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Variables aléatoires - exercices corrigés
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VARIABLES ALEATOIRES - EXERCICES CORRIGES
Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique
mathématiques) a été conçu pour aider tous ceux qui désirent travailler sur les variables aléatoires.
Il contient 13 exercices corrigés intégralement, classés par thèmes et/ou par niveaux.
La page JGCUAZ.FR étant en constante évolution (ajout de nouveaux exercices, améliorations), il
est conseillé de régulièrement la visiter pour y télécharger la nouvelle version de ce fichier.
Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse
électronique (qui est [e-mail] à la date du 14/01/2018)
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Montpellier, le 14/01/2018
Jean-Guillaume CUAZ,
professeur de mathématiques,
Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013
Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013
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VARIABLES ALEATOIRES - EXERCICES CORRIGES
Variables aléatoires discrètes
Exercice n°1 (correction)
On lance deux dés simultanément.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de six obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice n°2 (correction)
Une boîte contient quatre plaques sur lesquelles sont inscrits les nombres 0,1,2 et 3.
On tire une plaque, puis on tire une seconde plaque après avoir remis la première dans la boîte.
Soit X la variable aléatoire égale à la somme des deux nombres inscrits sur les plaques.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice n°3 (correction)
Un sac contient une pièce de 2 €, une pièce de 1 € et une pièce de 0,50 €.
On tire une pièce du sac, puis une autre pièce sans remettre la première dans le sac.
On note S la variable aléatoire égale à la comme d'argent obtenue.
Déterminer la loi de probabilité de S.
Exercice n°4 (correction)
Maxime participe à jeu consistant à effectuer trois tirs à l'arc. Avant de commencer, il doit choisir
s'il va effectuer ses trois tirs sur la cible A ou la cible B, sachant que :
- S'il choisit la cible A, il gagne 1 euro à chaque fois qu'il touche la cible.
- S'il choisit la cible B, il gagne 3 euros si au moins un des trois tirs a touché la cible.
- Une fois qu'il a choisi une cible pour son premier tir,il ne peut pas changer de cible en cours de jeu
- Les tirs sont indépendants les uns des autres.
Maxime estime que pour chaque tir, il a une chance sur 2 de toucher la cible A et une chance sur 3
de toucher la cible B.
1. Dans cette question, on considère que Maxime a choisi la cible A. On note GA le nombre de tirs
réussis : GA est donc aussi le gain de Maxime lorsqu'il a choisit la cible A.
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a. Déterminer la probabilité que Maxime ne gagne rien. On pourra représenter la situation à l'aide
d'un arbre probabiliste.
b. Quelles sont les valeurs possibles de GA ? Quelle est la loi de GA ? Quelle est son espérance ?
2. On suppose maintenant que Maxime a choisit la cible B. On note GB le gain en euros de Maxime.
a. Quelles sont les valeurs possibles de GB ?
b. Quelle est la probabilité pour que Maxime ne gagne rien ?
c. En déduire la loi et l’espérance de GB
3. En moyenne, laquelle des deux cibles Maxime a-t-il intérêt à choisir ?
Exercice n°5 (correction)
Une variable aléatoire X a la loi de probabilité suivante :
i
x
1
4
10
( )
i
pX x=
0,4
0,5
0,1
Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.
Exercice n°6 (correction)
La variable aléatoire X prend les valeurs 1,2,3 et 4 avec la même probabilité.
Déterminer
( )
EX
et
( )
X
σ
Exercice n°7 (correction)
Lors d'une naissance, on suppose que la probabilité d'avoir un garçon (événement G) est de 0,55.
Un couple a eu trois enfants.
1) Dessiner un arbre pondéré décrivant la situation
On note X la variable aléatoire égale au nombre de garçons qui sont nés parmi les 3 enfants
2) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
3) Traduire "en français" l'événement "
1X=
"
4) A l'aide de la question 1) :
a) Calculer la probabilité de l'événement "
1X=
"
b) Calculer
( )
0pX=
,
( )
2pX=
et
( )
3pX=
Résumer ces résultats dans le tableau :
Evénement
0X=
1X=
2X=
3X=
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Probabilité
( )
0 .....pX= =
.................... .................... ....................
5) Traduire en termes mathématiques l'événement "Le couple a eu au moins un garçon"
6) Calculer la probabilité de ce dernier événement
7) Calculer le nombre moyen de garçons qu'un couple peut espérer.
Loi binomiale
Exercice n°8 (correction)
Déterminer
7
4
,
10
5
Exercice n°9 (correction)
On jette 7 fois de suite un dé parfaitement équilibré.
Déterminer la probabilité d'obtenir exactement 4 fois la face 1.
Exercice n°10 (correction)
On tire successivement et avec remise 5 cartes parmi 32.
Déterminer la probabilité d'obtenir exactement 3 rois.
Exercice n°11 (correction)
Dans une urne contenant 2 boules blanches et 5 boules vertes on tire 4 boules successivement et
avec remise.
Déterminer la probabilité d'obtenir exactement 3 vertes.
Exercice n°12 (correction)
Un QCM est constitué de 10 questions indépendantes.
Pour chacune de ces questions 4 réponses sont proposées et une seule est exacte.
On répond au hasard aux 10 questions.
Déterminer la probabilité :
a. d'avoir les 10 réponses exactes
b. d'avoir 5 réponses exactes.
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Exercice n°13 (correction)
La probabilité pour qu'un Français soit du groupe sanguin O est de 0,43
On étudie le groupe sanguin de dix personnes prises au hasard dans la population française.
1) Quelle est la probabilité que ces dix personnes soient toutes du groupe O ?
2) Quelle est la probabilité pour qu'au moins une de ces personnes soit du groupe O ?
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