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5. Microéconomie et mathématiques
Le « monde » de la concurrence parfaite qui sera le nôtre en première année, est facilement modélisable par des
relations mathématiques. En effet, l’absence de contraintes sociales, qui le caractérise, et l’hypothèse de
rationalité – qui traduit les objectifs des agents – permettent de formaliser simplement les problèmes
microéconomiques avec le langage mathématique.
La finalité du cours n’est pas la maitrise du langage et des calculs mathématique. Il s’agit d’acquérir des
capacités de réflexion microéconomiques1. En d’autres termes, les mathématiques sont, ici, un instrument au
service de la microéconomie.
Afin de simplifier la modélisation, les variables utilisaient par les microéconomistes sont supposées continues.
Ainsi, nous manipulerons des fonctions, à une ou deux variables, dites continues. Elles sont plus faciles à
manipuler notamment pour le calcul des dérivées et les représentations graphiques. Vous remarquerez qu’il y a
un « s » à dérivée. Cela signifie qu’il est, sous certaines conditions, possibles de dériver plusieurs fois une
fonction.
Pourquoi calculer la dérivée d’une fonction ?
Le calcul de la dérivée première permet de connaitre le sens de variation de la fonction.
1er temps : on calcule la dérivée (cf. tableaux ci-dessous) ;
2ème temps : on étudie le signe de la dérivée.
Lorsque la dérivée est positive, la fonction est croissante ;
Lorsque la dérivée est négative, la fonction est décroissante ;
Lorsque la dérivée est nulle, la fonction est stable.
3ème temps : On calcule et on étudie la dérivée seconde.
La dérivée seconde (dérivée de la dérivée) permet de connaitre la « vitesse » à laquelle croit la fonction.
1
L’utilisation des annales vous fera prendre conscience qu’il y a de plus en plus de questions de réflexion qui ne
réclament aucun usage de l’outil mathématique.
Graphe d’une fonction croissante à taux constant.
La dérivée première sera toujours constante quelque
soit x ou la dérivée seconde sera nulle.
( )
( )
Fonction linéaire
Graphe d’une fonction croissante à taux croissant.
La dérivée première est positive et croissante en
fonction de x c’est-à-dire que la dérivée seconde
sera positive.
( )
( )
Fonction convexe
Graphe d’une fonction croissante à taux
décroissant. La dérivée première est positive et
décroissante en fonction de x c’est-à-dire que la
dérivée seconde sera négative.
( )
( )
Fonction concave
Un peu de maths…
Dire que la fonction f est dérivable en un point
( )
(
)
signifie que la limite lorsque x tend vers
existe et qu’elle est finie.
Lorsque c’est le cas, cette limite porte l’appellation de nombre dérivé de la fonction f en
f’( ) :
du quotient
( )
( )
(
)
. Ce nombre est noté
y = f(x)
Interprétation graphique du nombre dérivé
( )
( )
x
Supposons que l’on soit en
et que l’on cherche à savoir si la fonction est croissante ou décroissante.
La dérivée correspond à l’effet d’un accroissement de , à partir de
(
)
( )
( )
(
).
, sur ( ).
c’est-à-dire qu’un accroissement des abscisses entraine un accroissement des ordonnées
On en déduit que
donc la fonction est croissante.
( )
Inversement, si un accroissement des abscisses entraine une diminution des ordonnées alors la fonction est
décroissante.
( )
Supposons maintenant que l’accroissement des abscisses, à partir de
(
(
, soit de plus en plus faible :
)
Si la fonction f est dérivable en
alors la courbe
de la fonction f admet au point (
( )) une
tangente dont l’équation réduite est :
( )(
)
( )
f(x)
( )
)
𝜕
𝜕
x
Rappel des règles relatives au calcul des dérivées
La fonction  est définie sur un intervalle I
Fonction 
Fonction dérivée '
a
0
x
1
xn
n
n xn-1
et n2
x0
x
1
x
n
 x n
1
x2
ln(x)
ex
n
 nx  n -1  
x
1
2
1

x 2

Interprétation
Une fonction constante a une dérivée nulle. La
fonction n’est ni croissante, ni décroissante. Elle
est donc stable ! Une variation de x, n’a pas d’effet
sur f(x).
La dérivée est toujours positive et constante. Cette
fonction sera continuellement croissante sur son
ensemble de définition. Une variation de x aura
toujours le même effet sur f(x).
La dérivée est positive et non constante donc la
fonction est croissante. Une variation de x n’aura
pas toujours le même effet sur f(x).
Idem
n 1
Idem
1
2 x
1
 x 1
x
ex
Idem.
Les fonctions u(x) et v(x) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I
Fonction u(x) et v(x)
Fonction dérivée '
v non nulle sur I
√
u positive sur I
n naturel
u positive sur I
√
Les fonctions à deux variables
Lorsqu’une fonction est dépendante de plus d'une variable
(
), chaque dérivée par rapport à l'une ou
l'autre des variables est appelée une dérivée partielle . Dans le cas d’une fonction à deux variables, il existe deux
dérivées partielles premières et quatre dérivées partielles secondes.
Dérivée partielle première par rapport à x :
𝜕 (
)
(
)
𝜕
Dérivée partielle première par rapport à y :
𝜕 (
)
(
)
𝜕
Le calcul s’effectue en considérant une des deux variables comme un paramètre. Il suffit, donc, d’utiliser les
règles de dérivation énoncées précédemment (Quand on dérive par rapport à x, on considère y comme une
constante et on applique les règles de dérivation des fonctions à une seule variable).
Dérivée partielle seconde par rapport à x :
𝜕 (
) 𝜕 (
)
(
)
𝜕
𝜕
𝜕 (
) 𝜕 (
)
(
)
𝜕
𝜕 𝜕
Dérivée partielle seconde par rapport à y :
𝜕 (
) 𝜕 (
)
(
)
𝜕
𝜕 𝜕
𝜕 (
) 𝜕 (
)
(
)
𝜕
𝜕
Exemple : Une fonction est dite du type « Cobb-Douglas » lorsqu’elle peut s’écrire de la forme :
𝜕 (
𝜕
𝜕 (
(
)
𝜕
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
)
Règles de calcul sur les puissances
1/
par convention.
2/ Une puissance se distribue sur chacun des termes où elle s’applique :
(
)
3/
4/ (
5/
6/
)
( )
(
)