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geometrie differentielle

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Eléments de
géométrie
différentielle
pour la mécanique analytique et la gravitation
Document préliminaire.
N’hésitez en aucune façon à faire part à l’auteur de toute remarque,
suggestion, coquille, faute, erreur, correction, opinion, mouvement
d’humeur, appréciation, etc .
Version de novembre 2010 .
Ph. Spindel
Mécanique & gravitation
Université de Mons
2
Table des matières
I
Eléments de géométrie différentielle
1 Variétés différentiables
5
7
1.1
Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Vecteurs tangents, espaces vectoriels tangents . . . . . . . . . 15
1.4
Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5
Différentielle (Push-forward) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6
Crochet de Lie
1.7
Covecteurs et champs de covecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8
Tenseurs quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9
Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Calcul différentiel extérieur
25
2.1
Formes différentielles extérieures, algèbre extérieure . . . . . . 25
2.2
Pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3
Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4
Théorème de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5
Théorème de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Intégration des formes différentielles
3
41
4
TABLE DES MATIÈRES
3.1
Intégration sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2
Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Groupes à 1 paramètre de transformations
4.1
51
Dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II Formulation géométrique de la mécanique hamiltonienne
59
5 Variétés symplectiques
61
5.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2
Un exemple : le fibré cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3
Théorème de Darboux (suivant Moser) . . . . . . . . . . . . . 62
Partie I
Eléments de géométrie
différentielle
5
Chapitre 1
Variétés différentiables
L’objet fondamental étudié en géométrie différentielle est celui de variété.
En première approximation une variété à n dimensions est un ensemble de
“points” reliés entre eux de façon suffisamment régulière. Ce lien est réalisé
en imposant localement l’existence de petites régions identifiables à (des ouverts de) Rn et en recollant ces différentes régions. La correspondance ainsi
réalisée entre une région d’un espace abstrait et Rn fournit un système de
coordonnées locales – une carte locale – grâce auxquelles nous pourrons transporter les règles du calcul différentiel et intégral de l’espace Rn à des cadres
plus généraux.
Exemple : Considérons la sphère unité à 2 dimensions S 2 de l’espace euclidien E 3 , c’est-à-dire l’ensemble des points de R3 satisfaisant la relation :
x2 + y 2 + z 2 = 1. Nous pouvons construire une bijection locale ϕS de S 2 sur
R2 en projetant stéréographiquement la sphère du pôle sud (0, 0, −1) sur le
plan tangent au pôle nord ΠN d’équation z = 1. En intervertissant les rôles
des pôles, nous obtenons une autre bijection locale ϕN . Les domaines de
définition de ces deux applications recouvrent toute la sphère. D’autre part
en considérant leur intersection nous pouvons construire deux applications :
−1
2
2
ϕN ◦ ϕ−1
S et son inverse : ϕS ◦ ϕN d’un ouvert de R sur un ouvert de R .
Exercices
1. Etablissez les expressions analytiques de ces applications.
7
8
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
2. Etudiez les projections stéréographiques sur le plan équatorial et reliezles aux précédentes.
De même un ellipsoı̈de ou l’ensemble des demi-droites issues de l’origine
de R3 constituent d’autres exemples de variétés (à ce niveau identiques à
la sphère S 2 ). Par contre le plan R2 ou le tore T 2 constituent des variétés
à 2 dimensions distinctes et différentes de S 2 dans la mesure où il n’existe
pas de bijections bicontinues entre-elles. D’un point de vue de mécanicien,
remarquons que le cercle est l’espace de configuration du pendule plan, la
sphère S 2 celui du pendule sphérique, le tore T 2 celui du pendule double
plan, le produit S 2 × S 2 celui du pendule double. L’espace de configuration
d’un solide en mouvement autour d’un point fixe est le groupe des rotations :
SO(3) dont la topologie non triviale est à la source tant de phénomènes
quantiques que classiques (en robotique par exemple). Finalement notons
également qu’un objet géométrique aussi simple que le cône n’a pas le statut
de variété (Pourquoi ?) contrairement au demi-cône amputé de son sommet.
1.1
Rappels et définitions
Un espace topologique est un ensemble E dont certaines parties ont été distinguées : ce sont les ouverts. Ils obéissent aux axiomes suivants :
1. Toute réunion (finie ou non) d’ouverts est un ouvert.
2. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
3. L’ensemble vide ∅ et l’espace total E sont des ouverts.
Un sous-ensemble A de E est fermé si et seulement si (ssi) son complémentaire
E/A est ouvert.
Un sous-ensemble V est un voisinage du sous-ensemble X s’il existe un ouvert
O tel que X ⊂ O ⊂ V .
Un espace topologique est séparé (au sens de Hausdorff) ssi deux points
distincts possèdent des voisinages disjoints. Sauf mention contraire explicite
nous ne considérerons dans ces notes que des espaces de Hausdorff.
1.1. RAPPELS ET DÉFINITIONS
9
Un sous-ensemble A de E est compact ssi de tout recouvrement de A par des
ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini.
La topologie induite sur un sous-ensemble A d’un espace topologique E est
définie en adoptant comme ouverts les intersections de A avec les ouverts de
E.
Une application d’un espace topologique X dans un espace topologique Y
est continue ssi l’image réciproque d’un ouvert de Y est un ouvert de X.
Si ϕ est une bijection entre deux espaces topologiques telle que ϕ et ϕ−1
soient continues, alors ϕ est un homéomorphisme et les deux espaces sont
homéomorphes (topologiquement indistinguables).
Si E est un ensemble, une application d : E × E → R telle que
1. d(x, y) ≥ 0 et d(x, y) = 0 ssi x = y
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
est une distance et fait de l’ensemble E un espace métrique (E, d).
Sur un espace (E, d) une boule ouverte de centre x et rayon est définie
par B(x, ) : {y|y ∈ E, d(x, y) < }. La collection des sous-ensembles de
E obtenue en considérant toutes les réunions de boules ouvertes définit une
topologie sur E.
Sur l’espace métrique (E, d) la suite {xn } est dite suite de Cauchy si pour
tout > 0 il existe un entier naturel N tel que si n et m sont supérieurs à
N , alors d(xn , xm ) < . L’espace est dit complet ssi toute suite de Cauchy
converge.
Si X et Y sont deux espaces de Banach (espaces vectoriels normés et complets) et f une application d’un ouvert U de X dans Y , nous dirons que f
est différentiable au point x0 ∈ U s’il existe une application linéaire continue
de X dans Y (appelée la différentielle de f en x0 et notée dfx0 telle que si
x0 + h ∈ U alors
f (x0 + h) = f (x0 ) + dfx0 (h) + khkα
(1.1)
10
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
où α est un vecteur de Y dont la norme, notée k k, tend vers zéro avec celle
de h.
L’application f est différentiable dans U si elle est différentiable en chaque
point de U . La dérivée de f est l’application
∇f : U → L(X, Y ) : x 7→ (df )x
(1.2)
où L(X, Y ) est l’espace de Banach des applications linéaires continues de
X dans Y . Si l’application ∇f est continue alors f est de classe C 1 (ou
continuement différentiable) et si ∇f est elle-même de classe C 1 , f est dite
alors de classe C 2 . Par induction nous pouvons définir
∇k f = ∇(∇k−1 f ) : U → L(X, Lk−1 (X, Y )) = Lk (X, Y ) .
(1.3)
Dans cette définition nous avons utilisé l’isomorphisme naturel de
L(X, Lk−1 (X, Y )) et Lk (X, Y ) ≡ L(X
· · × X}, Y )
| × ·{z
k
(1.4)
facteurs
qui est l’espace des applications linéaires du produit de k copies de X dans
Y.
Exercice : Exhibez cet isomorphisme.
Rappelons au passage que si une application est de classe C k elle est aussi de
classe C k−1 et d’autre part ∇k f est alors symétrique. Si f est une bijection
entre deux espaces de Banach telle que f et f −1 soient de classe C k , alors f
est un difféomorphisme de classe C k .
Pratiquement dans ce cours, nous aurons souvent à considérer des applications de Rn dans Rp . On peut montrer qu’une application f d’un ouvert
U de Rn dans Rp définie par les p fonctions f α des n variables xi est de
classe C k ssi chacune des p fonctions admet des dérivées partielles d’ordre k
continues. La différentielle de f est donnée par la matrice jacobienne p × n :
Jiα =
∂f α
∂xi
;
(1.5)
le rang de cette matrice définit en chaque point le rang de l’application f .
Dans le cadre des espaces Rn nous avons le :
1.2. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
11
Théorème des fonctions implicites
Si f est une application de classe C 1 d’un ouvert X de Rn dans Rp , alors
• si n ≤ p tout point x0 de X tel que le rang de f y soit maximal (égal
à n) possède un voisinage U tel que la restriction de f à U soit un
homéomorphisme de U sur f (U ),
• si n = p on peut préciser le résultat : f (U ) est un voisinage de f (x0 )
et on peut choisir U de telle sorte que f −1 soit de classe C 1 sur f (U ).
1.2
Variétés différentiables
Une variété topologique de dimension n est un espace topologique séparé
dont chaque point possède un voisinage U homéomorphe à un ouvert de Rn .
Notons ϕ l’homéomorphisme en question. Le couple (U, ϕ) est appelé carte
locale ou système de coordonnées locales; l’ouvert U est le domaine de la
carte.
Pour parler de changements de coordonnées, il nous faut définir un atlas.
Un atlas de classe C p sur une variété Vn est un recouvrement de cette variété
par une famille Ui d’ouverts, domaines des cartes locales (Ui , ϕi ) telles que si
Ui ∩ Uj 6= ∅, alors ϕj ◦ ϕ−1
est un difféomorphisme de classe C p de l’ouvert
i
n
ϕi (Ui ∩ Uj ) ⊂ R sur l’ouvert ϕj (Ui ∩ Uj ) ⊂ Rn .
La donnée d’un atlas de classe C p sur Vn muni Vn d’une structure différentiable
de classe C p . Deux atlas sont compatibles si leur réunion est encore un atlas de classe C p . La réunion de tous les atlas de classe C p sur Vn constitue
un atlas maximal A de Vn et le couple (Vn , A) une variété différentiable1 de
classe C p . Deux cartes locales (U1 , ϕ1 ) et (U2 , ϕ2 ) définissent un changement
de coordonnées de classe C p au voisinage du point x0 ∈ U1 ∩ U2 si ces deux
cartes appartiennent à un même atlas de classe C p .
On construit facilement des cartes incompatibles sur des variétés. Considérons par exemple la droite réelle recouverte d’une part par la carte globale
1
Ou encore variété différentielle.
12
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
(R, ϕ1 ) où
ϕ1 ≡ Id : R → R : x 7→ y = x
et d’autre part la carte (R, ϕ2 ) où
ϕ2 ≡ Cube : R → R : x 7→ z = x3
.
Les formules de changement de coordonnées sont
1/3
ϕ1 ◦ ϕ−1
2 : R → R : z 7→ y = z
et
3
ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : y 7→ z = y
.
On vérifie aisément que ces transformations sont continues mais que z 7→
y = z 1/3 n’est pas différentiable en z = 0.
Evidemment un atlas de classe C p induit un atlas de classe C q avec q ≤ p.
Inversement, Whitney a montré que si la variété est paracompacte2 tout
atlas de classe C p (p ≥ 1) peut-être induit par un atlas de classe C ∞ . Par
la suite nous supposerons toujours travailler avec des variétés et des objets
géométriques de classe C ∞ .
Une propriété géométrique d’une variété se doit d’être intrinsèque, c’està-dire indépendante des coordonnées utilisées pour l’établir, ce qui n’empêche
pas certains systèmes de coordonnées de faciliter les calculs. Ainsi un champ
scalaire réel défini sur une variété V est la donnée d’une application f de V
dans R. Très souvent nous décrirons localement f par sa représentation f (x)
dans une carte locale : f = f (x) ◦ ϕ. Remarquons que bien que f soit une
donnée intrinsèque, sa représentation f (x) dépend essentiellement du choix
des coordonnées.
Une fonction f sera de classe C q ssi il existe une carte locale telle que sa
représentation soit une application de classe C q , au sens usuel, d’un ouvert de
2
Un espace topologique E est paracompact s’il est séparé et si à tout recouvrement
ouvert {Aα } de E on peut associer un recouvrement ouvert localement fini {Bβ } (c’està-dire tel que pour tout point x de E il existe un voisinage de x qui ne rencontre qu’un
nombre fini d’ensembles du recouvrement) tel que tout ouvert Bβ soit contenu dans un
ouvert Aα au moins.
1.2. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
13
Rn dans R. On s’assure aisément du caractère intrinsèque de cette propriété.
De même par passage à des coordonnées locales on dit d’une application f
d’un ouvert U ⊂ V n dans W p qu’elle est différentiable – et sous peu nous
définirons sa différentielle – de classe C q au point x0 de U s’il existe des
cartes locales (Ui , ϕi ) autour de x0 et (Vj , ψj ) autour de y0 = f (x0 ) telles que
n
p
q
l’application ψj ◦ f ◦ ϕ−1
j de R dans R soit de classe C au sens usuel. En
particulier si il existe une bijection Ψ entre les variétés V et W telle que Ψ
et Ψ−1 soient différentiables (de classe C ∞ pour simplifier) Ψ est appelé un
difféomorphisme. Dans ce cas les deux variétés sont isomorphes du point de
vue de la géométrie différentielle; elles sont dites difféomorphes.
Retournons un instant à l’exemple précédent. Nous avons muni R de deux
cartes incompatibles. Nous sommes ainsi en présence de deux variétés différentiables :
(R, A1 ) et (R, A2 ) où {R, x 7→ y = x} ∈ A1 et {R, x 7→ z = x3 } ∈ A2 pour
être précis. Toutefois l’application f de (R, A1 ) → (R, A2 ) qui envoie x sur
x1/3 induit au niveau des images des cartes locales une application de R
dans R qui envoie y sur z = y et inversement. En conséquence, f est un
difféomorphisme et les deux variétés sont équivalentes (ce qui est intuitivement raisonnable).
Cet exemple conduit à la question suivante : est-ce que deux variétés différentiables
homéomorphes sont automatiquement difféomorphes ? La réponse est non.
Milnor, le premier, a montré qu’il existe 28 classes de variétés homéomorphes
à la sphère à 7 dimensions mais qui ne sont pas difféomorphes entre elles. Bien
plus surprenant sont les résultats récents obtenus par Donaldson et Freedman qui ont montré que toutes les variétés homéomorphes à Rn (n 6= 4) sont
difféomorphes, sauf R4 qui admet au moins une infinité non dénombrable de
structures différentiables inéquivalentes!
Afin d’être cohérent ultérieurement, précisons qu’un sous-ensemble W
d’une variété V est une sous-variété différentiable ssi il existe un atlas de V
dont la trace sur W soit encore un atlas de W . Autrement dit W sera une
sous-variété – de dimension m – si au voisinage de chacun de ses points il
existe une carte locale (U, ϕ) de V telle que ϕ(U ∩ W ) = Om × {A} où Om
est un ouvert de Rm et A un point fixe de Rn−m (dim V = n). Un exemple
de sous-variété communément rencontré est le suivant. Soit V une variété et
f1 , . . . , fm des fonctions différentiables telles que l’application F de V dans
14
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
Rm définie comme :
F : V → Rm : p 7→ (f1 (p), . . . , fm (p))
(1.6)
soit de rang maximal m en tout point p ∈ V . Alors le sous-ensemble W de
V défini par le système des m équations :
p ∈ W ⇔ fi (p) = fi (p0 )
(1.7)
où p0 est un point fixé de V est une sous-variété.
Preuve : Soit p un point de V appartenant à W et (U, ϕ) une carte locale
est
autour de p. Si xα sont des coordonnées locales, la matrice ∂f∂xi (x)
α
de rang m. En changeant au besoin la numérotation
des coordonnées nous
∂f i (x)
déduisons qu’en x0 = ϕ(p) le déterminant
où i, α = 1, . . . , m est
∂xα
0
non nul. En conséquence, il existe un voisinage U de p, inclus dans U , tel
que la transformation des coordonnées
y i = f i (x) ,
y m+1 = xm+1 , . . . , y n = xn
(i = 1, . . . , m)
soit admissible. Nous obtenons ainsi une carte locale (U 0 , ϕ0 ) telle que
ϕ0 (W ∩ U 0 ) = (a1 , . . . , am , y m+1 , . . . , y n )
avec ai = fi (p) et en conséquence W est une sous-variété de dimension n−m.
Exercice : Vérifiez que le concept de rang introduit en coordonnées locales
a un sens géométrique.
Si W et V sont deux variétés différentiables, une immersion de W dans
V est une application i de W dans V qui soit de rang constant. Si cette
application restreinte à son image est bijective (c’est-à-dire si i est injective),
alors l’immersion est un plongement. Un plongement induit une structure
de variété de W vers i(W ) comme suit : si (Uα , ϕα ) est un atlas de W , alors
(i(Uα ), ϕ0 ◦i−1 ) est un atlas de i(W ). Si cette structure induite est équivalente
à une structure de sous-variété de V , alors le plongement est dit régulier.
1.3. VECTEURS TANGENTS, ESPACES VECTORIELS TANGENTS 15
1.3
Vecteurs tangents, espaces vectoriels tangents
Les cours élémentaires de géométrie et mécanique introduisent généralement
le concept de vecteur tangent à une surface ou de vecteur vitesse d’un point
en faisant référence à un espace linéaire, voire euclidien, dans lequel la surface
est plongée ou dans lequel le mouvement a lieu. En particulier, l’ensemble de
tous les vecteurs tangents en un point p d’une surface peut être vu comme
l’ensemble de tous les vecteurs vitesses des trajectoires sur cette surface passant par p. Ils constituent l’espace tangent en p à la surface. Si M est une
sous-variété de l’espace Rn , on peut généraliser la construction précédente et
dans la mesure où on démontre que toute variété peut être plongée dans un
espace Rn de dimension suffisamment grande, on pourrait ainsi finalement
étendre la construction précédente à n’importe quelle variété.
Il est cependant plus élégant et plus simple de procéder de façon intrinsèque, sans recourir au plongement dans Rn . L’idée consiste à examiner
directement les trajectoires (arcs de courbe différentiables) sur les variétés.
Un arc différentiable (passant par le point p de la variété V ) est une
application différentiable C d’un intervalle ouvert I ⊂ R dans V
C : t → C(t)
(1.8)
(telle qu’il existe une valeur t0 ∈ I pour laquelle C(t0 ) = p). Si f est une
fonction différentiable définie sur V , la composée f ◦ C (la fonction induite
par f sur l’arc C) est dérivable en t0 . Cette dérivée, au point p, sera notée
d
˙
C(p)[f
] = (f ◦ C)
dt
t=t0
(1.9)
et deux trajectoires C1 et C2 passant par p ont la même vitesse en p ssi pour
toute fonction différentiable f , on a :
C˙1 (p)[f ] = C˙2 (p)[f ].
Ainsi, dans un premier temps, un vecteur tangent à V en p se présente
comme la classe d’équivalence de toutes les trajectoires ayant même vitesse
en p. Toutefois cette définition n’est guère pratique au plan opérationnel.
16
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
Il est préférable de définir un vecteur tangent au point p comme étant un
opérateur différentiel du premier ordre ~vp agissant sur l’anneau Fp des fonctions différentiables en p, c’est-à-dire un opérateur qui associe à la fonction
f définie et différentiable sur un voisinage de p un nombre ~vp [f ] et qui vérifie
les propriétés suivantes :
• il est linéaire :
~vp (af + bg) = a~vp [f ] + b~v [g] ,
• c’est une dérivation :
~vp [f g] = f (p)~vp [g] + g(p)~vp [f ] ,
~vp [1] = 0 ,
(1.10)
où a et b sont des nombres, f et g des éléments de Fp et 1 l’application
constante qui envoie V sur 1.
Dans cette optique, la formule (1.9) définit le vecteur vitesse à la trajectoire
C au point p, plus simplement la vitesse à l’instant t0 .
En coordonnées locales, les points d’une courbe C sur une variété de
dimension n sont donnés par n fonctions xi = C i (t). Si f est une fonction et
f (xi ) son expression dans les coordonnées choisies, la formule (1.9) devient :
d
˙
C(p)[f
] = f C i (t)
dt
dC j (t)
=
t=t0
dt
t=t0
∂f (xi )
∂xj
xi =C i (t0 )
.
(1.11)
On retrouve ainsi la définition usuelle des composantes d’un vecteur vitesse
de Rn en posant :
vi =
dC i (t)
dt
t=t0
.
(1.12)
Par analogie nous continuerons à appeler le n-uple de nombres v i les com˙
posantes du vecteur C(p)
dans les coordonnées xi . Ainsi un vecteur se
présente comme un opérateur différentiel à valeurs dans R :
~v = v i
∂
∂xi
(1.13)
1.3. VECTEURS TANGENTS, ESPACES VECTORIELS TANGENTS 17
agissant sur les fonctions via la formule (indépendante du choix des coordonnées)
~v [f ] = v i
∂f
∂xi
(1.14)
Réciproquement, si L est un opérateur vérifiant les propriétés (1.10), il
peut être assimilé à un et un seul vecteur tangent au sens de la première
définition. En effet, à partir d’un développement au premier ordre de l’expression
locale de f autour des valeurs xip des coordonnées de p :
f (xi ) = f (xip ) + (xi − xip )
∂f (xj )
∂xi
xj =xjp +θj (xk )
on déduit aisément que :
L(p)[f ] = Li (xkp )
∂f (xj )
∂xi
xj =xjp
(1.15)
où les nombres Li (xk0 ) = L(p)[xi − xi0 ] sont les composantes – dans le système
de coordonnées xi – du vecteur défini par l’opérateur L. Ce vecteur est
également le vecteur tangent défini par la classe d’équivalence de courbes
ayant même vitesse en p que la trajectoire définie en coordonnées locales par
les équations xi = xi0 + tLi (xk0 ).
Il résulte immédiatement de la définition même des vecteurs tangents que
ceux-ci forment en chaque point un espace vectoriel sur les réels. Au point
p ∈ V , cet espace – noté Tp – est appelé l’espace vectoriel tangent à V en
p. Il est de dimension n, car tout vecteur ~v peut s’exprimer, à l’aide d’un
système de coordonnées
xi , comme une certaine combinaison des n vecteurs
de base ∂~i = ∂x∂ i , ses composantes étant données par v i = ~v (p)[xi − xi0 ]
où xi0 sont les coordonnées
n
o du point p où le vecteur est considéré. Cette
∂
~
base de vecteurs ∂i = ∂xi est l’ensemble des vecteurs tangents aux lignes
de coordonnées du système de coordonnées adapté. Elle est appelée base
naturelle. Evidemment, il est toujours loisible d’adopter un ensemble de
repères locaux autres que ceux associés à des coordonnées. Dans ce cas, on
parlera de repère mobile. Les formules de transformation des composantes
des vecteurs lors d’un changement du choix de la base sont les formules
usuelles du calcul vectoriel.
18
1.4
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
Champs de vecteurs
La majorité des problèmes abordés en physique théorique amène à considérer
des vecteurs définis en tous les points d’une variété : des champs de vecteurs.
Afin d’étendre à ces objets géométriques les propriétés de différentiabilité de
la variété sur laquelle ils sont envisagés nous pouvons procéder comme suit.
Désignons par E(V ) l’ensemble des couples (p, ~v (p)) où p est un point de V
et ~v (p) un vecteur, un élément de l’espace tangent à V en p. Un champ de
vecteur sera une application de V dans E(V ) telle que le point p est envoyé sur
un couple (p, ~v ) (où le même point p apparaı̂t). Dans l’optique des discussions
précédentes, il faut munir E(V ) d’une structure de variété différentiable afin
de pouvoir parler de champs de vecteurs continus et différentiables. Ceci
se fait de façon très naturelle à partir de la structure de V . Soit un atlas
{(Ui , ϕi )} de V , supposé de dimension n. On définit un atlas de E(V ) en
munissant les ensembles E(Ui ) = {(p, ~v )}p ∈ Ui et ~v ∈ Tp } de la topologie
produit Rn ×Rn ' R2n , l’homéomorphisme de E(Ui ) sur R2n étant réalisé par
le produit des homéomorphismes ϕi et ϕ0i qui associent au couple (p, ~v ) les
coordonnées ϕi (p) = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn au point p et les composantes ϕ0i (~v ) =
(v 1 , . . . , v n ) ∈ Rn du vecteur ~v dans le système de coordonnées ϕi . Les ouverts
de E(V ) sont obtenus par les réunions et intersections finies d’ouverts des
E(Ui ). La cohérence de cette définition tient à ce que l’intersection de E(Ui )
et E(Uj ) est un ouvert dans E(Ui ) et E(Uj ), ce en vertu de la propriété
correspondante dans V . Les formules de transformation des coordonnées
ϕi ◦ ϕ−1
et ϕ0i ◦ ϕ0−1
de Rn en Rn sont différentiables; les premières par
j
j
définition, les secondes d’après la formule de transformation des composantes
d’un vecteur.
Par construction, chaque point de E(V ) est un couple (p, ~v ) où p est un
point de V . Ceci induit une projection π des E(V ) sur V qui associe à (p, ~v )
le point correspondant p. Cette projection est manifestement une application
différentiable. Un champ de vecteurs différentiables est une application ~v de
V dans E(V ) telle que π ◦ ~v soit l’application identique sur V . En d’autres
mots, un champ de vecteurs différentiables revient à attacher à chaque point
de la variété un vecteur dont les composantes en coordonnées locales sont
des fonctions différentiables des coordonnées du point.
Remarques : L’espace E(V ), le fibré tangent à V , a été construit en rec-
1.5. DIFFÉRENTIELLE (PUSH-FORWARD)
19
ollant des ouverts E(Ui ) eux-mêmes homéomorphes aux produits cartésiens
d’ouverts Ui avec Rn . Toutefois E(V ) n’est pas en général homéomorphe à
V × Rn . En effet si c’était le cas, il serait toujours possible de construire sur
V un champ continu de vecteurs ne s’annulant pas, ce qui par exemple est
impossible sur S 2 .
1.5
Différentielle (Push-forward)
Si Φ est une application de V n dans W n , toute fonction f définie sur W m
peut se ramener sur V n au moyen de la composition Φ? (f ) = f ◦ Φ. De
même, un vecteur ~v , défini en un point p de V n peut se transporter en Φ(p)
sur W où il définit le vecteur Φ? (~v ) par la formule
Φ? (~v )[f ] = ~v [Φ? (f )] où f ∈ FΦ(p)
(1.16)
Cette application Φ? de Tp sur TΦ(p) est la différentielle en p de Φ. En effet,
si nous exprimons ces transformations en coordonnées locales xi sur V n au
voisinage de p et y α sur W m au voisinage de Φ(p) nous obtenons en notant
y α = Y α (xi ) la représentation de Φ en ces coordonnées, f celle de f et Φ? (f )
celle de Φ? (f )
∂f
∂y α
∂Φ? (f )
= vi
∂xi
∂Y α ∂f
= vi i
∂x ∂y α
Φ? (~v )[f ] = wα
(quel que soit f )
aussi les composantes wα de Φ? (~v ) sont-elles données par
wα = v i
∂Y α
∂xi
.
(1.17)
En général, il n’est pas possible de transporter ainsi des champs de vecteurs,
sauf si Φ est injective.
20
1.6
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
Crochet de Lie
Si ~v1 et ~v2 sont des champs de vecteurs sur V , nous pouvons définir l’opérateur
~v1~v2 comme
(~v1~v2 )[f ] = ~v1 [~v2 (f )] ;
mais cet opérateur n’est pas associé à un champ de vecteurs car il ne vérifie
pas la règle de Leibnitz. Toutefois, il est aisé de vérifier que le commutateur
défini par
[~v1 , ~v2 ] = (~v1~v2 ) − (~v2~v1 )
(1.18)
est un champ de vecteurs. En coordonnées locales, il s’écrit :
α
α
β ∂v2
β ∂v1
α
[v1 , v2 ] = v1 β − v2 β .
∂x
∂x
Ce commutateur, encore appelé crochet de Lie, vérifie les relations suivantes :
[~v1 , ~v2 ] = −[~v2 , ~v1 ]
(1.19)
[~v1 , [~v2 , ~v3 ]] + [~v2 , [~v3 , ~v1 ]] + [~v3 , [~v1 , ~v2 ]] = 0 (Jacobi)
(1.20)
c’est-à-dire qu’il définit une algèbre de Lie sur le module des champs de
vecteurs.
Si Φ est un difféomorphisme entre V et W , Φ? préserve le crochet de Lie en
ce sens que
Φ? ([~v1 , ~v2 ]) = [Φ? (~v1 ), Φ? (~v2 )] .
(1.21)
La preuve de cette identité peut s’établir par un calcul en coordonnées locales,
ou en recourant simplement aux définitions. En effet, si g : W → R, on a :
Φ? ([~v1 , ~v2 ])[g] = [~v1 , ~v2 ][g ◦ Φ],
les points p et Φ(p) où les actions de ces vecteurs sont considérées étant sous
entendus. D’autre part
[Φ? (~v1 ), Φ? (~v1 )][g] = Φ? (v1 ) [Φ? (~v2 )[g]] − 1 ↔ 2
= ~v1 (Φ? (~v2 )[g]) ◦ Φ−1 − 1 ↔ 2
= ~v1 [~v2 [g ◦ Φ]] − 1 ↔ 2
= [~v1 , ~v2 ][g ◦ Φ]
d’où la propriété annoncée.
Exercice :Vérifiez la relation (1.21) via un calcul en coordonnées locales.
1.7. COVECTEURS ET CHAMPS DE COVECTEURS
1.7
21
Covecteurs et champs de covecteurs
En chaque point p d’une variété V n est défini parallèlement à l’espace vectoriel tangent Tp , un espace vectoriel dual (de même dimension finie) Tp? ,
l’espace cotangent, des applications linéaires de Tp dans R. Si {~ei } est une
base de Tp , une base de Tp? sera donnée par les n applications linéaires θj
définies par3 :
hθj , ~ej i = δij
.
(1.22)
Ces applications {θj } constituent la base duale à la base {~ei }.
Toute forme linéaire ω peut alors s’écrire ω = ωi θi , où les ω i sont les composantes de ω dans la base θi .
Si ~v = v i~ei , on a la formule immédiate :
hω, ~v i = ωi v i
.
Il résulte immédiatement de la section (1.2) que la donnée d’une fonction sur
un voisinage du point p définit par sa différentielle un élément de Tp? , ce via
la formule (1.14) ou de façon équivalente – suivant la discussion de la section
(1.4) – une fonction étant une application de V n dans R, sa différentielle
applique Tp sur un espace tangent à R, espace tangent naturellement identifié
à R lui-même.
En conséquence, les différentielles des fonctions définies au voisinage d’un
point p constituent des éléments de Tp? . En fait on engendre ainsi tous les
éléments de Tp? car les n différentielles des fonctions coordonnées constituent
la base duale à la base formée par les n vecteurs tangents aux lignes des
coordonnées (les n opérateurs de dérivation suivant ces coordonnées).
Nous pouvons écrire l’égalité
df =
3
∂f i
dx
∂xi
Nous noterons indifférement la valeur du covecteur θ sur le vecteur par ~v par hθ, ~v i (à
la façon des physiciens) ou θ(~v ).
22
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
car si ~v = v i ∂i , nous avons
~v [f ] =
=
=
=
=
1.8
∂f i
v
∂xi
∂f j i
v δ
∂xi j
∂f j ∂xi
v
∂xi ∂xj
∂f j
v hdxi , ∂~j i
∂xi
hdf, ~v i
Tenseurs quelconques
A partir de cette description des vecteurs et covecteurs, il est aisé de construire des tenseurs de rang quelconque en un point p. Ensuite, comme en la
section (1.4), nous pouvons introduire proprement des champs de tenseurs.
Un tenseur n fois covariants et m fois contravariants peut être défini comme
une application multilinéaire dont l’argument est un élément du produit direct de n espaces Tp et m espaces Tp? . Si E et F sont deux espaces vectoriels,
u et v des applications linéaires définies respectivement sur E et F , le produit
tensoriel de ces applications, noté u ⊗ v, est l’application linéaire de E × F
dans R obtenue par la relation
u ⊗ v(~x, ~y ) = u(~x)v(~y )
où ~x ∈ E, ~y ∈ F . Les applications linéaires u et v sont des éléments respectifs
des espaces E ? et F ? . L’espace des applications linéaires définie sur E ×F est
appelé le produit tensoriel des espaces E ? et F ? ; il est noté E ? ⊗ F ? . Cette
notion de produit tensoriel s’étend à un nombre quelconque de facteurs. Le
produit tensoriel est associatif; si E, F et G sont trois espaces vectoriels
(E ⊗ F ) ⊗ G = E ⊗ (F ⊗ G) .
Un tenseur en p peut être vu comme une application multilinéaire dont les
variables sont des éléments de Tp et Tp? . Lorsque plusieurs variables sont
1.9. PRODUIT INTÉRIEUR
23
de même nature, il est possible de construire de nouveaux tenseurs par
symétrisation ou antisymétrisation. En particulier si le tenseur est p fois covariants ou contravariants, nous pouvons le symétriser totalement et obtenir
un nouveau tenseur St en posant :
St(~x1 , . . . , ~xp ) =
1 X
t(~xπ(1) , . . . , ~xπ(p) )
p! π∈s
p
où la sommation porte sur toutes les permutations de p objets. De même,
nous pouvons construire un tenseur totalement antisymétrique At en posant :
At(~x1 , . . . , ~xp ) =
1 X
(−1)sgn[π] t(~xπ(1) , . . . , ~xπ(p) )
p! π∈s
p
où à présent chaque terme de la somme est pondéré par un facteur ± 1 fixé
par la parité de la permutation.
Enfin, si t est un (p, q) tenseur mixte4 , nous pouvons construire des (p −
1, q − 1) tenseurs en prenant la trace sur des paires de variables de nature
différentes
X
T rt(. . .) =
t(. . . , ~ei , . . . , θi , . . .)
i
où les {~ei } et {θi } constituent des bases duales l’une de l’autre. Il est facile
de vérifier que la trace ainsi définie est indépendante du choix des bases.
Remarque : Au fil de ces deux dernières sections, les formes différentielles
ont été notées au moyen de lettres soulignées, ce afin de les distinguer explicitement de leurs composantes. A partir de maintenant, nous abandonnerons cette notation, le contexte devant permettre au lecteur de reconnaı̂tre
les formes différentielles et leurs composantes.
1.9
Produit intérieur
Du point de vue algébrique une k-forme est une application multilinéaire,
antisymétrique, dont les k arguements sont des vecteurs. En conséquence,
4
Il existe
(p+q)!
p!q!
espaces tensoriels distincts de (p, q) tenseurs mixtes!
24
CHAPITRE 1. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
~ permet de définir à partir d’une k-forme ω, une (k − 1)-forme
tout vecteur X
σ comme suit:
~ ~v1 , . . . , ~vk−1 )
σ(~v1 , . . . , ~vk−1 ) = ω(X,
.
(1.23)
Cette (k − 1)-forme est notée 5 :
~
σ = i(X)ω
(1.24)
~ et ω.
et est appelée produit intérieur de X
Le produit intérieur vérifie les propriété élémentaires suivantes:
~
~ 1 + g i(X)ω
~ 2
i(X)[f
ω1 + g ω2 ] = f i(X)ω
,
deg
ω
1
~ 1 ∧ ω2 ] = i(X)ω
~ 1 ∧ ω2 + (−1)
~ 2 ,
i(X)[ω
ω1 ∧ i(X)ω
~ Y~ ) = −i(Y~ )i(X)
~
i(X)i(
.
(1.25)
(1.26)
(1.27)
Les mêmes considérations s’étendent aux champs de vecteurs et formes différentielles.
5
~
Si k = 0, nous poserons i(X)ω
= 0.
Chapitre 2
Calcul différentiel extérieur
2.1
Formes différentielles extérieures, algèbre
extérieure
Une forme différentielle extérieure de degré p, ou plus simplement une pforme, sur une variété V est un champ de tenseurs p fois covariants et
complètement antisymétrique. Les 0-formes – tenseurs sans indices – sont
identifiées aux fonctions, les 1-formes aux champs de covecteurs.
En chaque point p sont définis des espaces Λkp de k-formes en p, espaces
n!
triviaux si k > dim V = n, sinon de dimension dim Λkp = k!(n−k)!
. L’ensemble
k
de k-formes sur V constitue un module Λ .
Ces modules Λk sont eux-mêmes des sous-modules du module Λ des tenseurs
covariants, totalement antisymétriques sur V . Nous pouvons munir Λ d’un
produit, le produit extérieur, défini par :
(k + `)!
A(ω ⊗ σ) ∈ Λk+`
k!`!
où ω et σ sont respectivement des k et ` formes. Si f est une 0-forme, on
posera f ∧ ω = f ω. Ce produit extérieur vérifie les propriétés suivantes :
ω∧σ =
Bilinéarité
: (f ω + gσ) ∧ ρ = f ω ∧ ρ + gσ ∧ ρ
Associativité
: (ω ∧ σ) ∧ ρ = ω ∧ (σ ∧ ρ)
Anticommutativité : ω ∧ σ = (−1)deg ω deg σ σ ∧ ω
25
26
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
où f et g sont des fonctions sur V et ω, σ, ρ des formes quelconques sauf
dans la première relation où ω et σ sont supposées être de même degré.
Exercice : Vérifiez les propriétés attribuées au produit extérieur.
Remarque : Si {θi } est une base de l’espace Λ1 , une base de Λk est obtenue
n!
en considérant tous les k!(n−k)!
produits extérieurs
θ i1 ∧ θ i2 ∧ · · · θ ik
avec 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik < · · · ≤ n.
En conséquence, toute k-forme peut s’écrire :
X
ω=
ω i1 ...ik θi1 ∧ · · · ∧ θik
i1 <···<ik
où les ω i1 ...ik avec i1 < · · · < ik , sont appelés les composantes strictes de ω.
Ces composantes ne sont définies que pour les indices en ordre strictement
croissant; nous les supposerons nulles lorsque leurs indices sont dans un autre
ordre.
Nous pouvons également écrire
ω = ωi1 ...ik θi1 ⊗ · · · ⊗ θik
...jk
...jk
ω j1 ...jk où ji11...i
est l’indicateur de permutation de Kroavec ωi1 ...ik = ji11...i
k
k
necker, c’est-à-dire :
1
ω = ωi1 ...ik θi1 ∧ · · · ∧ θik
k!
et par abus de langage, nous appelerons les coefficients ωi1 ...ik les composantes
de la k-forme ω. Remarquons qu’ils sont totalement antisymétriques :
ωi1 ...ik = ω[i1 ...ik ]
2.2
.
Pull-back
Nous avons montré plus haut comment, à partir d’une application différentiable
Φ d’une variété V sur W , il était possible de ramener les fonctions définies
2.3. DIFFÉRENTIATION EXTÉRIEURE
27
sur W à V et transporter un vecteur défini en p ∈ V vers l’espace tangent
en Φ(p).
Si ω est un tenseur k fois covariant en p sur W il est possible d’obtenir en
chaque point q de V tel que Φ(q) = p un autre tenseur k fois covariants Φ? ω
défini par son action sur un k-uple de vecteurs tangent en q via la formule
Φ? ω(~v1 , . . . , ~vk ) = ω(Φ?~v1 , . . . , Φ?~vk ) .
(2.1)
La formule reste vraie pour les tenseurs complètement antisymétrique et
défini donc une application Φ? de Λkp vers ΛkΦ−1 (p) . Dans la littérature anglosaxone, l’image de cette application est appelée pull-back, nous adopterons
ici cet anglicisme. On déduit immédiatement de la définition même de Φ? et
du produit tensoriel que si ω et σ sont des formes sur W
Φ? (ω ∧ σ) = Φ? (ω) ∧ Φ? (σ) .
2.3
(2.2)
Différentiation extérieure
Nous avons vu comment attacher à une fonction f une 1-forme df via la
relation
df (~v ) = ~v (f ).
Ainsi on a associé à une fonction son gradient, lequel contracté avec un
vecteur donne la dérivée de la fonction suivant la direction du vecteur.
D’autre part, on montre au cours élémentaire de calcul tensoriel que si les
dérivées des composantes d’un tenseur ne sont pas en général des tenseurs,
les dérivées antisymétrisées (le rotationnel) d’un champ de vecteurs covariant
est un tenseur (nul si le champ à dériver est un gradient). Cette idée peutêtre étendue à toutes les formes différentielles. On définit d, un opérateur qui
associe à une k-forme une (k + 1)-forme, au moyen des propriétés suivantes :
1. Si f ∈ Λ0 alors df ∈ Λ1 est la différentielle de f .
2. Si ω = α + β alors dω = dα + dβ.
3. Si ω = α ∧ β avec α ∈ Λk , dω = dα ∧ β + (−1)k α ∧ dβ.
28
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
4. d2 = 0.
Ces propriétés établissent l’unicité de l’opérateur de différentiation d.
Calculons l’expression de dω dans une carte locale :
Si ω =
1
ω
dxi
p! i1 ...ip
∧ · · · ∧ dxip , on a de façon univoque
dω =
1 ∂ωi1 ...ip α
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
α
p! ∂x
,
ce qui prouve l’unicité de d.
D’autre part, on vérifie que d2 est nul. En effet
1 ∂ 2 ωi1 ...ip α
dx ∧ dxβ ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
p! ∂xα ∂xβ
= 0
d2 ω =
car
∂ 2 ωi1 ...ip
∂ 2 ωi1 ...ip
=
∂xα ∂xβ
∂xβ ∂xα
est symétrique et dxα ∧ dxβ antisymétrique.
Enfin, comme df ∧ dg = −dg ∧ df si f, g ∈ Λ0 , on a avec ω ∈ Λp et θ ∈ Λq :
1
d(ωi1 ...ip θj1 ...jq dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq )
p!q!
∂ωi1 ...ip
1
=
θj1 ...jq dxα ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq
α
p!q!
∂x
∂θj1 ...jq α
i1
ip
j1
jq
+ ωi1 ...ip
dx ∧ dx ∧ · · · ∧ dx ∧ dx ∧ · · · ∧ dx
∂xα
= dω ∧ θ + (−)p ω ∧ dθ .
d(ω ∧ θ) =
Il reste à s’assurer que dω est une (p + 1)-forme.
Si ω =
a:
1
ω
(x)dxi1
p! i1 ...ip
∧ · · · ∧ dxip dans de nouvelles coordonnées y α (xi ), on
ω=
1
ω̃j ...j (y)dy j1 ∧ · · · ∧ dy jp
p! 1 p
2.3. DIFFÉRENTIATION EXTÉRIEURE
j1
29
jp
avec ω̃j1 ...jp [y(x)] ∂y
. . . ∂y
= ωi1 ...ip (x) tandis que dω dans la base dy j est
∂xi1
∂xip
donnée par
(dω)y =
1 ∂ ω̃j1 ...jp α
dy ∧ dy j1 ∧ · · · ∧ dy jp
α
p! ∂y
et par rapport à la base dxi par :
1 ∂ωi1 ...ip β
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
β
p! ∂x
1 ∂ ω̃j1 ...jp ∂y α ∂y j1
∂y jp β
=
dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip
·
·
·
α
β
i
i
p
1
p! ∂y ∂x ∂x
∂x
(dω)x =
car ∂ 2 y jm /∂xik ∂xi` est symétrique en les indices ik et i` .
En conséquence dω se transforme bien comme une (p+1)-forme et la définition
de d est indépendante du choix des coordonnées.
La différentiation extérieure possède une autre propriété remarquable. Elle
commute avec le pull-back. Si Φ est une application différentiable de V vers
W et ω une forme sur W , on a :
d(Φ? ω) = Φ? dω
(2.3)
La démonstration de cette propriété peut se faire par récurrence sur le degré
de la forme.
Si W = f ∈ Λ0W , on a df ∈ Λ1W , Φ? df ∈ Λ1V et si ~v est un champ de vecteurs
sur V :
Φ? df (~v ) = df (Φ?~v ) = Φ?~v (f ) = f~(f ◦ Φ)
= ~v (Φ? f ) = dΦ? f (~v )
quel que soit ~v aussi :
Φ? df = dΦ? f
(2.4)
30
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
Vu la linéarité de Φ? et d il suffit de prendre ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxk ∈ Λk et
supposer la propriété vraie pour les (p − 1)-formes. On obtient alors :
dΦ? ω = d(Φ? f dx1 ∧ · · · ∧ dxk )
= d Φ? (f dx1 ∧ · · · ∧ dxk−1 ) ∧ Φ? dxk
= dΦ? (f dx1 ∧ · · · ∧ dxk−1 ) ∧ Φ? dxk
+(−1)k−1 Φ? (f dx1 ∧ · · · ∧ dxk−1 ) ∧ dΦ? dxk
= Φ? d(f dx1 ∧ · · · ∧ dxk−1 ) ∧ Φ? dxk + 0
(par hypothèse de récurrence, et en vertu de (2.4) et de d2 = 0)
= Φ? d(f dx1 ∧ · · · ∧ dxk )
= Φ? dω
Ce qui rend cet opérateur remarquable est un résultat de Palais (Trans.
Amer. Math. Soc. 92 (1959), 125-141) qui dit que les opérateurs D appliquant Λk dans Λ` et tels que le diagramme suivant commute lorsque
Φ:V →W
ΛkV
Φ?
←−
D ↓
Λ`V
ΛkW
↓ D
←−
Φ?
Λ`W
sont en général nuls (D = 0) sauf si k = ` auquel cas on a pour D les
multiples de l’identité, si k = ` + 1 pour lequel cas D est un multiple de la
différentiation extérieure et enfin si k = dim V et ` = 0 auquel cas D est un
multiple de l’intégration (concept que nous définirons plus loin).
Un corollaire immédiat de ce résultat est que d2 = 0.
2.4. THÉORÈME DE FROBENIUS
2.4
31
Théorème de Frobenius
Nous avons rencontré au fil des leçons de mécanique de candidature des
systèmes dynamiques soumis à des liaisons. Celles-ci se traduisaient par une
ou plusieurs relations linéaires et homogènes en les composantes des vitesses
(généralisées via une reparamétrisation arbitraire du temps lorsque les liaisons dépendent du temps physique). Lorsque les liaisons sont holonomes,
elles sont localement équivalentes à la donnée d’hypersurfaces dont l’intersection
définit la sous-variété dans laquelle s’effectue le mouvement. Dans ce cas,
l’introduction de variables de Lagrange simplifie souvent notablement l’intégration
des équations de la dynamique, aussi il est important de reconnaı̂tre quand un
système d’équations de liaisons est équivalent à la donnée d’une sous-variété.
Du point de vue géométrique adopté dans ces leçons, le problème peut se
formuler comme suit. Sur une variété V de dimension n, les liaisons se
traduisent par la donnée de m 1-formes Ωλ (λ = 1, . . . , m) qui en chaque point
p ∈ V définissent un sous-vectoriel des directions de mouvements possibles
via le système d’équations (que nous supposons indépendantes) :
Ωλp (~v ) = 0
(2.5)
où Ωλp est l’expression de Ωλ au point p et ~v un vecteur de l’espace tangent en p. L’intégrabilité globale de ce système d’équation se définit comme
l’existence d’une variété W de dimension m et une application f de W dans
V telle que f ? (Ωλ ) = 0.
C’est là un problème très difficile pour lequel il n’existe pas de méthode
générale de résolution. Localement le problème peut se formuler, via le passage à des coordonnées, de façon beaucoup plus simple. Le système de formes
différentielles (encore appelé système de Plaff) :
Ωλ = 0
où Ωλ ≡ Ωλa dxa
(2.6)
λ = 1, . . . , m
a = 1, . . . , n
est intégrable si et seulement si il existe m fonctions f µ (xa ) et une matrice
invertible Sµλ telles que
Ωλ = Sµλ df µ .
32
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
En effet dans ce cas les systèmes d’équations Ωλ (~v ) = 0 et df µ (~v ) = 0 sont
équivalents. Ils définissent en chaque point les mêmes sous-vectoriels de
l’espace tangent.
Une condition nécessaire d’intégration s’obtient directement en remarquant que :
dΩλ = dSνλ ∧ df ν
= dSνλ ∧ Sρ−1ν Ωρ
,
Si I est l’idéal engendré par Ωλ , l’ensemble des formes obtenues en considérant toutes les combinaisons linéaires de produit d’une forme Ωλ avec
une p-forme quelconque :
)
(
I=
ω|ω =
X
λ
λ
λ
Ω ∧σ , σ ∈Λ
(2.7)
λ
on a la condition nécessaire
dΩλ ∈ I
ou encore
dI ⊂ I
.
Remarquons que si ω ∈ I, on a :
ω ∧ Ω1 ∧ Ω2 ∧ · · · ∧ Ωλ = 0 .
Inversement si une forme ω vérifie cette propriété, ω ∈ I. En effet, en
chaque point p, nous pouvons compléter l’ensemble des m formes (supposées
indépendantes) {Ωλ } au moyen de (m − n)-formes Ω̃λ de façon à obtenir une
base de Tp? . Exprimons ω dans cette base. Si une de ses composantes se
réfère à un produit extérieur de formes de base appartenant uniquement à
{Ω̃λ } il sera impossible d’avoir l’égalité précédente. En conséquence ω doit
s’exprimer comme somme de produits extérieurs de formes de base faisant
tous intervenir au moins un élément de l’ensemble {Ωλ } c’est-à-dire que :
ω ∧ Ω1 ∧ Ω2 ∧ · · · ∧ Ωλ = 0 ⇔ ω ∈ I
.
2.4. THÉORÈME DE FROBENIUS
33
En conséquence, nous avons la condition nécessaire :
Ωλ = 0 est localement intégrable
ssi
dΩλ ∧ Ω1 ∧ Ω2 ∧ · · · ∧ Ωn = 0 .
C’est là le résultat que nous avons établi en candidature, dans un formalisme
compliqué car inadapté.
Cette condition est également suffisante. Nous allons le démontrer par récurrence
sur la dimension n de V .
Un système de rang m défini sur une variété de dimension m est évidemment
intégrable car l’indépendance même des m 1-forme Ωλ implique que :
λ = 1, . . . , n
a = 1, . . . , n
Ωλ = Ωλa dxa
avec det Ωλa 6= 0, aussi le système Ωλ = 0 est-il équivalent à dxa = 0.
Supposons avoir montré que si dI ⊂ I pour un système de rang m en dimension n − 1 alors le système est intégrable. A partir d’un système de
rang m en dimension n > m, il est toujours possible, après une éventuelle
λ
renumérotation des coordonnées, de construire en Rn−1 , m formes Ω dépendant
des (n − 1) variables xi (i = 1, . . . , n − 1) et de xn vu à présent comme un
paramètre :
Ω
Ω
λ
λ
=
n−1
X
Ωλi dxi
i=1
λ
= Ω + ω λ dxn
,
.
Notons d la différentiation extérieure sur Rn−1 . Nous avons
λ
dΩ ⊂I
λ
où I est l’idéal engendré par {Ω } sur l’algèbre extérieure de Rn−1 . En effet,
34
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
par hypothèse :
λ
λ
dΩ
∂Ωi n
= dΩ +
dx ∧ dxi + dω λ ∧ dxn
n
∂x
X
=
Ωλ ∧ θ λ
λ
λ
X
=
λ
λ
Ω ∧ θ + σ λ ∧ dxn
λ
aussi
λ
dΩ =
X
λ
Ω ∧θ
λ
.
λ
λ
λ
Par l’hypothèse de récurrence, Ω = 0 est un système équivalent à d f = 0
λ
où {f } sont m fonctions dépendant des n − 1 variables xi (i = 1, . . . , n − 1)
et du paramètre xn :
λ
λ
Ω = Sνλ d f
aussi Ωλ = 0 est-il équivalent au système
λ
d f + Sν−1 λ ω ν dxn = 0
ou encore à
df λ + bλ dxn = 0
(2.8)
avec
bλ = Sν−1 λ ω ν −
∂f λ
∂xn
.
(2.9)
L’hypothèse de Frobenius, dI ⊂ I, implique que :
X
dbλ ∧ dxn =
(df ν + bν dxn ) ∧ σνλ
ν
aussi
dxn ∧
X
df ν ∧ σνλ = 0
ν
1
n
et l’indépendance sur Λ (R ) des 1-formes df ν et dxn conduit à conclure
que les 1-formes σνλ sont des combinaisons linéaires de ces mêmes 1-formes
2.4. THÉORÈME DE FROBENIUS
35
{df ν , dxn }, aussi les fonctions bλ ne peuvent dépendre que des m+1 quantités
f ν et xn .
Localement le système différentiel du premier ordre
df λ
= −bλ (f ν , xn )
dxn
constitue un système usuel d’équations différentielles possédant m intégrales
premières indépendantes :
C λ = C λ (f ν , xn )
et le système différentiel (2.8) est équivalent à
dC λ = 0
ce qui démontre l’intégrabilité du système initial.
Le théorème de Frobenius admet une interprétation duale. La donnée en
chaque point d’une variété des m équations (2.5) est équivalente à la donnée
en chaque point d’un sous-vectoriel de dimension n − m de l’espace tangent.
Ce champ de sous-vectoriel (encore appelé une distribution) est lui-même
équivalent à la donnée locale de m − n champs de vecteurs engendrant un
sous-module V. A partir de ce dernier, nous obtenons λ(V) le sous-ensemble
de Λ s’annulant sur V, c’est-à-dire que ωq sera une q-forme appartenant à
λ(V) si et seulement si
~ 1, . . . , X
~ q) = 0
ω(X
~ 1, . . . , X
~q ∈ V
∀X
.
Evidemment λ(V) est un idéal : si ω ∈ λ(V), alors ω ∧ θ ∈ λ(V). Il coı̈ncide
avec l’idéal I défini en l’équation (2.7).
~ Y~ sont deux champs de vecteurs
Lemme : Si ω ∈ Λ1 et X,
~ Y~ ) = X[ω(
~ Y~ )] − Y~ [ω(X)]
~ − ω([X,
~ Y~ ]) .
dω(X,
(2.10)
Preuve :
~ Y~ ) l’opérateur agissant sur les champs de vecteurs X
~ et Y~
Notons Dω (X,
et défini par la relation
~ Y~ ) = X[ω(
~ Y~ )] − Y~ [ω(X)]
~ − ω([X,
~ Y~ ]) .
Dω (X,
Cet opérateur vérifie, par des calculs simples, les relations suivantes :
36
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
~ Y~ ) = −Dω (X,
~ Y~ ).
1. Dω (X,
~ + g Y~ , Z)
~ = f Dω (X,
~ Z)
~ + gDω (Y~ , Z),
~
2. Dω (f X
~
où Z est un champ de vecteurs et f, g des fonctions. Ceci montre que
Dω est un tenseur (une 2-forme en vertu de l’antisymétrie mentionnée
juste avant ceci). Cette relation est remarquable car si la définition de
Dω ne semble s’appliquer qu’aux champs de vecteurs, son action en un
point ne dépend que des valeurs des vecteurs du champ au point con~ p et Y~p , nous pouvons
sidéré. Autrement dit, à partir de deux vecteurs X
envisager tous les champs coı̈ncidant avec ces vecteurs en p, la valeur en
~ p et Y~p , indépendamment
p de Dω sur ces champs ne dépend que de X
de la façon dont on les prolonge.
3. Dω+σ = Dω + Dσ , D est linéaire.
4. Df ω = df ∧ ω + f Dω , D vérifie la règle de Leibnitz graduée pour le
produit de 0 et 1-forme
~ Y~ ) = X[f
~ ω(Y~ )] − Y~ [f ω(X)]
~ − f ω([X,
~ Y~ ])
Df ω (X,
~ )ω(Y~ ) − Y~ (f )ω(X)
~ + f Dω (X,
~ Y~ )
= X(f
~ Y~ ) + f Dω (X,
~ Y~ )
= df ∧ ω(X,
5. Ddf s’annule sur les différentielles
~ Y~ ) = X[df
~ (Y~ )] − Y~ [df (X)]
~ − df [X,
~ Y~ ]
Ddf (X,
~ Y~ (f )) − Y~ (X(f
~ )) − [X,
~ Y~ ](f )
= X(
= 0
Aussi D a, sur les 1-formes, toutes les propriétés de la différentiation extérieure
dont nous avons par ailleurs montré l’unicité. En conséquence, nous obtenons :
Dω = dω
.
(2.11)
La formule 2.11 s’étend aux k-formes comme suit :
~ 1, . . . , X
~ k+1 ) =
dω(X
k+1
X
c
~ i [ω(X
~ 1, . . . , X
~ i, . . . , X
~ k+1 ] +
(−1)i+1 X
(2.12)
i=1
X
c
c
~ i, X
~ j ], X
~ 1, . . . , X
~ i, . . . , X
~ j, . . . , X
~ k+1 )
(−1)i+j ω([X
1≤i<j≤k+1
2.5. THÉORÈME DE POINCARÉ
37
où le signe b au-dessus d’un vecteur signifie qu’il n’apparaı̂t pas dans la liste
des arguments de la k-forme. Ce résultat peut servir de définition de la
différentiation extérieure. Il offre l’avantage d’être explicitement invariant
par rapport aux changements de coordonnées.
Une autre vérification de cette formule consiste à mener un calcul en coordonnées et constater que
∂
ωb (X a Y b − X b Y a )
∂X a
∂(ωb Y b )
∂Y b
a b ∂ωb
a
~
=
X
Y
+
X
ω
X(ω(
Y~ )) = X a
b
∂xa
∂X a
∂xa
b
∂X
∂ωb
~
Y~ (ω(X))
= Y a X b a + Y a ωb a
∂x ∂x b
b
∂Y
∂X
a
~ Y~ ]) = ωb X a
ω([X,
−
Y
∂xa
∂xa
~ Y~ ) =
dω(X,
d’où le résultat.
Retournons au système de Pfaff [éq. (2.6)]. Si il est intégrable, on a
dΩλ ∈ I = λ(V) et d’après le lemme
~ Y~ ]) = 0
Ωλ ([X,
~ Y~ ∈ V
∀X,
.
~ Y~ ] ∈ V par définition même de V.
En conséquence [X,
~ Y~ ] ∈ V ∀X,
~ Y~ ∈ V, alors dΩλ (X,
~ Y~ ) = 0 ∀λ aussi
Réciproquement si [X,
dΩλ ∈ λ(V) = I et le système Ωλ = 0 est intégrable. En conclusion, nous
obtenons une version duale du critère d’intégrabilité de Frobenius en termes
de distribution : une distribution V est intégrable si et seulement si [V, V] ⊂
V.
2.5
Théorème de Poincaré
Une p-forme différentielle ω est dite fermée si dω = 0, elle est dite exacte si
il existe une (p − 1)-forme θ telle que ω = dθ. En conséquence, toute forme
38
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
exacte est formée, la réciproque n’étant vraie que localement1 . Toutefois, si
une variété V est contractile, alors toute forme fermée sur V est exacte.
Une variété est contractile si elle peut être déformée continuement en un
point. Plus formellement, si il existe une application Φ de [0, 1] × V dans V
telle que
Φ(1, p) = p
∀p ∈ V
Φ(0, p) = p0
où p0 est un point fixe de V .
Notons it la famille d’injections it : V → [0, 1] × V définies par it (p) = (t, p).
Si ω est une k-forme fermée sur [0, 1]×V , alors i?1 ω −i?0 ω est une forme exacte
sur V . En effet on a :
ω = ω + θ ∧ dt
où ω et θ peuvent être vus comme des formes sur V , dépendant du paramètre t,
et
∂ω
+ dθ ∧ dt = 0
dt ∧
∂t
car
dω = 0 .
D’autre part, comme i?t ω = ω(t) (où nous avons explicitement indiqué la
dépendance de ω en t), nous avons :
i?1 ω − i?0 ω = ω(1) − ω(0)
Z 1
∂ω
=
dt
0 ∂t
Z 1
k+1
dθdt
= (−1)
0
Z 1
k+1
= d (−1)
θdt
.
0
Si V est une variété contractile, la composition des applications Φ ◦ i1 est
l’identité sur V et Φ ◦ i0 est l’application constante sur p0 .
1
Cette dernière assertion résulte de la preuve qui suit, car sur une variété V n tout point
possède un voisinage difféomorphe à une boule unité de Rn , laquelle est contractile.
2.5. THÉORÈME DE POINCARÉ
39
Il en résulte d’une part que :
ω = (Φ ◦ i1 )? ω = i?1 (Φ? ω)
0 = (Φ ◦ i0 )? ω = i?0 (Φ? ω)
et d’autre part que si ω est une forme fermée sur V , Φ? ω est une forme fermée
sur [0, 1] × V et en conséquence exacte d’où :
ω = i?1 (Φ? ω) − i?0 (Φ? ω)
est une forme exacte car la différentielle extérieure commute avec le pull-back.
Remarquons que si l’application Φ est connue, la démonstration précédente
fournit un procédé explicite d’intégration de la forme ω.
40
CHAPITRE 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EXTÉRIEUR
Chapitre 3
Intégration des formes
différentielles
On définit en analyse – au moyen d’un calcul de limite relativement délicat –
l’intégrale curviligne
Z
(3.1)
I = f (x, y)dx + g(x, y)dy
C
le long d’un chemin C dans R2 . Lorsque ce chemin est différentiable et
est donné par les équations paramétriques x = C 1 (t), y = C 2 (t) où t varie
sur l’intervalle [0, 1] le calcul de l’intégrale curviligne se ramène à celui de
l’intégrale de Riemann :
Z 1
1
2 1
1
2
2
˙
(3.2)
I=
f C (t), C (t) C (t) + g C (t), C (t) C˙ (t) dt .
0
D’un point de vue géométrique, nous pouvons interpréter ce résultat comme
suit. Au champ de force F~ = f ∂x + g∂y défini sur R2 , on associe une 1-forme
de travail élémentaire dT = f dx + gdy. Le calcul du travail de la force F~ le
long du chemin C défini par l’application de R dans R2
C : [0, 1] → R2 : t 7→ C 1 (t) · C 2 (t)
(3.3)
s’obtient en interprétant t comme une coordonnée sur R, en calculant le
pull-back de dT sur R :
C ? (dT ) = p dt
41
(3.4)
42 CHAPITRE 3. INTÉGRATION DES FORMES DIFFÉRENTIELLES
et en intégrant finalement p sur l’intervalle [0, 1]. Cet exemple est à la base
de généralisations conduisant au concept d’intégration sur des variétés. Pour
cela, il nous faut introduire plusieurs définitions.
Un k-cube (unité) est le produit cartésien de k copies du segment [0, 1];
un zéro-cube étant le singleton 0. Si (t1 , . . . , tk ) définissent un système de
coordonnées sur Rk et ω = f dt1 ∧· · ·∧dtk est une k-forme différentielle définie
sur le k-cube [0, 1]k , l’intégrale de ω sur ce k-cube est définie au moyen de
l’intégrale de volume usuelle sur le cube unité :
Z
Z
ω=
f (t1 , . . . , tk )dt1 · · · dtk
.
(3.5)
[0,1]k
[0,1]k
Lorsque t1 , . . . , tk sont des coordonnées cartésiennes, le calcul de l’intégrale
de ω sur le cube unité se ramène à celui d’une intégrale répétée. De façon
générale, si (τ 1 , . . . , τ k ) sont des coordonnées globales sur [0, 1]k définissant
la même orientation que (t1 , . . . , tk ) – c’est-à-dire telles que le déterminant
∂ti
de la matrice jacobienne ∂τ
j soit positif – alors on vérifie aisément que la
définition de l’intégrale d’une k-forme est indépendante de la paramétrisation
utilisée. En effet soit ti = T i (τ j ) l’application de Rk dans Rk définissant la
transformation des coordonnées τ j en les coordonnées ti . On obtient, à partir
des formules de changement de coordonnées, pour les formes différentielles :
ω = f (t1 , . . . , tk )dt1 ∧ · · · ∧ dtk
∂t1
∂tk i1
dτ ∧ · · · ∧ dτ ik
= f T i (τ j )
·
·
·
ik
∂τ i1 ∂τ
∂t`
i j
= f T (τ ) det
dτ 1 ∧ · · · dτ k
∂τ k
= f˜(τ j )dτ 1 ∧ · · · ∧ dτ k
(3.6)
et d’autre part, à partir des formules de changement de variables d’une
intégrale multiple, on a également :
`
Z
Z
∂t
i
1
k
i j
f (t )dt . . . dt =
f (T (τ )) det
dτ 1 . . . dτ k
(3.7)
k
∂τ
k
k
[0,1]
[0,1]
`
∂t
où det ∂τ
est le jacobien de la transformation, lequel est obtenu à partir
k
de la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne.
43
L’intégrale de formes différentielles sur les variétés se construit au moyen
d’un pull-back qui ramène le problème à celui d’une intégration sur un kcube. Nous définissons un k-cube singulier sur une variété V n comme étant
une application différentiable C d’un k-cube dans la variété. Ici une remarque
s’impose : un k-cube est une application de [0, 1]k → V n . Ce n’est pas une
sous-variété de V n , même si on convient de ne regarder que l’image de [0, 1]k
dans V n ! Le qualificatif singulier est là pour rappeler que l’image de [0, 1]k
dans V n peut présenter des points doubles et autres “pathologies” qui font
qu’en général ce n’est pas une sous-variété. Si C est un k-cube singulier et ω
n
une
R forme différentielle sur V , alors l’intégrale de ω sur C, que nous noterons
ω est définie au moyen du pull-back de ω par l’application C comme
C
Z
Z
C ? (ω) .
(3.8)
ω=
[0,1]k
C
Dans le cas particulier où k = 0, on posera :
Z
ω = ω[C(0)]
(3.9)
C
ce qui a un sens car C(0) est l’image de 0 dans V n et ω est une fonction (une
zéro-forme) sur V n . L’intérêt de cette définition est qu’elle est indépendante
de la paramétrisation utilisée. Autrement dit si ϕ est un difféomorphisme de
[0, 1]k sur [0, 1]k conservant l’orientation, les intégrales de ω sur C et sur C ◦ ϕ
sont identiques. En effet, on a à considérer les applications suivantes :
C : [0, 1]k → V n
ϕ : [0, 1]k → [0, 1]k
et
det dϕ > 0
C ◦ ϕ : [0, 1]k → V n
d’où
Z
Z
ω =
[0,1]k
C◦ϕ
Z
=
?
Z
(C ◦ ϕ) ω =
Z
?
C (ω) =
ϕ[0,1]k
ϕ? (C ? (ω))
Z
?
C (ω) = ω
[0,1]k
[0,1]k
(3.10)
C
où la troisième égalité résulte de la règle de changement de variables d’une
intégrale k-uple et les autres des définitions précédentes.
44 CHAPITRE 3. INTÉGRATION DES FORMES DIFFÉRENTIELLES
Remarque : Pourquoi est-on amené à intégrer des formes différentielles et
non des fonctions. Il peut être tentant, à partir d’une fonction f :
V n → R de définir
Z
Z
?
f ◦C
f=
.
[0,1]k
C
Mais ceci n’a pas de sens car le membre de droite de cette
R “égalité”
dépend de la paramétrisation choisie. En général, on a : [0,1]k f ◦ C =
6
R
f ◦C◦ϕ .
[0,1]k
3.1
Intégration sur les variétés
Souvent l’on est amené à considérer des intégrales de surfaces ou volumes,
de fonctions sur des (sous)-variétés. Quelle est la signification de ces objets ?
Dans un premier temps, il faut se donner sur une variété V n une n-forme
η qui sera appelée la forme élément de volume1 . Elle est souvent notée
dv, mais ici encore il convient de remarquer qu’elle n’est pas en général la
différentielle d’un autre objet ! La forme de volume étant donnée, l’intégrale
d’une fonction f est l’intégrale de la n-forme différentielle f η.
L’intégrale d’une n-forme ω sur une variété V n est bien définie lorsque
V n est orientable et ω est à support compact. Pour cela, on utilise le résultat
suivant :
Soit V n une variété et U = {Ui } un recouvrement ouvert de V n .
Il existe un autre recouvrement V = {Vi } et une famille Ψ = {ϕi }
de fonctions C ∞ vérifiant les propriétés suivantes :
1. Tout point de V n possède un voisinage ne rencontrant qu’un
nombre fini d’ouverts de V.
2. Tout ouvert de V est contenu dans un ouvert de U.
P
3. ∀iϕi ≥ 0 et ∀p ∈ V n
ϕi (p) = 1.
i
4. Le support de ϕi est inclus à Vi .
1
Les considérations conduisant à la définition de η peuvent être métriques ou autres.
3.1. INTÉGRATION SUR LES VARIÉTÉS
45
Remarquons qu’en chaque point de V n seul un nombre fini de
fonctions de la famille sont non nulles. Cette famille de fonctions
est appelée une partition de l’unité subordonnée au recouvrement
U.
Admettons ce résultat. Au moyen de cartes locales, il est facile de construire
autour de chaque point p de V n un ouvert U contenu dans l’image d’un
n-cube singulier, ce en préservant l’orientation. Ces ouverts constituent un
recouvrement de V n . Au moyen d’une partition de l’unité {ϕi } subordonnée
à ce recouvrement, on définit :
Z
XZ
ω=
ϕi ω
(3.11)
Vn
i
Ci
où Ci est un k-cube singulier dont l’image contient Vi et donc le support de
ϕi . Cette définition a un sens car
1. Le support de ω étant compact, toutes les sommes considérées sont
finies.
2. La définition est indépendante du choix de la partition de l’unité. En
effet :
• Si le support de ω est inclus à la fois dans les images de chaı̂nes
C1 et C2 , on a :
Z
Z
Z
ω=
ω=
ω
(3.12)
C2 ◦(C2−1 ◦C1 )
C1
C2
pour autant que C1 et C2 puissent être étendus à des difféomorphismes
d’un voisinage de [0, 1]n dans Rn en préservant les orientations.
R
• La définition de V n ω est indépendante du choix de la partition de
l’unité utilisée car si le support de ω est inclus dans l’image d’un
n-cube singulier C, nous savons que l’intégrale est indépendante
du choix du n-cube, pour autant que l’orientation reste préservée.
Dans ce cas, on a :
Z
Z
ω=
ω .
(3.13)
C
Vn
46 CHAPITRE 3. INTÉGRATION DES FORMES DIFFÉRENTIELLES
Nous pouvons donc écrire que :
XZ
XZ
ϕi ω =
i
Ci
i
ϕi ω
.
Vn
D’autre part, si Ψ = {ψα } est une autre partition de l’unité, on
a:
XZ
XZ X
XZ
XZ
ϕi ω =
ϕi ψα ω =
ϕi ψα ω =
ψα ω .
i
Vn
i
Vn
α
i,α
Vn
α
Vn
Lorsque ω n’est pas un support compact, il convient d’examiner
la convergence des sommes et intégrales précédentes.
3.2
Formule de Stokes
Ayant défini les k-cubes singuliers, nous pouvons considérer les sommes
P
formelles finies à coefficients entiers de ces objets :
ai C i (ai ∈ Z), les
i
k-chaı̂nes. L’intégrale d’une k-forme sur une k-chaı̂ne est obtenue en posant
Z
X Z
ω=
ai
ω .
(3.14)
P
ai C i
i
i
Ci
L’intérêt de cette notion tient à la facilité qu’elle offre à l’introduction du
concept de bord. Dans un premier temps, nous allons définir les faces d’un
k
k
k-cube. La i-ème face avant (resp. arrière) I(i,1)
(resp. I(i,0)
) d’un k-cube
(1 ≤ i ≤ k) est une application d’un (k − 1)-cube dans le k-cube obtenue
comme suit. Si x = (x1 , . . . , xk−1 ) est un (k−1)-uple de nombres représentant
un point de [0, 1]k−1 , la i-ème face avant est l’application :
k
I(i,1)
: [0, 1]k−1 → [0, 1]k x = (x1 , . . . , xk−1 ) 7→ (x1 , . . . , xi−1 , 1, xi+1 , . . . , xk−1(3.15)
)
la i-ème face arrière étant l’application :
k
I(i,0)
: [0, 1]k−1 → [0, 1]k x = (x1 , . . . , xk−1 ) 7→ (x1 , . . . , xi−1 , 0, xi+1 , . . . , xk−1(3.16)
)
3.2. FORMULE DE STOKES
47
La face (i, α) – Face avant si α = 1, face arrière si α = 0 – d’un k-cube
singulier C est donnée par :
k
Ci,α = C ◦ I(i,α)
: [0, 1]k−1 → V
.
(3.17)
Il s’agit donc de (k − 1)-cubes singuliers. Le bord C d’un k-cube singulier C
est la (k − 1)-chaı̂ne :
∂C =
k X
X
(−1)i+α C(i,α)
(3.18)
i=1 α=0,1
lorsque k ≥ 0. Si k = 0, on pose ∂C = 1.
P
Le bord d’une k-chaı̂ne
ai Ci est obtenu par linéarité :
i
∂
X
i
ai Ci =
X
ai ∂Ci
.
(3.19)
i
Théorème : Le bord d’un bord est nul :
∂2 = 0 .
(3.20)
Démonstration : Il suffit de démontrer le résultat pour les k-cubes singuliers.
Soit x ∈ [0, 1]k−2 , lorsque i ≤ j ≤ k − 1 la face de face :
k−1
k
k
I(i,α)
= I(i,α)
◦ I(j,β)
: [0, 1]k−2 → [0, 1]k
(j,β)
qui applique le point x = (x1 , . . . , xk−2 ) sur :
(x1 , . . . , xi−1 ,
α
,...,
β
, xj , . . . , xk−2 )
|{z}
|{z}
i-ème position
(j+1)-ème position
k
est égale à I(j+1,β)
.
(i,α)
Cette égalité s’étend aux k-cubes singuliers C :
C(i,α) (j,β) = C(j+1,β) (i,α) si i ≤ j ≤ k − 1 .
(3.21)
48 CHAPITRE 3. INTÉGRATION DES FORMES DIFFÉRENTIELLES
Finalement le bord du bord de Ci peut s’écrire :
∂ 2 Ci =
k X
X
(−1)i+α
i=1 α=0,1
=
k−1 X
X
(j,β)
j=1 β=0,1
X X
j
k−1 X
X
α=0,1 β=0,1
j=1 i=1
+
(−1)j+β C(i,α)
k−1 X
k
X
(−1)i+j+α+β C(i,α)
(j,β)
!
(−1)
i+j+α+β
C(i,α)
(j,β)
j=1 i=j+1
=
k−1 X
k−1
X
(−1)i+j+α+β C(j+1,β) (i,α)
X X
α=0,1 β=0,1
+
k−1 X
k−1
X
i=1 j=i
!
(−1)j+1+i+β+α C(j+1,β)
(i,α)
i=1 j=i
= 0
(3.22)
La première des égalités précédentes résulte de la définition même de ∂ [éqs.
(3.18) et (3.19)], la seconde de la permutation de l’ordre des sommations
sur i et j et la décomposition du domaine de l’indice de sommation i en
[1, j] et [j + 1, k], la troisième égalité résulte à la fois de la permutation de
l’ordre des sommations et de l’application de la formule (3.21) à la première
double somme partielle et l’échange des noms des indices (j, β) et (i, α) dans
la seconde. Enfin le résultat nul tient à la différence de signe entre les deux
doubles sommes partielles, sinon identiques, apparaissant lors de la troisième
égalité.
Théorème de Stokes : Si C est une k-chaı̂ne et ω une (k − 1)-forme
différentielle extérieure sur V n :
Z
Z
dω =
ω
(3.23)
C
∂C
Démonstration : Compte tenu des définitions précédentes, il suffit de considérer le cas particulier où V n = Rk , C = I k est un k-cube de Rn et
ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxk une (k − 1)-forme.
3.2. FORMULE DE STOKES
49
On a2
Z
k?
ci ∧ · · · ∧ dxk )
I(j,α)
(f dx1 ∧ · · · ∧ dx
[0,1]k−1
(
=
si i 6= j
(3.24)
k
c
i
f (x , . . . , α, . . . , x )dx . . . dx CA . . . dx si i = j
[0,1]k−1
0
R
1
k
1
D’autre part
Z
k X
X
Z
ω =
∂I k
k?
ci ∧ · · · ∧ dxk
(−1)j+α I(j,α)
f dx1 ∧ · · · ∧ dx
[0,1]k−1 j=1 α=0,1
Z
i+1
= (−1)
ci . . . dxk
f (x1 , . . . , 1, . . . , xk )dx1 . . . dx
[0,1]k−1
+(−1)i
Z
ci . . . dxk
f (x1 , . . . , 0, . . . , xk )dx1 . . . dx
[0,1]k−1
Z
∂f 1
(x , . . . , xk )dx1 . . . dxi . . . dxk
= (−1)
i
∂x
k
[0,1]
Z
cj ∧ · · · ∧ dxk
I k? df ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dx
=
k
Z[0,1]
dω
=
i+1
(3.25)
Ik
Aussi en général
Z
Z
Z
Z
?
?
C dω =
dC ω =
dω =
C
2
Ik
Ik
∂I k
?
Z
C ω=
ω
.
(3.26)
∂C
Nous conviendrons de noter durant les calculs suivants l’absence du facteur dxi dans
ci .
un produit extérieur de différentielles par dx
50 CHAPITRE 3. INTÉGRATION DES FORMES DIFFÉRENTIELLES
Chapitre 4
Groupes à 1 paramètre de
transformations
4.1
Dérivée de Lie
Un groupe (global) à 1 paramètre de difféomorphismes sur une variété V
consiste en une application C ∞ de
R × V → V | (t, x) 7→ φt (x)
(4.1)
où les φt sont des difféomorphismes de V tels que
φt ◦ φs = φt+s
et φ0 = Id .
(4.2)
Pour certaines questions ont est amené à se restreindre à des transformations
locales, ce de la façon suivante : on considère une famille φt de transformations telles que pour chaque point p ∈ V , il existe un voisinage U de p et
un intervalle ouvert Ip de R, contenant l’origine 0, tels que φ soit une application C ∞ de Ip × U → V , φ0 = Id et φt ◦ φs = φt+s lorsque les deux
membres de cette dernière égalité sont définis. Dans ce cas, bien que cette
famille de transformations ne définisse pas en général un groupe, nous parlerons de groupe local (de transformations locales). La donnée d’un groupe
~ sur V au moyen de la
local permet de construire un champ de vecteurs X
51
52CHAPITRE 4. GROUPES À 1 PARAMÈTRE DE TRANSFORMATIONS
relation1 :
~ p (f ) = d f [φt (p)]
X
dt
(4.3)
t=0
que nous noterons encore
d
φt (p)
dt
t=0
~p
=X
.
(4.4)
Ce champ de vecteurs est appelé le générateur infinitésimal du groupe local
à 1 paramètre φt .
Inversement, la donnée d’un champ de vecteurs sur V permet de construire
un groupe local de transformation par intégration du système différentiel
(4.4). En coordonnées locales, ce système s’écrit :
dxα
= X α (xβ ) .
dt
(4.5)
Si xαp sont les coordonnées du point p, la solution X α (t) de ce système,
vérifiant la condition initiale X α (0) = xαp définit un groupe local de transformations par la relation :
xαφt (p) = X α (t) .
(4.6)
Les transformations de ce groupe local sont notées :
~
φt (p) = exp tX(p)
,
(4.7)
~ en p. Par chaque point p
et appelées exponentielles du champ de vecteurs tX
de V passe une et une seule courbe φt (p). Ces courbes définissent des sousvariétés de dimension 1 de V : ce sont les orbites du groupe de transformations. Il résulte du théorème de Cauchy d’existence et unicité que ces
transformations définissent un groupe local et vérifient en particulier la relation :
~ exp sX(p)
~
~
exp tX
= exp(t + s)X(p)
.
(4.8)
lorsque |t| et |s| sont suffisamment petits.
1
~ p est la valeur du champ X
~ au point p.
Où X
4.1. DÉRIVÉE DE LIE
53
Remarques : Si il existe un intervalle ouvert I inclus dans tous les intervalles
Ip , alors {φt } définit un groupe global à 1 paramètre de difféomorphismes car
nous pouvons écrire :
t = N + τ
(4.9)
avec et τ appartenant à I et poser :
φt = φτ ◦ φ ◦ · · · ◦ φ
|
{z
}
.
(4.10)
N f acteurs
La transformation φt ainsi obtenue ne dépend pas des valeurs de et τ
satisfaisant à l’équation 4.9.
• Si V est compact, tout groupe local est global. Ceci résulte immédiatement
de la possibilité d’extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement
d’ouverts.
• Sur une variété non compacte, il existe des transformations locales
n’engendrant pas de groupe de transformations globales. Ainsi sur R, en
~ = x2 ∂x définit des
la coordonnée cartésienne x, le champ de vecteurs X
transformations purement locales.
Nous dirons d’une fonction f qu’elle est invariante sous l’action du groupe
de transformations φt si et seulement si elle garde une valeur constante sur
les orbites du groupe, c’est-à-dire si et seulement si :
f (φt (p)) = f (p)
(4.11)
quels que soient t et p, pour autant que φt (p) soit défini. Cette condition
d’invariance peut encore s’écrire :
φ?t f = f
.
(4.12)
~ est invariant si et seulement
De même nous dirons qu’un champ de vecteur Z
si (sous les mêmes conditions)
~p) = Z
~ φt (p)
φt? (Z
.
(4.13)
Un champ de 1-forme θ sera invariant si et seulement si2 :
φ?−t (θp ) = θφt (p)
2
Rappelons que φt? : Tp → Tφt (p) et φ?−t : Tp? → Tφ?t (p) car φ−t [φt (p)] = p.
(4.14)
54CHAPITRE 4. GROUPES À 1 PARAMÈTRE DE TRANSFORMATIONS
Enfin, un champ tensoriel K quelconque sera invariant si son image (résultant
de transport de p en φt (p) par φt? et φ?−t des facteurs dont il est le produit)
coı̈ncide avec sa valeur au point φt (p)
φ0t (K) = Kφt (p)
.
(4.15)
La non-invariance d’un objet se mesure en calculant son taux de variation,
sa dérivée. Ici nous parlerons de dérivée de Lie du champ tensoriel K suivant
~ – générateur infinitésimal des transformations φt –
le champ de vecteurs X
comme
Kφt (p) − φ0t (K)
LX~ K = lim
t→0
t
(4.16)
lorsque cette limite existe.
En passant à des coordonnées locales, on obtient avec X α (0) = xαp :
• Pour une fonction
f (X α (t)) − f (X α (0))
= X α ∂α f
t→0
t
LX~ f = lim
xγp
.
• Pour un champ de vecteurs, en remarquant que :
X α (t) = xαp + tX α (xβp ) + O(t2 )
(4.17)
et que
∂X α (t)
∂xβp
= δβα + t
∂X α
∂x
xγp
+O(t2 )
~ φt (p) − φt? (Z
~p)
Z
t→0
t
1
∂X α (t) β γ
α
γ
= lim
Z (X (t)) −
Z (X (0)) ∂~α
t→0 t
∂xβp
α
∂X α β
p ∂Z
=
X
−
Z
∂~α .
∂xβ
∂xβ
xγp
(4.18)
~ = lim
LX~ Z
(4.19)
4.1. DÉRIVÉE DE LIE
55
• Pour un champ de covecteurs, on a de même :
θφ (p) − φ?−t (θp )
LX~ θ = lim t
t→0
t
∂X β
β ∂θα
=
X
+
θβ
∂xβ
∂xα
xγp
dxα
.
(4.20)
La dérivée de Lie s’étend aux champs de (p, q) tenseurs quelconques. Elle les
applique sur des champs de même nature tensorielle :
?p
?p
LX~ : T?q
→ T?q
.
(4.21)
Elle commute avec la contraction :
~ = hL ~ θ, Zi
~ + hθ, L ~ Zi
~
LX~ hθ, Zi
X
X
(4.22)
et vérifie la règle de Leibnitz vis-à-vis du produit tensoriel :
LX~ t ⊗ q = (LX~ t) ⊗ q + t ⊗ (LX~ q) .
(4.23)
La dérivée de Lie de k-formes différentielles vérifie deux propriétés importantes :
1. Elle commute avec la différentiation extérieure :
LX~ d = dLX~
.
(4.24)
Ceci est une conséquence immédiate de la même propriété de commutation du pull-back.
2. Si ω est une k-forme, on a :
~ + i(X)dω
~
LX~ ω = di(X)ω
(4.25)
~
~
Preuve : Notons DX l’opérateur di(X)+i(
X)d.
Cet opérateur commute avec
la différentiation extérieure, est une application de Λk dans Λk et vérifie la
règle de Leibnitz
~ ω + i(X)df
~
DX~ (f ω) = di(X)f
ω
~ + f di(X)ω
~
= df ∧ i(X)ω
~
~ + f i(X)dω
~
+i(X)df
∧ ω − df ∧ i(X)ω
~ )ω .
= f DX~ (ω) + X(f
56CHAPITRE 4. GROUPES À 1 PARAMÈTRE DE TRANSFORMATIONS
Enfin si ω (resp. σ) est une k-forme (resp. `-forme) différentielle quelconque
~ ∧ σ] + i(X)d[ω
~
DX~ (ω ∧ σ) = d[i(X)ω
∧ σ]
~
~
= d[(i(X)ω)
∧ σ] + (−1)k d[ω ∧ (i(X)σ)]
~
+i(X)(dω
∧ σ + (−1)k ω ∧ dσ)
~
~ ∧ dσ
= d(i(X)ω)
∧ σ + (−1)k−1 i(X)ω
~ + (−1)2k ω ∧ di(X)σ
~
+(−1)k dω ∧ i(X)σ
~
~
+(i(X)dω)
∧ σ + (−1)k+1 dω ∧ (i(X)σ)
~
~
+(−1)k (i(X)ω)
∧ dσ + (−1)2k ω ∧ (i(X)dσ)
= DX~ (ω) ∧ σ + ω ∧ DX~ (σ)
Il en résulte que LX~ − DX~ s’annule sur les fonctions, les différentielles de
fonctions (car LX~ et DX~ commutent avec d) et sur les produits extérieurs de
ces objets aussi ils coı̈ncident (sur Λ).
Remarquons enfin que la dérivée de Lie d’un champ de vecteur Y~ suivant
~ coı̈ncide avec le crochet de Lie de ces deux champs (cf. section
le champ X
1.6) :
~ Y~ ] .
LX~ Y~ = [X,
(4.26)
Considérons les deux familles de transformations locales φt et ψs engendrées
~ et Y~ . En général, ces deux familles de
respectivement par les champs X
transformations ne commutent pas. Si f est une fonction, on aura :
f [φt (ψs (p)] 6= f [ψs (φt (p)]
Si nous développons dans un système de coordonnées locales la différence
entre ces deux expressions, nous obtenons au second ordre
~ Y~ ]p (f )
f [φt (ψs (p))] − f [ψs (φt (p))] == ts[X,
(4.27)
~ Y~ ] mesure la séparation entre les points φt (ψs (p))
En d’autres termes, ts[X,
et ψs (φt (p)) c’est-à-dire la non-commutativité des transformations φt et ψs ,
ce qui se traduit par la propriété générale :
LX~ LY~ − LY~ LX~ = L[X,
~ Y
~]
4.1. DÉRIVÉE DE LIE
57
étendant aux tenseurs quelconques la même relation qui, appliquée aux fonctions, a servi à introduire le crochet de Lie.
Il résulte en particulier de cette discussion que si l’on souhaite, à partir
~ i construire un système de code deux ou plusieurs champs, de vecteurs X
~ i soient les vecteurs tangents à certaines
ordonnées telles que ces champs X
lignes des coordonnées, il faut nécessairement que ces champs obéissent à la
condition d’intégrabilité :
~ i, X
~ j] = O
~
[X
∀i, j
.
Exercices : Vérifiez que sur Λ
~ Y~ ] .
LX~ i(Y~ ) = i(Y~ )LX~ + i[X,
où i(Y~ ) : Λk → Λk−1 est la contraction avec le vecteur Y~ , opération linéaire
transformant une k-forme ω en une (k-1)-forme i(Y~ )ω suivant la formule :
~ 1, · · · , X
~ k−1 ) = ω(Y~ , X
~ 1, · · · , X
~ k−1 )
i(Y~ )ω(X
et annulant les 0-formes.
Vérifier que
d ?
φ (ω)|t
dt t
= φ?t (LX~ ω) où
d
φ (p)|t
dt t
~ t (p)).
= X(φ
58CHAPITRE 4. GROUPES À 1 PARAMÈTRE DE TRANSFORMATIONS
Partie II
Formulation géométrique de la
mécanique hamiltonienne
59
Chapitre 5
Variétés symplectiques
5.1
Définitions
Une variété symplectique (V, ω) est une variété V sur laquelle est définie
une 2-forme différentielle ω fermée et non dégénérée, c’est-à-dire telle que
~ 7→ X[ =
en chaque point p ∈ V l’application bémol [ : T Vp → T ? Vp : X
~
i(X)ω
définisse un isomorphisme d’espaces vectoriels entre l’espace tangent
et l’espace cotangent.
L’isomorphisme inverse est appelé l’application dièze et est noté #.
En coordonnées, on a les formules :
Xα[ = X β ωβα
det ωαβ 6= 0
ωαβ Λβγ = δαγ
α
θ#
= Λαβ θβ
(définition de l’application bémol),
(ω est invertible),
(Λ est l’inverse de ω),
~ [ )# = −X).
~
(définition de l’application dièze, remarquez que (X
La dimension d’une variété symplectique est paire, notons-la 2n. Une variété
symplectique est toujours orientable, il suffit de prendre comme 2n-forme
élément de volume :
Ω = |ω ∧ ·{z
· · ∧ ω} .
n f acteurs
61
62
5.2
CHAPITRE 5. VARIÉTÉS SYMPLECTIQUES
Un exemple : le fibré cotangent
Soit V une variété et T ? V le fibré cotangent à cette variété. Sur T ? V est
définie une projection, notée π, de T ? V sur V . D’autre part, si P est un point
de T ? V , il lui est associé une 1-forme σP au point π(P ) et en conséquence la 1forme π ? (σ) appartenant à l’espace cotangent au point P du fibré cotangent :
π ? (σ) ∈ T ? (T ? V )P . Si (q α , pβ ) sont des coordonnées locales au voisinage de
P , telles que q α soient des coordonnées sur V au voisinage de π(P ), on a
dans ces coordonnées :
σP = pα dq α ∈ T ? Vπ(P )
et
π ? (σP ) = pα dq α ∈ T ? (T ? V ) .
Remarquons que σP ne définit pas une 1-forme différentielle sur V alors que
π ? (σP ) est une 1-forme différentielle sur T ? V . Nous noterons cette dernière
σ. Elle permet de construire, par différentiation extérieure, une 2-forme :
ω = dσ
,
fermée (car exacte) et régulière car en les coordonnées locales précédentes,
elle s’écrit :
ω = dpα ∧ dq α .
La matrice de ses composantes en ces coordonnées et donnée par :
0 −Id
ωαβ =
.
Id 0
En conclusion le fibré cotangent à une variété est toujours orientable car il
possède naturellement une structure de variété symplectique.
5.3
Théorème de Darboux (suivant Moser)
Si (V, ω) est une variété symplectique, au voisinage de chaque point, il existe
un système de coordonnées (xα , yβ ) telles que localement :
ω = dxα ∧ dyα
.
(5.1)
5.3. THÉORÈME DE DARBOUX (SUIVANT MOSER)
63
Démonstration : Le résultat annoncé étant local, nous pouvons considérer le
problème – via un système de coordonnées – dans un voisinage de l’origine O
de R2n . Notons 0 ω la 2-forme à composantes constantes dans ces coordonnées
et égale à ω à l’origine. Introduisons d’autre part la famille à 1 paramètre
de 2-formes: t ω = t ω + (1 − t) 0 ω. A l’origine O, on a t ω(O) = 0 ω(O).
Le déterminant de t ω étant une fonction continue des coordonnées, il existe
pour chaque valeur de t une boule ouverte de rayon ρ(t) > 0 centrée en O
dans laquelle t ω est invertible et, en conséquence de la compacité du segment
[0, 1], il existe une boule ouverte centrée en l’origine O dans laquelle t ω est
invertible pour toutes les valeurs de t comprises entre zéro et un (bornes
inclues).
Le théorème de Poincaré assure que sur cette boule il existe une 1-forme
α telle que ∂ t ω/∂t = 1 ω − 0 ω = dα et pour laquelle nous pouvons supposer
que α(O) = 0. Considérons à présent la famille des champs de vecteurs
~ t = −α#t , c’est-à-dire tels que i(X
~ t )t ω = −α. Les vecteurs de cette famille
X
~ t (O) = ~0 car α(O) = 0), et définissent – sous la
s’annulent à l’origine (X
condition initiale ϕ0 = Id – une famille ϕt de difféomorphismes locaux au
voisinage de l’origine, tels que l’origine en soit un point fixe. Il existe, en
vertu de la continuité des ϕt par rapport à t, une boule ouverte centrée en
l’origine sur laquelle les difféomorphismes sont définis simultanément pour
0 ≤ t ≤ 1. Sur cette boule ouverte, on a :
d ?
∂t ω
ϕt (t ω) = ϕ?t LX~ t t ω + ϕ?t
dt
∂t ~ t )t ω + 1 ω − ω
= ϕ?t di(X
(5.2)
= ϕ?t (−dα + 1 ω − ω)
= 0
Aussi ϕ?1 (1 ω) = ϕ?0 (0 ω) = 0 ω c’est-à-dire que (ϕ1 )−1 est le changement des
coordonnées qui transforme ω en la 1-forme constante 0 ω. Il reste alors
à effectuer une dernière transformation linéaire sur les coordonnées pour
obtenir la forme canonique (5.1) de ω. En effet, nous pouvons toujours
écrire en supposant ω12 non nul (quitte à devoir renuméroter les 1-formes de
64
CHAPITRE 5. VARIÉTÉS SYMPLECTIQUES
base) :
ω = ω1 2 θ1 ∧ θ2 + ω1 3 θ1 ∧ θ3 + · · · + ω1
+ω2 3 θ2 ∧ θ3 + · · · + ω2
2n θ
2
2n θ
1
∧ θ2n
∧ θ2n
+
···
ω2 3 3
ω2 2n 2n
1
=
θ −
∧ ω1 2 θ2 + ω1 3 θ3 + · · · + ω1
θ − ··· −
θ
ω1 2
ω1 2
2n θ
2n
+ ω̃
où ω̃ ne dépend que de θ3 , . . . , θ2n .
Nous pouvons ainsi écrire que :
ω = Θ1 ∧ Θn+1 + ω̃
où ω̃ ne dépend pas de
ω2 3 3
ω2 2n 2n
1
Θ = θ −
θ − ··· −
θ
ω1 2
ω1 2
1
et
Θn+1 = ω1 2 θ2 + ω1 3 θ3 + · · · + ω1
2n θ
2n
et réitérer la procédure sur ω̃. Dans la base des Θk –k = 1, · · · , 2n ainsi
obtenue, on a finalement :
ω = Θ1 ∧ Θn+1 + Θ2 ∧ Θn+2 + · · ·
n
X
=
Θi ∧ Θn+i
i=1
Remarque : La relation (5.2) résulte directement de la définition même de
la dérivée de Lie. Evidemment, elle peut également être établie au moyen
d’un calcul local en coordonnées.
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