Cours dalgèbre1-3

Cours d’algèbre 1
Année universitaire : 2018-2019
Mustapha OUALI & Brahim SADIK
2
Préface
Ce cours est destiné aux étudiants de la première année des filières SMP et SMC. Il permet
à l’étudiant d’acquérir quelques notions d’algèbre qui sont utiles pour la suite de ses études universitaires.
Le premier chapitre est composé essentiellemnt des rappels sur les nombres complexes. On
s’intéresse aux racines n-èmes des nombres complexes et aux équations du second degré à coefficients complexes.
Dans le deuxième chapitre, on étudie les propriétés des polynômes à coefficients réels ou complexes. On y développe les notions de racines des polynômes et de leur factorisation en éléments
irréductibles. Le troisième chapitre est réservé aux fractions rationnelles ; notamment aux techniques permettant leur décomposition en éléments simples.
Le quatrième chapitre représente une introduction au calcul matriciel. On étudie les opérations sur les matrices, la notion de déterminant et on montre quelques propriétés importantes.
Enfin le dernier chapitre introduit des méthodes pour la résolution des systèmes linéaires à coefficients réels ou complexes. On s’intéresse particuliérement à la méthode d’élimination de Gauss.
Table des matières
1 Nombres complexes
1.1 Définition du corps des nombres complexes .
1.2 Partie réelle, partie imaginaire et conjugaison
1.3 Module d’un nombre complexe . . . . . . . .
1.4 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . .
1.5 Argument d’un nombre complexe . . . . . . .
1.6 Racines n-èmes d’un nombre complexe . . . .
1.7 Equations du second degré . . . . . . . . . . .
1.7.1 Racines carrées d’un nombre complexe
1.7.2 Equation du second degré . . . . . . .
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5
5
7
8
9
10
11
13
13
14
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polynômes
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15
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21
22
22
22
3 Fractions rationnelles. Décomposition en éléments simples
3.1 Division selon les puissances croissantes . . . . . . . . . . . .
3.2 Corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Décomposition en éléments simples sur C . . . . . . .
3.2.2 Décomposition en éléments simples sur R . . . . . . .
3.3 Techniques de la décomposition en éléments simples . . . . .
3.3.1 Décomposition dans C(X) d’une fraction de R(X) . .
3.3.2 Utilisation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Passage à la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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31
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32
4 Calcul matriciel
4.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
40
2 Polynômes à une indéterminée
2.1 Polynômes à une indéterminée . . . .
2.2 Division euclidienne . . . . . . . . .
2.3 Plus grand commun diviseur de deux
2.4 Racines d’un polynôme . . . . . . . .
2.5 Polynômes dérivés . . . . . . . . . .
2.6 Polynôme conjugué . . . . . . . . . .
2.7 Factorisation de polynômes . . . . .
2.7.1 Factorisation dans C[X] . . .
2.7.2 Factorisation dans R[X] . . .
3
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4
5 Résolution des systèmes linéaires
5.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Système de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ensemble des solutions d’un système linéaire . . . .
5.5 Calcul du déterminant et de l’inverse d’une matrice
5.5.1 Déterminant d’une matrice . . . . . . . . .
5.5.2 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . .
TABLE DES MATIÈRES
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par la méthode
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de Gauss
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47
48
50
53
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58
58
Chapitre 1
Nombres complexes
1.1
R2
Définition du corps des nombres complexes
Soit R le corps des nombres réels. On note R2 l’ensemble des couples de nombres réels :
= {(a, b) : a, b ∈ R}.
Définition 1.1.1 On appelle corps des nombres complexes, que l’on note C, l’ensemble R2 muni
des opérations + et ×, définies de la manière suivante :
∀(a, b), (a0 , b0 ) ∈ R2 ,
— Opération d’addition + : (a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 ),
— Opération de multiplication × : (a, b) × (a0 , b0 ) = (aa0 − bb0 , ab0 + a0 b).
Notation 1.1.1
1. On veut que le corps des nombres complexes C contienne le corps des
nombres réels. Pour cela, pour tout réel a ∈ R, on identie a avec le nombre complexe
(a, 0). On note alors a le nombre complexe (a, 0).
2. On note i le nombre complexe (0, 1).
Avec les notations précédentes, on obtient :
Proposition 1.1.1 Soit a, b ∈ R. Alors :
1. (0, b) = i × b = b × i.
2. (a, b) = a + i × b.
3. i × i = 1.
Démonstration.
1. On a (0, b) = (b, 0) × (0, 1) = (0, 1) × (b, 0). Donc (0, b) = i × b = b × i.
2. On a (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + i × b.
3. On a (0, 1) × (0, 1) = (1, 0). Donc i × i = 1.
Remarque 1.1.1 Dans la suite, on convient de noter zz 0 le nombre complexe obtenu par la
multiplication des deux nombres complexes z et z 0 .
5
6
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Notation 1.1.2 On note a + ib ou a + bi le nombre complexe z = (a, b). Cette écriture s’appelle
la forme algébrique de z. Lorsque a = 0 on dit que z est un imaginaire pur et on écrit z ∈ iR.
Avec les conventions précédentes, l’addition et la multiplication deviennent pour les nombres
complexes :
∀z = a + ib, z 0 = a0 + ib0 ∈ C,
— Opération d’addition + : z + z 0 = (a + a0 ) + i(b + b0 ),
— Opération de multiplication × : zz 0 = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b).
Remarques 1.1.1
a = b = 0.
1. Un nombre complexe z = a + ib est nul (z = 0) si, et seulement si
2. Pour tout nombre complexe z, on a z + 0 = 0 + z = z et z1 = 1z = z.
3. Tout nombre complexe z = a + ib admet un opposé noté −z = −a − ib.
4. Tout nombre complexe non nul z = a + ib admet un inverse noté
1
a
b
= 2
−i 2
.
2
z
a +b
a + b2
Proposition 1.1.2 On a les proporiétés suivantes :
1. Les deux opérations définies sur C sont associatives et commutatives.
2. L’opération × est distributive par rapport à l’opération + :
∀z, z 0 , z 00 ∈ C
:
z(z 0 + z 00 ) = zz 0 + zz 00 .
Les formules suivantes sont d’une importance majeure dans la suite. Soit z1 , z2 ∈ C et soit n ∈ N.
1. Formule du binôme :
(z1 + z2 )n =
n
X
Cnk z1k z2n−k
(Cnk =
k=0
n!
).
k!(n − k)!
2. Formule de factorisation :
z1n − z2n = (z1 − z2 )
n−1
X
!
z1n−1−k z2k
k=0
3. Si z1 6= 1 alors
n
X
k=0
z1k =
1 − z1n+1
.
1 − z1
.
1.2. PARTIE RÉELLE, PARTIE IMAGINAIRE ET CONJUGAISON
1.2
7
Partie réelle, partie imaginaire et conjugaison
Définition 1.2.1 Soit z = a + ib un nombre complexe.
1. On appelle partie réelle de z, que l’on note Re(z), le nombre réel a.
2. On appelle partie imaginaire de z, que l’on note Im(z), le nombre réel b.
3. On appelle conjugué de z, que l’on note z, le nombre complexe défini par z = a − ib.
Remarques 1.2.1 Soit z, z 0 deux nombres complexes. Alors on a :
1. z = z 0 si, et seulement si, Re(z) = Re(z 0 )et Im(z) = Im(z 0 ).
2. z ∈ R si, et seulement si, Im(z) = 0.
3. z ∈ iR si, et seulement si, Re(z) = 0.
Proposition 1.2.1 Soit z, z 0 deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes :
1. Re(z) =
z+z
2
et Im(z) =
z−z
2i ,
2. z = z si, et seulement si, z ∈ R.
3. z = −z si, et seulement si, z ∈ iR.
4. z + z 0 = z + z 0 et zz 0 = zz 0 .
5. Si z 0 6= 0 on a
z
z0
Exercice 1.2.1
de z1 .
=
z
.
z0
1. Soit z = a + ib un nombre complexe non nul. Donner la forme algébrique
2. Donner les formes algébriques des nombres complexes suivants :
z1 =
3 + 4i
,
1 + 3i
z2 =
1+i
.
1−i
Solution :
1. On a zz = a2 + b2 . Donc
1
z
a
b
= 2
= 2
−i 2
.
2
2
z
a +b
a +b
a + b2
2. On a :
—
z1 =
3 + 4i
(3 + 4i)(1 − 3i)
15 − 5i
3 1
=
=
= − i.
1 + 3i
(1 + 3i)(1 − 3i)
10
2 2
—
z2 =
1+i
(1 + i)2
2i
=
=
= i.
1−i
(1 − i)(1 + i)
2
8
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
1.3
Module d’un nombre complexe
Définition 1.3.1 Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelle module de z, que l’on note
|z|, le nombre réel positif, défini par :
p
|z| = a2 + b2 .
Remarque 1.3.1 Soit z = a + ib un nombre complexe. Si M est le point du plan R2 de coordonnées (a, b) dans un repère orthonormé de centre O alors le module de z correspond à la distance
entre O et M .
Proposition 1.3.1 Soit z = a + ib un nombre complexe. Alors on a :
1. |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 et |z| = 1 ⇐⇒ zz = 1.
2. |z| = |z|.
3. |Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z|.
Démonstration.
1.
|z| = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0 ⇐⇒ z = 0.
|z| = 1 ⇐⇒ a2 + b2 = 1 ⇐⇒ zz = 1.
2. On a |z| =
√
a2 + b2 = |z|.
3. Ces inégalités découlent du fait que |a| ≤
√
a2 + b2 et |b| ≤
√
a2 + b2 .
Proposition 1.3.2 Soit z, z 0 des nombres complexes. Alors on a :
1. |zz 0 | = |z||z 0 |.
2. Si z 0 6= 0 alors | zz0 | =
|z|
|z 0 | .
Démonstration.
On montre le premier point et le deuxième en découle aisément. Soit z = a + ib et z 0 = a0 + ib0 .
On a zz 0 = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b) donc
|zz 0 | =
p
(aa0 − bb0 )2 + (ab0 + a0 b)2
p
= a2 a02 − 2aa0 bb0 + b2 b02 + a2 b02 + 2aa0 bb0 + a02 b2
p
= a2 a02 + b2 b02 + a2 b02 + a02 b2
p
= (a2 + b2 )(a02 + b02 )
p
p
= a2 + b2 a02 + b02
= |z||z 0 |.
Remarque 1.3.2 Pour deux nombres complexes z et z 0 , on a l’inégalité |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |,
appelée l’inégalité triangulaire.
1.4. EXPONENTIELLE IMAGINAIRE
1.4
9
Exponentielle imaginaire
Définition 1.4.1 Soit θ ∈ R. On appelle exponentielle imaginaire de θ, que l’on note eiθ , le
nombre complexe défini par :
eiθ = cos(θ) + isin(θ).
Proposition 1.4.1 On a les propriétés suivantes :
1. Soit z = eiθ , avec θ ∈ R. Alors |eiθ | = 1.
2. Soit z ∈ C, avec |z| = 1, alors il existe un réel θ tel que z = eiθ .
Démonstration.
1. On a |eiθ |2 = cos(θ)2 + sin(θ)2 = 1.
2. Soit z = a + ib. L’identité |z| = 1 implique que a2 + b2 = 1 et par suite −1 ≤ a ≤ 1 et
−1 ≤ b ≤ 1. Soit θ ∈ R tel que cos(θ) = a donc b2 = 1 − a2 = sin(θ)2 . Il s’ensuit que
(a = cos(θ), b = sin(θ)) ou (a = cos(θ), b = sin(θ)). Ceci montre que z = eiθ ou z = e−iθ .
Le résultat suivant est très important :
Proposition 1.4.2 Soit θ, θ0 ∈ R. Alors
1.
0
0
ei(θ+θ ) = eiθ eiθ .
2.
0
eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z
:
θ0 = θ + 2kπ.
Exemples 1.4.1 Soit θ ∈ R.
1. eiθ = 1 ⇐⇒ eiθ = ei0 ⇐⇒ ∃k ∈ Z
2.
eiθ
3.
eiθ
= −1 ⇐⇒
= i ⇐⇒
eiθ
eiθ
=
eiπ
i π2
=e
:
⇐⇒ ∃k ∈ Z
⇐⇒ ∃k ∈ Z
θ = 2kπ.
:
:
θ = π + 2kπ.
θ=
π
2
+ 2kπ.
Les formules suivantes sont importantes en analyse. L’une de leurs applications est la linéarisation des expressions trigonométriques.
Proposition 1.4.3 Soit θ ∈ R et n ∈ Z.
1. Formules d’Euler :
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
sin(θ) =
eiθ − e−iθ
2i
2. Formule de Moivre :
(eiθ )n = einθ .
0
Linéariser une expression sin(x)k ou cos(x)k , avec k et k 0 des entiers naturels, revient à les
écrire comme combinaisons linéaires d’expressions de la forme sin(ax) ou cos(bx) où a et b sont
des entiers.
10
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Exemple 1.4.1 Nous allons linéariser les expressions suivantes sin(x)3 et cos(x)4 . On utilise
les formules d’Euler, la formule du binôme puis la formule de Moivre.
1. On a sin(x) =
eix −e−ix
.
2i
Donc
sin(x) =
=
=
=
=
2. On a cos(x) =
eix +e−ix
.
2
cos(x)4 =
=
=
=
=
1.5
3
eix − e−ix
2i
1
((eix )3 − 3(eix )2 e−ix + 3eix (e−ix )2 − (e−ix )3 )
8i3
i 3ix
(e − 3eix + 3e−ix − e−3ix )
8
i
(2isin(3x) − 6isin(x))
8
1
(3sin(x) − sin(3x))
4
3
Alors
4
eix + e−ix
2
1
((eix )4 + 4(eix )3 e−ix + 6(eix )2 (e−ix )2 + 4eix (e−ix )3 + (e−ix )4 )
16
1 4ix
(e + 4e2ix + 6 + 4e−2ix + e−4ix )
16
1
(2cos(4x) + 8cos(2x) + 6)
16
1
(cos(4x) + 4cos(2x) + 3)
8
Argument d’un nombre complexe
La notion d’arguments de nombres complexes joue un rôle important en géométrie plane
et en physique. Nous allons voir dans cette section quelques propriétés essentielles de nombres
complexes.
Proposition 1.5.1 Soit z un nombre complexe non nul. Alors il existe θ ∈ R
Démonstration.
z
Puisque |z|
= 1 il existe θ ∈ R
:
z
|z|
:
z = |z|eiθ .
= eiθ . Il s’ensuit que z = |z|eiθ .
Définition 1.5.1 Soit z un nombre complexe non nul.
1. L’écriture z = |z|eiθ s’appelle la forme polaire de z.
2. Le réel θ, noté arg(z), s’appelle un argument de z.
Remarques 1.5.1
1. Soit z un nombre complexe non nul. Si θ est un argument de z, alors
pour tout entier k ∈ Z, θ + 2kπ est aussi un argument de z. On écrit arg(z) = θ [2π].
1.6. RACINES N -ÈMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
11
2. Sur l’intervalle ] − π, π], il existe un unique réel θ vérifiant θ = arg(z). On l’appelle
argument principal de z.
Exemples 1.5.1
1. L’argument principal de 1 est 0.
2. L’argument principal de −1 est π.
3. L’argument principal de i est
π
2.
On détermine effectivement l’argument principal θ d’un complexe non nul z = a + ib en
remarquant que θ est l’unique réel appartenant à l’intervalle ]−π, π] défini par les deux relations :
a
cos(θ) = √
2
a + b2
sin(θ) = √
b
.
+ b2
a2
Proposition 1.5.2 Soit z et z 0 deux nombres complexes non nuls. Alors :
1.
2.
3.
4. Pour tout k ∈ Z on a :
1.6
arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )
[2π].
z
arg( 0 ) = arg(z) − arg(z 0 )
z
[2π].
1
arg( ) = arg(z) = −arg(z)
z
[2π].
arg(z k ) = k arg(z)
[2π].
Racines n-èmes d’un nombre complexe
Dans cette section, n désigne un entier naturel non nul.
Définition 1.6.1 Soit z un nombre complexe non nul. On appelle racine n-ème de z tout nombre
complexe w vérifiant wn = z.
Remarque 1.6.1 Lorsque n = 2 (respectivement n = 3) on parle de racine carrée (respectivement racine cubique).
Exemples 1.6.1
1. 1 est une racine n-ème de 1 pour tout n.
2. i est une racine carrée de −1.
√
3. 5 3 est une racine cinquième de 3.
Notre but est de déterminer toutes les racines n-èmes d’un nombre complexe donné. On
commence par déterminer les racines n-èmes du complexes z = 1 et ensuite on montre comment
déterminer celles d’un nombre complexe quelconque. Une racine n-ème de 1 s’appelle une racine
n-ème de l’unité.
Remarques 1.6.1
1. Si n est pair alors 1 et −1 sont des racines n-èmes de l’unité.
12
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
2. Si w est une racine n-ème de l’unité alors |w| = 1. En effet wn = 1 implique |w|n = 1.
Donc
n−1
X
n
0 = |w| − 1 = (|w| − 1)(
|w|n−1−k ).
k=0
P
n−1−k ) 6= 0 il vient |w| − 1 = 0 et par suite |w| = 1.
Comme ( n−1
k=0 |w|
Proposition 1.6.1 Il existe exactement n racines n-èmes de l’unité. Elles sont de la forme
wk = e
2ikπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Démonstration.
2ikπ
Il est clair que pour tout entier 0 ≤ k ≤ n − 1, le complexe e n est une racine n-ème de l’unité.
Réciproquement, soit w une racine n-ème de l’unité. Puisque |w| = 1 il existe θ ∈ [0, 2π[ tel que
w = eiθ . En utilisant la formule de Moivre il vient (eiθ )n = einθ = 1. Alors il existe k ∈ Z tel que
nθ = 2kπ, soit θ = 2kπ
n . Comme θ ∈ [0, 2π[ on a nécessairement 0 ≤ k ≤ n − 1.
Remarques 1.6.2
1. Soit w une racine n-ème de l’unité. Si w 6= 1 alors
1 + w + · · · + wn−1 = 0.
2. Soit wk = e
2ikπ
n
une racine n-ème de l’unité. Alors
wk =
2i(n−k)π
2ikπ
2ikπ
1
= e− n = e2iπ− n = e n
= wn−k .
wk
3. Les racines n-èmes de l’unité sont situées sur le cercle trogonométrique.
Exemples 1.6.2 Déterminons les racines n-èmes de l’unité dans les cas suivants :
1. n = 3 : On a trois racines troisièmes de l’unité
w0 = 1,
w1 = e
2iπ
3
,
w2 = e
4iπ
3
= w1 .
2. n = 4 : On a quatre racines quatrièmes de l’unité
w0 = 1,
w1 = e
2iπ
4
= i,
w2 = e
4iπ
4
= −1,
w3 = e
6iπ
4
= −i.
3. n = 5 : On a cinq racines cinquièmes de l’unité
w0 = 1,
w1 = e
2iπ
5
,
w2 = e
4iπ
5
,
w3 = e
6iπ
5
= w2 ,
w4 = e
8iπ
5
= w1 .
On peut maintenant donner la forme des racines n-èmes d’un nombre complexe quelconque.
Proposition 1.6.2 Soit z un nombre complexe non nul de forme polaire z = ρeiθ . Alors les
racines n-èmes de z sont de la forme
Zk =
θ
2kπ
√
n
ρ ei( n + n ) ,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
1.7. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
13
Démonstration.
Il suffit de remarquer que si Z est une racine n-ème de z alors
Z
√
n
iθ
ρe n
est une racine n-ème de l’unité. Ceci montre qu’il existe 0 ≤ k ≤ n − 1 tel que
Z
√
n
D’où Z est de la forme
√
n
θ
ρ ei( n +
2kπ
n
ρe
iθ
n
=e
2ikπ
n
.
).
Exemples 1.6.3 Déterminons les racines n-èmes du nombre complexe z dans les cas suivants :
1. z = −1 et n = 4 : On a −1 = eiπ . Donc les racines quatrièmes de −1 sont
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
z1 = ei 4 e2i 4 = e3i 4 ,
z2 = ei 4 e4i 4 = e5i 4 ,
z3 = ei 4 e6i 4 = e7i 4 .
√ π
2. z = 1 + i et n = 4 : On a z = 2ei 4 . Donc les racines quatrièmes de 1 + i sont
z 0 = ei 4 ,
1
π
z0 = 2 8 ei 16 ,
1.7
1.7.1
1
π
z1 = 2 8 e9i 16 ,
1
π
z2 = 2 8 e17i 16 ,
1
π
z3 = 2 8 e25i 16 .
Equations du second degré
Racines carrées d’un nombre complexe
D’après la section précédente tout nombre complexe non nul z admet deux racines carrées
opposées l’une à l’autre. Si z est donné sous sa forme polaire z = ρeiθ alors ces deux racines
carrées sont données par
√ iθ
z2 = −z1 .
z1 = ρe 2 ,
Remarques 1.7.1
1. Si x ∈ R+ alors les racines carrées de x sont
p
p
2. Si x ∈ R− alors les racines carrées de x sont i |x| et −i |x|.
√
√
x et − x.
Dans le cas où le nombre complexe z = a + ib est donné sous sa forme algébrique on suit la
méthode suivante. Soit Z = x + iy une racine carrée de z. Puisque Z 2 = z et |Z|2 = |z| on a
√
 2
a2 + b2
 x + y2 =
x2 − y 2 = a

2xy
= b
On obtient alors

√
2
2 +a

x2
= √a +b

2

 2
a2 +b2 −a
y
=
2




2xy = b
On utilise les deux premières équations pour déterminer les valeurs possibles de x et y et on
utilise la troisième relation pour choisir les valeurs convenables.
14
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Exemple 1.7.1 Déterminons les racines carrées
carrée de z. Alors on a
 2
 x + y2
x2 − y 2

2xy
de z = 8 − 6i. Posons Z = x + iy une racine
= 10
= 8
= −6
Donc
 2
 x = 9
y2 = 1

xy = −3
Il vient Z1 = 3 − i et Z2 = −3 + i.
1.7.2
Equation du second degré
Une équation de la forme az 2 + bz + c = 0 d’inconnue z et de coefficients a, b, c dans C
s’appelle une équation du second degré à coefficients dans C.
Théorème 1.7.1 Soit a, b, c des nombres complexes avec a 6= 0 et soit l’équation du second degré
(E)
az 2 + bz + c = 0.
Notons ∆ = b2 − 4ac. Alors
1. Si ∆ = 0 l’équation (E) admet une solution double
z0 =
−b
.
2a
2. Si ∆ 6= 0 l’équation (E) admet deux solutions distinctes :
Z1 =
−b − δ
2a
Z2 =
−b + δ
.
2a
où δ est une racine carrée de ∆.
Exemples 1.7.1
1. Résoudre dans C l’équation du second degré :
√
(E) : iz 2 − 3z + 1 = 0.
On a ∆ = 3 − 4i et δ = 2 − i est une racine carrée de ∆. Alors les solutions de (E) sont :
√
√
3−2+i
3+2−i
Z1 =
Z2 =
.
2i
2i
2. Résoudre dans C l’équation du second degré :
On a ∆ = −2i = 2e
(E) sont :
−iπ
2
(E) : z 2 − (1 + i)z + i = 0.
√ −iπ
et δ = 2e 4 est une racine carrée de ∆. Alors les solutions de
√ −iπ
1 + i − 2e 4
Z1 =
2
√ −iπ
1 + i + 2e 4
Z2 =
.
2
Chapitre 2
Polynômes à une indéterminée
Dans tout ce chapitre on note K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
2.1
Polynômes à une indéterminée
Définition 2.1.1 Un polynôme à coefficients dans K est une suite (an ) d’éléments de K nulle à
partir d’un certain rang.
(an ) = (a0 , a1 , . . . , ak , 0, 0, . . .)
Le scalaire ai est dit le coefficient d’indice i du polynôme (an ).
Notations 2.1.1
On note
1. 1 le polynôme (1, 0, 0, . . .).
2. X le polynôme (0, 1, 0, 0, . . .).
3. X k le polynôme (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) où 1 est placé dans la position d’indice k.
Avec ces notations, si P = (a0 , a1 , . . . , an , . . .) est un polynôme on a
P
= a0 (1, 0, 0, . . .) + a1 (0, 1, 0, 0, . . .) + · · · + an (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .)
= a0 .1 + a1 .X + · · · + an .X n
= a0 + a1 X + · · · + an X n .
Dans la suite on note K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Remarques 2.1.1
1. Un polynôme P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] est nul si, et
seulement si, tous les coefficients ai sont nuls.
2. Plus généralement, deux polynômes P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] et Q = b0 + b1 X +
· · · + bm X m ∈ K[X] sont égaux si, et seulement si, pour tout i ≥ 0, ai = bi .
Définition 2.1.2 Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X], avec an 6= 0.
On appelle degré de P , que l’on note deg(P ), l’entier naturel n. Le coefficient an sera dit le
coefficient dominant de P . Lorsque an = 1 on dit que P est unitaire.
Par convention, le degré du polynôme nul est −∞.
15
16
CHAPITRE 2. POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE
Remarque 2.1.1 Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X], n = deg(P ). Alors pour tout m ≥ n
le polynôme P est aussi égal à a0 + a1 X + · · · + an X n + 0X n+1 + · · · + 0X m .
On définit dans K[X] les opérations d’addition, de multiplication par un scalaire et de multiplication comme suit : Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n et Q = b0 + b1 X + · · · + bm X m deux
polynômes de K[X].
1. Somme :
Si m ≥ n on pose
P + Q = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + · · · + (an + bn )X n + bn+1 X n+1 + · · · + bm X m .
Si n ≥ m on pose
P + Q = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + · · · + (am + bm )X m + bm+1 X m+1 + · · · + bn X n .
2. Multiplication par un scalaire :
Pour tout λ ∈ K on définit λP = λa0 + λa1 X + · · · + λan X n .
3. Produit :
P × Q = c0 + c1 X + · · · + ck X k + · · · + cn+m X n+m .
avec
ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 =
k
X
a` bk−` , 0 ≤ k ≤ n + m.
`=0
Notons que les deux opérations + et × munissent l’ensemble K[X] d’une structure d’anneau
commutatif unitaire.
Proposition 2.1.1 Soient P et Q deux polynômes de K[X]. On a :
1. deg(P + Q) ≤ max{deg(P ), deg(Q)},
2. deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q).
Remarques 2.1.2
1. Soit P = 1 + X − X 2 et Q = 1 + X + X 2 . On a P + Q = 2 + 2X et
donc deg(P + Q) = 1. Ceci montre que le degré de la somme de deux polynômes peut être
strictement inférieur au maximum de leurs degrés.
2. Si deg(P ) 6= deg(Q) alors deg(P + Q) = max{deg(P ), deg(Q)}.
Exercice 2.1.1 Soient P, Q ∈ K[X] tels que P Q = 0. Montrer que P = 0 ou Q = 0.
Solution :
L’égalité P Q = 0 implique deg(P Q) = −∞ et donc deg(P )+deg(Q) = −∞. Alors deg(P ) = −∞
ou deg(Q) = −∞. Ceci montre que P = 0 ou Q = 0.
2.2. DIVISION EUCLIDIENNE
2.2
17
Division euclidienne
La division euclidienne dans l’ensemble des entiers relatifs Z s’étend naturellement à l’anneau
K[X].
Définition 2.2.1 Soit A, B ∈ K[X]. On dit que A divise B s’il existe un polynôme Q ∈ K[X]
tel que B = QA. On note A|B.
Exemples 2.2.1
1. Dans R[X] on a X 3 − 1 = (X − 1)(X 2 + X + 1). Donc X 2 + X + 1
3
divise X − 1.
2. Dans C[X] on a X 4 − 1 = (X 2 − 1)(X 2 + 1) = (X 2 − 1)(X − i)(X + i). Donc X + i divise
X 4 − 1.
Théorème 2.2.1 Soit A, B ∈ K[X] deux polynômes, avec B 6= 0. Alors il existe un unique
couple de polynômes (Q, R) vérifiant
A = BQ + R et deg(R) < deg(B).
Le polynôme Q (respectivement R) s’appelle le quotient (respectivement le reste) de la division
euclidienne de A par B.
Remarque 2.2.1 Dans le dernier théorème la relation A = BQ + R montre que B divise A si,
et seulement si R = 0.
Exemples 2.2.2
1. Effectuons la division euclidienne du polynôme A = X 3 + X 2 − 1 par
le polynôme B = X − 1.
X 3 +X 2
−X 3 +X 2
2X 2
−2X 2 +2X
2X
−2X
−1 X −1
X 2 +2X +2
−1
−1
+2
+1
On obtient alors Q = X 2 + 2X + 2 et R = 1.
X 3 + X 2 − 1 = (X − 1)(X 2 + 2X + 2) + 1.
2. Effectuons la division euclidienne du polynôme A = X 5 − 1 par le polynôme B = X 2 − 1.
X5
−1 X 2 −1
−X 5 +X 3
X 3 +X
X3
−1
3
−X +X
X −1
On obtient alors Q = X 3 + X et R = X − 1.
X 5 − 1 = (X 2 − 1)(X 3 + X) + X − 1.
18
CHAPITRE 2. POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE
2.3
Plus grand commun diviseur de deux polynômes
Définition 2.3.1 Soit A, B ∈ K[X], avec A 6= 0 ou B 6= 0. On appelle le plus grand diviseur
commun de A et B, que l’on note pgcd(A, B), l’unique polynôme unitaire de plus grand degré
qui divise à la fois A et B.
L’algorithme d’Euclide pour les entiers s’étend aux polynômes et permet de déterminer le pgcd
de deux polynômes.
Algortihme d’Euclide.
Soit A, B des polynômes, avec B 6= 0. On effectue les divisions euclidiennes successives,
A = BQ1 + R1
deg(R1 ) < deg(B)
B = R1 Q2 + R2
deg(R2 ) < deg(R1 )
R1 = R2 Q3 + R3
..
.
deg(R3 ) < deg(R2 )
Rk−2 = Rk−1 Qk + Rk
deg(Rk ) < deg(Rk−1 )
Rk−1 = Rk Qk+1 + 0
Le pgcd est le dernier reste non nul Rk (rendu unitaire).
Exemples 2.3.1
1. Calculer pgcd(X 5 − 1, X 3 − 1). Appliquons l’algorithme d’Euclide :
X 5 − 1 = (X 3 − 1) × X 2 + X 2 − 1
X 3 − 1 = (X 2 − 1) × X + X − 1
X 2 − 1 = (X − 1) × (X + 1) + 0
Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X 5 − 1, X 3 − 1) = X − 1.
2. Calculer pgcd(X 5 + X 4 + 2X 3 + X 2 + X + 2, X 4 + 2X 3 + X 2 − 4). Appliquons l’algorithme
d’Euclide :
X 5 + X 4 + 2X 3 + X 2 + X + 2 = (X 4 + 2X 3 + X 2 − 4)(X − 1) + 3X 3 + 2X 2 + 5X − 2
1
14
X 4 + 2X 3 + X 2 − 4 = (3X 3 + 2X 2 + 5X − 2) × (3X + 4) − (X 2 + X + 2)
9
9
3X 3 + 2X 2 + 5X − 2 = (X 2 + X + 2)(3X − 1) + 0
Ainsi pgcd(X 5 + X 4 + 2X 3 + X 2 + X + 2, X 4 + 2X 3 + X 2 − 4) = X 2 + X + 2.
3. Calculer pgcd(2X 4 − 2X 3 − X 2 + 1, 2X 4 + 2X 3 + 3X 2 + 2X + 1). Appliquons l’algorithme
d’Euclide :
2X 4 − 2X 3 − X 2 + 1 = (2X 4 + 2X 3 + 3X 2 + 2X + 1) × 1 + (−4X 3 − 4X 2 − 2X)
1
2X 4 + 2X 3 + 3X 2 + 2X + 1 = (−4X 3 − 4X 2 − 2X) × (− X) + 2X 2 + 2X + 1
2
−4X 3 − 4X 2 − 2X = (2X 2 + 2X + 1)(−2X) + 0
2.4. RACINES D’UN POLYNÔME
19
Ainsi Le dernier reste non nul est 2X 2 + 2X + 1 et donc pgcd(2X 4 − 2X 3 − X 2 + 1, 2X 4 +
2X 3 + 3X 2 + 2X + 1) = X 2 + X + 21 .
Définition 2.3.2 On dit que deux polynômes A et B sont premiers entre eux lorsque pgcd(A, B) = 1.
Exemples 2.3.2
1. Montrons que les polynômes X 3 − 1 et X 2 + 1 sont premiers entre eux.
Appliquons l’algorithme d’Euclide pour calculer pgcd(X 3 − 1, X 2 + 1).
X 3 − 1 = (X 2 + 1)(X) − X − 1
X 2 + 1 = (−X − 1)(−X + 1) + 2
1
1
−X − 1 = (− X − ) × 2 + 0
2
2
Ainsi pgcd(X 3 − 1, X 2 + 1) = 1.
2. Montrons que les polynômes X 3 + 1 et X 2 + X + 1 sont premiers entre eux.
Appliquons l’algorithme d’Euclide pour calculer pgcd(X 3 + 1, X 2 + X + 1).
X 3 + 1 = (X 2 + X + 1)(X − 1) + 2
1
1
1
X2 + X + 1 = ( X2 + X + ) × 2 + 0
2
2
2
Ainsi pgcd(X 3 + 1, X 2 + X + 1) = 1.
2.4
Racines d’un polynôme
Notation 2.4.1 Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X]. On note P̃ la fonction polynomiale
associée à P :
P̃ : K →
K
x 7→ a0 + a1 x + · · · + an xn .
Pour un scalaire x ∈ K on note P (x) l’évaluation de P̃ en x : P (x) = P̃ (x).
Définition 2.4.1 Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. On dit que α est une racine de P si P (α) = 0.
Exemples 2.4.1
1. 1 est une racine de X 4 − 1.
2. Pour tout entier naturel n et tout entier 0 ≤ k ≤ n − 1, le complexe e
du polynôme X n − 1.
3. 0 est une racine du polynôme de la forme P = a1 X + · · · + an X n .
Proposition 2.4.1 Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Alors
α est une racine de P si, et seulement si X − α divise P .
2ikπ
n
est une racine
20
CHAPITRE 2. POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE
Démonstration.
Montrons l’implication directe. On sait qu’il existe un couple unique de polynômes (Q, R) vérifiant P = (X − α)Q + R et deg(R) < deg(X − α). Puisque deg(X − α) = 1 il vient deg(R) = 0 ou
deg(R) = −∞ ; autrement dit, R est une constante non nulle ou R = 0. Mais P (α) = R(α) = 0
ce qui montre que R = 0.
La réciproque est évidente.
Définition 2.4.2 Soit P ∈ K[X], α ∈ K et m ∈ N? . On dit que α est une racine de P , de
multiplicité m, si (X − α)m divise P et (X − α)m+1 ne divise pas P .
Si m = 1 (respectivement m = 2) on parle de racine simple (respectivement double) et lorsque
m > 2 on dit que α est une racine multiple de P .
Proposition 2.4.2 Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Alors
α est une racine de P de multiplicité m si, et seulement si, il existe un polynôme Q ∈ K[X] tel
que P = (X − α)m Q et Q(α) 6= 0.
2.5
Polynômes dérivés
Définition 2.5.1 Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X]. Le polynôme dérivé de P est le
polynôme, que l’on note P 0 , défini par
P 0 = a1 + 2a2 X + · · · + nan X n−1 =
n
X
kak X k−1 .
k=1
Exemples 2.5.1
1. Soit P = X 4 + X 3 + 2X + 3. Alors P 0 = 4X 3 + 3X 2 + 2.
2. Soit P = X n − 1. Alors P 0 = nX n−1 .
Remarques 2.5.1 Soit P ∈ K[X].
1. Si deg(P ) > 0 on a deg(P 0 ) = deg(P ) − 1.
2. P est constante si, et seulement si, P 0 = 0.
Proposition 2.5.1 Soient P, Q ∈ K[X] et α, β ∈ K. Alors
1. (αP + βQ)0 = αP 0 + βQ0 .
2. (P Q)0 = P 0 Q + P Q0 .
Définition 2.5.2 Soit P ∈ K[X] et n ∈ N. La dérivée n-ième (ou d’ordre n) de P , que l’on note
P (n) , est le polynôme défini par récurrence :
— P (0) = P,
— P (k+1) = (P (k) )0 ∀k ∈ N.
Proposition 2.5.2 (Formule de Taylor) Soit P ∈ K[X], a ∈ K. On suppose que deg(P ) ≤ n.
Alors
n
X
P (k) (a)
P =
(X − a)k .
k!
k=0
2.6. POLYNÔME CONJUGUÉ
21
Exercice 2.5.1 Pour un entier naturel n ≥ 3 déterminer le reste R de la division euclidienne
de X n par (X − a)3 .
La formule de Taylor utilisée lorsque P = X n montre que
n
X n = P (a) + P 0 (a)(X − a) +
X P (k) (a)
P ”(a)
(X − a)2 +
(X − a)k .
2
k!
k=3
Donc
n(n − 1)an−2
X n = an + nan−1 (X − a) +
(X − a)2 + (X − a)3
2
n
X
P (k) (a)
k=3
k!
!
(X − a)k−3
.
Alors l’unicité du quotient et du reste de la division euclidienne permet de conclure que
R = an + nan−1 (X − a) +
n(n − 1)an−2
(X − a)2 .
2
La formule de Taylor permet d’avoir un critère simple pour déterminer la multiplicité d’une
racine d’un polynôme.
Proposition 2.5.3 Soit P ∈ K[X], a ∈ K et m ∈ N? . Alors
α est une racine de P de multiplicité m si, et seulement si P (a) = P 0 (a) = · · · = P (m−1) (a) = 0
et P (m) (a) 6= 0.
Exemples 2.5.2
1. 0 est une racine de multiplicité 3 du polynôme P = X 3 + 2X 5 − X 7 .
En effet on a P (0) = P 0 (0) = P 00 (0) = 0 et P (3) (0) 6= 0.
2. Une racine n-ième de l’unité α, qui est racine du polynôme P = X n −1, est simple puisque
P (α) = αn − 1 = 0 et P 0 (α) = nαn−1 6= 0.
2.6
Polynôme conjugué
Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ C[X]. Le conjugué de P est le polynôme P ∈ C[X] défini
par
P = a0 + a1 X + · · · + an X n .
On a le résultat important :
Proposition 2.6.1 Soit P ∈ C[X] et α ∈ C une racine de P . Alors :
α est une racine de P de multiplicité m si, et seulement si, α est une racine de P de multiplicité
m.
En remarquant q’un polynôme P de R[X] coincide avec son conjugué (P = P ), on obtient :
Corollaire 2.6.1 Soit P ∈ R[X] et α ∈ C une racine de P . Alors :
α est une racine de P de multiplicité m si, et seulement si, α est une racine de P de multiplicité
m.
22
CHAPITRE 2. POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE
2.7
2.7.1
Factorisation de polynômes
Factorisation dans C[X]
Le théorème suivant est connu sous le nom de théorème de d’Alembert-Gauss ou théorème
fondamental d’algèbre :
Théorème 2.7.1 Tout polynôme à coefficients complexes de degré n ≥ 1 admet au moins une
racine dans C.
En utilisant le théorème de d’Alembert-Gauss on obtient le théorème de factorisation de
polynômes de C[X] :
Théorème 2.7.2 Soit P un polynôme de C[X] de degré n ≥ 1. Alors P s’écrit sous la forme
suivante :
P = λ(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 · · · (X − αr )mr ,
où λ est le coefficient dominant de P et α1 , α2 , . . . , αr sont les racines distinctes de P de multiplicités respectives m1 , m2 , . . . , mr .
Cette écriture de P s’appelle la décomposition de P en produit de facteurs irréductibles dans
C[X].
Remarques 2.7.1 Décomposer un polynôme en produit de facteurs irréductible revient à déterminer ses racines complexes avec leurs multiplicités.
Exemples 2.7.1
1. X 2 + 1 = (X − i)(X + i).
2iπ
√
i 3
2. X 2 + X + 1 = (X − j)(X − j̄) où j = e 3 = −1
2 + 2 .
Q
2ikπ
n .
3. Pour tout n ≥ 1, X n − 1 = n−1
k=0 (X − ζk ) , où ζk = e
iπ
4. X 3 + 1 = (X + 1)(X − e 3 )(X − e
2.7.2
−iπ
3
) = (X + 1)(X −
1
2
−
√
3
2 i)(X
−
1
2
√
+
3
2 i).
Factorisation dans R[X]
Le théorème de d’Alembert-Gauss n’est pas vrai sur R dans le sens où il existe des polynômes à
coefficients dans R qui n’ont pas de racines dans R. Un exemple simple est donné par le polynôme
X 2 + 1. Ceci implique que dans R[X] on aura une autre forme de factorisation de polynômes :
Définition 2.7.1 On appelle discriminant d’un polynôme aX 2 + bX + c ∈ R[X], le réel b2 − 4ac.
Le polynôme aX 2 + bX + c ∈ R[X] est de discriminant strictement négatif si b2 − 4ac < 0.
Théorème 2.7.3 Soit P un polynôme de R[X] de degré n ≥ 1. Alors P s’écrit sous la forme
suivante :
P = λ(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 · · · (X − αr )mr Q`11 · · · Q`ss ,
où les αi sont les racines réelles distinctes de P , de multiplicités respectives mi , et les Qi ∈ R[X]
sont des polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.
Exemples 2.7.2
1. X 3 − 1 = (X − 1)(X 2 + X + 1).
2.7. FACTORISATION DE POLYNÔMES
23
2. X 4 + 1 = X 4 + 2X 2 + 1 − 2X 2 = (X 2 + 1)2 − 2X 2 = (X 2 −
3. X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 − X + 1).
√
2X + 1)(X 2 +
√
2X + 1).
Remarque 2.7.1 Soit α ∈ C\R c’est à dire Im(α) 6= 0. Alors le polynôme (X − α)(X − α) =
X 2 − 2Re(α)X + |α|2 est un polynôme de R[X] de degré 2 de discriminant 4Re(α)2 − 4|α|2 =
−4Im(α)2 qui est strictement négatif.
Rappelons que si α ∈ C\R est une racine complexe d’un polynôme P ∈ R[X], de multiplicité m,
alors α est une racine de P de même multiplicité m. Ceci nous permet de passer de la factorisation
du polynôme P dans C[X] à sa factorisation dans R[X].
1. Factorisons le polynôme X 5 − 1 dans R[X]. On sait que dans C[X] on
Exemples 2.7.3
a:
X 5 − 1 = (X − 1)(X − e
Puisque e
6iπ
5
=e
4iπ
5
et e
8iπ
5
=e
2iπ
5
2iπ
5
)(X − e
4iπ
5
)(X − e
6iπ
5
)(X − e
2iπ
5
)X + 1)(X 2 − 2Re(e
4iπ
5
)X + 1).
2. Factorisons le polynôme X 4 + 1 dans R[X].
On a X 4 + 1 = (X 2 + i)(X 2 − i). Or les racines carrées de i sont
1−i
√
2
).
il vient dans R[X] :
X 5 − 1 = (X − 1)(X 2 − 2Re(e
racines carrées de −i sont
8iπ
5
1+i
√
2
√ et les
et − 1+i
2
√ . Donc
et − 1−i
2
1+i
1+i
X 2 − i = (X − √ )(X + √ )
2
2
et
1−i
1−i
X 2 + i = (X − √ )(X + √ ).
2
2
1+i
1−i
1+i
1−i
4
Alors X + 1 = (X − √2 )(X − √2 )(X + √2 )(X + √2 ). Ainsi la factorisation de X 4 + 1
dans R[X] est
√
√
X 4 + 1 = (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 2X + 1).
Exercice 2.7.1 Soit P = X 5 − 15X 3 − 10X 2 + 60X + 72.
1. Montrer que −2 est une racine de P et déterminer sa multiplicité.
2. En déduire la factorisation de P dans R[X].
Exercice 2.7.2 Soit P = 2X 5 − 11X 4 + 21X 3 − 22X 2 + 28X − 24.
1. Montrer que 2 est une racine de P et déterminer sa multiplicité.
2. En déduire la factorisation de P dans R[X] puis dans C[X].
Exercice 2.7.3 Soit P = X 6 − 6X 5 + 11X 4 − 12X 3 + 19X 2 − 6X + 9.
1. Montrer que 3 est une racine de P et déterminer sa multiplicité.
2. En déduire la factorisation de P dans R[X] puis dans C[X].
Exercice 2.7.4 Soit P = X 6 − 2X 5 + 3X 4 − 4X 3 + 3X 2 − 2X + 1.
1. Montrer que 1 est une racine de P et déterminer sa multiplicité.
2. En déduire la factorisation de P dans R[X] puis dans C[X].
24
CHAPITRE 2. POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE
Chapitre 3
Fractions rationnelles. Décomposition
en éléments simples
Dans tout ce chapitre on note K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
3.1
Division selon les puissances croissantes
Théorème 3.1.1 Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K avec B(0) 6= 0. Pour tout
entier naturel n il existe un unique couple de polynômes (Qn , Rn ) tel que
A = BQn + X n+1 Rn et deg(Qn ) ≤ n.
On dit que Qn (respectivement Rn ) est le quotient (respectivement le reste) de la division selon
les puissances croissantes de A par B à l’ordre n.
Exemple 3.1.1 Effectuons la division selon les puissances croissantes de A = 1 + 3X + 2X 2 −
7X 3 par B = 1 + X − 2X 2 à l’ordre 3.
1 +3X +2X 2
−1 −X +2X 2
2X +4X 2
−2X −2X 2
2X 2
−2X 2
−7X 3
1 +X −2X 2
1 +2X +2X 2 −5X 3
−7X 3
+4X 3
−3X 3
−2X 3 +4X 4
−5X 3 +4X 4
5X 3 +5X 4 −10X 5
+9X 4 −10X 5
Ainsi A = B × (1 + 2X + 2X 2 − 5X 3 ) + X 4 × (9 − 10X).
Exemple 3.1.2 Effectuons la division selon les puissances croissantes de A = X + 2X 2 par
B = 2 + X − X 2 à l’ordre 2.
25
26CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES. DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
X +2X 2
2
3
−X − X2 + X2
3 2
3 3
2X +2X
− 23 X 2 − 34 X 3 + 34 X 4
3 3
3 4
4X +4X
2
X
2
+X −X 2
+ 34 X 2
Ainsi A = B × ( X2 + 34 X 2 ) + X 3 × ( 34 + 43 X).
3.2
Corps des fractions rationnelles
Définition 3.2.1 Une fraction rationnelle à coefficients dans K est une expression de la forme
F =
P
Q
où P et Q sont deux polynômes de K[X] et Q 6= 0.
Notons K(X) l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans K. On le munit des
opérations d’addition et de multiplication comme suit :
1. Addition :
P1
P2
P1 Q2 + P2 Q1
+
=
.
Q1 Q2
Q1 Q2
2. Multiplication :
P1
P2
P1 P2
×
=
.
Q1 Q2
Q1 Q2
Ces deux opérations sont associatives et commutatives et la multiplication est distributive par
rapport à l’addition. Plus précisément K(X) muni de ces deux opérations est un corps commutatif.
P1
P2
et Q
sont égales si, et seulement si, P1 Q2 =
Remarque 3.2.1 Deux fractions rationnelles Q
1
2
P2 Q1 . Lorsque Q1 = Q2 , l’égalité est équivalente à P1 = P2 .
Nous allons voir que toute fraction rationnelle se décompose comme somme de fractions rationnelles élémentaires que l’on appelle des éléments simples. Mais les éléments simples sur C sont
différents des éléments simples sur R.
P
est sous forme irréductible si pgcd(P, Q) = 1.
Définition 3.2.2 Une fraction rationnelle F = Q
Dans ce cas une racine de Q de multiplicité m est dite un pôle de F d’ordre m.
Exemples 3.2.1
1. La fraction rationnelle
1, X 5 − 1) = X − 1.
X 3 −1
X 5 −1
n’est pas sous forme irréductible car pgcd(X 3 −
2. 0 est un pôle d’ordre 3 de la fraction rationnelle
(X+1)2
.
X 3 (X−1)2
3. 1 est un pôle d’ordre 4 de la fraction rationnelle
1−X+X 2
.
(X−1)4
3.2. CORPS DES FRACTIONS RATIONNELLES
Remarque 3.2.2 Une fraction rationnelle F =
si, P et Q n’ont pas de racine commune dans C.
P
Q
27
est sous forme irréductible si, et seulement
P
Notation 3.2.1 Soit F = Q
une fraction rationnelle et soit P(Q) l’ensemble des pôles de F .
On note F̃ la fonction rationnelle associée à F :
: K\P(Q) →
x 7→
F̃
K
P (x)
Q(x) .
Pour un scalaire x ∈ K on note F (x) l’évaluation de F̃ en x : F (x) = F̃ (x).
Dans la suite on suppose que toutes les fractions rationnelles considérées sont sous forme
irréductible.
Définition 3.2.3 Soit F =
deg(F ), l’entier relatif
P
Q
une fraction rationnelle. On appelle degré de F , que l’on note
deg(F ) = deg(P ) − deg(Q).
Exemples 3.2.2
1. Soit F =
2. Soit F =
X 6 +1
X 3 +X 2 +X+2
3. Soit F =
X 3 +1
,
X 3 +X 2 +2
X+1
,
X 3 +2
alors deg(F ) = −2.
, alors deg(F ) = 3.
alors deg(F ) = 0.
P
Proposition 3.2.1 Soit F = Q
une fraction rationnelle. Alors il existe d’une manière unique un
polynôme E ∈ K[X] et une fraction rationnelle de degré strictement négatif G tels que F = E +G.
Le polynôme E sera dit la partie entière de F .
Démonstration.
Si deg(F ) < 0 alors E = 0 et G = F .
Supposons deg(F ) ≥ 0. En effectuant la division euclidienne de P par Q il existe un unique
couple de polynômes (E, R) tel que P = Q × E + R avec deg(R) < deg(Q). Donc
F =
Posons G =
R
Q,
E×Q+R
R
=E+ .
Q
Q
alors deg(G) < 0 puisque deg(R) < deg(Q). Ceci termine la preuve.
Exemples 3.2.3
2. Soit F =
Donc
1. La partie entière de la fraction
X 4 +X 2 +X+1
X 3 −X 2 −1
X
X 2 +1
est le polynôme nul.
. On a X 4 + X 2 + X + 1 = (X 3 − X 2 − 1)(X + 1) + 2X 2 + 2X + 2.
F =X +1+
Ainsi la partie entière de F est X + 1.
2X 2 + 2X + 2
.
X3 − X2 − 1
28CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES. DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
3.2.1
Décomposition en éléments simples sur C
L’exemple suivant montre une application de la décomposition en éléments simples.
Exemples 3.2.4 Soit (un ), n ∈ N? la suite réelle définie par
un =
n
X
k=1
1
.
k(k + 1)
Exprimer un en fonction de n puis montrer que (un ) est convergente.
1
1
En remarquant que k(k+1)
= k1 − k+1
le terme un s’écrit :
un = 1 −
Alors un = 1 −
1
n+1 .
1 1 1 1
1
1
1
1
1
+ − + − ··· + −
+ ··· − + −
.
2 2 3 3
k k+1
n n n+1
Ceci montre que la suite (un ) est convergente et de plus
limn→+∞ un = 1.
On peut maintenant énoncer le théorème de la décomposition en éléments simples sur C.
P
∈ C(X) une fraction rationnelle avec Q = (X − α1 )m1 (X −
Théorème 3.2.1 Soit F = Q
α2 )m2 · · · (X − αr )mr . Alors il existe une et une seule écriture :
F
a1,1
a1,m1
a1,2
+ ··· +
+
+
X − α1 (X − α1 )2
(X − α1 )m1
a2,1
a2,2
a2,m2
+
+ ··· +
+
2
X − α2 (X − α2 )
(X − α2 )m2
ar,mr
ar,1
ar,2
+ ··· +
··· +
+
.
2
X − αr
(X − αr )
(X − αr )mr
= E+
où E est la partie entière de F et les ai,j sont des complexes.
ai,2
ai,mr
ai,1
+ (X−α
La partie X−α
2 + · · · + (X−α )mi s’appelle la partie polaire de F relativement au pôle
i
i
i)
αi .
Exemples 3.2.5
1. Décomposons en éléments simples la fraction X 21+1 dans C(X). Notons
que la partie polynomiale de cette fraction est le polynôme nul. Puisque dans C[X] on a
X 2 + 1 = (X − i)(X + i) il vient
1
a
b
=
+
.
+1
X −i X +i
X2
En mettant au même dénominateur et en identifiant les coefficients on obtient a = 12 i et
b = − 21 i.
4
2
−8X +9X−7
2. Décomposons en éléments simples la fraction F = X X
.
3 −3X+2
— Partie entière :
On a X 4 − 8X 2 + 9X − 7 = (X 3 − 3X + 2) × X − 5X 2 + 7X − 7. Donc la partie entière
de F est E = X.
3.2. CORPS DES FRACTIONS RATIONNELLES
29
— Factorisation du dénominateur Q = X 3 − 3X + 2 :
On remarque que 1 est une racine double de Q et en divisant par (X − 1)2 il vient
Q = (X − 1)2 (X + 2). Donc F admet deux pôles : 1 comme pôle double et −2 comme
pôle simple.
— Décomposition théorique :
a
c
b
F = X + X−1
+ (X−1)
2 + X+2 avec a, b, c ∈ C.
— Calcul des coefficients :
Pour calculer b on multiplie F par (X − 1)2 . Il vient
(X − 1)2 F = b + (X − 1)2 (X +
Donc
a
c
+
).
X −1 X +2
a
c
X 4 − 8X 2 + 9X − 7
= b + (X − 1)2 (X +
+
).
X +2
X −1 X +2
En évaluant en x = 1 on obtient b = − 53 .
Pour calculer c on multiplie F par (X + 2). Il vient
(X + 2)F = c + (X + 2)(X +
Donc
b
a
+
).
X − 1 (X − 1)2
X 4 − 8X 2 + 9X − 7
a
b
= c + (X + 2)(X +
+
).
2
(X − 1)
X − 1 (X − 1)2
En évaluant en x = −2 on obtient c = − 41
9 .
Pour calculer a on évalue F en x = 0. Ainsi
7
c
F (0) = − = −a + b + .
2
2
D’où a = − 94 .
Ainsi la décomposition en éléments simples de F sur C est
4 1
5
1
X 4 − 8X 2 + 9X − 7
41 1
=X−
−
−
.
3
2
X − 3X + 2
9 X − 1 3 (X − 1)
9 X +2
Proposition 3.2.2 Soit α un pôle simple d’une fraction rationnelle F =
polaire de F relativement au pôle α est
a
X−α
où a =
P
Q.
Alors la partie
P (α)
Q0 (α) .
Démonstration.
Comme α est un pôle simple de F , la décomposition théorique de F en éléments simple est de
la forme
a
F =E+
+ G.
X −α
où E est la partie entière de F , a un complexe et G une fraction rationnelle qui n’admet pas α
comme pôle. Puisque α est une racine simple de Q il vient Q = (X − α)R, avec R(α) 6= 0. Alors
(X − α)F =
P
= a + (X − α)(E + G).
R
30CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES. DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
En évaluant en x = α et en remarquant que R(α) = Q0 (α) on obtient
a=
P (α)
P (α)
= 0
.
R(α)
Q (α)
Exemples 3.2.6
1. Décomposons en éléments simples sur C la fraction F = X 31−1 .
Le polynôme X 3 − 1 se factorise sur C comme suit : X 3 − 1 = (X − 1)(X − j)(X − j̄),
2iπ
avec j = e 3 . Donc les pôles de F sont simples et la décomposition théorique de F est
F =
a
b
c
+
+
.
X − 1 X − j X − j̄
En utilisant la proposition précédente et en remarquant que
1
a= ,
3
b=
1
1
= j,
2
3j
3
c=
1
j2
= j, on obtient
1
1
= j̄.
2
3
3j̄
2. Plus généralement la décomposition en éléments simples de la fraction F =
F =
n−1
X
k=0
où les wk = e
2ikπ
n
1
X n −1
est
1 wk
n X − wk
, k = 0, . . . , n − 1 sont les racines n-ièmes de l’unité.
Remarque 3.2.3 Lorsque l’ordre d’un pôle α d’une fraction rationnelle F est élevé, on détermine facilement la partie polaire de F relativement à α en effectuant une division selon les
puissances croissantes.
Exemple 3.2.1 Décomposons en éléments simples la fraction F =
admet deux pôles : 1 avec l’ordre 4 et −2 avec l’ordre 1.
En posons Y = X − 1 la fraction F devient une fraction en Y :
G(Y ) =
X 2 +2
.
(X−1)4 (X+2)
Cette fraction
Y 2 + 2Y + 3
.
Y 4 (Y + 3)
Effectuons la division selon les puissances croissantes de Y 2 + 2Y + 3 par 3 + Y à l’ordre 3, on
obtient :
2
2
2
1
3 + 2Y + Y 2 = (3 + Y )(1 + Y + Y 2 − Y 3 ) + Y 4 .
3
9
27
27
Alors
G(Y ) =
=
2
2
Y 3 ) + 27
Y4
(3 + Y )(1 + 31 Y + 29 Y 2 − 27
Y 4 (Y + 3)
1
1
2
2
2
+
+
−
+
Y 4 3Y 3 9Y 2 27Y
27(Y + 3)
Ainsi la décomposition en éléments simples de F est
F =
1
1
2
2
2
+
+
−
+
.
(X − 1)4 3(X − 1)3 9(X − 1)2 27(X − 1) 27(X + 2)
3.3. TECHNIQUES DE LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
3.2.2
31
Décomposition en éléments simples sur R
La décomposition en éléments simples sur R est différente de celle sur C. On a le théorème
suivant :
P
Q
Théorème 3.2.2 Soit F =
une fraction rationnelle de R(X) et soit Q = (X − α1 )m1 · · · (X −
αr )mr Q`11
· · · Q`ss la décomposition de Q en produit de facteurs irréductibles dans R[X]. Alors F
s’écrit d’une manière unique comme somme :
F =E+
mi
r X
X
k=1 i=1
s
`
k
XX
ak,i
bk,j X + ck,j
+
i
(X − αk )
Qjk
k=1 j=1
où E est la partie entière de F et les ak,i , bk,j , ck,j sont des réels.
Exemple 3.2.2 Décomposons en éléments simples sur R la fraction rationnelle F = X 41−1 .
Comme deg(F ) < 0 la partie entière de F est nulle. De plus X 4 − 1 se factorise dans R[X]
comme suit X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + 1). Alors la décomposition théorique de F est
F =
b
cX + d
a
+
+
.
X − 1 X + 1 X2 + 1
Remarquons que 1 et −1 sont des pôles simples de F . Donc on peut facilement déterminer a et
b:
1
1
a= , b=− .
4
4
On a limx→=∞ xF (x) = 0 = a + b + c, donc c = 0. En fin l’évaluation de F en x = 0 permet de
calculer d. En effet F (0) = −1 = d − a + b et par suite d = − 21 .
Ainsi la décomposition en éléments simples de F sur R est
1
1
1
1
=
−
−
.
2
−1
4(X − 1) 4(X + 1) 2(X + 1)
X4
3.3
Techniques de la décomposition en éléments simples
Nous avons vu précédemment des méthodes de décomposition en éléments simples. Néanmoins, certaines techniques permettent de faciliter le travail.
3.3.1
Décomposition dans C(X) d’une fraction de R(X)
Soit F une fraction rationnelle de R(X). On considère F comme un élément de C(X) et on
la décompose en éléments simples de C(X). L’idée de base est que cette décomposition reste
invariante par conjugaison. Il en résulte que si α et αPsont deux pôlesP
conjugués non réels de F ,
m
ak
ak
d’ordre m, les parties polaires sont respectivement : m
et
k=1 (X−α)k
k=1 (X−ᾱ)k .
Exemple 3.3.1 La fraction F = X 21+1 est de partie entière nulle et admet deux pôles simples
a
a
i et −i. Donc les parties polaires relativement à i et −i sont respectivement X−i
et X+i
, avec
1
a un complexe. Par simple calcul on obtient a = 2i . Ainsi la décomposition en éléments simples
sur C de F est
1
1
1
=
−
.
X2 + 1
2i(X − i) 2i(X + i)
32CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES. DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
3.3.2
Utilisation de la parité
Si une fraction rationnelle F est paire ou impaire, on exploite cette propriété pour réduire le
nombre de coefficients à calculer dans la décomposition de F . En utilisant les transformations
x 7→ F (−x) ou x 7→ −F (−x) pour avoir des relations sur les coefficients.
Exemple 3.3.2 Décomposons en éléments simples sur R la fraction F = X 61−1 . Comme deg(F ) <
0 la partie entière de F est nulle. De plus dans R[X] la factorisation de X 6 − 1 en facteurs irréductibles est X 6 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1). Alors la décomposition théorique
de F en éléments simples sur R est
F =
a
b
cX + d
eX + f
+
+ 2
+ 2
.
X −1 X +1 X +X +1 X −X +1
La parité de F montre que a = −b, c = −e et d = f . Comme 1 est un pôle simple on obtient
2iπ
facilement a = 61 . En multipliant F par X 2 + X + 1 et en évaluant en x = j = e 3 on obtient
1
cj + d = 2(j−1)
. Ceci montre que c = − 16 et d = − 31 . Finalement :
F =
3.3.3
1
1
−X − 2
X −2
−
+
+
.
2
2
6(X − 1) 6(X + 1) 6(X + X + 1) 6(X − X + 1)
Passage à la limite
Dans le cas où la partie entière de F est nulle le calcul de la limite limx→∞ xF (x) fait
apparaître des relations entre les coefficients de la décomposition de F .
Exemple 3.3.3 Décomposons en éléments simples sur R la fraction rationnelle F = X 3 (X12 −1) .
La partie entière est nulle et les pôles sont 0 (triple), 1 (simple) et −1 (simple). Alors la décomposition théorique de F est
F =
a
b
c
d
e
+ 2+
+
+
.
3
X
X
X
X −1 X +1
L’imparité de F donne b = 0 et d = e. On détermine a en multipliant par X 3 et en évaluant en
x = 0. Donc a = −1. De même on trouve d en multipliant par X − 1 et en évaluant en x = 1.
Donc d = 12 .
Utilisons le passage à la limite de xF (x) on obtient
limx→+∞ xF (x) = 0 = c + 1
Donc c = −1. Ainsi la décomposition en éléments simples de F est :
F =−
1
1
1
1
−
+
+
.
3
X
X
2(X − 1) 2(X + 1)
Exemple 3.3.4 Décomposons dans R(X) la fraction
F =
1
.
X(X 2 + 1)(X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1)
3.3. TECHNIQUES DE LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
33
La décomposition théorique de F est
F =
a
bX + c
dX + e
fX + g
+ 2
+
+
.
X
X + 1 X2 + X + 1 X2 − X + 1
L’imparité de F donne c = 0, e = −g et d = f .
On trouve a en multipliant par X et en évaluant en x = 0. Donc a = 1. De même on détermine
b en multipliant par X 2 + 1 et en évaluant en x = i. Donc b = −1.
2iπ
On trouve d et e en multipliant par X 2 + X + 1 et en évaluant en x = j = e 3 . Donc dj + e = 12
et par suite d = 0 et e = 12 .
Finalement :
X
1
1
1
− 2
+
−
.
F =
X
X + 1 2(X 2 + X + 1) 2(X 2 − X + 1)
34CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES. DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
Chapitre 4
Calcul matriciel
Dans tout ce chapitre on note K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
4.1
Définitions et propriétés
Définition 4.1.1 Une matrice de type n × p à coefficients dans K est un tableau d’éléments de
K comportant n lignes et p colonnes.
Dans la suite on délimite les tableaux correspondants aux matrices par des parenthèses.


1 −1 2 4
0 4 1  est une matrice de type 3 × 4 à coefficients réels.
Exemples 4.1.1
1.  2
−5 6 5 7


−1
2
i

5 i + 2 4  est une matrice de type 3 × 3 à coefficients complexes.
2.
0
5
7


1
 6 

3. 
 −5  est une matrice de type 4 × 1 à coefficients réels.
7
4. 1 −1 2 4 5 est une matrice de type 1 × 5 à coefficients réels.
On note aij le coefficient qui se situe
matrice de type n × p est de la forme :

a11
 a21

 a31

 ..
 .
à l’intersection de la ligne i et la colonne j. Ainsi toute
···
···
···
..
.
a1p
a2p
a3p
..
.
an1 an2 an3 · · ·
anp
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
..
.







Une matrice carrée d’ordre n est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes
(n = p).
35
36
CHAPITRE 4. CALCUL MATRICIEL
Une matrice de type n × 1 est dite un vecteur colonne. De même une matrice de type 1 × p est
dite un vecteur ligne.
Notation 4.1.1 On note Mn,p (K) l’ensemble des matrices de type n × p à coefficents dans K.
Si A est un une matrice de Mn,p (K) on note A = (aij ), avec aij le coefficient qui se situe à
l’intersection de la ligne i et la colonne j.
Deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) sont égales si elles sont de même type n × p et si aij = bij
pour ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p.
Une matrice (aij ) ∈ Mn,p (K) dont tous les coefficients aij sont nuls s’appelle la matrice nulle de
Mn,p (K). On la note 0Mn,p (K) .
Une matrice carrée (aij ) d’ordre n telle que aii = 1 et aij = 0 lorsque i 6= j s’appelle la matrice
identité d’ordre n. On la note In .
Exemples 4.1.2
I2 =

1
 0
I4 = 
 0
0
1 0
0 1
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
On définit sur les matrices des opérations d’addition, de multiplication et de transposition comme
suit :
Addition Soit A = (aij ) et B = (bij ) deux matrices du même type n × p. La somme de A et
B, que l’on note A + B, est la matrice C = (cij ) de type n × p définie par
cij = aij + bij
∀1 ≤ i ≤ n
∀1 ≤ j ≤ p.



1 2 −3
2
 4 2 0 
 1


Exemple 4.1.1 Soient les deux matrices A = 
 3 1 −3  et B =  2
−1 0 3
1
M4,3 (R). Alors


3 5 −5
 5 4 −1 

A+B =
 5 5 −6 
0 1 6

3 −2
2 −1 
 de
4 −3 
1 3
La loi d’addition sur les matrices est commutative et associative. Précisément on a la proposition
suivante :
Proposition 4.1.1
— ∀A, B ∈ Mn,p (K) A + B = B + A.
— ∀A, B, C ∈ Mn,p (K) (A + B) + C = A + (B + C).
— ∀A ∈ Mn,p (K) A + 0Mn,p (K) = 0Mn,p (K) + A.
4.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
37
Multiplication par un scalaire Soit A = (aij ) une matrice de type n × p et soit λ ∈ K. La
multiplication de A par λ, que l’on note λA, est la matrice C = (cij ) de type n × p définie par
cij = λaij
∀ 1 ≤ i ≤ n ∀1 ≤ j ≤ p.

1
 4
Exemple 4.1.2 Soit la matrice A = 
 3
−1

3
 12
3A = 
 9
−3

2 −3 1
2 0 2 
 Alors
1 −3 4 
0 3 1

6 −9 3
6 0
6 

3 −9 12 
0 9
3

1
2
 2
1
A=
 3
2
2
− 12
1 − 32
1 0
1
3
2 −2
3
0 2
1
2

1 

2 
1
2
Notation 4.1.2 Si A est une matrice on note −A la matrice (−1)A.
Produit de matrices On commence par définir le produit d’un vecteur ligne de type 1 × p
par un vecteur colonne de type p × 1.

Définition 4.1.2 Soit U =
a11 a12 · · ·
a1p


et V = 

b11
b21
..
.



 . Le produit de U par V ,

bp1
que l’on note U V , est le scalaire défini par
U V = a11 b11 + a12 b21 + · · · + a1p bp1 .

Exemples 4.1.3 Soit U =

2
 −1 

1 2 −2 4 et V = 
 3  . Alors U V = 2 − 2 − 6 + 4 = −2.
1
On définit maintenant le produit de deux matrices A et B. Pour que ce produit soit défini il faut
que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.
Définition 4.1.3 Soit A une matrice de type n × p et B une matrice de type p × m. Le produit
de A par B, que l’on note AB, est la matrice C = (cij ) de type n × m, avec cij est le produit de
la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B. Plus concrètement :
cij =
p
X
k=1
aik bkj
1≤i≤n
1 ≤ j ≤ m.
38
CHAPITRE 4. CALCUL MATRICIEL


1
2 3
 −2 0 4 


Exemples 4.1.4
1. Soit A = 
 1 −1 1  et B =
−2 4 1
bien défini et la matrice AB est de type 4 × 2. On a alors


1 3
−3 2  . Le produit AB est
2 1
:


1
10
 6
−2 
.
AB = 
 6
2 
−12 3
Le produit BA n’est
de lignes de A.

1 3
2. Soit A =  −3 2
2 1
pas défini puisque le nombre de colonnes de B est différent du nombre



1
3
2  et V =  2  . Le produit AV est bien défini et on a
1
−1


8
AV =  −7  .
7
La loi de multiplication sur les matrices est associative mais n’est pas commutative. On a la
proposition suivante :
Proposition 4.1.2
1. La multiplication est associative mais n’est pas commutative.
— ∀A ∈ Mn,p (K) ∀B ∈ Mp,q (K) ∀C ∈ Mq,r (K) (AB)C = A(BC).
— ∀A ∈ Mn,n (K) AIn = In A = A.
2. La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
— ∀A ∈ Mn,p (K) ∀B, C ∈ Mp,q A(B + C) = AB + AC.
— ∀A, B ∈ Mn,p ∀C ∈ Mp,q (A + B)C = AC + BC.
1 2
0 1
1. Soit A =
et B =
.
−1 3
2 1
4 3
−1 3
On a AB =
et BA =
. Ceci montre que la multiplication de ma6 2
1 7
trices n’est pas commutative.
Exemples 4.1.5
Transposition
Définition 4.1.4 Soit A = (aij ) une matrice de type n × p. On appelle transposée de A, que
l’on note AT , la matrice AT = (bij ) de type p × n et définie par
bij = aji , ∀1 ≤ i ≤ j ∀1 ≤ j ≤ p.
4.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS

Exemples 4.1.6

2 −1
4 0 
.
1 6 
1 −3

1 3
AT =  2 4
−1 0
1
 3
1. Soit A = 
 2
−2
2. Soit le vecteur ligne U =
39
La transposée de A est

2 −2
1 1 .
6 −3
1 2 −1 2 . Alors U T est le vecteur colonne


1
 2 

UT = 
 −1  .
2


1 2 1
3. Soit A =  3 −1 0  . La transposée de A est
2 2 6


1 3 2
AT =  2 −1 2  .
1 0 6
Définition 4.1.5 Une matrice carrée A est symétrique si AT = A. Elle est antisymétrique si
AT = −A.


1 2 −1
Exemples 4.1.7
1. La matrice  2 4 0  est symétrique.
−1 0 6


0 2 −1
2. La matrice  −2 0 −1  est antisymétrique.
1 1 0
Proposition 4.1.3
1. Soit A une matrice de type n × p. alors (AT )T = A.
2. Soit A et B deux matrices de type n × p. Alors (A + B)T = AT + B T .
3. Soit A une matrice de type n × p et B une matrice de type p × m. Alors (AB)T = B T AT .
Définition 4.1.6 Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée B
d’ordre n telle que AB = BA = In . On note A−1 la matrice B et on l’appelle l’inverse de A.
1. Pour tout entier naturel n ∈ N? la matrice In est inversible et In−1 = In .
2 1
2. La matrice A =
est inversible et on a
−1 2
1 2 −1
A−1 =
.
5 1 2
Exemples 4.1.8
40
CHAPITRE 4. CALCUL MATRICIEL


1 2 1
3. La matrice A =  0 1 −1  est inversible et on a
2 1 1
A−1


−2 1
3
1
2
1 −1  .
=
4
2 −3 −1


1 1 −1
4. Soit la matrice A =  2 −2 1  . On a A3 − 6A + 7I3 = 0M3,3 (K) , donc
0 1
1
1
1
A( (−A2 + 6I3 )) = ( (−A2 + 6I3 ))A = I3 .
7
7
Ceci montre que A est inversible et
A−1


3
2 1
1
1
= ( (−A2 + 6I3 )) =  2 −1 3  .
7
7
−2 1 4
Nous allons voir dans la suite comment caractériser les matrices inversibles et comment calculer
leurs inverses.
4.2
Déterminant d’une matrice carrée
Le déterminant d’une matrice A est un scalaire qui donne des informations sur A. Nous allons
le définir par induction sur l’ordre en commençant par les matrices d’ordre 2. Dans la suite on
le note det(A) ou |A|.
a c
Définition 4.2.1 Soit A =
une matrice d’ordre 2. Le déterminant de A est le scalaire
b d
ad − bc.
1 2
Exemples 4.2.1 Le déterminant de la matrice
est égal à −2.
3 4
Le déterminant d’une matrice d’ordre 3 est défini à partir des déterminants de matrices d’ordre
2.


a11 a12 a13
Définition 4.2.2 Soit A =  a21 a22 a23  une matrice carrée d’ordre 3. Le déterminant
a31 a32 a33
de A est le scalaire
det(A) = a11
Exemples 4.2.2
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
1. Le déterminant de la matrice identité I3 est égal à 1.
.
4.2. DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE
41


1 1 −1
2. Soit A =  2 −2 1  .
0 1
1
Le déterminant de A est
det(A) =

2
3. Soit B =  1
1
Le déterminant
−2 1
1 1
−
−2 2
1 2
−3
2 1
0 1
−
2 −2
0 1
= −7.

3 5
−2 2  .
1 2
de B est
det(B) = 2
1 2
1 2
+5
1 −2
1 1
= 3.
On donne maintenant la définition du déterminant d’une matrice d’ordre quelconque. Pour
une matrice carrée A d’ordre n on note ∆ij le déterminant de la matrice carrée d’ordre n − 1
obtenue en supprimant la i-éme ligne et la j-ème colonne de A.
Définition 4.2.3 Soit A une matrice d’ordre n. Le déterminant de A est le scalaire
det(A) = a11 ∆11 − a12 ∆12 + a13 ∆13 + · · · + (−1)1+k a1k ∆1k + · · · + (−1)1+n a1n ∆1n .
Remarque 4.2.1 Si A = (a) est une matrice carrée d’ordre 1 on définit son déterminant par
det(A) = a.


1 2 −1 3
 0 1
2 1 

Exemples 4.2.3
1. Soit A = 
 2 −1 3 1  . Le déterminant de A est
2 −1 1 2
det(A) =

2
 0
2. Soit B = 
 0
0
1 2 1
−1 3 1
−1 1 2
0 2 1
−2 2 3 1
2 1 2
−
0 1 1
2 −1 1
2 −1 2
0 1 2
− 3 2 −1 3
2 −1 1
= 15.

2 −1 3
1 2 1 
 . Le déterminant de B est
0 3 1 
0 0 2
1 2 1
det(B) = 2 0 3 1
0 0 2
0 2 1
−2 0 3 1
0 0 2
−
0 1 1
0 0 1
0 0 2
0 1 2
−3 0 0 3
0 0 0
= 12.
La proposition suivante montre que le déterminant d’une matrice est invariant par développement
suivant les lignes ou suivant les colonnes.
Proposition 4.2.1 Soit A une matrice d’ordre n. Alors
42
CHAPITRE 4. CALCUL MATRICIEL
1. Pour tout 1 ≤ i ≤ n on a
det(A) = (−1)i+1 ai1 ∆i1 +(−1)i+2 ai2 ∆i2 +(−1)i+3 ai3 ∆i3 +· · ·+(−1)i+k aik ∆ik +· · ·+(−1)i+n ain ∆in .
2. Pour tout 1 ≤ j ≤ n on a
det(A) = (−1)j+1 a1j ∆1j +(−1)j+2 a2j ∆2j +(−1)j+3 a3j ∆3j +· · ·+(−1)j+k akj ∆kj +· · ·+(−1)j+n anj ∆nj .
Cette proposition montre que le calcul du déterminant devient plus simple en développant suivant
la ligne ou la colonne qui contient plus de zéros.


2 2 −1 3
 0 1 2 1 

Exemples 4.2.4
1. Soit B = 
 0 0 3 1  . On développe le déterminant suivant la
0 0 0 2
première colonne. Alors
1 2 1
det(B) = 2 0 3 1 = 12.
0 0 2


a d e
2. Soit A =  0 b f , avec a, b, c, d, e, f des éléments de K. On développe le déterminant
0 0 c
b f
= abc.
suivant la première colonne. Alors det(A) = a
0 c


a 0 0
3. Soit C =  d b 0 , avec a, b, c, d, e, f des éléments de K. On développe le déterminant
e f c
b 0
suivant la première ligne. Alors det(A) = a
= abc.
f c
Définition 4.2.4 Soit A = (aij ) une matrice carrée d’ordre n. On dit que A est triangulaire
supérieure si aij = 0 pour i > j. Elle est dite triangulaire inférieure si aij = 0 pour i < j.

Exemples 4.2.5
1. La

−2 0
2. La matrice  5 3
4 2

1 2 2
matrice  0 −1 4  est une matrice triangulaire supérieure.
0 0 7

0
0  est une matrice triangulaire inférieure.
5
Proposition 4.2.2 Soit A = (aij ) et B deux matrices carrées d’ordre n. Alors
1. det(AT ) = det(A).
2. Si A est triangulaire supérieure ou inférieure alors det(A) =
3. det(AB) = det(BA) = det(A)det(B).
Qn
i=1 aii .
4.2. DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE
43
Une matrice carrée A = (aij ) est diagonale si elle est triangulaire supérieure et inférieure à la
fois. Autrement dit, A est diagonale si aij = 0 pour i 6= j.
Exemple 4.2.1
1.
2
 0
2. La matrice 
 0
0

La
0
3
0
0
matrice identité In est une matrice diagonale.

0 0
0 0 
 est une matrice diagonale.
−4 0 
0 8
La proposition suivante donne des techniques qui facilitent le calcul des déterminants. Pour une
matrice carrée A on note Li le vecteur ligne formé des coefficients de la i-ème ligne de A. De
même on note Cj le vecteur colonne formé des coefficients de la j-ème colonne de A.
Proposition 4.2.3 Soit A une matrice d’ordre n et λ ∈ K. On a les propriétés suivantes :
1. Si les coefficients d’une ligne ou d’une colonne de A sont tous nuls alors le déterminant
de A est nul.
2. Si on multiplie une ligne ou une colonne de A par λ alors le déterminant est multiplié par
λ.
3. det(λA) = λn det(A). En particulier det(−A) = (−1)n det(A).
4. Si on remplace une ligne Li par Li + λLj , avec i 6= j, alors le déterminant ne change pas.
5. Si on remplace une colonne Ci par Ci + λCj , avec i 6= j, alors le déterminant ne change
pas.


0 2 −1 3
 0 1
2 1 

Exemples 4.2.6
1. Soit A = 
 0 −4 3 1  . On a det(A) = 0 car A contient une
0 2
0 2
colonne nulle.


2 −1 1
2. Soit B =  2 −2 2  . On remplace la première colonne C1 par C1 + C2 . Ainsi
−3 3 2
|B| =
2 −1 1
2 −2 2
−3 3 2
=
1 −1 1
0 −2 2
0 3 2
= −10.


2 2 1
3. Soit B =  2 2 1  . On remplace la première ligne L1 par L1 − L2 . Ainsi
−3 3 2
|B| =
0 0 0
2 2 1
−3 3 2
= 0.
On peut maintenant donner une caractérisation des matrices inversibles et calculer leurs inverses.
44
CHAPITRE 4. CALCUL MATRICIEL
Définition 4.2.5 Soit A = (aij ) une matrice carrée d’ordre n. On appelle comatrice de A, que
l’on note com(A), la matrice carrée d’ordre n définie par com(A) = (bij ) avec
bij = (−1)i+j ∆ij
Exemples 4.2.7
1. Soit A =
a b
c d
∆11 = d
avec a, b, c, d ∈ K. On a
∆12 = c
∆21 = b
∆22 = a
Donc
com(A) =
d −c
−b a
.


1 2 −1
2. Soit B =  2 0 2  . On a
2 1 2
∆11 =
0 2
1 2
∆22 =
= −2, ∆12 =
1 −1
2 2
2 2
2 2
= 0, ∆13 =
1 2
2 1
= 4, ∆23 =
1 −1
2 2
∆32 =
2 0
2 1
= 2, ∆21 =
= −3, ∆31 =
= 4, ∆33 =
1 2
2 0
2 −1
0 2
2 −1
1 2
=5
=4
= −4
Ainsi


−2 0
2
3 .
com(B) =  −5 4
4 −4 −4
Théorème 4.2.1 Soit A une matrice carrée. Alors :
1. A est inversible si, et seulement si, le déterminant de A est non nul.
2. Lorsque A est inversible l’inverse de A est
A−1 =
1
com(A)T .
det(A)
a b
d −c
Exemples 4.2.8
1. Soit A =
avec a, b, c, d ∈ K. On a com(A) =
.
c d
−b a
Si ad − bc 6= 0 la matrice A est inversible et
A−1 =
1
1
(com(A))T =
ad − bc
ad − bc
d −b
−c a
.
4.2. DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE
45


1 2 −1
2. Considérons la matrice B =  2 0 2  de l’exemple précédent. On remplace L3 par
2 1 2
L3 − L2 puis on développe le déterminant suivant la troisième ligne :
det(B) =
1 2 −1
2 0 2
2 1 2
=
1 2 −1
2 0 2
0 1 0
= −4.
Comme det(B) est non nul la matrice B est inversible et


−2 −5 4
1
1
4 −4  .
B −1 =
(com(B))T = −  0
det(B)
4
2
3 −4
46
CHAPITRE 4. CALCUL MATRICIEL
Chapitre 5
Résolution des systèmes linéaires
Dans tout ce chapitre, la lettre K désigne le corps des réels R ou celui des complexes C.
5.1
Systèmes linéaires
Définition 5.1.1 Une équation linéaire en les variables x1 , x2 , . . . , xp à coefficients dans K est
une relation de la forme
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + · · · + ap xp = b
où a1 , . . . , ap , b 
sont des
 éléments de K. Le scalaire b est le terme constant de l’équation. Un
s1
 s2 


vecteur colonne  .  est une solution de cette équation si la relation a1 s1 +a2 s2 +. . .+ap sp = b
 .. 
sp
est vérifiée.
Définition 5.1.2 Soient n, p deux entiers positifs.
la donnée de n équations linéaires en p variables à


 a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · ·

 a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · ·







Le vecteur colonne 

an,1 x1 + an,2 x2 + · · ·
s1
s2
..
.
Un système linéaire à coefficients dans K est
coefficients dans K :
+ a1,p xp
+ a2,p xp
= d1
= d2
..
.
(5.1)
+ an,p xp = dn



 est une solution de ce système s’il est solution de toutes ses équations.

sp
Remarque 5.1.1 Les variables d’un système linéaire s’appellent aussi les inconnues du système.
Résoudre un système linéaire c’est déterminer l’ensemble de ses solutions.
47
48
CHAPITRE 5. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Exemples 5.1.1
1. L’équation 2x − 3y = 1 admet une infinité de solutions. L’ensemble de
ses solutions est
x
, x∈K .
2x−1
3
2. Le système
2x + 2y = 1
x+y =0
n’admet pas de solutions.
5.2
Système de Cramer
Soit A = (aij ), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p la matrice de Mn,p (K) dont les coefficients aij sont ceux
du système linéaire (5.1). Posons




x1
d1
 x2 
 d2 




X =  .  et B =  .  .
.
.
 . 
 . 
xp
dn
Avec ces notations le système linéaire (5.1) devient
AX = B.



Ainsi résoudre (5.1) revient à déterminer tous les vecteurs colonnes S = 

s1
s2
..
.



 vérifiant AS =

sp
B.
Dans un premier temps on suppose que n = p et que A est inversible. Avec ces conditions on dit
que le système (5.1) est un système de Cramer.
Proposition 5.2.1 Un système de Cramer admet une unique solution donnée par
S = A−1 B.
Exemple 5.2.1 Soit à résoudre le système de Cramer :
2x + 3y = 1
3x + 5y = 2
L’écriture matricielle de ce système est
A
avec A =
2 3
3 5
x
y
=
1
2
,
5 −3
−1
. Comme A =
l’unique solution du système est
−3 2
1
5 −3
1
−1
A−1
=
=
.
2
−3 2
2
1
5.2. SYSTÈME DE CRAMER
49
On peut calculer la solution unique d’un système de Cramer sans avoir calculé A−1 .
Notation 5.2.1 Pour 1 ≤ i ≤ n on désigne par Ai la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la i-ème colonne de A par le vecteur colonne B et on note ∆xi son déterminant :
∆xi = det(Ai ).
On a le théorème suivant :
Théorème 5.2.1 Soit un système de Cramer
AX

 = B. Posons ∆ = det(A). Alors le système
s1
 s2 


AX = B admet une unique solution S =  . , avec
 .. 
sp
si =
Exemples 5.2.1
∆ xi
∆
1 ≤ i ≤ n.
1. Soit le système linéaire à deux équations et deux inconnues
ax + by = e
,
cx + dy = f
avec a, b, c, d, e, f des scalaires et x, y les inconnues.
Supposons que ce système est un système
de Cramer, c’est-à-dire ∆ = ad − bc 6= 0. Il
x
avec
admet donc une sunique solution
y
x=
∆x
=
∆
e b
f d
∆
et
y=
∆y
=
∆
a e
c f
.
∆
2. Soit le système linéaire

 2x + y − z = 1
x + y + z = 3 ,

−x + 2y + z = 2
On a
∆=
2 1 −1
1 1 1
−1 2 1
= −7.
Donc il s’agit d’un système de Cramer. On a
1 1 −1
3 1 1
2 2 1
2 1
∆x =
= −6, ∆y = 1 3
−1 2

6
1
5
Alors l’unique solution est le vecteur colonne 7
10
−1
1
1

.
= −5,
∆z =
2 1 1
1 1 3
−1 2 2
= −10
50
CHAPITRE 5. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES
5.3
Méthode de Gauss
La méthode de Gauss permet de transformer un système linéaire en un autre système qui a
les mêmes solutions et qui est facile à résoudre.
Théorème 5.3.1 (Méthode de Gauss) Si un système linéaire est transformé en un autre par
l’une des opérations suivantes :
1. une équation est échangée avec une autre
2. une équation est multipliée par une constante non nulle
3. une équation est remplacée par la somme d’elle même et une autre équation multipliée par
une constante non nulle
alors les deux systèmes ont les mêmes solutions. On dira alors que les deux systèmes sont équivalents.
Définition 5.3.1 Les trois transformations du théorème 5.3.1 s’appellent les transformations
élémentaires, ou les transformations de Gauss.
Pour des raisons de simplicité on utilise la représentation matricielle d’un système linéaire.
Le système linéaire (5.1) est représenté par la matrice augmentée





···
···
..
.
a1,p
a2,p
..
.
an,1 am,2 · · ·
an,p
a1,1
a2,1
..
.
a1,2
a2,2
..
.

| d1
| d2 

.. .. 
. . 
| dn
(5.2)
Etant donné un système linéaire, On parle d’équation ou de ligne et on note la ième ligne par
`i .
Exemple 5.3.1 Appliquons la méthode de

 2x + 6y
3x + 11y

5x + 16y
Gauss au système suivant :
− 4z = 4 `1
− 2z = 8 `2 (5.3)
− 7z = 12 `3
La matrice augmentée de ce système est


2 6 −4 | 4
 3 11 −2 | 8 
5 16 −7 | 12
`1
`2
`3
On multiplie la première ligne par 21 , on obtient


1 3 −2 | 2
 3 11 −2 | 8 
5 16 −7 | 12
1
2 `1
`2
`3
5.3. MÉTHODE DE GAUSS
51
On remplace `2 par `2 − 3`1 et on remplace `3 par `3 − 5`1 , ce qui donne


1 3 −2 | 2
 0 2 4 | 2  `2 − 3`1
0 1 3 | 2
`3 − 5`1
On multiplie la deuxième ligne du système obtenu par
ligne, on aura
1
2
et on retranche son opposé de la troisième


1 3 −2 | 2
 0 1 2 | 1 
0 0 1 | 1
1
2 `2
`3 − 21 `2
(5.4)
Le système correspondant à cette représentation matricielle est

−2z = 2
 x + 3y
y + 2z = 1

z
= 1
La solution est maintenant facile à calculer. La troisième ligne montre que z = 1. On substitue
le résultat dans la deuxième ligne et on obtient y = −1 et finalement on obtient x = 7.
Etudions un autre exemple
Exemple 5.3.2 Soit le système

 2x − 2y + 2z = 0 `1
2x + 2y + −2z = 0 `2

y −
z
= 2 `3
La matrice augmentée du système est


2 −2 2 | 0
 2 2 −2 | 0 
0 1 −1 | 2
On remplace `2 par `2 − `1 , ce qui donne


2 −2 2 | 0
 0 4 −4 | 0 
0 1 −1 | 2
On multiplie la deuxième ligne du système obtenu par
ligne, on aura
`1
`2
`3
`2 − `1
1
4

2 −2 2 | 0
 0 1 −1 | 0 
0 0
0 | 2
et on retranche son opposé de la troisième

1
4 `2
`3 − 14 `2
52
CHAPITRE 5. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Le système correspondant à cette représentation matricielle est

+2z = 0
 2x − 2y
y −
z
= 0

0
= 2
La troisième équation est contradictoire et donc le système n’admet pas de solutions.
Dans un système linéaire, on peut avoir plus d’équations que d’inconnues ou moins d’équations
que d’inconnues.
Exemple 5.3.3 Le système

 2x + 4y = −4
x − 3y = 3

−x + 2y = −2
a trois équations et deux inconnues. Appliquons la méthode de Gauss à ce système.
La matrice augmentée du système est comme suit :


2
4 | −4
 1 −3 | 3 
−1 2 | −2
On multiplie la première ligne par 1/2 :


1
2 | −2
 1 −3 | 3 
−1 2 | −2
`1
`2
`3
1
2 `1
`2
`3
On remplace `2 par `2 − `1 et on remplace `3 par `3 + `1 :


1 2 | −2
 0 −5 | 5  `2 − `1
0 4 | −4
`3 + `1
On multiplie `2 par
1
5
et `3 par − 41 :


1 2 | −2
 0 −1 | 1 
0 −1 | 1
1
5 `2
− 41 `3
La troisième équation du système correspondant est équivalente à la deuxième équation. On
dit qu’elle est redondante et on peut l’éliminer du système. Notre système est transformé en ce
qui suit :
x + 2y = −2
−y = 1
On obtient donc y = −1 et x = 0.
5.4. ENSEMBLE DES SOLUTIONS D’UN SYSTÈME LINÉAIRE
53
Un système linéaire peut avoir une infinité de solutions comme le montre l’exemple suivant :
Exemple 5.3.4 Soit le système

 2x − 2y + 2z + w = 1
2x + 2y − 2z − w = 0

x + y − z + w = 1
La matrice augmentée associée est


2 −2 2
1 | 1
 2 2 −2 −1 | 0 
1 1 −1 1 | 1


1 −1 1
1/2 | 1/2
 1 1 −1 −1/2 | 0 
1 1 −1
1
| 1

1 −1 1 1/2 | 1/2
 0 2 −2 −1 | −1/2 
0 2 −2 1/2 | 1/2
`1
`2
`3
1
2 `1
1
2 `2
`3


1 −1 1
1/2 | 1/2
 0 1 −1 −1/2 | −1/4 
0 0
0
3/2 |
1
`2 − `1
`3 − `1

1
2 `2
`3 − `2
Le système correspondant à cette représentation matricielle est

 x − y + z + 12 w = 12
+ y − z − 12 w = − 14

3
1
2w =

1/4



z + 1/12
L’ensemble des solutions du système est égal à l’ensemble 

z



2/3
5.4





 :z∈K .





Ensemble des solutions d’un système linéaire
Définition 5.4.1 Dans un système linéaire, une équation est redondante si elle est le multiple
d’une autre équation. Une équation est contradictoire si elle est de la forme 0 = c, où c est une
constante non nulle.
54
CHAPITRE 5. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Définition 5.4.2 Etant donné un système linéaire. Un ordre sur les variables du système est
un classement de ses variables. Dans une équation, la première variable à coefficient non nul est
dite sa variable principale . Un système linéaire est dit en forme échelon si ses équations, qui ne
sont ni redondantes ni contradictoires, ont des variables principales distinctes deux à deux.
Exemple 5.4.1 Regardons l’exemple 5.3.1 où on classe les variables selon l’ordre x, y, z. La
variable x est la variable principale de toutes les équations du système en question, il n’est pas
en forme échelon. Par contre le système correspondant à la représentation matricielle (5.4) est
un système en forme échelon. La première équation (respectivement la deuxième et la troisième)
admet la variable x (respectivement y et z) comme variable principale.
Théorème 5.4.1 Soit S1 un système de la forme (5.1). Alors par les transformations élémentaires, le système S1 se transforme en un système S2 en forme échelon.
Soit le système lináire à m équations

a1,1 x1 +



 a2,1 x1 +
S1




an,1 x1 +
en n variables :
a1,2 x2
a2,2 x2
+ ···
+ ···
am,2 x2 + · · ·
+ a1,p xp
+ a2,p xp
= d1
= d2
..
.
+ an,p xn = dn
Le dernier théorème dit qu’en appliquant des transformations élémentaires à S1 , on obtient un
système linéaire S2 en forme échelon et qui admet les mêmes solutions que S1 :

E1




E2




..


.

Er
S2


c1
 0 =



..


.



0 = cn−r
où E1 , E2 , . . . , Er sont des équations linéaires de variables principales distinctes deux à deux et
c1 , . . . , cn−r sont des scalaires. On dit que S2 est une forme échelon de S1 .
Théorème 5.4.2 Soit S1 un système linéaire












S2


0









0
une forme échelon de S1 .
et soit
E1
E2
..
.
Er
=
=
c1
..
.
cn−r
5.4. ENSEMBLE DES SOLUTIONS D’UN SYSTÈME LINÉAIRE
55
— Si l’un des scalaires c1 , . . . , cn−r est non nul alors le système n’admet pas de solutions.
— Si les scalaires c1 , . . . , cn−r sont tous nuls alors le système admet au moins une solution.
Exemple 5.4.2

x



+ 2y
−3z = 4 `1
+ y + 2z = 5 `2
z
= 2 `3
 3x − y +


x
+
z
= 1 `4
La matrice augmentée associée est


1 2 −3 | 4
 0 1
2 | 5 


 3 −1 1 | 2 
1 0
1 | 1
`1
`2
`3
`4
On remplace `3 par `3 − 3`1 et on remplace `4 par `4 − `1 , ce qui donne


1 2 −3 |
4
`1
 0 1

2 |
5 
`2

 0 −7 10 | −10  `3 − 3`1
0 −2 4 | −3
`4 − `1
On remplace `3 par `3 + 7`2 et `4 par `4 + 2`2 , on obtient

1
 0

 0
0

2 −3 | 4
1 2 | 5 

0 24 | 25 
0 8 | 7
`1
`2
`3 + 7`2
`4 + 2`2
On remplace `4 par `4 − 13 `3 , le système se transforme en

1
 0

 0
0

2 −3 |
4
1 2 |
5 

0 24 |
25 
0 0 | −4/3
`1
`2
`3
`4 − 13 `3
Le système correspondant à cette représentation matricielle est

x + 2y
−3z =
4



y + 2z =
5
24z
=
25



0
= −4/3
qui est en forme échelon. Ce système n’admet pas de solutions.
Définition 5.4.3 Dans une forme échelon d’un système linéaire, une variable qui n’est pas une
variable principale s’appelle une variable indépendante du système.
56
CHAPITRE 5. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Exemple 5.4.3 Dans l’exemple 5.3.4, la variable z n’est la variable principale d’aucune équation, c’est une variable indépendante.
Une variable utilisée dans la description des solutions d’un système linéaire s’appelle un
paramètre.
Remarque 5.4.1 Une variable peut être un paramètre sans qu’elle est indépendante. Dans
l’exemple 5.3.4, on peut paramétriser l’ensemble des solutions par y en écrivant z = y − 1/12.
Par contre une variable indépendante est toujours un paramètre.
Théorème 5.4.3 Soit S un système linéaire, de la forme (5.1), qui admet des solutions et soit
k le nombre de ses variables indépendantes. Alors il existe k éléments de Kn , v1 , . . . , vk tels que
l’ensemble des solutions de ce système est de la forme
{v + α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk |α1 , α2 , · · · , αk ∈ K},



où v = 

s1
s2
..
.



 est une solution particulière du système.

sn
Remarque 5.4.2 Les éléments v1 , . . . , vk du dernier théorème sont des solutions du système
Sh

a1,1 x1



 a2,1 x1




+
+
a1,2 x2
a2,2 x2
+ ···
+ ···
an,1 x1 + am,2 x2 + · · ·
+ a1,p xp
+ a2,p xp
= 0
= 0
..
.
+ an,p xp = 0
appelé système homogène associé à S.
Exemple 5.4.4 Pour l’exemple 5.3.4, l’ensemble des solutions est

1/4



z
+
1/12
S= 

z



2/3
 


1/4
0




 


 1
1/12
 :z∈K = 



 0 +z 1



 

2/3
0

Exemple 5.4.5 Considérons le système

x




 2x
x


−x



−x
+ y
+ y + z
+ 2y − z
− z
+ y − 2z
+
w
= 0
+ t = 0
+ w + 2t = 0
− 3w + 5t = 0
+ w + t = 0





 :z∈K





5.4. ENSEMBLE DES SOLUTIONS D’UN SYSTÈME LINÉAIRE
57
Puisque les termes constants des équations du système sont tous nuls, on applique la méthode de
Gauss à la matrice du système :
























1
2
1
−1
−1
1 0
1 0
1 1
0 1
2 −1 1 2
0 −1 −3 5
1 −2 1 1
1 1
0
1 0
0 −1 1 −2 1
0 1 −1 0 2
0 1 −1 −2 5
0 2 −2 2 1
1 1 0 1 0
0 −1 1 −2 1
0 0 0 −2 3
0 0 0 −4 6
0 0 0 −2 3













`1
`2
`3
`4
`5
`1
`2 − 2`1
`3 − `1
`4 + `1
`5 + `1





`1
`2
`3 + `2
`4 + `2
`5 + 2`2

1 1 0 1 0
0 −1 1 −2 1 

0 0 0 −2 3 

0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0
`1
`2
`3
`4 − 2`3
`5 − `3
Une forme échelon de notre système est

x + y
+ w
=




− y + z − 2w + t =

− 2w + 3t =


0 =



0 =
0
0
0
0
0
Les équations 3 et 4 du dernier système sont redondantes. Les variables indépendantes sont z, t.
L’ensemble des solutions est

  




1 
t
−z
+
−1
1/2




2











 1 
 −2 

 z − 2t 









 : z, t ∈ K = z  1  + t  0  : z, t ∈ K
z










3






 0 
 3/2 
t





 


2



t
0
1
58
CHAPITRE 5. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES
5.5
5.5.1
Calcul du déterminant et de l’inverse d’une matrice par la
méthode de Gauss
Déterminant d’une matrice
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K. En appliquant la méthode de Gauss
à A, on obtient une matrice triangulaire supérieure T .
— Si l’un des coefficients diagonaux de T est nul alors le déterminant de A est nul.
— Supposons que tous les coefficients diagonaux ti,i de T sont non nuls et posons D =
t1,1 t2,2 · · · tn,n . On détermine le déterminant de A comme suit : chaque fois que l’on échange
une ligne avec une autre, on multiplie D par −1 et chaque fois que l’on multiplie une ligne
par un scalaire non nul α on multiplie D par α1 . Le scalaire obtenu est le déterminant de
A.
Exemple 5.5.1 Soit la matrice


0 1 3
A= 5 7 1 
2 −1 3
Utilisons la méthode de Gauss pour calculer le déterminant de A.


1 7/5 1/5
 0 1
3  on ćhange `1 et `2 et on multiplie `1 par
2 −1
3

1
7/5
1/5
 0
1
3 
0 −19/5 13/5
1
5


1 7/5 1/5
3 
T = 0 1
0 0
14
on remplace `3 par `3 − 2`1

on remplace `3 par `3 +
19
5 `2
Comme on a multiplé une ligne par 1/5 on multiplie le déterminant de T par 5, ce qui donne
70 et comme on a échangé la ligne 1 avec la ligne 2, on doit multiplier notre résultat par −1. Le
déterminant de A est −70.
5.5.2
Soit
Inverse d’une matrice



A=

···
···
a1,n
a2,n
..
.
an,1 an,2 · · ·
an,n
a1,1
a2,1
..
.
a1,2
a2,2





une matrice inversible d’ordre n et à coefficients dans K.
Pour calculer l’inverse de A on augmente A par la matrice identité et on applique la méthode
5.5. CALCUL DU DÉTERMINANT ET DE L’INVERSE D’UNE MATRICE PAR LA MÉTHODE DE GAUSS59
de Gauss à la matrice obtenue jusqu’à transformer A en In . La matrice obtenue à la place de la
matrice identité est l’inverse de A.
L’exemple suivant illustre cette méthode.
Exemple 5.5.2 Appliquons la méthode de Gauss pour calculer l’inverse de la matrice


1 2 −2
0 
A= 2 2
2 −2 4
On augmente la matrice A par I3 , on obtient

1 2 −2
 2 2
0
2 −2 4
On applique

1
 0
0
:

| 1 0 0
| 0 1 0 
| 0 0 1
maintenant la méthode décrite dans le paragraphe ci-dessus :

2 −2 | 1 0 0
−2 4 | −2 1 0  on remplace `2 par `2 − 2`1 et `3 par `3 − 2`1
−6 8 | −2 0 1


1 2 −2 | 1
0 0
 0 −2 4 | −2 1 0 
0 0 −4 | 4 −3 1

1 2 −2 | 1
0
 0 1 −2 | 1 − 1
2
0 0 1 | −1 34

0
0 
− 41
on remplace `3 par `3 − 3`2
on divise `2 par −2 et `3 par −4


1 2 −2 | 1 0 0
 0 1 0 | −1 1 − 1 
2
0 0 1 | −1 43 − 14
1 0 0 | 1 − 12
 0 1 0 | −1 1
0 0 1 | −1 43

Ainsi l’inverse de A est
1
2

− 12 
− 14
on remplace `1 par `1 − 2`2 + 2`3
1 − 12
=  −1 1
−1 34

A−1
on remplace `2 par `2 + 2`3
1
2

− 21 
− 14