En utilisant le produit scalaire, déterminer une équation de la sphère

On considère les points (
)
(
)
En utilisant le produit scalaire, déterminer une équation de la sphère de diamètre [AB].
Déterminer les coordonnées du centre de la sphère de diamètre [AB] et son rayon.
Méthode
On se souviendra qu’un triangle rectangle est inscrit dans une sphère de diamètre son hypoténuse.
Soit un point M(
) de la sphère de diamètre [AB].
Alors le triangle AMB est rectangle en M.
Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
En utilisant l’expression analytique du produit scalaire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
B
on peut déterminer l’équation de la sphère de diamètre [AB].
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
) ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
) ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
A
⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⇔ (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⇔
Pour déterminer les coordonnées du centre C(
) de la sphère de diamètre [AB], on met l’équation de
sphère sous la forme suivante, où R est le rayon de la sphère :
(
⇔(
)
⇔(
)
(
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
)
)
(
)
√
Géométrie – Première – 0470 – Produit scalaire et équation de sphère – 16.04.12 http://www.soutienpedagogique.com
On peut également trouver les coordonnées de C en utilisant que C est le milieu de [AB] :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⇔
et
et
et
et
⇔
et
et
⇔
et
et
⇔
(
)
(
)
On peut également trouver le rayon en calculant la norme du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗⃗
) ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ (
√
( )
(
)
√
(
) ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
)
√
√
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