Telechargé par bouhrara farouk

cours MP

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1 O2
vr = dOdt2 M R2 et ve = dOdt
+
R1
ωR2 /R1 ∧ O2 M .
aa2 = ar + ae + ac avec ae =
ωR2 /R1
d O1 O2
∧ O2 M +
dt2 R1 +
dt
R1
ωR2 /R1 ∧(ωR2 /R1 ∧O2 M ) et ac =
2ωR2 /R1 ∧ vr
– Trièdre de Frénet. (T, N, T ∧ N )
et Nρ = dT
avec T = dOM
ds
ds où
ρ est le rayon de courbure. Dans
cette base on a : v = ds
dt T et
2
2
a = ddt2s T + vρ N
Condensé de cours MP
Bouhrara.Farouk
10 juin 2018
Le complexe associé à x est noté x.
La valeur moyenne de x est notée x
ou < x >.
Lorsque la lettre i est déjà utilisée,
on note j le nombre complexe tel que
j 2 = −1.
Quand la situation est sans ambiguité p, n, m sont des entiers.
Pour une surface fermée les vecteurs surface sont orientés de l’intérieur vers l’extérieur.
Une grandeur est dite uniforme
lorsqu’elle ne dépend pas des variables
d’espace.
Une grandeur est dite constante
lorsqu’elle ne dépend pas de la variable
temporelle.
1
– RFD.Fext→M = dp
dt
O
– TMC. MF,O = −vO ∧ p + dσ
dt
[Référentiels]
– Référentiel Galiléen. Référentiel
dans lequel la RFD est valable
(plus exactement tel que le mouvement de tout point matériel
isolé soit rectiligne et uniforme).
Tous les référentiels galiléen sont
en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux
autres.
– Référentiel non galiléen. Dans
ce référentiel la RFD s’écrit :
Fext→M + Fie + Fic = mar avec
Fie = −mae et Fic = −mac
[Forces centrales]
– Champ de forces centrales.
Champ tel que f = f (r)ur .
Le mouvement est plan (σ =
cte et σ0 = mr2 dθ
= C).
dt
Loi des Aires : vecteur surface
dS = 21 r ∧ dr = 12 r2 dθuz d’où :
dS
1 2 dθ
dt = 2 r dt = cte. Le mouvement est conservatif (f dérive
d’une énergie potentielle) et on
a (conservation de l’énergie) :
1
dr 2
2 dθ 2
2 m(( dt ) + r ( dt ) ) + Ep (r) =
E = cte soit avec
la loi des aires :
σ02
1
dr 2
m(
)
+
+
Ep (r) = E. Ce
2
2
dt
2mr
qui est formellement équivalent
à un mouvement 1d d’équation
2
E = 21 m dr
dt + Epef f (r).
– formules de Binet. on pose u = 1r
Mecanique
1.1
Point Matériel
– Grandeurs cinématiques. Vitesse
de M dans (R) : v = dOM
dt R , accélération de M dans (R) : a =
d2 OM
dt2 R , Abscisse curviligne : s
définie sur une courbe orientée
munie d’une origine.
– Grandeurs cinétiques. Masse,
quantité de mouvement du point
M, de masse m, de vitesse v :
p = mv, moment cinétique par
rapport à O : σO = OM ∧ p
– Moment dynamique d’une force
par rapport à un point. MF,O =
OM ∧ F .
– Changement de référentiel. va =
vr + ve avec : va = dOdt1 M R1 ,
et on a v 2 = C 2 (u2 +
2
a = −C 2 u2 (u + ddθu2 )ur .
[Planètes]
1
du 2
dθ )
et
k
m
– On a ma = − GM
r 2 ur = − r 2 ur ,
2
ce qui donne r = k(1+emC
cos(θ+φ)) .
Mouvement elliptique (e < 1) :
p
,
on se ramène à r = 1+e cos(θ)
p
demi grand axe a = 1−e2 , E =
k
. Mouvement hyperbolique
− 2a
2
p
(e > 1) : r = ± 1+e cos(θ)
, p = ba ,
e = ac .
– Vecteur excentricité. A = v∧σ
k −
ur . C’est un vecteur constant.
2
–
[Oscillateurs]
– Oscillateurs 1d. Mouvements dé2
crits par l’équation : 12 m( ds
dt ) +
Ep (s) = cte = E où s est
un paramêtre du mouvement.
La résultante des forces dérive
alors d’une énergie potentielle :
f = −∇Ep et donc δWf =
−dEp . Remarquons que cette
équation peut s’intégrer : dt =
± √ 2 ds
–
–
m (E−Ep (s))
– Equilibre. Les positions d’équidE
libre sont telles que : dsp = 0 ; si
d2 Ep
ds2
d2 Ep
ds2
> 0 l’équilibre est stable, si
–
< 0 l’équilibre est instable.
– Petites oscillations. Au voisinage
d’une position d’équilibre stable,
s0 on a : Ep (s) ≈ Ep (s0 ) + (s −
d2 Ep
ds2 s0
d2 E
1
2 2
Ep (s0 ) + 2 (s − s0 ) k car ds2p
2
0. Comme 12 m ds
dt + Ep = E
s0 )
dEp
ds s0
+ 12 (s − s0 )2
=
>
=
cte, on a donc en posant x =
2
s − s0 , ddt2x + ω 2 x = 0 : c’est
l’équation d’un oscillateur harmonique à une dimension de pulk
sation ω = m
.
– Oscillateurs 2d. Points soumis a
des forces du type f = −krur . Le
mouvement est à force centrale
donc plan et projeté sur une base,
il donne pour chaque coordonnée
une équation d’oscillateur 1d.
– Oscillateur complets. C’est une
association en série de N oscillateurs. Pour N masses m reliées par des ressorts de rigidité
1.2
k on a : ∀n ∈ [1, N ], ddtx2n =
ω(xn−1 − 2xn + xn+1 ) avec x0 =
0 = xn+1 . Il y a N modes propres
c’est à dire N solutions distinctes
de cette équation sous la forme
x = ap cos(ωp x + φp ). Le mouvement d’un point est donné par
une combinaison linéaire de ces
solutions.
Oscillateur amorti. Equation :
dx
d2 x
2
dt2 + 2α dt + ω0 x = 0. Trois régimes distincts : si α > ω0 , régime amorti ; si α = ω0 régime
critique ; si α < ω0 régime oscillatoire amorti. Idem en 2d : résoudre le système couplé d’équation en posant ξ = x + iy. Si
le régime est faiblement amorti,
2π
et
E = E(0) exp(−2αt), T ≈ ω
0
π
Q = αT .
Poids. P = mg = m(G − ae )
Portrait de phase. Pour un oscillateur c’est le graphe (x, dx
dt ),
pour un jeu de conditions initiales.
Pendule sphèrique. (Foucault) il
y a conservation du moment projeté sur l’axe vertical (et de
l’énergie).
Systèmes matériels
– Quantité de mouvement. Soient
N particules Mi de masse mi et
de quantité de mouvement
PN pi =
mi vi on pose M =
i=1 mi et
PN
on a p = i=1 pi = M vG
– Réferentiel Barycentrique. C’est
le référentiel (R∗ ) de centre G en
translation par rapport à (R) galileen. La vitesse vi ∗ de Mi dans
ce référentiel est telle que : vi =
vi ∗ + vG
PN
– Moment. σA = i=1 AMi ∧ pi =
σB + AB ∧ p.
[Résultante dynamique]
– RFD. Fiext = M dvdtG avec
PN
Fiext = i=1 fi ext/Mi
– Koenig. σO = σp + OG ∧ p avec
∀A, σp = σ ∗ G = σ ∗ A .
2
+ Ec∗
Ec = 12 M vG
PN
σA
– TMC. dt = vA ∧p+ i=1 AMi ∧
fie xt . Supposons que ∀i ∈
[1, N ], fiext = mi A alors σdtA =
PN
AG ∧ Fext où Fext = i=1 fie xt .
[Énergie potentielle]
– Deux
particules.
L’énergie potentielle d’interaction
Ep (x1 , ..., z2 ) existe ssi f2/1 =
−∇1 Ep (x1 , ..., z2 ) et f1/2 =
−∇2 Ep (x1 , ..., z2), où ∇i =
∂
, ∂ , ∂ ). On a alors
( ∂x
i ∂yi ∂zi
δWint = −dEpint et Ec + Epint =
cte = E, ce qui correspond à la
bonne définition d’une énergie
potentielle. On aura de plus en
dE int (r)
ur .
général : f1/2 = −P pdr
– N points. Epint = i>j Epint (i, j).
[Système à deux corps]
– Masse réduite. On considère
deux particules en interaction et
on étudie le mouvement de M2
dans (R1 ) référentiel (non galiléen) lié à M1 . On a alors : f1/2 =
m2
est la
µaM2 /R1 où µ = mm11+m
2
masse réduite du système. Les
forces d’inertie "disparaissent".
– Particule réduite. On peut choisir d’étudier ce mouvement dans
(R∗ ). Soit r = M1 M2 alors
2
f1/2 = µ ddt2r (équation du mouvement de la particule réduite du
système, M, de masse µ par rapport à G).
– On a de plus : Ec = 21 µv 2 et
σp = GM ∧ µv.
[Masse variable] Problème unidimensionnel : fusée. On suppose une loi
d’évolution de la masse m(t) = m0 −Dt
(D : débit massique). Soit u la vitesse
d’éjection des gaz. On considère le système fermé fusée+gaz éjectés. A l’instant t on a : p(t) = m(t)v(t), à t + dt :
p(t+dt) = m(t+dt)v(t+dt)−dm(v−u).
Le système étant fermé on a : dp =
fext dt. Or dp = m(t + dt)v(t + dt) −
dm(v−u)−m(t)v(t) = d(mv)−dm(v−
u) = mdv + udm = mdv − uDdt. On a
donc m dv
dt = uD + fext .
On raisonnera souvent sur des répartitions continues (et non discrètes)
de particules et donc de masse, de
charges... Il est d’usage d’associer à
ces grandeurs une grandeur volumique
(par exemple : ρ = dm
dτ ) définie localement. On généralise alors les résultats
en faisant : m ↔ dm, q ↔ dq, f ↔
df ...
1.3
Solide indéformable
– Solide indéformable. Solide S
caractérisé par ∀(Mi , Mj ) ∈
S, Mi Mj = ctei,j
– Moment d’inertie autour d’un
axe fixe ∆ : J∆ = r2 dm
∀(M, N ) ∈ S, vM = vN + Ω ∧ N M
[Huygens] Soit ∆ et ∆G deux axes
parallèles séparés par une distance a.
On a J∆ = J∆G + M a2
– Glissement. Soient S1 et S2 deux
solides, (R1 ) le référentiel lié à
S1 , (R2 ) celui lié à S2 et I1 ∈ S1 ,
I2 ∈ S2 en contact en I à l’intant t donné. La vitesse de glissement de S2 sur S1 est alors :
vg = vI2 /R1 et on a : ∀M ∈
S2 , vM2 /R1 = vg + ΩR2 /R1 ∧ IM .
Il y a glissement ssi vg 6= 0.
– Soit Ω = ΩR2 /R1 . Soit Π le plan
tangent au contact. On a par rapport à Π, Ω = ΩN +ΩT . Par définition, il y a roulement ssi ΩT 6=
0 et pivotement ssi ΩN 6= 0.
[Systèmes de forces]
– Actions de contact : résultante S
et moment MI = MA + IA ∧ S 6=
0 (a priori).
– Puissance d’un système
de
P
forces. On
a
P
=
v
·
S,R
i/R
1
1
P
fi =
fi (vi/R2 + vO2 /R1 +
ΩS/R1 ∧ O2 Mi ) = PS,R2 +
Rv
P O2 /R1 + ΩS/R1 M
PO2 où R =
fi et MO2 =
fi ∧ Mi O2 .
Dans (R2 ) lié au solide, PS,R2 =
0 et donc PS,R1 = RvO2 /R1 +
ΩS/R1 MO2 , expression indépendante de O2 .
– Puissance
des
actions
de
contact : P = SvI2 /R1 +
ΩR2 /R1 MI .
[Coulomb]
– Frottement de glissement. Si
vg 6= 0, on a : RT vg < 0 et
RT = f RN . f est le coefficient de
frottement dynamique. Si vg = 0,
R est dans le cône de frottement :
RT ≤ f0 RN . f0 est le coefficient
de frottement statique (f ≤ f0 ).
– Frottement de roulement. Si
ΩT 6= 0 on a un moment M tel
que M ΩT < 0 et M = f ΩT .
[Inertie] Pour un solide en rotation
de vitesse angulaire ω autour d’un axe
fixe ∆ de direction u passant par A on
a : σ∆ = σA u = J∆ ω et Ec = 21 J∆ ω 2 .
– En général on a σ = [J]ω où
[J] est une matrice symétrique
réelle (donc diagonalisable selon
trois axes orthogonaux) appelée opérateur d’inertie et Ec =
1
2 ω([J]ω).
2.2
Premier principe
[Transformations]
– Une transformation est dite
quasi-statique si elle est une succession continue d’états d’équilibre thermodynamique et mécanique internes au sytème et
infiniment proches les uns des
autres.
– Une transformation réversible
est une transformation quasistatique sans frottement.
– Une transformation est dite adiabatique si elle s’effectue sans
transfert thermique.
– Une transformation est dite isotherme si elle s’effectue à température constante.
– Une transformation est dite isochore si elle s’effectue à volume
constant.
– Une transformation est dite isobare si elle s’effectue à pression
constante.
– Une transformation cyclique est
telle que le système se retrouve
dans le même état à l’état final
2 Thermodynamique
qu’à l’état initial.
– Pour une transformation quel2.1 Pression
dans
les
conque entre deux états
R 2 d’équifluides au repos
libre 1 et 2, W = − 1 Pext dV .
– Pour une transformation réver[Pression] La force de pression
sible entre deuxR états d’équilibre
2
s’éxerçant sur un élément de surface dS
1 et 2, W = − 1 P dV .
est dF s = −pdS. La pression p dépend
– Soit une transformation entre
du point M.
deux états d’équilibre 1 et 2 telle
[Loi de l’hydrostatique] Dans un
que ∆Ec = ∆Ep = 0, le système
fluide incompressible, p(z) − p(z0 ) =
étant fermé, ∆U = W + Q.
−ρg(z − z0 ). De manière plus générale,
– Pour une transformation infinité∇p − fv = 0 (fv désigne la résultante
simale, dU = δW + δQ.
des forces volumiques s’exerçant sur le
[Premier principe] U est une foncsystème ; ici fv = −ρg).
tion d’état extensive.
ρ la masse volumique est constante
[enthalphie] On définit l’enthalpie
pour un fluide incompressible.
H par H = U + P V . H est extensive.
[Poussée d’Archimède] Tout corps C’est une fonction d’état.
plongé dans un système de fluides est
– Considèrons une transformation
soumis à une force, la poussée d’Archiisochore entre deux états d’équimède, dirigée vers le haut, de norme le
libre 1 et 2 sans travail autre que
poids du volume de fluide déplacé.
celui des forces de pression, et
∆(Ec + Ep) = 0 alors ∆U = Qv .
– Considèrons une transformation
(quelconque) isobare à P =
Pext = cste alors W = −Pext ∆V
donc ∆H = Qp .
– Considèrons une transformation
réversible isobare alors dH = δQ.
On pose Cv = ( ∂U
∂T )V capacité calorifique à volume constant et Cp =
( ∂H
∂T )P capacité calorifique à pression
constante.
U et H ne dépendent que de la température T.
On a dU = Cv dT et dH = Cp dT .
C
[γ] On pose γ = Cvp . On a (loi de
nR
Mayer) Cp − Cv = nR, Cv = γ−1
,
Cp = nRγ
γ−1 .
[Lois de Laplace] Pour une transformation adiabatique réversible d’un
gaz parfait, en supposant γ constant,
on a : T V γ−1 = cste, P V γ = cste et
P 1−γ T γ = cste.
– Un cycle de Carnot est consti2.3 Maxwell-Boltzmann
tué de deux transformations isothermes à T1 et T2 (T2 < T1 )
[Loi de Maxwell-Boltzmann] La
et de deux transformations adiaprobabilité élémentaire qu’une parbatiques, toutes ces transformaticule ait une vitesse Vx comprise
tions étant réversibles.
entre Vx et Vx + dVx , une vi–
On
définit le rendement d’une
tesse Vy comprise entre Vy et Vy +
machine
par
dVy , une vitesse Vz comprise entre
Vz et Vz + dVz est dP = α ·
|W |
ce qui rapporte
− 1 m(Vx2 +Vy2 +Vz2 )
=
ρ=
)dV
dV
dV
avec
exp( 2
x
y
z
ce
qui
coûte
Q1
kT
alpha tel que dP = 1 et k constante
– Pour le cycle de Carnot, ρ =
de Boltzmann.
1 − TT21 .
De cette loi nous pouvons déduire
[systèmes ouverts] On pose h1 l’endeux résultats importants
:
q
thalpie
massique à l’entrée de la makT
– < Vx >Vx >0 = 2πm
chine,
h
l’enthalpie massique à la sor2
q
3kT
tie
de
la
machine,
c1 la vitesse du fluide
– u =
m , u étant la vitesse
à
l’entrée,
c
la
vitesse du fluide à
2
quadratique moyenne.
la sortie, w’ le travail massique autre
que celui des forces de pression et q
2.4 Etude macroscopique la quantité de chaleur massique. On a
des gaz parfaits
alors 12 c22 − 12 c21 + h2 − h1 = w0 + q.
Où, infinitésimalement : d( 21 c2 + h) =
[Équation d’état des gaz parfaits]
δw0 + δq.
P V = nRT
Cette équation se met sous d’autres
2.6 Second principe
formes :
– M P V = mRT
A tout système fermé on associe
P
m
– ρ= M
RT pour ρ = V
une grandeur non conservative S apLa loi de l’hydrostatique donne
pelée entropie. S est extensive. Pour
dP
dz = −ρ · g, nous avons donc P = des états d’équilibre, S est une foncgz
P0 · exp(− M
tion d’état. ∆S = S2 − S1 = S r + S p .
RT0 ) si T = T0 = cste.
S p est l’entropie produite, toujours por
2.5 Etude énergétique ma- sitive. S est l’entropie reçue, due aux
transferts thermiques avec l’extérieur.
croscopique des gaz
R 2 réel
On a S r = 1 δQT où T est la temparfaits
pérature au niveau de la surface du
[Lois de Joule] Pour un gaz parfait, système qui échange de la chaleur. On
rév
a dS = δQT
= T1 (dU + P dV ). On 2.9
a donc dU = T dS − P dV et dH =
T dS + V dP .
Il
[3eme principe] L’entropie de tout
de la
système tend vers 0 lorsque T tend vers
–
0.
–
Conduction de la chaleur
y a trois modes de propagation
chaleur :
rayonnement
convection (transport d’énergie
par déplacement de matière).
– conduction (transfert thermique
2.7 Exemples de bilans
sans mouvement de matière).
d’entropie.
Applica- Phénomènes de transport (mécanismes
tion aux machines ther- de diffusion).
– transport d’électricité : j =
miques
−σ∇V (loi d’Ohm).
– transport de matière : j =
Pour une source de chaleur,
source
−D∇n (loi de Fick).
dSsource = δQ
Tsource .
–
transport de chaleur : j = −λ∇T
[Inégalité de Carnot-Clausius]
(loi
de Fourier).
Soit un système fermé, cyclique,
Dans
un
gaz le coefficient λ peut
qui échange de la chaleur avec n
être
calculé
:
λ = 31 lvCv , où l est le
sources (températures Ti ). On a
H δQsource
i
∀i ∈ {1, . . . , n}, ∆Si =
= libre parcours moyen (parcours d’une
Ti
H δQi
molécule entre deux chocs successifs).
− Ti et ∆Sunivers ≥ 0. La machine De même dans le cas de l’autodiffusion
étant cyclique, ∆S = 0. Nous avons d’un gaz on a : D = lv .
3
donc
Dans le cas d’une interface entre un
n I
X
fluide et le milieux extérieur le gradient
δQi
≤0
de température devient infini, on remTi
i=1
place alors la loi de Fourier par la loi
de Newton δQ = h(Text − T )dSdt, où
avec égalité si réversible.
δQ est la chaleur reçue par le fluide
en provenance de l’extérieur et h est
le coefficient de transfert thermique de
2.8 Changement d’état des surface.
corps purs
[Equation de la chaleur]
2
∂T
– Cas 1D. ∂∂xT2 = ρc
λ ∂t .
[chaleur latente] On appelle chaρc ∂T
– Cas 3D. ∆T = λ ∂t .
leur latente de vaporisation d’un corps
pur Lv à la température T la variation
d’enthalpie de l’unité de masse de ce
3 Optique
corps qui passe de l’état liquide à l’état
gazeux à la température T. On définit
de même LF chaleur latente de fusion 3.1 Optique géométrique
et LS chaleur latente de sublimation.
– Source lumineuse. une source de
Avec ces définitions, LV , LF , LS ≥ 0.
lumière peut être ponctuelle ou
Au point triple, on a : LS (T ) =
étendue, auquel cas elle est suLF (T ) + LV (T ). Cette relation n’est
perposition de sources "poncpas vraie en général, il faut prendre en
tuelles" d’étendue dS.
compte l’enthalpie massique nécessaire
– Rayon lumineux. C’est la forme
pour passer de la température de fud’émission de l’énergie par une
sion à la température d’ébullition.
source lumineuse.
– Intensité. Chaque élement dS
centré en P donne en M un éclairement (ou une intensité) dE =
L(P, M )dS, où L est fonction de
la luminosité en P.
– Chemin optique. Le chemin optique (OM ) = L est tel que :
dL = nds, où s est l’abscisse
curviligne le long du rayon lumineux comptée positivement dans
le sens de propagation de la lumière.
– Surface d’onde. Ce sont les surfaces telles que (OM ) = cte.
– Dioptre. C’est la surface séparant
deux milieux d’indices différents.
[Snell-Descartes]
– Réflexion. Les rayons sont dans
un même plan (le plan d’incidence) et i1 = i2 ⇔ ∃β, u1 −u2 =
βN
– Réfraction. Les rayons sont dans
un même plan (le plan d’incidence) et n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 )
⇔ ∃α, n1 u1 − n2 u2 = αN
– Retour inverse. Le trajet lumineux spatial est indépendant du
sens de propagation de la lumière.
– Fermat. Pour aller de A à B la
lumière emprunte le trajet qui
rend le chemin optique stationnaire (c’est à dire extrémal). On
retrouve ainsi les lois de Descartes.
[Malus] Les rayons lumineux sont
orthogonaux aux surfaces d’onde.
– Objets et images. A et A0 sont
images l’un de l’autre par un
système optique si tout rayon
issu de A (l’objet) passe par A0
(l’image). On a (AA0 ) = cte.
– Réel, virtuel. Si un objet (une
image) est une intersection de
rayon lumineux il est réel, si c’est
l’intersection de prolongements
de rayons lumineux il est virtuel.
– Stigmatisme. Un système est dit
rigoureusement stigmatique pour
le couple (A, A0 ) ssi tout rayon
issu de A passe par A0 . C’est nécessaire pour pouvoir fabriquer
des images "correctes".
On cherche les différents dioptres
permettant un stigmatisme rigoureux
pour un couple de points donné. Soit I
un point du dioptre, (A, A0 ) un couple
de points.
– Réflexion. On a AI ± IA0 = cte.
L’ensemble des points I est donc
un ellipsoïde ou un hyperboloïde
de foyers A et A0 .
– Réfraction. On a encore (AI) +
(IA0 ) = nAI + n0 IA0 = cte.
Si cte = 0, on suppose λ =
n0
n > 1, le dioptre obtenu est
une sphère de centre C de rayon
R telle que : R = λ2λ−1 AA0 et
2
AC = λ2λ−1 AA0 . A et A0 sont
alors appelés points de Weierstrass de dioptre sphérique.
[Conditions de Gauss] Les cas de
stigmatisme rigoureux étant extrêmement rares, on se contentera en pratique du stigmatisme approché assuré
par les conditions de Gauss : les rayons
sont paraxiaux, c’est à dire voisins de
l’axe optique et frappant les dioptres
et miroirs au voisinage de leur sommet.
Cela permet d’obtenir les relations de
conjugaison des instruments d’optique
usuels.
[Relations de conjugaison]
– Conventions. on pose z =
SA, z 0 = SA0 , R = SC,
ξ = CA, ξ 0 = CA0 , σ =
F A, σ 0 = F 0 A0
– Miroir sphérique. On a z10 + z1 =
2
, ξ10 + 1ξ = − R2 , σσ 0 = f f 0 et
R
0
γ = − zz =
ξ0
ξ
0
= − σf 0 = − σf .
0
– Dioptre sphérique. On a nz0 − nz =
0
0
n0 −n n
, ξ0 − nξ = n R−n , σσ 0 = f f 0
R
0
0
0
et γ = nnz0 z = ξξ = − σf 0 = − σf .
– Lentille mince d’indice n placée dans l’air. On pose ici z =
OA, z 0 = OA0 et on a z10 −
1
1
1
0
0
z = f 0 = − f , σσ = f f et
γ =
z0
z
0
= − σf 0 = − σf , avec
= (n − 1)( R1 − R1 ).
correspond à une onde progres1
2
sive se déplaçant vers la droite à
– Relation de Lagrange-Helmoltz.
la célérité c, le terme en g(t + xc )
Pour un dioptre sphérique on a
0
correspond à une onde progresγα = αα = zz0 = nn0 γ , soit
sive se déplaçant vers la gauche
nαAB = n0 α0 A0 B 0 .
(parfois appelée onde régressive)
[Systèmes centrés]
à la célérité c.
– Foyers. Foyer image : ∞ → F 0 ,
– Cas 3D sphérique. On pose r =
foyer objet : F → ∞
OM et on suppose s(r, t). Alors
– Plan principaux. Plans conjuf (t− rc )
g(t+ r )
on a s =
+ r c . Les surr
gués de grandissement égal à 1.
faces d’onde sont des sphères, on
Ils sont perpendiculaires à l’axe,
parle d’onde sphérique.
0
on pose H et H les points d’inPar définition, une OPPS se propatersection avec l’axe du système.
– Système à foyers. De tels sys- geant vers la droite s’écrit s = f (t −
tèmes possédent foyers et plans xc ) = a cos(ω(t − xc )) = a cos(ωt − kx),
principaux. On pose z
= avec k = ωc . Ce qui donne en com0
0
0
0
HA, z = H A , f = HF , f = plexes : s = ae(i(ωt−kx))
0
H 0 F 0 et on a alors : nz0 − nz =
– si on pose r = OM et k = ku
n0
n
avec u le vecteur unitaire assof0 = − f .
– Système afocal. Tout rayon incicié à la direction de propagation
dent parallèle à l’axe ressort paon a la forme générale : s =
rallèle à l’axe. On a γ = γα = cte.
a cos(ωt − kr).
– Système catadioptrique. Système
– une expression du type s =
centré possédant un miroir sphèA(y, z) cos(ωt − kx) sera consirique (qui termine nécessairedérée comme une onde plane,
ment le système). Tout système
les surfaces équiphases étant des
catadioptrique est équivalent à
plans.
un miroir sphérique dont le
– En optique la grandeur vibracentre Γ (resp. le sommet Σ) est
toire est un champ électromagnél’image du centre C (resp. du
tique qui dans le cas de l’onde
sommet S) du miroir réel par la
plane à pour structure : (E, B, k)
lumière travaillant dans le sens
est un trièdre direct, B = Ec et
réfléchi.
pour une propagation dans la direction Oz les composantes Ex
et Ey obéissent à une équation
3.2 Ondes lumineuses
d’onde.
– Equation d’onde. Une grandeur
– Polarisation. Ce qui donne à une
S est dite ondulatoire si elle
dimension : Ex = E1 cos(ωt −
est représentée par une fonction
kz + α1 ), Ey = E2 cos(ωt − kz +
s(x, y, z, t) solution de l’équation
α2 ), Ez = 0. La surface décrite
d’onde
par E dans le plan (Ex , Ey ) est
2
∆s − c12 ∂∂t2s = 0.
donc une ellipse. On dit donc que
– Surface d’onde. Ce sont les surla polarisation est elliptique. Si
faces où s = cte à t donné.
E1 = E2 et si α1 − α2 = π2 [π]
– Cas 1D. Les solutions de l’équal’ellipse devient un cercle et la
tion d’onde sont s = f (t −
polarisation est dite circulaire. Si
x
x
)
+
g(t
+
).
Ce
sont
des
ondes
α1 = α2 , la polarisation est dite
c
c
planes (les surfaces d’onde sont
rectiligne.
des plans), le terme en f (t − xc )
– Gauche, droite. Si E tourne dans
1
f0
le plan orienté (Ex , Ey ) dans le
sens trigonométrique alors la polarisation est dite gauche. Dan le
cas contraire elle est dite droite.
– On montre que si 0 < α1 −α2 < π
alors la polarisation est gauche et
si −π < α1 − α2 < 0 alors elle est
droite.
– Une polarisation rectiligne est
somme de deux polarisations
circulaires, l’une droite l’autre
gauche. (on écrit : E
=
E1 cos(ωt − kz)ux = E1 cos(ωt −
u −u
u +u
kz)( x 2 y + x 2 y )).
Certains matériaux font tourner
le plan de polarisation (k, E) d’une
OPPS les traversant d’un angle α. Si
du point de vue de l’observateur recevant l’OPPS le plan a tourné vers la
droite la substance est dite dextrogyre,
dans le cas contraire elle est lévogyre.
On montre que ceci équivaut à dire
que les vitesses des ondes polarisées circulairement gauche (cg ) et droite (cd )
sont différentes dans le milieu. Si le matériaux est d’épaisseur e on a l’angle de
rotation : θ = 21 ωe( c1d − c1g ) = 21 k0 δ,
avec la différence de marche δ = (nd −
ng )e = ec0 ( c1d − c1g ). Pour λ donné
rection de l’onde. On se restreint
içi aux matériaux uniaxes, c’est à
dire tels que : si l’onde est polarisée selon une direcion quelconque
du plan (x, y) la polarisation en
sortie est elliptique, si l’onde est
polarisée selon x ou y, la polarisation n’est pas changée en sortie. Les directions x et y sont les
lignes neutres de la lame et elles
sont d’indices a priori différents.
L’axe d’indice le plus grand est
l’axe lent, l’autre l’axe rapide.
– Lumière naturelle. La lumière
naturelle est émise sous forme
de trains d’ondes de durée très
brève à l’échelle macroscopique
(typiquement 10−10 à 10−12 secondes), l’êtat de polarisation de
chacun des trains d’ondes étant
indépendant (toutes les directions de polarisation sont prises
aléatoirement).
[Lames cristallines] On montre de
la même manière que pour les substances dextrogyre et lévogyre qu’une
lame cristalline introduit un déphasage
en sortie φ entre les deux projections
de la gandeur vibratoire (ici E), et on
a : φ = cω0 (ny − nx )e = 2π
dθ
λ0 δ, où δ
la quantité [θ] = dz appelée pouvoir
est la différence de marche. On disrotatoire est indépendante de l’épaistingue tois types de lames : lame onde
seur du matériaux. Dans le cas d’une
(δ = pλ0 , p ∈, pas d’intéret), lame
solution de concentration c on définit
demi-onde (δ = pλ2 0 , p ∈) et lame
le pouvoir rotatoire spécifique par :
quart d’onde (δ = pλ4 0 , p ∈).
θc = [θ]
c .
[Malus] Si le plan de polarisation
– Intensité. Par définition, I =
d’une
onde incidente fait un angle α
2
ks , k coefficient de proportionavec
la
direction d’un polariseur l’innalité. Elle est ainsi proportiontensité
en
sortie vaut : I = I0 cos2 α.
nelle à l’énergie transportée par
– L’intensité doit être conçue
l’onde.
– Polariseur. Un polariseur est un
comme la valeur de s2 moyennée sur le temps de Rréponse τ du
dispositif qui ne laisse passer que
τ
detecteur : I = τa 0 s2 dt. Soit
la composante du champ paralT la période de l’onde. Si T léle à une direction déterminée,
τ, I ' s2 et si τ T, I ' s(t)2 .
l’onde en sortie est polarisée rec– Dans le cas de la lumière
tilignement dans la direction du
naturelle, l’intensité étant une
polariseur.
moyenne et les angles α se suc– Lame cristalline. Milieu anisocédant aléatoirement on a : I =
trope où l’indice dépend de la di-
I0 cos(α)2 = I20 .
[Ondes Stationnaires]
– Cas sinusoïdal. On considére une
OPPS incidente : si (x, t) =
a cos(ωt − kx) avec un milieu tel
que : ∀t, s(0, t) = 0. Il existe
alors nécessairement une onde réfléchie sr , telle que pour l’onde
totale s = si + sr la condition
aux limites soit remplie. On écrit
sr (x, t) = b cos(ω 0 t + k 0 x + φ).
La condition aux limites donne :
ω = ω 0 , φ = 0, a = −b. On
a donc s = 2a sin(kx) sin(ωt).
L’onde ne ce propage plus : elle
est stationnaire. Si de plus on
impose s(−L, t) = 0, cela implique kL = nπ, n ∈ et les
seuls couples admissibles sont :
π
, n πc
(kn , ωn ) = (n L
L ). Ce sont les
modes propres de la cavité.
– Cas général. Si on écrit s =
f (t − xc ) + g(t + xc ) et si on
impose s(0, t) = s(L, t) = 0
on montre que l’on a f =
−g, f ( 2L
c )-périodique et donc
en utilisant la série de fourier
P+∞de f on a : s(x, t) =
+
n=−∞ cn sin(kn x) sin(ωn t
φn ). s est la superposition des
modes propres précédents.
– Ondes
planes
progressives
non sinusoïdales. Cas 1D.
s(x, t) = f (x − ct) = f (u)
ce qui s’écrit encore s(x, t) =
R +∞
1
i(kx−ωt)
dk
avec
2π −∞ A(k)e
R +∞
−iku
A(k)
=
s(u)e
du.
−∞
L’onde est ainsi décomposée en
OPPS.
– Milieu dispersif. C’est un mileu
dans lequel ωk = f (k) 6= cte.
– Vitesse de phase : vφ = ωk , vitesse
de groupe : vG = dω
dk . On a toujours vG ≤ c0 alors que vφ peut
dépasser c0 .
[Paquet d’onde] On suppose que
la lumière est émise sous forme de
trains d’onde : ∀u ∈ [− L2 , L2 ], s(u) =
a cos(k0 u). Après calcul on obtient :
L
L
A(k) = aL
2 (((k − k0 ) 2 ) + ((k + k0 ) 2 )).
La largeur du pic principal d’un est
∆k = 4π
L . C’est la largeur naturelle de
raie (cas "idéal" : L → ∞ onde monochromatique). L est alors la longueur
de cohérence de la lumière, τ = Lc est
le temps de cohérence.
[Effet Doppler] Une source mobile
dans le référentiel (R) émet dans la direction Ox une onde de fréquence ν0
alors la fréquence reçue par un observateur de (R) est ν ' ν0 (1 + vcx ).
3.3
Interférences
On admet qu’il est possible de procéder à une addition scalaire des ondes
émises par deux sources à grande distance de celles ci.
Si on a : en S1 , s1 (t, 0) = a cos(ωt+
α1 ) et en S2 , s2 (t, 0) = a cos(ωt + α2 ),
on leur associe les grandeurs complexes
(pour n = 1, 2) : sn = An e−iωt avec
An = ae−iαn . On pose rn = Sn M .
L’amplitude résultante en M est donc :
S = A1 eikr1 + A2 eikr2 et l’intensité
après calcul (en posant φ = k(r2 − r1 )
et ∆α = α2 − α1 ) : I = I0 (1 +
cos(φ − ∆α)). Les surfaces d’intensité
égale sont des hyperboloïdes de foyer
S1 et S2 , leur trace par un plan perpendiculaire à S1 et S2 donne des franges
d’interférence en forme d’anneaux et si
le plan est parallèle à S1 et S2 ce sont
des segments de droite si r1 ' r2 .
– Différence de marche. C’est : δ =
(S2 M ) − (S1 M ).
– Franges brillantes. Ce sont les
franges d’intensité maximale, i.e.
telles que k(r2 − r1 ) − ∆α =
2nπ. Ce qui donne encore : δ =
λ0
nλ0 + 2π
∆α et si ∆α = 0 on
a δ = nλ0 . Ce sont des interférences constructives.
– Franges sombres. On a de même
λ0
∆α et si
δ = (2n + 1) λ20 + 2π
∆α = 0 on a δ = (2n + 1) λ20
– L’ordre d’interférence est le p tel
que δ = pλ0 .
−Imin
– Visibilité. V = IImax
.
max +Imin
– Interfrange. C’est la distance séparant deux régions d’égale intensité.
– Fréquences différentes. On additionne simplement les intensités. Il n’y a plus d’interférences. (Sauf si les fréquences
sont proches : on observe des battements).
– Amplitudes
différentes.
On
obtient
:
I
=
I
+
I
1
2 +
√
2 I1 I2 cos(φ − ∆α).
[Difficultés de l’optique]
– Cohérence temporelle. On ne
peut réaliser d’interférences à
l’aide de deux sources ponctuelles distinctes : en effet si
les fréquences sont différentes le
phénomène d’interférence disparait et de toute manière la phase
(le terme en ∆α) varie aléatoirement d’un train d’onde à l’autre :
l’intensité qui est une valeur
moyenne sera alors constante :
il n’y a plus d’interférences. On
utilisera donc des sources secondaires (obtenue à partir d’une
même source) cohérentes entre
elles.
– Caractère vectoriel. L’addition
scalaire suppose que les grandeurs vibratoires vectorielles
soient colinéaires. Cela n’est possible en toute rigueur qu’à l’infini. On utilisera donc des lentilles qui permettent de ramener
des rayons allant à l’infini dans
leur plan focal image donc à distance finie.
– Cohérence spatiale. Les sources
ne sont pas rigoureusement ponctuelles. on les considère alors
comme une superposition de
sources élémentaires de surface
dS émettant : dI = I(x,y)
S dS.
[Fentes d’Young] On se place dans
les conditions "classiques" : une source
S dans le plan (O1 , x, y), une lentille
de focale f10 , les fentes d’Young dans le
plan (O, x, y) distantes d’une longueur
a, une deuxième lentille de focale f 0
et l’écran (E) dans le plan (F 0 , x, y).
On suppose dans un premier temps la
source S ponctuelle. on observe l’intensité en M (x, 0) ∈ (E) la source ayant
pour coordonnées S(y,0). On montre :
ay
ax
I(M ) = 2Io (1 + cos(2π( λf
0 + λf 0 )).
1
0
L’interfrange vaut i = λfa , la frange
0
centrale est en : x0 = −y ff 0 . Suppo1
sons que la source S soit de largeur
2b, centrée en O : on écrit alors :
dI = I0 (y)dy et on a : I(M ) =
Rb
ay
ax
I (y)(1 + cos(2π( λf
0 + λf 0 ))dy. Et
−b 0
1
si I0 (y) = cte = Ib0 on a : I(M ) =
2πax
I0 (1 + ( πab
λf 0 ) cos( λf 0 )). Et la visibilité
1
des franges est : V = ( πab
λf 0 ).
1
[Division d’amplitude]
– Fabry-Pérot. C’est un ensemble de deux lames semiréfléchissantes distantes de e.
Soient r1 et r2 les coefficients
de réflexion de l’onde sur les
deux lames à l’intérieur du dispositif. On note A1 l’amplitude
complexe de l’onde transmise
sans refléxion.La différence de
marche ente deux rayons (différant par deux reflexions successives) est δ = 2e cos(i) où i
est l’angle d’incidence. Soit avec
φ = 2π
λ δ le déphasage : S =
A1 (1+r1 r2 eiφ +(r1 r2 )2 e2iφ +...),
Imax
ce qui donne I = 1+m
,
sin( φ )
2
4r1 r2
avec m = (1−r
(fonction
2
1 r2 )
d’Airy). Les maximums sont en
pratique très pointus. On pourra
ne considérer que les deux premiers rayons dans le cas d’interfaces faiblement réfléchissantes.
– Michelson. Un Michelson est
formellement équivalent à un
Fabry-Pérot où l’on ne considère
que les deux premiers rayons.
Pour une lame séparant deux milieux d’indices n1 et n2 , on a : r '
2n1
n1 −n2
n1 +n2 et t ' n1 +n2 pour des incidences
proches de la normale.
[Lumière polychromatique]
– 2 raies. On additionne les intensités dues à chaque raie et
en supposant I1 = I2 = I0 et
que λ2 = λ1 + ∆λ et ∆λ λ, on obtient : I = 4I0 (1 +
∆λ
ax
cos(π ax
f 0 λ2 ) cos(2π λf 0 ) et V =
ax ∆λ
cos(π f 0 λ2 ). Quand V = 0 il y
a anticoïncidence et lorsque V =
Vmax , il y a coïncidence.
– Lumière blanche. Le spectre émis
est continu, l’oeil à l’impression
de voir du blanc. Cependant
les longueurs d’onde telles que
λ
0
δ = ax
f 0 = (2n + 1) 2 présente
des interférences destructives : le
spectre est cannelé est le blanc
est dit d’ordre supérieur.
3.4
Diffraction
[Huygens-Fresnel]
– Huygens (1678). Les vibrations
qui se propagent à l’extérieur
d’une surface fermée Σ, à l’intérieur de laquelle se trouve la
source S, sont identiques à celles
que l’on obtiendrait uen supprimant cette source et en la remplaçant par des sources convenablement réparties sur Σ.
– Fresnel (1818). Chaque élément
de surface dΣ entourant un point
A de la surface Σ est une source
secondaire dont l’amplitude complexe est proportionnelle à dΣ et
à l’amplitude complexe en A de
l’onde issue de S. Toutes les ondelettes issues des divers points
A interfèrent en M pour donner
la vibration résultante.
=
– Conséquence.
dS(M )
eik0 (AM )
K(u)A0 t(A) AM dS.
En général on considére que K(u)
AM '
cst.
[Fraunhoffer]
– On considére la diffraction à l’infini dans la direction u = (α, β),
par une pupille P de facteur
de transmission t(A), A ∈ P .
OnR Rpeut écrire alors : I =
K P A0 (A)t(A)e−ik(αx+βy) dxdy
– La diffraction de Fraunhoffer est
la diffraction autour de l’image
géométrique.
– Pupille rectangulaire. On considère P = [− a2 , a2 ] × [− 2b , 2b ]. On a
alors avec les notations déjà introduites, I = Io2 ( πλ αa)2 ( πλ βb).
Soit dans le plan focal d’une lentille : I = Io2 ( πλ a fX0 )2 ( πλ b fY0 ). Si
b → ∞, Il n’y a pas de diffraction selon Oy et on a
I = Io2 ( πλ a fX0 ).
– Pupille circulaire de diamètre a.
On a alors : π
J ( αa)
I = 4I0 ( 1 πλαa )2 , où J1 est la
λ
fonction Besse J d’ordre 1 (premier zéro en α = 1.22 λa ).
– Une augmentation de la taille de
la pupille contracte la figure de
diffraction et inversement.
– Si la pupille a un centre de symétrie, la figure de diffraction en
posséde un aussi.
– Les axes de symétrie de la pupille
sont axes de symétrie de la fugure
de diffraction.
– Une rotation dans son plan de la
pupille entraine une rotation similaire de la figure de diffraction.
– Si on translate la pupille dans
son plan il n’y a rien de changé
pour la figure de diffraction dans
le plan focal d’une lentille.
– Si la direction du faisceau incident devient ui = (αi , βi ) on a :
S 0 (α, β) = S(α − αi , β − βi ).
[Babinet] Pour des pupilles de
transparences complémentaires, les
amplitudes sont opposées et les intensités les mêmes en dehors de l’image
géométrique.
[Pupilles
composées]
Pour
un ensemble de plusieurs pupilles Pi centrées en Oi , on a
=
dans
k, S(k)
P R R la "direction" −ikOA
A
(x,
y)t(x,
y)e
=
i
Pi 0
−ikOOi
. Si on suppose les
dI = js dl.
i S i (k)e
pupilles identiques, S i (k) = Di (k)
– Champ électromagnétique. C’est
est l’amplitude diffractée
la dile couple (E, B) qui agit sur q
P dans
−ikOOi
rection k, et I(k) =
e
un
par
la force de Lorentz : f =
i
terme d’interférence. On a alors :
q(E + v ∧ B). Dans le cadre non
S(k) = D(k)I(k). La figure d’interrelativiste, pour deux référentiels
férence est alors en général modulée
galiléens en translation l’un par
par la figure de diffraction.
rapport à l’autre à la vitesse V ,
on a B 0 = B et E 0 = E + V ∧ B.
– Fentes d’Young de largeur a dis[Equation de continuité] On a en
tantes de d. On a I(α) = 2I0 (1 +
2 π
chaque
point d’un milieu chargé ÷j +
dα))
(
αa).
cos( 2π
λ
λ
=
0.
– Réseaux de N fentes. On pose ∂ρ
∂t
φ = 2π
– Dans un volume dS on a la
λ a sin(θ) (où θ est un angle
mesuré par rapport à la normale
charge dq = ρdS et σ = lim→0 ρ.
au plan du réseau). On a I =
– js = lim→0 j.
sin( N φ )
– pour un régime indépendant du
I02 ( πλ b sin(θ))( sin( φ2 ) )2 .
2
temps : ÷j = 0
On sait que les maximums princi– On a l’équivalence formelle :
π
paux d’un réseau sont en λ a sin(θ) =
jdτ ↔ jS dS ↔ Idl ↔ qv
pπ, p ∈. On considèreque deux lon[Equations de Maxwell]
gueurs d’onde λ et λ+∆λ pour p donné
– Dans le vide. ÷E = ρ0 (M.G.),
sont séparées si le maximum de l’une
÷B = 0 (M.φ), rotE = − ∂B
∂t
est au moins au premier minimum de
(M.F), rotB = µ0 j +0 µ0 ∂E
l’autre (critère de Rayleigh). Le pou∂t
(M.A.).
voir de résolution d’un réseau est la
λ
– Dans un diélectrique. (M.G.) dequantité R = ∆λ
= N p.
vient ÷E = ρlibre
et (M.A.) :
0r
rotB = µ0 jlibre +0 r µ0 ∂E
∂t , où r
est la permitivité relative du mi4 Ondes
lieu. Sauf mention du contraire il
y aura en général : ρ = 0 et j = 0.
5 Electromagnétisme
– Dans un conducteur. On a r = 1,
ρ = 0 mais σ 6= 0, si le conduc5.1 Equations de Maxwell
teur est parfait : γ = ∞ donc
E = 0. On ajoute la loi d’Ohm :
– Charge. Ponctuelle : q, densité
dq
j = γE.
volumique ρ = dτ , surfacique
dq
dq
Dans
un conducteur parfait (caracσ = dS , linéique λ = dl . Elle
térisé
pas
γ = ∞) on a : E = 0, B = 0,
est conservée dans tout procesρ
=
0
et
j
= 0 (mais σ 6= 0 et js 6= 0).
sus physique ou changement de
–
La
conservation
de la charge se
référentiel.
déduit
des
équations
de Maxwell
– Densité de courant. j = ρv, si les
car
÷(rotB)
=
0.
charges sont surfaciques on défi– Les équations sont linéaires, on a
nit js = σv la densité de courant
le droit au principe de superposuperficielle.
sition.
– Ligne de courant. C’est la courbe
–
Avec la loi d’Ohm on a γ ÷ E +
tangente à j à chaque instant.
∂ρ
∂ρ
γρ
– Intensité
(traversant S). I =
∂t = 0 soit encore ∂t + 0 donc
RR
t
jdS = dq
ρ = ρ0 e− τ avec typiquement τ =
dt , où dq est la
S
charge traversant S pendant dt.
10−18 s.
Si le courant est surfacique on a :
– On défini le vecteur déplacement
P
électrique : D =0 r E.
[Potentiels] ÷B = 0 donne B =
rotA, A est le potentiel vecteur et
∂A
rot(E + ∂A
∂t ) = 0 donc E = −∇V − ∂t .
Pour lever l’indétermination sur les potentiels on se place dans la jauge de
Lorentz où : ÷A + c12 ∂V
∂t = 0.
[Propagation]
– Dans le vide on tire des équations
de Maxwell l’équation de propa2
= 0, avec
gation : ∆E − c12 ∂∂tE
2
2
µ
c
=
1.
La
même
équation
est
0 0
vérifiée pour B,A,V .
– Si on ce place dans un diélectrique, c devient c = √0r1 µ0 = cn0 ,
où n est l’indice du milieu n =
√
r.
– En présence de densités de
charges et de courants on a dans
la jauge de Lorentz : ∆A −
1 ∂2A
1 ∂2V
c2 ∂t2 = −µ0 j et ∆V − c2 ∂t2 =
− ρ0 dont les solutions sont les
potentiels retardés : V (M, t) =
PM
1 ρ(P,t− c )
dτ
4π0
PM
PM
µ0 j(P,t− c )
dτ .
4π
PM
et A(M, t) =
[Energie]
– Puissance de la force de Lorentz
agissant sur dq = ρdτ : dP
dτ = jE.
– L’énergie rayonnée à travers S
est le flux du vecteur de Poynting Π = E∧B
µ0 à travers S.
– Densité volumique d’énergie électromagnétique :
2
B2
w = 0 E2 + 2µ
.
0
5.2
Onde Plane Electromagnétique
Dans le cas d’une onde électromagnétique plane se propageant
dans le vide dans la direction
u on obtient avec les équations
de Maxwell :Les champs E et B
sont transverses (pas de composante dans la direction de propagation : Eu = 0 et Bu = 0). Les
champs sont orthogonaux entre
eux : EB = 0. B = Ec soit :
B = uc ∧ E. Si E garde une direction fixe, l’onde est polarisée
rectilignement (mais en général
celle-ci est elliptique).
– Pour une onde sphérique, E =
f (t− rc )
uθ on montre : B = ucr ∧E.
r
Cette onde a localement la structure d’une onde plane.
– lorsque la dépendance en u = t −
x
c des champs est sinusoïdale, on
parle d’OPPS, représentée formellement en notation complexe
par : E = E 0 ei(ωt−kr) . Sa polarisation est définie de la même
manière que pour les ondes lumineuses.
Propagation dans un conducteur :
– on a en notation complexe : j =
∂E
γE et ∂t = iωE soit formellement dans (M.A.) : rotB =0
∂E
µ0 ∗r ∂t avec ∗r = 1 + iωγ0 la permitivité complexe fictive du milieu. k est donc complexe. Dans
le cas du très bon conducteur défini par 1 ≤ iωγ0 on a : k = ∓ (1−i)
δ
x
x
et E = E 0 e− δ ei(ωt− δ ) ce qui
correspond à une onde se propageant en s’atténuant dans
q le sens
2
des x positifs. δ =
µ0 γω est
l’épaisseur de peau (distance caractéristique d’atténuation).
[Plasma] On fait les hypothèses :
– ions positifs fixes, ions négatifs
e− mobiles.
– le nombre n d’électrons par unité
de volume est constant.
– Seule la force de lorentz intervient et on néglige l’action de B
devant celle de E. On a alors :
– m dv
dt = −eE soit j = ρv = γ ∗ E
2
ne
avec γ∗ = imω
et on a encore
ω
γ
∗r = 1 + iω0 = 1 − ( ωp )2 où
2
ωp2 = ne
m0 est la pulsation plasma.
– si ω > ωp , le milieu se comporte
comme un diélectrique d’indice
plus petit que 1. Le milieu est
dispersif.
– si ω < ωp , k est imaginaire et
5.3
l’onde se propage en s’atténuant :
elle ne peut donc se propager
dans le plasma.
−2E0 sin(kiy y) sin(ωt−kix x). On
a B par rotE = − ∂B
∂t . Le champ
ne forme plus un trièdre rectangle.
Changements de Milieux
– Courant de surface. Il est créé
par la discontinuité de B et vaut
i0
jS = 2B
µ0 cos(ωt)uy .
– Pression de radiation pr . En l’interprétant comme due au choc
des photons sur la paroi on
montre que pr = w. En effet,
à chaque choc la paroi reçoit
∆pp = 2h̄k et le nombre N de
photons incidents par unité de
temps est tel que : < ΠdS >=
=
dN hν soit : df = dp
dt
Ei0 Bi0
− µ0 hν h̄kdS = −pr dS. cqfd.
– Quand on recherche un champ se
propageant dans une direction on
peut directement supposer : E =
f (y)ei(ωt−αx) uz , par exemple, et
en déduire f avec l’équation de
propagation.
[Discontinuités du champ] Ici l’indice N désigne la composante normale
d’un vecteur, et T la composante tangentielle par rapport à la surface de séparation des milieux.
– DN1 − DN2 = σN2→1
– ET1 = ET2
– BN1 = BN2
– BT1 − BT2 = µ0 js ∧ N2→1
Réflexion normale sur un conducteur parfait. Conséquence directe des
propriétés du conducteur parfait et des
propriétés de discontinuité des champs
(pour une OPPS) :
– Normale. La condition aux
limites
impose
l’existence
d’un champ réfléchi E r =
0
0
E r0 ei(ω t−k x)
tel
que
:
0
∀t, E r0 eiω t + E i0 eiωt = 0,
on a alors : ω 0 = ω (donc
k 0 = k), E r0 = −E i0 , soit
le champ résultant : E =
2Ei0 sin(kx) sin(ωt) et B =
2Bi0 cos(kx) cos(ωt). L’onde ne
se propage plus elle est stationnaire. Aspect énergétique :
i0
Π = Ei0µB
sin 2kx) sin(2ωt)ux
0
B2
2
et < w >=0 Ei0
= µi0
.
0
– Deux conducteurs en regard. Le
champ E doit s’annuler sur les
deux conducteurs soit l = p λ2
et E = 2E0 sin(pπ xl ) sin(ωp t) où
ωp = pc πl
– Oblique. Champ incident : E i =
E0 ei(ωt−ki r) , champ réfléchi :
E r = E 1 ei(ωt−kr r) . Les conditions aux limites imposent : E 1 =
−E0 et ∀(r) = (x, 0, z), ki r =
kr r, soit krz = 0, kix =
krx , kiy = kry (on a retrouvé
les lois de Descartes). Ce qui
donne pour le champ total E =
– Réflexion normale sur un
conducteur imparfait. Champ incident : E i = E0 ei(ωt−kx) , B i =
B0 ei(ωt−kx) , B0
=
ux ∧
E0
,
champ
réfléchi
:
c0
E r = E 1 ei(ωt−kx) , B r =
B 1 ei(ωt−kx) , B 1 = −ux ∧
E1
c0 , champ transmis : E t =
E 2 e−αx ei(ωt−αx) ,
Bt
=
E2
−αx i(ωt−αx)
B2e
e
, B 2 = ux ∧ c∗ .
p
ω
Avec α = µ02γω , c∗ = α(1−i)
et
c∗ ≤ c0 . On a alors :
, B 1 ' B0 et
E 1 ' −E0q
π
E t = 2E0 0γω e−αx ei(ωt−αx+ 4 ) ,
B t = 2B0 e−αx ei(ωt−αx)
[Guide d’ondes] C’est une structure métallique creuse, à section rectangulaire (de côtés a et b), infiniment longue selon Oz , dans laquelle
on anvisage la propagation d’une onde
électromagnétique transvers électrique
(TE, i.e. : uz E = 0). On écrit
alors E x = E1 (x, y)ei(ωt−kz) , E y =
E2 (x, y)ei(ωt−kz) , E z = 0, chaque
∂2E
– Π est en r12 : c’est la conservation
de l’énergie.
– Π proportionnel à sin2 (θ) : le
rayonnement n’est pas isotrope
et est prépondérant à 90˚ du dipôle.
– Π proportionnel à λ14 : le rayonnement est favorable aux faible
longueurs d’onde (diffusion de
Rayleigh).
La puissance rayonnée à travers tout
l’espace est alors : P = RI02 , où R =
π a2
30 c λ2 est la résistance de rayonnement.
[Antennes] Une antenne est un
conducteur de longueur 2l, modélisé
par une ligne de transmission, nécessaire à l’émission et la reception
des ondes électromagnétiques. l’an5.4 Rayonnement du Di- tenne est accordée si l = p λ , et on
4
pôle
prend en général l = λ4 . Pour calUn dipole est dit oscillant si p = culer le champ rayonné on considère
qa = qauz varie dans le temps sinu- l’antenne comme une succession contisoïdalement (on considérera afin d’allé- nue de dipôles oscillants de longueur
à grande distance :
ger le calcul que c’est q qui varie, sans dz. Ce qui donne
π
µ0
ej(ωt−kr) cos( 2 cos(θ))
uθ . Le
perdre toutefois en généralité). Soit en E = 2 4π I0 jc
r
sin(θ)
complexes : q = q0 ejωt et p = p0 ejωt . rayonnement est anisotrope, principaA cette oscillation on associe un cou- lement dirigé orthogonalement à l’anjωt
rant (i = dq
avec tenne.
dt ), soit : i = i0 e
i0 = jωq.
[Champs]
Avec les approximations usuelles 5.5 Le Corps Noir
du dipôle on obtient :Potentiel
Un corps noir est un corps qui abr
µ0 i(t− c )
vecteur. A(r, t) ' 4π
auz sorbe intégralement le raynnement à
r
Soit en coordonnées sphériques : toute longueur d’onde. Il réémet tout
Champ B. B r = B θ = 0 et B φ = le rayonnement reçu, selon une réparµ0 ai0
jω
1
tition spectrale indépendante du corps
4πr sin(θ)( r + c ) exp(jω(t −
r
(noir) considéré : c’est le rayonnement
=
).
Champ
E.
E
r
c
i0 a 2 cos(θ) 1
jω
du corps noir.
r
4π0 jωr 2 ( r + c ) exp(jω(t − c ),
– La loi du déplacement de Wien
i0 a sin(θ) 1
1
E θ = 4π0 jωr ( r2 + jω
c (r +
(1893) indique comment varie le
jω
r
maximum de cette densité specc )) exp(jω(t − c ) et E φ = 0.
A grande distance on retrouve B =
trale : λm T = cte = 2.9 mm.K
ur
– loi de Stefan (1879). la puissance
c ∧E. La structure du champ est celle
d’une onde sphérique assimilable locaémise par unité de surface est :
e
lement à celle d’une onde plane.
φe = dP
= σT 4 avec σ =
dS
−8
[Puissance rayonnée] À grande dis5.67 10 W.m−2 .K −4 .
sin2 (θ) 1
– Un corps peut se comporter
tance on a : < Π >= cte r2 λ4 ur .
Conséquences :
comme un corps noir à un coefficomposante vérifiant ∆E − c12 ∂t2 = 0,
0
et elles sont liées pas ÷E = 0. On
cherche des solutions à variables séparées soit : E1 (x, y) = f (x)g(y). On a
avec les conditions aux limites :
nπy
Ex = E1 cos( mπx
a ) sin( b ) cos(ωt −
kz),
nπy
Ey = E2 sin( mπx
a ) cos( b ) cos(ωt −
kz) et
n2 π 2
ω2
m2 π 2
2
a2 + b2 = c20 − k . Cette onde est
dite T Emn . Il y a une fréquence minimale (de coupure) admissible : νc =
c0 c0
inf ( 2b
, 2a ) et on des modes propres
et fréquences propres pour le guide
d’ondes. On généralise facilement au
cas d’une cavité rectangulaire (longueur c sur Oz ).
cient d’absorption près a(λ) (abconcorde avec la valeur expérisorption selective selon les lonmentale.
gueurs d’onde), dans ce cas là
Ce calcul mené par Planck utilise
la réémission se fait comme celle pour la première fois les constantes h
d’un corps noir au coefficient et kB .
a(λ) près. un tel corps est dit
gris.
– on peut effectuer une mesure de 5.6 Electrostatique
la température d’un corps rayon[Equations générales]
nant thermiquement (tempéraLes équations de Maxwell
ture T inconnue) en superposant
donnent : ÷E = ρ0 et rotE = 0.
à son rayonnement celui d’un
Ce qui entraine :E = −gravV ,
corps noir étalon à la tempéraV est défini à une constante
ture T1 connue. Si T < T1 le
près, les lignes de champ sont
corps apparait sombre, si T > T1
orthogonales aux équipotenle corps parait brillant et si T =
tielles et orientées du potenT1 le corps semble disparaitre.
tiel le plus haut au potentiel le
– le rayonnement cosmologique
plus
de Gauss.
R R bas. Théorème
fossile est un rayonnement de
.
Equation
de
EdS = Qint
0
type corps noir àla température
Poisson. ∆V + ρ0 = 0. Le pode 3 K.
tentiel n’a pas d’extremum dans
[Energie]
une région vide de charges.
Discontinuités. le champ E est
– Le flux surfacique incident est la
discontinu à travers une surface
puissance reçue par unité de suri
chargée : EN1 − EN2 = σ0 N2→1
,
il
est
soit
renvoyé
face : φi = dP
dS
et ET1 = ET2 . Le potentiel
soit absorbé : φi = φr + φa .
est continu à travers une sur– Le flux surfacique partant φp
face chargée. Champ et poten(émittance) est défini comme :
tiel dus à une charge ponctuelle.
φp = φr + φe .
E = 4πq 0 rr3 et V = 4πq 0 1r .
– A l’équilibre on a : φe = φa = φ.
[Energie]
Ceci est valable à toute longueur
d’onde on peut donc écrire : φλ =
– Energie propre d’une distribuφeλ = φaλ . On appelle u la dention de charges. La densité
2
sité volumique d’énergie du gaz
d’énergie est we = 0 E2 , l’éneruc
de photons on a alors : φ = 4
gie dans le volume V est W =V
2
0E
(resp. φλ = u4λ c ).
2 dτ . Soit encore : W =espace
1
– La loi de Wien stipule que uν =
2 ρV dτ .
ν
3
– Energie potentielle (externe).
T f ( T ).
Pour une charge, Ep = qV ,
– Modèle
de
Rayleigh-Jeans
8πν 2 kB T
pour une
(1900). uRJ
=
.
Valable
3
ν
P distribution de charges,
c
Ep =
aux "faibles" valeurs de ν.
i qi Vexti où Vexti est le
potentiel
en qi du champ créé
– Modèle de Wien (1896). uW
=
ν
hν
8πhν 3
par les charges extérieures à la
exp(−
).
valable
pour
ν
c3
kB T
distribution.
"grand".
[symétries] Principe de Curie : Un
– Loi de Planck (1900). uν =
phénomène
physique posséde au moins
8πhν 3
1
c3 exp( khνT )−1 . Qui donne u =
les
éléments
de symétrie de ses causes.
B
4
2π 5 kB
4σ 4
T
,
avec
σ
=
=
–
Si
la
distribution
de charges est
2
3
c
15c h
5.67 10−8 W.m−2 .K −4 , ce qui
invariante par translation selon
Oz , le champ ne dépend pas de
z.
– Si la distribution de charges est
invariante par rotation d’angle θ,
le champ ne dépend pas de θ.
– En un point appartenant à un
plan de symétrie d’une distribution de charges, le champ électrostatique appartient à ce plan.
– En un point appartenant à un
plan d’antisymétrie d’une distribution de charges, le champ électrostatique est orthogonal à ce
plan.
[Champs usuels]
– Sphère de rayon R, chargée avec
une densité volumique uniforme
ρ, charge totale Q. r ≥ R, E =
ρ
Q r
4π0 r 3 et r ≤ R, E = 30 r.
– Sphère de rayon R, chargée avec
une densité surfacique uniforme
σ, charge totale Q. r ≥ R, E =
Q r
4π0 r 3 et r ≤ R, E = 0.
– Fil infini, chargé avec une densité
linèique uniforme λ. E = 2πλ0 rr2
– Plan, chargé avec une densité
surfacique uniforme σ. z >
0, E = 2σ0 uz et z < 0, E =
− 2σ0 uz .
– Disque, chargé avec une densité
surfacique uniforme σ, sur son
σΩ
uz , où Ω est
axe : E = 4π
0
l’angle solide sous lequel on voit
le disque depuis le point M.
[Dipôles]
– Un dipôle est un ensemble de
deux charges q > 0 et −q distantes de a. On définit le moment dipolaire : p = qa et on a
alors (à grande distance) : V =
1 pr
4π0 r 3 . Les équipotentielles sont
les courbes : r2 = A cos(θ), les
lignes de champs vérifient : Edrr =
rdθ
2
Eθ , ce qui donne : r = K sin (θ).
– Développement multipolaire. On
considère un ensemble de charges
qi plaçées en Ai , on pose ai =
OAi , r = OM
P et ri = Ai M .
Soit V = 4π1 0 i rqii ' 4π1 0 ( Q
r +
P 3(ai r)2 −a2i r2
r
i qi ai r 3 +
i qi
2r 5
V0 + V1 + V2 . Si Q 6= 0,
P
=
on
place l’origine au barycentre de
la distribution
de charges et alors
P
p =
i qi ai = 0 et V = V0 à
un terme d’ordre deux près. Si
Q = 0, la quantité p est indépendante de l’origine choisie et
la distribution est équivalente à
un dipôle de moment p placé à
l’origine. Si Q = 0 et p = 0, la
distribution est un quadrupôle.
– On pourait bien sur faire un DL
à l’ordre n et obtenir un développement multipolaire d’ordre n.
– Action d’un champ uniforme sur
un dipôle. Résultante : R = 0,
couple : Γ = p ∧ E, énergie potentielle : Ep = −pE.
– Action d’un champ non uniforme. R = (p∇)E, Γ = p∧E(O)
et Ep = −pE(O).
On peut écrire de façon plus "intrinsèque" : V = − 4π1 0 ÷ pr et E =
p
1
4π0 grad ÷ r .
[Conducteurs]
– Dans un conducteur à l’équilibre
on a : E = 0R Ret donc ρ = 0,
V = cte, Q =
σdS.
S
– On appelle capacité propre du
conducteur la quantité : C0 = VQ .
– Pouvoir des pointes : le champ
est plus intense au voisinage
des zones de forte courbure du
conducteur.
[Coulomb] Juste au dessus de la
surface d’un conducteur à l’équilibre
on a E = σ0 N
[Pession électrostatique] La pression s’exerçant sur un élément dSla
surface du conducteur (due aux autres
charges agissant sur les charges de dS)
2
est p = σ20 . C’est encore valable si il y a
plusieurs conducteurs tant que l’équilibre est réalisé. C’est le seul moyen (rigoureux) de calculer la force s’exerçant
sur un conducteur.
[Conducteur en présence de
charges]
– Le potentiel doit vérifier : ∆V +
ρ
= 0, V = V0 sur la surface du
0
conducteur et V = 0 à l’infini,
problème admettant une solution
unique.
– On raisonne ainsi (si c’est possible) : on cherche une distibution discrète de charges créant
des surfaces équipotentielles de la
forme adéquate, le potentiel est
alors en tout point (sauf à l’intérieur des conducteurs) celui de
l’ensemble conducteur/charges.
On appelle ce procédé la méthode des images électriques.
– Avec deux charges on crée
des équipotentielles sphériques
(points de Weierstrass du dioptre
sphérique...)
– Avec deux charges le plan médian
est une surface équipotentielle.
– Avec deux fils infinis (paralléles)
on crée des équipotentielles cylindriques (le plan médian est encore une équipotentielle).
[Equilibre de conducteurs]
Avec la linéarité des équations
de l’électrostatique on peut se
contenter de connaitre deux états
particuliers faciles du système de
deux conducteurs A1 et A2 pour
déterminer n’importe quel état
du système. On choisi :V1 = 1 V
et V2 = 0 V . Alors Q1 = C11 et
Q2 = C21 . V1 = 0 V et V2 = 1 V .
Alors Q1 = C12 et Q2 = C22 .
On a alors : V1 = V1 V et V2 =
0 V . Alors Q1 = C11 V1 et Q2 =
C21 V1 . V1 = 0 V et V2 = V2 V .
Alors Q1 = C12 V2 et Q2 = C22 V2
Ce qui donne pour un état quelconque (V1 , V2 ) : ( Q )1
Q2 = ( C )11 C12
C21 C22 ( V )1
V2 . Cette matrice (symétrique)
s’appelle la matrice capacité du
système, les coefficients : C11 et
C22 sont les coefficients de capacité et C12 et C21 sont les coefficients d’influence. ils ne dé-
pendent que de la géométrie des
conducteurs. Ils vérifient : C12 =
C21 ≤ 0, Cii ≥ 0 C11 + C12 ≥ 0
et C22 + C21 ≥ 0 On généralise
facilement au cas de N conducteurs.
Si toutes les lignes de champ issues
de A1 rencontrent A2 on dit que les
deux conducteurs sont en influence totale.
[Condensateurs]
– Deux conducteurs en influence
totale forment un condensateur.
En général ceci est réalisé en en
tourant le conducteur A1 par le
conducteur A2 . les indices i et
e désignent içi les faces internes
(resp. externes des conducteurs.
– Soient Q1 et Q2 = Q2i + Q2e les
charges des deux conducteurs.
Supposons V1 6= 0 et V2 = 0 V .
– On a facilement dans la matrice
capacité : C12 = −C11 et comme
le potentiel est nul à l’extérieur,
Q2 = Q2i = −Q1 .
– Donc : Q1 = C11 (V1 − V2 ), que
l’on réécrit : Q = CV , où C =
C11 est la capacité du condensateur et Q la charge du condensateur.
Supoosons V2 6= 0, ce qui ne
change rien à ce qui se passe à
l’intérieur.
– Du point de vue de l’extérieur
tout se passe comme si il y avait
un conducteur plein des dimensions de A2 porté au potentiel V2 ,
on a donc Q2e = C2 V2 , où C2 est
la capacité propre du conducteur
équivalent à A2 . Ce qui donne :
C22 = C11 + C2
Dans tout les cas on a la matrice
capacité : ( C ) − C
− C C + C2
En fait le nom de condensateur désigne uniquement les armatures en regard des deux conducteurs.
[Capacités usuelles] On considère
qu’un diélectrique r remplit l’espace
entre les armatures.
– Condensateur spérique. C =
R2
.
4π0r RR21−R
1
– Condensateur cylindrique de
h
hauteur h. C = 2π0r
R2 .
ln( R )
1
– Condensateur plan (surface S
distance e). C = 0reS .
[Energie]
– pour unP
système de conducteurs :
Ep = 12 i Qi Vi .
– Si on fait passer l’état du système de Qi , Vi à Q0i , Vi0 , on a :
Wop = ∆Ep = Ep0 − Ep .
– pour un condensateur : Ep =
1
2 1
2
2 C(V1 −V2 ) + 2 C2 V2 = W +We ,
où W est l’énergie du condensateur et We est l’énergie de la face
externe de A2 .
5.7
Magnétostatique
[Equations générales]
Les équations de Maxwell
donnent : ÷B = 0 et rotB = µ0 j,
d’où l’on tire :B = rotA, A est le
potentiel vecteur, défini à un gradient
près. Théorème d’Ampère.
H
Bdl = µ0 Ienlacé . Dans la jauge
de Coulomb on a : ∆A+µ0 j = 0,
µ0 dτ
j r.
d’où l’on tire : A = 4π
Discontinuités. Le champ B est
discontinu à travers une surface
portant une densité surfacique
de courant jS : BN1 = BN2 et
BT1 − BT2 = µ0 js ∧ N2→1 . Le
potentiel vecteur est continu à
travers une telle surface.
[Biot et Savart] Le champ du à
une distribution de courants est : B =
µ0 jdτ ∧r
4π V r 3
[Force de Laplace]
– df = jdτ ∧ B
Pour deux circuits filiformes (C1
et C2 ) agissant l’un sur l’autre on
a:
H
H
µ0
– R = 4π
i dl ∧ ( C1 i1 dl1 ∧
C2 2 2
r12
3 ).
r12
– il n’y a pas action et réaction au
niveau de dl1 et dl2 mais au niveau des résultantes globales.
[Energie]
B2
– Densité d’énergie : wm = 2µ
.
0
– Energie comprise dans le volume
B2
dτ . Soit encore :
v : W =V 2µ
0
1
W = 2 espace jAdτ .
– Dans le cas des
P circuits filiformes : W = 12 k Ik Φk .
[symétries]
– Si la distribution de courants est
invariante par translation selon
Oz , le champ ne dépend pas de
z.
– Si la distribution de courants est
invariante par rotation d’angle θ,
le champ ne dépend pas de θ.
– En un point appartenant à un
plan de symétrie d’une distribution de charges, le champ magnétostatique est orthogonal à ce
plan.
– En un point appartenant à un
plan d’antisymétrie d’une distribution de charges, le champ
magnétostatique appartient à ce
plan.
[Champs usuels]
– Fil infini d’axe Oz parcouru par
0I
uθ .
un courant I : B = µ2πr
0I
– Fil fini : B = µ4πr
(cos(θ1 ) −
cos(θ2 ))uθ .
– Spire de rayon a sur son axe :
0I
B = µ2a
sin3 (θ)uz . Attention à
la définition de θ ici il est tel que
cos(θ) = M OM A.
– Bobine plate constituée de N
spires jointives :
NI
B = µ02a
sin3 (θ)uz .
– Solénoïde circulaire d’axe ux , n
spires par unité de longueur. B =
µ0 nI
2 (cos(θN )−cos(θS ))ux . (l’axe
Sud-Nord est pris dans le même
sens que ux ).
– Solénoïde infini de rayon a, d’axe
uz . Si r < a, B = µ0 nIuz et si
r > a, B = 0.
Par convention, une intensité de 1
A circule dans deux fils infinis paralléles distants de 1 m dont la force exercée par l’un sur l’autre vaut 2 10−7 N.
[Dipôles]
Loin d’un circuit plan on a :A =
µ0
r
4π M ∧ r 3 , où M = IS est le moment magnétique du circuit.
Soit en coordonnées sphériques, avec M = ISuz :
µ0 M sin(θ)
A = 4π
uφ et Br =
r2
µ0 M sin(θ)
µ0 2M cos(θ)
et
B
.
θ = 4π
4π
r3
r3
Généralisation. on peut écrire selon
H la nature du circuit
RR : M =
1
1
r
∧
Idr,
M
=
r ∧ jS dS
2
2
ou M = 12 r ∧ jdτ . Action d’un
champ uniforme sur un circuit
plan. R = 0, Γ = M ∧ B et
Ep = −M B. Action d’un champ
quasi uniforme. R = (M ∇)B,
Γ = M ∧ B et Ep = −M B.
On peut écrire de façon plus "inµ0
rot M
trinséque" : A = 4π
r et B =
µ0
M
4π grad ÷ r .
[Travail forces Laplace] On considère le déplacement d’un circuit parcouru par un courant I dans un champ
magnétique B constant. Le travail total des forces de Laplace lors du déplacement est proportionnel au flux
(de B) coupé lors de déplacement, soit
WL = IΦc .
[Maxwell] On a : WL = −∆Ep =
+I∆Φ, où Φ est le flux de B à travers
le cicuit.
Un circuit libre d’évoluer ou de se
déformer sous l’action des forces de Laplace va tendre à rendre son énergie
potentielle minimale, donc à rendre le
flux le traversant maximum.
5.8
Induction
[ARQP] La condition de validité de
l’ARQP est : les dimensions caractéristiques des circuits considérés sont négligeables devant la longueur d’onde.
[Conducteurs dans l’ARQP]
– On néglige le retard du à la propagation ; les potentiels retardés
deviennent alors :
V (M, t) = 4π1 0 sources ρ(P,t)
P M dτ
A=
j(P,t)
µ0
4π sources P M dτ .
– Les équations de Maxwell deviennent : ÷E = ρ0 , ÷B = 0,
rotE = − ∂B
∂t et rotB = µ0 j.
– On a toujours : B = rotA et
E = −∇V − ∂A
∂t .
– On a de plus : ÷j = 0 : l’intensité
est la même en tout point d’un
circuit.
– Loi d’Ohm (locale). j = γE
– On a encore : ∆E − µ0 γ ∂E
∂t =
=
0.
Ce
qui
0 et ∆j − µ0 γ ∂j
∂t
implique : le courant est surfacique, avec une épaisseur caractéristique
(épaisseur de peau)
q
2
δ =
µ0 γω . Pour des basses
fréquences le courant sera volumique tandis que pour de hautes
fréquences il sera surfacique :
c’est l’effet de peau.
[Generateurs]
– Un générateur sert à mettre en
mouvement des charges dans un
cicuit en faisant intervenir des
forces non électrostatiques qui
fournissent de l’énergie au système. Si la force fm agit sur la
charge q on définit le champ électromoteur par fm = qEm .
– Sous l’effet du champ électromoteur, un champ électrostatique
s’établit en sens contraire de telle
sorte que à l’équilibre, E =
−Em .
– La force électromotrice du générateur est la quantité : e =
RB
Em dl.
A
– lorsque le générateur débite on
a : j = γ(E + Em ) 6= 0.et sur
une portion AB de circuit contenant le générateur on a VA −VB +
eAB = RAB I (loi d’Ohm généralisée ou loi de Pouillet).
[Induction] Expérimentalement :
– il se crée dans un circuit fixe
plongé dans un champ B variable
un courant induit i tel que le
champ Bi créé par i s’oppose aux
variations de B, c’est la loi de
Lenz (principe de modération).
– le même phénomène apparait si
c’est le circuit qui bouge dans B
constant.
Dans les deux cas la fem d’induction
est donnée par la loi de Faraday : e =
− dΦ
dt , où Φ est le flux de B à travers le
circuit. Si il n’y a pas d’autre fem on
aura aussi e = Ri.
– Circuit fixe dans un champ variable. Em = − ∂A
∂t .
– Circuit mobile dans un champ
constant. Em = ve ∧ B.
Dans le cas général on a : Em =
− ∂A
∂t + ve ∧ B.
– Autoinduction. Un cicuit parcouru par un courant variable
crée un champ variable dont le
flux créé une fem dans le circuit
lui même dit fem d’autoinduction.
– Coefficients d’induction. Si deux
circuits C1 et C2 agissent l’un
sur l’autre on a : Φ1/2 = M12 i1
et Φ2/1 = M21 i2 avec M12 =
H H dl1 dl2
µ0
4π C1 C2 r12 = M21 . M12 est
le coefficient de mutuelle induction des circuits.
– Dans le cas de l’autoinduction on
a de même : Φ = Li, L est le coefficient d’autoinduction.
2
– on a : M12
≤ L1 L2 , avec égalité
si le couplage de circuits est par-
fait.
Pour un solénoïde de N spires, de
longueur l et de section S : L = µ0 N 2 Sl
[Energie] On a : WB = 21 Li2 =
1
B2
2 iΦ = 2µ0 dτ . C’est cette formule qui
sert à mesurer L quand le calcul direct
du flux est impossible.
On appelle courants de Foucault
les courants induits qui prennent naissance dans un conducteur et dissipent
de l’énergie par effet Joule. On procéde par approximations successives :
le champ B0 créé un champ E1 tel que
0
E1 = − ∂A
∂t et une densité de courant
par j1 = γE1 . Ce sont dans l’approximation des bons conducteurs les seuls
termes non négligeables. On calcule la
j2
puissance dissipée par : dP = γ1 dτ .
[Transducteurs] Ce sont des dispositifs transformant de l’énergie électrique en énergie mécanique. Il faut
deux équations pour les modéliser :
l’une mécanique et l’autre électrique.
On effectue les calculs d’actions mécaniques soit directement avec df L =
idl ∧ B, soit en considérant le circuit
comme un dipôle et en écrivant (par
exemple) : ΓL = M ∧ B = iS ∧ B,
quand la variation de S est facile à
écrire en fonction du paramètre cinématique.
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