Feuille 1 : Topologie, E.V.N.

Université Paris-Dauphine 2015/2016
L3 Maths J. Lamboley
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Feuille 1 : Topologie, E.V.N.
Exercice 1. Soit n∈N∗. On travaille dans l’espace Mn(R), muni de sa topologie naturelle.
1. L’ensemble On(R)des matrices orthogonales est-il un ensemble compact de Mn(R)?
2. L’ensemble SLn(R)des matrices de déterminant 1 est-il un ensemble compact de Mn(R)?
Exercice 2. Soit E=C1([0,1]) l’ensemble des fonctions f: [0,1] →Rde classe C1. On définit
∀f∈E, kfkC1:= kfk∞+kf0k∞.
1. Montrer que k·kC1est une norme.
2. Soit (fn)n∈Nune suite d’éléments de E, et f∈E. Montrer que (fn)n∈Nconverge vers fau sens
de la norme C1si et seulement si (fn)n∈Nconverge uniformément vers fet (f0
n)n∈Nconverge
uniformément vers f0.
3. Montrer que (C1([0,1]),k·kC1)est un espace de Banach.
Exercice 3. 1. Soit n∈N∗. Montrer que l’ensemble GLn(R)des matrices inversibles est un ouvert
dense de Mn(R)(muni de sa topologie naturelle).
2. Soit Eun espace de Banach. On considère L(E)l’espace des endomorphismes continus de E, muni
de sa norme induite.
(a) Montrer que si u∈ L(E)vérifie kuk<1, alors Id −uest inversible, et que de plus
k(Id −u)−1k ≤ (1 − kuk)−1.
(b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes inversibles de L(E)est un ouvert de L(E).
Exercice 4. [Calculs de norme d’applications linéaires]
1. Soit E=R[X], muni de la norme kPk∞:= supx∈[0,1] |P(x)|.
(a) Justifier qu’il s’agit bien d’une norme.
(b) Pour a∈R, on considère δa:R[X]→Rla forme linéaire définie par ∀P∈E, δa(P) = P(a).
Déterminer pour quels a∈Rla forme linéaire δaest continue, et calculer kδakdans ce cas.
2. Soit E=C0([0,1]).
(a) Montrer que l’application δ0:f∈E7→ f(0) ∈Rest continue si on munit Ede la norme k·k∞,
mais n’est pas continue si on munit Ede la norme k·k1.
(b) On munit Ede la norme uniforme. Soit φ:E→Rla forme linéaire définie par
∀f∈E, φ(f) := Z1/2
0
f(t)dt −Z1
1/2
f(t)dt.
Montrer que φest continue, calculer sa norme, et montrer que cette norme n’est pas atteinte,
c’est-à-dire qu’il n’existe pas de fonction f∈Etelle que kfk∞= 1 et |φ(f)|=kφk.
(c) Refaire la question précédente en munissant Ede la norme k·k1.

Exercice 5. On travaille dans `∞:= `∞(N∗)muni de la norme uniforme. On considère T:`∞→`∞
défini par
∀x∈`∞, T (x) = T(x1, x2, x3, . . .) := (x1/1, x2/2, x3/3, . . .)=(xn/n)n∈N∗.
1. Montrer que Test bien défini, et linéaire continu avec kTk= 1.
2. Montrer que Test injectif, mais non surjectif.
Exercice 6. Soit E=C0([0,1]) muni de la norme uniforme. On définit T:E→Epar
∀f∈E, ∀x∈[0,1], T (f)(x) := Zx
0
f(t)dt.
1. Montrer que Test bien défini, linéaire continu, et calculer kTk.
2. Montrer que
∀n∈N,∀x∈[0,1],|Tn(f)(x)| ≤ xn
n!kfk∞.
En déduire la valeur de kTnkpour n∈N.
3. Montrer que pour tout λ∈R∗,λId−Test inversible, et que k(λId−T)−1k ≤ 1
|λ|e1/|λ|. Que peut-on
dire pour λ= 0 ?
Exercice 7. Soit (E, k·k)un espace vectoriel normé, et Fun s.e.v. de E.
1. Montrer que Fest un s.e.v. de E.
2. Donner un exemple où F6=F(il faudra choisir Eégalement). Un tel exemple est-il possible si E
est de dimension finie ?
3. Montrer l’équivalence ˚
F6=∅ ⇔ F=E.
Exercice 8. Soit E=C0([0,1]) muni de la norme uniforme.
1. Soit F={f∈E, f ≥0sur [0,1]}. Montrer que Fest fermé. Décrire le complémentaire de F.
2. Soit O={f∈E, f > 0sur [0,1]}. Montrer que Oest ouvert (on pourra faire deux preuves, une
directe, une qui consiste à montrer que Ocest fermé).
3. On remplace Epar E=C0
b(R+)(espace des fonctions continues bornées sur R+), et on considère
cette fois-ci O={f∈E, f > 0sur R+}. Cet ensemble est-il ouvert ?
Exercice 9. Soit E=C0([0,1]) muni de la norme uniforme. Montrer qu’une forme linéaire T:E→R
positive (c’est-à-dire satisfaisant ∀f∈E, f ≥0⇒T(f)≥0) est continue.
Exercice 10. Soit (E, d)un espace métrique.
1. (a) Montrer qu’un ensemble U⊂Eest dense si et seulement si Urencontre tout ouvert non vide
de E.
(b) Etant donné Uet Vdeux ouverts denses de E, montrer que U∩Vest aussi un ouvert dense de
E. Est-ce encore vrai si Uet Vne sont plus nécessairement ouverts ?
On suppose désormais l’espace (E, d)complet.
2. [Théorème des fermés emboîtés] Soit (Fn)une suite de fermés non vides de E. On suppose que la
suite (Fn)n∈Nest décroissante pour l’inclusion, et que le diamètre de Fnconverge vers 0 quand n
tend vers l’infini. Montrer que l’intersection des (Fn)n∈Nest non vide, réduite à un singleton.
3. (*) [Théorème de Baire] Montrer qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
4. En déduire qu’une réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide.

5. [Une application classique] Montrer que R[X]n’est complet pour aucune norme.
Exercice 11. Soit c0=c0(N)l’ensemble des suites réelles qui converge vers 0.
1. Montrer que c0est un s.e.v. fermé de (`∞(N),k·k)(c’est donc un espace de Banach).
2. Montrer que l’ensemble des suites à support fini (c’est-à-dire constantes égales à 0 à partir d’un
certain rang) est dense dans c0.
Exercice 12. [Problème d’optimisation en dimension infinie]. On pose E=C0([0,1]), que l’on munit de
la norme uniforme k·k∞. On définit
G:E→R
f7→ Z1
0|f(x)|dx
1. Montrer Gest bien définie et continue.
2. On pose F={f∈E, kfk∞≤2, f(0) = 1}. Montrer que Fest fermé et borné.
3. Montrer que Fn’est pas compact.
4. Etudier la question d’existence pour le problème de minimisation suivant :
inf
f∈FG(f).
Exercice 13. [Cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz]. On pose E=C0([0,1]), que l’on munit
de la norme uniforme k·k∞. On définit
T:E→E
f7→ T(f)définie par : ∀x∈[0,1], T (f)(x) = 1 + 1
2Zx
0
sin(f(t))dt
1. Montrer Test bien définie, et qu’il existe un unique élément y∈Etel que T(y) = y.
2. Montrer que yest de classe C1et vérifie l’équation différentielle y0=1
2sin(y), et y(0) = 1.
3. Montrer que si zest une fonction C1satisfaisant z0=1
2sin(z)et z(0) = 1, alors T(z) = z. En
déduire z=y.
Exercice 14. Soit dune métrique sur R[0,1]. On pose, pour tout n∈N∗,
Cn=B0,1
nc
=f∈R[0,1], d(f, 0) ≥1
n.
1. Montrer qu’il existe n0tel que Cn0contient une infinité de fonctions qui sont indicatrices d’un
singleton.
2. Montrer qu’on peut choisir une suite dans Cn0qui converge simplement vers 0.
3. En déduire qu’il n’existe pas de métrique sur R[0,1] telle que la convergence pour cette métrique
soit équivalente à la convergence simple sur [0,1].
Exercice 15. On considère l’espace C0(R,R).
1. On pose
∀f, g ∈C0(R,R), d(f, g) = X
n∈N
1
2nmin(1,kf−gk∞,[−n,n]).
Montrer que dest une métrique, et que la convergence pour déquivaut à la convergence uniforme
sur tout compact de R.
2. Soit ε > 0. Montrer qu’il existe f∈C0(R,R)\ {0}tel que pour tout λ∈R, d(λf, 0) < ε.
3. En déduire qu’il n’existe pas de norme sur C0(R,R)telle que la convergence pour cette norme soit
équivalente à la convergence uniforme sur tout compact de R.

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L3 Maths J. Lamboley
Topologie et Analyse Fonctionnelle
Feuille 2 : Espaces Lp
Sauf précision contraire, Ωdésigne un borélien de RN, on travaille avec la mesure de Lebesgue sur RN,
et la tribu considérée est celle des boréliens.
Exercice 1. Soient fet g: Ω −→ Rdeux fonctions mesurables. On considère les fonctions f+,f−définies
par :
f+(x) = max(0, f(x)), f −(x) = max(0,−f(x)).
1. Montrer que f+, f−sont mesurables, et que pour tout xde Ω,f+(x)f−(x)=0et f(x) = f+(x)−
f−(x)(les fonctions f+et f−sont appelées respectivement partie positive et partie négative de f).
Exprimer |f|en fonction de f+et f−.
2. Montrer que les définitions de f+et f−sont légitimes et que les mêmes propriétés restent vraies
presque partout si f, g sont des classes d’équivalence de fonctions (disons f, g ∈L1(Ω)).
Exercice 2. Soit Ωun ensemble borélien tel que |Ω|=RΩ1 dx < +∞. Soit (p, q)∈R2tel que 1≤p≤
q≤+∞.
1. Montrer que si Ωest borné alors |Ω|<∞. Donner un exemple de Ωnon borné tel que |Ω|<+∞.
Et Ωun ouvert non borné tel que |Ω|<∞?
2. Montrer les inclusions
L∞(Ω) ⊂Lq(Ω) ⊂Lp(Ω) ⊂L1(Ω).
(On pourra donner une solution qui n’utilise pas l’inégalité de Hölder).
3. Montrer que si u∈Lq(Ω), alors u∈Lp(Ω) et
||u||p≤(|Ω|)1
p−1 q||u||q.
En déduire que l’injection de Lq(Ω) dans Lp(Ω) est continue (et donc que la convergence dans
Lq(Ω) implique la convergence dans Lp(Ω)).
4. Soit u∈L∞(Ω), montrer que limp→+∞||u||p=||u||∞.
5. On ne suppose plus que Ωest de mesure finie. Montrer que pour tout 1≤p≤+∞on a
Lp(Ω) ⊂L1
loc(Ω).
6. Ici on prend Ω = R(de mesure infinie). Montrer qu’aucune inclusion entre Lp(Ω) et Lq(Ω) (pour
p6=q) n’est satisfaite.
Exercice 3. On considère des réels p,qet rtels que p≥1,q≥1et 1
r=1 p+1 q. Soient f∈Lp(Ω) et
g∈Lq(Ω). Montrer que fg ∈Lr(Ω) et que
||fg||r≤ ||f||p||g||q.
Exercice 4. Soit Ωun ouvert de RNet p∈[1,∞[. Soit (fn)n∈Nune suite d’éléments de Lp(Ω), et
f∈Lp(Ω).
1. Est-il vrai que si kfnkp→
n→∞ kfkp, alors fnconverge vers fdans Lp(Ω) ? Et la réciproque ?
2. Est-il vrai que si fn→
n→∞ f p.p., alors fnconverge vers fdans Lp(Ω) ?
3. Montrer que si on suppose (fn)n∈Nbornée dans Lp(Ω) et fn→
n→∞ f p.p., alors f∈Lp(Ω).

4. On suppose ici p= 1,fn→f p.p. et kfnk1→ kfk1quand n→ ∞. Montrer que fn→
n→∞ fdans
L1(Ω).(On pourra introduire gn=|fn|+|f|−|fn−f|).
Exercice 5. Soient Ωun borélien de RNnon nécessairement borné et p∈[1,+∞[.
1. Montrer que L1(Ω) ∩L∞(Ω) ⊂Lp(Ω) et que pour tout f∈Lp(Ω)
||f||p≤(||f||1)1
p(||f||∞)1−1 p.
2. Soit f∈Lp(Ω). Montrer qu’il existe une suite (gn)n∈Nqui converge vers fdans Lp(Ω) et telle que
pour tout n∈N, gn∈L∞(Ω) et gnest à support compact.
(Ici on demande de répondre à la question sans utiliser le résultat de densité de C0
c(Ω) dans Lp(Ω))
3. En déduire que L1(Ω) ∩L∞(Ω) est dense dans Lp(Ω) et que L1(Ω) ∩L2(Ω) est dense dans L2(Ω).
Exercice 6 (Loi des grands nombres L4).Soient X1, X2...,Xn, . . . des v.a.i.i.d. centrées admettant un
moment d’ordre 4. On note Sn=X1+. . . +Xn.
1. Calculer E(S4
n)en fonction des moments d’ordre 2 et 4 des Xi.
2. En déduire que Sn/n converge vers 0 dans L4et dans L1.
3. Montrer que
E X
n∈NSn
n4!<∞.
et en déduire que Sn/n converge p.s. vers 0
4. Montrer que si les v.a. (Xn)n∈Nne sont plus équidistribuées, mais toujours centrées et telles que
(E(X4
n))n∈Nest bornée uniformément en n(on dit que (Xn)n∈Nest bornée dans L4), le résultat
reste vrai.
Exercice 7 (Lemme de Riemann-Lebesgue).Soit f∈L1(0,2π). Pour tout n∈Non pose
In=Z2π
0
f(t)eint dt
Montrer que In→0quand n→ ∞.
Exercice 8. 1. Soient λet µdeux nombres réels. Montrer que les fonctions f:x7→ eλx et g:x7→ eµx
n’admettent jamais de produit de convolution.
2. On pose f:x7→ exet g:x7→ e−2|x|. Calculer f ? g.
3. On pose f:x7→ sin(πx)et g:x7→ [−1,1](x). Calculer f ? g.
4. Montrer que si fest à support compact et gest T-périodique, T∈R, alors f ? g existe et est
T-périodique.
Exercice 9. Soient f∈Lp(R)avec p∈[1,∞]et g∈Lq(R)où qest le conjugué de p.
1. Montrer que la fonction x7→ (f∗g)(x)est bien définie en tout point de R, et est continue, bornée,
et que ||f∗g||∞≤ ||f||p||g||q.
2. Montrer que si p∈]1,∞[, alors f ? g(x)→0quand x→ ±∞.
Indication : pensez d’abord aux fonctions continues à support compact.
3. Si p∈ {1,∞}, a-t-on encore f ? g(x)→0quand x→ ±∞?