Mécanique II : Cours avancé de physique

MÉCANIQUE II
PHQ414
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
26 juin 2018

2

Table des matières
1 Mécanique de Lagrange 9
A Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.A.1 Coordonnées généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.A.2 Forces de contrainte et déplacements virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.A.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B Applications élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
C Principe de la moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.C.1 Énoncé et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.C.2 La brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.C.3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D Application aux petites oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.D.1 Système masses-ressorts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.D.2 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Mécanique de Hamilton 39
A Équations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.A.1 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.A.2 Moments conjugués et hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.A.3 Exemples élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.A.4 Principe de la moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B Formalisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.B.1 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.B.2 Théorèmes de Liouville et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.B.3 Lois de conservation et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
C Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.C.1 Définitions et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.C.2 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.C.3 Transformations canoniques infinitésimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
D Théorie de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.D.1 Équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.D.2 Fonction caractéristique de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.D.3 La mécanique classique comme limite de la mécanique ondulatoire . . . . . . . 63
3 Mouvement des corps rigides 71
A Cinématique des corps rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.A.1 Matrices de Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.A.2 Rotations passives et actives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B Vitesse angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.B.1 Rotations infinitésimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.B.2 Caractère vectoriel de la vitesse angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3

4TABLE DES MATIÈRES
3.B.3 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.B.4 Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
D Tenseur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.D.1 Relation entre vitesse angulaire et moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.D.2 Tenseurs et axes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
E Mouvement libre d’un objet rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.E.1 Équations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.E.2 Rotation libre d’un objet symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.E.3 Rotation libre d’un objet asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
F Mouvement d’une toupie symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.F.1 Lagrangien, hamiltonien et problème effectif à une variable . . . . . . . . . . . 90
3.F.2 Précession uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.F.3 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.F.4 Toupie dormante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
G Précession des équinoxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.G.1 Énergie potentielle d’un objet plongé dans un champ gravitationnel . . . . . . 97
3.G.2 Fréquence de précession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 Forces centrales 107
A Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.A.1 Réduction du problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.A.2 Problème radial effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.A.3 Intégrale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.A.4 Théorème du viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B Le problème de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.B.1 Sections coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.B.2 Équation de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.B.3 Repérage des orbites dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
C Théorie classique de la diffusion par un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.C.1 Section efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.C.2 Formule de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
D Forces centrales et équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.D.1 Équation de Hamilton-Jacobi dans le cas d’un potentiel azimutal . . . . . . . . 126
4.D.2 Cas d’un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.D.3 Variables d’action-angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.D.4 Variables d’action-angle dans le problème de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . 130
E Introduction à la théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.E.1 Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.E.2 Précession des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5 Relativité et électromagnétisme 143
A Théorie de la relativité restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.A.1 Espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.A.2 Exemples d’invariants et de quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.B.1 Action d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

TABLE DES MATIÈRES 5
5.B.2 Particule chargée dans un champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.B.3 Forme covariante de l’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.B.4 Tenseur de Faraday et transformation des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
C Théorie des circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.C.1 Description générale des circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.C.2 Lagrangien et hamiltonien d’un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6 Introduction aux systèmes chaotiques 167
A Problème de Hénon-Heiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.A.1 Potentiel de Hénon-Heiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.A.2 Sections de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.A.3 Stabilité et exposant de Liapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B Dynamique discrète et approche du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7 Annexes 177
A Rappels d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.A.1 Notations indicielle et matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.A.2 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.A.3 Vecteurs et valeurs propres d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B Vecteurs et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184