Condensé de cours MP : Mécanique et Thermodynamique

Condensé de cours MP
Bouhrara.Farouk
10 juin 2018
Le complexe associé à x est noté x.
La valeur moyenne de x est notée x
ou <x>.
Lorsque la lettre iest déjà utilisée,
on note jle nombre complexe tel que
j2=−1.
Quand la situation est sans ambi-
guité p, n, m sont des entiers.
Pour une surface fermée les vec-
teurs surface sont orientés de l’inté-
rieur vers l’extérieur.
Une grandeur est dite uniforme
lorsqu’elle ne dépend pas des variables
d’espace.
Une grandeur est dite constante
lorsqu’elle ne dépend pas de la variable
temporelle.
1 Mecanique
1.1 Point Matériel
– Grandeurs cinématiques. Vitesse
de M dans (R) : v=dOM
dt R, ac-
célération de M dans (R) : a=
d2OM
dt2R, Abscisse curviligne : s
définie sur une courbe orientée
munie d’une origine.
– Grandeurs cinétiques. Masse,
quantité de mouvement du point
M, de masse m, de vitesse v:
p=mv, moment cinétique par
rapport à O:σO=OM ∧p
– Moment dynamique d’une force
par rapport à un point. MF,O =
OM ∧F.
– Changement de référentiel. va=
vr+veavec : va=dO1M
dt R1,
vr=dO2M
dt R2et ve=dO1O2 dt R1+
ωR2/R1∧O2M.
aa=ar+ae+acavec ae=
d2O1O2
dt2R1+ωR2/R1 dt R1∧O2M+
ωR2/R1∧(ωR2/R1∧O2M)et ac=
2ωR2/R1∧vr
– Trièdre de Frénet. (T, N, T ∧N)
avec T=dOM
ds et N ρ=dT ds où
ρest le rayon de courbure. Dans
cette base on a : v=ds
dt Tet
a=d2s
dt2T+v2 ρN
– RFD.Fext→M=dp
dt
– TMC. MF,O =−vO∧p+dσO
dt
[Référentiels]
– Référentiel Galiléen. Référentiel
dans lequel la RFD est valable
(plus exactement tel que le mou-
vement de tout point matériel
isolé soit rectiligne et uniforme).
Tous les référentiels galiléen sont
en translation rectiligne et uni-
forme les uns par rapport aux
autres.
– Référentiel non galiléen. Dans
ce référentiel la RFD s’écrit :
Fext→M+Fie +Fic =maravec
Fie =−maeet Fic =−mac
[Forces centrales]
– Champ de forces centrales.
Champ tel que f=f(r)ur.
Le mouvement est plan (σ=
cte et σ0=mr2dθ
dt =C).
Loi des Aires : vecteur surface
dS =1
2r∧dr =1 2r2dθuzd’où :
dS
dt =1 2r2dθ dt =cte. Le mouve-
ment est conservatif (fdérive
d’une énergie potentielle) et on
a (conservation de l’énergie) :
1
2m((dr dt )2+r2(dθ dt )2) + Ep(r) =
E=cte soit avec la loi des aires :
1
2m(dr dt )2+σ2
0
2mr2+Ep(r) = E. Ce
qui est formellement équivalent
à un mouvement 1d d’équation
E=1
2mdr dt
2+Epeff (r).
– formules de Binet. on pose u=1
r
et on a v2=C2(u2+du
dθ
2)et
a=−C2u2(u+d2u
dθ2)ur.
[Planètes]
1

– On a ma =−GMm
r2ur=−k r2ur,
ce qui donne r=mC2
k(1+ecos(θ+φ)) .
Mouvement elliptique (e < 1) :
on se ramène à r=p
1+ecos(θ),
demi grand axe a=p
1−e2,E=
−k
2a. Mouvement hyperbolique
(e > 1) : r=±p
1+ecos(θ),p=b2 a,
e=c
a.
– Vecteur excentricité. A=v∧σ
k−
ur. C’est un vecteur constant.
[Oscillateurs]
– Oscillateurs 1d. Mouvements dé-
crits par l’équation : 1
2m(ds dt )2+
Ep(s) = cte =Eoù sest
un paramêtre du mouvement.
La résultante des forces dérive
alors d’une énergie potentielle :
f=−∇Epet donc δWf=
−dEp. Remarquons que cette
équation peut s’intégrer : dt =
±ds
√2
m(E−Ep(s))
– Equilibre. Les positions d’équi-
libre sont telles que : dEp
ds = 0 ; si
d2Ep
ds2>0l’équilibre est stable, si
d2Ep
ds2<0l’équilibre est instable.
– Petites oscillations. Au voisinage
d’une position d’équilibre stable,
s0on a : Ep(s)≈Ep(s0) + (s−
s0)dEp
ds s0+1 2(s−s0)2d2Ep ds2s0=
Ep(s0)+ 1
2(s−s0)2k2car d2Ep ds2>
0. Comme 1
2mds dt
2+Ep=E=
cte, on a donc en posant x=
s−s0,d2x
dt2+ω2x= 0 : c’est
l’équation d’un oscillateur har-
monique à une dimension de pul-
sation ω=k
m.
– Oscillateurs 2d. Points soumis a
des forces du type f=−krur. Le
mouvement est à force centrale
donc plan et projeté sur une base,
il donne pour chaque coordonnée
une équation d’oscillateur 1d.
– Oscillateur complets. C’est une
association en série de Noscil-
lateurs. Pour Nmasses mre-
liées par des ressorts de rigidité
kon a : ∀n∈[1, N],d2xn
dt2=
ω(xn−1−2xn+xn+1)avec x0=
0 = xn+1. Il y a Nmodes propres
c’est à dire Nsolutions distinctes
de cette équation sous la forme
x=apcos(ωpx+φp). Le mou-
vement d’un point est donné par
une combinaison linéaire de ces
solutions.
– Oscillateur amorti. Equation :
d2x
dt2+ 2αdx dt +ω2
0x= 0. Trois ré-
gimes distincts : si α > ω0, ré-
gime amorti ; si α=ω0régime
critique ; si α < ω0régime oscil-
latoire amorti. Idem en 2d : ré-
soudre le système couplé d’équa-
tion en posant ξ=x+iy. Si
le régime est faiblement amorti,
E=E(0) exp(−2αt),T≈2π
ω0et
Q=π
αT .
– Poids. P=mg =m(G−ae)
– Portrait de phase. Pour un os-
cillateur c’est le graphe (x, dx
dt ),
pour un jeu de conditions ini-
tiales.
– Pendule sphèrique. (Foucault) il
y a conservation du moment pro-
jeté sur l’axe vertical (et de
l’énergie).
1.2 Systèmes matériels
– Quantité de mouvement. Soient
N particules Mide masse miet
de quantité de mouvement pi=
mivion pose M=PN
i=1 miet
on a p=PN
i=1 pi=MvG
– Réferentiel Barycentrique. C’est
le référentiel (R∗) de centre G en
translation par rapport à (R) ga-
lileen. La vitesse vi∗de Midans
ce référentiel est telle que : vi=
vi∗+vG
– Moment. σA=PN
i=1 AMi∧pi=
σB+AB ∧p.
[Résultante dynamique]
– RFD. Fiext =MdvG
dt avec
Fiext =PN
i=1 fiext/Mi
– Koenig. σO=σp+OG ∧pavec

∀A, σp=σ∗G=σ∗A.
Ec=1
2Mv2
G+E∗
c
– TMC. σA
dt =vA∧p+PN
i=1 AMi∧
fiext. Supposons que ∀i∈
[1, N], fiext =miAalors σA
dt =
AG ∧Fext où Fext =PN
i=1 fiext.
[Énergie potentielle]
– Deux particules. L’éner-
gie potentielle d’interaction
Ep(x1, ..., z2)existe ssi f2/1=
−∇1Ep(x1, ..., z2)et f1/2=
−∇2Ep(x1, ..., z2), où ∇i=
(∂
∂xi,∂ ∂yi,∂ ∂zi). On a alors
δWint =−dEpint et Ec+Epint =
cte =E, ce qui correspond à la
bonne définition d’une énergie
potentielle. On aura de plus en
général : f1/2=−dEpint (r)
dr ur.
– N points. Epint =Pi>j Epint (i, j).
[Système à deux corps]
– Masse réduite. On considère
deux particules en interaction et
on étudie le mouvement de M2
dans (R1)référentiel (non gali-
léen) lié à M1. On a alors : f1/2=
µaM2/R1où µ=m1m2
m1+m2est la
masse réduite du système. Les
forces d’inertie "disparaissent".
– Particule réduite. On peut choi-
sir d’étudier ce mouvement dans
(R∗). Soit r=M1M2alors
f1/2=µd2r
dt2(équation du mou-
vement de la particule réduite du
système, M, de masse µpar rap-
port à G).
– On a de plus : Ec=1
2µv2et
σp=GM ∧µv.
[Masse variable] Problème unidi-
mensionnel : fusée. On suppose une loi
d’évolution de la masse m(t) = m0−Dt
(D: débit massique). Soit ula vitesse
d’éjection des gaz. On considère le sys-
tème fermé fusée+gaz éjectés. A l’ins-
tant ton a : p(t) = m(t)v(t), à t+dt :
p(t+dt) = m(t+dt)v(t+dt)−dm(v−u).
Le système étant fermé on a : dp =
fextdt. Or dp =m(t+dt)v(t+dt)−
dm(v−u)−m(t)v(t) = d(mv)−dm(v−
u) = mdv +udm =mdv −uDdt. On a
donc mdv
dt =uD +fext.
On raisonnera souvent sur des ré-
partitions continues (et non discrètes)
de particules et donc de masse, de
charges... Il est d’usage d’associer à
ces grandeurs une grandeur volumique
(par exemple : ρ=dm
dτ ) définie locale-
ment. On généralise alors les résultats
en faisant : m↔dm, q ↔dq, f ↔
df...
1.3 Solide indéformable
– Solide indéformable. Solide S
caractérisé par ∀(Mi, Mj)∈
S, MiMj=ctei,j
– Moment d’inertie autour d’un
axe fixe ∆:J∆=r2dm
∀(M, N)∈S, vM=vN+Ω ∧NM
[Huygens] Soit ∆et ∆Gdeux axes
parallèles séparés par une distance a.
On a J∆=J∆G+Ma2
– Glissement. Soient S1et S2deux
solides, (R1)le référentiel lié à
S1,(R2)celui lié à S2et I1∈S1,
I2∈S2en contact en I à l’in-
tant tdonné. La vitesse de glis-
sement de S2sur S1est alors :
vg=vI2/R1et on a : ∀M∈
S2, vM2/R1=vg+ ΩR2/R1∧IM .
Il y a glissement ssi vg6= 0.
– Soit Ω=ΩR2/R1. Soit Πle plan
tangent au contact. On a par rap-
port à Π,Ω = ΩN+ΩT. Par défi-
nition, il y a roulement ssi ΩT6=
0et pivotement ssi ΩN6= 0.
[Systèmes de forces]
– Actions de contact : résultante S
et moment MI=MA+IA ∧S6=
0(a priori).
– Puissance d’un système de
forces. On a PS,R1=Pvi/R1·
fi=Pfi(vi/R2+vO2/R1+
ΩS/R1∧O2Mi) = PS,R2+
RvO2/R1+ ΩS/R1MO2où R=
Pfiet MO2=Pfi∧MiO2.
Dans (R2)lié au solide, PS,R2=
0et donc PS,R1=RvO2/R1+
ΩS/R1MO2, expression indépen-
dante de O2.

– Puissance des actions de
contact : P=SvI2/R1+
ΩR2/R1MI.
[Coulomb]
– Frottement de glissement. Si
vg6= 0, on a : RTvg<0et
RT=fRN. f est le coefficient de
frottement dynamique. Si vg= 0,
Rest dans le cône de frottement :
RT≤f0RN.f0est le coefficient
de frottement statique (f≤f0).
– Frottement de roulement. Si
ΩT6= 0 on a un moment Mtel
que MΩT<0et M=fΩT.
[Inertie] Pour un solide en rotation
de vitesse angulaire ωautour d’un axe
fixe ∆de direction upassant par Aon
a : σ∆=σAu=J∆ωet Ec=1
2J∆ω2.
– En général on a σ= [J]ωoù
[J]est une matrice symétrique
réelle (donc diagonalisable selon
trois axes orthogonaux) appe-
lée opérateur d’inertie et Ec=
1
2ω([J]ω).
2 Thermodynamique
2.1 Pression dans les
fluides au repos
[Pression] La force de pression
s’éxerçant sur un élément de surface dS
est dF s =−pdS. La pression p dépend
du point M.
[Loi de l’hydrostatique] Dans un
fluide incompressible, p(z)−p(z0) =
−ρg(z−z0). De manière plus générale,
∇p−fv= 0 (fvdésigne la résultante
des forces volumiques s’exerçant sur le
système ; ici fv=−ρg).
ρla masse volumique est constante
pour un fluide incompressible.
[Poussée d’Archimède] Tout corps
plongé dans un système de fluides est
soumis à une force, la poussée d’Archi-
mède, dirigée vers le haut, de norme le
poids du volume de fluide déplacé.
2.2 Premier principe
[Transformations]
– Une transformation est dite
quasi-statique si elle est une suc-
cession continue d’états d’équi-
libre thermodynamique et mé-
canique internes au sytème et
infiniment proches les uns des
autres.
– Une transformation réversible
est une transformation quasi-
statique sans frottement.
– Une transformation est dite adia-
batique si elle s’effectue sans
transfert thermique.
– Une transformation est dite iso-
therme si elle s’effectue à tempé-
rature constante.
– Une transformation est dite iso-
chore si elle s’effectue à volume
constant.
– Une transformation est dite iso-
bare si elle s’effectue à pression
constante.
– Une transformation cyclique est
telle que le système se retrouve
dans le même état à l’état final
qu’à l’état initial.
– Pour une transformation quel-
conque entre deux états d’équi-
libre 1 et 2, W=−R2
1PextdV .
– Pour une transformation réver-
sible entre deux états d’équilibre
1 et 2, W=−R2
1P dV .
– Soit une transformation entre
deux états d’équilibre 1 et 2 telle
que ∆Ec = ∆Ep = 0, le système
étant fermé, ∆U=W+Q.
– Pour une transformation infinité-
simale, dU =δW +δQ.
[Premier principe] Uest une fonc-
tion d’état extensive.
[enthalphie] On définit l’enthalpie
H par H=U+P V . H est extensive.
C’est une fonction d’état.
– Considèrons une transformation
isochore entre deux états d’équi-
libre 1 et 2 sans travail autre que
celui des forces de pression, et

∆(Ec +Ep)=0alors ∆U=Qv.
– Considèrons une transformation
(quelconque) isobare à P=
Pext =cste alors W=−Pext∆V
donc ∆H=Qp.
– Considèrons une transformation
réversible isobare alors dH =δQ.
On pose Cv= (∂U
∂T )Vcapacité ca-
lorifique à volume constant et Cp=
(∂H
∂T )Pcapacité calorifique à pression
constante.
2.3 Maxwell-Boltzmann
[Loi de Maxwell-Boltzmann] La
probabilité élémentaire qu’une par-
ticule ait une vitesse Vxcomprise
entre Vxet Vx+dVx, une vi-
tesse Vycomprise entre Vyet Vy+
dVy, une vitesse Vzcomprise entre
Vzet Vz+dVzest dP =α·
exp(−1
2m(V2
x+V2 y+V2 z)
kT )dVxdVydVzavec
alpha tel que dP = 1 et k constante
de Boltzmann.
De cette loi nous pouvons déduire
deux résultats importants :
–< Vx>Vx>0=qkT
2πm
–u=q3kT
m, u étant la vitesse
quadratique moyenne.
2.4 Etude macroscopique
des gaz parfaits
[Équation d’état des gaz parfaits]
P V =nRT
Cette équation se met sous d’autres
formes :
–MP V =mRT
–ρ=MP
RT pour ρ=m V
La loi de l’hydrostatique donne
dP
dz =−ρ·g, nous avons donc P=
P0·exp(−Mgz
RT0)si T=T0=cste.
2.5 Etude énergétique ma-
croscopique des gaz
parfaits
[Lois de Joule] Pour un gaz parfait,
U et H ne dépendent que de la tempé-
rature T.
On a dU =CvdT et dH =CpdT .
[γ] On pose γ=Cp
Cv. On a (loi de
Mayer) Cp−Cv=nR,Cv=nR
γ−1,
Cp=nRγ
γ−1.
[Lois de Laplace] Pour une trans-
formation adiabatique réversible d’un
gaz parfait, en supposant γconstant,
on a : T V γ−1=cste,P V γ=cste et
P1−γTγ=cste.
– Un cycle de Carnot est consti-
tué de deux transformations iso-
thermes à T1et T2(T2< T1)
et de deux transformations adia-
batiques, toutes ces transforma-
tions étant réversibles.
– On définit le rendement d’une
machine par
ρ=ce qui rapporte
ce qui coûte =|W| Q1
– Pour le cycle de Carnot, ρ=
1−T2
T1.
[systèmes ouverts] On pose h1l’en-
thalpie massique à l’entrée de la ma-
chine, h2l’enthalpie massique à la sor-
tie de la machine, c1la vitesse du fluide
à l’entrée, c2la vitesse du fluide à
la sortie, w’ le travail massique autre
que celui des forces de pression et q
la quantité de chaleur massique. On a
alors 1
2c2
2−1
2c2
1+h2−h1=w0+q.
Où, infinitésimalement : d(1
2c2+h) =
δw0+δq.
2.6 Second principe
A tout système fermé on associe
une grandeur non conservative S ap-
pelée entropie. S est extensive. Pour
des états d’équilibre, S est une fonc-
tion d’état. ∆S=S2−S1=Sr+Sp.
Spest l’entropie produite, toujours po-
sitive. Srest l’entropie reçue, due aux
transferts thermiques avec l’extérieur.
On a Sr=R2
1
δQréel
Toù T est la tem-
pérature au niveau de la surface du
système qui échange de la chaleur. On