chapitre-1-deformations-milieu-continu

ISET GAFSA
DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE
ELASTICITE-MMC
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CHAPITRE I: DEFORMATIONS DANS UN MILIEU CONTINU
I. Tenseurs gradient
I.1. Tenseur gradient
Pour un même milieu continu et dans un même référentiel R, on imagine 2
configurations : initiale C0 et à un instant t Ct. Le même point M, noté M0 dans la
configuration C0, sera noté Mt dans la configuration Ct. Pour matérialiser la déformation, on
uuur
uur
considère 2 vecteurs dX et dx définis respectivement au voisinage des points M0 et Mt.
ur
e3
Ct
uur
dx
C0
uuur
dX
M0 ×
uur
X
Mt ×
r
x
O
uur
e2
ur
e1
uuur
uur
La transformation dX → dx s’écrit,
uur
uuur
dx = F dX

∂x 
Avec F =  FiJ = i  est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur gradient.
∂X J 

I.2. Tenseur gradient de déplacement
Le déplacement du point M lors de la transformation de la configuration initiale C0 vers la
configuration Ct s’écrit :
r
uuuuuur r uur
u (M , t ) = M 0 M t = x − X
1
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D’où,
)
(
r
r
uur
uur
du = d x − d X = F − I d X
)
(
r
 ∂u

∂x
⇒ gradu = F − I =  i = i − δ iJ 
 ∂X J ∂X J

r
gradu est un tenseur de second ordre(matrice 3×3) appelé Tenseur gradient de déplacement.
II. Tenseurs de déformation
Pour définir proprement une déformation, il est judicieux de considérer la variation du
produit scalaire entre deux vecteurs matériels appliqués au point M étudié.
Ct
C0
uur
dx
uuur
dX
uuur
dx '
uuur
dX '
r
u
Mt
M0
II.1. Tenseurs de Cauchy-Green
Le produit scalaire entre les deux vecteurs définis dans la configuration Ct s’écrit :
)(
(
(
)
)
r ur
uur
uur
uur
uur
uur uur
d x.d x ' = Fd X Fd X ' = d X F T ⊗ F d X ' = d X Cd X '
(
r
C = F T ⊗ F = gradu + I
) ⊗ ( gradu + I )
r
T
C estun tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur de Cauchy-Green droit.
De la même manière, on montre que,
(
)(
) (
)
uur uur
r
ur
r
ur
r
ur
d X .d X ' = F −1d x F −1d x ' = d x F −1T ⊗ F −1 d x ' = d xB −1d x '
(
) (
r
r
B = F ⊗ F T = gradu + I ⊗ gradu + I
2
)
T
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B est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur de Cauchy-Green gauche.
II.2. Tenseur de Green-Lagrange
La variation du produit scalaire de deux vecteurs matériels entre la configuration Ct et celle
C0 s’écrit :
(
)
r ur
uur uur
uur
uur
uur uur
d x.d x ' − d X .d X ' = d X C − I d X ' = 2 d X Ed X '
E=
(
) (
r
r
r
r
1
1
C − I = gradu + grad T u + grad T u ⊗ gradu
2
2
)
E est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur de Green-Lagrange qui traduit
l’évolution de l’état de déformation dans le sens C0 Ct.
II.3. Tenseur d’Euler-Almansi
De la même manière que pour le cas du tenseur E , on montre que,
(
)
r ur
uur uur
r
ur
r ur
d x.d x ' − d X .d X ' = d x I − B −1 d x ' = 2d x Ad x '
A=
(
1
I − B −1
2
)
A est un tenseur de second ordre (matrice 3×3) appelé Tenseur d’Euler-Almansi qui traduit
l’évolution de l’état de déformation dans le sens Ct C0.
II.4. Tenseur des déformationslinéarisé
L’écriture du tenseur de Green-Lagrange E en fonction du tenseur gradient de
r
déplacement gradu affiche un terme non linéaire :
r
r
r
r
1
E =  gradu + grad T u + grad T u ⊗ gradu 
1442443 
2 
Terme non linéaire

Cette non linéarité de l’état de déformation vis-à-vis du champ de déplacement complique
considérablement le calcul. Heureusement, cette non linéarité peut être « contourné » si on
3
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suppose que les transformations sont infinitésimales.Cette supposition est connue sous le nom
de l’Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.) :
•
Les déplacements des points du milieu continu sont petits : les configurations C0 et Ct
peuvent être confondues.
r
Les composants du tenseur gradient de déplacement gradu sont tous négligeables
•
devant l’unité.
En appliquant la H.P.P., l’écriture des tenseurs des déformations devient plus simple et le
terme non linéaire est négligé :
(
r
C = F T ⊗ F = gradu + I
(
) (
(
) ⊗ ( gradu + I ) = I + grad u + gradu
r
T
)
r
r
1
1
C − I = gradu + grad T u = ε
2
2
r
r
B = F ⊗ F T = gradu + I ⊗ gradu + I
E=
A=
(
) (
) (
)
T
)
T
r
r
r
r
= I + grad T u + gradu = C
r
r
1
1
I − B −1 = gradu + grad T u = E = ε
2
2
Le Tenseur ε est appelé Tenseur des déformations linéarisé. Il représente la partie
r
symétrique du tenseur gradient de déplacement gradu . On définit, aussi, le tenseur ω
r
représentant la partie antisymétrique du tenseur gradu .
ω=
(
r
r
1
gradu − grad T u
2
)
II.5. Interprétation des résultats
II.5.1. Allongement (dilatation linéaire)
uuur
uur
L’allongement (dilatation linéaire) d’un vecteur dX = dX N appliqué au voisinage d’un
uur
r
point M0 (configuration C0) donne un vecteur dx = dxn appliqué au voisinage d’un point Mt
(configuration Ct).
4
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C0
r Ct
n
uur
N
uur
dx
uuur
dX
r
u
Mt
M0
uur
L’allongement au voisinage du point M0 dans la direction N s’écrit :
(
uur
)
ε M0, N =
dx − dX
dX
Or,
uur uur
uur uur
dx = dx.dx = dX NC N
D’où,
(
uur
)
uur uur
uur
(
)
uur
ε M 0 , N = N C N −1 = N 2E + I N −1
II.5.2. Glissement (distorsion angulaire)
Le glissement (distorsion angulaire) des deux vecteurs initialement perpendiculaires
uuur
uur uuur
uur
dX = dX N et dX ' = dX ' M appliqués au voisinage d’un point M0 (configuration C0) donne
uur
r uuur
ur
deux vecteurs dx = dxn et dx ' = dx ' m appliqués au voisinage d’un point Mt (configuration Ct).
uurC
N 0
r
n
Ct
ur
m
uuur
dX
uuur
dX '
uur
dx
uur
M
uuur
dx '
r
u
Mt
M0
(
uur uur
γ N,M
5
)
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uur
Le glissement au voisinage du point M0dans les directions initialement perpendiculaire N
uur
et M s’écrit :
uur uuur
uur uur
 dx.dx ' 
γ M 0 , N , M = Arc sin 

 dx.dx ' 
(
)
D’où,
uur uur
uur uur



uur uur
N CM
2
N EM
γ M 0 , N , M = Arc sin  uur uur uur uur  = Arc sin 
uur
uur



ε
ε
1
N
1
M
+
+

N
C
N
.
M
CM



(
)
( ( )) ( ( ))




II.5.3. Tenseur des déformations linéarisé
Les termes diagonaux du tenseur des déformations linéarisé traduisent les allongements
alors que ceux extra diagonaux traduisent les glissements.

ur
 ε e1

 ur uur
 γ e1 , e2
ε =
2
 ur ur
 γ e1 , e3

2


(
ur uur
γ e1 , e2
( )
)
2
(
)
(
) γ (e , e )
( )
uur
ε e2
uur ur
2
2
3
(
ur ur
)
γ e1 , e3 

2
uur ur 
γ e2 , e3 

2

uur 
ε e2 

( euur1 ,euu2r ,euu2r )
(
)
( )
Il est à rappeler que le tenseur des déformations linéarisé est symetrique.
II.5.4. Dilatation volumique
La dilatation volumique θ traduit la variation de volume d’un milieu continu lors du
passage de la configuration C0 à celle Ct.
θ=
dv − dV
dV
II.5.5. Interprétation géométrique
On considère deux points infiniment voisins M0 et M0’ dans la configuration initiale C0 qui
se transforme respectivement en Mt et Mt’ dans la configuration Ct. Le champ de déplacement
du point M0’s’écrit,
6
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uuuuuuur uuuuuuur
uuur uuur
U (M 0' ) = U ( M 0 ) + ω dX + ε dX
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ur
Le tenseur ω étant un tenseur antisymétrique, il est possible de lui associer un vecteur ω
tel que :
uuur
ur
uuur
ω dX = ω ∧ dX
D’où,
uuuuuuur
U (M 0' ) =
uuuuuuur
U (M 0 )
123
champ de déplacement
ur uuur
+ ω
∧ dX +
123
ε{
dX
uuur
champ de rotation
champ de déformation
Mt ’
uuur
ε dX
ur uuur
ω ∧ dX
Mt
uuuuuuur
U (M 0 )
M0
uuuuuuur
U ( M 0' )
uuuuuuur
U (M 0 )
M0 ’
III. Condition de compatibilité
Connaissant l’état de déformation (représenté par le tenseur de déformation linéarisé ε ), Il
n’est pas toujours possible de remonter à l’état de contrainte (représenté par le tenseur de
contrainte σ ) qui lui a donné naissance. Seul un état de déformation validant les conditions
de compatibilité permet de « passage » ε → σ .Ces conditions de compatibilité sont 6
équations qui relient entre les différentes composantes du tenseur de déformation linéarisé ε :
∂ 2ε11 ∂ 2ε 22
∂ 2ε12
+
−
2
=0
∂x22
∂x12
∂x1∂x2
∂ 2ε11
∂  ∂ε 23 ∂ε 31 ∂ε12 
+
−
−

=0
∂x2∂x3 ∂x1  ∂x1 ∂x2 ∂x3 
∂ 2ε 23
∂ 2ε 22 ∂ 2ε 33
+
−
2
=0
∂x32
∂x22
∂x2 ∂x3
∂ 2ε 22
∂  ∂ε 31 ∂ε12 ∂ε 23 
+
−
−

=0
∂x3∂x1 ∂x2  ∂x2 ∂x3
∂x1 
∂ 2ε 33 ∂ 2ε11
∂ 2ε 31
∂ 2ε 33
∂  ∂ε12 ∂ε 23 ∂ε 31 
+
−2
=0
+
−
−

=0
2
2
∂x1
∂x3
∂x3∂x1
∂x1∂x2 ∂x3  ∂x3
∂x1 ∂x2 
7
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Ces conditions de compatibilité peuvent êtres écrites en 1 seule équation tensorielle :
uuuuuuuuuuuuur
uuuuuuur
uuuuuuur T



 


grad  div ε  +  grad  div ε   − grad  grad tr ε  − ∆ ε = 0

 




()
()
( ( )) ( )
IV. Exercice d’application
On considère une déformation décrite par les équations suivantes :
 x1 = 1.1X 1 + 0.1X 2 + 0.15 X 3

 x2 = 1.11X 2 + 0.12 X 3
 x = 0.99 X
3
 3
Q1 :
r
Déterminer les tenseurs : gradient F , gradient de déplacement grad u , Cauchy-Green
droit C et gauche B , Green-Lagrange E et Euler-Almansi A .
R1 :
 ∂x1

 ∂X 1
 ∂x
F = 2
 ∂X 1
 ∂x
 3
 ∂X 1
∂x1
∂X 2
∂x2
∂X 2
∂x3
∂X 2
∂x1 

∂X 2 
1.1 0.1 0.15 
∂x2  

 =  0 1.11 0.12 
∂X 3  
0 0.99 
 0
∂x3 

∂X 3 
 0.1 0.1 0.15 
r


grad u = F − I =  0 0.11 0.12 
 0
0
−0.01 

0
0 1.1 0.1 0.15   1.21
0.11
0.165 
 1.1


 

C = F ⊗ F =  0.1 1.11
0  0 1.11 0.12  =  0.11 1.2421 0.1482 
 0.15 0.12 0.99  0
0 0.99   0.165 0.1482 1.017 


T
0
0   1.2425 0.129 0.1485 
1.1 0.1 0.15  1.1


 

B = F ⊗ F =  0 1.11 0.12  0.1 1.11
0  =  0.129 1.2465 0.1188 
 0
 0.15 0.12 0.99   0.1485 0.1188 0.9801 
0 0.99 

 

T
8
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0.11
0.165 
 0.21
1
1

E = C − I =  0.11 0.2421 0.1482 
2
2

 0.165 0.1482 0.017 
)
(
 0.1736 −0.0745 −0.1162 
1
1

−1
A = I − B =  −0.0745 0.1817 −0.0879 
2
2

 −0.1162 −0.0879 −0.0486 
(
)
Q2 :
Est-il possible d’admettre l’hypothèse des petites perturbations (H.P.P) ? Justifier votre
réponse.
R2 :
r
Oui, il est possible d’admettre la H.P.P parce que les composantes du tenseur grad u sont
négligeables devant l’unité.
Q3 :
Sous la H.P.P, déterminer le tenseur des déformations linéarisé. Expliquer les
significations des composants diagonales et celles extra-diagonales.
R3 :
Sous la H.P.P, le tenseur des déformations linéarisé s’écrit,
  0.1 0.1 0.15   0.1
0
0 
r
r
1
1 
 

T
ε = gradu + grad u =   0 0.11 0.12  +  0.1 0.11
0  =
2
2 
0
−0.01  0.15 0.12 −0.01 
 0
(
)
 0.2 0.1 0.15 
1

0.1 0.22 0.12 

2

 0.15 0.12 −0.02 
Les composantes diagonales : ε11 , ε 22 et ε 33 traduisent respectivement les allongements
ur uur ur
(dilatations linéaires) dans les directions : e1 , e2 et e3 .
Les
composantes
extra-diagonales :
ε12 = ε 21 ,
ε13 = ε 31 et
ε 23 = ε 32
traduisent
ur uur
respectivement les glissements (distorsions angulaires) des couples de directions : e1 , e2 ,
(
)
( e , e ) et ( e , e ) .
ur ur
1
3
9
uur ur
2
3
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Q4 :
1
uur  
Déterminer l’allongement (dilatation linéaire) dans la direction N 1 
1
 
R4 :
( )
uur
uur uur
uur
(
)
uur
ε N = NC N − 1 = N 2 E + I N − 1
0.11
0.165  1 1 1.485 
1 1.21
uur uur  
    

NC N = 1 0.11 1.2421 0.1482  1 = 1 1.5003  = 4.3155
1 0.165 0.1482 1.017  1 1 1.3302 
 
    

uur
⇒ ε N = 1.077
( )
Q5 :
1 
0
uur   uur  
Déterminer le glissement (distorsion angulaire) dans les directions N  1  et M  0 
0
1 
 
 
R5 :
uur uur

uur uur
NCM
γ N , M = Arc sin  uur uur uur uur

 NC N . M CM
(
)
1   1.21
uur uur   
NC M = 1   0.11
 0   0.165
 
1   1.21
uur uur   
NC N = 1   0.11
 0   0.165
 
0.11
1.2421
0.1482
0.11
1.2421
0.1482
uur uur


2 N EM

 = Arc sin
r
uur
 1 + ε uu

N 1+ ε M


( ( )) ( ( ))




0.165  0  1  0.165 
   

0.1482  0  = 1  0.1482  = 0.3132
1   0  1.017 
1.017 
  

0.165 1  1  1.32 
    

0.1482 1  = 1  1.3521  = 2.6721
 0   0   0.3132 
1.017 
  

0.11
0.165  0   0  0.165 
 0   1.21
uur uur   
   

M CM =  0   0.11 1.2421 0.1482  0  =  0  0.1482  = 1.017
1   0.165 0.1482 1.017 1  1 1.017 
 
   

uur uur
⇒ γ N , M = 10.95°
(
10
)
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