Cours d'algèbre 1 : Nombres complexes, Polynômes, Matrices

Cours d’algèbre 1
Année universitaire : 2018-2019
Mustapha OUALI & Brahim SADIK

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Préface
Ce cours est destiné aux étudiants de la première année des filières SMP et SMC. Il permet
à l’étudiant d’acquérir quelques notions d’algèbre qui sont utiles pour la suite de ses études uni-
versitaires.
Le premier chapitre est composé essentiellemnt des rappels sur les nombres complexes. On
s’intéresse aux racines n-èmes des nombres complexes et aux équations du second degré à coef-
ficients complexes.
Dans le deuxième chapitre, on étudie les propriétés des polynômes à coefficients réels ou com-
plexes. On y développe les notions de racines des polynômes et de leur factorisation en éléments
irréductibles. Le troisième chapitre est réservé aux fractions rationnelles ; notamment aux tech-
niques permettant leur décomposition en éléments simples.
Le quatrième chapitre représente une introduction au calcul matriciel. On étudie les opéra-
tions sur les matrices, la notion de déterminant et on montre quelques propriétés importantes.
Enfin le dernier chapitre introduit des méthodes pour la résolution des systèmes linéaires à coef-
ficients réels ou complexes. On s’intéresse particuliérement à la méthode d’élimination de Gauss.

Table des matières
1 Nombres complexes 5
1.1 Définition du corps des nombres complexes ..................... 5
1.2 Partie réelle, partie imaginaire et conjugaison .................... 7
1.3 Module d’un nombre complexe ............................ 8
1.4 Exponentielle imaginaire ................................ 9
1.5 Argument d’un nombre complexe ........................... 10
1.6 Racines n-èmes d’un nombre complexe ........................ 11
1.7 Equations du second degré ............................... 13
1.7.1 Racines carrées d’un nombre complexe .................... 13
1.7.2 Equation du second degré ........................... 14
2 Polynômes à une indéterminée 15
2.1 Polynômes à une indéterminée ............................. 15
2.2 Division euclidienne .................................. 17
2.3 Plus grand commun diviseur de deux polynômes .................. 18
2.4 Racines d’un polynôme ................................. 19
2.5 Polynômes dérivés ................................... 20
2.6 Polynôme conjugué ................................... 21
2.7 Factorisation de polynômes .............................. 22
2.7.1 Factorisation dans C[X]............................ 22
2.7.2 Factorisation dans R[X]............................ 22
3 Fractions rationnelles. Décomposition en éléments simples 25
3.1 Division selon les puissances croissantes ....................... 25
3.2 Corps des fractions rationnelles ............................ 26
3.2.1 Décomposition en éléments simples sur C.................. 28
3.2.2 Décomposition en éléments simples sur R.................. 31
3.3 Techniques de la décomposition en éléments simples ................ 31
3.3.1 Décomposition dans C(X)d’une fraction de R(X)............. 31
3.3.2 Utilisation de la parité ............................. 32
3.3.3 Passage à la limite ............................... 32
4 Calcul matriciel 35
4.1 Définitions et propriétés ................................ 35
4.2 Déterminant d’une matrice carrée ........................... 40
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4TABLE DES MATIÈRES
5 Résolution des systèmes linéaires 47
5.1 Systèmes linéaires .................................... 47
5.2 Système de Cramer ................................... 48
5.3 Méthode de Gauss ................................... 50
5.4 Ensemble des solutions d’un système linéaire ..................... 53
5.5 Calcul du déterminant et de l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss . . 58
5.5.1 Déterminant d’une matrice .......................... 58
5.5.2 Inverse d’une matrice .............................. 58

Chapitre 1
Nombres complexes
1.1 Définition du corps des nombres complexes
Soit Rle corps des nombres réels. On note R2l’ensemble des couples de nombres réels :
R2={(a, b) : a, b ∈R}.
Définition 1.1.1 On appelle corps des nombres complexes, que l’on note C, l’ensemble R2muni
des opérations +et ×, définies de la manière suivante :
∀(a, b),(a0, b0)∈R2,
— Opération d’addition +:(a, b)+(a0, b0)=(a+a0, b +b0),
— Opération de multiplication ×: (a, b)×(a0, b0)=(aa0−bb0, ab0+a0b).
Notation 1.1.1 1. On veut que le corps des nombres complexes Ccontienne le corps des
nombres réels. Pour cela, pour tout réel a∈R, on identie aavec le nombre complexe
(a, 0). On note alors ale nombre complexe (a, 0).
2. On note ile nombre complexe (0,1).
Avec les notations précédentes, on obtient :
Proposition 1.1.1 Soit a, b ∈R. Alors :
1. (0, b) = i×b=b×i.
2. (a, b) = a+i×b.
3. i×i= 1.
Démonstration.
1. On a (0, b)=(b, 0) ×(0,1) = (0,1) ×(b, 0). Donc (0, b) = i×b=b×i.
2. On a (a, b)=(a, 0) + (0, b) = a+i×b.
3. On a (0,1) ×(0,1) = (1,0). Donc i×i= 1.
Remarque 1.1.1 Dans la suite, on convient de noter zz0le nombre complexe obtenu par la
multiplication des deux nombres complexes zet z0.
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