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Cours d'électromagnétisme

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Cours d’Électromagnétisme
Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique
Champ électrostatique
Champ magnétique
I. Les propriétés de symétrie du champ électrostatique :
1. Principe de Curie :
La symétrie des causes se retrouve dans les effets produits.
2. Les Invariances d’une distribution de charge :
 Si une distribution est invariante par translation le long de la direction 𝑂𝑥, le champ électrostatique ne dépend pas de 𝑥 :
𝑬 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑬 𝒚, 𝒛
 De même si distribution est invariante par translation suivant 𝒚 et 𝒛 (et 𝒓 en coordonnées cylindrique ou sphérique)
 Si une distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜽, le champ électrostatique ne dépend pas de 𝜽 :
𝑬 𝒓, 𝜽, 𝝋 = 𝑬 𝒓, 𝝋
 De même si distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜑 en coordonnées sphérique.
3. Les symétries du champ électrostatique :
 Le champ électrostatique est perpendiculaire à un plan de symétrie impaire (plan d’antisymétrie).
 Le champ électrostatique est parallèle à un plan de symétrie paire (plan de symétrie).
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Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique
Champ électrostatique
Champ magnétique
II. Formulation locale du théorème de Gauss :
1. Forme intégrale :
Le théorème de Gauss sous sa forme intégrale est donné par :
𝑺
𝑸𝒊𝒏𝒕
𝑬. 𝒅𝑺 =
𝜺𝟎
2. Forme locale :
La charge totale contenue dans une surface 𝑺 est donnée par :
𝑸𝒊𝒏𝒕 =
𝝆. 𝒅𝒗
𝑽(𝑺)
Avec 𝝆 est la densité volumique de charges et 𝒅𝝂 un élément de volume contenu dans 𝑺. Le théorème de Gauss s’écrit :
𝑺
𝟏
𝑬. 𝒅𝑺 =
𝜺𝟎
𝝆. 𝒅𝒗
𝑽(𝑺)
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient :
𝑬. 𝒅𝑺 =
𝑺
𝟏
𝐝𝐢𝐯𝑬. 𝒅𝒗 =
𝜺𝟎
𝑽(𝑺)
𝝆. 𝒅𝒗
𝑽(𝑺)
⟺
𝝆
𝐝𝐢𝐯𝑬 =
𝜺𝟎
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Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique
Champ électrostatique
Champ magnétique
III.Circulation du champ électrostatique le long d’un contour fermé :
1. La forme intégrale :
La circulation du champ électrostatique le long d’un contour fermé 𝐶 est conservative :
𝑬. 𝒅𝓵 = 𝟎
𝑪
2. La forme locale :
En utilisant le théorème de Stokes, on obtient la forme locale de la circulation du champ électrostatique :
𝑬. 𝒅𝓵 =
𝑪
𝒓𝒐𝒕𝑬. 𝒅𝑺 = 𝟎
⟹
𝒓𝒐𝒕𝑬 = 𝟎
𝑺(𝑪)
D’après cette formule, il existe une potentiel scalaire 𝑉 tel que :
𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽
III. Équation locale de poisson :
En combinaison les deux relations suivante :
𝝆
𝐝𝐢𝐯𝑬 =
𝜺𝟎
On obtient l’équation de poisson :
𝝆
∆𝑽 + = 𝟎
𝜺𝟎
;
𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽
Dans le vide 𝜌 = 0, on obtient l’équation de Laplace :
∆𝑽 = 𝟎
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Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique
Champ électrostatique
Champ magnétique
I. Les propriétés de symétrie du champ magnétique :
1. Les Invariances d’une distribution de courant :
Si une distribution est invariante par translation le long de la direction 𝑂𝑥, le champ magnétique ne dépend pas de 𝑥 :
𝑩 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑩 𝒚, 𝒛
De même si distribution est invariante par translation suivant 𝑦 et 𝑧 (et 𝑟 en coordonnées cylindrique ou sphérique).
Si une distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜃, le champ électrostatique ne dépend pas de 𝜃 :
𝑩 𝒓, 𝜽, 𝝋 = 𝑩 𝒓, 𝝋
De même si distribution est invariante par rotation d’un angle 𝜑 en coordonnées sphérique.
2. Les symétries du champ magnétique :
Le champ magnétique est perpendiculaire à un plan de symétrie impaire (plan d’antisymétrie).
Le champ électrostatique est parallèle à un plan de symétrie paire (plan de symétrie).
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Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique
Champ électrostatique
Champ magnétique
II. Formulation locale du théorème d’Ampère :
1. La forme intégrale :
La circulation du champ magnétostatique le long d’un contour fermé 𝐶 est égale au produit de 𝜇𝟎 par l’intensité enlacée par le
contour 𝐶 :
𝑩. 𝒅𝓵 = 𝜇𝟎 𝑰𝒆𝒏𝒍𝒂𝒄é𝒆
𝑪
2. La forme locale :
Considérons une distribution de courant caractérisée par une densité volumique de courant 𝒋.
Choisissons un contour fermé orienté 𝐶 pour appliquer le théorème d’Ampère :
𝑩. 𝒅𝓵 = 𝜇𝟎
𝑪
𝒋. 𝒅𝑺
𝑺(𝑪)
En utilisant la relation de Stocks, on obtient :
𝑩. 𝒅𝓵 =
𝑪
𝒓𝒐𝒕𝑩 = 𝜇𝟎
𝑺(𝑪)
𝒋. 𝒅𝑺
⟹
𝒓𝒐𝒕𝑩 = 𝜇𝟎 𝒋
𝑺(𝑪)
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Formulation locale d’électrostatique et magnétostatique
Champ électrostatique
Champ magnétique
III.Flux du champ magnétique le long d’une surface fermé : IV. Équation locale de poisson :
D’après les deux relations suivante :
1. La forme intégrale :
Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée 𝑆
𝐫𝐨𝐭𝑨 = 𝑩
;
𝐫𝐨𝐭𝑩 = 𝜇𝟎 𝒋
Avec la condition de Jauge Colomb :
est conservative :
𝐝𝐢𝐯 𝑨 = 𝟎
On en déduit l’équation de poisson :
𝑩. 𝐝𝑺 = 𝟎
∆𝑨 + 𝝁𝟎 𝒋 = 𝟎
𝑺
2. La forme locale :
D’après le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient :
𝑩. 𝐝𝑺 =
𝐝𝐢𝐯𝑩. 𝐝𝒗 = 𝟎
⟹
𝐝𝐢𝐯𝑩 = 𝟎
𝑺
D’après cette relation, il existe une potentiel vecteur 𝑨 tel
que :
𝐫𝐨𝐭𝑨 = 𝑩
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Les équations de Maxwell
I. Les équations de Maxwell en régime permanent
 Le champ électrique 𝑬 est à circulation conservative :
𝑬. 𝐝𝓵 = 𝟎
⟺
𝐫𝐨𝐭𝑬 = 𝟎
𝓒
 Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est donné par :
𝑬. 𝐝𝑺 =
𝑺
𝝉
𝝆
𝒅𝝉 =
𝜺𝟎
𝐝𝐢𝐯𝑬𝒅𝝉
⟺
𝝆
𝐝𝐢𝐯𝑬 =
𝜺𝟎
 Le champ magnétique 𝑩 crée par une distribution de courants de densité 𝒋 est à flux conservatif.
𝑩. 𝐝𝑺 = 𝟎
⟺
𝐝𝐢𝐯𝑩 = 𝟎
𝑺
 La circulation du champ électrique 𝑩 à travers un contour fermé :
𝑩. 𝐝𝓵 =
𝓒
𝐫𝐨𝐭𝑩. 𝐝𝑺 = 𝝁𝟎
𝑺
𝒋. 𝐝𝑺
⟺
𝐫𝐨𝐭𝑩 = 𝝁𝟎 𝒋
𝑺
Où 𝓒 est un contour fermé quelconque orienté, 𝑺 est une surface fermée quelconque orientée vers l’extérieur et 𝝉 est le volume
intérieur à 𝑺.
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Les équations de Maxwell
II. Les équations de Maxwell en régime variable
1. Conservation de la charge électrique
Considérons une surface fermée et fixe 𝓢 contenant un volume 𝓥 de charges électriques. La charge électrique totale contenue
dans ce volume à l’instant 𝒕 est :
𝑸 𝒕 =
𝝆(𝑴, 𝒕)𝒅𝝉
𝓥
A l’instant 𝒕 + 𝒅𝒕, elle est :
𝑸 𝒕 + 𝒅𝒕 =
𝝆(𝑴, 𝒕 + 𝒅𝒕)𝒅𝝉
𝓥
La variation de cette charge électrique est :
𝒅𝑸
= 𝑸 𝒕 + 𝒅𝒕 − 𝑸 𝒕 =
𝒅𝒕
𝝆 𝑴, 𝒕 + 𝒅𝒕 − 𝝆(𝑴, 𝒕) 𝒅𝝉 =
𝓥
𝓥
𝝏𝝆(𝑴, 𝒕)
𝒅𝝉
𝝏𝒕
À l’intérieur du volume 𝓥 il n’y a pas de création spontanée de charge électrique. La variation de charge ne peut être qu’à un
transfert à travers la surface 𝓢 limitant le volume 𝓥.
Entre les instants 𝑡et 𝑡 + d𝑡, la charge sortant de ce volume est, par définition le flux du vecteur densité de courant électrique :
𝐝𝑸𝒔𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕
=
𝒅𝒕
𝒋. 𝐝𝑺
𝓢
9
Les équations de Maxwell
II. Les équations de Maxwell en régime variable
1. Conservation de la charge électrique
La conservation de la charge électrique du volume 𝒱 s’écrit :
𝒅𝑸 = −𝐝𝑸𝒔𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕
⟺
𝓥
𝝏𝝆 𝑴, 𝒕
𝒅𝝉 . 𝐝𝐭 = −
𝝏𝒕
𝒋. 𝐝𝑺 . 𝐝𝒕
𝓢
soit en simplifiant par 𝐝𝒕 :
𝓥
𝝏𝝆(𝑴, 𝒕)
𝒅𝝉 +
𝝏𝒕
𝒋(𝑴, 𝒕). 𝐝𝑺 = 𝟎
𝓢
En utilisant le théorème d’Ostrogradski, on obtient :
𝓥
𝝏𝝆(𝑴, 𝒕)
𝒅𝝉 +
𝝏𝒕
𝐝𝐢𝐯 𝒋(𝑴, 𝒕) 𝒅𝝉 = 𝟎
⟺
𝓥
𝓥
𝝏𝝆(𝑴, 𝒕)
+ 𝐝𝐢𝐯 𝒋(𝑴, 𝒕)
𝝏𝒕
𝒅𝝉 = 𝟎
En en déduit l’équation de conservation de charge électrique :
𝝏𝝆 𝑴, 𝒕
+ 𝐝𝐢𝐯 𝒋 𝑴, 𝒕
𝝏𝒕
=𝟎
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Les équations de Maxwell
II. Les équations de Maxwell en régime variable
2. Équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-flux
 Maxwell-Gauss :
On admet que l’équation de Maxwell-Gauss :
𝝆
𝐝𝐢𝐯𝑬 =
𝜺𝟎
⟺
𝑬. 𝐝𝑺 =
𝑺
𝝉
𝝆
𝒅𝝉
𝜺𝟎
 Les lignes du champ peuvent diverger à partir de source ponctuelles appelées charges électrique (monopoles électrique).
 Cette équation traduit que le théorème de Gauss, se généralise au cas des régimes variables.
 Maxwell-flux :
Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est obtenue en écrivant :
𝑩. 𝐝𝑺 = 𝟎
⟺
𝐝𝐢𝐯𝑩 = 𝟎
𝑺
 Cette équation exprime que le flux du champ magnétique est conservatif.
 Les lignes de champ𝐵 ne peuvent pad diverger à partir de source ponctuelles. Il n’existe pas de monopôles magnétiques.
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Les équations de Maxwell
II. Les équations de Maxwell en régime variable
3. Équation de Maxwell-Faraday
D’après la loi de Faraday, on a :
𝒅𝜱
𝒆=−
=
𝒅𝒕
𝑬𝒎 . 𝐝𝓵
⟺
𝓒
𝓒
𝒅
𝑬𝒎 . 𝐝𝓵 = −
𝒅𝒕
𝑩. 𝐝𝑺
𝑺
en utilisant le théorème de Stokes :
𝑬𝒎 . 𝐝𝓵 =
𝓒
𝑺
𝒅
𝒓𝒐𝒕𝑬𝒎 . 𝐝𝑺 = −
𝒅𝒕
𝑩. 𝐝𝑺 = −
𝑺
𝑺
𝝏𝑩
. 𝐝𝑺
𝝏𝒕
𝝏𝑩
𝒓𝒐𝒕𝑬𝒎 = −
𝝏𝒕
⟺
De façon générale les charges électriques sont donc soumises à l’action d’un champ électrique 𝑬 qui est la somme du champ
électrostatique 𝑬𝒆 et du champ électromoteur 𝑬𝒎 :
𝑬 = 𝑬𝒆 + 𝑬𝒎
Or en régime stationnaire (électrostatique) on a : 𝒓𝒐𝒕𝑬𝒆 = 𝟎, donc :
𝒓𝒐𝒕𝑬 = 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒆 + 𝑬𝒎 = 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒆 + 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒎 = 𝟎 + 𝒓𝒐𝒕 𝑬𝒎
⟹
𝝏𝑩
𝒓𝒐𝒕𝑬 = −
𝝏𝒕
⟺
𝓒
𝒅
𝑬. 𝐝𝓵 = −
𝒅𝒕
𝑩. 𝐝𝑺
𝑺
 Cette équation exprime qu’un champ magnétique dépendant du temps donne naissance à un champ électrique à circulation
non conservative.
 Cette équation rend compte du phénomène d’induction électromagnétique.
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Les équations de Maxwell
II. Les équations de Maxwell en régime variable
3. Équation de Maxwell-Faraday
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