MÉCANIQUE II Energie du solide indéformable I2 – 2018-2019 TD 4 énergie du solide indéformable Exercice 1 𝑂 (𝐶1 , 𝑀1 , 𝐿) (𝐶2 , 𝑀1 , 𝑅) Exercice 2 Un sphère de masse 𝑀2 et de rayon 𝑅2 est suspendue à une tige rigide de masse 𝑀1 et de longueur 𝐿. Le système oscille sans frottement dans le plan vertical. La position du pendule est repérée par l’angle 𝜃 qu’elle fait avec la verticale. 1. Combien y a-t-il de degré de liberté ? Quelle coordonnée généralisée utiliser ? 2. Écrire le Lagrangien 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 et en déduire l’équation du mouvement à partir de l’équation de Lagrange. 𝑦 Un cylindre de masse 𝑚, de rayon 𝑎, de 1 moment d’inertie 𝐽 = 𝑚𝑎2 par rapport à son 2 axe de révolution et de centre d’inertie 𝐶), 𝐶 𝑂 roule sans glisser le long de la plus grande 𝑔⃗ 𝜃 pente d’un plan incliné d’un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale. 𝛼 L’ensemble est étudié dans un référentiel galiléen. L’air exerce sur le cylindre des efforts équivalents à une force de point 𝑥 d’application 𝐶 : 𝐹⃗ = −𝑏𝑚𝑣⃗(𝐶), 𝑏 étant un coefficient positif constant. Les efforts de contact entre le cylindre et le plan incliné obéissent aux lois de COULOMB. On appelle 𝜇 le coefficient de frottement associé. On repère le cylindre par l’abscisse de 𝐶 notée : 𝑥(𝑡) et par l’angle : 𝜃(𝑡). Initialement le cylindre est abandonné immobile, on donne 𝑥(0) = 0 et 𝜃(0) = 0. 1. Déterminer la fonction de Lagrange. En déduire l’équation de Lagrange. 2. Exprimer au cours de la descente 𝑥̇ (𝑡). 2. Montrer que 𝐶 va atteindre une vitesse limite que l’on exprimera. 3. Dans le cas où on peut négliger les frottements de l’air, montrer que le roulement sans glissement peut se faire seulement si 𝛼 est inférieur à une certaine valeur 𝛼0 que l’on explicitera. Exercice 3 CHAU Sarwaddy ( M.Sc.) MÉCANIQUE II Energie du solide indéformable I2 – 2018-2019 Exercice 4 Une sphère homogène, de centre 𝐶, de rayon 𝑟 et de masse 𝑚, est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un rail 𝑃𝑃′ que l’on 𝜃̇ 𝜑 𝑢 ⃗⃗𝑥 modélise par une portion de cercle de centre 𝑂 𝑅 𝑟𝜃 et de rayon 𝑅, dont l’axe de symétrie est 𝐶𝐴 𝜃 𝑔⃗ 𝑢 ⃗⃗𝜑 vertical. La sphère roule sans glisser sur le rail 𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ fait fixe. Initialement, elle est au repos et 𝑂𝐶 𝑢 ⃗⃗𝜌 𝐴 un angle 𝜑0 avec 𝑢 ⃗⃗𝑥 . Le système comprend deux degrés de liberté cinématique, 𝜑 et 𝜃. 1) Déterminer la condition de roulement sans glissement (R.S.G.) de la sphère sur le rail. Contrôler la pertinence de la relation obtenue, d’une part en comparant les signes respectifs de 𝜃̇ et 𝜑̇ , et d’autre part en analysant la situation lorsque 𝑟 = 𝑅. 2) Par deux méthodes différentes, déterminer les postions d’équilibre et sa stabilité. 3) Par la méthode de Lagrange, déterminer l’équation différentielle vérifiée par la fonction 𝜑(𝑡) puis déterminer la période des petites oscillations. 4) On considère deux rails circulaire de même rayon 𝑅. Sur chaque rail, on place à l’instant initial une sphère de rayon 𝑟, de masse 𝑚 en des points repérés par le même angle 𝜑0 (situation déjà représenté sur la figure). Les deux sphères sont lâchées au même instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux rails sont de nature différente, de sorte que la première sphère roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler. 4-1) En utilisant l’équation de Lagrange, déterminer quelle est la sphère qui arrive la première au point le plus bas 𝐴. Le résultat est-il modifié si les masses des sphères sont différentes ? 4-2) Calculer le temps 𝜏 mis par la sphère la plus rapide pour atteindre le point 𝐴. Comment peut-on, sans calcul supplémentaire, obtenir le temps 𝜏′ mis par la sphère 𝜏′ la plus lente pour atteindre ce point ? Déterminer le rapport . 𝑃 𝑢 ⃗⃗𝑦 𝑂 𝑃′ 𝜏 CHAU Sarwaddy ( M.Sc.)
