algebre2

MAT2611 : algèbre 2
Introduction aux anneaux et aux modules
Dimitris Koukoulopoulos
Université de Montréal
Dernière mise-à-jour : 17 janvier 2019

Table des matières
I Anneaux 5
1 Sommes de deux carrés 6
1.1 Exercices...................................... 12
2 Lexique d’anneaux 13
2.1 Notionsdebase.................................. 13
2.2 Morphismesd’anneaux.............................. 15
2.3 Anneaux intègres et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Corpsdesfractions ................................ 18
2.5 Exercices...................................... 20
3 Divisibilité 25
3.1 Le plus grand commun diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Anneauxeuclidiens................................ 26
3.3 Primalité...................................... 29
3.4 Anneauxfactoriels ................................ 30
3.5 Exercices...................................... 31
4 Idéaux 34
4.1 Le problème de la factorisation unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Définition et génération d’idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Les anneaux d’Euclide et de Bezout revisités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 L’arithmétique modulaire généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5 Théorèmes d’isomorphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 Idéaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7 Anneaux noetheriens et principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.8 Exercices...................................... 50
5 Anneaux polynomiaux 54
5.1 Polynômessuruncorps ............................. 54
5.2 Polynômes sur un anneau factoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Polynômes sur un anneau noetherien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Critères d’irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Exercices...................................... 65
2

TABLE DES MATIÈRES 3
II Modules 68
6 Lexique de modules 69
6.1 Définitions et exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Sous-modules et modules-quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Théorèmes d’isomorphisme de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Générationdemodules.............................. 78
6.6 Sommesdirectes.................................. 81
6.7 Modulesnoetheriens ............................... 82
6.8 Exercices...................................... 83
6.9 Appendice : de rangs de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Théorème des facteurs invariants 87
7.1 Le plan de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 Preuve des résultats intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3 Exercices...................................... 94
8 Théorie spectrale des matrices 95
8.1 Valeurs propres et forme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Sous-espacesstables................................ 98
8.3 Preuve de l’existence de la forme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4 La forme rationnelle canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.5 Détermination de la forme rationnelle canonique . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.6 Exercices...................................... 110

Notes
Les symboles N,Z,Q,Ret Cdénotent les ensembles des nombres naturels, entiers, ra-
tionnels, réels et complexes, respectivement. De plus, on écrit Z≥apour dénoter l’ensemble
des entiers ≥a,Q<a pour dénoter l’ensemble des rationnels < a, etc. On n’inclut pas le
nombre 0 à l’ensemble de nombres naturels, c’est-à-dire N=Z≥1.
La plupart d’exercices de ces notes sont pris par le livre de D. S. Dummit et R. M. Foote
“Abstract Algebra", 3ème édition, John Willey and Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2004. Quand
c’est le cas, le numéro de l’exercice et la page où elle se trouve au livre de Dummit et Foote
sont indiqués.
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Première partie
Anneaux
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