L’assortiment appelé A, comprenant deux bouteilles de bissap rouge et trois bouteilles de
bissap blanc, est vendu 1200 F ;
E XERCICES
• L’assortiment appelé B, comprenant cinq bouteilles de bissap rouge et trois bouteilles de
bissap blanc, est vendu 2000 F.
Combien doit-on vendre d’assortiments de chaque sorte pour espérer un chiffre d’affaires maximal ?
1 Dans la résolution proposée ci-dessous, justifie :
a. la mise en équation ;
b. la construction du polygone ;
C OURS
C OURS
ET EXO
c. la conclusion.
2 Explicite les solutions.
Résolution On appelle x et y les nombres respectifs d’assortiments A et B.
x et y sont des nombres entiers vérifiant le système d’inéquations suivant :


x Ê0


 y Ê0

2x + 5y É 600


 3x + 3y É 600
On recherche alors les valeurs entières de x et y vérifiant le système précédent et telles que
1200x + 2000y soit maximal.
On résout le problème graphiquement : dans le plan muni d’un repère, on représente les points
M du plan dont les coordonnées vérifient le système d’inéquation ; ce sont les points situés à
l’intérieur (zone non hachurée) du polygone dessiné sur la figure ci-dessous.
On considère la droite D d’équation 1200x + 2000y = 0. On recherche parmi toutes les parallèles à D, la droite D 0 qui coupe le polygone en au moins un point de coordonnées entières et
dont l’ordonnée à l’origine est maximale. Ses coordonnées entières fournissent la solution du
problème.
10
10
Exercices
1
Mettre les polynômes suivants sous
forme canonique et les factoriser, si
possible :
4
Résoudre dans R les équations suivantes puis factoriser le trinôme figurant au 1er membre.
1 P (x) = x 2 + 2x − 8
1 3x 2 − 2x − 16 = 0
2 P (x) = x 2 − 3x + 5
2 −5x 2 + x − 1 = 0
3 P (x) = x 2 + x − 3
3 −4x 2 + 20x − 25 = 0
4 P (x) = 2x 2 − 3x − 5
4 2x 2 + 3x − 1 = 0
5 P (x) = −9x 2 + 6x − 1
5 7x 2 + 3x = 0
6 P (x) = 13 x 2 + x − 1
2
Résoudre dans R les équations suivantes :
2
1 x + 2x − 3 = 0
2
2 x − 2x = 15
3 3x 2 − 2x + 1 = 0
4 2x(x + 1) = x − 3
2
5 x − 2x − 15 = 33
5
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
1 3x 2 − 5x + 2 > 0
2 5x 2 − 4x + 12 < 0
3 −3x 2 + 4x + 1 ≥ 0
4 −x 2 + 3x − 12 < 0
5 4x 2 − 12x + 9 > 0
6
3
Résoudre dans R les équations suivantes :
−x 2 + 2x − 1
≤0
6x 2 − 5x + 1
1 (1 − 2x)(x 2 + 20x) = 0
2
¡
¢¡
¢
x2 − 2 x2 + 1 = 0
3 3x 2 − 2x + 1 = 0
4 2x(x + 1) = x − 3
5 x 3 − 2x 2 − x + 8 = 8
6 − 16 x 2 + 13 x − 4 = 0
11
11