Analyse numérique: Cours d'analyse numérique

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Analyse numérique
Catherine Bolley
To cite this version:
Catherine Bolley. Analyse numérique. École d’ingénieur. Nantes, France. 2012, pp.97. �cel-01066570�

Catherine Bolley
Analyse numérique

École Centrale de Nantes — 2012
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Table des matières
1 Généralités sur les matrices
1.1 Normes matricielles 9
1.2 Suites dans Kn;n 10
2 Résolution numérique de systèmes linéaires
2.1 Méthodes directes 13
2.1.1 Système triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Méthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Méthode LU ou algorithme de Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Méthodes itératives 18
2.2.1 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Principales méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Convergence et comparaison des méthodes itératives 21
2.3.1 Matrices à diagonale strictement dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Matrices hermitiennes définies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Calcul de valeurs et vecteurs propres
3.1 Vecteurs propres d’une matrice triangulaire 23
3.2 Méthodes de la puissance itérée 24
3.2.1 Itérations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Méthode d’accélération de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 Méthode de la puissance itérée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Méthodes issues de transformations matricielles 26
3.3.1 Méthode de Rutishauser ou du LU LR ....................................26
3.3.2 Matrices réelles symétriques : méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Interpolation polynomiale
4.1 Polynôme d’interpolation de Lagrange 31
4.1.1 Existence et unicité du polynôme d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.3 Choix des points d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Construction du polynôme d’interpolation 33
4.2.1 Différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.2 Différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Schéma de Hörner 35
5 Approximation de fonctions
5.1 Approximation hilbertienne 37

5.2 Approximation au sens des moindres carrés 38
5.2.1 Données dans L2
w.a Ib/ ...............................................38
5.2.2 Données dans Rn: approximation au sens des moindres carrés discret . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.3 Convergence des approximations au sens des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Polynômes orthonormés 40
6 Intégration numérique
6.1 Étude générale 43
6.1.1 Formulation.......................................................43
6.1.2 Erreur d’intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.3 Convergence des méthodes d’intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Formules d’intégration numérique 44
6.2.1 Formules élémentaires de Newton-Côtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.2 Méthodes d’intégration numérique composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2.3 Formules de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Intégration numérique en deux dimensions 48
7 Équations différentielles du premier ordre à condition initiale
7.1 Problème de Cauchy 51
7.1.1 Condition de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.2 Théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Méthodes de résolution numériques à un pas 52
7.2.1 Méthode d’Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2.2 Étude générale des méthodes à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Méthodes de résolution numérique à pas multiples 56
7.3.1 Méthodes d’Adams-Bashforth à kC1pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3.2 Méthodes d’Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3.3 Formulation générale des méthodes à pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Systèmes d’équations non linéaires
8.1 Principe de résolution par itérations 61
8.2 Principales méthodes en une dimension 62
8.2.1 Méthode des approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2.2 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2.3 Méthode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Principales méthodes dans Rn64
8.3.1 Méthode des approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3.2 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4 Application aux racines de polynômes : méthode de Bairstow 65
8.4.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.4.2 Algorithme .......................................................66