24600

ANIS BEN ISMAIL
MODÉLISATION DE LA DÉCOUPE DES TÔLES
FERROMAGNÉTIQUES
Corrélation entre l’état mécanique et les propriétés
magnétiques
Thèse de doctorat en cotutelle présentée
à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval, Québec
dans le cadre du programme de doctorat en génie civil
pour l’obtention du grade de Philosophiae Doctor (Ph. D.)
Département de génie civil
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
et
UNIVERSITÉ DE TECHNOLOGIE DE COMPIÈGNE
COMPIÈGNE, FRANCE
pour l’obtention du grade de docteur
2007
c Anis Ben Ismail, 2007
Remerciements
Mes remerciements s’adressent d’abord à Monsieur Gérard MOULIN, Professeur à
l’Université de Technologie de Compiègne, qui a accepté de diriger le jury ainsi qu’a
Messieurs Khémais SAANOUNI, Professeur à l’Université de Technologie de Troyes, et
Monsieur Daniel MARCEAU, Professeur à l’Université de Québec à Chicoutimi, qui
ont accepté de juger ce travail en étant rapporteurs.
Je remercie Monsieur Eric HUG, Professeur à l’École Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Caen, et Monsieur André Maillard, Ingénieur au pôle d’activité Technologie
des procédés du CETIM, pour avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse. Ils
ont également beaucoup contribué à la réalisation de ce travail, et je leur suis très
reconnaissant pour toutes leurs interventions.
Je tiens à exprimer mes respects les plus distingués ainsi que ma gratitude à mes
directeurs de thèse, Mohamed Rachik et Mario Fafard. Ils ont toujours su encadrer
mon travail tout en me laissant suffisamment de liberté. Leurs directives, leurs appui et
leurs enthousiasme communicatif ont été des facteurs essentiels au bon déroulement des
travaux. J’apprécie aussi tous leurs efforts pour m’aider à préparer l’avenir. Ces trois
années passées à travailler ensemble me laisseront un formidable souvenir professionnel,
mais aussi humain. Merci encore du fond du coeur Mohamed et Mario.
Mes remerciement vont également à Monsieur Pierre-emmanuel MAZERAN, Professeur à l’Université de Technologie de Compiègne, pour ses suggestions et ses précieux
conseils dans la réalisation des essais de nanoindentation. J’associe à ces remerciement
Monsieur Nicolas BUIRON, Maı̂tre de Conférences à l’Université de Technologie de
Compiègne, pour son aide très appréciable dans la réalisation des essais magnétiques.
Je voudrais adresser un remerciement à l’ensemble des membres du département
génie civil à l’Université Laval. Je pense particulièrement à Lyne Dupuis, Patrice Goulet,
Donald Picard, Hichem Mir, Paul Lessard, Denyse Marcotte, pour leur agréable accueil
et leur convivialité lors de mes séjours au Québec, qui ont veillé a me faciliter toutes
Remerciements
iii
les démarches administratives que je pouvais rencontrer durant ces années.
Je remercie également l’ensemble des membres du laboratoire Roberval avec qui
j’ai passé de très bons moments. Je pense particulièrement à Brigitte, Muriel, Etienne
Arnoult, Pascal Lardeur, Pierre Feissel, Delphine Brancherie, à Mesdames Nicole Maury
et Cathy Gambier (GRADIENT) pour leur aide administrative pendant cette thèse.
Je n’oublie pas de remercier tous les thésards et docteurs qui ont croisé mon chemin
et qui ont contribué à l’instauration d’une joyeuse et pas forcément moins productive atmosphère de recherche. Ils se reconnaı̂trons par leurs prénoms : Amine, Bastien,
Christelle, Daly, Jacem(s), Manel, Moez, Hatem, Haykel, Riad, Sadok, Salah, Slim(s),
Zahira, Zied...
Je finis cette longue liste par remercier mes parents, mes soeurs pour leur patience
et leur soutien.
Grâce à toutes ses personnes, ce que je retiendrai au cours des ces quelques années
passées entre l’UTC et l’UL va bien au-delà de la modélisation de découpage des tôles.
Merci enfin à toi, lecteur, de t’intéresser à mon travail.
Résumé
La corrélation entre l’évolution du matériau lors de la découpe des tôles minces et
la dégradation des propriétés magnétiques constitue un point clé dans la conception
des actionneurs électriques. De plus, la mesure des propriétés magnétiques constitue
actuellement un outil de contrôle non destructif en essor dans l’industrie. Dans le cadre
d’un projet sur ce thème, notre travail porte sur le développement d’un outil prédictif
pour établir une corrélation entre le procédé de mise en forme qui est le découpage,
l’état du matériau qui en résulte et les propriétés magnétiques de ce dernier. Cette
étude s’inscrit dans le cadre d’une collaboration entre l’Université de Technologie de
Compiègne, l’Université Laval (Québec, Canada) et le CETIM et elle a été décomposée
en deux parties.
La première partie a été consacrée à l’analyse et à la modélisation de la découpe. En
ce qui concerne les aspects expérimentaux des travaux, des essais de tractions uniaxiale à différentes vitesses de déformation ont permis de déterminer le comportement
mécanique du matériau et sa sensibilité à la vitesse. Par ailleurs, des essais de poinonnage et de cisaillage ont été effectués afin d’analyser l’influence de différentes paramètres du procédé tels que le jeu outil-matrice et la cadence (vitesse de découpe /
déformation). En ce qui concerne les aspects numériques, la modélisation par éléments
finis à nécessité l’utilisation de techniques et approches appropriées pour traiter les
multiples non linéarités présentes dans ce genre de problèmes. Dans la deuxième partie
nous nous sommes intéressés à la corrélation entre l’état mécanique du matériau et ses
propriétés magnétique suite a un effet de poinonnage. Pour accéder à des quantités caractéristiques de l’état mécanique du matériau au voisinage du bord découpé, des essais
de nanoindentation ont été combiné à l’identification inverse. Par ailleurs, des mesures
magnétiques menées sur des éprouvettes de traction à différents taux de déformation
ont permis d’établir une courbe d’évolution de la perméabilité magnétique en fonction
de la déformation plastique. La combinaison de ces résultats nous a permis d’établir
une corrélation entre l’état mécanique du matériau, notamment le taux de déformation
plastique, et la dégradation de ses propriétés magnétiques (chute de perméabilité) au
voisinage du bord découpé.
Abstract
The correlation between material evolution when dealing with blanking process and
the degradation of the magnetic properties constitutes a key point in the design of
the electric machines. Moreover, the measurement of the magnetic properties currently
constitutes a tool for non destructive testing in rise in industry. Within the framework
of a project on this topic, our work concerns the development of a predictive tool to
establish a correlation between the blanking process, the state of the material which
results from it and the magnetic properties of this last. This study lies within the scope
of a collaboration between the University of Technology of Compiegne, Laval University
(Quebec, Canada) and CETIM and it were broken up into two parts.
The first part was devoted to the analysis and modeling of blanking process. Concerning
the experimental aspects of work, uniaxial tensile tests at various strain rates made
it possible to reach the mechanical behaviour of material and its sensitivity at the
velocity. In addition, blanking tests were carried out in order to analyze the influence
of different parameters from the process such as the clearance punch-die and velocity
(blanking velocity / strain rate). Concerning the numerical aspects, finite elements
modeling need the use of techniques and approaches suitable to treat the multiples
non-linearity’s present in this kind of problems. In the second part we were interested
in the correlation between the mechanical state of material and its magnetic properties
following a punching effect. To reach quantities characteristic of the mechanical state
of material in the vicinity of the cut edge, nanoindentation tests were combined with
technique of inverse identification. In addition, magnetic measurements carried out on
tensile specimen with various strain rates allowed to establish the evolution curve of
permeability according to the plastic strain. The combination of these results enabled
us to establish a correlation between the mechanical state of material, in particular the
plastic strain, and the degradation of its magnetic properties (falls of permeability) in
the vicinity of the cut edge.
Avant-propos
Ce travail a été réalisé grâce au soutien du Conseil Régional de Picardie (Pôle
Modélisation Numérique). Il s’inscrit dans le cadre d’une collaboration entre l’Université de Technologie de Compiègne, l’Université Laval (Québec) et le CETIM.
La thèse menée en cotutelle entre l’UTC et l’Université Laval a permis des échanges fructueux et enrichissants autour d’un sujet pluridisciplinaire. Les travaux sont consacrés au
développement d’un modèle prédictif permettant d’établir des correlations entre l’état
mécanique du matériau et la dégradation de ses propriétés magnétiques dans le cas des
tôles ferromagnétiques découpées.
Cette thèse est dédiée à la mémoire de mon père
Table des matières
Remerciements
ii
Résumé
iv
Abstract
v
Avant-propos
vi
Table des matières
viii
Liste des tableaux
xii
Table des figures
xiv
1 Introduction
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Découpage par poinçonnage ou cisaillage . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Procédé de poinçonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Procédé de cisaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Approche expérimentale de l’opération de décou-page . . . . . . . . . .
1.3.1 Mécanismes de l’opération de découpage . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bilan sur le comportement du matériau au cours de la découpe .
1.4 Modélisation éléments finis de l’opération de découpage . . . . . . . . .
1.4.1 Algorithmes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Remaillage pour l’opération de découpage . . . . . . . . . . . .
1.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Problématique liée à la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Problématique en découpage des tôles minces ferromagnétiques .
1.6.2 Objectifs de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Plan du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Revue de littérature
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Influence de quelques paramètres sur le procédé... . . . . . . . . . . . .
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24
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ix
Table des matières
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.2.1 Jeu entre le poinçon et la matrice . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Géométrie de l’outillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Coefficient de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Epaisseur de la tôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Vitesse de découpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Influence de la vitesse de déformation et de la température
Modèles de comportement avec effet de la vitesse... . . . . . . . .
2.3.1 Lois de comportement phénoménologiques . . . . . . . . .
2.3.2 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mécanique de l’endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Processus physique de la rupture . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Modèles d’endommagement . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractérisation du matériau au voisinage du bord découpé . . . .
2.5.1 Profil du bord de découpe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Outils et méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Caractérisation mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Caractérisation magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Synthèse du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Identification d’un modèle de comportement avec effet de la vitesse
de déformation
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Les matériaux magnétiques en général... . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Les alliages Fer-Silicium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Influence du silicium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Tôles orientées et non orientées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Présentation du matériau à l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Caractéristiques mécaniques standards . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Caractéristiques magnétiques standards . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Comportement mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 La courbe de traction dans la direction de laminage . . . . . . .
3.4.2 Influence de l’orientation de la sollicitation
sur les propriétés mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Influence de la vitesse de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 La VidéoTraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Identification d’une loi dépendante de la vitesse . . . . . . . . .
3.6 Validation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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x
Table des matières
3.7 Synthèse du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Procédé de découpage
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Aspects expérimentaux . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Etude expérimentale du poinçonnage .
4.2.2 Etude expérimentale du cisaillage . . .
4.3 Aspects numériques . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Simulation numérique du poinçonnage
4.3.2 Simulation numérique du cisaillage . .
4.4 Synthèse du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . .
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5 Caractérisation mécanique au voisinage du bord découpé
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 La technique de nanoindentation . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Dureté du matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Module de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Description de l’essai utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Forme de l’indenteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Echantillons étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Préparation des échantillons . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Cycle charge/décharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Mesure de la dureté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Identification inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Description de la procédure d’identification . . . . . . . .
5.5.2 Simulation de l’essai de nanoindentation . . . . . . . . .
5.5.3 Résultats d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Validation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Interpolation des résultats au voisinage du bord découpé
5.6 Synthèse du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Caractérisation magnétique au voisinage du bord découpé
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Matériel et techniques utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Description du banc de mesure . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Calculs des paramètres magnétiques . . . . . . . . . .
6.2.3 Traitement numérique des signaux . . . . . . . . . .
6.3 Procédure expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Mesures préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Modification des caractéristiques magnétiques avec εp
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xi
Table des matières
6.4 Evolution du comportement magnétique avec εp . . . . . . . . . . . . .
6.5 Variation des propriétés magnétiques... . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Synthèse du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
156
159
7 Conclusion
161
7.1 Analyse et modélisation de la découpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 Corrélation entre l’état mécanique du matériau... . . . . . . . . . . . . 163
7.3 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Bibliographie
167
A Algorithmes de résolution
A.1 Equations d’équilibre . . . . . . .
A.2 Principe des puissances virtuelles
A.3 Approche statique implicite . . .
A.4 Approche statique explicite . . .
A.5 Approche dynamique explicite . .
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182
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B La formulation ALE
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B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
C Modélisation du dispositif magnétique par éléments finis
190
C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
C.2 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
D Mesures magnétiques sur éprouvette percée
194
D.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
D.2 Résultats et analyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Liste des tableaux
2.1 Domaine des vitesses de déformations en fonction du procédé [1] . . . .
2.2 Méthodes expérimentales pour l’étude du comportement en sollicitations
dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Les grandes catégories de matériaux ferromagnétiques : Caractéristiques
et utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Principales caractéristiques des alliages Fe-3%Si par rapport au fer pur
3.3 Caractéristiques mécaniques standards du ”Sollac M800-65A” (données
du fournisseur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Caractéristiques magnétiques standards du ”Sollac M800-65A” (données
du fournisseur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Comparaison des grandeurs caractéristiques de l’essai de traction (sens
DL, D30, D45, D60 et DT) avec les données CETIM . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
32
34
63
65
68
68
73
Outils pour le poinçonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Configurations des jeux et des vitesses utilisées lors des essais de poinçonnage 91
Jeux utilisés pour le cisaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Paramètres du modèle de Gurson obtenus pour un essai de poinçonnage
(jeu7, 69%, vitesse 111mm.s−1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Valeurs utilisées de q1 en fonction des jeux et vitesses simulées . . . . . 114
Evolution de l’effort maximal de poinçonnage (Mod.Num 1 : élastoplastique ;
Mod.Num 2 : élastoplastique avec dépendance à la vitesse de déformation)116
Valeur de q1 utilisée pour la validation numérique en fonction de la vitesse
et du jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Evolution de l’effort maximal de cisaillage (Mod.Num 1 : élastoplastique ;
Mod.Num 2 : élastoplastique avec dépendance à la vitesse de déformation)120
5.1 Paramètres de la loi obtenue reliant la déformation plastique équivalente
à δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
6.1 Principales caractéristiques des ferrites (Vef f (mm3 ), volume effective ;
Lef f (mm), longueur effectif ; Sef f (mm2 ), section effective ; m (g), masse ;
µi (25◦ C ; 0,1mT), perméabilité initiale) . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
Liste des tableaux
xiii
6.2 Récapitulatif des paramètres constructifs du banc et des relations de calcul147
6.3 Propriétés magnétiques générales du ”Sollac M800-65A”, sens du laminage. Mesures sur éprouvettes de traction non-déformées pour f=50Hz. 151
6.4 Récapitulatif des lois obtenues reliant les différentes caractéristiques magnétiques
de l’alliage ”Sollac M800-65A” à la déformation plastique. . . . . . . . 160
6.5 Récapitulatif des lois obtenues reliant les différentes caractéristiques magnétiques
de l’alliage ”Sollac M800-65A” à la distance ’δ’ au voisinage du bord
découpé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Table des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
Circuit de fabrication des tôles laminées en bandes [2] . . . . . . . . . .
Représentation shématique du procédé de poinçonnage . . . . . . . . .
Les différentes phases de poinçonnage [3] . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation shématique du procédé de cisaillage . . . . . . . . . . .
Configuration des tests de cisaillement, (a) une zone de cisaillement ; (b)
deux zones de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportement du matériau au cours de l’opération de découpage [4] .
Aspects expérimentaux du bord découpé [5] . . . . . . . . . . . . . . .
Mécanismes d’indentation et de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . .
Mécanisme du cisaillement [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intérêt de la formulation ALE : (a) Formulation eulérienne (non coı̈ncidence des frontières) ; (b) Formulation lagrangienne (distorsions) ; (c)
Formulation ALE [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Critère de pénétration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formes typiques de tôles magnétiques obtenues après mise en oeuvre .
Différentes étapes possibles pouvant intervenir dans un processus de
découpe d’un stator et d’un rotor dans une tôle laminée [8] . . . . . . .
Outil prédictif de la dégradation des propriétés magnéto-mécaniques au
voisinage du bord de découpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
16
18
19
22
2.1 Propagation de la fissure pour différents jeux [9] . . . . . . . . . . . . .
25
2.2 Evolution expérimentale de l’effort de poinçonnage en fonction de la vitesse pour un acier X30Cr13 [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
−4 −1
2.3 Résultats expérimentaux en double cisaillement pour un acier XES 10 s <
Γ̇ < 10s2 [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4 Contrainte maximale en fonction du taux de déformation logarithmique [11] 29
2.5 Courbes contrainte-déformation obtenues lors d’essais de traction dynamique sur un acier doux entre 1.10−3 et 106s−1 [12] . . . . . . . . . . .
30
2.6 Evolution schématique de la contrainte de cisaillement normalisée avec
la température pour deux vitesses de déformation [13] . . . . . . . . . .
31
2.7 Effets physiques existant en fonction de la vitesse de déformation [14] .
33
2.8 Principe de la rupture ductile à cupule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Table des figures
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
xv
Schématisation du mécanisme de germination . . . . . . . . . . . . . .
41
Schématisation du mécanisme de croissance . . . . . . . . . . . . . . .
42
Schématisation du mécanisme de coalescence . . . . . . . . . . . . . . .
42
Rupture de monocristaux par striction complète . . . . . . . . . . . . .
43
Profil de découpe lors du poinçonnage [4] . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Evolution de la hauteur de la zone pliée en fonction de la pénétration
relative s/t0 , s étant la pénétration et t0 l’épaisseur de la tôle (SPCC :
acier doux, Al-O : aluminium, SUS : acier inoxydable) [15]. . . . . . . .
49
Evolution de la hauteur de la zone lisse en fonction de la pénétration
relative (SPCC : acier doux, Al-O : aluminium, SUS : acier inoxydable) [16] 50
Relevés expérimentaux de la microdureté et courbe moyenne [17] . . . .
52
Evolution de la fraction volumique de vide selon deux directions (s et
y) [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Evolution typique des pertes totales de puissance d’une éprouvette Epstein en fonction du nombre de cisaillement (DL : Direction Longitudinale ; DT : Direction Transversale) [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Augmentation des pertes de puissance en fonction des pertes initiales
du matériau, dues à la découpe d’une tôle FeSi GO. (a) et (c) : pertes
mesurées après découpe à 1T et 1,5T ; (b) et (d) pertes mesurées après
découpe et recuit [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Représentation 3D de l’évolution du champ magnétique en fonction de
l’induction et de la distance au bord de découpe [17] . . . . . . . . . . .
56
Maillage déformé et potentiel de rupture avant la séparation du matériau
[21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Types de maillages utilisés en découpe des tôles [22], [23] . . . . . . . .
58
Comparaison entre les courbes effort-pénétration expérimentales et numériques
pour un jeu = 12% [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Estimation de la hauteur de la bavure [18] . . . . . . . . . . . . . . . .
59
(a) Géométrie du procédé simplifié de poinçonnage (b) Zoom sur le
maillage de la zone de découpe [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Courbe force-déplacement du poinçon [25] . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.1 Texture de Goss dans le plan de laminage. Identification des directions
[100], [111], [011] et (110) [26] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Essai typique de traction monotone uniaxiale(DL, 10−4 s−1 ) . . . . . . .
3.3 Décrochement de contrainte et palier de Lüders(DL, 10−4s−1 ) [27] . . .
3.4 Courbe de traction pour les différentes directions . . . . . . . . . . . .
3.5 Evolution des caractéristiques mécaniques en fonction de la direction
de sollicitation pour ε̇ = 10−4 s−1 :(a) limite d’élasticité, (b) contrainte
maximale, (c) allongement à rupture, (d) longueur du palier de Lüders
3.6 Evolution des coefficients de Hollomon dans le plan de la tôle . . . . .
66
69
70
72
73
74
Table des figures
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
Courbes de traction pour les différentes vitesses de déformation . . . .
Eprouvette marquée pour la VidéoTraction . . . . . . . . . . . . . . . .
Dispositif expérimental de la VidéoTraction . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes rationnelles de la VidéoTraction et de la traction . . . . . . .
Courbes de VidéoTraction à différentes vitesses . . . . . . . . . . . . .
Identification du coefficient de sensibilité à la vitesse . . . . . . . . . . .
Modèle géométrique de la simulation de la vidéotraction . . . . . . . .
Courbe d’écrouissage quasi-statique extrapolée aux grandes déformations
plastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 Evolution de σ/σref en fonction de ε̇/ε̇ref . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.16 Prise en compte de la dépendance à la vitesse de déformation lors de la
simulation et comparaison avec les résultats expérimentaux . . . . . . .
xvi
75
76
76
77
78
79
80
81
82
83
4.1 Presse hydraulique, boitiers de commande et dispositif d’aquisition . . .
86
4.2 Cinématique du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.3 Evolution de la position du poinçon et de sa vitesse au cours du temps
pour les deux cadences extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.4 Evolution des différentes vitesses lors de la pénétration de l’outil dans la
tôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.5 Photo de face et de profil d’un poinçon (Φoutil = 8, 90mm) . . . . . . .
89
4.6 Montage du poinçon sur la presse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.7 Tôle poinçonnée et débouchures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.8 Influence du jeu sur les courbes force-pénétration pour les différentes
vitesses de poinçonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.9 Evolution de l’effort maximum en fonction du jeu (Vitesse de poinçonnage
126, 9mm.s−1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.10 Influence de la vitesse de découpe sur la courbe force-pénétration pour
quelques uns des jeux utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.11 (a). Exemple d’un profil de poinçonnage (Jeu = 3, 85%, Vitesse = 126,9
mm.s−1 ) ; (b). Cupules caractéristiques de la zone arrachée. . . . . . . .
95
4.12 Evolution de la hauteur de la zone lisse et arrachée (jeu de 3, 85% et
96
7, 69%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Evolution de la hauteur de la zone arrachée avec le jeu . . . . . . . . .
96
4.14 Evolution de la hauteur de la zone lisse avec le jeu . . . . . . . . . . . .
97
4.15 Dispositif expérimental du cisaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.16 Schématisation de l’essai de cisaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.17 Profil cisaillé pour un jeu de (a)18, 46% ; (b)61, 53% . . . . . . . . . . .
99
4.18 Influence du jeu sur les courbes force-pénétration pour les différentes
vitesses de cisaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.19 Evolution de l’effort maximal en fonction du jeu . . . . . . . . . . . . . 101
4.20 Influence de la vitesse sur la courbe force-pénétration pour différents jeux 102
Table des figures
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
Les profils de cisaillage pour une vitesse de 58mm.s−1 . . . . . . . . . .
Zone de rupture ductile, présence de cupule sans inclusions . . . . . . .
Répartition des 3 zones pour une vitesse de 58 mm.s−1 . . . . . . . . .
Répartition des 3 zones pour une vitesse de 154 mm.s−1 . . . . . . . .
Evolution de la pénétration à rupture de l’outil avec le jeu . . . . . . .
Modèle géométrique du poinçonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maillage de la tôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution du maillage pour un jeu de 15, 38% et une vitesse 79, 3mm.s−1 :
(a) pénétration de 50% ; (b) pénétration de 85% . . . . . . . . . . . . .
Séparation du maillage (pénétration 100%) . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution de la contrainte équivalente dans la tôle : Cas de cisaillage
(Vitesse = 154 mm.s−1 , Jeu = 7,69%) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution de la contrainte équivalente dans la tôle : Cas de poinçonnage
(Vitesse = 126,9 mm.s−1 , Jeu = 7,69%) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution de la déformation plastique équivalente dans la tôle : Cas
de cisaillage (Vitesse = 154 mm.s−1 , Jeu = 7,69%) . . . . . . . . . . .
Distribution de la déformation plastique équivalente dans la tôle : Cas
de poinçonnage (Vitesse = 126,9 mm.s−1 , Jeu = 7,69%) . . . . . . . .
Application des paramètres de Gurson identifiés pour une vitesse de
111mm.s−1 à une vitesse de 87, 2mm.s−1 (Jeu identique) . . . . . . . .
Courbes force-pénétration numérique et expérimentale (Vitesse = 126,9
mm.s−1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle géométrique du cisaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes force-pénétration numérique et expérimentale (Vitesse = 154
mm.s−1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xvii
103
103
104
104
105
106
106
107
108
108
109
110
111
112
113
115
117
119
5.1 Mode de détermination de l’état du matériau au voisinage du bord découpé123
5.2 Schéma de principe d’un nanoindenteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Illustration du comportement de la matière sous l’indenteur et définition
des différentes profondeurs caractéristiques (hT , hS , hR et hC ) sous charge
(trait continu) et après décharge (trait pointillé) [28] . . . . . . . . . . 125
5.4 Cycle de charge/décharge du nanoindenteur . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5 Image MEB d’une empreinte résiduelle d’un indenteur conique : (a). Vue
dans le plan ; (b). Vue à 75◦ ; (c). Vue à 45◦ . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6 Echantillon poinçonné utilisé pour un essai de nanoindentation . . . . . 128
5.7 (a). Empreintes du nanoindenteur au voisinage du bord découpé ; (b).
Impact rémanent à la surface d’un échantillon . . . . . . . . . . . . . . 129
5.8 Courbes Charge/Pénétration au voisinage du bord découpé . . . . . . . 130
5.9 Evolution de la dureté au voisinage du bord découpé . . . . . . . . . . 131
5.10 Superposition des deux courbes expérimentale et numérique . . . . . . 132
Table des figures
xviii
5.11 Principe de la méthode inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Caractéristiques du maillage éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13 Evolution de la déformation plastique cumulée p0 au voisinage du bord
découpé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14 Evolution de la limite élastique σy au voisinage du bord découpé . . . .
5.15 Trajet le long duquel est relevée la déformation plastique équivalente
(Vitesse de poinçonnage = 126, 9mm.s−1 ; Jeu = 3, 85%) . . . . . . . .
5.16 Comparaison entre les résultats de l’identification inverse et les prédictions
de la simulation : (a). Déformation plastique équivalente p0 ; (b). Limite
élastique σy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
136
6.1
6.2
6.3
6.4
Aperu général du banc de mesures magnétiques . . . . . . . . . . . . .
Dimensions des culasses et bobinage d’excitation . . . . . . . . . . . . .
Schéma du système d’alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aquisition des signaux à la base du traitement numérique : I(t) et V (t)
(”Sollac M800-65A”, non déformé, champ sinusoı̈dal à 50Hz) . . . . . .
Evolution de B(t) et H(t) calculée sur une période (”Sollac M800-65A”,
non déformé, champ sinusoı̈dal à 50Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesures sur éprouvette non déformée (Sens longitudinal, f=50Hz) . . .
Courbes d’aimantation Bmax (Hmax ) obtenues pour différents taux de
déformation plastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution de µr avec εp pour différentes valeurs de Hmax . . . . . . . . .
Evolution des cycles d’hystérésis dynamiques avec εp . . . . . . . . . . .
Evolution de Bmax avec εp pour trois valeurs de Hmax . . . . . . . . . .
Evolution de µr avec εp pour différentes valeurs de Hmax . . . . . . . . .
Méthode d’évaluation des propriétés magnétiques au voisinage du bord
découpé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution de la perméabilité relative au voisinage du bord découpé. . .
Evolution de l’induction maximale au voisinage du bord découpé (Induction maximale à Hmax = 200 et 1000A.m−1 ) . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution de l’induction maximale au voisinage du bord découpé (Induction maximale à Hmax = 5000A.m−1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
144
145
A.1 Equilibre d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
C.1
C.2
C.3
C.4
191
191
192
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
Cas d’une éprouvette non déformée (sans trou) . . . . . . . . . . . . . .
Cas d’une éprouvette avec trou (9mm de diamètre) . . . . . . . . . . .
Aperçu des équipotentielles (B = 1,1 Tesla). . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes d’aimantation experimentales et numériques pour une éprouvette
avec et sans trou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
138
138
139
148
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158
193
Table des figures
D.1 Influence du poinçonnage sur les caractéristiques magnétiques du ”Sollac
M800-65A”, f=50Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xix
195
Chapitre 1
Introduction
1.1
Introduction
La technique de découpage des métaux est apparue la première fois en 1929. Cette
date a marqué la publication du premier brevet décrivant le procédé de découpage au
moyen d’une machine hydraulique et d’un outillage spécial qui était conçu de manière
à bloquer la matière avant qu’elle ne soit découpée. Vers 1950 plusieurs chercheurs se
sont intéréssés vivement à cette technique qui s’est avérée rapide et moins coûteuse
pour l’obtention de profils donnés et avec la maı̂trise de plusieurs paramètres tels que
la composition chimique et le traitement des aciers constituant l’outillage, on assiste
actuellement à la construction de nouvelles machines plus performantes.
Les procédés de mise en forme des métaux sont des opérations réalisées dans le but
d’obtenir des formes finales désirées dans les applications industrielles. C’est ainsi que
les opérations d’emboutissage ou de forgeage entrent dans cette catégorie. L’opération
de découpage des métaux peut être considérée comme une opération de mise en forme
particulière dans le mesure où le but final est l’obtention d’une pièce mise en forme
par découpage dans une tôle. Cette opération est particulière, parce qu’elle nécessite
une analyse fine où le comportement du matériau voit une dégradation continue de ces
propriétés élastiques et plastiques, pour déboucher à la fin du processus sur la rupture
totale de la partie découpée.
Les procédés d’usinage et de mise en forme des produits plats sont divers. Dans ce travail on s’interessera essentiellement au poinçonnage et au cisaillage comme procédés de
découpe, le premier se faisant avec un outil à contour fermé alors que le second nécessite
INTRODUCTION
2
un outil à contour droit et ouvert.
La norme française d’origine européenne NF EN 10079 (décembre 1992) donne la définition
des produits plats en acier : ”Produits de section droite presque rectangulaire et dont la
largeur est très supérieur à l’épaisseur. Leur surface est techniquement lisse mais peut
également, dans certains cas (par exemple : tôles à larmes), présenter intentionnellement certains creux ou reliefs régulièrement espacés”. Ils sont élaborés en grande partie
par laminage(Figure 1.1).
Fig. 1.1 – Circuit de fabrication des tôles laminées en bandes [2]
1.2
Découpage par poinçonnage ou cisaillage
Le découpage au sens général du terme [29] consiste à enlever de la matière par
un cisaillement normal au plan de la tôle et éventuellement non perpendiculaire à ce
plan. Dans la littérature, les études portent essentiellement sur le poinçonnage [30] et
le cisaillage [31].
Les investigations sur le poinçonnage ont commencé dès le début du siècle dernier. Des
INTRODUCTION
3
études expérimentales et théoriques sur des configurations planes ( [32], [33]) ou axisymétriques ( [34], [35]) ont permis de développer les grandes théories qui définissent les
modes de déformations au cours du processus ainsi que la distribution des contraintes en
fonction de certains paramètres géométriques et matériels. Elles ont montré que, durant
ce procédé, la tôle est soumise à un effort de cisaillement. La théorie du cisaillement
pur pour des tôles minces quant à elle a été bien détaillée par Iosipescu [36]. Dans la
suite, nous nous intéresserons à la compréhension du mécanisme de poinçonnage et des
modes de cisaillement.
1.2.1
Procédé de poinçonnage
”Le poinçonnage est un cisaillage de forme fermée. C’est un glissement de métal
dans un plan transversal entre deux barres, sans que celles-ci se déforment et ne cessent
d’être parallèle. Le débouchage du trou est exécuté à l’aide d’un poinçon et d’une matrice, deux outils comparables aux lames de cisaille [3].”
Les machines classiques de poinçonnage sont constituées d’un poinçon, d’une matrice
et d’un serre-flan. L’ensemble est monté sur une presse mécanique ou hydraulique. Le
poinçon a la forme générale d’un cylindre mais d’autres formes peuvent exister. La tôle
vient se fixer entre la matrice et le serre-flan (Figure 1.2).
Fig. 1.2 – Représentation shématique du procédé de poinçonnage
INTRODUCTION
4
Le poinçon est guidé en translation, généralement avec un mouvement du haut vers
le bas. Initialement le poinçon vient au contact du matériau, et, avec l’accroissement
de la pénétration, il déforme plastiquement la tôle jusqu’à engendrer des fissures. La
croissance et la propagation de ces fissures se font dans les zones proches des rayons de
courbure du poinçon et de la matrice. Finalement, lorsque la pénétration atteint une
valeur critique, une rupture ductile se produit et la matière se sépare donnant ainsi la
forme du produit final. Cette pénétration critique se situe entre 15 et 85% de l’épaisseur
de la tôle (Figure 1.3). Elle dépend essentiellement du jeu, de la ductilité du matériau
et de l’épaisseur de la tôle [22].
Fig. 1.3 – Les différentes phases de poinçonnage [3]
Dans le but d’améliorer et d’optimiser ce procédé, les industries s’appliquent à
analyser l’évolution de l’effort qu’exerce le poinçon sur la matière en fonction de sa
pénétration. La connaissance des efforts de coupe permet un choix convenable de la
INTRODUCTION
5
presse et une meilleure estimation de la durée de vie des outils.Un second indicateur
qui intéresse les industries est le profil de découpe qui permet de juger la qualité finale
du produit.
1.2.2
Procédé de cisaillage
”Le cisaillage, est un glissement de métal dans un plan transversal entre deux barres,
sans que celles-ci se déforment et ne cessent d’être parallèles (Figure 1.4) [37].”
Fig. 1.4 – Représentation shématique du procédé de cisaillage
Il existe deux familles d’essais pour le cisaillage. Les essais effectués à faibles vitesses,
considérés comme quasi-statiques et les essais dits dynamiques.
Pour une configuration quasi-statique de cisaillement de tôles minces, la littérature
décrit deux approches distinctes mettant en jeu différents schémas de mode de cisaillement. Le premier type de configuration est celui proposé par G’Sell [38], décrit dans la
figure 1.5.a.
INTRODUCTION
6
Fig. 1.5 – Configuration des tests de cisaillement, (a) une zone de cisaillement ; (b)
deux zones de cisaillement
Cette configuration a été introduite la première fois pour étudier le cisaillement
des polymères minces (1983). Ce principe a été ensuite repris pour l’étude des aciers
doux [39], la fatigue en cisaillement des alliages d’aluminium [40] et pour les alliages à
mémoire de forme [41]. Les essais de cisaillage présentés dans la suite de ce mémoire utilisent cette méthodologie. La seconde configuration a été élaborée par Yoshida et Myauchi [42]. Elle se base sur le principe d’un cisaillement double (Figure 1.5.b). L’avantage
fondamental de cette configuration est le respect de la symétrie géométrique par rapport
à la direction du chargement. A grande vitesse, les essais de cisaillement se font avec
des bancs expérimentaux spécifiques tels que l’appareillage de Kolsky [43], nommé aussi
SHPB (Split Hopkinson Pressure Bar) combiné pour un essai de cisaillement double. Les
vitesses de déformation atteignent 104s−1. Ces essais permettent d’étudier séparément
l’impact de la déformation, du taux de déformation et de la température sur la réponse
du matériau. D’autres techniques sont à l’étude [11] qui permettent de faire des études
à très hautes vitesses de déformation (supérieures à 104s−1 ). Elles présentent l’avantage
de s’affranchir des bruits parasites et des effets de l’onde de choc qui peuvent intervenir.
INTRODUCTION
1.3
7
Approche expérimentale de l’opération de découpage
Une description du comportement de la tôle au cours de l’opération de découpage
est donnée par Maillard [4], en analysant le diagramme de l’effort vertical exercé sur le
poinçon en fonction de sa pénétration dans la tôle. Il distingue cinq phases principales
comme le montre la figure 1.6.
Fig. 1.6 – Comportement du matériau au cours de l’opération de découpage [4]
Phase OA : Caractérise un comportement élastique. Dans cette phase, la partie de la
tôle découpée subit un bombé attribué à un phénomène de flexion.
Phase AB : L’allure non linéaire de cette portion du diagramme indique une plastification de la tôle, plastification qui est accompagnée par un durcissement du
matériau (écrouissage) caractéristique du comportement d’un matériau ductile.
Phase BC : La chute de l’effort exercé sur le poinçon depuis le point B est liée à une
perte de portance de la tôle. Une partie de l’épaisseur de la tôle au voisinage de
la matrice est cisaillée. Autrement dit, on assiste à un début de découpage par
réduction de la section cisaillée qui engendre l’affaiblissement de la résistance de
la tôle.
Phase CD : La chute brutale de l’effort à une profondeur de pénétration pratiquement
constante, est attribuée à un amorçage de fissure et à la propagation de celle-ci.
INTRODUCTION
8
Phase DE : La résistance de la tôle par cohésion étant totalement mobilisée (phase
AB, phase BC, phase CD) la phase DE semble liée aux différents phénomènes qui
interviennent après cisaillement de la tôle. Une résistance par frottement entre la
pièce découpée et la tôle est présente dans cette phase.
1.3.1
Mécanismes de l’opération de découpage
L’analyse du processus de découpage est complexe car divers phénomènes physiques tels que l’écrouissage, l’endommagement, l’initiation et la propagation des fissures
doivent être pris en considération afin de décrire l’opération entre son début (comportement élastique du matériau) et sa fin (rupture totale de la tôle).
De nombreuses études décrivant les mécanismes de découpe peuvent être trouvées dans
la littérature [44], [45], [4], [46], [47]. Concernant l’influence de la nature du matériau,
Wong et Das [5] décrivent deux cas extrêmes de comportement :
Fig. 1.7 – Aspects expérimentaux du bord découpé [5]
1. Le matériau est ductile. Dans ce cas la matière est parfaitement plastique et
s’écoule d’une façon ductile dans le plan du mouvement de l’outil. Si le jeu entre
le poinçon et la matière est choisi d’une façon optimale, la pièce présente alors un
aspect de bord uniquement cisaillé (Figure 1.7.a). C’est le cas lorsque l’épaisseur
de la tôle est très faible ou lorsqu’on découpe la tôle à chaud. La séparation finale
des deux parties de la tôle se fait quand le poinçon a déjà traversé toute l’épaisseur
de celle-ci pour chasser la partie découpée.
2. Le matériau est fragile. Dans ce cas la matière est sensible à la fissuration. L’apparition de fissures et leur propagation pendant la descente de l’outil à partir des
INTRODUCTION
9
arrêtes de coupe du poinçon et de la matrice provoquent la rupture souvent brutale de la pièce. La pièce présente dans ce cas uniquement une surface de rupture
(Figure 1.7.b).
En réalité, pour la plupart des tôles, le comportement lors du découpage est en
général situé entre ces cas extrêmes. S’il y a un comportement ductile il va y
avoir plus de déformation dans la zone de coupe et on obtiendra une forme en
”S” après rupture. Par contre, si le comportement du matériau est fragile la
zone de découpe ne présentra pas beaucoup de déformation (Figure 1.7.b). Au
début de l’opération, le comportement du matériau est gouverné par une phase
élastoplastique endommageable (jusqu’à la naissance des fissures) et ensuite, une
phase qui consiste en une propagation plus ou moins brutale des fissures jusqu’à
la rupture finale [44], [45]. La modélisation de la découpe peut être basée sur la
mécanique de l’endommagement. Comme l’a montré Hambli [48], il est possible
de simuler la propagation des fissures à partir de la chute brutale du module
d’élasticité endommagé.
Osaki et Yoshikai [46] distinguent deux mécanismes durant la première phase d’écoulement
plastique : le matériau subit d’abord une indentation des parties saillantes de l’outil. Il
est ensuite cisaillé consécutivement au mouvement relatif des deux parties de la pièce
poussée par les lames de l’outil (Figure 1.8).
Fig. 1.8 – Mécanismes d’indentation et de cisaillement
Ils montrent cependant, pour un poinçon à base plane, que lorsque le diamètre est
supérieur à l’épaiseur de la tôle il ne s’agit plus de poinçonnage de petits diamètres
et l’étape d’indentation peut être négligée. Atkins [49], décrit la phase d’écoulement
plastique comme la somme des déformations plastique et d’amorçage de microfissures
provenant des ruptures de particules de seconde phase, de décohésion entre ces particules
10
INTRODUCTION
et la matrice, de la concentration de lignes de glissement dans la zone cisaillée. Cette
description est conforme à celle proposée par Kondo [6], concernant le mécanisme à
l’origine de la formation de la zone cisaillée du bord découpé :
– amorçage de microfissures depuis l’arête de coupe et dirigée vers la région située
sous la face de l’outil où la valeur de la contrainte hydrostatique de compression
est la plus faible.
– rupture des fibres les unes après les autres (Figure 1.9).
Fig. 1.9 – Mécanisme du cisaillement [6]
Au passage de l’arête d’outil, les fissures créées sont raclées ; il se forme alors une surface
lisse caractéristique de la zone cisaillée.
Ce mécanisme s’appuie sur les observations effectuées sur des découpes partielles montrant les distorsions de la texture de laminage sur le bord cisaillé. Les fibres s’allongent
en direction de l’outil et paraissent comme coupées au niveau du plan de cisaillage.
Pendant la phase de rupture, l’amorçage des fissures se produit en aval de l’arête de
coupe [50]. Ces fissures se propagent et provoquent la rupture de la pièce avant que le
poinçon n’ait traversé la tôle. Organ et Mellor [51], ont observé des faciès de rupture
de matériaux métalliques et ont montré des surfaces à cupules caractéristiques de la
rupture ductile.
1.3.2
Bilan sur le comportement du matériau au cours de la
découpe
Cette revue bibliographique du comportement du matériau pendant l’opération
de découpe montre que la simulation complète de l’opération doit rendre compte de
différents mécanismes tels que :
INTRODUCTION
11
– la phase élastique correspondant au début de l’opération,
– la phase plastique avec écrouissage du matériau pendant laquelle le bombé se
forme, la tôle est ensuite cisaillée suivant un mécanisme qui semble conjuguer
les déformations et les ruptures de fibres. Simultanément, la croissance rapide
de la flexion de la tôle et la réduction des surfaces d’appui de l’outil ont pu
être constatées pendant cette phase [50]. L’évolution du contact tôle-outil et tôlematrice devra également être pris en compte dans la simulation,
– la phase de rupture finale. Cette phase correspond à un processus d’amorçage et
de coalescence de macrofissures suivant un processus de rupture ductile.
Compte tenu de l’objectif de notre étude, il sera donc nécessaire de rendre compte
de ces phases de l’opération de découpe pour mener à bien la simulation de ce procédé.
1.4
Modélisation éléments finis de l’opération de
découpage
La modélisation numérique s’impose comme un moyen d’étude et de recherche dans
l’industrie. Ces vingt dernières années, des progrès notables ont été réalisés dans le
développement des méthodes de calculs pour une grande variété de procédés de mise
en forme tel que le poinçonnage ou le cisaillage. Les premiers travaux de recherche
recensés dans ce domaine [52] concernent la simulation de procédés 2D en supposant un
comportement rigide plastique du matériau. Depuis des conférences internationales ont
été organisées à partir de 1986 concernant la mise en forme des matériax (Numiform), et
de manière plus spécifique la mise en forme des tôles (Numisheet), afin de confronter les
avancées techniques dans ces domaines. Ainsi, de nombreux logiciels de simulation de
procédés de mise en forme sont disponibles sur le marché, comme les codes généralistes
(ABAQUS, MARC, ADINA...).
Dans le cas de la simulation numérique du procédé de découpage tels que le poinçonnage
ou le cisaillage, les besoins exprimés par l’industrie concernant la fiabilité et la rapidité
des simulations, nécessitent le développement des modèles théoriques et numériques
permettant de reproduire l’opération de mise en forme. Ces modèles sont ainsi mis
au point afin de résoudre les difficultés qui proviennent des multiples non-linéarités
mécaniques couramment rencontrées dans la simulation des procédés de mise en forme
telles que :
– Les non-linéarités géométriques qui apparaissent dans les problèmes comprenant
des grandes déformations, déplacements et rotations.
– Les non-linéarités matérielles dues à la loi de comportement du matériau.
– Les non-linéarités liées aux variations des conditions aux limites dues au contact.
INTRODUCTION
12
Numériquement, ces difficultés se manifestent à différents niveaux en particulier pour :
– La résolution des équations non linéaires d’équilibre ;
– L’intégration des lois de comportement ;
– La résolution des problèmes locaux de contact et de frottement couplés avec la
résolution globale des équations d’équilibre ;
– Les fortes distorsions du maillage apparaissant au cours du calcul et conduisent à
une solution erronée voire à l’arrêt prématuré des calculs.
1.4.1
Algorithmes de résolution
La résolution des équations d’équilibre non linéaires constitue un domaine de recherche important dans la modélisation numérique des structures. Plusieurs techniques
numériques ont été développées, et une comparaison des différentes méthodes peut être
trouvée dans [53] et [54]. En particulier, pour des procédés de mise en forme simples,
la méthode implicite dite quasi-statique permettant d’assurer l’équilibre à chaque pas,
apparaı̂t comme la plus efficace. Le développement de cette méthode a été assurée
pendant les années 80. Cependant, le passage à la résolution de problèmes 3D a fait
apparaı̂tre d’autres complications comme des instabilités dues aux états de contraintes
locaux, à l’augmentation des inconnues dues au contact. Ces difficultés se traduisent
par un nombre d’incréments et d’itérations d’équilibre important et des temps de calculs longs avec risque de non convergence du processus. Ainsi des approches explicites
statiques et dynamiques ont été développées ces dernières années. Actuellement, la majorité des simulations à grandes échelles des procédés de mise en forme, sont réalisées
avec des méthodes dynamiques explicites. Ces méthodes 1 , néanmoins peuvent devenir
instable si le pas de calcul n’est pas assez petit, ce qui conduit à des temps de résolution
importants.
1.4.2
Remaillage pour l’opération de découpage
Pour de nombreux problèmes pratiques de calcul par éléments finis, les stratégies
de remaillage sont nécessaires pour obtenir une solution numérique avec une précision
définie a priori. Dans le cas de la découpe, l’adaptivité du maillage est un outil essentiel.
Pour la méthode des éléments finis, il est communément admis que la précision des
1
Nous décrivons dans l’annexe A, les algotithmes de résolution utilisés dans les problèmes de mise
en forme.
INTRODUCTION
13
résultats obtenus en calcul de structures et le temps de calcul, dépendent largement
de la précision de la discrétisation temporelle et spatiale employées. Ainsi, de manière
empirique, les utilisateurs de codes de calculs apportent couramment des modifications
jugées bonnes, au maillage décrivant la géométrie de leur problème, afin d’obtenir des
résultats de grande qualité, pour un coût de calcul acceptable. Le but de ces modifications est d’enrichir l’approximation en adaptant soit la taille des éléments soit le degré
d’interpolation polynomiale des éléments.
Plusieurs approches ont été développées et utilisées dans les problèmes linéaires et dans
certains problèmes non linéaires. L’un des premiers articles à traiter de ce problème
pour la mise en forme des matériaux a été présenté par Zienkiewicz [55]. En utilisant la
technique de projection-lissage développée pour les problèmes linéaires, l’auteur propose
un estimateur d’erreur basé sur le taux d’énergie dissipée. L’utilisation de cet estimateur a été prolongée pour la localisation de contrainte en cisaillement [56] et aussi lors
de l’application des modèles poreux [57]. D’autres auteurs se sont intéréssés à l’application de cet estimateur pour les problèmes non linéaires comme Fourment (application
de la déformation viscoplastique lors de la mise en forme des matériaux [58]) et Moal
(couplage thermomécanique avec un modèle viscoplastique parfait [59]).
Dans le contexte de la localisation des déformations, Péric [60] a introduit la formulation
thermodynamique pour indiquer l’erreur lors des petites déformations élastoplastiques.
L’utilisation d’un indicateur d’erreur a été étendue plus tard aux problèmes à grandes
déformations élastoplastiques. Certains auteurs utilisent un schéma d’intégration implicite, d’autres des algorithmes dynamiques explicites. La combinaison entre différents
indicateurs d’erreurs a été aussi envisagée ( [61], [62]).
Les indicateurs d’erreurs
– Indicateurs d’erreurs en plasticité : Le premier pas vers les indicateurs d’erreur applicables en grandes déformations pour les problèmes élastoplastiques est
de modifier, d’une façon appropriée, les variables d’états. L’estimation de l’erreur
peut se faire par une procédure élémentaire : on remplace les valeurs exactes des
variables et de certaines dérivées utiles au problème par les valeurs post-traitées
obtenues par simulation numérique. Il existe des indicateurs d’erreurs basés sur
la norme de l’énergie, sur la dissipation plastique et sur le travail plastique.
Il est possible de combiner plusieurs indicateurs d’erreurs. On peut définir par
exemple un indicateur unique qui rassemble celui basé sur la norme d’énergie et
celui de la dissipation plastique (ou du travail). L’indicateur d’erreur le plus approprié pour traiter les problèmes industriels les plus répandus (grandes déformations
élastoplastiques) est celui basé sur le taux du travail plastique. Cependant, pour
INTRODUCTION
14
des problèmes qui présentent de grands gradients de déformations localisés, c’est
à dire qui traitent de l’endommagement, la formulation d’indicateurs d’erreurs
plus spécifiques est indispensable.
– Indicateurs d’erreur pour l’endommagement : L’idée essentielle pour modéliser
correctement l’endommagement du matériau est de corréler la procédure de remaillage avec le mécanisme d’endommagement. Ainsi, la mesure d’erreur est effectuée suivant des indicateurs du taux d’endommagement et la procédure de remaillage ne se fait plus uniquement sur le critère de l’évolution de la déformation
plastique mais s’intéresse aussi aux régions de rupture.
Au départ, le critère utilisé pour représenter la rupture ductile était basé sur le
travail total de la plasticité. Par la suite, Kachanov [63] présenta une analyse alternative de la rupture ductile connue sous le nom de ”mécanisme continu d’endommagement”. Le développement des techniques expérimentales et l’amélioration des
modèles élastoplastiques en analyse par éléments finis a favorisé l’implantation de
cette analyse pour les processus de mise en forme des matériaux [64].
La plupart des simulations numériques récentes investissent énormément dans le
choix du critère approprié qui pilote la procédure de remaillage. Un schéma de remaillage
adaptatif a été proposé par Ortiz [65] dans lequel la densité du maillage augmente
dans certaines régions. Le remaillage adaptatif consiste à adapter le maillage initial à
l’évolution de la géométrie en cours de la déformation. Il est basé sur la formulation
mixte Euler-Lagrange.
La formulation mixte Euler-Lagrange(ALE)
Les inconvénients des formulations lagrangienne et eulérienne peuvent être largement minimisés grâce à l’adoption de formulations mixtes eulériennes/lagrangiennes.
D’une manière générale, dans la littérature, on dénomme formulation mixte eulérienne/lagrangienne ou formulation eulérienne/lagrangienne arbitraire, toute formulation contenant simultanément une part eulérienne et une part lagrangienne. Pour conserver une
notation classique, l’abréviation anglo-saxone est conservée dans la suite du texte :
cette formulation est ainsi appelée formulation ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian)
( [7], [66], [67]).
La formulation ALE permet de combiner les avantages de la représentation lagrangienne (bonne définition des frontières variables, facilité d’imposer des conditions aux
limites matérielles) et ceux de la formulation eulérienne (possibilité de prise en compte
INTRODUCTION
15
de grandes distorsions). Le principe de cette formulation mixte est l’utilisation de
maillages se déplaçant à taux indépendant (bien que non nul) de celui de la matière.
En conséquence, la matière se déplace par rapport au maillage, comme dans une formulation eulérienne pure, mais la forme extérieure des éléments est contrôlée par les
conditions aux limites du problème, comme dans une formulation lagrangienne.
La figure 1.10 illustre les difficultés associées aux formulations eulériennes et lagrangienne ainsi que l’intérêt de la formulation ALE 2 .
Fig. 1.10 – Intérêt de la formulation ALE : (a) Formulation eulérienne (non coı̈ncidence
des frontières) ; (b) Formulation lagrangienne (distorsions) ; (c) Formulation ALE [7]
L’adaptivité du maillage est un élément nécessaire dans l’analyse numérique et qui
se fait par diminution de la taille des éléments là où la qualité de la solution n’est
plus garantie soit par augmentation de la taille là où s’est nécessaire. Les indicateurs
d’erreurs permettent d’effectuer cette adaptavité d’une manière automatique.
Décision de remaillage
La décision de remaillage est pilotée par l’utilisateur qui fixe une fréquence d’exécution
du remaillage en fonction du procédé simulé. Cette procédure semble bien adaptée au
problème traité pour lequel l’évolution de la déformation est globalement uniforme.
D’autres critères de décision sont néanmoins envisageables.
2
La mise en équations de la formulation ALE est détailée dans l’annexe B.
16
INTRODUCTION
– Critères géométriques : Lorsque l’erreur de discrétisation des contours devient trop importante, il est nécessaire de régénérer le maillage en augmentant la
discrétisation dans ces zones. Ce critère géométrique s’appuie sur la discrétisation
des zones en contact. Il est calculé de la manière suivante.
Supposons qu’un contacteur maı̂tre pénètre d’une distance ζ, sur le côté d’un
élément de contact esclave(1 − 2), comme présenté ci-dessous (Figure 1.11).
Fig. 1.11 – Critère de pénétration
Le remaillage est réalisé lorsque la pénétration maximum ζmax (analogue à l’erreur
de troncature géométrique) rencontrée sur tous les éléments du modèle atteint une
valeur seuil ζ0 donnée par l’utilisateur.
Cette procédure permet ainsi de déclencher le remaillage lorsque la discrétisation
des contours n’est pas assez précise pour représenter correctement la géométrie
évolutive du problème. Cependant cette procédure n’est sensible que dans des
phases de pénétrations importantes d’outils. Ainsi, il a été trouvé que des distorsions majeures d’éléments peuvent ne pas être corrigées à temps par l’application
de cette procédure.
Une autre approche consiste à vérifier la qualité géométrique de chaque élément au
cours des pas, et à exécuter un remaillage lorsqu’un critère de qualité est dépassé.
De nombreux critères ont été évalués dans la littérature [68] et cette méthode est
couramment employée. Cependant, elle est applicable lorsque le mailleur utilisé
est de qualité suffisante pour garantir des facteurs de forme des éléments acceptables pour toute géométrie.
INTRODUCTION
17
– Critère énergétique : Ces critères sont essentiellement basés sur des estimateurs d’erreur locaux. Le remaillage est décidé lorsqu’une erreur globale sur la
structure ou une erreur locale sur un élément dépasse l’erreur admissible prescrite
par l’utilisateur.
1.5
Synthèse
Le poinçonnage et le cisaillage sont largement utilisés dans la catégorie des procédés
dit conventionnels, du fait de leur simplicité de mise en place et du faible coût de revient. Au long de ces dernières décennies, d’autres procédés, non conventionnels, ont été
développés. Ils permettent une meilleure productivité (rendement important, vitesse de
découpe élevée) et l’obtention de formes complexes mais leur coût est encore relativement élevé.
Concernant les méthodes numériques, ils constituent en général un outil efficace pour la
conception de procédés de mise en forme. Dans le cas du poinçonnage, ou du cisaillage, la
mise en place d’un simulateur numérique permet, par une approche itérative, une optimisation du procédé. Elle est d’une grande importance dans la phase de développement
du procédé pour d’une part, établir les trajets de chargement (pression, déplacement) et
d’autre part, pour étudier la sensibilité aux paramètres. Dans l’industrie, l’application
de la méthode des éléments finis est assez récente. L’utilisation des ordinateurs très
puissants permet depuis peu d’avoir des applications en trois dimensions. De plus, la
simulation numérique permet de mieux comprendre le procédé en suivant l’évolution
des variables internes lors du poinçonnage ou du cisaillage, elle facilite également la
mise au point du procédé et la détermination des limites réduisant ainsi le nombre de
tests préparatoires.
1.6
1.6.1
Problématique liée à la thèse
Problématique en découpage des tôles minces ferromagnétiques
La mise en forme des tôles ferromagnétiques utilise les mêmes procédés classiques
que ceux employés pour les tôles minces non magnétiques : découpage par cisaillage,
poinçonnage, etc.
Les appareils électromécaniques, que ce soient les transformateurs ou les moteurs électriques,
INTRODUCTION
18
sont constitués de tôles minces empilées les unes sur les autres et assemblées entre elles
par divers processus tels que rivettage, boulonnage ou soudage. Les tôles sont découpées
selon des formes bien particulières, spécifiques au type d’appareil auquel elles sont destinées. Les techniques de découpe diffèrent d’un fabricant à l’autre ; cependant nous
retrouvons toujours les mêmes opérations de base : cisaillage, perçage, poinçonnage.
Fig. 1.12 – Formes typiques de tôles magnétiques obtenues après mise en oeuvre
INTRODUCTION
19
La figure 1.12 représente plusieurs formes typiques de tôles ferromagnétiques :
– A : Tôles de stator à profil de dents complexe, utilisées pour la conception de
moteurs pas à pas.
– B : Tôles laminées pour rotor et stator obtenues par poinçonnage et perçage.
– C : Formes de tôles magnétiques employées dans les transformateurs et systèmes
électromécaniques, etc.
Les aciers magnétiques peuvent se classer selon leur aptitude aux procédés de
découpage. Les alliages présentant les meilleurs propriétés mécaniques pour la mise
en forme sont les aciers conventionnels à bas carbone. Cependant, leurs propriétés
magnétiques restent médiocres. Viennent ensuite les aciers au silicium non orientés
puis les alliages orientés, dont la texture a tendance à les fragiliser. Les matériaux les
plus difficiles à usiner sont les FeNi et FeCo. Nous constatons que plus les propriétés
magnétiques du matériau sont bonnes, moins celui-ci est facile à mettre en oeuvre. Un
compromis est donc à rechercher entre ces deux propriétés, qui dépend essentiellement
de l’utilisation prévue du matériau.
Dans le cas du découpage de tôles de stators et de rotors, les différentes opérations
sont souvent automatisées ; la figure 1.13 montre une séquence typique d’opérations de
fabrication de stators et de rotors à partir d’une tôle.
Fig. 1.13 – Différentes étapes possibles pouvant intervenir dans un processus de découpe
d’un stator et d’un rotor dans une tôle laminée [8]
La matière otée au centre du stator est utilisée pour le rotor. Les presses sont souvent
à découpes multiples : plusieurs éléments de stators et rotors sont ainsi simultanément
découpées dans une tôle.
Les matrices utilisées pour le poinçonnage des tôles sont à une ou plusieurs entailles.
Celles à entaille unique représentent un coût moins élevé pour le fabricant. De plus,
l’outil peut être utilisé sur différents alliages et pour différentes géométries de moteurs.
Ces matrices servent pour des productions limitées. Au contraire, les matrices à entailles multiples permettent à la presse d’opérer à capacité maximale sans interruption.
INTRODUCTION
20
Cependant, tout changement dans la conception du produit rend l’outil inutilisable.
Les pièces plates découpées présentent souvent un cambrage. Il peut s’agir d’un galbe
initial de la tôle ou d’un effet de la découpe. L’aptitude à la découpe d’une tôle est
déterminée par la nature même du matériau et de l’outil de découpe utilisé. La bavure
générée lors de la découpe dépend principalement de l’affûtage de l’outil. Une hauteur
de bavure très importante peut engendrer le refus du produit, surtout pour les pièces
de faibles épaisseurs. Le poinçonnage ou le cisaillage génèrent des endommagements
complexes en bord de découpe, avec des zones en forte traction et compression [4].
Le produit présente alors une dégaradation importante des propriétés magnétiques du
matériau lors de sa mise en oeuvre. Pour des raisons de compétitivité, les diverses
opérations de découpe des tôles doivent s’effectuer dans des délais raisonnables. Sauf
cas particuliers, le produit ne subit aucun recuit après sa mise en forme.
De nombreux types de tôles sont livrés enduits d’un revêtement isolant, protecteur
contre la corrosion et qui améliore l’aptitude de découpe de la tôle [69]. Ce revêtement,
de nature organique ou inorganique [70], est très souvent déposé en fin de production
des bandes laminées. La mise en forme finale des machines s’accompagne alors souvent
d’un rattrapage des défauts de planéité, de bavures, de l’alignement, ou du galbe. Elle
nécessite l’emploi de techniques agressives pour la tôle : serrage en force, mise sous
contraintes des pièces, soudage, moulage, etc, [71].
1.6.2
Objectifs de la thèse
Parmi l’ensemble des opérations réalisées dans le travail des tôles, l’opération de
découpage tient une place à part. En effet, l’emboutissage, le pliage ou le relevage de
collerette sont, par exemple, des opérations qui sollicitent la tôle dans le domaine plastique alors que le découpage, par définition, a pour but de dépasser ce domaine et
d’endommager le matériau jusqu’à créer des fissures nécessaires pour amorcer la rupture et détacher la pièce découpée de la tôle. Cette opération est cependant souvent liée
aux autres opérations : découpage de flan pour emboutissage, poinçonnage suivi d’un
relevage de collerette, détourage de pièce embouties, etc.
Le poinçonnage et le cisaillage sont les procédés conventionnels les plus couramment
utilisés dans l’industrie pour le découpage. Au cours de son utilisation, l’outil peut
connaı̂tre des problèmes de casse (bris d’outil), d’écaillage (rupture locale sur le bord de
l’outil) et d’usure progressive des parties actives conduisant en général à un émoussement
des arêtes de coupe qui peut être nuisible à la qualité des pièces découpées.
Un fort couplage entre le comportement magnétique et l’état mécanique du matériau
INTRODUCTION
21
existe. Les caractéristiques magnétiques sont sensibles à la composition chimique du
matériau, à sa texture cristallographique, mais aussi aux contraintes mécaniques internes appliquées. Or, les procédés de découpage utilisent des techniques qui déforment
plastiquement la matière jusqu’à la rupture finale. Ils engendrent ainsi une dégradation
inévitable et importante du comportement magnétique des tôles, essentiellement aux
bords découpés. Ce phénomène nuit au rendement des machines électriques et les industries cherchent à prévoir, en amont de leur fabrication, cette perte énergétique afin
de mieux dimensionner les pièces les constituant.
A l’Université de Technologie de Compiègne, des travaux de recherche ont été initiés
dans le but d’estimer l’influence des découpes et des contraintes mécaniques engendrées
sur le comportement magnétique du point de vue macroscopique. Hug [8], s’est intéressé
à l’étude des dégradations des propriétés magnétiques d’alliages doux avec la déformation
plastique. Les alliages étudiés sont des Fe-3%Si à grains orientés et le FeCo-2%V.
Hubert [72], puis Iordache [27] ont étudié l’impact des contraintes, internes et appliquées, sur le couplage magnétomécanique. Il découle de leurs travaux que les propriétés magnétiques se dégradent rapidement et d’une façon très prononcée dès les
faibles déformations plastiques. Les bords de découpe des pièces sont les zones les plus
affectées par cette dégradation.
S’inscrivant dans un projet global sur ce thème, les travaux présentés ont pour objectif d’établir des corrélations entre le procédé de mise en forme qui est le découpage
(poinçonnage et cisaillage), l’état du matériau qui en résulte et les propriétés magnétiques
de ce dernier. Les travaux présentés dans ce mémoire porte sur deux volets ; d’une
part l’étude expérimentale et numérique des procédés de poinçonnage et de cisaillage.
D’autre part, la mise au point d’un système de mesures des propriétés mécaniques
(l’état local de l’écrouissage du matériau) et les propriétés magnétiques au voisinage du
bord découpé des produits mis en forme. La combinaison des deux volets, constitue une
contribution très importante au développement d’un outil d’aide à la conception de machines électriques tournantes par le biais d’un modèle prédictif permettant d’établir des
corrélations entre le procédé de découpe et la dégradation des propriétés magnétiques
des tôles découpées.
INTRODUCTION
22
Fig. 1.14 – Outil prédictif de la dégradation des propriétés magnéto-mécaniques au
voisinage du bord de découpe
1.6.3
Plan du mémoire
Par soucis de clarté, ce document a été scindé en cinq chapitres, outre une introduction et une conclusion.
Après avoir décrit la problématique liée au découpage, situer le contexte de la thèse et
fixé les objectifs des travaux dans le chapitre 1, une étude bibliographique montrant
l’influence de certains paramètres sur le procédé de découpage et la qualité de produit
ainsi obtenu à l’issu d’une telle opération, est présentée dans le chapitre 2. Ce chapitre
comporte également une description de certains modèles de comportement sensibles
à la vitesse de déformation. Un intérêt particulier est porté aussi dans ce chapitre, à
l’étude des caractéristiques des pièces découpées et l’influence d’une telle opération sur
les propriétés magnéto-mécaniques du matériau.
Dans le chapitre 3, on décrit la caractérisation du matériau à l’étude, le Fe-3%Si, ainsi
qu’à la modélisation de son comportement mécanique. Une loi de comportement appropriée au caractère dépendant de la vitesse de déformation est identifiée pour une
INTRODUCTION
23
implémentation numérique.
Le quatrième chapitre présente une étude expérimentale et numérique détaillée du
poinçonnage et du cisaillage. L’étude expérimentale porte sur l’influence du jeu et de la
vitesse de découpe. Les travaux numériques s’intéressent à la validation de la simulation
complète des procédés.
Le cinquième chapitre est didié à la caractérisation mécanique du matériau au voisinage
du bord de découpe. On présente notamment la méthode employée pour quantifier le niveau d’écrouissage. Il s’agit de la technique de nanoindentation couplé avec la méthode
d’identification inverse.
Enfin, le chapitre 6 est consacré à la caractérisation magnétique au voisinage du bord
de découpe. Une campagne d’essais est mise en place pour étudier les modifications du
comportement magnétique d’un matériau ayant subi un certain niveau de déformation
plastique. Les résultats ainsi obtenues sont corrélés avec les résultats issus de test de
nanoindentation afin d’évaluer la variation de certaines grandeurs magnétiques au voisinage du bord de découpe.
La démarche développée dans ce travail y est décrite et les résultats obtenus sont exposés.
Chapitre 2
Revue de littérature
2.1
Introduction
Le problème de découpe induit de fortes non-linéarités géométriques et matérielles.
Des phénomènes d’instabilité apparaissent durant la phase d’adoucissement et la rupture intervient d’une manière très rapide. Le métal mis en question perd alors son
homogénéité et ne présente plus l’élément de volume au sens de la mécanique des milieux continus.
Ce chapitre, présente une revue de la littérature portant sur les différents paramètres
qui entrent en jeu durant l’exécution d’une telle opération. L’accent a été mis aussi sur
le choix des modèles théoriques nécessaires pour la description du procédé de découpage
des tôles. Une fois que le procédé de découpe est mené à terme : quelles sont les caractéristiques des pièces découpées ? Autrement dit, quel est l’état du matériau au
voisinage des bords découpés ?
25
REVUE DE LITTERATURE
2.2
2.2.1
Influence de quelques paramètres sur le procédé
de découpage
Jeu entre le poinçon et la matrice
Le jeu j correspond à la distance radiale séparant l’arête coupante de l’outil de la
matrice. Il est généralement rapporté à l’épaisseur de la tôle (en %) par l’expression
suivante :
Rm − Rp
∗ 100(%)
(2.1)
e
où Rm , Rp et e sont respectivement le rayon de la matrice, le rayon de l’outil et
l’épaisseur de la tôle (Figure 1.2).
j=
Ce paramètre affecte de manière significative aussi bien la durée de vie de l’outil, que
l’effort maximum de découpe ainsi que la précision dimensionnelle du produit fini [73].
En effet, plus le jeu est grand plus l’effort maximal diminue. Cependant, pour avoir une
meilleure qualité de la surface de découpe, il est préférable de diminuer le jeu car la
hauteur de la bavure lui est proportionnelle [73]. Ainsi, le jeu optimum est celui pour
lequel la direction de propagation des fissures coı̈ncide avec la ligne joignant les angles
du poinçon et de la matrice [74]. La figure 2.1 illustre schématiquement les différents
aspects de la fissuration de la tôle soumise à un découpage avec différents jeux [9].
Fig. 2.1 – Propagation de la fissure pour différents jeux [9]
Des observations expérimentales ont montré qu’un jeu entre le poinçon et la matrice
trop faible, provoque un phénomène de dédoublement de la surface de rupture et accroı̂t
REVUE DE LITTERATURE
26
la vitesse de l’usure des outils alors qu’un jeu excessif provoque un bombé trés marqué
du produit. D’une façon générale, il n’existe pas de règle permettant de déterminer un
jeu optimal pour une fabrication donnée. Chaque ouvrage propose des valeurs de jeu
plus ou moins concordantes. Le choix final s’appuie sur l’expérience personnelle des
opérateurs.
2.2.2
Géométrie de l’outillage
Généralement, dans l’industrie, les rayons du poinçon et de la matrice sont choisis
de façon identique. Plusieurs études ont été effectuées pour déterminer l’impact de ces
paramètres sur l’opération de découpe des tôles minces [75], [23]. Parmi les conclusions
les plus significatives, on notera que la pénétration de l’outil, avant rupture, croı̂t avec
l’accroissement du rayon de l’outil et de la matrice, et qu’un grand rayon rend plus
difficile la naissance et la propagation de fissures du côté de l’outil.
On trouve dans [46] une étude expérimentale examinant l’influence de la géométrie de
l’outillage sur la qualité géométrique du bord découpé. Les auteurs de [47] ont pu mettre
en évidence la dépendance entre le faciès de rupture et la géométrie du bord tranchant
de l’outillage. En se basant sur une étude micrographique des pièces découpées, ils ont
montré que les phénomènes liés à la naissance et à la propagation des fissures, et par
conséquent l’aspect du bord découpé dépendent entre autre de la géométrie du bord
tranchant du poinçon.
2.2.3
Coefficient de frottement
Les études concernant l’effet du coefficient de frottement sur l’opération de poinçonnage
ne sont pas très nombreuses, ceci étant lié à la difficulté de quantifier ce paramètre au
cours de tests expérimentaux. Maiti [76] a montré lors de ses études sur le poinçonnage
des tôles minces que l’accroissement du coefficient de frottement se traduit par une
augmentation de l’effort exercé par le poinçon sur la tôle.
2.2.4
Epaisseur de la tôle
Comme l’a montré Chang [34], l’épaisseur de la tôle est l’un des facteurs les plus
importants conditionnant la géométrie du bord. Dans [45], Lange a constaté que pour
des conditions opératoires données et pour une nuance de matériau donnée, le bord
REVUE DE LITTERATURE
27
découpé change de profil en fonction de l’épaisseur de la tôle.
D’autres paramètres liés au procédé de fabrication tels que la vitesse de découpe et la
température de la tôle ont une influence sur la qualité géométrique du produit découpé.
Jana et al. [44] ont montré qu’en augmentant la vitesse de découpe du poinçon on
améliorait la qualité du bord découpé. A faible vitesse, les auteurs constatent que des
fissures secondaires apparaissent sur le bord découpé qui sont dues au processus qui
gouvernent les phénomènes de création et de propagation des fissures variant avec la
vitesse du poinçon.
2.2.5
Vitesse de découpe
Peu d’auteurs ont traité l’impact de la vitesse de découpe sur la courbe effortpénétration. Stegman [77] a montré que pour un acier X30Cr13, l’augmentation de la
vitesse de poinçonnage de 0, 1mm/min à 100mm/min a pour conséquence d’augmenter
l’effort maximum de 1000 N. Une étude plus récente [10], portant sur le même acier,
mais avec une gamme de vitesses de poinçonnage allant de 0, 001mm/s à 1000mm/s a
montré que l’effort de poinçonnage croit d’une façon linéaire pour les faibles vitesses.
Au-delà de 1mm/s, cet effort se sature et ne croı̂t plus (Figure 2.2).
Fig. 2.2 – Evolution expérimentale de l’effort de poinçonnage en fonction de la vitesse
pour un acier X30Cr13 [10]
Ce phénomène peut être attribué à l’adoucissement thermique. En effet, dans le
cas des aciers, une augmentation de la température engendre une diminution de la
REVUE DE LITTERATURE
28
contrainte d’écoulement plastique. Pour les faibles vitesses de poinçonnage, le travail
de la déformation plastique dégage de la chaleur, qui n’est pas assez importante pour
participer à l’adoucissement de la matière. Ainsi, l’effort maximal continue à croı̂tre logiquement. Cependant, au-delà d’une certaine vitesse de déformation, le gradient local de
température devient assez important pour contribuer à la diminution de la contrainte
d’écoulement. L’effort maximal n’évolue plus de la même manière, et dans le cas de
l’acier X30Cr13, devient constant. Toutefois, pour la majorité des aciers, l’effort maximum est indépendant de la vitesse tant que celle-ci reste dans la gamme des vitesses
très faibles.
Klepaczko [11] a étudié l’influence de la vitesse de cisaillement pour un acier XES (laminé à froid pour emboutissage profond), écroui et d’épaisseur 0, 6mm. La gamme des
vitesses quasi-statiques correspond à 10−3 s−1 < Γ̇ < 10s−1 et celle des vitesses dynamiques à 102 s−1 < Γ̇ < 104 s−1 . Les premières mesures exploitables avec un essai de
double cisaillement sont les courbes déformation-contrainte de cisaillement τ = f (Γ)
(Figure 2.3).
Fig. 2.3 – Résultats expérimentaux en double cisaillement pour un acier XES 10−4 s−1 <
Γ̇ < 10s2 [11]
REVUE DE LITTERATURE
29
Il apparaı̂t très clairement une augmentation de la contrainte d’écoulement avec la
vitesse de déformation Γ̇ (Figure 2.4).
Fig. 2.4 – Contrainte maximale en fonction du taux de déformation logarithmique [11]
2.2.6
Influence de la vitesse de déformation et de la température
Sensibilité à la vitesse
Les aciers peuvent exhiber une sensibilité à la vitesse de déformation plus au moins
importante.
Tous les travaux qui ont porté sur la caractérisation des aciers et la détermination de
leurs comportements en dynamique s’accordent pour affirmer que quelque soit le mode
de sollicitation, on observe les phénomènes suivants :
– Dans le domaine des vitesses pouvant être considérées comme lentes (traditionnellement comprises entre 4.10−4 et 5s−1 ), on constate une sensibilité à la vitesse qui
se traduit par une augmentation modérée de la limite d’écoulement avec la vitesse
ainsi qu’une augmentation moins marquée de la charge à la rupture. L’allongement
à rupture peut augmenter pour des vitesses relativement faibles (quasi-statiques)
mais la tendance qui accompagne l’augmentation de la vitesse de déformation est
généralement une légère diminution de l’allongement final. Dans ce domaine de vitesses, nous avons un comportement élastoplastique avec écrouissage non linéaire
du matériau.
REVUE DE LITTERATURE
30
– Lorsqu’une vitesse seuil (de transition) de l’ordre de 2s−1 est atteinte, la limite
d’élasticité (d’écoulement) et la charge à la rupture sont identiques. Le comportement de l’acier est élastoplastique parfaitement plastique (écrouissage nul).
– Aux vitesses supérieures pouvant atteindre 100s−1 ou plus, la limite d’écoulement
est supérieure à la charge à la rupture et continue à augmenter très vite avec
la vitesse de déformation. Ce comportement se caractérise par un écoulement
sans effort du matériau dès que la limite d’écoulement est atteinte. La contrainte
diminue avec la déformation, nous avons donc un écrouissage négatif.
Ce phénomène de vitesse de transition est connu depuis très longtemps. En 1944 Manjoine [12] a mis en évidence ce phénomène pour un acier doux de limite d’élasticité
égale à 205 MPa (en quasi-statique) en réalisant des essais de traction uniaxiale à des
vitesses allant de 10−3 à 106s−1 . Les résultats de ces essais sont montrés sur la figure
2.5.
Fig. 2.5 – Courbes contrainte-déformation obtenues lors d’essais de traction dynamique
sur un acier doux entre 1.10−3 et 106s−1 [12]
Dans le cas des CC (c’est le cas du Fe-Si), il est couramment rapporté dans la
littérature ( [78]- [79]) que l’augmentation de la vitesse de déformation induit une
forte augmentation de la limite d’élasticité mais que l’écrouissage est moins influencé.
Ces effets sont inversés pour la structure cubique à faces centrées (CFC). Des travaux
entrepris par Rosenfield et Hann en 1966 [13] ont permis de définir trois domaines
distincts de sensibilité à la vitesse de déformation. Le premier domaine où la vitesse de
déformation varie entre 10−6 et 10−2 s−1 est relativement insensible. Dans cette zone, les
REVUE DE LITTERATURE
31
mécanismes athermiques sont prédominants. Le second domaine se situe dans une plage
de vitesses comprises entre 10−3 et 103 s−1 . Dans celui-ci, les métaux CC présentent une
sensibilité quasi-linéaire et les mécanismes thermoactivés sont prépondérants. Enfin,
pour les vitesses de déformations très élevées ε̇ > 103 s−1 , la contrainte d’écoulement
plastique est fortement influencée par la vitesse de déformation. Pour ces vitesses dites
dynamiques, les mécanismes d’amortissement visqueux sont prédominants, le matériau
se comporte comme un fluide visqueux.
Sensibilité à la température
En règle générale, la température joue un rôle inverse à la vitesse de déformation :
une augmentation de la température aura pour conséquence de réduire la contrainte
d’écoulement (Figure 2.6).
Fig. 2.6 – Evolution schématique de la contrainte de cisaillement normalisée avec la
température pour deux vitesses de déformation [13]
Lors de la déformation dynamique, un échauffement important apparaı̂t au sein de
l’éprouvette et conduit à un mode de déformation adiabatique. Lorsque l’effet de la
température (effet adoucissant) est supérieur à celui de l’écrouissage (durcissement),
celui-ci devient négatif en raison de l’adoucissement thermique [13]. On note trois domaines distincts définis à partir de la température de fusion Tm .
32
REVUE DE LITTERATURE
Dans la première zone, la contrainte diminue fortement avec la température tant
que celle-ci n’atteint pas T3m . Cette décroissance s’explique par la prépondérance des
mécanismes de déformation thermoactivés. Dans le second domaine, la contrainte reste
insensible à la température (plateau athermique) pour une plage de températures comprises entre T3m < T < T2m . Dans ce cas, la déformation résulte principalement de la
contrainte appliquée. Pour les températures T > T2m , le matériau présente à nouveau
une forte sensibilité à la température se traduisant par une chute de la contrainte.
Cependant, la température peut parfois contribuer à augmenter la contrainte d’écoulement
pour de faibles vitesses de déformation. Ce phénomène est appelé vieillissement dynamique [80]. Notons que cet effet est affecté par la vitesse de déformation [80] et que, au
delà de certaines températures, le vieillissement dynamique disparaı̂t.
2.3
Modèles de comportement avec effet de la vitesse de déformation
La limite d’élasticité, l’allongement uniforme et l’allongement à rupture d’un matériau
ne sont pas des valeurs intrinsèques constantes. Elles dépendent notamment des conditions de vitesse et de température. Ceci est un fait bien connu c’est pourquoi les
conditions des essais de caractérisation permettant la classification des matériaux sont
définies en quasi-statique. Cependant, classer les aciers en fonction de leurs caractéristiques
en conditions quasi-statiques pour des applications comme le découpage ou la prédiction
du comportement en cas de chocs risque de réserver des surprises.
Le tableau 2.1 est une revue des gammes de vitesses pour certains procédés de mise en
forme et de fabrication des tôles.
Tab. 2.1 – Domaine des vitesses de déformations en fonction du procédé [1]
Procédé
Vitesse de déformation(s−1 )
Poinçonnage
Forgeage
Choc de structures
Emboutissage profond
Filage / Laminage
Torsion d’enveloppes
Explosion d’enveloppes
Impact de projectiles
10−4 < ε̇ < 104
10−1 < ε̇ < 5.102
10−1 < ε̇ < 103
1 < ε̇ < 102
1 < ε̇ < 103
102 < ε̇ < 5.103
103 < ε̇ < 105
5.103 < ε̇ < 106
REVUE DE LITTERATURE
33
Les besoins de la mise en forme en matière de lois de comportement sont bien
spécifiques. Les lois dynamiques à grandes vitesses sont plutôt réservées à des comportements lors de phénomènes extrêmement rapides, tels que le découpage. L’amélioration
de la rentabilité des procédés de découpe est réalisée en augmentant la cadence des outils. Cependant, le recours aux grandes vitesses induit de forts taux locaux de déformation,
ce qui complique l’optimisation du procédé.
En chargement dynamique, de nombreux effets totalement absents en mode quasistatique, parmi lesquels on peut citer l’apparition des effets d’inertie et la transition
isotherme/adiabatique (Figure 2.7). Une caractérisation mécanique quasi-statique n’est
plus suffisante pour décrire le comportement du matériau.
Fig. 2.7 – Effets physiques existant en fonction de la vitesse de déformation [14]
La transition isotherme/adiabatique se produit à partir de 1s−1 ( [81], [14]). A cette
vitesse, les déformations génèrent de la chaleur, ce qui a pour conséquence d’augmenter
la température au sein du matériau. La température a pour effet d’induire une baisse
de la contrainte d’écoulement conduisant à l’initiation d’une instabilité. A l’opposé,
les effets d’inertie (significatifs à partir de 50s−1 [81], [14]) ont tendance à retarder
le processus de localisation et d’instabilité [82]. Il est donc primordial de prendre en
compte l’effet de la vitesse de déformation et de la température. Ce couplage thermoviscoplastique est recommandé dès que les grandes vitesses de déformation sont atteintes
(≥ 1s−1 ).
Les métaux cubiques centrés présentent une plus grande sensibilité à la vitesse de
déformation ( [13], [83]) par rapport aux matériaux cubiques à faces centrées par
exemple. La caractérisation dynamique des matériaux se fait suivant des tests spécifiques.
34
REVUE DE LITTERATURE
Sans s’y attarder, nous citons au tableau 2.2 les plus courants.
Tab. 2.2 – Méthodes expérimentales pour l’étude du comportement en sollicitations
dynamiques
Type d’essai
Dispositif
Traction
Compression
Torsion
Cisaillement
Barre de traction directe [84]
Barre de Kolsky-Hopkinson [85]
Barre de Campbell-Duffy [78]
Tube et barre de Hopkinson [86]
Comme nous l’avons souligné précédemment, le poinçonnage des tôles minces dépend
de plusieurs paramètres géométriques (rayons de courbure des outils, jeu poinçonmatrice, etc) et mécaniques (vitesse du poinçon, coefficient de frottement, etc). Cependant, peu d’auteurs ont abordé l’influence de la vitesse de pénétration sur le processus de poinçonnage [77]. Il en découle que pour de petites vitesses de déformations,
la réponse du matériau (courbe effort-pénétration) est indépendante de la vitesse mais
qu’à plus grande vitesse, le comportement en est influencé [77], [10].
2.3.1
Lois de comportement phénoménologiques
Le principal intérêt de ces modèles est qu’ils fournissent une bonne corrélation entre
les calculs et les mesures expérimentales dans des conditions précises de déformation.
Une base de données expérimentale est donc indispensable afin d’identifier les paramètres de ces modèles. La base physique de ce type de modèles est restreinte ce
qui rend les extrapolations hors du domaine initialement utilisé pour l’identification assez risqué. Ceci constitue le principal inconvénient de ces modèles. Toutes ces lois sont
données, en plasticité, sous forme de relation entre la limite d’élasticité σ, la déformation
plastique équivalente εp et son taux ε̇p .
• Modèle de Litonski(1977) [87]
Il compte parmi les modèles les plus connus, où la dépendance en température de la
contrainte est linéaire :
σ = B(1 − AT )(1 + C ε̇p )m (εp + ε0 )n
(2.2)
avec m la sensibilité à la vitesse de déformation et n le coefficient d’écrouissage. A, B
et C sont des constantes du matériau.
35
REVUE DE LITTERATURE
• Modèle de Lubahn (1947) et Felgar (1961)
Cette formulation simple, basée sur les travaux du Luban [88] et Felgar [89], a été
proposée par divers auteurs à la fin des années 1980 (Klopp [90], Fressengeas et Molinari
[91]). Sa forme généralisée est la suivante :
m
σ = Kεnp ε̇p T −v
(2.3)
• Modèle de Lindholm (1968)
La loi de Lindholm [92], intègre uniquement une sensibilité à la vitesse de déformation.
Ce modèle ne fait pas intervenir la température. Il s’exprime sous la forme :
′
′
σ = σ 0 + (A + B εp )Log ε̇p
(2.4)
σ 0 est l’écrouissage quasi-statique qui pour une loi de Ludwick se met sous la forme
suivante :
′
′
σ = (A + Bεnp ) + (A + B εp )Log ε̇p
′
(2.5)
′
Les paramètres A, B, A , B et n sont des constantes caractéristiques du matériau. A
′
′
représente la limite d’élasticité ; B, B et n sont des paramètres liés à l’écrouissage, A
représente la sensibilité à la vitesse de déformation.
• Modèle de Johnson-Cook(1983)
Ce modèle décrit l’écrouissage et les effets de la vitesse et de la température. Il est
largement répandu dans le domaine de la modélisation de processus fortement dynamiques [93], [94]. Il s’écrit sous la forme :
σ = (A +
Bεnp )
ε̇p
1 + q.ln( ) (1 − T̂ m )
E
(2.6)
avec q, E et m des constantes à identifier. T̂ est équivalente à une température (sans
36
REVUE DE LITTERATURE
dimension) définie par :
T̂ =



0
si T < Ttransition
T −Ttransition
 Tf usion−Ttransition

1
si Ttransition < T < Tf usion
(2.7)
si T > Tf usion
où T est la température ambiante, Tf usion la température de fusion et Ttransition la
température de transition. Toutes ces températures sont exprimées en ◦ K.
Ce modèle est très couramment utilisé en raison de sa capacité à prédire les grandes
déformations. Il a l’avantage d’être simple à identifier, cependant, l’adoucissement adiabatique peut être surestimé si l’équation (2.7) est utilisée. Une forme modifiée qui utilise
une loi exponentielle pour la sensibilité à la température a été testée par Bourgain [95]
pour la frappe à froid d’un acier de type IFS. Cette loi dont la forme est donnée par
(2.8) est généralement utilisée dans le cas d’un fort adoucissement adiabatique.
σ = (A +
′
Bεnp )
′ ε̇p
B
′
1 + qln( ) 1 − A exp{ }
E
T
(2.8)
′
où A et B sont des constantes à déterminer.
• Modèle de Cowper-Symonds(1957)
Très utilisée, cette loi en puissance à deux paramètres donne un décalage homothétique
de la courbe statique en fonction de la vitesse de déformation [96]. Elle ne prend pas
en compte la variation de l’écrouissage ni l’effet de la température. Son expression est
la suivante :
"
σ = σ0 1 +
ε̇p
D
p1 #
(2.9)
Les paramètres D et p sont facilement identifiables, σ 0 est l’écrouissage adopté pour le
matériau dans des conditions quasi-statiques. Ce modèle est disponible dans le code de
calcul ABAQUS [97].
• Modèle de Ludwick-Steinberg (1980)
Dans cette loi, on considère une partie linéaire régie par la loi de comportement de
Ludwick et une seconde partie logarithmique reflétant le comportement visqueux aux
37
REVUE DE LITTERATURE
vitesses de déformations supérieures [98]. Son expression, dans le cas d’un écrouissage
de Ludwick, est la suivante :

h
i
(A + Bεn ) 1 + Cln( ε̇p ) si ε̇ > ε̇0
p
ε̇0
σ=
n
(A + Bε )
si ε̇ < ε̇0
p
(2.10)
où ε0 correspond à l’intersection des deux domaines (environ 10s−1 ).
• Modèle de Jones modifié (1998)
Ce modèle sensible à la vitesse de déformation [99] peut être représenté par la loi
suivante :
"
σ = σ0 1 +
(εu − εν )ε̇p
Du (εp − εν ) + Dν (εu − εp )
#
1
Aε+B
(2.11)
εu , εν , Du , Dν sont des paramètres constants à identifier.
Ces équations ont permis de résoudre de nombreux problèmes de mise en forme, cependant, elles négligent l’effet de la température sur la sensibilité à la vitesse de déformation
m et sur le coefficient d’écrouissage n. C’est ainsi que d’autres modèles tel que Klepaczko
(1987) [100] incluant cette dépendance en température, observée expérimentalement,
ont été proposés.
• Modèle de Klepazcko(1987)
Klepaczko [100] propose une loi de comportement incluant la dépendance à l’écrouissage,
à la vitesse de déformation et à la température observée expérimentalement. Cette loi
est de la forme :
m(T )
σ = B(T )[εp + ε0 ]n(T ) ε̇
(2.12)
où n(T ), m(T ) et B(T ) sont respectivement le coefficient d’écrouissage, la sensibilité à
la vitesse de déformation et le module de plasticité.
• Modèle de Zerilli-Armstrong modifié(1987)
Cette loi se base en partie sur l’analyse des mécanismes physiques de déformation plastique [101]. Elle se fonde sur la théorie des dislocations et sur le modèle de l’aire d’activation thermique. La partie de la contrainte d’écoulement thermiquement dépendante
s’écrit :
σth = Bexp{−βT }
(2.13)
38
REVUE DE LITTERATURE
β = β0 + β1 Log
ε̇p
ε̇0
(2.14)
Les cas des métaux à structure cubique centrée (CC) et cubique à faces centrées (CFC)
sont décrits séparément :
– Pour la structure CFC, les effets de la température et de la vitesse de déformation
sont très dépendants du niveau de déformation instantanée. L’aire d’activation
et la densité de dislocations étant proportionnelles à la déformation, β devient
proportionnel à ε0,5 .
– Pour les structure CC, l’aire d’activation dépend peu du niveau de déformation
plastique, de telle sorte que β peut être considéré comme constant. L’effet de
l’écrouissage est généralement modélisé par une loi classique d’Hollomon pour
donner :
σ=
(
C0 + C2 εnp exp(−C3 + C4 T Log ε̇)
C0 + C1 exp(−C3 + C4 T Log ε̇) +
pour les CFC
C2 εnp
pour les CC
(2.15)
C0 est une constante qui reflète l’effet du durcissement des solutés (noté parfois ∆σG ) ;
C1 , C2 , C3 et C4 sont des constantes à identifier, n est le coefficient d’écrouissage et T
la température.
On relève dans la littérature [84] et [102] que l’augmentation de la vitesse de déformation
agit différemment sur ces deux types de structures cristallines. En effet, pour les CC,
la vitesse de déformation induit une forte augmentation de la limite élastique alors que
l’écrouissage est moins influencé. A l’opposé, ces effets sont inversés sur les structures
CFC. Pour ces raisons, un effet additif de l’écrouissage et de la vitesse est utilisé pour
décrire le comportement des CC et un effet multiplicatif est utilisé pour les CFC.
2.3.2
Synthèse
Il est bien connu que ce type de modèles dépendant de la vitesse provoque un
”durcissement” du matériau. De plus, la prise en compte de la vitesse de déformation
retarde l’apparition de l’instabilité plastique. L’intérêt de la prise en compte de la
sensibilité à la vitesse afin d’éliminer la perte d’éllipticité des équations d’équilibre a
été mis en évidence par plusieurs auteurs et notamment par Needleman [103].
L’importance de la prise en compte des effets de la vitesse est indispensable pour la
prédiction du comportement des aciers à grandes vitesses. Nous avons fourni une liste
REVUE DE LITTERATURE
39
ainsi qu’une brève description des lois de comportement phénoménologiques les plus
utilisées en dynamique.
2.4
Mécanique de l’endommagement
Le poinçonnage et le cisaillage se distinguent des autres procédés de mise en forme
par la séparation de la matière. Ce phénomène est lié à l’initiation et à la propagation
de fissures : c’est de l’endommagement suivi de la rupture. Il est judicieux de faire la
distinction entre les deux.
Au début du 20ieme siècle, la différence considérable entre les contraintes de rupture
mesurées et calculées d’après les forces de liaison inter-atomiques, conduisait à envisager l’intervention nécessaire de micro-fissures au sein du matériau, c’est à dire d’une
forme d’endommagement. Ce n’est qu’au début des années 50 que l’étude de la rupture
des structures a été initiée par Irwin et fut complétée dans les années 60 et 70 en raison
des efforts menés pour les programmes nucléaires et spatiaux. La mécanique de la rupture étudie l’évolution de macro-défauts de la structure appelés fissures qui sont une
décohésion de la matière suffisamment grande par rapport aux hétérogénéités de celleci. Elle prend en compte la modification des champs de contraintes et de déformations
induits par ces singularités géométriques.
La mécanique linéaire de la rupture est ainsi fondée sur une analyse élastique du champ
des contraintes en petites déformations. Elle s’applique aux structures élastiques pour
lesquelles les zones plastifiées restent faibles par rapport aux dimensions structurales.
Elles donnent d’excellents résultats pour les matériaux élastiques fragiles comme les
aciers à haute résistance. Dans ce cadre, la valeur critique du taux de restitution
d’énergie, du facteur d’intensité de contraintes pour le cas élastique, ou de l’intégrale
de Rice pour le cas général est une condition précise de rupture par instabilité du milieu fissuré. Cette méthode est cependant limitée dès lors que la zone plastifiée devient
grande par rapport aux dimensions du milieu. Ainsi, cette approche dite globale de la
mécanique de la rupture peut s’avérer insuffisamment précise lorsque l’évaluation de
marges de sécurité à la rupture devient plus sévère.
Ainsi, à partir des années 70, la mécanique de l’endommagement fondée par Kachanov [63] et Robotnov [104] s’est développée. Elle a pour but d’étudier la détérioration
progressive de la matière et de prévoir l’apparition des fissures microscopiques qui
précède la rupture macroscopique. Une approche locale de la mécanique de la rupture est ainsi développée. Elle repose sur la connaissance des mécanismes physiques
de l’endommagement et le calcul des contraintes, déformations et variables décrivant
REVUE DE LITTERATURE
40
l’apparition ou la propagation d’une fissure existante.
Les travaux de cette thèse étant placés dans le cadre des grandes déformations élastoplastiques,
nous sommes amenés à considérer un modèle d’endommagement élastoplastique décrivant
par une approche locale, l’évolution de la ductilité et de l’endommagement du matériau.
2.4.1
Processus physique de la rupture
Deux principaux mécanismes de rupture locale peuvent être mis en évidence lors
d’essais classiques de traction. Il s’agit de la rupture fragile par clivage et la rupture
ductile mettant en jeu les grandes déformations élastoplastiques et la croissance de l’endommagement.
La rupture fragile se produit sans déformation plastique globale appréciable. Lors de
l’essai de traction, la réponse globale du matériau est dans un premier temps élastique
puis plastique. Lorsque les conditions d’instabilité sont atteintes, la propagation de
fissure intervient brutalement, sans apparition notable de striction. Ce type de rupture peut correspondre soit à une décohésion intergranulaire, soit à une rupture des
grains suivant des plans cristallographiques simples, c’est le clivage. Le faciès de rupture
présente alors un aspect caractéristique de petites facettes qui réfléchissent la lumière
d’où le nom de faciès à grains ou cristallin. Les risques de rupture fragile pour les aciers
sont liés à la température, la vitesse de sollicitation et la concentration de contraintes.
La rupture ductile est généralement associée aux grandes déformations plastiques.
Contrairement à la rupture fragile, la courbe d’écrouissage présente une grande phase
de striction avant rupture. Deux principaux modes de rupture ductile existent.
– La rupture ductile à cupules
L’observation en microscopie électronique à balayage a révélé depuis longtemps l’aspect caractéristique des faciès de rupture ductile à cupules et a permis de constater à
quel point ce mode de rupture est général. Une surface de rupture de faciès ductile à
cupules se présente, comme une juxtaposition de cupules au fond desquelles se trouve
parfois un précipité ou une inclusion (Figure 2.8).
REVUE DE LITTERATURE
41
Fig. 2.8 – Principe de la rupture ductile à cupule
Le processus physique conduisant à une telle rupture peut être décrit par la mécanique
de l’endommagement progressif qui est décomposé en trois stades, correspondant à des
mécanismes microstructuraux bien spécifiques :
– Phase d’amorçage de microcavités (Figure 2.9) (ou dénommée germination ou
nucléation). Cet amorçage est dû à une incompatibilité de déformation entre la
matrice et les particules. Les concentrations de contraintes, autour des défauts
inclus dans la matrice, généralement des particules de seconde phase, ou des inclusions, engendrent des grandes déformations plastiques. La différence de ductilité
entre ces hétérogénéités crée des décohésions à leurs interfaces.
Fig. 2.9 – Schématisation du mécanisme de germination
– Phase de croissance progressive des cavités sous la contrainte appliquée (Figure
2.10). Cette phase est la plus importante de la vie du matériau. Elle résulte de
deux phénomènes combinés. Il s’agit d’une part de l’augmentation du nombre de
cavités obtenues par nucléation et d’autre part de l’augmentation de la taille de
ces cavités en fonction de la contrainte appliquée.
REVUE DE LITTERATURE
42
Fig. 2.10 – Schématisation du mécanisme de croissance
Il est à noter que la contrainte appliquée influe beaucoup sur l’évolution de la
forme de la cavité et de son volume. Le cas le plus sévère pour la croissance des
cavités est l’état de tension hydrostatique.
– Phase de coalescence des cavités (Figure 2.11). Des cavités proches l’une de l’autre
interagissent et précipitent la croissance de leur volume jusqu’à se rejoindre et
former ainsi un macro-défaut.
Fig. 2.11 – Schématisation du mécanisme de coalescence
– La rupture par écoulement plastique
La rupture par écoulement plastique constitue le second mode de rupture ductile. Elle
a d’abord été observée sur des monocristaux en uniaxial [105] : un monocristal de
magnésium se rompt après striction par séparation des plans de base (rupture par cisaillement pur) alors qu’un monocristal de fer pur présente, dans les mêmes conditions,
une rupture en pointe, c’est-à-dire que la surface de l’éprouvette se réduit progressivement à un point lors de la traction. Dans de tels cas, il est difficile de distinguer où finit
le glissement et où commence la rupture.
De manière analogue aux monocristaux, certains polycristaux très purs peuvent subir
une rupture en pointe (Figure 2.12). La fraction volumique des particules de seconde
phase est en effet un paramètre essentiel : lorsqu’elle diminue, la striction augmente et
REVUE DE LITTERATURE
43
peut ainsi atteindre 100% pour les métaux purs [106].
Fig. 2.12 – Rupture de monocristaux par striction complète
2.4.2
Modèles d’endommagement
Dans la littérature, un nombre important de formulations ont été proposées pour
l’écriture de lois d’endommagement permettant de prédire la rupture. Les lois actuelles
traitent l’endommagement comme une croissance de cavités dans un milieu poreux
supposé élastoplastique.
Modèles découplés
Pour les modèles découplés, la variable d’endommagement n’intervient pas dans la
formulation de la loi de comportement de la matrice. La variable d’endommagement
est calculée à partir de l’état de contrainte et de déformation dans une configuration à
l’équilible. Dans cette classe, nous relevons les modèles suivants :
• Modèle de Mc Clintock (1968)
Le modèle de Mc Clintock [107] prend en compte la croissance d’une cavité cylindrique
de rayon R dans une matrice parfaitement plastique. L’hypothèse principale est de
négliger les interactions entre les cavités. Le modèle est donné sous la forme :
√ σm
dR
= 0, 8exp
3
dεpeq
R
σeq
(2.16)
44
REVUE DE LITTERATURE
où σm est la contrainte hydrostatique, σeq est la contrainte équivalente, dεpeq est l’incrément
de déformation équivalente de von Mises déterminé par :
dεpeq
=
r
2 p p
dε .dε
3 ij ij
(2.17)
• Modèle de Rice et Tracey(1969)
Le modèle de Rice et Tracey [108] est un modèle de croissance d’une cavité sphérique
dans une matrice rigide parfaitement plastique obéissant au critère de plasticité de von
Mises. Si R est le rayon de la cavité, l’évolution de ce rayon est donné par :
3σm
dR
≈ 0, 283exp
dεpeq
(2.18)
R
2σeq
La triaxialité des contraintes intervient sous forme exponentielle, traduisant son importance dans la croissance des cavités. Le critère de rupture de Rice et Tracey s’écrit selon
la forme :
3σm
0, 283exp
2σeq
avec
dεpeq = M
(2.19)
Rc
(2.20)
R0
où M est un paramètre du matériau, R0 est assimilable à un rayon initial moyen des
cavités et Rc le rayon critique de la cavité à rupture.
M = ln
• Modèle de Oyane(1980)
Le modèle de Oyane [109] repose sur le fait que le matériau subit une rupture lorsqu’un
volume critique donné est atteint. Sous forme intégré, ceci se traduit par :
Z εeqR VR
σm
Ln
=
a+b
dεpeq
(2.21)
V0
σeq
0
où VR et V0 sont respectivement le volume de cavités à rupture et initial, εeqR est la
déformation équivalente à la rupture. a et b sont des constantes caractéristiques du
matériau. Finalement, le critère proposé s’écrit :
Z
1 εeqR
σm
I=
a
+ 1 dεpeq = 1
(2.22)
b 0
σeq
Lorsque l’intégrale I atteint la valeur de 1, la rupture se produit.
• Modèle de Huang et Hutchinson(1991)
45
REVUE DE LITTERATURE
Le modèle de Huang et Hutchinson [110] est inspiré du modèle de Rice et Tracey pour
une cavité sphérique, dont la matrice est supposée rigide parfaitement plastique. Ils
obtiennent :
(
3σm
m
)dεpeq
si σσeq
>1
426exp( 2σ
dR
eq
√
=
(2.23)
1
R
426( 3σm ) 4 exp( 3σm )dεpeq si σm < 1
2σeq
2σeq
σeq
Modèles couplés
Les modèles couplés reposent sur l’utilisation d’une variable continue pour décrire
l’endommagement. Cette notion a été introduite pour la première fois par Kachanov [63]
et reprise par la suite par Lemaitre-Chaboche ( [111]- [112]). Dans sa forme simple, la
contrainte effective construite sur cette base prend la forme suivante :
σ
σ
e=
(2.24)
1−D
avec σ le tenseur des contraintes usuelles satisfaisant l’équilibre de la structure, σ
e la
contrainte rapportée à la section qui résiste effectivement aux efforts et D une variable
scalaire décrivant l’endommagement. Ce modèle a connu différentes extensions. Pour
l’utilisation de ce type d’approche dans le domaine de la simulation des procédés de
mise en forme, le lecteur peut se référer aux travaux de Saanouni ( [113]- [114]).
Une autre approche consiste à modifier la forme de la fonction de dissipation à partir
de considérations micro structurales. De nombreux modèles ont été proposés.
• Modèle de Gurson(1977)
Le modèle de Gurson [115] s’appuie sur un modèle micro structural. Il établit la forme
des potentiels plastiques, pour différentes géométries de micro cavités. Pour ce modèle,
la matrice est supposée rigide plastique.
La fonction seuil s’écrit sous la forme suivante :
Φ(σeq , σy , fv , σm ) =
avec :
σeq
σy
2
+ 2fv
3σm
2σy
− 1 − fv2 = 0
(2.25)
Vvides
(2.26)
Vvides + Vmatrice
où fv est la porosité, σy est la contrainte d’écoulement de la matrice et Vvides , Vmatrice
sont respectivement les volumes des vides présents dans la matrice et le volume de la
matrice.
fv =
Ce modèle fut modifié par différents auteurs comme nous allons le voir et a été utilisé
46
REVUE DE LITTERATURE
dans de nombreux travaux sur la rupture ductile des métaux.
• Modèle de Tvergaard(1981)
Le potentiel de Gurson est modifié par [116] pour améliorer la comparaison entre les
résultats obtenus par le modèle et une analyse numérique portant sur un milieu comprenant un ensemble périodique de cavités. Il introduit trois coefficients pour prendre
en compte l’interaction de ces cavités. Le potentiel proposé a alors la forme suivante :
2
3q2 σm
σeq
+ 2q1 fv cosh
− 1 − q3 fv2 = 0
(2.27)
Φ(σeq , σy , fv , σm ) =
σy
2σy
où q1 , q2 et q3 sont des caractéristiques du matériau introduites par Tvergaard [116].
Tvergaard a ainsi introduit une porosité apparente q1 fv [117]. Si q1 = q2 = q3 = 1, on
retrouve le modèle initialement proposé par Gurson. Les valeurs couramment utilisées
de q1 et q2 sont comprises entre 1 et 2 selon le matériau poreux ductile considéré. On
utilise souvent l’égalité q3 = q12 . D’autres auteurs comme Tvergaard et Needleman [118]
ont généralisé ce modèle à une matrice viscoplastique suivant une loi de puissance avec
écrouissage et adoucissement thermique.
• Modèle de Gurson-Tvergaard-Needleman(1984)
La porosité fv de l’équation précédente est remplacée par une porosité effective fv∗ [118].
Ainsi, le modèle Gurson-Tvergaard-Needleman s’écrit :
Φ(σeq , σy , fv∗ , σm ) = (
σeq 2
3q2 σm
) + 2q1 fv∗ cosh(
) − 1 − q3 fv∗2 = 0
σy
2σy
(2.28)
Ces auteurs proposent :



fv
∗
fv = fc +


f
F
fu −fc
(fv
fF −fc
pour fv ≤ fc
− fc ) pour fc ≤ fv ≤ fF
(2.29)
pour fv ≥ fF
où fc est la porosité à partir de laquelle la porosité effective fv∗ croı̂t plus vite que la
porosité vraie fv , ce qui pourrait être assimilé à une amorce de coalescence. fF est la
valeur de la porosité vraie à partir de laquelle la rupture se déclenche.
La variation de la porosité du matériau, notée f , provient de deux sources microscopiques : la germination et la croissance de cavités :
f˙ = f˙nucleation + f˙croissance
(2.30)
47
REVUE DE LITTERATURE
Le terme de germination est délicat à déterminer. Needleman et Rice [119] ont
proposé une équation de la forme :
σ̇
f˙nucleation = Aσ̇y + Btr( )
(2.31)
3
où A et B sont des fonctions exponentielles de la contrainte ou de la déformation selon
si la germination est contrôlée par la contrainte ou la déformation. Le lecteur peut se
reporter à l’article de Tvergaard [Tve-90].
Si on considère un VER, la vitesse de variation du VER est donnée par la trace de la
vitesse de déformation équivalente. Dans les cas où la matrice est plastique incompressible, la conservation de la masse permet d’écrire :
f˙ = (1 − f )ε̇kk
2.4.3
(2.32)
Synthèse
Les modèles décrits précédemment sont formulés de manière implicite : ils décrivent
les mécanismes micromécaniques de l’endommagement par le biais de grandeurs macroscopiques et sont valides sous chargement quasi-statique. Dans le cas de chargements
dynamiques, la rupture des matériaux peut être décrite par la notion de critères seuils
concernant les grandeurs mécaniques classiques usuelles de la mécanique des milieux
continus. Des modèles basés sur une approche stochastique sont possibles tels que le
modèle de Curran [120] ou le modèle basé sur la probabilité de rupture fragile de
Stroh [121].
Il existe encore une large gamme de modèles continus d’endommagement comme ceux
proposés par Freudenthal ( [122], [123]), Cockroft et Lathman [124], Brozzo ( [122],
[123]), Ghosh ( [122], [123]), Atkins [32], etc.
Cette large gamme de modèles est due au fait qu’il n’existe pas de formulation ”universelle” d’endommagement applicable à tous les types de procédés de mise en forme.
Le choix d’une approche donnée est très important dans la validation des investigations
numériques [107]. De plus, l’identification et le calage de ces modèles sont très délicats
( [125]- [126]) en raison du fait qu’en théorie ils ne doivent être identifiés et utilisés
que sous les mêmes conditions de chargement. L’un des modèles les plus implémentés
dans les logiciels de modélisation numérique commerciaux, et qui a donné d’excellents
résultats en simulant le poinçonnage et le cisaillage, est celui de Gurson-TvergaardNeedleman.
REVUE DE LITTERATURE
2.5
48
Caractérisation du matériau au voisinage du bord
découpé
Le découpage engendre de fortes dégradations de l’état du matériau et induit des
contraintes résiduelles au voisinage du bord découpé. Cependant, il paraı̂t important
de connaı̂tre localement les zones affectées du matériau.
Lors du procédé de découpage des tôles, la paroi découpée n’est pas lisse comme après
un perçage au forêt, les rugosités obtenues sont très visibles. Le métal subit sous l’outil
des déformations plastiques très intenses avant sa rupture. D’autre part, la tôle subit
des sollicitations dépendantes de la géométrie du système mécanique et, en particulier,
du rapport entre l’épaisseur de la tôle et son diamètre, et du jeu entre le poinçon et
la matrice. L’aspect de la paroi ou encore de bavure constitue un critère de qualité
prépondérant. Des études expérimentales montrent que la hauteur de la bavure croı̂t
généralement avec l’état de l’usure de l’outil. On estime que la hauteur des bavures ne
doit pas excéder 5 à 10% de l’épaisseur de la tôle.
2.5.1
Profil du bord de découpe
En plus de la courbe effort-pénétration, les industries s’intéressent à l’aspect de la
surface découpée, qui est un indicateur sur la qualité du procédé. Le profil de découpe
présente une surface irrégulière qui est divisée en quatre zones (Figure 2.13) ( [15], [73],
[127]- [128]) :
Fig. 2.13 – Profil de découpe lors du poinçonnage [4]
- Une zone pliée ou bombée : c’est la partie de la matière qui a été entraı̂née en premier
lors de la pénétration de l’outil. Elle est due aux déformations élastoplastiques
subies au début du poinçonnage.
REVUE DE LITTERATURE
49
- Une zone de rupture en cisaillement (zone lisse), caractérisée par un aspect lisse et
plat.
- Une zone de rupture ductile (zone rugueuse), caractérisée par une surface présentant
des cupules.
- Une bavure : une légère irrégularité apparaı̂t en fin de poinçonnage due essentiellement à la localisation de la rupture.
Un profil idéal ne devrait pas présenter de zone pliée ou de rupture, ni de bavure. Il
devrait se composer uniquement d’une surface lisse [128]. La réalisation d’un tel profil
est impossible d’où la nécessité de minimiser les hauteurs des zones néfastes. La formation des différentes zones est influencée par un certain nombre de paramètres : propriétés
du matériau, épaisseur, jeu outil-matrice, rayon de courbure des outils, frottement, etc.
Différentes études expérimentales ont été effectuées pour identifier des paramètres optimaux donnant un meilleur profil [129].
La hauteur de la zone pliée augmente avec la pénétration de l’outil ( [15], [130], [16]). Cependant, le taux de croissance diminue lorsque la pénétration dépasse 20% de l’épaisseur
de la tôle (figure 2.14). Elle augmente aussi avec le jeu.
Fig. 2.14 – Evolution de la hauteur de la zone pliée en fonction de la pénétration
relative s/t0 , s étant la pénétration et t0 l’épaisseur de la tôle (SPCC : acier doux,
Al-O : aluminium, SUS : acier inoxydable) [15].
Quand le jeu est faible, la hauteur de la zone pliée n’augmente plus au delà de 20%
de pénétration, mais pour des jeux plus importants cette hauteur continue à augmenter
jusqu’à la rupture finale de la matière [16]. Ces grands jeux offrent à la matière une plus
REVUE DE LITTERATURE
50
grande zone de déformation. Les forces de serrage n’affectent quasiment pas la hauteur
de la zone pliée. On notera aussi que, plus le matériau a un coefficient d’écrouissage
important, plus grande sera la zone pliée.
La dimension de la surface lisse augmente avec la pénétration de l’outil [73], ( [16][128]). Elle croı̂t lentement au début de la pénétration, mais quand celle-ci atteint 20%
de l’épaisseur de la tôle la hauteur de cette zone augmente approximativement de la
même proportion de l’accroissement de la pénétration (Figure 2.15) [16].
Fig. 2.15 – Evolution de la hauteur de la zone lisse en fonction de la pénétration relative
(SPCC : acier doux, Al-O : aluminium, SUS : acier inoxydable) [16]
Le taux de croissance de cette zone est plus important pour les jeux faibles. Ainsi,
la hauteur finale de la surface lisse est plus importante dans ce cas de figure. Le taux
d’accroissement de la hauteur du pliage et de la zone lisse change approximativement
aux alentours de 20% de pénétration de l’outil dans la tôle. Il existerait donc une
transition de mécanisme de découpe à cet instant, qui passerait d’un mécanisme de
cisaillage simple à un cisaillage de couches minces. Avec la progression de la pénétration,
une déchirure se produit près des rayons de courbure du poinçon et de la matrice et
une bavure prend naissance. La hauteur de cette bavure croı̂t avec l’usure des outils, et
donc avec leur rayon de courbure ( [73], [131]). Elle croı̂t aussi avec les jeux. Pour les
aciers doux, la pénétration à laquelle la rupture s’effectue se situe entre 65 et 80% de
l’épaisseur de la tôle.
REVUE DE LITTERATURE
2.5.2
51
Outils et méthodes
Deux familles de techniques de mesure peuvent être distinguées. La première est
appelée ”destructive” ou ”semi destructive” car elle entraı̂ne l’endommagement de la
pièce. On citera a titre indicatif, la méthode du trou ( [132], [133]), la méthode du
trepan ( [132], [133]) et la méthode de déflexion [133]. La seconde famille utilise les
propriétés physiques du matériau sans altérer son intégrité. Parmi ces techniques ”non
destructive” on citera la diffraction des rayons X [134], la diffraction des neutrons [135]
et les méthodes ultrasonores [136]. Ces techniques ne sont pas appropriées pour un relevé à proximité immédiate du bord découpé (de l’ordre du 50µm). D’autres méthodes,
qui n’estiment pas de façon directe la contrainte résiduelle, permettent la cartographie
précise de la déformation plastique équivalente. On citera la technique de nanoindentation ( [137], [138]) (semi-destructive), aussi appelée test d’indentation instrumentée à
résolution nanométrique. C’est une technique de caractérisation mécanique, développée
depuis une vingtaine d’années et qui se base sur le principe des tests de dureté.
Cette technique permet de mesurer les propriétés des surfaces sur des épaisseurs très
fines (de la centaine de nm à quelques microns). Ceci est particulièrement intéressant
pour analyser des couches ou des films très minces qui ne peuvent être testés par des
méthodes conventionnelles (tests de traction, dureté, etc). Elle permet aussi d’analyser
des zones localisées de la surface d’un matériau, avec une précision de positionnement
de 1 micromètre. En effet, différents travaux ( [28], [139]) montrent qu’il est possible,
grâce à cette technique, d’accéder non seulement à la dureté et au module de Young
d’un matériau, mais également, en combinant ces essais à une simulation par éléments
finis, à leur loi de comportement.
2.5.3
Caractérisation mécanique
Des mesures de dureté sur le pourtour de découpe ont été établies par Shmidt [19] sur
des alliages NO (Non Orientés). Une analyse micrographique des zones déformées met en
évidence une densité importante de lignes de glissement, décroissant progressivement
avec la distance au bord de découpe. D’autre part, des figures d’attaque révèlent la
présence de grains d’orientations (111) en surface des éprouvettes déformées, signifiant
une dégradation de la texture de Goss idéale (110)[001].
Plus récemment, une étude similaire à celle réalisée par Shmidt et qui a porté sur
l’évolution de la dureté en fonction de la distance au bord de découpe pour le cas des
tôles poinçonnées (Figure 2.16) a été publié par Marouani [17].
52
REVUE DE LITTERATURE
Fig. 2.16 – Relevés expérimentaux de la microdureté et courbe moyenne [17]
Les résultats montrent une forte dispersion, de l’ordre de 15% à 20%. Hubert [140]
réalise les mêmes mesures sur des Fe-Si GO (Grains Orientés). L’auteur opère de la façon
suivante : il effectue différents essais de traction sur des éprouvettes normalisées, à des
taux de déformation plastique variables, suivis de mesures de microdureté sur la tranche
préalablement électropolie. Il obtient alors pour l’alliage étudié une loi empirique de
l’évolution de la dureté en fonction de la déformation plastique équivalente :
Hv = 195(1 + 0, 13εeq0,36
)
p
(2.33)
La loi ainsi obtenue a permis à Marouani [17] d’établir l’évolution de la déformation
plastique équivalente en fonction de la distance du bord de découpe :
εeq
p =
2, 649
(x + 0, 67)11
(2.34)
La forte dispersion de la microdureté induit une incertitude importante sur l’évaluation
de la déformation plastique en fonction de la distance du bord découpé. Les propriétés
magnétiques étant sensibles à l’état de contrainte interne, il est important de recourir à
une estimation plus précise et représentative de l’état réel de la contrainte dans la tôle
découpée.
D’autres auteurs ont publiés des travaux qui portent sur l’évolution des variables d’endommagement au voisinage du bord de découpe. Rachik [18] étudie numériquement
l’évolution de la fraction volumique du vide (Modèle d’endommagement de Gurson) le
long du bord de découpe pour un acier DD13 (Figure 2.17).
REVUE DE LITTERATURE
53
Fig. 2.17 – Evolution de la fraction volumique de vide selon deux directions (s et y) [18]
Il démontre aussi que la hauteur de bavure est déduite de la localisation de la fraction
de volume vide maximale le long du bord découpé. Afin de valider ces estimations
numériques, l’auteur se base sur l’étude expérimentale de Ming Li [141] concernant le
découpage des feuilles en aluminium.
2.5.4
Caractérisation magnétique
Une recherche bibliographique nous a montré que ce sujet n’a été abordé que très
rarement et d’une façon globale (macroscopique) bien que les conséquences au niveau
industriel semblent très importantes.
Shmidt [19] analyse l’influence du cisaillage sur les propriétés magnétiques d’aciers non
orientés à 1% de silicium. Pour celà, des éprouvettes Epstein sont découpées dans le
sens de leur longueur en plusieurs parties d’égale largeur, afin d’augmenter la longueur
spécifique du bord de découpe (Figure 2.18).
REVUE DE LITTERATURE
54
Fig. 2.18 – Evolution typique des pertes totales de puissance d’une éprouvette Epstein
en fonction du nombre de cisaillement (DL : Direction Longitudinale ; DT : Direction
Transversale) [19]
L’auteur constate une augmentation sensible des pertes totales de puissance, accompagnée d’une diminution de perméabilité µ. La chute maximale de µ survient au
voisinage de la perméabilité maximale. L’augmentation des pertes ∆P avec le nombre
de découpes est fonction également de l’induction maximale à laquelle celles-ci sont
mesurées : en effet, ∆P diminue à mesure que B (Induction magnétique) augmente,
quelque soit le nombre de cisaillages réalisés. Le maximum de ∆P est obtenu aux alentours de 0, 6T et vaut environ 35%. L’auteur compare également le cas d’un outil de
cisaillage neuf à un outil usé et trouve que ce dernier augmente les pertes de puissance
du matériau (de 10% environ).
Godek [142] analyse l’effet du refendage de tôles Fe-Si GO sur leurs propriétés magnétiques.
Le refendage est la découpe des tôles GO, initialement enroulées sous forme de produits
de grandes largeurs, en bandes de largeurs adaptées à la conception des transformateurs.
Le produit ainsi redimensionné est ensuite réenroulé sur des rouleaux de diamètres
adéquats. Au cours de ce processus, le matériau est le siège de déformations plastiques
provoquées par le refendage proprement dit, mais également par les contraintes de
traction et de flexion au cours des différents enroulements. Les mesures des propriétés
magnétiques sur ces tôles indiquent une augmentation importante des pertes ∆P avec
la mise en forme (un maximum de 20% est atteint sous certaines conditions), ∆P étant
REVUE DE LITTERATURE
55
fonction de la largeur des tôles après découpe : les tôles les plus larges sont en effet
moins affectées par les contraintes mécaniques.
Szymura et Zawada [20] ont publié des travaux concernant l’influence du découpage
sur les pertes de puissance d’alliages Fe-Si à texture de Goss. Les auteurs mènent en
parallèle des mesures magnétiques de pertes à 50Hz et des analyses micrographiques
en fonction des pertes initiales du
de l’alliage. L’augmentation relative des pertes ∆P
P
matériau est représentée (Figure 2.19).
Fig. 2.19 – Augmentation des pertes de puissance en fonction des pertes initiales du
matériau, dues à la découpe d’une tôle FeSi GO. (a) et (c) : pertes mesurées après
découpe à 1T et 1,5T ; (b) et (d) pertes mesurées après découpe et recuit [20]
Les pertes augmentent après découpe, aussi bien pour des mesures à 1T qu’à 1, 5T
(1 et 1,5 T sont les valeurs de l’induction magnétique B mesurées à 50Hz). Cependant,
celle-ci est plus importante à faible induction et dépend des pertes de puissance initiales du matériau. Les variations de P dues à la découpe sont plus grandes pour les
échantillons après découpe (20mn sous hydrogène sec à 800◦ C ne permettent pas de
retrouver les pertes initiales du matériau).
Certains auteurs ont publié des travaux sur l’influence des découpes laser sur les caractéristiques magnétiques des matériaux. Dickman [143] donne des résultats de mesures
des propriétés magnétiques d’alliages FeSi NO (Grains Non-Orientés) découpés au la-
REVUE DE LITTERATURE
56
ser, et analyse l’influence de différents paramètres spécifiques à ce mode de découpe
(vitesse de découpe, puissance du faisceau laser, etc). Les boucles d’hystérésis dynamiques (relevées à 50Hz) présentent une aire plus importante après découpe, signifiant
une modification de l’ensemble des caractéristiques magnétiques de l’alliage. En particulier, l’augmentation relative des pertes varie entre 3% et 17%, selon les conditions
expérimentales. ∆P
se situe donc bien en deçà des mesures obtenues après une découpe
P
classique (poinçonnage ou cisaillage). Néanmoins, ce processus d’usinage induit encore
des contraintes d’origine thermique dans le matériau suffisantes pour augmenter les
pertes de façon non négligeable. Lanotte et ses collaborateurs [144] réalisent les mêmes
mesures sur des Fe-Si GO. Ils mettent en évidence que la découpe par laser conduit aux
meilleurs caractéristiques magnétiques, en comparaison avec d’autres méthodes conventionnelles d’usinage.
Plus récemment, Marouani [17] a étudié l’évolution de certaines grandeurs électromagnétiques
au voisinage du bord de découpe. L’auteur s’est basé dans son étude sur des modèles
empiriques qui expriment l’évolution des grandeurs électromagnétiques principales en
fonction de la déformation plastique tel que le modèle de Frhlich identifié pour des
alliages Fe-Si NO.
Fig. 2.20 – Représentation 3D de l’évolution du champ magnétique en fonction de
l’induction et de la distance au bord de découpe [17]
La figure 2.20 montre en première approche des résultats utilisant l’estimation
numérique de la déformation en bord de découpe.
REVUE DE LITTERATURE
2.6
57
Principaux résultats
Le procédé de découpage des pièces métalliques est le sujet d’une variation importante des paramètres du procédé. On trouve dans la littérature de nombreuses études
qui traitent ce problème par mécanismes de cisaillement, et en particulier les opérations
de poinçonnage et de cisaillage. Les différents auteurs ont essentiellement traité trois
approches différentes :
• Des approches théoriques peu nombreuses, dans lesquelles les auteurs ont essayé
d’analyser essentiellement l’expression théorique de l’effort appliqué par le poinçon en
fonction de sa pénétration [145], [146], [147].
• Une approche numérique qui traite différentes modélisations du problème de
découpage des tôles par la méthode des éléments finis [148], [4], [9].
• Une approche expérimentale dans laquelle beaucoup d’essais sur presses instrumentées ont été réalisés [146], [4], [48].
Parmi les résultats les plus importants, on citera en premier les travaux de Maiti [76]
qui a étudié l’influence de quelques paramètres du procédé de découpe tels que le jeu et
le frottement sur l’effort de poinçonnage. Il a utilisé pour cela un modèle élastoplastique
dans le cadre des petites déformations. Ainsi, les résultats n’étaient valables que pour
les faibles pénétrations du poinçon (inférieures à 30% de l’épaisseur de la tôle). Ensuite,
Goijaerts [149] a développé un modèle par éléments finis élastoplastiques basé sur la
théorie des déformations finies. L’utilisation de l’approche ALE lui a permis de valider
son travail avec des pénétrations beaucoup plus importantes. Ces simulations traitent
le problème du poinçonnage comme une opération de cisaillage et sont incapables de
prédire le moment de rupture de la matière, qui est un critère donnant une indication
sur la qualité finale de la surface découpée. Pour remédier à cette lacune, de nouvelles
approches par éléments finis ont été élaborées implémentant l’initiation et la propagation de l’endommagement dans la matière. D’abord, ce fut le critère de McClintock qui a
été utilisé par Taupin [128] pour piloter la rupture. La suppression des éléments endommagés et le remaillage lui ont permis de visualiser la séparation de la matière. Ensuite,
différents critères d’endommagements, couplés ou découplés avec la loi d’écoulement
plastique, ont été utilisés. Klingenberg [150] en a évalué plusieurs et préconise pour les
REVUE DE LITTERATURE
58
essais de poinçonnage le modèle continu de Gurson-Tvergaard-Needleman.
Plus récemment, Brokken [21] a introduit une approche basée sur la technique OSALE (Operator Split ALE) combinée avec la technique de remaillage pour localiser la
déformation plastique lors d’un essai de découpage. Cette approche lui a permis aussi
de prédire la rupture juste avant la séparation du matériau pour un jeu donné (Figure
2.21).
Fig. 2.21 – Maillage déformé et potentiel de rupture avant la séparation du matériau [21]
Le maillage doit être très fin dans les zones de grandes distorsions pour que le calcul
puisse aboutir (zones entre l’outil et la matrice (Figure 2.22).
Fig. 2.22 – Types de maillages utilisés en découpe des tôles [22], [23]
Tous ces outils de modélisation ont permis par exemple à Rachik [24] de reproduire
numériquement la courbe effort-pénétration (Figure 2.23) et d’analyser l’influence des
REVUE DE LITTERATURE
59
différents paramètres mis en jeu. Il a utilisé pour cela un schéma de résolution dynamique/explicite associé à la formulation mixte Euler/Lagrange pour l’adaptation du
maillage. En utilisant le critère modifié d’endommagement de Gurson, Rachik [18] a pu
pousser ses investigations à l’estimation de la hauteur de la bavure finale et prédire la
forme du bord découpé (Figure 2.24).
Fig. 2.23 – Comparaison entre les courbes effort-pénétration expérimentales et
numériques pour un jeu = 12% [24]
Fig. 2.24 – Estimation de la hauteur de la bavure [18]
REVUE DE LITTERATURE
60
Une étude récente menée par Boudifa [25] porte sur le poinçonnage des tôles en
acier. Pour la simulation de ce procédé, l’auteur utilise 3 modèles d’endommagement :
MAC1, MAC2 et Gurson. La tôle a une épaisseur de 1,5 mm et le jeu entre le poinçon
et la matrice est de 5% de l’épaisseur de la tôle, soit j = 0, 075mm. La figure 2.25
représente le maillage utilisé pour simuler le poinçonnage.
Fig. 2.25 – (a) Géométrie du procédé simplifié de poinçonnage (b) Zoom sur le maillage
de la zone de découpe [25]
Fig. 2.26 – Courbe force-déplacement du poinçon [25]
REVUE DE LITTERATURE
61
Boudifa [25] montre d’après la figure 2.26 que les efforts maximums prédits par les
modèles MAC1 et MAC2 sont supérieurs à l’effort prédit par le modèle de Gurson. De
plus, le découpage est entièrement achevé avec les modèles MAC1 et MAC2, quant au
modèle de Gurson il n’y a pas de chute vraiment brutale de l’effort de poinçonnage.
Pour conclure, l’auteur confirme à travers cet exemple de mise en forme que les modèles
macroscopiques traités montrent leur capacité à modéliser d’une façon réaliste le couplage comportement/endommagement avec prévision de la fissuration dans les zones de
forte localisation de l’écoulement plastique.
2.7
Synthèse du chapitre 2
Des millions de tonnes d’acier laminé sont élaborées sous forme de tôle chaque année.
En fonction de la géométrie finale de la pièce et de leurs domaines d’utilisation, les tôles
sont découpées à l’aide de procédés spécifiques tels que le poinçonnage ou le cisaillage.
L’optimisation de ces opérations nécessite une connaissance maitrisée de l’influence des
paramètres mis en jeu, géométrie (jeu, rayons des outils, etc) et mécaniques (vitesse de
découpe, température, etc). Les investigations se font par analyse de la courbe effortpénétration et par analyse du profil découpé.
Les méthodes numériques constituent en général un outil efficace pour la conception de
procédés de mise en forme. Dans le cas du poinçonnage ou du cisaillage, la mise en place
d’une simulation numérique permet, par une approche itérative, une optimisation du
procédé. Elle est d’une grande importance dans la phase de développement du procédé
d’une part, pour établir les trajets de chargement (pression, déplacement) et d’autre
part, pour étudier la sensibilité aux paramètres qui vont nous permettre par la suite de
prédire la forme finale et l’état du matériau au voisinage du bord découpé.
Chapitre 3
Identification d’un modèle de
comportement avec effet de la
vitesse de déformation
3.1
Introduction
Au cours de ce siècle, la production et l’utilisation croissantes de l’électricité ont
pu en partie être réalisées grâce à l’emploi de matériaux magnétiques aux propriétés
de plus en plus élaborées. Ces matériaux interviennent dans de nombreux domaines :
électrotechnique, électronique, systèmes de communication, stockage d’informations,
etc.
Les pièces utilisés dans ces secteurs d’activité sont réalisées dans des tôles minces de
matériaux industriels qui combinent un ou plusieurs éléments magnétques avec un ou
plusieurs éléments d’alliage non ferromagnétiques. Leur ajout confère au produit final
des propriétés supplémentaires plus ou moins recherchées par les industries. Le travail
de cette thèse a porté sur l’alliage Fe-3%Si. Ce chapitre est consacré à la description du
comportement mécanique de l’alliage à l’étude.
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
3.2
63
Les matériaux magnétiques en général et les alliages Fer-Silicium en particulier
Parmi les métaux purs, seuls le fer, le nickel, le cobalt et les lanthanides présentent
des propriétés ferromagnétiques. Le tableau 3.1 donne une liste non-exhaustive d’alliages
de fer fréquement rencontrés, et précise leurs principales caractéristiques et leur domaine
d’utilisation.
Tab. 3.1 – Les grandes catégories de matériaux ferromagnétiques : Caractéristiques et
utilisation
Matériaux
Caractéristiques
Utilisation
- Fer pur
- Nombreuses impuretés
Petit
appareillage
électroménager
- Fer-Silicium - Isotropie,
- Machines tournantes,
- Texture de Goss,
- Texture cubique.
- Transformateurs, etc.
- Fer-Nickel
- Propriétés magnétiques élevées, - Stabilisation thermique des
systèmes électromécaniques,
etc.
- Anisotropie...
- Fer-Cobalt
- Faible résistivité
- Matériels d’avions,
- Forte anisotropie
- Matériels sous-marins, etc.
3.2.1
Les alliages Fer-Silicium
La première tôle électrique fabriquée à partir d’un alliage fer-silicium a été réalisée
au début du 20ieme siècle et sa production n’a cessé de croı̂tre en relation avec le besoin
des constructeurs de machines électriques. Son succès est lié aux propriétés particulières
qu’un ajout de silicium confère à un acier doux, et bien entendu au coût relativement
faible de ces alliages. Les techniques modernes d’élaboration permettent en outre de
piloter précisément la taille des grains, et de développer des textures adaptées aux
différents flux (unidirectionel et multidirectionnel).
64
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
3.2.2
Influence du silicium
Le silicium modifie sensiblement certaines propriétés du fer, ces variations pouvant
être tantôt bénéfiques, tantôt néfastes.
Modification des propriétés physiques
La résistivité électrique ρ croı̂t linéairement avec l’apport en silicium pour un pourcentage compris entre 0% et 7% (en masse) [151]. Cette modification est la principale raison qui motive l’emploi des alliages fer-silicium dans l’industrie des machines
électriques. Elle entraı̂ne une diminution de l’intensité des courants de Foucault et des
pertes d’énergie dynamiques.
Modification des propriétés magnétiques
La constante d’anisotropie magnétocristalline K1 diminue linéairement en fonction
de la concentration en silicium [151]. Cette baisse entraı̂ne une diminution de l’énergie
d’anisotropie. Le couplage entre les moments magnétiques et la direction de facile aimantation h100i devient également moins rigide. L’énergie magnétostatique du volume
ferromagnétique peut alors être plus facilement réduite [69]. La diminution de l’anisotropie magnétocristalline entraı̂ne également une réduction des pertes par hystérésis car
1
elles sont corrélées à l’énergie de paroi qui est proportionnelle à K12 [151], [152].
L’ajout de silicium modifie aussi l’aimantation à saturation Ms et la magnétostriction
λs . Il s’agit de la principale conséquence négative de l’apport de silicium. La dimunition de l’aimantation à saturation Ms suit une loi linéaire [151]. Cette évolution est
liée à la diminution du nombre d’atomes ferromagnétiques par unité de volume [69].
Concernant la magnétostriction λs , la modification n’est pas linéaire et dépend de la direction du champ dans le cristal. λ100 augmente d’abord jusqu’à environ 3% de silicium
puis diminue jusqu’à s’annuler pour des compositions supérieures à 6% [69]. On montre
également que λ111 augmente jusqu’à devenir positif pour un pourcentage de silicium
supérieur à 4, 5%. Pour un polycristal isotrope théorique, la valeur de magnétostriction
à saturation moyenne λs est issue d’un mélange pondéré entre les caractéristiques λ100
et λ111 du matériau considéré [153].
λs =
2λ100 + 3λ111
5
(3.1)
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
65
Quand la teneur en silicium augmente, la magnétostriction à saturation λs devient
progressivement positive. Sa norme a également tendance à baisser, ce qui diminue le
bruit lié aux déformations magnétostrictives à l’intérieur des machines [154].
Le tableau 3.2 résume les principales propriétés magnétiques d’un fer pur et d’un alliage
Fer Silicium. Il s’agit du Fe-3%Si qui a une structure monophasée de ferrite-α, cubique
centrée, de paramètre de maille 0,287nm. Les atomes de silicium occupent des sites
cristallins répartis au hasard dans le réseau du fer.
Tab. 3.2 – Principales caractéristiques des alliages Fe-3%Si par rapport au fer pur
ρ(10−7 Ωm) K1 λ100 (10−6 ) λ111 (10−6) Bs (T esla)
Fer pur
1
4,8
21
-21
2,15
Fer-3%Si
1
4,8
21
-21
2,05
Modification des propriétés mécaniques
La présence de silicium modifie également les propriétés mécaniques du fer. Le silicium a la particularité d’attirer la plupart des impuretés pour former de gros précipités,
et ainsi purifier la matrice [155]. Quand le pourcentage de silicium augmente, la dureté
et la rigidité de l’alliage Fer Silicium s’accroissent. Un ajout de 3% de silicium améliore
la découpe. Cependant, au dessus de 4%, le métal devient trop fragile pour être mis
en forme facilement à froid. Il ne peut plus être laminé (taux limité à 5% pour des
transformations à chaud).
D’autres additifs viennent s’ajouter au silicium volontairement ou involontairement
pendant l’élaboration de l’alliage. Certains éléments apportent des propriétés recherchées
par les industriels (aluminium [156], manganèse [157], phosphore [158]...) et d’autres
nuisent aux propriétés du matériau (carbone, oxygène, azote [153], [159], [160]...).
3.2.3
Tôles orientées et non orientées
Le domaine d’application d’une tôle de fer-silicium dépend de la texture développée
au cours de son élaboration. On parvient à augmenter la perméabilité de l’alliage en
alignant, les axes cristallins h100i de tous les grains, qui se trouvent alors ”orientés”
préférentiellement dans le plan de la tôle : il s’agit du fer-silicium à grains orientés ou
GO. On peut également élaborer un matériau possédant des propriétés isotropes dans
le plan de la tôle : le fer-silicium à grains non-orientés ou NO.
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
66
Le fer-silicium GO (Grains Orientés)
Les tôles de fer-silicium GO sont produites avec une teneur en silicium d’environ
3%. Le procédé de fabrication employé comprend une succession de laminages à chaud
puis à froid entrecoupés de traitements thermiques adaptés. Le traitement final consiste
en une recristallisation secondaire qui provoque une croissance préférentielle des grains
orientés selon la texture {110} h001i ou texture de Goss (Figure 3.1).
Fig. 3.1 – Texture de Goss dans le plan de laminage. Identification des directions [100],
[111], [011] et (110) [26]
Le plan de laminage appartient à la famille cristallographique {110}, la direction
de laminage (DL) est parallèle à la direction h001i [26]. Cette texture conduit à une
structure en domaines magnétiques particulièrement simple [161], [162]. Ce matériau
possède d’excellentes propriétés magnétiques dans le sens DL. Les tôles en fer-silicium
GO sont en particulier utilisées dans les noyaux de transformateurs où l’aimantation
est quasi-unidirectionnelle.
Le fer-silicium NO (Non Orienté)
On utilise les alliages fer-silicium NO principalement dans les machines tournantes.
Ils possèdent généralement une structure à petits grains équiaxes dont la taille offre
un compromis entre pertes d’énergie magnétiques et isotropie de la tôle. La mise en
forme finale est assurée par un laminage à froid suivi d’un recuit de recristallisation. Ce
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
67
type de traitement conduit à une légère anisotropie des caractéristiques magnétiques,
qui sont toujours meilleures suivant DL [26]. La tôle est habituellement protégée contre
la corrosion aprés sa mise en forme. Il peut s’agir d’isolants organiques (vernis, polymères) ou minéraux (phosphates, chromates). Cet isolant ne met pas la tôle sous
tension, contrairement aux fer-silicium GO.
Les tôles de Fe-Si NO, après avoir longtemps été seulement laminées à chaud, subissent
à présent un laminage à froid permettant d’atteindre des épaisseurs relativement faibles.
Parmi les tôles de Fe-Si à grains non orientés, il existe deux familles de produits, issues
d’une coulée identique à l’origine.
– Les tôles de fer-silicium à grains non orientés dites ”semi-process” sont livrées à
l’état semi-fini (brut de laminage à froid). Leur épaisseur nominale varie de 0, 50 à
0, 65mm. Ce matériau possède d’excellentes propriétés de découpe. Le traitement
de recuit de recristallisation, nécessaire pour restaurer les propriétés magnétiques,
est effectué après la mise en forme de la pièce. Cette famille a un coût de production peu élevé. Les qualités magnétiques sont cependant médiocres puisqu’aucun
traitement thermique de décarburation n’est réalisé.
– Les tôles de fer-silicium à grains non orientés dites ”fully-process” ont subi un
recuit final de recristalisation après laminage à froid. Ces tôles possèdent toutes
leurs caractéristiques magnétiques à l’état de livraison par le sidérurgiste. Il n’est
donc en principe pas nécessaire de faire un traitement thermique aprés découpe
chez l’utilisateur. Deux variantes du mode d’élaboration existent, en fonction de
la qualité et de l’épaisseur du produit final souhaité.
3.3
Présentation du matériau à l’étude
Notre étude porte sur l’alliage ferromagnétique ”Sollac M800-65A”, fourni par le
CETIM (Centre Technique des Industries Mécaniques) dans le cadre d’une collaboration
entre cet organisme, l’UTC et le Conseil Régional de Picardie. Il s’agit de Fe-3%Si livré
sous forme de tôle mince d’épaisseur 0, 65mm et à grains non orientés. C’est un acier
”fully-process”, cubique centré, monophasé de ferrite-α destiné à la fabrication des
circuits magnétiques des moteurs électriques.
68
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
3.3.1
Caractéristiques mécaniques standards
Les caractéristiques mécaniques typiques du ”Sollac M800-65A” sont résumées dans
le tableau 3.3. Les trois premières caractéristiques correspondent à un comportement
moyen dans les différentes directions du plan de la tôle. La valeur de macrodureté (Hv5
= 120-140) est une mesure de conformité en fin de gamme de fabrication.
Tab. 3.3 – Caractéristiques mécaniques standards du ”Sollac M800-65A” (données du
fournisseur)
Résistance à la rupture (MPa)
Limite d’élasticité (MPa)
Allongement à la rupture (%)
Module de Young (GPa)
Dureté (Hv5)
3.3.2
405-435
270-310
28-38
190-210
120-140
Caractéristiques magnétiques standards
Les caractéristiques magnétiques générales garanties par le constructeur sont résumées
dans le tableau 3.4. Ces mesures sont réalisées avec un Single Sheet Tester, sous induction sinusoı̈dale à 50Hz.
Tab. 3.4 – Caractéristiques magnétiques standards du ”Sollac M800-65A” (données du
fournisseur)
Pertes totales maximales à 50Hz
Induction minimale
1T
1,5T
2500A/m 5000A/m 10000A/m
3,6W/kg
8W/kg
1,49T
1,6T
1,71T
3.4
Comportement mécanique
La caractérisation des propriétés mécaniques des métaux se fait essentiellement par
des essais de traction monotone et uniaxiale. Afin d’enrichir nos connaissances sur le
comportement mécanique de l’alliage Fe-Si et des mécanismes de déformation mis en
jeu, nous nous intéressons à modéliser son comportement sous différentes directions de
69
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
sollicitation. Une attention particulière est accordée à la dépendance de l’écoulement
plastique à la vitesse de déformation.
3.4.1
La courbe de traction dans la direction de laminage
Des éprouvettes rectangulaires de 167.5mm de longueur par 12.5mm de largeur ont
été découpées dans les tôles type ”Sollac M800-65A” de 0.65mm d’épaisseur conformément
à la norme EN10002-1 [163], spécifique aux essais de traction pour les matériaux
métalliques. Un traitement thermique permet d’éliminer les contraintes résiduelles introduites par l’usinage des éprouvettes. Il consiste à placer les éprouvettes dans un
four sous vide chauffé à 720◦ C pendant deux heures, puis à les refroidir à l’air avec
une vitesse de 0, 2◦C/s. La partie utile de l’essai de traction (distance définie entre les
mors) est de 87, 5mm, la section de l’éprouvette est de 8, 125mm2. La déformation a
été mesurée à l’aide d’un extensomètre à couteaux distants de 25mm.
La figure 3.2 présente un essai typique de traction effectué à une vitesse de déformation
de 10−4 s−1 , suivant la direction de laminage de la tôle et à température ambiante.
600
Contrainte (MPa)
500
400
300
Courbe conventionnelle
200
Courbe rationnelle
100
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Déformation (%)
0.3
0.35
0.4
Fig. 3.2 – Essai typique de traction monotone uniaxiale(DL, 10−4s−1 )
La figure 3.2 représente les courbes de traction rationnelle et conventionnelle du
matériau. L’allure des courbes de traction obtenue est caractéristique des alliages de
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
70
fer à bas taux de carbone, de structure cristallographique cubique centrée : courbe avec
décrochement de contrainte et palier de Lüders [112], [164] et [165]. Généralement, les
métaux cubiques centrés présentent une limite d’élasticité franche, suivie d’une baisse
de la contrainte au début de la déformation plastique. Pourtant, de faibles déformations
interviennent souvent avant la limite macroscopique. Cette perte de la linéarité, mise
en évidence dans la figure 3.3, peut être liée à deux phénomènes, selon Jaoul [105] :
– une microdéformation par fluage, liée à l’arrachement par agitation thermique des
dislocations ancrées par les nuages de carbone ou d’azote ;
– le développement de petites bandes de Piobert-Lüders qui n’ont pas encore traversé toute la section de l’éprouvette. La limite d’élasticité est atteinte seulement
quand cette traversée est effectuée.
Fig. 3.3 – Décrochement de contrainte et palier de Lüders(DL, 10−4s−1 ) [27]
On définit la limite d’élasticité supérieure σemax par la contrainte correspondante à la
transition élastoplastique macroscopique, alors que la limite d’élasticite inférieure σemin
est définie comme la valeur minimale de la contrainte pendant la plasticité. La plasticité débute par une chute de la contrainte d’écoulement d’environ 11 MPa (σemax =
288, 5MP a, σemin = 277, 5MP a), confinée dans une zone étroite de la déformation.
L’interprétation du phénomène a été proposée initialement par Cotrell [164] : les dislocations sont emprisonnées à l’intérieur d’atmosphères constituées en particulier de
carbone, d’oxygène et d’azote. Sous l’effet d’une contrainte suffisante, les dislocations se
libèrent et peuvent ainsi se mouvoir plus facilement, la force nécessaire à leur déplacement
diminuant. Il apparaı̂t alors un décrochement brusque de la contrainte d’écoulement.
Une autre approche, concernant le comportement collectif d’un grand nombre de dislocations se déplaçant simultanément, est fournie par Hahn [166]. La brusque chute de
contrainte observée au début de la déformation plastique est due à une rapide mul-
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
71
tiplication des dislocations et dépend de leur vitesse de déplacement. Cette approche
permet d’envisager une déformation ultérieure homogène ou hétérogène. Le mécanisme
initial est le même et est gouverné par une concentration locale de contraintes qui initie
le glissement dans un grain et qui se propage ensuite aux grains voisins. Le caractère
homogène ou hétérogène de la propagation ultérieure de la plasticité dépend essentiellement du taux de déformation emmagasinée dans la bande principale.
La déformation se poursuit à contrainte constante, la courbe de traction présente un palier de longueur 3% de déformation. Il s’agit d’une zone d’hétérogénéité, la déformation
étant localisée dans des bandes de Piobert-Lüders dont la disposition est fonction du
mode de sollicitation. Des observations sur des métaux cubiques centrés [105], [167]
et [168] ont montré que ces bandes apparaissent brusquement dans les zones soumises à
des concentrations de contraintes, généralement au bord de l’éprouvette. Ensuite, elles
se propagent sous un angle bien défini avec l’axe de traction (de 45◦ à 50◦ ) vers l’autre
extrémité. Les premières microbandes sont générées à partir des joints de grains. Une
fois formée, la bande génère de fortes concentrations de contraintes dans les grains suivants, qui se plastifient à leur tour. A l’avant du front de bande les grains contiennent
peu de lignes de glissement alors qu’à l’arrière du front les grains exhibent des glissements multiples selon deux ou trois systèmes. La propagation de la déformation affecte
de proche en proche la matrice, les fronts se déplaçant jusqu’à ce que toute l’éprouvette
soit couverte. La consolidation homogène reprend une fois que toute la partie utile de
l’éprouvette a subi le passage des bandes.
Les travaux de Hubert [72]et Iordache [27] ont porté sur un même alliage Fe-3%Si,
de désignations industrielles respectives ”FeV330-50HA” et ”FeV330-35HA” mais avec
des épaisseurs inférieures à l’alliage de notre étude (respectivement 0, 5 et 0, 35mm).
Les essais de traction uniaxiale, effectués suivant la direction de laminage et à vitesse
comparable, montrent aussi un décrochement de contrainte du même ordre (10 MPa).
Cependant, les longueurs du palier de Lüders sont différentes. Hubert trouve un palier
très faible, inférieur à 0, 5%, Iordache trouve un palier de 1, 3 − 1, 5%, alors que notre
palier atteint 3%. Cette différence de comportement peut s’expliquer par les travaux de
Jaoul [105]. Il montre que plusieurs paramètres tels que la limite d’élasticité, le taux de
consolidation des grains et la texture cristallographique affectent la longueur du palier.
Par exemple, la longueur du palier est inversement proportionnelle a la taille de grain.
Le durcissement d’écrouissage se poursuit jusqu’à atteindre la contrainte maximale
σmax , qui est de 510 MPa pour ce matériau, contre 680 et 530 pour les ”FeV330-50HA”
et ”FeV330-35HA”. L’allongement à rupture est respectivement de 35 − 40%, 20 − 25%
et 25 − 30%.
72
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
3.4.2
Influence de l’orientation de la sollicitation
sur les propriétés mécaniques
Nous nous sommes intéressés dans cette partie à caractériser le comportement
mécanique du matériau sous différentes directions de charge. Nous effectuons plusieurs
essais de tractions à vitesse constante et à différentes directions (ε̇ = 10−4 s−1 ). On
notera par DL, la Direction de Laminage ; D30, la Direction à 30◦ par rapport à la
direction de laminage...et DT, la Direction Transverse.
La figure 3.4 représente l’évolution de la courbe de traction rationnelle en fonction de
la direction de sollicitation.
600
Contrainte vraie(MPa)
500
400
DL
D30
D45
D60
DT
300
200
100
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Déformation vraie(%)
0.25
0.3
Fig. 3.4 – Courbe de traction pour les différentes directions
Les courbes de traction montrent un comportement similaire pour les différentes
directions. L’écart maximal de la contrainte se situe entre les directions DL et D45 et
il ne dépasse pas les 30 MPa.
La figure 3.5 décrit l’évolution des caractéristiques mécaniques pour les directions de
chargement : limite d’élasticité minimale σemin et maximale σemax , contrainte maximale
σ max , allongement à rupture A% et la longueur du palier de Lüders Lp .
73
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
(a)
(b)
550
275
σmax(MPa)
σe(MPa)
300
σmax
e
min
525
σe
D30
D45
D60
DT
(c)
3.25
3
2.75
2.5
DL
D30
D45
D60
DT
500
DL
Allongement à rupture A(%)
Longueur du palier de Lüders Lp(%)
250
DL
D30
D45
D60
DT
D60
DT
(d)
45
35
25
DL
D30
D45
Fig. 3.5 – Evolution des caractéristiques mécaniques en fonction de la direction de
sollicitation pour ε̇ = 10−4 s−1 :(a) limite d’élasticité, (b) contrainte maximale, (c)
allongement à rupture, (d) longueur du palier de Lüders
• Comapraison avec les données CETIM
Le comportement mécanique en traction, moyenné sur l’ensemble des directions de
la tôle, peut être caractérisé par les paramètres décrits dans le taleau 3.5 ci-dessous
comparées aux données CETIM.
Tab. 3.5 – Comparaison des grandeurs caractéristiques de l’essai de traction (sens DL,
D30, D45, D60 et DT) avec les données CETIM
Présente étude Données CETIM
max
σe (MPa) 293 ± 4,5
270-310
max
∆σe (%)
3,1
min
σe (MPa) 279 ± 7,5
–
min
∆σe (%)
5,4
σmax (MPa) 523,5 ± 13,5
405-435
∆σmax (%)
5,1
A(%)
39,6 ± 2,5
28-38
Lp (%)
2,9 ± 0,25
–
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
74
La direction suivant laquelle nous appliquons le chargement affecte peu le comportement du matériau. En effet, l’écart ∆σ entre les valeurs maximales et minimales de
la limite d’élasticite et la contrainte à rupture ne dépasse pas les 6%. Le comportement
mécanique du matériau est donc relativement isotrope dans le plan. L’écart maximum
de comportement se trouve entre la direction de laminage et la direction à 45◦ , le
comportement transversal étant très proche de celui de la direction de laminage. Le
critère de plasticité de von Mises est suffisant pour caractériser le comportement de ce
matériau.
La loi de Hollomon σ = Kεnp reliant la contrainte vraie σ à la déformation plastique
vraie permet de rendre compte de cette tendance (Figure 3.6).
Fig. 3.6 – Evolution des coefficients de Hollomon dans le plan de la tôle
En effet, pour toutes les directions, le coefficient de résistance plastique K est de
770 ± 15MP a. L’exposant d’écrouissage n est de 0, 26 ± 0, 007.
3.4.3
Synthèse
Le Fe-Si est un alliage fer à bas taux de carbone. Sa courbe de traction est caractéristique d’une structure cubique centrée (décrochement de contrainte et palier de
Lüders). Les essais le long de différentes directions montrent que le comportement est
relativement isotrope.
75
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
3.5
Influence de la vitesse de déformation
Des essais de traction préliminaires à vitesses de traverses variables montrent une
sensibilité des caractéristiques mécaniques à la vitesse de déformation (Figure 3.7).
600
Contrainte vraie (MPa)
500
400
300
10−2s−1
10−4s−1
200
7.5 10−6s−1
100
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Déformation vraie (%)
0.25
0.3
Fig. 3.7 – Courbes de traction pour les différentes vitesses de déformation
On constate que la limite d’élasticité augmente avec la vitesse de déformation. Les
tests de traction décrits précédemment se font à vitesse de traverse constante, exprimée
en mms−1 . Cette vitesse est convertie en taux de déformation initiale, exprimé en s−1 ,
et qui est calculé en fonction des dimensions de l’éprouvette et de l’extensomètre. Ce
taux varie au cours de l’essai. Or l’identification d’une loi de comportement plastique,
qui prend en compte la dépendance de la réponse mécanique du matériau à la vitesse de sollicitation, nécessite des courbes contrainte vraie-déformation vraie réalisées
sous différents taux de déformation constants. En se basant sur l’étude bibliographique
décrite dans le chapitre 2 concernant les modèles mécaniques de dépendance à la vitesse,
dans ce qui suit, nous détaillons l’approche expérimentale pour identifier les paramètres
d’un modèle donné.
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
3.5.1
76
La VidéoTraction
La VidéoTraction est un essai de traction à pilotage vidéométrique qui donne accès
au comportement intrinsèque des matériaux. Développée par G’sell [38] au sein du
laboratoire de Physique des Matériaux de l’école des Mines de Nancy, cette technique
permet le pilotage en temps réel, des déplacements des mors de la machine de traction
de façon à assurer un taux de déformation local constant.
Quatre taches sombres et symétriques par rapport aux axes principaux de l’éprouvette
sont marquées sur l’une des faces (Figure 3.8).
Fig. 3.8 – Eprouvette marquée pour la VidéoTraction
Elles sont espacées de 8mm, et un polissage préalable est effectué pour donner
un meilleur contraste taches/surface. Une fois l’éprouvette fixée entre les mors de la
machine de traction, une caméra numérise les marques (Figure 3.9).
Fig. 3.9 – Dispositif expérimental de la VidéoTraction
77
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
La déformation vraie est obtenue par analyse des déplacements des barycentres
des marques numérisées par la caméra. Cette dernière est interfacée à un logiciel de
traitement d’images pour l’analyse des distorsions. Les marques situées suivant l’axe de
traction donnent accès à la déformation vraie axiale εxx , tandis que les marques alignées
perpendiculairement déterminent la déformation vraie transverse εyy . La contrainte
vraie σxx est définie comme la force de traction par unité de section droite au niveau des
marques. La section courante est calculée à partir de la section initiale de l’échantillon
et de la déformation vraie. A partir de ces données, une autorégulation de la vitesse de
traverse permet de garantir un taux de déformation ε̇xx constant.
La traction classique et la VidéoTraction relèvent le même comportement pour les
faibles déformations. Au delà de 10% de déformation, les courbes rationnelles divergent
légèrement (Figure 3.10). L’instabilité du palier de Lüders fait que la VidéoTraction a
du mal à imposer un taux de déformation constant, d’où la différence avec la courbe
classique.
550
Contrainte vraie (MPa)
500
450
400
VidéoTraction
350
Traction classique
300
250
0
0.05
0.1
0.15
Déformation vraie (%)
0.2
0.25
Fig. 3.10 – Courbes rationnelles de la VidéoTraction et de la traction
3.5.2
Résultats expérimentaux
Lors des essais de VidéoTraction, la caméra capture et numérise une surface de
l’éprouvette (fenêtre), qui est un compromis entre la netteté de l’image et la largeur
de la surface et qui ne doit plus être modifié. Le mouvement des marques doit être
78
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
compris dans cet espace, ce qui limite la déformation totale atteinte à 25%. De plus, le
logiciel de traitement d’image n’est pas capable de suivre les mouvements rapides des
taches et de réactualiser les coordonnées des barycentres, ce qui limite la gamme des
vitesses qu’on peut explorer. La vitesse de déformation, pour un poinçonnage dans la
zone la plus sollicitée, se situe entre 10−4 et 104 s−1 . Malheureusement, pour les raisons
techniques citées, nous ne pourrons pas atteindre des vitesses supérieures à 5.10−3 s−1
en VidéoTraction. Les essais seront effectués pour les vitesses suivantes : 10−5 , 5.10−5 ,
10−4 , 5.10−4 , 10−3 et 5.10−3 s−1 et une fois la loi de comportement identifiée, elle sera
extrapolée aux grandes vitesses. La figure 3.11 représente l’évolution de la contrainte
en fonction de la déformation.
500
σ (MPa)
400
300
10−5
5.10−5
−4
10
200
5.10−4
10−3
5.10−3
100
0
0
5
10
15
ε (%)
20
25
Fig. 3.11 – Courbes de VidéoTraction à différentes vitesses
3.5.3
Identification d’une loi dépendante de la vitesse
La loi de Lubahn et Felgar ( [88], [89]), citée précédemment, correspond au comportement particulier du matériau. Elle bénéficie en plus d’une simplicité d’écriture et d’un
faible nombre de paramètres à identifier. Le modèle néglige l’effet de la température et
s’écrit :
m
ε̇
n
σ(ε, ε̇) = Kεp
(3.2)
ε̇ref
avec K et n deux paramètres identifiés dans le cas quasi-statique, ε̇ref le taux de
déformation caractérisant le comportement quasi-statique et m la sensibilité à la vi-
79
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
tesse de déformation. L’analyse de cette dépendance se fait par rapport à une courbe
de référence correspondant à un comportement statique. Dans nos expériences, ce comportement correspond au test effectué à la plus faible vitesse, soit ε̇ref = 10−5 s−1 . Il est
modélisé par :
σref = Kεnp
(3.3)
et donc :
σ
=
σref
ε̇
ε̇ref
m
(3.4)
L’équation 3.4 permet d’identifier le coefficient m en traçant la courbe représentative
de :
ε̇
σ
ln
= m. ln
(3.5)
σref
ε̇ref
L’identification du paramètre m est illustré par la figure 3.12.
0.08
Points expérimentaux
2
ln (σ/σref )
Régression linéaire: m=0,0085 (R =0,85)
0.06
0.04
0.02
0
1
2
3
4
5
6
ln (ε̇/ε̇ref )
7
8
Fig. 3.12 – Identification du coefficient de sensibilité à la vitesse
Le coefficient m a pour valeur 0, 0085. Le comportement du matériau s’écrit donc
comme suit :
0,0085
ε̇
0,245
σ(ε, ε̇) = 750εp
(3.6)
ε̇ref
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
3.6
80
Validation numérique
Pour valider l’identification décrite précédemment, on modélise le comportement
mécanique du matériau de deux façons. La première, simpliste, considère le comportement comme étant purement élastoplastique alors que la seconde, plus représentative
du cas réel, prend en compte la dépendance à la vitesse de déformation.
Les essais de VidéoTraction ont été effectués sur des éprouvettes rectangulaires de
167, 5mm de longueur par 12, 5mm de largeur. Deux taches, espacées de 8mm au centre
des éprouvettes, ont permis le suivi de la déformation en fonction de la contrainte, à
taux de déformation constant, comme il a été expliqué précédemment. La représentation
géométrique de l’essai de traction peut se restreindre, en raison de la symétrie du
problème, à la représentation 2D d’un quart de l’éprouvette (Figure 3.13).
Fig. 3.13 – Modèle géométrique de la simulation de la vidéotraction
La tôle étant mince, on utilise l’hypothèse des contraintes planes. Les éléments
du maillage choisis sont des quadrilatères Q4, bilinéaires et à intégration réduite (250
éléments CPS4R). Le comportement élastoplastique est introduit par la courbe d’écrouissage
σ = f (εp ), établie à partir d’un essai de traction quasi-statique. On définit la vitesse
ε̇ = 10−5 s−1 comme vitesse représentative d’un comportement quasi-statique. La courbe
expérimentale donne l’évolution de la contrainte pour une déformation plastique maximale de 30%. Le caractère isotrope du matériau et le critère de plasticité de von Mises
nous permettent d’identifier la loi d’écrouissage σ = Kεnp .
Pour les besoins numériques, nous extrapolons cette courbe à des déformations beaucoup plus importantes et qui atteignent 300% (Figure 3.14).
81
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
σref (MPa)
1000
750
500
250
0
0.5
1
1.5
2
εp
2.5
3
Fig. 3.14 – Courbe d’écrouissage quasi-statique extrapolée aux grandes déformations
plastiques
La loi de Lubahn et Felgar ( [88], [89]), décrite précédemment, permet d’établir le
comportement mécanique du matériau avec dépendance à la vitesse en fonction de son
comportement quasi-statique. En effet, en exprimant le comportement quasi-statique
comme suit ( ε̇ref étant le taux de déformation quasi-statique) :
σref = Kεnp
et plus généralement, pour un taux de déformation quelconque,
m
ε̇
n
σ = Kεp
ε̇ref
(3.7)
(3.8)
on obtient la relation suivante :
σ
=
σref
ε̇
ε̇ref
m
(3.9)
Le paramètre de sensibilité à la vitesse m a été identifié à 0, 0085. Expérimentalement,
le taux de déformation quasi-statique est de 10−5 s−1 et les taux de déformations dynamiques sont compris entre 5.10−5 et 5.10−3 s−1 . Cependant, pour les besoins numériques
ε̇
σ
en fonction de σref
à des vitesses plus
il faut extrapoler, là aussi, l’évolution de ε̇ref
importantes (Figure 3.15).
82
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
1.08
σ/σref
1.06
1.04
Points expérimentaux
Courbe extrapolée
1.02
1
0
500
1000
ε̇/ε̇ref
1500
2000
Fig. 3.15 – Evolution de σ/σref en fonction de ε̇/ε̇ref
La figure 3.16 compare les courbes expérimentales de la VidéoTraction avec les
courbes numériques obtenues par les deux modèles du comportement du matériau :
élastoplastique et élastoplastique avec dépendance à la vitesse de déformation (ADVD).
83
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
σ (MPa)
400
300
200
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
100
0
0
5
ε (%)
10
15
(a) ε̇ = 10−5 s−1
σ (MPa)
400
300
200
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
100
0
0
5
10
15
ε (%)
20
25
(b) ε̇ = 5.10−3 s−1
Fig. 3.16 – Prise en compte de la dépendance à la vitesse de déformation lors de la
simulation et comparaison avec les résultats expérimentaux
IDENTIFICATION D’UN MODELE...
84
L’erreur du modèle élastoplastique croı̂t avec la vitesse et atteint 5% (pour une
dispersion inférieure à 1%) pour la vitesse de 5.10−3 s−1 . Cette vitesse est relativement
faible par rapport à celles atteintes lors de la découpe, ce qui nous laisse penser que
l’erreur finale sera supérieure à 5%.
La prise en compte de la sensibilité à la vitesse de sollicitation améliore nettement
la corrélation numérique/expérimentale. Ce travail nous conforte dans le choix du
modèle caractérisant le comportement du matériau ainsi que dans son implémentation
numérique. L’instabilité du palier de Lüders et sa non-reproductibilité induit une erreur,
non significative, au niveau numérique.
3.7
Synthèse du chapitre 3
L’alliage étudié présente une sensibilité à la vitesse de déformation qui ne peut
pas être négligée lors de sa caractérisation. Des essais de VidéoTraction ont permis
d’identifier les paramètres d’une loi appropriée au caractère homothétique de l’évolution
de la contrainte d’écoulement en fonction de la vitesse de déformation. Cette loi a
été validée numériquement sur des simulations des essais de VidéoTraction avant son
utilisation dans la modélisation des procédés de découpe.
Chapitre 4
Procédé de découpage
4.1
Introduction
Après avoir étudié et modélisé le comportement du Fe-Si, nous nous intéressons aux
aspects expérimentaux du poinçonnage et du cisaillage, d’une part et d’autre part, à la
modélisation numérique de ces procédés. Ceci est de grande importance, pour quantifier
la dégradation de l’état mécanique du matériau liée aux procédés de découpe des tôles
minces.
4.2
Aspects expérimentaux
Ce travail a pour but d’étudier essentiellement l’influence du jeu et de la vitesse
de découpe sur les courbes force-pénétration ainsi que leurs impacts sur la qualité du
profil découpé et sur les modes de rupture. Les conclusions dégagées de cette analyse
serviront ultérieurement à opérer les bons choix pour la simulation de ces procédés.
PROCEDE DEDECOUPE
4.2.1
86
Etude expérimentale du poinçonnage
Matériel et techniques utilisés
Les essais de découpe sont effectués au Centre Technique des Industries Mécaniques
(CETIM-Senlis). Les opérations de découpe se font sur une presse mécanique avec
le matériau étudié précédemment. Il se présente sous forme d’une bande de 0, 65mm
d’épaisseur enroulée sur une bobine. Afin de déplier cette bobine et de pouvoir ainsi
amener convenablement la matière sous l’outil de découpe, elle est posée sur un dévidoir.
La tôle est ensuite entraı̂née par un redresseur pour être centrée sous l’outil afin d’obtenir des tôles sous forme de bandes planes. La machine permettant le cisaillage et le
poinçonnage est une presse mécanique ”BRET” de 200 tonnes (Figure 4.1).
Fig. 4.1 – Presse hydraulique, boitiers de commande et dispositif d’aquisition
87
PROCEDE DEDECOUPE
Le mouvement de l’outil est assuré par un système bielle-manivelle entraı̂né par
inertie. La machine est couplée à un ordinateur qui permet l’acquisition, via un capteur
piézo-électrique, de l’effort appliqué à l’outil au cours du temps. Un calcul approprié
permet de remonter aux courbes d’évolution de la charge en fonction de la pénétration
de l’outil de découpe dans la tôle.
La presse mécanique permet l’utilisation de cadences comprises entre 30 et 80 coups/min.
En se basant sur la théorie des transformations du mouvement, en l’occurrence celle
d’un mouvement circulaire uniforme, en un mouvement rectiligne non uniforme, on
définit l’expression de la position de l’outil et sa vitesse. La figure 4.2 représente le
système bielle-manivelle.
Fig. 4.2 – Cinématique du mouvement
La distance ”OB” a pour expression :
x = r cos α +
p
L2 − r 2 sin2 α)
(4.1)
Soit ω la vitesse de rotation du vilebrequin. Prenons comme origine des déplacements
du coulisseau le point mors bas (PMB) et comme origine des temps, l’instant de passage
en ce point. Soit x la position de l’outil à l’instant t. Pour t = 0, x = 0. D’autre part,
on pose α = ωt. D’où :
p
x = r + L − (r cos ωt + L2 − r 2 sin2 ωt)
(4.2)
88
PROCEDE DEDECOUPE
Le chemin parcouru par le coulisseau lorque le vilebrequin passe du PMB (ωt = 0) au
point mors haut (PMH) (ωt = π) s’appelle la course c (c = xmax = 2r).
2
2
ωt
En pratique, le terme r sin
est très petit devant 1(pour la presse utilisée, L = 600mm,
L2
2
r
c = 56mm et L2 = 0, 0022). Le développement de (4.2) au voisinage de 1 aboutit à :
x = r(1 − cos ωt) +
r 2 sin2 ωt
2L
(4.3)
r
cos ωt)
L
(4.4)
La vitesse de l’outil est également donnée par :
V = ωr sin ωt(1 +
Ainsi, en raison du mécanisme utilisé (bielle-manivelle), la vitesse de découpe n’est pas
constante au cours du déplacement de l’outil (Figure 4.3).
Cadence 30 coups/mn
Cadence 80 coups/mn
100
250
V (mm/s)
X (mm)
75
V (mm/s)
X (mm)
200
150
50
100
25
50
0
0
−50
−25
−100
−50
−150
−75
−100
−200
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
2
−250
0
0.25
0.5
Temps (s)
0.75
Fig. 4.3 – Evolution de la position du poinçon et de sa vitesse au cours du temps pour
les deux cadences extrêmes
En faisant varier la position de la tôle par rapport au PMB et la cadence de l’outil,
on arrive a avoir une large gamme de vitesse de découpe (Figure 4.4). On suppose que
cette gamme de vitesse est constante lors de découpe.
89
PROCEDE DEDECOUPE
140
120
126,9mm/s
119mm/s
111mm/s
103,2mm/s
95,2mm/s
87,2mm/s
79,3mm/s
63,5mm/s
47,6mm/s
29mm/s
Vitesse (mm/s)
100
80
60
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
Pénétration (mm)
0.8
1
Fig. 4.4 – Evolution des différentes vitesses lors de la pénétration de l’outil dans la tôle
Différentes configurations d’essais
Les poinçons utilisés sont cylindriques (Figure 4.5), considérés comme neufs et
montés sur le mors mobile de la presse (Figure 4.6). Le rayon de courbure de l’arête
de découpe est estimé à 0, 02mm. Les outils usés (rayons de courbure supérieurs à
0, 1mm) détériorent rapidement les profils de découpe avec une hauteur de bavure plus
importante [169].
Fig. 4.5 – Photo de face et de profil d’un poinçon (Φoutil = 8, 90mm)
PROCEDE DEDECOUPE
90
Fig. 4.6 – Montage du poinçon sur la presse
La figure 4.7 présente une tôle poinçonnée avec ses débouchures.
Fig. 4.7 – Tôle poinçonnée et débouchures
La matrice et le serre-flan ont des dimensions constantes et le jeu est ajusté en
faisant varier les dimensions du poinçon (Tableau 4.1).
91
PROCEDE DEDECOUPE
Tab. 4.1 – Outils pour le poinçonnage
Diamètre matrice
9mm
Diamètre serre-flan
12mm
Diamètre poinçon ≫≫ Jeu
8,95mm ≫≫
8,90mm ≫≫
8,85mm ≫≫
8,80mm ≫≫
8,75mm ≫≫
8,70mm ≫≫
3,85%
7,69%
11,54%
15,38%
19,23%
23,07%
Pour chaque jeu, on réalise des essais à différentes vitesses. Pour les faibles jeux
(3, 85% et 7, 69%) une gamme de vitesse plus large sera étudiée afin de mieux définir
l’impact de la vitesse de découpe sur le comportement du matériau lors du poinçonnage
(Tableau 4.2).
Tab. 4.2 – Configurations des jeux et des vitesses utilisées lors des essais de poinçonnage
Jeu(%)
3,85
7,69
11,54
15,38
19,23
23,07
29
•
•
•
•
•
•
47,6
•
•
•
•
•
•
Vitesse de poinçonnage
63,5
79,3
87,2
95,2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(mm.s−1 )
103,2 111
•
•
•
•
119
•
126,9
•
•
•
•
•
•
Résultats et analyses
- Influence du jeu
Le jeu entre le poinçon et la matrice joue un rôle très important dans le processus de
poinçonnage. Le choix du jeu influence, entre autres, la durée de vie des outils, l’effort
de poinçonnage et la qualité (forme de bavure) de la découpe. La figure 4.8 représente
des résultats obtenus pour quelques unes des vitesses utilisées.
92
PROCEDE DEDECOUPE
6000
Force (N)
5000
4000
3,85%
7,69%
11,54%
19,23%
3000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
(a) Vitesse = 29mm.s−1
6000
Force (N)
5000
4000
3,85%
7,69%
11,54%
19,23%
3000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
(b) Vitesse = 126,9mm.s−1
Fig. 4.8 – Influence du jeu sur les courbes force-pénétration pour les différentes vitesses
de poinçonnage
L’accroissement du jeu implique une diminution de l’effort global du poinçonnage.
La figure 4.9 montre l’évolution de l’effort maximal en fonction du jeu pour la vitesse
de poinçonnage de 126, 9mm.s−1 . Cette évolution est similaire pour les autres vitesses.
93
PROCEDE DEDECOUPE
On note que pour ce matériau, pour un jeu relatif allant de 3 à 23%, la diminution de
cet effort est de l’ordre de 10 à 12%.
7000
Force maximale (N)
6750
6500
6250
6000
0
5
10
15
20
25
Jeu (%)
Fig. 4.9 – Evolution de l’effort maximum en fonction du jeu (Vitesse de poinçonnage
126, 9mm.s−1 )
Rappelons que le jeu poinçon-matrice influence radicalement la qualité de la surface
de découpe et la précision dimensionnelle de la pièce poinçonnée. Dans le cas de jeux
assez grands, le profil de la surface de découpe est de très mauvaise qualité à cause d’une
zone arrachée et d’une bavure importante. Quand ces jeux diminuent, les irrégularités
de cette surface s’amoindrissent. D’une manière générale, on ne peut pas travailler avec
un jeu supérieur à 23% dans le cas du poinçonnage. Une analyse des profils de découpe
devra le confirmer.
- Influence de la vitesse
Au même titre que le jeu, la vitesse de poinçonnage est un paramètre important pour la
maı̂trise du processus. Elle affecte, également la durée de vie des outils de découpe et la
qualité du bord découpé. La figure 4.10 trace l’évolution de la courbe force-pénétration
pour quelques jeux et met en évidence l’influence de la vitesse de poinçonnage. On
constate que la vitesse n’affecte pas la valeur de l’effort maximal mais plutôt la valeur
de la pénétration à rupture. Pour les faibles vitesses, soit 29 et 47,6 mm.s−1 , la rupture
survient aux alentours de 0,45 et 0,50 mm de pénétration (70 - 77% de l’épaisseur).
94
PROCEDE DEDECOUPE
6000
5000
47,6 mm.s−1
Force (N)
−1
63,5 mm.s
4000
−1
79,3 mm.s
95,2 mm.s−1
3000
103,2 mm.s−1
−1
111 mm.s
2000
119 mm.s−1
126,9 mm.s−1
1000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
(a) Jeu = 3,85%
6000
Force (N)
5000
4000
29 mm.s−1
−1
63,5 mm.s
−1
3000
79,3 mm.s
95,2 mm.s−1
−1
2000
103,2 mm.s
−1
111 mm.s
126,9 mm.s−1
1000
0
0
0,2
0,4
Pénétration (mm)
0,6
(b) Jeu = 7,69%
Fig. 4.10 – Influence de la vitesse de découpe sur la courbe force-pénétration pour
quelques uns des jeux utilisés
PROCEDE DEDECOUPE
95
Pour des vitesses plus importantes, elle se situe aux alentours de 0,55 et 0,65mm (85 100% de l’épaisseur).
- Analyse du profil de découpe
Une analyse complémentaire des faciès et des profils de rupture nous permet une
meilleure compréhension du processus de poinçonnage. Comme nous l’avons souligné
au chapitre 2, le faciès de rupture se décompose en trois zones (Figure 2.13) : une zone
pliée, une zone de rupture en cisaillement et une zone de rupture ductile. La formation
et la répartition de ces trois zones dépendent des propriétés du matériau, de l’épaisseur
de la tôle et des conditions expérimentales des essais (jeux et vitesses). Les ”meilleurs”
essais sont ceux qui présentent une large zone de cisaillement et donc une faible zone
de rupture ductile.
Les images des profils des différentes configurations sont obtenues après découpage des
trous et par analyse au MEB. L’image (Figure 4.11.a) montre clairement la zone lisse
et la zone arrachée. La figure 4.11.b illustre les cupules caractéristiques de la rupture
ductile.
Fig. 4.11 – (a). Exemple d’un profil de poinçonnage (Jeu = 3, 85%, Vitesse = 126,9
mm.s−1 ) ; (b). Cupules caractéristiques de la zone arrachée.
La figure 4.12 trace l’évolution de la hauteur de la zone lisse et de la zone arrachée
pour les jeux de 3,85 et 7, 69%. Pour le jeu 3, 85%, on a une hauteur respective de
420 ± 20µm et 160 ± 15µm pour la zone lisse et arrachée alors que pour le jeu 7, 69%,
les hauteurs respectives sont de 395 ± 17µm et 175 ± 100µm. Ces proportions peuvent
être estimées comme constantes et donc indépendantes de la vitesse de poinçonnage.
Cependant, il semble que la variation du jeu ait un impact plus sensible sur la hauteur
de la zone lisse que sur celle de la zone arrachée.
Six jeux sont utilisés pour étudier l’impact de ce paramètre sur le mode de rupture
96
PROCEDE DEDECOUPE
0.5
Hauteur(mm)
0.4
Zone lisse 3,85%
Zone arrachée 3,85%
Zone lisse 7,69%
Zone arrachée 7,69%
0.3
0.2
0.1
20
40
60
80
100
120
140
−1
Vitesse (mm.s )
Fig. 4.12 – Evolution de la hauteur de la zone lisse et arrachée (jeu de 3, 85% et 7, 69%)
durant le poinçonnage. Même après avoir démontré que la vitesse n’influence pas la proportion de la hauteur de la zone lisse et arrachée, pour chaque jeu on appliquera au minimum quatre vitesses. Ceci permet de nous conforter dans nos conclusions précédentes.
La figure 4.13 représente l’évolution de la zone arrachée en fonction du jeu pour les
quatre vitesses. La hauteur relevée est de 185 ± 400µm.
0.23
−1
29mm.s
−1
Hauteur de la zone de rupture (mm)
47,6mm.s
−1
0.21
79,3mm.s
−1
126,9mm.s
0.19
0.17
0.15
0.13
0
5
10
15
20
25
Jeu (%)
Fig. 4.13 – Evolution de la hauteur de la zone arrachée avec le jeu
97
PROCEDE DEDECOUPE
L’évolution de la hauteur de la zone lisse (Figure 4.14) est maximale pour les faibles
jeux (3,85 et 7,69%). Sachant que les meilleurs essais sont ceux qui présentent une
large zone de cisaillement, il est évident que le meilleur poinçonnage se fait avec les
faibles jeux. Au delà de 7,69%, la hauteur de la zone lisse diminue linéairement jusqu’à
atteindre une hauteur minimale pour les jeux de 19,23 et 23,07%.
0.45
−1
29mm.s
Hauteur de la zone lisse (mm)
47,6mm.s−1
0.4
−1
79,3mm.s
126,9mm.s−1
Tendance
0.35
0.3
0.25
0
5
10
15
20
25
Jeu (%)
Fig. 4.14 – Evolution de la hauteur de la zone lisse avec le jeu
4.2.2
Etude expérimentale du cisaillage
Matériel et techniques utilisés
Les essais de cisaillage ont été, comme pour le poinçonnage, menés au CETIM. Un
outil à lame droite et ouverte a été réalisé spécialement pour nos essais (Figure 4.15).
Sa conception et sa réalisation ont été financées par le Conseil Régional de Picardie.
Le cisaillage effectué est dit simple et à bord libre. La cisaille est montée sur la presse
mécanique utilisée pour le poinçonnage. L’outil coupant est à arête vive, droite et
à contour ouvert. Le matériau est présent sous forme de bande d’épaisseur égale à
0, 65mm tout comme pour le poinçonnage.
PROCEDE DEDECOUPE
98
Fig. 4.15 – Dispositif expérimental du cisaillage
Gamme de configuration des essais
Le matériau est déposé sur la matrice sans que son bord ne soit en contact avec
d’autres pièces. Pour des raisons techniques, l’outil doit être guidé dans son mouvement
par un élément de centrage (élément gauche dans la figure 4.16). On notera l’absence
d’un élément de serrage (serre-flan) pour ces essais. Deux vitesses sont utilisées : 58 et
154 mm.s−1 .
Fig. 4.16 – Schématisation de l’essai de cisaillage
PROCEDE DEDECOUPE
99
Le jeu J est contrôlé en faisant varier la distance ∆d entre le bord découpant de
l’outil et la matrice. Lors de cette compagne d’essais, nous avons balayé une large
gamme de jeux allant de 3% à 60% (Tableau 4.3).
Tab. 4.3 – Jeux utilisés pour le cisaillage
Distance outil-matrice (mm)
Jeu relatif (%)
0,02
3,07
0,05
7,69
0,07
10,67
0,10
15,38
0,12
18,46
0,15
23,07
0,25
38,46
0,40
61,53
Notons que pour les jeux supérieurs à 40%, la découpe de la tôle se réalise plus par
un phénomène de pliage que par un procédé de cisaillage (Figure 4.17). Dans la suite
on s’intéressera uniquement à l’étude des essais effectués pour des jeux compris entre 3
et 23%.
Fig. 4.17 – Profil cisaillé pour un jeu de (a)18, 46% ; (b)61, 53%
Résultats et analyses
Comme pour le poinçonnage, on s’intéresse à l’impact du jeu et de la vitesse de
découpe sur le procédé de cisaillage.
100
PROCEDE DEDECOUPE
- Influence du jeu
La figure 4.18 illustre les courbes force-pénétration en fonction du jeu pour les deux
vitesses de cisaillage utilisées.
6000
5000
Force (N)
4000
3000
3,07%
7,69%
10,76%
15,38%
18,46%
23,07%
2000
1000
0
0
0.2
0.4
0.6
Pénétration (mm)
0.8
(a) Vitesse = 58mm.s−1
6000
5000
Force (N)
4000
3000
7,69%
10,76%
15,38%
18,46%
23,07%
2000
1000
0
0
0.2
0.4
0.6
Pénétration (mm)
0.8
(b) Vitesse = 154mm.s−1
Fig. 4.18 – Influence du jeu sur les courbes force-pénétration pour les différentes vitesses
de cisaillage
101
PROCEDE DEDECOUPE
Comme pour le poinçonnage, on constate que l’effort maximal sur l’outil augmente
lorsque le jeu diminue (Figure 4.19).
6000
Vitesse de 58mm.s−1
Vitesse de 154mm.s−1
Effort maximal (N)
5800
5600
5400
5200
5000
0
5
10
15
20
25
Jeu (%)
Fig. 4.19 – Evolution de l’effort maximal en fonction du jeu
- Influence de la vitesse
La figure 4.20 trace l’évolution de la courbe de cisaillage avec les différentes vitesses. Il
en ressort que la vitesse affecte très peu (moins de 3% de variation) l’effort maximal.
Cependant, la vitesse modifie l’instant de rupture : la grande vitesse retarde le moment
de rupture finale.
102
6000
6000
5000
5000
4000
4000
Force (N)
Force (N)
PROCEDE DEDECOUPE
3000
58 mm.s−1
3000
58 mm.s−1
154 mm.s−1
154 mm.s−1
2000
2000
1000
1000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0
0.6
0
6000
6000
5000
5000
4000
4000
3000
58 mm.s−1
58 mm.s−1
154 mm.s−1
154 mm.s
2000
2000
1000
1000
0
0.2
0.6
3000
−1
0
0.4
Pénétration (mm)
(b) Jeu = 10,76%
Force (N)
Force (N)
(a) Jeu = 7,69%
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
0
0.8
0
(c) Jeu = 15,38%
0.2
0.4
0.6
Pénétration (mm)
0.8
(d) Jeu = 18,46%
6000
5000
Force (N)
4000
3000
58 mm.s−1
154 mm.s−1
2000
1000
0
0
0.2
0.4
0.6
Pénétration (mm)
0.8
(e) Jeu = 23,07%
Fig. 4.20 – Influence de la vitesse sur la courbe force-pénétration pour différents jeux
PROCEDE DEDECOUPE
103
- Analyse du profil de découpe
Comme pour le poinçonnage, les faciès de découpe ont été observés au microscope
(Figure 4.21). On retrouve une configuration classique : zone pliée, zone cisaillée et
zone arrachée. Les cupules de cette dernière zone (Figure 4.22) sont caractéristiques, là
aussi, d’une déchirure ductile avec absence d’inclusion au sein du matériau.
Fig. 4.21 – Les profils de cisaillage pour une vitesse de 58mm.s−1
Fig. 4.22 – Zone de rupture ductile, présence de cupule sans inclusions
Les figures 4.23 et 4.24 représentent la répartition du pliage, de la zone de cisaillement et de la zone de rupture ductile pour chaque jeu pour les deux vitesses de cisaillement. La hauteur du pliage est très faible et se situe entre 0,06 et 0,09mm (9∼14%
de l’épaisseur). Celle du cisaillement croı̂t en fonction du jeu aux dépens de la zone de
rupture.
104
PROCEDE DEDECOUPE
70%
Zone pliée
Zone de cisaillement
Zone de rupture ductile
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
3,07
7,69
15,38
10,67
Jeu (%)
18,46
23,07
Fig. 4.23 – Répartition des 3 zones pour une vitesse de 58 mm.s−1
80%
Zone pliée
Zone de cisaillement
Zone de rupture ductile
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
7,69
10,67
15,38
Jeu (%)
18,46
23,07
Fig. 4.24 – Répartition des 3 zones pour une vitesse de 154 mm.s−1
Ce résultat confirme le fait que l’accroissement du jeu retarde le moment de rupture
observé à partir des courbes effort-pénétration.
105
PROCEDE DEDECOUPE
La figure 4.25 trace l’évolution de la pénétration à rupture de l’outil en fonction du
jeu pour les deux vitesses de cisaillement. Cette figure met en évidence le fait que la
pénétration à rupture augmente avec le jeu.
0.6
Pénétration à rupture (mm)
0.5
0.4
0.3
−1
Vitesse de cisaillage de 58mm.s
0.2
Vitesse de cisaillage de 154mm.s−1
0.1
0
0
5
10
15
20
25
Jeu (%)
Fig. 4.25 – Evolution de la pénétration à rupture de l’outil avec le jeu
4.3
Aspects numériques
L’étude expérimentale en traction du matériau a démontré un comportement élastoplastique dépendant de la vitesse de déformation. Cet aspect est correctement implémenté dans le code Abaqus et validé avant la modélisation du poinçonnage et du cisaillage,
des procédés qui nécessitent l’intégration supplémentaire d’un modèle d’endommagement. Le modèle de Gurson-Tveergard-Needleman semble le plus approprié pour
représenter cet aspect.
PROCEDE DEDECOUPE
4.3.1
106
Simulation numérique du poinçonnage
Modèle géométrique et outils numériques
Le poinçonnage est réalisé par des outils cylindriques de différents diamètres. La
tôle est serrée entre une matrice et un serre-flan cylindriques. En raison de la symétrie
du problème, on utilise un modèle axisymétrique (Figure 4.26).
Fig. 4.26 – Modèle géométrique du poinçonnage
Dans cette configuration, le bord gauche de la tôle (axe de symétrie) est libre sui→
→ Le côté droit est complètement restreint en
vant l’axe −
oy et est fixe suivant l’axe −
ox.
déplacement (Figure 4.27).
Fig. 4.27 – Modélisation des conditions aux limites
107
PROCEDE DEDECOUPE
Le poinçon, le serre-flan et la matrice sont considérés comme des corps rigides. La
tôle est maillée avec des éléments quadrilatères Q4 à intégration réduite (CAX4R). Un
maillage libre et plus fin est effectué dans la zone qui subit les plus grandes distorsions,
au voisinage du passage du poinçon (Figure 4.28). 1024 éléments sont utilisés (1161
noeuds) dont 960 éléments pour la zone la plus sollicitée.
Fig. 4.28 – Maillage de la tôle
L’identification du comportement mécanique du matériau prenant en compte la
dépendance de la réponse mécanique à la vitesse de sollicitation a été validée avec
succès par la modélisation des essais de traction. Le poinçonnage nécessite la prise en
compte de la ruine complète de la matière. Le modèle de Gurson-Tveergard-Needleman
est ajouté pour enrichir la caractérisation du comportement du matériau. Son utilisation
nécessite l’introduction des paramètres q1 , q2 et q3 de l’équation (2.28), les paramètres
fF et fc décrivant la rupture (équation (2.29)), ainsi que les paramètres εN , SN et fN
pilotant le taux de nucléation du vide. En effet, le taux de nucléation s’écrit comme
suit [97] :
f˙nuc = A.ε̇pl
(4.5)
avec
A=
fN
√
SN
1
exp[−
2
2π
εpl − εN
SN
2
]
(4.6)
où ε̇pl et εpl représentent les taux de déformation plastique équivalente et la déformation
plastique équivalente.
Un frottement de type Coulomb est défini aux interfaces. Le coefficient de frottement
est généralement pris entre 0,1 et 0,2 dans le cas de poinçonnage sans lubrification
( [22], [150], [16]). Pour cette étude, nous avons retenu un coefficient de frottement de
0,15.
PROCEDE DEDECOUPE
108
Compte tenu de la sévérité du procédé, le schéma de résolution dynamique explicite
a été retenu. Il est associé à la technique ALE pour l’adaptation du maillage afin d’éviter
des distorsions excessives des éléments et garantir une bonne qualité des prédictions.
Résultats et analyses
Les simulations numériques portent sur les mêmes vitesses et jeux utilisés pour
l’analyse expérimentale du procédé de poinçonnage (Tableau 4.2). Le maillage choisi
suit convenablement l’écoulement de la matière et semble bien se comporter vis à vis
des grandes distorsions subies au voisinage des rayons de courbures des outils. La figure
4.29 illustre l’évolution du maillage à différentes pénétrations (50 et 85%).
Fig. 4.29 – Evolution du maillage pour un jeu de 15, 38% et une vitesse 79, 3mm.s−1 :
(a) pénétration de 50% ; (b) pénétration de 85%
Au delà de 85% de pénétration, les éléments pris entre les rayons de courbure deviennent extrêmement distordus et complètement endommagés. Ces éléments sont supprimés automatiquement, traduisant ainsi la séparation de la matière (Figure 4.30).
Fig. 4.30 – Séparation du maillage (pénétration 100%)
109
PROCEDE DEDECOUPE
Les figures 4.31-34 illustrent la distribution de la contrainte équivalente et de la
déformation plastique équivalente dans le cas du cisaillage et de poinçonnage.
(a) Pénétration de 50%
(b) Pénétration de 85%
Fig. 4.31 – Distribution de la contrainte équivalente dans la tôle : Cas de cisaillage
(Vitesse = 154 mm.s−1 , Jeu = 7,69%)
110
PROCEDE DEDECOUPE
(a) Pénétration de 50%
(b) Pénétration de 85%
Fig. 4.32 – Distribution de la contrainte équivalente dans la tôle : Cas de poinçonnage
(Vitesse = 126,9 mm.s−1 , Jeu = 7,69%)
111
PROCEDE DEDECOUPE
(a) Pénétration de 50%
(b) Pénétration de 85%
Fig. 4.33 – Distribution de la déformation plastique équivalente dans la tôle : Cas de
cisaillage (Vitesse = 154 mm.s−1 , Jeu = 7,69%)
112
PROCEDE DEDECOUPE
(a) Pénétration de 50%
(b) Pénétration de 85%
Fig. 4.34 – Distribution de la déformation plastique équivalente dans la tôle : Cas de
poinçonnage (Vitesse = 126,9 mm.s−1 , Jeu = 7,69%)
113
PROCEDE DEDECOUPE
L’implémentation du modèle de Gurson nécessite l’identification de neuf paramètres
qui sont : la densité initiale de la matière R0 , les paramètres (q1 , q2 , q3 ), les paramètres
(εN , SN , fN ) qui pilotent la nucléation du vide et (fF , fc ), paramètres qui caractérisent
la rupture. En se basant sur la littérature ( [170], [171]), et en effectuant différents
tests de simulation, un jeu de paramètres (Tableau 4.4) a été validé sur une courbe
effort-pénétration (poinçonnage avec un jeu de 7, 69% et une vitesse de 111mm.s−1 ).
Cependant, ces paramètres ne semblent pas être appropriés pour toutes les vitesses.
Tab. 4.4 – Paramètres du modèle de Gurson obtenus pour un essai de poinçonnage
(jeu7, 69%, vitesse 111mm.s−1 )
R0
0,9999
q1
1,3
q2
1
q3
q12
εN
0,1
SN
0,1
fN
0,04
fF
0,12
fc
0,11
La figure 4.35 trace la courbe expérimentale et numérique obtenue par simulation
avec la vitesse de 87, 2mm.s−1 , et ce en utilisant les paramètres du modèle décrits
précédemment. Une erreur sur la localisation de la rupture est relevée.
7000
V = 87,2 mm.s−1
q = 1,3
1
6000
Force (N)
5000
4000
Expérimental
Modèle élastoplastique
3000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
Déplacement (mm)
0.6
Fig. 4.35 – Application des paramètres de Gurson identifiés pour une vitesse de
111mm.s−1 à une vitesse de 87, 2mm.s−1 (Jeu identique)
PROCEDE DEDECOUPE
114
Tab. 4.5 – Valeurs utilisées de q1 en fonction des jeux et vitesses simulées
Vitesse de poinçonnage (mm.s−1 )
Jeu(%) 29
47,6
63,5
79,3
87,2
95,2
111
119
126,9
3,85
1,8
1,8
3
2,7
1,8
7,69
2,9
1,6
1,8
2
2
1,8
11,54
3,1
3,1
1,8
1,9
2,9
3,3
1,8
2,2
15,38
19,23
3
3,2
2,2
moyen
q1
3
3,1
1,7
1,8
2
1,9
3
2,7
2
A partir d’observations expérimentales, on remarque que la vitesse de poinçonnage
affecte le moment de la rupture finale. Numériquement cet instant est piloté directement
par le modèle de Gurson. Ainsi, les paramètres du modèle doivent être ajustés en
fonction de la vitesse de sollicitation. Différentes simulations ont permis d’ajuster le
paramètre q1 (dans cette approche on gardera q2 = 1 et q3 = q12 ). A titre d’exemple
nous représentons la comparaison entre quelques courbes expérimentales et numériques
obtenues pour la vitesse 126, 9mm.s−1 (Figure 4.36). On note ADVD : Avec Dépendance
à la Vitesse de Déformation.
Le tableau 4.5 représente les valeurs utilisées pour le paramètre q1 en fonction de la
configuration des essais. Globalement, elles sont comprises entre 3,3 et 1,6. En fonction
du jeu, une très légère dispersion est relevée. On considère alors le paramètre q1 comme
constant autour d’une valeur moyenne q1moyen .
Le tableau 4.6 relève l’effort de poinçonnage maximum. La non prise en compte du
caractère dépendant du comportement vis-à-vis de la vitesse de sollicitation sous-estime
la réponse du matériau de 10 à 16%. Cette erreur est atténuée considérablement et ne
dépasse plus les 5% lors de l’intégration de la sensibilité à la vitesse de déformation.
115
PROCEDE DEDECOUPE
Force (N)
6000
4000
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
2000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
0.7
(a) Jeu = 3,85%
Force (N)
6000
4000
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
2000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
(b) Jeu = 7,69%
Force (N)
6000
4000
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
2000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
0.7
(c) Jeu = 11,54%
Fig. 4.36 – Courbes force-pénétration numérique et expérimentale (Vitesse = 126,9
mm.s−1 )
116
PROCEDE DEDECOUPE
Tab. 4.6 – Evolution de l’effort maximal de poinçonnage (Mod.Num 1 : élastoplastique ;
Mod.Num 2 : élastoplastique avec dépendance à la vitesse de déformation)
Fmax (N)
Jeu(%)
Vitesse(mm/s)
Expérimental Mod.Num1
(Erreur %)
Mod.Num2
(Erreur %)
3,85
63,5
95,2
111
119
126,9
47,6
63,5
79,3
87,2
95,2
126,9
29
47,6
79,3
126,9
29
47,6
79,3
126,9
29
47,6
126,9
6870
6880
6830
6740
6740
6770
6620
6810
6840
6840
6870
6470
6460
6430
6570
6440
6500
6440
6450
6260
6140
6200
6760(-1,6)
7020(+2)
6850(+0,3)
7040(+4,5)
7020(+4,2)
6610(-2,4)
6850(+0,5)
6720(-1,3)
6850(+0,1)
6800(-0,6)
6790(-1,2)
6310(-2,5)
6400(-0,9)
6520(+1,4)
6690(+1,8)
6390(-0,8)
6470(-0,5)
6500(+0,9)
6620(+2,6)
6350(+1,4)
6350(+3,4)
6510(+5)
7,69
11,54
15,38
19,23
5810(-15,4)
6000(-12,8)
6020(-11,9)
6050(-10,2)
5990(-11,2)
5750(-15,1)
5780(-12,7)
5730(-15,9)
5830(-14,8)
6000(-12,3)
5940(-13,5)
5610(-13,3)
5590(-13,5)
5650(-12,1)
5720(-12,9)
5640(-12,4)
5640(-13,2)
5720(-11,2)
5710(-11,5)
5600(-10,5)
5500(-10,4)
5620(-9,4)
PROCEDE DEDECOUPE
4.3.2
117
Simulation numérique du cisaillage
Modèle géométrique et outils numériques
Le modèle géométrique ressemble à celui du poinçonnage. En représentation 2D, il
est constitué d’un outil, d’une matrice et de la tôle. Le problème n’est plus traité en
axisymétrique mais en déformations planes (Figure 4.37).
Fig. 4.37 – Modèle géométrique du cisaillage
La cisaille et la matrice sont des corps rigides. La tôle déformable est maillée avec
des éléments quadrilatéraux du type CPE4R. Un maillage plus fin est défini dans la
zone la plus sollicitée, comme pour le poinçonnage (Figure 4.28). 1024 éléments sont
utilisés dont 960 pour la zone la plus sollicitée.
Le comportement mécanique du matériau est un comportement élastoplastique, endommageable et dépendant de la vitesse de déformation. Il a été défini de la même manière
que pour le poinçonnage (voir §4.3.1.1).
Un frottement de type Coulomb est défini entre la matrice, la tôle et la cisaille. L’état de
surface de la cisaille étant légèrement plus rugueux que les outils utilisés en poinçonnage,
le coefficient de frottement adopté est de 0,2 contre 0,15 pour le poinçonnage.
PROCEDE DEDECOUPE
118
Résultats et analyses
Les investigations numériques portent sur la même gamme de vitesses de découpe
et de jeux utilisés lors de l’étude expérimentale. Les grandes distorsions du maillage
semblent être bien gérées comme pour le poinçonnage.
Comme pour le poinçonnage, on examine l’influence de la vitesse de déformation en comparant deux modèles de comportement. La première est basée sur le modèle élastoplastique.
La seconde, le complète en tenant compte de la dépendance à la vitesse de déformation.
Les paramètres (εN , SN , fN ,fF , fc ) relatifs au modèle de Gurson sont extraits du tableau 4.4. Afin de représenter correctement le moment de rupture, le paramètre q1 varie
en fonction de la vitesse. Nous gardons q2 constante et égale à 1, alors que q3 = q12 . La
figure 4.38 compare quelques résultats numériques avec les courbes expérimentales.
119
PROCEDE DEDECOUPE
8000
Force (N)
6000
4000
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
2000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
0.6
0.8
0.6
0.8
0.6
0.8
(a) Jeu = 7,69%
8000
Force (N)
6000
4000
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
2000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
(b) Jeu = 10,67%
Force (N)
6000
4000
Experimental
Modèle élastoplastique
Modèle élastoplastique ADVD
2000
0
0
0.2
0.4
Pénétration (mm)
(c) Jeu = 15,38%
Fig. 4.38 – Courbes force-pénétration numérique et expérimentale (Vitesse = 154
mm.s−1 )
120
PROCEDE DEDECOUPE
Tab. 4.7 – Valeur de q1 utilisée pour la validation numérique en fonction de la vitesse
et du jeu
Jeu(%)
Vitesse(mm.s−1 )
7,69 10,69 15,38 18,46 23,07 qmoy
1
58
154
1,5
3,2
1,1
2,9
0,5
2,1
0,5
2,1
0,5
2,1
1±0,5
1,6±0,5
Les valeurs de q1 identifiées sont données dans le tableau 4.7. On peut considérer que
ce paramètre ne dépend pas du jeu même si pour ces essais, les dispersions autour de la
valeur moyenne sont plus importantes que celles obtenues dans le cas du poinçonnage.
Ceci pourrait être dû au fait que la rupture en cisaillage survient de manière plus
”diffuse”. q1 étant relié à la rupture du matériau, on peut comprendre qu’on ait plus
de difficultés à déterminer précisément ce paramètre.
Le modèle élastoplastique sous-estime l’effort de cisaillage de 10 à 20% (Tableau 4.8).
La prise en compte de la dépendance à la vitesse de déformation réduit l’erreur sur
l’effort de cisaillage à 3% au maximum.
Tab. 4.8 – Evolution de l’effort maximal de cisaillage (Mod.Num 1 : élastoplastique ;
Mod.Num 2 : élastoplastique avec dépendance à la vitesse de déformation)
Fmax (N)
Vitesse(mm/s)
Jeu(%)
Expérimental Mod.Num1
(Erreur %)
Mod.Num2
(Erreur %)
58
7,69
10,69
15,38
18,46
23,07
7,69
10,69
15,38
18,46
23,07
5840
5596
5577
5371
5352
5811
5742
5625
5469
5381
5701(-2,4)
5545(-0,9)
5417(-2,9)
5408(-0,7)
5472(-2,2)
5648(-2,8)
5610(-2,3)
5656(-0,6)
5312(-2,9)
5284(-1,8)
154
4675(-19,9)
4700(-16)
4818(-13,6)
4735(-11,8)
4789(-10,5)
4812(-17,2)
4904(-14,6)
4882(-13,2)
4823(-11,8)
4841(-10)
PROCEDE DEDECOUPE
4.4
121
Synthèse du chapitre 4
Plusieurs configurations d’essais de poinçonnage et de cisaillage ont permis d’étudier
correctement ces techniques de découpage. Pour les deux procédés, l’effort maximum diminue en fonction du jeu et reste invariant en fonction de la vitesse. Pour le poinçonnage,
le moment de rupture finale (repéré par la chute brutale de la force) est fonction de vitesse et du jeu. En effet, pour les vitesses inférieures à 47 mm.s−1 , cet instant est repéré
à 70 - 75% de la pénétration. Pour les vitesses supérieures à 47 mm.s−1 , la rupture se
produit à 85 - 90% de la pénétration. Cet instant est retardé aussi avec l’accroissement
du jeu. L’analyse des profils de découpe montre que la répartition des différentes zones
(pliée, lisse et arrachée) est indépendante de la vitesse. Pour le poinçonnage, la hauteur
de la zone lisse est maximale pour les faibles jeux, diminue linéairement pour les jeux
intermédiaires et est minimale pour les grands jeux. Pour le cisaillage, la zone pliée est
constante pour les différents jeux, alors que la zone lisse croı̂t et la zone arrachée diminue. La chute brutale de l’effort observé sur les courbes effort - pénétration correspond
à la séparation de la débouchure du reste de la tôle. Le début de la rupture ductile
repéré par la zone arrachée se produit légèrement avant. Ce résultat est confirmé par
nos investigations.
La validation du modèle utilisé pour la caractérisation du comportement mécanique du
matériau a permis de simuler les procédés du poinçonnage et du cisaillage. Les courbes
effort-pénétration obtenues, comparées aux mesures, prouvent l’utilité de ce modèle. En
effet, une représentation élastoplastique du comportement sous-estime l’effort maximal
de 10 à 20%. Le modèle dépendant de la vitesse de déformation réduit cette erreur à
5%.
Le poinçonnage et le cisaillage nécessitent l’utilisation d’un modèle endommageant. Le
choix a été porté sur le modèle continu de Gurson-Tvergaard-Needleman qui fait intervenir neuf paramètres reliés à la caractérisation initiale de la porosité du matériau et au
pilotage de la nucléation et la croissance du vide au sein de la matière. Un jeu unique de
paramètres ne suffit pas pour représenter le comportement du matériau vis-à-vis de la
découpe à différents vitesses. L’ajustement des paramètres q1 et q3 (avec q3 = q12 ) a permis de simuler convenablement la totalité des essais de poinçonnage et de cisaillage. On
a montré que q1 avait une signification physique car ce paramètre caractérise l’amorce
de rupture du matériau.
Chapitre 5
Caractérisation mécanique au
voisinage du bord découpé
5.1
Introduction
Les modèles numériques décrits précédemment ont été confrontés aux mesures pour
vérifier leur validité. Les comparaisons effectuées ont porté sur des quantités globales
telles que l’effort sur l’outil et la pénétration à rupture.
Pour être en mesure d’établir des corrélations entre l’état du matériau au voisinage du
bord découpé et la dégradation des propriétés magnétiques, il est important d’accéder à
des quantités locales telles que l’écrouissage, les déformations et contraintes résiduelles,
etc. Il s’avère donc nécessaire de pouvoir valider les prédictions de ces quantités issues
de la modélisation des procédés.
Pour ce faire, l’idéal sera d’effectuer des mesures directes de l’état mécanique du matériau
au voisinage du bord découpé mais ceci n’est pas une tâche facile. Pour contourner cette
difficulté, on utilise une mesure indirecte. Il s’agit du test de nanoindentation qu’on
combine à une technique d’identification inverse (Figure 5.1).
CARACTERISATION MECANIQUE...
123
Fig. 5.1 – Mode de détermination de l’état du matériau au voisinage du bord découpé
La procédure proposée a été validée sur la détermination de l’état d’écrouissage
au voisinage du bord découpé. Dans ce qui suit, on donne une description du test de
nanoindentation utilisé.
5.2
La technique de nanoindentation
Introduites au début des années 1980 ( [172], [173]), les mesures de nanoindentation
instrumentée se sont aujourd’hui beaucoup développées. La nanoindentation est une
technique permettant de déterminer localement les propriétés mécaniques d’un matériau
par l’enfoncement d’une pointe (Figure 5.2).
Fig. 5.2 – Schéma de principe d’un nanoindenteur
124
CARACTERISATION MECANIQUE...
Cet essai permet d’accéder à des propriétés telles que le module d’élasticité, le coefficient de Poisson, la limite d’élasticité, etc. Cela demande des appareils très sensibles et
précis. La mesure par nanoindenatation nécessite d’appliquer et de contrôler des charges
aussi faibles que quelques dizaines de micro-Newtons (µN) [174]. L’avantage de l’instrument de nanoindentation est sa capacité à mesurer avec une résolution nanométrique,
la profondeur de pénétration allant jusqu’à quelques micromètres. Les indentations, à
cette échelle, permettent d’évaluer les propriétés mécaniques locales.
La pointe de l’indenteur, de géométrie connue est appliquée sur la surface du matériau à
étudier avec une charge croissante [175]. L’indenteur est solidaire du noyau d’un électroaimant en courant continu. La charge est donc proportionnelle au courant d’excitation
de la bobine. Il est possible de fixer soit la charge maximale à appliquer, soit la profondeur maximale des indents. Lorsque l’une de ces deux limites est atteinte, la phase
de décharge partielle ou totale, est alors amorcée. Tout au long du cycle, la position
relative de la pointe par rapport à l’échantillon est repérée grâce à un capteur capacitif. L’analyse de l’empreinte permet d’accéder à la dureté alors que l’exploitation de la
courbe charge/pénétration permet d’accéder à d’autres propriétés telles que le module
de Young, la limite d’élasticité, la dureté, etc.
5.2.1
Dureté du matériau
La dureté d’un matériau est, par définition, le rapport entre la force normale,P , et
l’air de la surface de contact projetée,Ac [28] (Figure 5.3) :
H=
P
P
=
Ac
C0 h2c
(5.1)
Pour un indenteur à pointe parfaite, Ac est directement liée à la pénétration, hc , par un
facteur dépendant de la géométrie de l’indenteur : C0 = 24.5, pour une pointe de type
Berkovich. Une dérivation de cette expression montre que :
!
ḣc
1 Ṗ
Ḣ
=
−
(5.2)
hc
2 P
H
La vitesse de déformation au cours de l’indentation, ε̇i , est définie par ḣhcc . Pour que
l’essai d’indentation soit conduit à une vitesse de déformation constante, la dureté doit
être constante quelle que soit la pénétration de l’indenteur, ce qui implique :
ε̇i =
ḣc
1 Ṗ
=
hc
2P
(5.3)
CARACTERISATION MECANIQUE...
125
Fig. 5.3 – Illustration du comportement de la matière sous l’indenteur et définition des
différentes profondeurs caractéristiques (hT , hS , hR et hC ) sous charge (trait continu) et
après décharge (trait pointillé) [28]
5.2.2
Module de Young
L’analyse de la courbe charge/décharge (Figure 5.4) permet d’accéder au module
de Young du matériau. En effet, à la décharge, la pente S de la tangente (début de
décharge) est donnée par :
δP
S=
(5.4)
δZ
Pour relier la pente déterminée précédemment au module de Young, on utilise le modèle
proposé par Oliver et Pharr [28].
√
1
1
2β Ac 1 − νi2
√ −
=
×
(5.5)
E
1 − ν2
Ei
S Π
ν : Coefficient de Poisson du matériau. Ei , νi et β : Coefficients élastiques et paramètres
géométriques de l’indenteur. Il est important de noter que ce modèle donne une valeur
moyenne du module de Young dans le plan (100) et ne tient pas compte du caractère
anisotrope du matériau.
CARACTERISATION MECANIQUE...
126
Fig. 5.4 – Cycle de charge/décharge du nanoindenteur
5.3
Description de l’essai utilisé
Les mesures ont eu lieu au Laboratoire ”AFM” de l’Université de Technologie de
Compiègne. Nous utilisons la méthode de mesure de raideur en continu CSM (Continuous Stiffness Mesurement) pour accéder à la raideur de contact S. Cette méthode est
détaillée dans [28] et [176]. L’instrument est calibré en employant un étalon. Le taux
de dérive est préréglé à < 0.05nm.s−1 avant chaque indentation.
Le processus des essais est basé sur un protocole expérimental bien défini. Nous allons
effectuer des indentations suivant la longueur de l’éprouvette en allant du point le plus
proche de bord découpé vers l’extrémité libre. Pour ce faire, nous nous sommes fixés les
paramètres suivants :
a. Une pénétration maximale d’indenteur d’environ 3µm,
b. Un pas δx entre deux indentations adjacentes égal à 25µm.
5.3.1
Forme de l’indenteur
Nous avons utilisé principalement un indenteur conique de révolution de demi-angle
théorique α = 70.3◦ avec un rayon de pointe = 26.85nm. Dans la suite de ce manuscrit,
CARACTERISATION MECANIQUE...
127
on appelera cet indenteur ”l’indenteur conique”. Des observations au MEB montrent
que l’indenteur utilisé a un rayon de pointe moyen de = 26.85nm et un demi-angle
moyen de α = 71.7◦ .
Des études plus approfondies ont montré que cet indenteur n’est pas parfaitement conique et qu’il présente un demi angle qui varie avec la distance à la pointe. A titre indicatif le demi angle est de α = 71.3◦ à 0, 5µm de la pointe et de α = 70.3◦ pour des distances supérieures. Dans toutes les simulations numérique que nous allons détailler par
la suite, nous avons utilisé la valeur d’angle donnée par le constructeur, soit α = 70.3◦ .
Nous avons également relevé des défauts de circularité (Figure 5.5) qui résultent de la
difficulté à tailler le diamant en raison de sa structure cubiques à faces centrées (CFC).
L’indenteur conique de révolution avec lequel nous faisons les simulations est donc un
cône équivalent à l’indenteur réel (Figure 5.5).
Fig. 5.5 – Image MEB d’une empreinte résiduelle d’un indenteur conique : (a). Vue
dans le plan ; (b). Vue à 75◦ ; (c). Vue à 45◦
5.3.2
Echantillons étudiés
Les échantillons utilisés pour l’essai de nanoindentation ont été prélevés dans des
tôles Fe-3%Si poinonnées. La configuration de poinonnage retenue est définie par un
jeu de 3,85% et une vitesse de poinonnage de 126,9 mm.s−1 . L’échantillon utilisé est
présenté sur la figure 5.6.
CARACTERISATION MECANIQUE...
128
Fig. 5.6 – Echantillon poinçonné utilisé pour un essai de nanoindentation
5.3.3
Préparation des échantillons
La première étape importante dans le processus de caractérisation est la préparation
des échantillons. Les échantillons utilisés dans ce travail ont nécessité une préparation
particulière en raison de l’oxydation en surface. Dans notre cas l’épaisseur initiale des
échantillons est un paramètre très important à cause du caractère magnétique du notre
matériau. Afin d’atténuer une zone oxydée gênante qui se développe à la surface de
l’échantillon sans avoir un effet secondaire au voisinage du bord découpé, la méthode
standard utilisée consiste en un polissage mécanique sur papiers abrasifs en finissant
par un papier à grain très fin.
Après avoir effectuer un polissage mécanique, une analyse microstructural s’avère nécessaire
pour vérifier l’état de surface de l’échantillon et passer par la suite à l’indentation.
CARACTERISATION MECANIQUE...
5.4
5.4.1
129
Résultats expérimentaux
Cycle charge/décharge
Des indentations de 3 µm de profondeur ont été effectuées au voisinage du bord
découpé (Figure 5.7). Pour éviter des interactions entre les indents, ceux-ci sont effectués
avec un pas de 25µm. L’indent 1 est celui qui est le plus proche du bord. La zone modulée
s’étale entre 100 µm et 600 µm du bord découpé.
Fig. 5.7 – (a). Empreintes du nanoindenteur au voisinage du bord découpé ; (b). Impact
rémanent à la surface d’un échantillon
La figure 5.8 représente les courbes charge/pénétration des 4 premiers points indentés.
Ces courbes montrent clairement une évolution des propriétés du matériau avec la distance au bord découpé.
130
CARACTERISATION MECANIQUE...
600
500
Point #1
Charge (mN)
400
Point #2
Point #3
300
Point #4
200
100
0
0
1
2
Pénétration (µm)
3
4
Fig. 5.8 – Courbes Charge/Pénétration au voisinage du bord découpé
Les courbes charge/pénétration obtenus sont caractéristiques d’une réponse élastoplastique.
L’évolution de la charge maximale avec la distance au bord découpé traduit l’évolution
de l’état de l’écrouissage. Par la suite, ces mesures seront utilisées dans une procédure
d’identification inverse pour quantifier l’écrouissage local du matériau.
5.4.2
Mesure de la dureté
Les relevés de dureté de la figure 5.9 sont en accord avec les tendances observées sur
les courbes charge/pénétration. On constate une augmentation de la dureté de l’ordre
de 26,5% au voisinage proche du bord découpé.
131
CARACTERISATION MECANIQUE...
2.7
2.6
H (GPa)
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
0
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé (µm)
600
Fig. 5.9 – Evolution de la dureté au voisinage du bord découpé
L’évolution de la dureté H avec la distance au bord découpé δ peut être approchée
par [72] :
H = H0 1 +
α
(δ + β)n
(5.6)
H0 est la dureté initiale du matériau, que nous retrouvons lorsque la distance du bord
découpé tend vers l’infini. α, β et n sont des constantes caractéristiques du modèle.
5.5
Identification inverse
Pour accéder à des grandeurs caractéristiques de l’état du matériau à partir de l’essai de nanoindentation, on utilise une technique d’identification inverse qui consiste à
analyser l’essai à l’aide d’un modèle de comportement et à faire varier les paramètres du
dit modèle de faon à faire concider la réponse calculée avec les mesures. Pour ce faire,
on combine des analyses éléments finis à la technique d’optimisation pour minimiser
l’écart entre la réponse mesurée et la réponse calculée. Dans notre cas, l’identification
132
CARACTERISATION MECANIQUE...
se fait sur la réponse charge/pénétration enregistrée lors de l’essai.
La procédure développée a été utilisée pour quantifier l’état d’écrouissage du matériau
au voisinage du bord découpé. Cette identification consiste à décrire le comportement
du matériau à l’aide d’un modèle élastoplastique avec un écrouissage isotrope et d’approcher la courbe d’écrouissage à l’aide d’un modèle de Krupkowski de la forme :
σy = k(p + p0 )n
(5.7)
avec :
k : Consistance du matériau
n : Coefficient d’écrouissage
p0 : Déformation plastique cumulée (il s’agit de la déformation plastique cumulée initiale suite à un effet de poinonnage)
Nous partons de l’hypothèse que k et n n’évoluent pas avec l’écrouissage et nous identifions p0 qui nous permet d’accéder à la limite d’élasticité du matériau écroui.
La figure 5.10 illustre la superposition de la réponse calculée et de la réponse mesurée
après identification.
600
500
Charge (mN)
400
300
200
EXPERIMENTALE
SIMULATION
100
0
0
1
2
Pénétration (µm)
3
4
Fig. 5.10 – Superposition des deux courbes expérimentale et numérique
CARACTERISATION MECANIQUE...
5.5.1
133
Description de la procédure d’identification
Pour l’identification inverse nous avons utilisé le logiciel SiDoLo Version 2.44 combiné avec Abaqus. Ce logiciel est une boı̂te à outils pour l’identification de modèles de
comportement de systèmes physiques. C’est un outil de simulation, qui permet, pour
certaines classes de systèmes, de programmer très simplement les équations de son
modèle et d’obtenir les réponses de celui-ci à des sollicitations diverses. C’est surtout
un outil d’identification, qui permet lorsque l’on souhaite confronter un modèle à des
résultats expérimentaux, une estimation de tous les paramètres du modèle ”suffisamment” sensibles aux essais utilisés. L’évaluation des paramètres du modèle à identifier
se ramène ainsi à la résolution d’un problème d’optimisation non linéaire. Le logiciel
SiDoLo utilise pour cette résolution des algorithmes classiques de minimisation. Le
couplage entre Abaqus et SiDoLo est illustré par la figure 5.11.
CARACTERISATION MECANIQUE...
Fig. 5.11 – Principe de la méthode inverse
134
CARACTERISATION MECANIQUE...
5.5.2
135
Simulation de l’essai de nanoindentation
Pour évaluer la fonction coût et ses gradients lors de l’identification inverse, l’essai
de nanoindentation a été modélisé par éléments finis. La modélisation d’un tel essai est
relativement délicate et soulève des questions relatives à des aspects tels que la taille
du domaine à discrétiser, les conditions aux limites, la finesse de la discrétisation, etc.
A la différence de la modélisation des essais de poinonnage, nous utilisons Abaqus/Standard (schéma de résolution implicite) pour l’analyse de l’essai de nanoindentation. Ceci
est motivé par la précision des prédictions et la stabilité de la solution que requière la
procédure d’identification inverse.
En raison des symétries du problème, on utilise un modèle axisymétrique et compte tenu
de la différence de rigidité entre l’indenteur et la tôle, l’indenteur est supposé rigide.
La partie utile de la tôle est discrétisée à l’aide d’éléments Q4 axisymétriques massifs à
intégration réduite. Un maillage libre et plus fin est effectué dans la zone qui subit les
plus grandes distorsions, au voisinage de l’indenteur. 7591 éléments sont utilisés dont
4525 éléments pour la zone la plus sollicitée. La longueur caractéristique d’un élément
près de l’indenteur est de 3,75nm.
La taille du domaine discrétisé doit être suffisamment grande au regard la pénétration
maximale afin d’éviter l’influence des conditions aux limites sur les résultats de l’analyse. La taille de domaine discrétisé et les conditions aux limites sont représentées par la
figure 5.12. Cette taille de domaine discrétisé résulte d’un compromis entre la précision
des prédictions et le temps de calcul. Pour la déterminer, nous avons effectué des analyses avec différentes tailles de domaine discrétisé et comparé les résultats obtenus aux
mesures. Le choix des conditions aux limites appropriées a fait l’objet d’investigations
similaires. Pour le frottement à l’interface tôle/indenteur on utilise la loi classique de
Coulomb avec un coefficient de frottement de 0.05. Cette valeur a été fixée sur la
base d’essais numériques et des sources bibliographiques car il est toujours délicat de
connaı̂tre précisément le coefficient de frottement.
Lors de la simulation de l’essai, la zone située sous l’indenteur subit des déformations
localisées très importantes qui conduisent à des distorsions excessives des éléments.
Pour limiter ces distorsions et garantir une bonne qualité des prédictions, on utilise une
procédure d’adaptation de maillage. Dans cette étude, on utilise la technique ALE pour
repositionner les noeuds au cours des déformations.
CARACTERISATION MECANIQUE...
Fig. 5.12 – Caractéristiques du maillage éléments finis
136
137
CARACTERISATION MECANIQUE...
5.5.3
Résultats d’identification
Le paramètre identifié dans cette étude est p0 qui, pour nous, représente la déformation
plastique cumulée du matériau après poinonnage. Les deux autres paramètres k et n
sont supposés indépendants du niveau d’écrouissage et sont déterminés à partir des
essais de traction. Pour le matériau à l’étude, k = 750 MPa et n = 0, 245. Le niveau
de la déformation plastique cumulée a été identifié sur les courbes charge/pénétration
provenant des essais de nanoindentation à différentes distances δ du bord découpé. Les
résultats obtenus sont représentés par la figure 5.13. On constate une nette évolution
de la déformation plastique au bord du trou.
0.08
Déformation plastique cumulée p
0
0.07
0.06
0.05
IDENTIFICATION
0.04
0.03
0.02
0.01
0
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé δ(µm)
600
Fig. 5.13 – Evolution de la déformation plastique cumulée p0 au voisinage du bord
découpé
Les résultats d’identification présentés précédemment sont utilisés pour déterminer
l’évolution de la limite d’élasticité du matériau au voisinage du bord découpé. Cette
limite d’élasticité est calculée à l’aide de l’équation 5.7 en utilisant la déformation
plastique identifiée.
La figure 5.14 illustre l’évolution de la limite d’élasticité avec la distance au bord du
trou. On observe une nette augmentation de celle-ci lorsqu’on s’approche du bord en
raison de l’écrouissage provoqué lors du poinonnage.
138
CARACTERISATION MECANIQUE...
450
Limite élastique σy
400
350
IDENTIFICATION
300
250
200
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé δ(µm)
600
Fig. 5.14 – Evolution de la limite élastique σy au voisinage du bord découpé
5.5.4
Validation des résultats
Les résultats présentés dans le paragraphe précédent ont été obtenus en combinant
les mesures de l’essai de nanoindentation à l’identification inverse. Par ailleurs, nous
disposons de la prédiction du niveau d’écrouissage au voisinage du bord découpé issue
de la simulation numérique du procédé. La figure 5.15 trace un trajet le long duquel
sera relevé le niveau de la déformation plastique cumulée.
Fig. 5.15 – Trajet le long duquel est relevée la déformation plastique équivalente (Vitesse de poinçonnage = 126, 9mm.s−1 ; Jeu = 3, 85%)
139
CARACTERISATION MECANIQUE...
La comparaison des deux approches permet de valider à la fois la procédure d’identification inverse et les modèles de simulation de poinonnage (Figure 5.16).
0.08
Déformation plastique cumulée p
0
0.07
0.06
0.05
0.04
IDENTIFICATION
SIMULATION
0.03
0.02
0.01
0
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé δ(µm)
600
(a) Déformation plastique cumulée p0
450
Limite élastique σy
400
350
IDENTIFICATION
SIMULATION
300
250
200
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé δ(µm)
600
(b) Limite élastique σy
Fig. 5.16 – Comparaison entre les résultats de l’identification inverse et les prédictions
de la simulation : (a). Déformation plastique équivalente p0 ; (b). Limite élastique σy
140
CARACTERISATION MECANIQUE...
La figure 5.16.a montre une comparaison entre les résultats de l’identification inverse
et les prédictions de la simulation concernant la déformation plastique cumulée. Dans
la figure 5.16.b, on donne la même comparaison pour la limite d’élasticité.
Ces résultats montrent une bonne corrélation entre les résultats mesurés (obtenus par
nanoindentation et identification inverse), même s’il s’agit d’une mesure indirecte, et
les prédictions obtenues par simulation du procédé de poinonnage. En effet les écarts
constatés sont de l’ordre de 2, 5% pour le niveau de déformation plastique à l’endroit le
plus proche du bord découpé. Concernant la limite d’élasticité l’écart relevé est de l’ordre
de 3, 14% au loin du bord découpé. Pour cette zone, on retrouve la limite d’élasticité
initiale du matériau.
5.5.5
Interpolation des résultats au voisinage du bord découpé
L’évolution de la déformation plastique cumulée au voisinage du bord découpé sera
utilisée par la suite pour établir des corrélations entre l’état mécanique du matériau et
la perte de perméabilité magnétique. Pour ce faire, nous avons besoin de construire une
interpolation de la déformation plastique cumulée en fonction de la distance du bord
découpé. Compte tenu de la forme de l’évolution observée, la meilleure approximation
a été obtenue à l’aide d’une équation de la forme :
ln(p0 ) = A + Bδ + Cδ 2 + Dδ 3
(5.8)
Les paramètre A, B, C et D ont été identifiés à l’aide du logiciel TableCurve. Les valeurs
obtenues sont résumées dans le tableau 5.1.
Tab. 5.1 – Paramètres de la loi obtenue reliant la déformation plastique équivalente à
δ
Paramètres
Valeur
Limites
A
B
C
D
-0,001366
-0,065422
0,0005463
-1,53511.10−6
On note que cette interpolation
veaux de déformations très faibles.
en ferons par la suite. En effet les
corréler le niveau de la déformation
δ ∈ [100 − 600]µm
donne de bons résultats y compris pour les niCeci est important pour l’utilisation que nous
résultats de l’interpolation seront utilisés pour
plastique cumulée avec la chute de perméabilité
CARACTERISATION MECANIQUE...
141
magnétique. Or il se trouve que les matériaux ferromagnétiques possèdent des caractéristiques magnétiques particulièrement sensibles aux faibles déformations (à titre
d’exemple, 1% de déformation plastique engendre 90% de chute de la perméabilité
maximale). Il est donc très important d’avoir une bonne approximation même pour les
faibles niveaux de déformation.
5.6
Synthèse du chapitre 5
L’utilisation du dispositif de nanoindentation instrumenté, nous a permis de déterminer
l’évolution de certaines propriétés mécaniques principales, telle que la dureté au voisinage du bord découpé suite a un effet de poinonnage. Combinée à une procédure d’identification inverse, cette technique nous a permis par la suite d’accéder à l’évolution du
niveau d’écrouissage du matériau au voisinage du bord découpé (déformation plastique
cumulée et limite d’élasticité). Les résultats obtenus ont été comparés à des prédictions
issues de la simulation numérique du procédé de poinonnage en vue de valider à la fois
la procédure d’identification et les modèles numérique de simulation du procédé.
Par ailleurs, les estimations de déformation plastique cumulée au voisinage du bord
découpé ont été utilisées pour construire une approximation de l’évolution de celle-ci
avec la distance au bord découpé. Cette interpolation sera utilisée dans le chapitre
suivant pour établir une corrélation entre le niveau d’écrouissage (état mécanique du
matériau) et la dégradation des propriétés magnétiques (perméabilité magnétique, induction maximale) qui résulte du poinonnage.
Chapitre 6
Caractérisation magnétique au
voisinage du bord découpé
6.1
Introduction
Après avoir étudié les modifications de l’état d’écrouissage de l’alliage Fe-Si au
voisinage du bord découpé, nous nous proposons à présent d’étudier les modifications
des propriétés magnétiques induites par le poinonnage.
Les mesures magnétiques, sont réalisées sur des éprouvettes de traction ayant subi un
certain degré de déformation plastique. Nous décrivons le banc de mesures utilisé à cet
effet, ainsi que le processus expérimental adopté. L’influence de la déformation plastique
est alors déterminée en relevant les caractéristiques suivantes : la courbe de première
aimantation et la perméabilité relative, sur des éprouvettes préalablement déformées.
Enfin, la corrélation avec les résultats présentés dans le chapitre précédent concernant
l’évolution de la déformation plastique cumulée au voisinage du bord découpé, a permis
aussi d’évaluer les caractéristiques magnétiques dans cette zone du matériau affectée
mécaniquement par le passage d’un outil de découpe. Nous nous sommes inspirés pour
cette partie des tarvaux de Hug [8] et Hubert [72], concernant l’étude de l’influence de la
déformation plastique sur le comportement magnétique des métaux ferromagnétiques.
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
6.2
6.2.1
143
Matériel et techniques utilisés
Description du banc de mesure
Pour la caractérisation magnétique, on utilise généralement un dispositif constitué
d’un circuit magnétique fermé autour de l’éprouvette [177], un système d’aimantation et
d’un système d’acquisition et de traitement de signaux électriques qui permet d’accéder
aux champs magnétique H et à l’induction B. Le banc utilisé dans cette étude est
représenté par la figure 6.1.
Fig. 6.1 – Aperu général du banc de mesures magnétiques
Il est constitué de deux culasses en ferrites, deux bobines primaires et d’une bobine
secondaire enroulée autour de l’éprouvette. Les culasses de fermeture sont des éléments
important de dispositif puisqu’ils assurent la fermeture de flux.
144
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
Celles utilisées dans cette étude sont de ferrites en U de haute perméabilité fournies
par Philips et sont schématiquement représentées à la figure 6.2. Leurs caractéristiques
principales sont résumées dans le tableau 6.1.
Fig. 6.2 – Dimensions des culasses et bobinage d’excitation
Tab. 6.1 – Principales caractéristiques des ferrites (Vef f (mm3 ), volume effective ; Lef f
(mm), longueur effectif ; Sef f (mm2 ), section effective ; m (g), masse ; µi (25◦ C ; 0,1mT),
perméabilité initiale)
Grade
3C(MnZn)
Vef f
199.103
Lef f
308
Sef f
645
m
500
µi
2300±20
Les bobines primaires sont deux enroulement en fils de cuivre de 0,7 mm et 195
spires. Elles fournissent un courant maximale de 4 A pour assurer l’excitation du
système. Le bobinage secondaire qui reoit l’éprouvette au cours de l’essai est constitué
de 120 spires en fils de cuivre de 0.1 mm.
L’alimentation de l’ensemble, l’acquisition et le traitement des signaux électriques sont
assurés par le système schématiquement décrit par la figure 6.3.
145
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
Fig. 6.3 – Schéma du système d’alimentation
Il est composé d’un bloc d’alimentation qui fournit un courant alternatif I(t) au
bobinage primaire. Ceci crée un flux magnétique variable qui est canalisé par les culasses
dans l’éprouvette. La variation de ce flux induit une tension V (t) dans le bobinage
secondaire. L’acquisition du courant d’excitation et de la tension sont assurés par une
mesure directe pour la tension et à l’aide d’un capteur à effet Hall pour le courant. Les
signaux ainsi obtenus sont traités à l’aide de dispositifs électroniques qui permettent
d’accéder au champ magnétique H(t) et à l’induction B(t) dans l’éprouvette.
6.2.2
Calculs des paramètres magnétiques
Nous donnons dans ce paragraphe les relations permettant le calcul des paramètres
magnétiques : le champ magnétique H(t) et l’induction B(t) dans l’éprouvette analysée.
Calcul du champ magnétique H(t)
Le champ magnétique superficiel à l’éprouvette créé par les bobinages primaires
est supposé être directement proportionnel au courant d’excitation I(t). Il est calculé
conformément à la norme IEC, à partir du théorème d’Ampère :
H(t) =
Nbp
eq I(t)
lm
(6.1)
146
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
eq
où Nbp est le nombre de spires du bobinage primaire et lm
est la longueur conventionnelle
du circuit magnétique, égale à la longueur intérieure de la culasse.
Détermination de l’induction B dans l’échantillon
La tension V (t) induite dans la bobine secondaire de nombre de spires Nbs est
proportionnelle à la variation du flux magnétique Φtotal commun à chaque spire (loi de
Faraday) :
dΦtotal
V (t) = −Nbs
(6.2)
dt
La différence entre la section du bobinage secondaire Sbs et celle de l’éprouvette Se
(Sbs > Se ) fait que le flux Φtotal mesuré par la bobine est la somme du flux Φe dans
l’éprouvette et du flux Φair dans l’air du reste de la section du bobinage :
Φtotal = Φe + Φair = BSe + µ0 H(Sbs − Se )
(6.3)
Prenant en compte les relations (6.2) et (6.3), la formule de calcul de l’induction devient :
Z
1
1
B(t) =
V (t)dt − µ0 H(t)(Sbs − Se )
(6.4)
Se Nbs
Comme le nombre de spires Nbs est connu et que le champ H(t) est calculé à partir du
courant d’excitation (6.1), les deux paramètres qui restent à déterminer sont les sections
de l’échantillon Se et de la bobine secondaire Sbs .
Nous souhaitons analyser des éprouvettes sollicitées mécaniquement à un certain niveau de déformation, on tient donc compte de la variation de leur section, en faisant
l’hypothèse de la conservation de leur volume :
Se =
Se0
1 + εc
(6.5)
Nous travaillons sur des éprouvettes plates de traction de dimensions 167, 5mm de
longueur par 12, 5mm de largeur et d’épaisseur 0, 65mm. Se0 est la section initiale
(12,5 x 0,65 mm2 ), εc est la déformation conventionelle et µ0 la perméabilité du vide
4π.10−7H.m−1 .
Dans ces conditions, la formule de calcul de l’induction devient :
Z
1 + εc 1
Se0
B(t) =
V (t)dt − µ0 H(t)(Sbs −
)
Se0
Nbs
1 + εc
(6.6)
147
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
Perméabilité magnétique relative
Les cycles d’hystérésis peuvent maintenant être déterminés. Le relevé des valeurs
maximales du champ et de l’induction, Hmax et Bmax respectivement, servent à déterminer
la courbe normale d’aimantation et à calculer la perméabilité relative µr avec la formule
(6.7) :
1 Bmax
µr =
(6.7)
µ0 Hmax
Pour conclure, les paramètres de construction du banc de mesure ainsi que les relations analytiques de calcul des grandeurs magnétiques sont donnés dans le tableau
récapitulatif 6.2.
Tab. 6.2 – Récapitulatif des paramètres constructifs du banc et des relations de calcul
Nombre
spires
bobinage
pri- 195
maire :Nbp
Longueur conventionnelle du circuit 50,8
eq
magnétique :lm
(mm)
Nombre spires bobinage secon- 120
daire :Nbs
Section du bobinage secondaire :Sbs 123
(mm2 )
Nbp
Champ magnétique : H(t)(A/m)
eq I(t)
lm
h
i
R
Se0
1+εc
1
Induction magnétique : B(t)(T)
V
(t)dt
−
µ
H(t)(S
−
)
0
bs
Se0
Nbs
1+εc
Perméabilité magnétique relative : µr
6.2.3
1 Bmax
µ0 Hmax
Traitement numérique des signaux
L’échantillonnage d’un signal continu périodique x(t) de période Ts donne une suite
de valeurs x(nTe ), où Te est la période d’échantillonnage :
x(t) ⇒ xe (t) = {x(nTe ), n ∈ Z}
(6.8)
Le courant d’excitation I(t) et la tension V (t) induite dans la bobine secondaire par la
variation du flux magnétique sont échantillonnés (Figure 6.4). Dans ces conditions, les
formules de calcul du champ, de l’induction sur une période deviennent :
H(nTe ) =
Nbp
Ts
eq I(nTe ), n = 1...
lm
Te
(6.9)
148
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
20
3
15
2
Tension V(t) (mV)
Courant I(t) (mA)
25
10
5
0
1
0
−1
−5
−2
−10
−3
−15
0
0.5
1
Temps (s)
1.5
2
0
(a) Courant I(t)
0.5
1
Temps (s)
1.5
2
(b) Tension induite V (t)
Fig. 6.4 – Aquisition des signaux à la base du traitement numérique : I(t) et V (t)
(”Sollac M800-65A”, non déformé, champ sinusoı̈dal à 50Hz)
X
Se0
Ts
1 + εc 1
Te
V (nTe )dt − µ0 H(nTe )(Sbs −
) , n = 1...
(6.10)
B(nTe ) =
Se0
Nbs
1 + εc
Te
80
0.8
60
0.6
40
0.4
Induction B(t) (T)
−1
Champ Magnétique H(t) (A.m )
Les calculs numériques sont effectués à l’aide du logiciel IGOR Pro, spécialement conu
pour le traitement des signaux échantillonnés. La figure 6.5 montre l’évolution de B(t)
et de H(t) sur une période entière. La forme de B(t) est trapézoı̈dale. Cette mesure est
donnée à titre d’exemple et correspond à une excitation donnée.
20
0
−20
0.2
0
−0.2
−40
−0.4
−60
−0.6
−80
0
0.5
1
Temps (s)
1.5
(a) Champ magnétique H(t)
2
−0.8
0
0.5
1
Temps (s)
1.5
2
(b) Induction B(t)
Fig. 6.5 – Evolution de B(t) et H(t) calculée sur une période (”Sollac M800-65A”, non
déformé, champ sinusoı̈dal à 50Hz)
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
6.3
149
Procédure expérimentale
Les résultats présentés ci-après sont basés sur un protocole expérimental bien défini.
Nous avons réalisé des mesures complètes des caractéristiques magnétiques du matériau
(”Sollac M800-65A”), pour différentes valeurs de déformations plastiques préalablement
imposées. Les essais se divisent en deux parties distinctes :
(a)- Déformation d’une éprouvette de traction à une valeur εp prédéfinie. Les éprouvettes
ont subi au préalable un traitement thermique visant à éliminer les contraintes
introduites au cours de leur usinage. Les conditions de ce recuit, effectué sous
vide, sont : θ = 750◦C, t = 10h.
(b)- Mesures des caractéristiques magnétiques de l’éprouvette à l’aide du banc de
mesures conçu à cet effet.
Nous nous sommes fixés les paramètres suivants : la température (θ = 20◦ C) et la
fréquence d’excitation dans le cas de mesures en courant sinusoı̈dale imposé (f = 50Hz).
6.3.1
Mesures préliminaires
Mesures magnétiques sur éprouvette non déformée
Nous avons commencé cette étude par une détermination complète des propriétés
magnétiques du matériau non déformé. La figure 6.6 présente la courbe d’aimantation
et l’évolution de µr avec Hm le long de la courbe d’aimantation. Nous retrouvons les
trois zones classiques de la courbe d’aimantation :
– Le front de montée : Bm passe rapidement de 0 à 0,99T environ pour Hm compris
entre 0 et 150A.m−1 ,
– Le coude de saturation : l’augmentation de Bm est moins importante (passage de
0,99T à 1,40T pour Hm compris entre 150A.m−1 et 1000A.m−1 ),
– L’approche de la saturation : Bm augmente à présent très faiblement, atteignant
1,6T pour 6000A.m−1 .
150
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
(T)
1.5
B
max
1
0.5
0
0
2000
4000
H
(A.m−1)
max
(a) Courbe d’aimantation
Perméabilité relative µ
r
8000
6000
4000
2000
0
0
2000
4000
6000
−1
Hmax (A.m )
(b) Perméabilité relative
Fig. 6.6 – Mesures sur éprouvette non déformée (Sens longitudinal, f=50Hz)
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
151
Les variations importantes de l’aimantation du matériau sont sans doute mieux
mises en valeurs si nous considérons la courbe µr (Hm ) (Figure 6.6.b). Nous voyons
que la perméabilité relative maximale µrm = 8046, 41 est rapidement atteinte. Nous
pouvons considérer que la valeur de Hm correspondante indique la limite entre le front
de montée et le coude de saturation.
Le tableau 6.3 résume les caractéristiques magnétiques du ”Sollac M800-65A”, mesurées
dans le sens longitudinal d’une éprouvette de traction.
Tab. 6.3 – Propriétés magnétiques générales du ”Sollac M800-65A”, sens du laminage.
Mesures sur éprouvettes de traction non-déformées pour f=50Hz.
Induction maximale (Bmax (T))
1,60 (Hmax = 6000A.m−1 )
Perméabilité relative initiale (µri)
2318,43
Perméabilité relative maximale (µrm )
8046,41
Une simulation par éléments finis 1 a permis la visualisation du parcours des lignes de
champs pour le cas d’une éprouvette sans et avec un trou. La modélisation est pilotée par
l’intensité du courant qu’on impose à travers les conducteurs. Cette simulation a permis
aussi de tirer des constatations concernant l’efficacité et les perfermances déclarées pour
ce type de dispositif utilisé ( [178], [179]).
Les mesures effectuées sur les éprouvettes sont bien reproductibles. Pour le vérifier,
nous nous sommes livrés à deux tests : répétition des mesures sur une même éprouvette ;
mesures sur plusieurs éprouvettes vierges. Nous avons constaté une très faible dispersion
entre ces différents résultats. Cette bonne reproductibilité nous permet donc de réaliser
les mesures sur éprouvettes déformées et surtout de pouvoir comparer les résultats entre
eux.
Mesures magnétiques sur éprouvette percée
Il s’agit d’étudier expérimentalement l’influence d’un poinonnage sur le comportement magnétique d’une tôle 2 . La caractéristique magnétique que nous analysons est la
courbe d’aimantation et la courbe d’évolution de la perméabilité relative. L’échantillon
subit un récuit préalable :
-Température : 820◦ C
-Temps de maintien : 10h00
1
2
Les résultats de cette simulation sont présentés en annexe C.
Les résultats de cette étude expérimentale sont présentés en annexe D.
152
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
6.3.2
Modification des caractéristiques magnétiques avec εp
La figure 6.7 montre l’évolution des courbes d’aimantation Bmax (Hmax ), sommets
des différents cycles d’hystérésis relevés pour plusieurs taux de déformation.
Nous constatons une détérioration importante des caractéristiques magnétiques dès les
premiers stades de déformation plastique, surtout dans la zone du front de montée,
représentative de la perméabilité relative maximale µrm .
1
B
max
(T)
1.5
Non déformée
ε = 0,46%
p
εp = 5,26%
0.5
εp = 9,8%
εp = 18,9%
0
0
2000
4000
H
max
6000
(A.m−1)
Fig. 6.7 – Courbes d’aimantation Bmax (Hmax ) obtenues pour différents taux de
déformation plastique.
Cet effet est mis en évidence à la figure 6.8 qui présente les variations de µr en fonction
de Hm pour différentes valeurs de εp . A l’approche de la saturation, les caractéristiques
d’aimantation se rejoignent et tendent vers une limite commune représentative de la
saturation magnétique.
La forte diminution de la perméabilité entraı̂ne une modification de la forme des cycles
d’hystérésis (Figure 6.9).
153
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
8000
Perméabilité relative µr
Perméabilité relative µr
8000
6000
Non déformée
ε = 0,46%
p
εp = 5,26%
4000
εp = 9,8%
ε = 18,9%
Non déformée
ε = 0,46%
6000
p
εp = 5,26%
εp = 9,8%
4000
ε = 18,9%
p
p
2000
2000
0
0
2000
4000
H
max
0
1
10
6000
2
3
10
(A.m−1)
10
H
max
(a) Courbe linéaire
(A.m−1)
(b) Courbe semi-logarithmique
Fig. 6.8 – Evolution de µr avec εp pour différentes valeurs de Hmax .
B (T)
1.4
0
Non déformée
εp = 0,46%
εp = 5,26%
−1.4
−6000
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
−1
H (A.m )
Fig. 6.9 – Evolution des cycles d’hystérésis dynamiques avec εp .
6.4
Modélisation du comportement magnétique avec
εp
Les résultats expérimentaux présentés aux figures 6.7 à 6.9 permettent de déterminer
l’évolution des principaux paramètres magnétiques avec εp . Pour une amplitude imposée
154
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
du champ magnétique Hm , l’induction maximale Bm diminue avec les déformations
(Figure 6.10). Cette tendance est fortement marquée pour les faibles valeurs de Hm
(décroissance exponentielle) puis s’atténue à l’approche de la saturation (décroissance
linéaire).
1.4
1.2
H
= 200 A.m−1
H
= 1000 A.m−1
max
1
−1
Hmax = 5000 A.m
0.8
B
max
(T)
max
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
εp (%)
15
20
Fig. 6.10 – Evolution de Bmax avec εp pour trois valeurs de Hmax .
L’évolution des différentes perméabilités avec εp , pour Hm imposée, est similaire (Figure
6.11) ; la diminution la plus importante concerne µrm qui passe de 8046,41 à 1035,45
entre 0 et 0,5% de déformation. A l’approche de la saturation magnétique, µr reste
presque constante.
A la vue des résultats précédents, nous pouvons déduire certaines lois de comportement
reliant les paramètres magnétiques aux déformations plastiques du matériau.
L’induction maximale atteinte pour une valeur Hm imposée diminue fortement avec εp
pour les faibles valeurs de Hm , puis cet effet s’estompe à mesure que le matériau se
sature magnétiquement.
155
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
Perméabilité relative µ
r
8000
6000
4000
µ
ri
µrm
2000
0
0
5
10
εp (%)
15
20
Fig. 6.11 – Evolution de µr avec εp pour différentes valeurs de Hmax .
Nous pouvons modéliser les données expérimentales de la figure 6.10 par la relation
générale suivante :
κ0
Bmax =
(6.11)
κ1 + εκp 2
0
Bmax
= κ0 /κ1 représente l’induction maximale atteinte pour un champ donné, le
matériau étant vierge d’un point de vue mécanique. κ0 , κ1 et κ2 sont des constantes
caractéristiques de la dégradation mécanique et fonction de l’amplitude maximale du
champ magnétique appliqué. Pour les trois séries de mesures présentées à la figure 6.12,
nous obtenons :

0,265
0

pour Hmax = 200A.m−1 ; Bmax
= 1, 29T

0,215

0,204+ε
p

1,890
0
Bmax = 1,342+ε
(6.12)
pour Hmax = 1000A.m−1 ; Bmax
= 1, 40T
0,230
p



0
 195,7 1
pour Hmax = 5000A.m−1 ; Bmax
= 1, 55T
125,5+ε
p
Cette dernière loi (Bmax pour Hmax = 1000A.m−1 ) peut être approximée par une
régression linéaire entre 0 et 20%. Nous avons alors :
Bmax = 1, 557 − 0, 0012.εp
Concernant la perméabilité relative maximale et initiale, nous avons :

µri = 363,690,20
avec µ0ri = 2318,43
0,156+ε
p
µrm =
1062,21
0,132+ε0,18
p
avec µ0rm = 8046, 41
(6.13)
(6.14)
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
156
µ0ri et µ0rm étant respectivement les perméabilités relatives maximale et initiale obtenues
pour 0% de déformation.
6.5
Variation des propriétés magnétiques au voisinage du bord découpé
Nous avons déterminé dans le cinquième chapitre de ce mémoire une relation expérimentale
reliant la déformation plastique cumulée p0 à la distance au voisinage du bord découpé
grâce à un essai de nanoindentation et son analyse inverse (cf. §5.5.5). D’autre part, la
formule (6.12) et (6.14) donne les variations de la perméabilité relative et de l’induction
maximale avec la déformation plastique. Nous pouvons donc écrire ces lois empiriques
en fonction de la déformation plastique cumulée p0 . Ceci nous permet également de
définir les paramètres magnétiques en tout point au voisinage du bord découpé.
Fig. 6.12 – Méthode d’évaluation des propriétés magnétiques au voisinage du bord
découpé
Prenons l’exemple de la perméabilité relative maximale : la relation (6.14) permet
d’écrire, en fonction de la déformation plastique cumulée :
µrm =
1062, 21
0, 132 + p0,18
0
(6.15)
157
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
p0 étant une fonction de la distance δ, donnée par l’équation 5.8 (cf. §5.5.5), nous
obtenons la relation suivante entre µrm et δ (en µm) :
1062, 21
0, 132 + exp(−0, 001366 − 0, 065422δ + 0, 000546δ 2 − 1, 53511.10−6δ 3 )0,18
(6.16)
De la même manière, nous avons calculé la perméabilité initiale et l’induction maximale
en fonction de δ. Les figures 6.13, 6.14 et 6.15 traçent l’évolution de la perméabilité
relative et de l’induction maximale au voisinage du bord découpé.
µrm =
8000
µ0 = 8046,41
Perméabilité relative µ
r
rm
6000
4000
µri
µ
rm
2000
0
µri = 2318,43
0
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé δ (µm)
600
Fig. 6.13 – Evolution de la perméabilité relative au voisinage du bord découpé.
158
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
1.6
0
(T)
1
max
1.2
Induction maximale, B
1.4
Bmax = 1,40 T
0
Bmax = 1,29 T
0.8
0.6
0.4
−1
Hmax = 200 A.m
−1
Hmax = 1000 A.m
0.2
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé δ (µm)
600
Fig. 6.14 – Evolution de l’induction maximale au voisinage du bord découpé (Induction
maximale à Hmax = 200 et 1000A.m−1 )
1.5594
1.5593
Induction maximale, B
max
(T)
1.5592
0
1.5591
Bmax = 1,55936 T
1.559
1.5589
1.5588
1.5587
H
max
= 5000 A.m−1
1.5586
1.5585
1.5584
100
200
300
400
500
Distance au voisinage du bord découpé δ (µm)
600
Fig. 6.15 – Evolution de l’induction maximale au voisinage du bord découpé (Induction
maximale à Hmax = 5000A.m−1 )
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
159
Les déformations deviennent très faibles à partir d’une distance d’environ 300 µm au
bord de découpe. Pour cette distance la dégradation des propriétés magnétiques est non
négligeable. A mesure que nous nous éloignons du bord, µri , µrm et Bmax augmentent
0
très rapidement pour retrouver les valeurs initiales, respectivement µ0ri , µorm et Bmax
.
- En bord de découpe (à 100 µm), la perméabilité relative maximale atteint des valeurs
proche de 1404,75 ; soit une chute d’environ 82,54% de la valeur initiale.
- En bord de découpe (à 100 µm), la perméabilité relative initiale atteint des valeurs
proche de 486 ; soit une chute d’environ 79% de la valeur initiale.
- Concernant l’induction maximale en bord de découpe (à 100 µm), elle atteint des
valeurs proche de :
- 0,34 T pour Hmax = 200A.m−1 ; soit une chute d’environ 75,71%
- 1 T pour Hmax = 1000A.m−1 ; soit une chute d’environ 22,5%
- 1,5584 T pour Hmax = 5000A.m−1 ce qui est très proche de la valeur initiale.
Ces résultats sont en accord avec ceux obtenus par Hubert [140], Ossart [180] concernant l’étude de la mise en forme des dents de stators des machines électriques.
6.6
Synthèse du chapitre 6
Nous avons mis au point un dispositif permettant la caractérisation des propriétés
magnétiques des éprouvettes de type tôles Fe-Si ayant subi un certain degré de déformation
plastique. Le dispositif consiste en deux culasses de fermeture de champ positionnées
en contact direct avec l’échantillon. Le bobinage d’excitation est supporté par les culasses et le bobinage de mesure est de type encerclant. Par la suite une modélisation
par éléments finis du dispositif nous certifie l’homogénéité du flux magnétique dans
l’éprouvette. Les erreurs dans la détermination du champ magnétique, inhérentes à la
méthode employée, restent dans des limites raisonnables, en accord avec les performances déclarées pour ce type de dispositif.
Les mesures magnétiques effectuées sur les éprouvettes plastiquement déformées montrent
une forte dégradation des caractéristiques Bmax (Hmax ) et µr , dès les premiers stades
d’écrouissage. Les résulats ainsi obtenus sont corrélés aux résultats issus des tests de
nanoindentation et son identification inverse dans le but de quantifier les dégradations
de ces propriétés magnétiques au voisinage du bord découpé à l’issu d’une opération de
poinonnage. Les deux tableaux suivant récapitulent les différentes lois obtenues.
160
CARACTERISATION MAGNETIQUE...
Tab. 6.4 – Récapitulatif des lois obtenues reliant les différentes caractéristiques
magnétiques de l’alliage ”Sollac M800-65A” à la déformation plastique.
Paramètre magnétique
Formulation
Limites
Bmax
κ(Hmax )
0
Bmax
.
n(Hmax )
µri
κ(Hmax )+εp
α
0
µri. α+εn
p
µrm
β
µ0rm . β+ε
m
p
Hmax ∈ [0 − 6000]
µ0ri=2318,43 ; α= 0,156 ;
n=0,20
µ0rm =8046,41 ; β= 0,132 ;
m=0,18
Tab. 6.5 – Récapitulatif des lois obtenues reliant les différentes caractéristiques
magnétiques de l’alliage ”Sollac M800-65A” à la distance ’δ’ au voisinage du bord
découpé.
Paramètre magnétique
Formulation
200
Bmax
1000
Bmax
5000
Bmax
µri
µrm
0,265
0,204+exp(−0,001366−0,065422δ+0,000546δ2 −1,53511.10−6 δ3 )0,21
1,890
1,342+exp(−0,001366−0,065422δ+0,000546δ2 −1,53511.10−6 δ3 )0,23
195,7
125,5+exp(−0,001366−0,065422δ+0,000546δ2 −1,53511.10−6 δ3 )
363,69
0,156+exp(−0,001366−0,065422δ+0,000546δ2 −1,53511.10−6 δ3 )0,20
1062,21
0,132+exp(−0,001366−0,065422δ+0,000546δ2 −1,53511.10−6 δ3 )0,18
Chapitre 7
Conclusion
Les travaux menés dans le cadre de la thèse portent sur deux volets, d’une part l’analyse et la modélisation des tests de découpe (poinonnage et cisaillage) et d’autre part
la caractérisation de l’état mécanique et magnétique du matériau au voisinage du bord
découpé. L’ensemble aboutit à la corrélation de l’état du matériau (niveau d’écrouissage)
au voisinage du bord découpé à la dégradation de ses propriétés magnétiques (chute de
perméabilité).
7.1
Analyse et modélisation de la découpe
En ce qui concerne les aspects expérimentaux des travaux, des essais de traction
unixiale à différentes vitesses de déformation ont permis de déterminer le comportement mécanique du matériau et sa sensibilité à la vitesse. Les courbes de traction
obtenues sont typiques des alliages Fer-Silicium de structure cubique centrées. Elles
présentent un décrochement de contrainte en début de la plasticité de l’ordre d’une
dizaine de MPa ainsi qu’un palier de Lüders de longueur d’environ 3% de déformation.
Des tests sous différentes directions de chargement (DL, 30◦ , 45◦ , 60◦ et DT) ont clairement montré un comportement isotrope du matériau. En effet, la variation des caractéristiques mécaniques (limites d’élasticité, contrainte maximale, etc.) ne dépasse
pas les 6%. La courbe d’écrouissage du matériaux en quasi statique est représentée par
un modèle de Hollomon avec K = 770 MPa et n =0,26.
Pour effectuer des essais de traction à vitesse de déformations constante, un dispositif
de VidéoTraction a été utilisé. Nous avons ainsi pu réaliser des essais à des vitesses de
déformation allant de 10−5 à 5.10−3 s−1 . Les courbes obtenues montrent que la sensibi-
CONCLUSION
162
lité du comportement à la vitesse de déformation peut être représentée par une translation homothétique de la courbe quasi-statique. En effet, malgré l’augmentation de la
contrainte d’écoulement plastique en fonction du taux de déformation, les paramètres
de la loi de Hollomon restent sensiblement identiques. Pour représenter le comportement du matériau avec la dépendance à la vitesse, nous avons retenu un modèle de la
forme :
m
ε̇
n
σ(ε, ε̇) = Kεp
(7.1)
ε̇ref
avec ε̇ref le taux de déformation quasi-statique.
Par ailleurs, des essais de poinonnage et de cisaillage ont été effectués au CETIM-Senlis
afin d’analyser l’influence de différents paramètres du procédé tels que le jeux outilmatrice et la cadence (vitesses de découpe/déformation). Parmi les résultats les plus
remarquables on rappelle que pour le poinonnage, comme pour le cisaillage, l’accroissement du jeu conduit à la diminution de l’effort global de découpe de 10 à 15% (Figure
4.10 et Figure 4.22). Ce résultat a été relevé dans plusieurs travaux ( [74], [73], [169]).
Dans les gammes de vitesse explorées, nous n’avons pas relevé d’influence notable de
la vitesse de déformation sur l’effort maximum de découpe. Ce résultat peut être attribué au phénomène d’adoucissement thermique qui, dans le cas des aciers, contribue
à la diminution de la contrainte de l’écoulement plastique quand la température du
matériau augmente. En effet, les vitesses de déformation en découpe peuvent atteindre
100 s−1 et engendrer ainsi un gradient local de température non négligeable. Tous les
matériaux ne réagissent pas de la même faon et une étude du CETIM [169] portant
sur le poinonnage de sept types de matériaux divers avec des vitesses allant de 38 à
508 mm.s−1 a conclu que ”L’influence de la vitesse paraı̂t être complexe à étudier et il
semble que les tendances obtenues doivent être reliées à un domaine de vitesse donné
et pour des nuances particulière de matériaux travaillés”. Cependant, on observe une
influence importante de la vitesse de découpe sur la pénétration à rupture et donc sur le
profil du bord découpé. En effet, pour les faibles vitesses, la zone lisse qui a directement
reliée à la pénétration à rupture représente environ 70% de l’épaisseur alors que pour
les vitesses les plus élevées, elle atteint jusqu’à 90% de l’épaisseur.
L’analyse des faciès de rupture a permis de dégager quelques différences entre le poinonnage et le cisaillage. Ces faciès se composent d’une zone pliée, d’une zone cisaillée
et d’une zone de rupture ductile. La hauteur de la zone lisse en poinonnage n’est pas
sensible à la vitesse mais diminue en fonction du jeu. La zone arrachée n’est affectée ni
par la vitesse ni par le jeu. En cisaillage, la hauteur de la zone bombée est constante,
la zone lisse augmente et la zone arrachée diminue avec l’accroissement du jeu. Relativement peu d’articles ont été consacrés à l’étude des faciès de rupture dans le cas du
poinonnage et du cisaillage. Il est établi que l’augmentation de la vitesse de découpage
améliore la qualité de celle-ci (diminution de la hauteur de bavure), mais des résultats
CONCLUSION
163
contradictoires peuvent exister [169].
En ce qui concerne les aspects numériques, les tests de découpe ont été analysés à
l’aide d’un modèle éléments finis axisymétrique pour le poinonnage et en déformations
planes pour le cisaillage. Dans les modèles utilisés, les outils sont considérés rigide.
Compte tenu de la sévérité des transformations dans la zone découpé, un schéma dynamique explicite a été retenu (Abaqus/Explicit). Pour éviter des distorsions excessives
des éléments et garantir une bonne qualité des prédictions, on utilise la technique ALE
pour adapter le maillage au cours du processus.
Compte tenu des objectifs de la thèse, le modèle de comportement de la tôle est un
point clé et à ce titre une attention particulière lui a été accordée. Pour cet aspect,
nous avons retenu une modèle de comportement élastoplastique dépendant de la vitesse. L’endommagement est représenté par le modèle continu de Gurson, modifié par
Tvergaard et Needleman [118]. Ce modèle comporte neuf paramètres caractéristiques
du comportement du matériau à l’étude :
– R0 densité relative initiale, on considère arbitrairement une fraction volumique
du vide initiale de 10−4 s−1 ;
– q1 , q2 et q3 sont les paramètres de calage du modèle ajouté par Tvergaard ;
– eN , SN et fN pilotent la nucléation du vide au sein du matériau ;
– fF et fC contrôlent quant à eux la rupture critique.
Un jeu de paramètre a été identifié pour une courbe donnée et représenté dans le tableau
4.4. Ce jeu de paramètres permet une bonne modélisation d’un essai de poinonnage
pour un jeu et à une vitesse de poinon donnés mais n’est pas approprié pour les autres
configurations. Il doit être ajusté pour les autres essais. Notre choix a été de garder fixe
sept des neuf paramètres et de ne faire varier que q1 et q3 (q3 = q12 ). q1 varie entre 0,5
et 3,3. La valeur la plus répandue étant 1,5 ( [170], [171]).
7.2
Corrélation entre l’état mécanique du matériau
et ses propriétés magnétiques
Pour accéder à des quantités caractéristiques de l’état mécanique du matériau au
voisinage du bord découpé, des essais de nanoindentation ont été combiné à l’identification inverse. Des indentations ont été effectuées à un pas régulier en partant du bord
découpé. Les courbes charge/pénétration ainsi obtenues ont été utilisées en guise de
réponse mesurée pour identifier le niveau de déformation plastique équivalente à l’endroit de chaque indent. Nous avons ainsi établi la variation du niveau d’écrouissage avec
la distance au bord découpé. Les résultats obtenus ont été comparés aux prédictions
CONCLUSION
164
issues de la simulation numérique des tests de poinonnage. Ceci nous a permis de valider
à la fois les modèles numériques utilisés pour simulation du poinonnage et la procédure
d’identification utilisée pour caractériser l’état mécanique du matériau au voisinage du
bord découpé.
Par ailleurs, des mesures magnétiques menées sur des éprouvettes de traction à différent
taux de déformation ont permis d’établir une courbe d’évolution de la perméabilité
magnétique en fonction de la déformation plastique. D’autres mesures magnétiques ont
été menées sur des tôles poinonnées et ont permis de quantifier la dégradation de la
perméabilité magnétique liée au procédé de découpe.
La combinaison des résultats décrits précédemment nous a permis d’établir une corrélation
entre l’état mécanique du matériau, notamment le taux de déformation plastique, et
la dégradation de ses propriétés magnétiques (chute de perméabilité) au voisinage du
bord découpé.
Ces résultats encourageants ont permis de progresser sur la voie du développement d’un
outil prédictif permettant de modéliser l’interaction entre le matériau, le procédé de poinonnage et les propriétés d’usage (ici les propriétés magnétiques). Un tel outil serait
d’une grande utilité pour l’aide à la conception de machines électriques tournantes.
7.3
Perspectives
Étant données les contraintes de temps, il fut impossible de réaliser tous les travaux
prévus initialement. Par conséquent, il semble approprié de conclure cette thèse par
quelques recommandations et quelques pistes de recherche particulièrement porteuses.
– Les essais de traction ont montré que la réponse mécanique du matériau est sensible à la vitesse de déformation : l’écoulement plastique s’accroit avec l’augmentation de la vitesse. La prise en compte de cet aspect a permis d’améliorer
considérablement les résultats numériques. Cependant quelques limites de notre
approche sont à noter. La première concerne la courbe d’écrouissage utilisée pour
caractériser le comportement mécanique du matériau en quasi-statique. A partir
d’un essai de traction uniaxiale, il nous est possible de tracer l’évolution de la
contrainte équivalente en fonction de la déformation plastique équivalente au sens
du critère de plasticité de von Mises. Une loi de la forme σ = Kεnp est identifiée
allant jusqu’à 40% de déformation. Pour les besoins numériques ce modèle est
extrapolé à 300% de déformation plastique équivalente. Le critère de von Mises
n’étant valable que pour les faibles déformations, Jaoul [105] préconise pour des
CONCLUSION
165
déformations plus importantes, l’utilisation de la courbe d’écrouissage généralisée.
Cette courbe est obtenue par divers essais expérimentaux allant des plus simples
(traction, torsion, etc.) aux plus complexes (traction-torsion, traction biaxiale,
etc). Ainsi, le recours à de tels essais mécaniques complémentaires semble plus
judicieux qu’une extrapolation pour la caractérisation du comportement aux très
grandes déformations équivalentes.
– Une autre limite de ce travail concerne la modélisation à différentes vitesses de
déformation. Elle est du essentiellement à des limites matérielles et technologiques.
En effet, la gamme de vitesses utilisée pour l’étude du comportement ne dépasse
pas les 5.10−3 s−1 , alors qu’en découpe le matériau est sollicité à des vitesses allant
jusqu’à 104 s−1 . La loi de comportement identifiée expérimentalement est donc
extrapolée afin de couvrir les grandes vitesses. Afin de remédier à cet inconvénient
nous recommandons la mise niveau du dispositif de VidéoTraction afin de pouvoir
effectuer des essais à de grandes vitesses ou envisager des tests type ” Barre de
Hopkinson”.
– L’amélioration du modèle numérique doit être effectuée pour le rendre plus précis
dans son estimation des faibles niveaux de déformation plastique. En effet, la
dégradation magnétique se manifeste de manière significative dès les faibles taux
de déformations. Le modèle numérique doit donc fournir une bonne estimation
de cette grandeur afin de déterminer précisément la dégradation des propriétés
magnétiques du matériau après sa mise en forme.
– Signalons qu’une caractérisation mécanique via la nanoindentation et son analyse
inverse, paraı̂t un moyen très efficace et assez simple pour accéder à des grandeurs
caractéristiques de l’état mécanique du matériau au voisinage du bord découpé.
Néanmoins, cette méthode reste indirecte. Par conséquent il faut envisager des
techniques directes pour valider les résultats obtenus via le test de nanoindentation et son analyse inverse.
– Développement et amélioration des dispositifs de mesures magnétiques. L’idéal serait de pouvoir mesurer les propriétés magnétiques locales. Des capteurs de bruit
Barkhausen semblent une bonne piste mais ils posent le problème de miniaturisation. Des développements de cet aspect seraient pertinents.
– Il faut également envisager des mesures de contraintes résiduelles au voisinage du
bord découpé. De telles mesures permettent d’une part de disposer d’éléments
complémentaires de validation. Mais combinées à la réalisation et la miniaturisation de capteurs de bruit Barkhausen, elles ouvrent une voie très intéressante
CONCLUSION
pour l’application dans le domaine du contrôle non destructif.
166
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Annexe A
Algorithmes de résolution
A.1
Equations d’équilibre
Sous l’action de forces surfaciques de densité fs exercées sur sa frontière Ss , de
forces volumiques internes fv , ainsi que de déplacements imposés U sur sa frontière Su ,
un solide se déforme et atteint la configuration déformée Ct .
Fig. A.1 – Equilibre d’un solide
182
Annexe A. Algorithmes de résolution
Les équations d’équilibre du solide en configuration déformée s’écrivent :
dvi
dt
(A.1)
σn = fs Sur Sf
(A.2)
U = U Sur Su
(A.3)
σij,xj + fvi = ρ
avec les conditions aux limites suivantes :
Dans cette équation, σij sont les composantes du tenseur des contraintes de Cauchy, fvi
sont les composantes des efforts exercés par unité de volume et ρ la densité du milieux
continu.
Dans le cas d’un comportement quasi-statique, on néglige dans la relation (A.1) le terme
i
ρ dv
devant les autres. L’équation d’équilibre s’écrit alors :
dt
σij,xj + fvi = 0
(A.4)
ceci peut être écrit sous la forme matricielle suivante :
[B]T {σ} + {fv } = 0
(A.5)
avec {σ} = {σxx , σyy , σzz , σxy , σxz , σyz } et [B] une matrice d’opérateurs différentiels.
A.2
Principe des puissances virtuelles
Nous exposons succinctement dans ce paragraphe les principales formulations de
principes variationnels en mécanique des solides en grandes transformations, en vue de
leur application au calcul numérique. Les développements et démonstrations de ces formulations peuvent être trouvés notamment dans [181] et [182]. Une revue des différentes
écritures du principe des puissances virtuelles (PPV) a été proposée par [183] et [184].
L’équilibre globale du solide peut être exprimé dans la configuration actuelle Ct à partir
de la relation (A.5) par le (PPV) écrit sous la forme :
Z
Z
∗
∗
P (t, v ) = vi σij,xj dv − vi∗ fiv dv
(A.6)
183
Annexe A. Algorithmes de résolution
pour tout champs de vitesses virtuelles v∗ .
Le premier terme de l’expression (A.6) est intégré par partie pour obtenir une formulation dite faible où l’ordre des dérivées est minimum :
Z
Z
Z
∗
∗
∗ s
P (t, v ) = σij Dij (v )dv − vi fi ds − vi∗ fiv dv
(A.7)
où Dij (v∗ ) est le tenseur taux de déformation virtuel, pour tout champ de vitesses
virtuelles v∗ cinématiquement admissible (v∗ = 0 sur Su ).
De plus, en utilisant le tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff de seconde espèce S
et le tenseur taux de déformations virtuel de Green-Lagrange Ė(v∗ ), nous écrivons le
(PPV) dans la configuration de référence :
Z
Z
Z
∗
∗
∗ s
P (t, v ) = Sij Ėij (v )dV − vi f0i dS − vi∗ f0iv dV
(A.8)
La modélisation numérique des grandes transformations utilise alors soit une formulation Lagrangienne totale où les quantités de référence sont celles de la configuration
au temps t = 0, soit une formulation Lagrangienne actualisée à chaque pas. Les lois
de comportement élastoplastiques employées sont de nature Eulérienne, et donc sont
exprimées en fonction du tenseur Eulérien des contraintes de Cauchy σ, et du tenseur
taux de déformation D.
En utilisant la relation T r(ABT ) = T r(AB), nous pouvons écrire :
1
σij Dij = T r(σD) = (T r(σL) + (σLT )) = T r(σL) = σij Lij
(A.9)
2
Nous pouvons ainsi remplacer Dij par Lij dans (A.7) et ainsi obtenir la forme suivante
du (PPV) :
Z
Z
Z
P (t, v∗ ) =
A.3
σij Lij (v∗ )dV −
vi∗ fis ds −
vi∗ fiv dv
(A.10)
Approche statique implicite
La configuration d’équilibre Ct+∆t est recherchée en fonction du chargement extérieur
inconnu {Fext (t+∆t)}, en résolvant itérativement les équations d’équilibre. L’algorithme
de résolution employé est alors du type Newton-Raphson. Il consiste à construire une
suite d’approximations {xi (t + ∆t)} solutions du système d’équations (A.11), afin d’annuler le résidu d’équilibre après convergence :
(
[KT (xi )]{∆x} = {R(xi )}
{xi+1 (t + ∆t)} = {xi (t + ∆t)} + {∆x}
(A.11)
184
Annexe A. Algorithmes de résolution
où {R(xi )} est le résidu global d’équilibre à l’itération i, et [KT (xi )] la matrice tangente
globale évaluée à l’itération i.
Deux techniques de calcul de la matrice tangente sont couramment employées dans
la méthode implicite. Il s’agit du calcul par perturbation, simple à mettre en oeuvre,
mais peu précis et coûteux en temps de calculs, et le calcul direct de la matrice tangente, par dérivation analytique des termes du résidu par rapport aux accroissements
de déplacement, souvent préféré en raison de sa plus grande précision.
La méthode implicite est généralement confrontée à des problèmes de convergence dus
au couplage avec les inéquations de contact frottement. C’est pourquoi, ces dernières
années, une méthode de résolution basée sur une approche statique ou dynamique explicite a été développée.
A.4
Approche statique explicite
La configuration d’équilibre Ct+∆t est recherchée à partir de la configuration connu
Ct , en fonction de l’accroissement de chargement extérieur. La résolution consiste alors
à évaluer les accroissements de déplacements, déformations et contraintes à partir des
accroissements de chargement pris suffisamment petits pour ne pas s’écarter de l’état
d’équilibre.
L’expression du principe des puissances virtuelles (A.10) peut s’écrire sous forme matricielle :
Z
Z
∗
∗
J
∗
dP (t, v ) = {hD i({σ } − 2[σ]{D}) + hL i[σ]{L}}dv −
hV ∗ i{f˙s }ds = 0 (A.12)
v
sf
En suivant la procédure standard de discrétisation par éléments finis, nous définissons
sur un élément les relations suivantes :
{D ∗ } = [B]{vn∗ }
(A.13)
{L∗ } = [E]{vn∗ }
(A.14)
2[σ]{D} = [F ][B]{∆un }
(A.15)
[σ]{L} = [G][E]{∆un }
(A.16)
{σ J } = [Dep ][B]{∆un }
(A.17)
Annexe A. Algorithmes de résolution
185
Dans ces équations,[Dep ] est la matrice élastoplastique constitutive élémentaire, [B] est
une matrice de déformation, [E] est une matrice gradient de vitesses de déformation,
[F] et [G] sont des matrices de Cauchy initiales.
Nous obtenons ainsi :
(
P R
T
T
dP (t, v ∗) = hV ∗ i( nelt
i=1 ve ([B] ([Dep ] − [F ])[B] − [E] [G][E]){∆un }dv−
(A.18)
Pnelecontour R
[N]T {f˙s })ds = 0
j=1
se
Ainsi, la discrétisation spatiale de l’équation du principe des puissances virtuelles et
la substitution des équations de loi de comportement, donne l’équation matricielle suivante, proposée par [185], [186] :
[K]{∆u} = {∆F }
[K] =
nelt Z
X
e=1
(A.19)
ve
([B]T ([Dep ] − [F ])[B] + [E]T [G][E])dv
(A.20)
Dans ces équations, {∆u} désigne les incréments inconnus de déplacements nodaux,
{∆F }, les incréments d’efforts externes nodaux dus principalement au contact, [K] est
la matrice de rigidité tangente globale.
L’équation du principe des puissances virtuelles est décrite en accroissements finis et
n’est valide que pour des déplacements infinitésimaux. Ainsi, une méthode de contrôle
des pas de chargement est adoptée pour limiter l’accroissement de déplacement par pas.
A.5
Approche dynamique explicite
L’approche dynamique explicite est l’une des méthode qui permettent la simulation
numérique de la mise en forme des tôles. Elle a été utilisée par de nombreux auteurs
notamment [187], [188], [189], [190], [191] et [192]. On peut également citer dans ce cadre
d’autres schémas d’intégration en dynamique utilisés pour la simulation de l’évolution
d’états de contact en grandes transformation admettant des changements importants
de statut ou comportant des bifurcations [193], [194].
Cette méthode est à la base des études numériques qui portent sur le cisaillage et le
poinçonnage dans cette thèse.
La discrétisation spatiale, pour le cas d’un comportement dynamique, par un modèle
d’éléments finis permet d’écrire les équations d’équilibre sous la forme générale suivante :
[M]{ü} + [C]{u̇} = {Fext } − {Fint }
(A.21)
Annexe A. Algorithmes de résolution
186
[M],[C],{Fint } et {Fext } sont respectivement la matrice masse, la matrice d’amortissement, les vecteurs force internes et externes dans le repère global.
La recherche d’un champ de déplacements, vitesses et accélérations d’une structure sollicitée dynamiquement nous amène à la résolution du système (A.21). Plusieurs méthodes
ont été employées notamment les méthodes implicites, Newmark et Wilson [195] ou Houbolt [196]ainsi que des méthodes explicites telles que la méthode des différences finies
centrales [197], [198] et [199]. Cette méthode permet l’évaluation des déplacements, vitesses et accélération à (t + ∆t), connaissant les valeurs de ces quantité à l’instant (t) :
{u̇t } =
1
[{ut+∆t } − {ut−∆t }]
2∆t
(A.22)
1
[{ut+∆t } − 2{ut } + {ut−∆t }]
(A.23)
2∆t
où {ut+∆t }, {ut}et{ut−∆t } représentent respectivement les vecteurs déplacements aux
instants (t + ∆t), (t)et(t − ∆t).
{üt } =
En remplaçant (A.22) et (A.23) dans (A.21), on obtient le système d’équations suivant :
(
[M]
[C]
[M]
[C]
t
t
+
){ut+∆t } = {Fext
} − {Fint
} + 2 (2{ut } − {ut+∆t }) +
{ut−∆t } (A.24)
2
∆t
2∆t
∆t
2∆t
avec les conditions aux limites suivantes :
t = t0 ,{u0 } et {u̇0 } sont connus, {ü0 } est calculé en utilisant (A.22).
A partir de (A.21) et pour une structure non amortie on obtient {ut+∆t }
t
t
{ut+∆t } = ∆t2 [M]−1 [{Fext
} − {Fint
}] + 2{ut } − {ut−∆t }
(A.25)
Dans le cas d’une structure amortie, de préférence l’utilisation d’une matrice d’amortissement [C] diagonale :
[C] = α[M]
(A.26)
telque α est un coefficient d’amortissement.
D’où :
{ut+∆t } =
2∆t2
2∆t2 2{ut }
α∆t − 2
t
t
[M]−1 [{Fext
} − {Fint
}] +
(
+
(
){ut+∆t })
2 + α∆t
2 + α∆t ∆t2
2∆t2
(A.27)
Annexe B
La formulation ALE
B.1
Introduction
La mise en équations de type ALE conduit à un système non carré. En effet, les
déplacements de la matière (n inconnu) et les déplacements du maillage (n inconnu)
sont à déterminer avec seulement n équations. Pour résoudre le système, il est donc
nécessaire de réduire le nombre d’inconnues ou d’augmenter le nombre d’équations.
L’augmentation du nombre d’équations conduit à établir n équations supplémentaires
pour déterminer le déplacement des noeuds du maillage. Ces équations supplémentaires
peuvent être obtenues en connaissant a priori la vitesse des noeuds du maillage. Par
exemple, cette technique est quelquefois employée en mécanique des fluides, dans le cas
où la vitesse du maillage est donnée par des équations de type lignes de courant sous
forme discrétisées ( [200] par exemple).
B.2
Mise en équations
Hu et Liu [201] étendent cette technique à la mécanique des solides. La réduction du
nombre d’inconnues est retenue par de nombreux auteurs. Cette réduction est réalisée
en partitionnant l’opérateur eulérien/lagrangien en :
• Une phase lagrangienne,
• Une phase eulérienne.
La phase lagrangienne met en jeu un calcul classique où le système d’équations ne com-
188
Annexe B. La formulation ALE
porte pas de termes convectifs (système carré n x n). Cette phase permet de résoudre
les équations régissant le comportement du domaine étudié tout en respectant les conditions aux limites (le maillage utilisé est matériel). La phase eulérienne est ensuite basée
sur une opération de remaillage, le maillage est alors arbitraire, puis de transfert des
données du maillage matériel au maillage arbitraire. Les techniques classiques de remaillage, appliquées régulièrement au cours d’une simulation, sont basées sur des critères
géométriques, éviter les distorsions par exemple, ou sur des critères de qualité de la solution. Le maillage est dans ce cas complètement reconstruit, sans forcément conserver
la topologie du maillage initial. Par contre, dans une formulation ALE, le remaillage est
effectué à chaque pas de temps et le maillage est à topologie constante. Plusieurs techniques de remaillage sont proposées dans la littérature. Par exemple, Martinet [202]
et Ponthot [203] présentent une méthode qui consiste à positionner tout d’abord les
noeuds à la frontière d’une zone ALE puis à reconstruire le maillage intérieur avec
une technique d’interpolation. L’outil de base de cette technique est l’interpolant bilinéaire de Lagrange qui transforme un carré de côté unitaire en une surface quelconque.
Blom et Leyiand [204] proposent une méthode, intitulée ’spring analogy’, qui permet
de gérer les déformations du maillage et ainsi que les problèmes de frontières mobiles
et/ou déformables. Les segments inter-noeuds sont remplacés par des ressorts fictifs.
Les déplacements des noeuds sont déterminés par le calcul de l’équilibre élastique du
maillage en utilisant la loi de Hooke généralisée.
L’étape de transfert des données est nécessaire après une phase de remaillage. Les
données utiles sont transférées du maillage matériel au maillage arbitraire. Pour cela,
plusieurs méthodes sont également disponibles dans la littérature. Dans le cadre de
la méthode des éléments finis, la valeur des champs connus aux noeuds du maillage
(déplacements, vitesses, forces externes) est aisément calculable en tout point de l’espace
en utilisant les fonctions de forme des éléments. Pour les champs connus uniquement aux
points d’intégration numérique, le lissage de ces champs est une étape préliminaire au
transfert de données. Martinet [202] propose des méthodes globale et locale des moindres
carrés. En fonction des valeurs du champ connu aux points d’intégration numérique et
des fonctions de forme, il est possible d’obtenir les valeurs aux noeuds du maillage.
Une fois les champs à transférer continus, le transfert effectif sont réalisé. La méthode
globale des moindres carrés est ici aussi souvent utilisée. L’idée est de minimiser l’écart
entre les deux champs (celui du maillage matériel f M et celui du maillage arbitraire
f A) :
Z
∆A
(f M − f A )2 d∆
(B.1)
où ∆A représente le nouveau maillage couvrant le domaine A. Le fait que la fréquence
de remaillage soit élevée et que le remaillage soit à topologie constante permet de
minimiser l’étape de transfert. En effet, il est possible de considérer qu’à un point du
maillage matériel (noeud ou point d’intégration numérique) ne correspond qu’un seul
Annexe B. La formulation ALE
189
point du maillage arbitraire. De plus, ces deux points restent à des distances assez
faibles et ceci permet d’utiliser un développement au premier ordre. Pour un champ f
donné, on a alors :
∂f
f M = f A + dα
(B.2)
∂xα
Annexe C
Modélisation du dispositif
magnétique par éléments finis
C.1
Introduction
La dernière étape est l’estimation de la validité des résultats obtenus avec le dispositif
de mesure utilisé dans notre travail. Nous nous sommes servis du logiciel FemLab, un
code de calcul pour l’analyse mécanique et électromagnétique de structures par éléments
finis. Après la présentation succinte du formalisme utilisé et de la méthodologie, nous
discutons les résultats définissant la précision de mesure.
C.2
Méthodologie
Nous avons traité un problème de magnétostatique 3D formulé en potentiel vecteur.
Les équations à résoudre, les équations de Maxwell pour la magnétostatique.
Nous avons modélisé le comportement magnétique du banc de mesure dans le cas d’une
éprouvette sans trou (non déformée) et une éprouvette avec un trou (9mm de diamètre).
La perméabilité relative des culasses a été considérée constante et égale à 2300, et
l’entrefer moyen a été estimé à une valeur de 4,6µm à partir d’une relation utilisée dans
la tribologie, relative aux paramètres géométriques du profil de la surface. Des éléments
Tetrahedriques ont été choisis pour le maillage (Figure C.1-C.2) :
191
MODELISATION DU DISPOSITIF...
- Nombre d’éléments égale à 24480 et nombre de noeuds égale à 5574 dans le cas d’une
éprouvette sans trou.
- Nombre d’éléments égale à 24333 et nombre de noeuds égale à 5520 dans le cas d’une
éprouvette sans trou.
(a) Modélisation du banc de mesures
(b) Maillage (Culasses + Bobines + Eprouvette)
Fig. C.1 – Cas d’une éprouvette non déformée (sans trou)
(a) Modélisation du banc de mesures
(b) Maillage (Culasses + Bobines
+ Eprouvette)
Fig. C.2 – Cas d’une éprouvette avec trou (9mm de diamètre)
192
MODELISATION DU DISPOSITIF...
On observe sur la figure C.3 que les lignes de flux commencent à se refermer dans
l’air dés les faibles valeurs du champ. Dans ces conditions, un premier paramètre est
identifé par le calcul éléments finis est l’efficacité de la circulation de flux magnétique.
(a) Eprouvette sans trou
(b) Eprouvette avec trou
Fig. C.3 – Aperçu des équipotentielles (B = 1,1 Tesla).
Nous avons comparé par la suite les courbes d’aimantations expérimentales et numériques
dans le cas d’une éprouvette avec et sans trou (Figure C.4). La perméabilité relative de
matériau est variable en fonction de Hmax (cf. Figure 6.10).
193
MODELISATION DU DISPOSITIF...
1
Expérimental−−sans trou
Simulation−−sans trou
Expérimental−−avec trou
Simulation−−avec trou
B
max
(T)
1.5
0.5
0
0
2000
4000
H
max
(A.m−1)
Fig. C.4 – Courbes d’aimantation experimentales et numériques pour une éprouvette
avec et sans trou.
Par la méthode éléments finis, on observe une sous estimation négligeable du comportement magnétique réel du matériau. Cette différence est négligeable dans le domaine
initial de l’aimantation et dans la zone de saturation. L’erreur relative expérimentale/numérique
varie entre 1% et 3%. Ces erreurs restent dans la limites raisonnables, en accord avec
les performances déclarées pour ce type de dispositif utilisé.
Annexe D
Mesures magnétiques sur
éprouvette percée
D.1
Introduction
L’expérience consiste à comparer l’évolution de ces caractéristiques magnétiques
entre une éprouvette non déformée et l’éprouvette même avec la présence d’un trou de
9mm de diamètre.
D.2
Résultats et analyses
La présence du trou influence inévitablement la réponse magnétique du système.
Cette modification est en grande partie due au manque de matière local et donc aux
fuites de lignes de champ qu’il occasionne. Il s’agit d’un effet purement géométrique dont
nous nous affranchissons en faisant subir un nouveau recuit aux éprouvettes percées.
Elle retrouve localement leur propriétés magnétiques initiales. La courbe d’aimantation
est à nouveau mesurée : seul apparaı̂t en théorie l’effet géométrique. En comparant les
mesures, nous éliminons le facteur géométrique dû à la présence du trou, pour ne garder
que l’influence de la déformation.
La figure D.1 représente les courbes d’aimantation et de perméabilité relative correspondante de l’éprouvette non déformée comparée aux courbes d’aimantation et de
perméabilité relative de l’éprouvette poinçonnée avant et après recuit. La déformation
apportée par le poinçonnage induit visiblement une dégradation des caractéristiques
195
MESURES MAGNETIQUES...
magnétiques.
Bmax (T)
1.5
1
Eprouvette non déformée
Eprouvette recuite
Eprouvette percée d’un trou
0.5
0
0
2000
4000
6000
−1
Hmax (A.m )
(a) Courbe d’aimantation
Perméabilité relative µr
8000
6000
Eprouvette non déformée
Eprouvette recuite
Eprouvette percée dun trou
4000
2000
0
0
2000
4000
H
max
6000
−1
(A.m )
(b) Perméabilité relative
Fig. D.1 – Influence du poinçonnage sur les caractéristiques magnétiques du ”Sollac
M800-65A”, f=50Hz.

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