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Variables aléatoires - exercices corrigés
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VARIABLES ALEATOIRES - EXERCICES CORRIGES
Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique
mathématiques) a été conçu pour aider tous ceux qui désirent travailler sur les variables aléatoires.
Il contient 13 exercices corrigés intégralement, classés par thèmes et/ou par niveaux.
La page JGCUAZ.FR étant en constante évolution (ajout de nouveaux exercices, améliorations), il
est conseillé de régulièrement la visiter pour y télécharger la nouvelle version de ce fichier.
Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse
électronique (qui est [email protected] à la date du 14/01/2018)
Egalement disponible une page facebook
https://www.facebook.com/jgcuaz.fr
Montpellier, le 14/01/2018
Jean-Guillaume CUAZ,
professeur de mathématiques,
Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013
Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013
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VARIABLES ALEATOIRES - EXERCICES CORRIGES
Variables aléatoires discrètes
Exercice n°1 (correction)
On lance deux dés simultanément.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de six obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice n°2 (correction)
Une boîte contient quatre plaques sur lesquelles sont inscrits les nombres 0,1,2 et 3.
On tire une plaque, puis on tire une seconde plaque après avoir remis la première dans la boîte.
Soit X la variable aléatoire égale à la somme des deux nombres inscrits sur les plaques.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice n°3 (correction)
Un sac contient une pièce de 2 €, une pièce de 1 € et une pièce de 0,50 €.
On tire une pièce du sac, puis une autre pièce sans remettre la première dans le sac.
On note S la variable aléatoire égale à la comme d'argent obtenue.
Déterminer la loi de probabilité de S.
Exercice n°4 (correction)
Maxime participe à jeu consistant à effectuer trois tirs à l'arc. Avant de commencer, il doit choisir
s'il va effectuer ses trois tirs sur la cible A ou la cible B, sachant que :
- S'il choisit la cible A, il gagne 1 euro à chaque fois qu'il touche la cible.
- S'il choisit la cible B, il gagne 3 euros si au moins un des trois tirs a touché la cible.
- Une fois qu'il a choisi une cible pour son premier tir,il ne peut pas changer de cible en cours de jeu
- Les tirs sont indépendants les uns des autres.
Maxime estime que pour chaque tir, il a une chance sur 2 de toucher la cible A et une chance sur 3
de toucher la cible B.
1. Dans cette question, on considère que Maxime a choisi la cible A. On note GA le nombre de tirs
réussis : GA est donc aussi le gain de Maxime lorsqu'il a choisit la cible A.
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a. Déterminer la probabilité que Maxime ne gagne rien. On pourra représenter la situation à l'aide
d'un arbre probabiliste.
b. Quelles sont les valeurs possibles de GA ? Quelle est la loi de GA ? Quelle est son espérance ?
2. On suppose maintenant que Maxime a choisit la cible B. On note GB le gain en euros de Maxime.
a. Quelles sont les valeurs possibles de GB ?
b. Quelle est la probabilité pour que Maxime ne gagne rien ?
c. En déduire la loi et l’espérance de GB
3. En moyenne, laquelle des deux cibles Maxime a-t-il intérêt à choisir ?
Exercice n°5 (correction)
Une variable aléatoire X a la loi de probabilité suivante :
xi
1
4
10
p ( X = xi )
0,4
0,5
0,1
Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.
Exercice n°6 (correction)
La variable aléatoire X prend les valeurs 1,2,3 et 4 avec la même probabilité.
Déterminer E ( X ) et σ ( X )
Exercice n°7 (correction)
Lors d'une naissance, on suppose que la probabilité d'avoir un garçon (événement G) est de 0,55.
Un couple a eu trois enfants.
1) Dessiner un arbre pondéré décrivant la situation
On note X la variable aléatoire égale au nombre de garçons qui sont nés parmi les 3 enfants
2) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
3) Traduire "en français" l'événement " X = 1 "
4) A l'aide de la question 1) :
a) Calculer la probabilité de l'événement " X = 1 "
b) Calculer p ( X = 0 ) , p ( X = 2 ) et p ( X = 3)
Résumer ces résultats dans le tableau :
Evénement
X =0
X =1
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X =2
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X =3
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Probabilité
p ( X= 0=
) .....
....................
....................
....................
5) Traduire en termes mathématiques l'événement "Le couple a eu au moins un garçon"
6) Calculer la probabilité de ce dernier événement
7) Calculer le nombre moyen de garçons qu'un couple peut espérer.
Loi binomiale
Exercice n°8 (correction)
 7  10 
Déterminer   ,  
 4  5 
Exercice n°9 (correction)
On jette 7 fois de suite un dé parfaitement équilibré.
Déterminer la probabilité d'obtenir exactement 4 fois la face 1.
Exercice n°10 (correction)
On tire successivement et avec remise 5 cartes parmi 32.
Déterminer la probabilité d'obtenir exactement 3 rois.
Exercice n°11 (correction)
Dans une urne contenant 2 boules blanches et 5 boules vertes on tire 4 boules successivement et
avec remise.
Déterminer la probabilité d'obtenir exactement 3 vertes.
Exercice n°12 (correction)
Un QCM est constitué de 10 questions indépendantes.
Pour chacune de ces questions 4 réponses sont proposées et une seule est exacte.
On répond au hasard aux 10 questions.
Déterminer la probabilité :
a. d'avoir les 10 réponses exactes
b. d'avoir 5 réponses exactes.
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Exercice n°13 (correction)
La probabilité pour qu'un Français soit du groupe sanguin O est de 0,43
On étudie le groupe sanguin de dix personnes prises au hasard dans la population française.
1) Quelle est la probabilité que ces dix personnes soient toutes du groupe O ?
2) Quelle est la probabilité pour qu'au moins une de ces personnes soit du groupe O ?
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VARIABLES ALEATOIRES - CORRECTION
Correction de l'exercice n°1 (énoncé)
La situation peut être modélisée par le tableau à double entrée suivant, dans lequel le nombre se
trouvant à l'intersection d'une ligne et d'une colonne représente le nombre de six obtenu lors du
lancer des deux dés.
1er dé/2ème dé
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
1
4
0
0
0
0
0
1
5
0
0
0
0
0
1
6
1
1
1
1
1
2
Si on note X le nombre de six obtenus, X peut prendre pour valeurs 0,1 ou 2 et la loi de probabilité
de X est donnée par le tableau suivant :
xi
p ( X = xi )
0
p ( X= 0=
)
1
25
36
2
p ( X= 1=
)
10 5
=
36 18
p ( X= 2=
)
1
36
Correction de l'exercice n°2 (énoncé)
La situation peut être modélisée par le tableau à double entrée suivant, dans lequel le nombre se
trouvant à l'intersection d'une ligne et d'une colonne représente la somme des nombres obtenus sur
chaque plaque
1ere plaque/2ème plaque
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
4
2
2
3
4
5
3
3
4
5
6
Si on note X la somme des nombres obtenus sur chaque plaque, X peut prendre pour valeurs
0,1,2,3,4,5 ou 6 et la loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :
xi
0
1
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2
3
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4
5
6
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p ( X = xi )
p ( X= 0=
)
1
16
2 1
=
16 8
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3
16
4 1
=
16 4
3
16
2 1
=
16 8
1
16
Correction de l'exercice n°3 (énoncé)
La situation peut être modélisée par l'arbre de répétition suivant, sur lequel D,U,C désignent
respectivement les événements "on a tiré la pièce de 2 €", "on a tiré la pièce de 1 €", et "on a tiré la
pièce de 0,50 €". Pour des raisons d'équiprobabilité, les événements figurant sur la première série de
branches ont pour probabilité
probabilité
1
tandis que ceux figurant sur la deuxième série de branches ont pour
3
1
car on ne remet pas le premier jeton dans le sac avant de tirer le deuxième.
2
Si on note S la variable aléatoire égale à la comme d'argent obtenue, S peut prendre comme valeur
1,50 € , 2,50 € ou 3 €.
1 1 1 1 2 1
On a p ( S = 1,50 ) = p (U ∩ C ) + p ( C ∩ U ) = × + × = =
3 2 3 2 6 3
1 1 1 1 2 1
p ( S = 2,50 ) = p ( D ∩ C ) + p ( C ∩ D ) = × + × = =
3 2 3 2 6 3
1 1 1 1 2 1
p ( S = 3) = p ( D ∩ U ) + p (U ∩ D ) = × + × = =
3 2 3 2 6 3
La loi de probabilité de S est donc :
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si
1,50
2,50
3
p ( X = si )
1
3
1
3
1
3
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Correction de l'exercice n°4 (énoncé)
1. a. Si on note A l'événement "le joueur a atteint la cible A" et A l'événement contraire "le joueur
n'a pas atteint la cible A", la situation peut être représentée par l'arbre de probabilité suivant :
(
)
La probabilité que Maxime ne gagne rien est égale à p AAA =
1 1 1 1
× × =
2 2 2 8
b. Quelles sont les valeurs possibles de GA ? Quelle est la loi de GA ? Quelle est son espérance ?
Les valeurs possibles de GA sont 0,1,2 ou 3
(
)
On a déjà déterminé dans la question précédente que p ( G=
0=
) p AAA=
A
p ( GA = 3) = p ( AAA ) =
(
1
. De plus :
8
1 1 1 1
× × =
2 2 2 8
) (
) (
)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3
p ( GA =1) = p AAA + p AAA + p AAA = × × + × × + × × = 3 × =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 8
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1 3 1 3
Enfin, p ( GA =
2) =
1 − ( p ( GA =
0 ) + p ( GA =
1) + p ( GA =
3) ) =
1−  + +  =
8 8 8 8
La loi de GA peut être résumée par le tableau :
Valeur de GA
0
1
2
3
Probabilité
1
8
3
8
3
8
1
8
L'espérance de GA est :
E ( GA ) =
0 × p ( GA =
0 ) + 1× p ( GA =
1) + 2 × p ( GA =
2 ) + 3 × p ( GA =
3)
1
3
3
1 12 3
= 0 × + 1× + 2 × + 3 × = = = 1,5 €
8
8
8
8 8 2
2. Si on note B l'événement "le joueur a atteint la cible B" et B l'événement contraire "le joueur n'a
pas atteint la cible B", la situation peut être représentée par l'arbre de probabilité suivant :
a. Quelles sont les valeurs possibles de GB ?
GB ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 3.
(
)
b. La probabilité que Maxime ne gagne rien est égale à p BBB =
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2 2 2 8
× × =
3 3 3 27
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(
)
c. On vient de déterminer dans la question précédente que p ( G=
0=
) p BBB=
B
0 ) p ( GB ==
3) 1 , on en déduit p ( GB =
Puisque p ( GB =+
3) =−
1 p ( GB =
0 ) =−
1
8
27
8 19
=
27 27
La loi de GB peut être résumée par le tableau :
Valeur de GB
0
3
Probabilité
8
27
19
27
L'espérance de GB est :
E ( GB ) = 0 × p ( GB = 0 ) + 3 × p ( GB = 3) = 0 ×
8
19 57
+ 3×
=
27
27 27
3. Puisque E ( GB ) > E ( GA ) , Maxime a intérêt à choisir la cible B.
Correction de l'exercice n°5 (énoncé)
L'espérance de X vaut : E ( X ) = x1 × p1 + x2 × p2 + x3 × p3 =1× 0, 4 + 4 × 0,5 + 10 × 0,1 = 3, 4 .
La Variance de X vaut :
V (X ) =
( x1 − E ( X ) ) × p1 + ( x2 − E ( X ) ) × p2 + ( x3 − E ( X ) ) × p3
2
2
2
=−
(1 3, 4 ) × 0, 4 + ( 4 − 3, 4 ) × 0,5 + (10 − 3, 4 ) × 0,1
2
2
2
= 6,84
On en déduit que l'écart-type de X vaut=
σ (X )
V ( X ) ≈ 2,62 à 0,01 près.
Correction de l'exercice n°6 (énoncé)
On a :
1
1
1
1
E ( X ) =1× + 2 × + 3 × + 4 × =2,5
4
4
4
4
1
1
1
1
2
2
2
2
puis σ ( X ) = (1 − 2,5 ) × + ( 2 − 2,5 ) × + ( 3 − 2,5 ) × + ( 4 − 2,5 ) ×
4
4
4
4
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Correction de l'exercice n°7 (énoncé)
1) voir ci-dessous
2) X peut prendre 0,1,2 ou 3 comme valeurs
3) L'événement " X = 1 " est l'événement "Le couple n'a eu qu'un seul garçon (et donc 2 filles)"
(
p ( GGG=
)
) (
) (
)
1) p GGG + p GGG + p GGG =
3 × 0,55 × 0, 452 =
0,334125
4) a) On a p ( X ==
b) p ( X= 0=
)
3
0, 45=
0,091125 , p ( X= 3=
) p ( GGG=) 0,55=3 0,166375 , puis par
2) =
1− ( p( X =
0) + p ( X =
1) + p ( X =
3) )
soustraction p ( X =
p( X =
2) =
1 − ( 0,091125 + 0,334125 + 0,166375 ) =
0, 408375
Résumer ces résultats dans le tableau :
Evénement
X =0
X =1
X =2
X =3
Probabilité
p ( X= 0=
) 0,091125
0,334125
0, 408375
0,166375
5) L'événement "Le couple a eu au moins un garçon" est l'événement " X ≥ 1"
6) On a
p ( X ≥ 1) =
p( X =
1) + p ( X =+
2 ) p ( X ==
3) 0,908875 (on pouvait aussi calculer
p ( X ≥ 1) =1 − p ( X =0 ) =0,908875
7) Le nombre moyen de garçons qu'un couple peut espérer est égal à l'espérance de la variable
aléatoire X :
E(X ) =
0× p( X =
0 ) + 1× p ( X =
1) + 2 × p ( X =
2) + 3 × p ( X =
3) =
1,65
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Cela signifie qu'en moyenne, sur 100 couples de 3 enfants, on trouvera 165 garçons
Correction de l'exercice n°8 (énoncé)
Grâce à la calculatrice :
7
 4  = 35
 
10 
  = 252
5
Correction de l'exercice n°9 (énoncé)
On répète 7 fois ( n = 7 ) de manière indépendante l'expérience consistant à lancer un dé.
On appelle "succès" l'événement "on obtient la face 1", de probabilité p =
1
.
6
5
L'échec est donc l'événement "on n'obtient pas la face 1", de probabilité 1 − p =.
6
On s'intéresse à la probabilité de réaliser 4 succès ( k = 4 ) donc 3 échecs ( n − k = 7 − 4 = 3 ) sur les 7
répétitions.
7
Le nombre de chemins de l'arbre à 7 répétitions contenant 4 succès est égal à   = 35
 4
La probabilité d'obtenir exactement 4 fois la face 1 est donc égale à :
n k
n−k
1 5
  × p × (1 − p ) = 35 ×   ×  
6 6
k 
4
3
Correction de l'exercice n°10 (énoncé)
On répète 5 fois ( n = 5 ) de manière indépendante l'expérience consistant à choisir une carte parmi
32. On appelle "succès" l'événement "on obtient un roi", de probabilité =
p
4 1
.
=
32 8
7
L'échec est donc l'événement "on n'obtient pas la face 1de roi", de probabilité 1 − p =.
8
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On s'intéresse à la probabilité de réaliser 3 succès ( k = 3 ) donc 2 échecs ( n − k = 5 − 3 = 2 ) sur les 5
répétitions.
 5
Le nombre de chemins de l'arbre à 5 répétitions contenant 3 succès est égal à   = 10
 3
n
n−k
1 7
La probabilité d'obtenir exactement 3 rois est donc égale à :   × p k × (1 − p ) = 10 ×   ×  
8 8
k 
3
2
Correction de l'exercice n°11 (énoncé)
On répète 4 fois ( n = 4 ) de manière indépendante l'expérience consistant à choisir une boule parmi
7. On appelle "succès" l'événement "on obtient une boule verte", de probabilité p =
5
.
7
2
L'échec est donc l'événement "on n'obtient pas de boule verte", de probabilité 1 − p =.
7
On s'intéresse à la probabilité de réaliser 3 succès ( k = 3 ) donc 1 échec ( n − k = 4 − 3 = 1 ) sur les 4
répétitions.
 4
Le nombre de chemins de l'arbre à 4 répétitions contenant 3 succès est égal à  
 3
n
n−k
5 2
La probabilité d'obtenir exactement 3 vertes est donc égale à :   × p k × (1 − p ) = 4 ×   ×  
7 7
k 
3
1
Correction de l'exercice n°12 (énoncé)
On répète 10 fois ( n = 10 ) de manière indépendante l'expérience consistant à choisir une réponse au
hasard parmi 4.
On appelle "succès" l'événement "on obtient la bonne réponse", de probabilité p =
1
.
4
3
L'échec est donc l'événement "on n'obtient pas la bonne réponse", de probabilité 1 − p =.
4
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a) On s'intéresse à la probabilité de réaliser 10 succès ( k = 10 ) donc 0 échec ( n − k = 10 − 10 = 0 ) sur
les 10 répétitions.
10 
Le nombre de chemins de l'arbre à 10 répétitions contenant 10 succès est égal à   = 1
10 
La probabilité d'obtenir 10 réponses exactes est donc égale à :
n
n−k
1 3 1
k
 k  × p × (1 − p ) =1×   ×   = 
4 4 4
 
10
0
10
b) On s'intéresse à la probabilité de réaliser 5 succès ( k = 5 ) donc 5 échecs ( n − k = 10 − 5 = 5 ) sur
les 10 répétitions.
10 
Le nombre de chemins de l'arbre à 10 répétitions contenant 5 succès est égal à   = 252
5
La probabilité d'obtenir exactement 5 réponses exactes est donc égale à :
n
n−k
1 3
k
 k  × p × (1 − p ) = 252 ×   ×  
4 4
 
5
5
Correction de l'exercice n°13 (énoncé)
On répète 10 fois ( n = 10 ) de manière indépendante l'expérience consistant à choisir une personne
au hasard et tester son groupe sanguin
On appelle "succès" l'événement "la personne est du groupe O", de probabilité p = 0, 43 .
L'échec est donc l'événement "la personne n'est pas du groupe O", de probabilité 1 − p =
0,57 .
Si on note X la variable aléatoire égale au nombre de succès sur les 10 répétition, X suit la loi
binomiale de paramètre n = 10 et p = 0, 43
1) La probabilité que les 10 personnes choisies au hasard soient toutes du groupe O est égale à :
10 
10
0
p( X =
10 ) =
0, 4310 ≈ 0,000216
10  × 0, 43 × 0,57 =
 
2) Le contraire de l'événement "au moins une de ces personnes est du groupe O" est l'événement
"aucune personne n'est du groupe O".
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La probabilité qu'au moins une de ces personnes soit du groupe O est donc égale à :
10 
1 − p ( X ==
0 ) 1 −   × 0, 430 × 0,5710 =
1 − 0,5710 ≈ 0,996
0
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