Exercices : Probabilités et Quantification de l'Information

Université de Blida 1 Faculté de Technologie Département d’électronique
Travaux dirigés Master 2 ‘’ST‘’ Codage et Compression du signal
2018/2019
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Théorie des probabilités et quantification de l’information
Exercice N°1
On considère un lot de 35 boules identiques, numérotées de 1 à 35. Quelle est la probabilité
de tirer :
1. une boule portant un numéro pair,
2. une boule portant un numéro impair,
3. une boule portant un numéro strictement supérieur à 5.
Exercice N°2
Dans un échantillon de 1000 patients, on relève 300 personnes malades des poumons
(événement P), 600 personnes malades du cœur (événement C) et, 200 individus souffrant
d’hypertension (événement H).
1. Calculer Card (H76% des patients souffrent d’hypertension ou de maladies
cardiaques,
2. sachant que Card (P et que Card (P=0, calculer Card (P
3. quelle est la probabilité de trouver un patient, souffrant d’hypertension ou de
maladie pulmonaire ?
Exercice N°3
Trois dés sont truqués de sorte que, pour chaque dé, la probabilité de sortir un as est deux
fois plus grande que celle de sortir n’importe quel autre numéro. Quelle est la probabilité de
sortir, sur un lancer des trois dés, 421 ?
Exercice N°4
Trois usines A, B et C, produisent respectivement, 50%, 30% et 20% des moteurs de voitures.
Parmi la production de chacune de ces usines, 5%, 3 % et 2% des moteurs fabriqués sont
défectueux. Calculer la probabilité, pour qu’un moteur défectueux provienne de l’usine A.
Exercice N°5
Un appareil peut être monté avec des pièces de haute qualité (40% des cas) et avec des pièces
ordinaires (60% des cas). Dans le premier cas, sa fiabilité (probabilité de fonctionnement) sur
une durée t est égale à 0.95 ; dans le second, elle est de 0.7. L'appareil a été soumis à un essai
et s'est avéré fiable (fonctionnement sans défaillance sur la durée de référence).
1. Déterminer la probabilité que l'appareil soit composé de pièces de haute qualité.
2. Evaluer la quantité d’information et l’entropie du système résultant.

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Exercice N°6
Dans la classe de 6ème B, 25% des élèves n’ont pas réussi l’épreuve de mathématiques, 15%
celle de chimie, et 10% des élèves n’ont pas réussi en chimie ni en maths. Un élève est choisi
au hasard.
1. S’il n’a pas réussi les maths, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas aussi réussi en
chimie ?
2. Quelle est la probabilité qu’il ait au moins un échec dans les deux branches ? En
déduire la quantité d’information correspondante.
3. S’il n’a pas réussi chimie, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas réussi en maths ?
4. Déterminer la quantité d’information correspondant à chacun des trois cas.
Exercice N°7
Dans une entreprise 1 % des articles produits, sont défectueux. Un contrôle qualité permet
de refuser 95 % des articles défectueux, mais aussi de refuser 2 % des articles acceptables.
1. Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle ?
2. Quelle est la probabilité qu’un article accepté, soit en réalité défectueux ?
3. Déterminer la quantité d’information globale ainsi que, l’entropie correspondante.
Exercice N°8
On s’intéresse à un nouveau standard de télévision TBD : très basse définition pour les
applications militaires. L’image produite est en couleurs. Chaque pixel, est défini par l’une des
trois composantes, R, V, B. On a mesuré sur une grande série d’images, la répartition en
probabilités des trois couleurs ; P(R)=
Partie A
1. Quelle est la quantité d’information associée à chacune des trois couleurs ?
2. Quelle est l’entropie de la source ?
3. Quel est le codage optimal d’un pixel ?
Partie B
La transmission a lieu dans un environnement très bruité. La matrice de transmission est
ainsi définie : soit X le symbole émis et Y le symbole reçu, appartenant chacun à l’alphabet.
P(Y/X)= si Y=X, sinon.
1. Quelle est la matrice de réception P(X/Y), donnant pour chaque symbole reçu, la
probabilité du symbole émis ?
2. Calculer l’entropie de la source après la réception H(X/Y).

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Exercice N°10
On souhaite jouer au lancé de dé avec pour unique moyen, une pièce de monnaie. On va
donc chercher à coder un dé non pipé à 6 faces avec une pièce non pipée à 2 faces.
1. Quelle est l’entropie d’un dé ?
2. Proposer un codage du dé.
3. Calculer la longueur moyenne de ce codage.
4. Ce codage, est-il optimal ?