1 O2 vr = dOdt2 M R2 et ve = dOdt + R1 ωR2 /R1 ∧ O2 M . aa2 = ar + ae + ac avec ae = ωR2 /R1 d O1 O2 ∧ O2 M + dt2 R1 + dt R1 ωR2 /R1 ∧(ωR2 /R1 ∧O2 M ) et ac = 2ωR2 /R1 ∧ vr – Trièdre de Frénet. (T, N, T ∧ N ) et Nρ = dT avec T = dOM ds ds où ρ est le rayon de courbure. Dans cette base on a : v = ds dt T et 2 2 a = ddt2s T + vρ N Condensé de cours MP Bouhrara.Farouk 10 juin 2018 Le complexe associé à x est noté x. La valeur moyenne de x est notée x ou < x >. Lorsque la lettre i est déjà utilisée, on note j le nombre complexe tel que j 2 = −1. Quand la situation est sans ambiguité p, n, m sont des entiers. Pour une surface fermée les vecteurs surface sont orientés de l’intérieur vers l’extérieur. Une grandeur est dite uniforme lorsqu’elle ne dépend pas des variables d’espace. Une grandeur est dite constante lorsqu’elle ne dépend pas de la variable temporelle. 1 – RFD.Fext→M = dp dt O – TMC. MF,O = −vO ∧ p + dσ dt [Référentiels] – Référentiel Galiléen. Référentiel dans lequel la RFD est valable (plus exactement tel que le mouvement de tout point matériel isolé soit rectiligne et uniforme). Tous les référentiels galiléen sont en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres. – Référentiel non galiléen. Dans ce référentiel la RFD s’écrit : Fext→M + Fie + Fic = mar avec Fie = −mae et Fic = −mac [Forces centrales] – Champ de forces centrales. Champ tel que f = f (r)ur . Le mouvement est plan (σ = cte et σ0 = mr2 dθ = C). dt Loi des Aires : vecteur surface dS = 21 r ∧ dr = 12 r2 dθuz d’où : dS 1 2 dθ dt = 2 r dt = cte. Le mouvement est conservatif (f dérive d’une énergie potentielle) et on a (conservation de l’énergie) : 1 dr 2 2 dθ 2 2 m(( dt ) + r ( dt ) ) + Ep (r) = E = cte soit avec la loi des aires : σ02 1 dr 2 m( ) + + Ep (r) = E. Ce 2 2 dt 2mr qui est formellement équivalent à un mouvement 1d d’équation 2 E = 21 m dr dt + Epef f (r). – formules de Binet. on pose u = 1r Mecanique 1.1 Point Matériel – Grandeurs cinématiques. Vitesse de M dans (R) : v = dOM dt R , accélération de M dans (R) : a = d2 OM dt2 R , Abscisse curviligne : s définie sur une courbe orientée munie d’une origine. – Grandeurs cinétiques. Masse, quantité de mouvement du point M, de masse m, de vitesse v : p = mv, moment cinétique par rapport à O : σO = OM ∧ p – Moment dynamique d’une force par rapport à un point. MF,O = OM ∧ F . – Changement de référentiel. va = vr + ve avec : va = dOdt1 M R1 , et on a v 2 = C 2 (u2 + 2 a = −C 2 u2 (u + ddθu2 )ur . [Planètes] 1 du 2 dθ ) et k m – On a ma = − GM r 2 ur = − r 2 ur , 2 ce qui donne r = k(1+emC cos(θ+φ)) . Mouvement elliptique (e < 1) : p , on se ramène à r = 1+e cos(θ) p demi grand axe a = 1−e2 , E = k . Mouvement hyperbolique − 2a 2 p (e > 1) : r = ± 1+e cos(θ) , p = ba , e = ac . – Vecteur excentricité. A = v∧σ k − ur . C’est un vecteur constant. 2 – [Oscillateurs] – Oscillateurs 1d. Mouvements dé2 crits par l’équation : 12 m( ds dt ) + Ep (s) = cte = E où s est un paramêtre du mouvement. La résultante des forces dérive alors d’une énergie potentielle : f = −∇Ep et donc δWf = −dEp . Remarquons que cette équation peut s’intégrer : dt = ± √ 2 ds – – m (E−Ep (s)) – Equilibre. Les positions d’équidE libre sont telles que : dsp = 0 ; si d2 Ep ds2 d2 Ep ds2 > 0 l’équilibre est stable, si – < 0 l’équilibre est instable. – Petites oscillations. Au voisinage d’une position d’équilibre stable, s0 on a : Ep (s) ≈ Ep (s0 ) + (s − d2 Ep ds2 s0 d2 E 1 2 2 Ep (s0 ) + 2 (s − s0 ) k car ds2p 2 0. Comme 12 m ds dt + Ep = E s0 ) dEp ds s0 + 12 (s − s0 )2 = > = cte, on a donc en posant x = 2 s − s0 , ddt2x + ω 2 x = 0 : c’est l’équation d’un oscillateur harmonique à une dimension de pulk sation ω = m . – Oscillateurs 2d. Points soumis a des forces du type f = −krur . Le mouvement est à force centrale donc plan et projeté sur une base, il donne pour chaque coordonnée une équation d’oscillateur 1d. – Oscillateur complets. C’est une association en série de N oscillateurs. Pour N masses m reliées par des ressorts de rigidité 1.2 k on a : ∀n ∈ [1, N ], ddtx2n = ω(xn−1 − 2xn + xn+1 ) avec x0 = 0 = xn+1 . Il y a N modes propres c’est à dire N solutions distinctes de cette équation sous la forme x = ap cos(ωp x + φp ). Le mouvement d’un point est donné par une combinaison linéaire de ces solutions. Oscillateur amorti. Equation : dx d2 x 2 dt2 + 2α dt + ω0 x = 0. Trois régimes distincts : si α > ω0 , régime amorti ; si α = ω0 régime critique ; si α < ω0 régime oscillatoire amorti. Idem en 2d : résoudre le système couplé d’équation en posant ξ = x + iy. Si le régime est faiblement amorti, 2π et E = E(0) exp(−2αt), T ≈ ω 0 π Q = αT . Poids. P = mg = m(G − ae ) Portrait de phase. Pour un oscillateur c’est le graphe (x, dx dt ), pour un jeu de conditions initiales. Pendule sphèrique. (Foucault) il y a conservation du moment projeté sur l’axe vertical (et de l’énergie). Systèmes matériels – Quantité de mouvement. Soient N particules Mi de masse mi et de quantité de mouvement PN pi = mi vi on pose M = i=1 mi et PN on a p = i=1 pi = M vG – Réferentiel Barycentrique. C’est le référentiel (R∗ ) de centre G en translation par rapport à (R) galileen. La vitesse vi ∗ de Mi dans ce référentiel est telle que : vi = vi ∗ + vG PN – Moment. σA = i=1 AMi ∧ pi = σB + AB ∧ p. [Résultante dynamique] – RFD. Fiext = M dvdtG avec PN Fiext = i=1 fi ext/Mi – Koenig. σO = σp + OG ∧ p avec ∀A, σp = σ ∗ G = σ ∗ A . 2 + Ec∗ Ec = 12 M vG PN σA – TMC. dt = vA ∧p+ i=1 AMi ∧ fie xt . Supposons que ∀i ∈ [1, N ], fiext = mi A alors σdtA = PN AG ∧ Fext où Fext = i=1 fie xt . [Énergie potentielle] – Deux particules. L’énergie potentielle d’interaction Ep (x1 , ..., z2 ) existe ssi f2/1 = −∇1 Ep (x1 , ..., z2 ) et f1/2 = −∇2 Ep (x1 , ..., z2), où ∇i = ∂ , ∂ , ∂ ). On a alors ( ∂x i ∂yi ∂zi δWint = −dEpint et Ec + Epint = cte = E, ce qui correspond à la bonne définition d’une énergie potentielle. On aura de plus en dE int (r) ur . général : f1/2 = −P pdr – N points. Epint = i>j Epint (i, j). [Système à deux corps] – Masse réduite. On considère deux particules en interaction et on étudie le mouvement de M2 dans (R1 ) référentiel (non galiléen) lié à M1 . On a alors : f1/2 = m2 est la µaM2 /R1 où µ = mm11+m 2 masse réduite du système. Les forces d’inertie "disparaissent". – Particule réduite. On peut choisir d’étudier ce mouvement dans (R∗ ). Soit r = M1 M2 alors 2 f1/2 = µ ddt2r (équation du mouvement de la particule réduite du système, M, de masse µ par rapport à G). – On a de plus : Ec = 21 µv 2 et σp = GM ∧ µv. [Masse variable] Problème unidimensionnel : fusée. On suppose une loi d’évolution de la masse m(t) = m0 −Dt (D : débit massique). Soit u la vitesse d’éjection des gaz. On considère le système fermé fusée+gaz éjectés. A l’instant t on a : p(t) = m(t)v(t), à t + dt : p(t+dt) = m(t+dt)v(t+dt)−dm(v−u). Le système étant fermé on a : dp = fext dt. Or dp = m(t + dt)v(t + dt) − dm(v−u)−m(t)v(t) = d(mv)−dm(v− u) = mdv + udm = mdv − uDdt. On a donc m dv dt = uD + fext . On raisonnera souvent sur des répartitions continues (et non discrètes) de particules et donc de masse, de charges... Il est d’usage d’associer à ces grandeurs une grandeur volumique (par exemple : ρ = dm dτ ) définie localement. On généralise alors les résultats en faisant : m ↔ dm, q ↔ dq, f ↔ df ... 1.3 Solide indéformable – Solide indéformable. Solide S caractérisé par ∀(Mi , Mj ) ∈ S, Mi Mj = ctei,j – Moment d’inertie autour d’un axe fixe ∆ : J∆ = r2 dm ∀(M, N ) ∈ S, vM = vN + Ω ∧ N M [Huygens] Soit ∆ et ∆G deux axes parallèles séparés par une distance a. On a J∆ = J∆G + M a2 – Glissement. Soient S1 et S2 deux solides, (R1 ) le référentiel lié à S1 , (R2 ) celui lié à S2 et I1 ∈ S1 , I2 ∈ S2 en contact en I à l’intant t donné. La vitesse de glissement de S2 sur S1 est alors : vg = vI2 /R1 et on a : ∀M ∈ S2 , vM2 /R1 = vg + ΩR2 /R1 ∧ IM . Il y a glissement ssi vg 6= 0. – Soit Ω = ΩR2 /R1 . Soit Π le plan tangent au contact. On a par rapport à Π, Ω = ΩN +ΩT . Par définition, il y a roulement ssi ΩT 6= 0 et pivotement ssi ΩN 6= 0. [Systèmes de forces] – Actions de contact : résultante S et moment MI = MA + IA ∧ S 6= 0 (a priori). – Puissance d’un système de P forces. On a P = v · S,R i/R 1 1 P fi = fi (vi/R2 + vO2 /R1 + ΩS/R1 ∧ O2 Mi ) = PS,R2 + Rv P O2 /R1 + ΩS/R1 M PO2 où R = fi et MO2 = fi ∧ Mi O2 . Dans (R2 ) lié au solide, PS,R2 = 0 et donc PS,R1 = RvO2 /R1 + ΩS/R1 MO2 , expression indépendante de O2 . – Puissance des actions de contact : P = SvI2 /R1 + ΩR2 /R1 MI . [Coulomb] – Frottement de glissement. Si vg 6= 0, on a : RT vg < 0 et RT = f RN . f est le coefficient de frottement dynamique. Si vg = 0, R est dans le cône de frottement : RT ≤ f0 RN . f0 est le coefficient de frottement statique (f ≤ f0 ). – Frottement de roulement. Si ΩT 6= 0 on a un moment M tel que M ΩT < 0 et M = f ΩT . [Inertie] Pour un solide en rotation de vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe ∆ de direction u passant par A on a : σ∆ = σA u = J∆ ω et Ec = 21 J∆ ω 2 . – En général on a σ = [J]ω où [J] est une matrice symétrique réelle (donc diagonalisable selon trois axes orthogonaux) appelée opérateur d’inertie et Ec = 1 2 ω([J]ω). 2.2 Premier principe [Transformations] – Une transformation est dite quasi-statique si elle est une succession continue d’états d’équilibre thermodynamique et mécanique internes au sytème et infiniment proches les uns des autres. – Une transformation réversible est une transformation quasistatique sans frottement. – Une transformation est dite adiabatique si elle s’effectue sans transfert thermique. – Une transformation est dite isotherme si elle s’effectue à température constante. – Une transformation est dite isochore si elle s’effectue à volume constant. – Une transformation est dite isobare si elle s’effectue à pression constante. – Une transformation cyclique est telle que le système se retrouve dans le même état à l’état final 2 Thermodynamique qu’à l’état initial. – Pour une transformation quel2.1 Pression dans les conque entre deux états R 2 d’équifluides au repos libre 1 et 2, W = − 1 Pext dV . – Pour une transformation réver[Pression] La force de pression sible entre deuxR états d’équilibre 2 s’éxerçant sur un élément de surface dS 1 et 2, W = − 1 P dV . est dF s = −pdS. La pression p dépend – Soit une transformation entre du point M. deux états d’équilibre 1 et 2 telle [Loi de l’hydrostatique] Dans un que ∆Ec = ∆Ep = 0, le système fluide incompressible, p(z) − p(z0 ) = étant fermé, ∆U = W + Q. −ρg(z − z0 ). De manière plus générale, – Pour une transformation infinité∇p − fv = 0 (fv désigne la résultante simale, dU = δW + δQ. des forces volumiques s’exerçant sur le [Premier principe] U est une foncsystème ; ici fv = −ρg). tion d’état extensive. ρ la masse volumique est constante [enthalphie] On définit l’enthalpie pour un fluide incompressible. H par H = U + P V . H est extensive. [Poussée d’Archimède] Tout corps C’est une fonction d’état. plongé dans un système de fluides est – Considèrons une transformation soumis à une force, la poussée d’Archiisochore entre deux états d’équimède, dirigée vers le haut, de norme le libre 1 et 2 sans travail autre que poids du volume de fluide déplacé. celui des forces de pression, et ∆(Ec + Ep) = 0 alors ∆U = Qv . – Considèrons une transformation (quelconque) isobare à P = Pext = cste alors W = −Pext ∆V donc ∆H = Qp . – Considèrons une transformation réversible isobare alors dH = δQ. On pose Cv = ( ∂U ∂T )V capacité calorifique à volume constant et Cp = ( ∂H ∂T )P capacité calorifique à pression constante. U et H ne dépendent que de la température T. On a dU = Cv dT et dH = Cp dT . C [γ] On pose γ = Cvp . On a (loi de nR Mayer) Cp − Cv = nR, Cv = γ−1 , Cp = nRγ γ−1 . [Lois de Laplace] Pour une transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait, en supposant γ constant, on a : T V γ−1 = cste, P V γ = cste et P 1−γ T γ = cste. – Un cycle de Carnot est consti2.3 Maxwell-Boltzmann tué de deux transformations isothermes à T1 et T2 (T2 < T1 ) [Loi de Maxwell-Boltzmann] La et de deux transformations adiaprobabilité élémentaire qu’une parbatiques, toutes ces transformaticule ait une vitesse Vx comprise tions étant réversibles. entre Vx et Vx + dVx , une vi– On définit le rendement d’une tesse Vy comprise entre Vy et Vy + machine par dVy , une vitesse Vz comprise entre Vz et Vz + dVz est dP = α · |W | ce qui rapporte − 1 m(Vx2 +Vy2 +Vz2 ) = ρ= )dV dV dV avec exp( 2 x y z ce qui coûte Q1 kT alpha tel que dP = 1 et k constante – Pour le cycle de Carnot, ρ = de Boltzmann. 1 − TT21 . De cette loi nous pouvons déduire [systèmes ouverts] On pose h1 l’endeux résultats importants : q thalpie massique à l’entrée de la makT – < Vx >Vx >0 = 2πm chine, h l’enthalpie massique à la sor2 q 3kT tie de la machine, c1 la vitesse du fluide – u = m , u étant la vitesse à l’entrée, c la vitesse du fluide à 2 quadratique moyenne. la sortie, w’ le travail massique autre que celui des forces de pression et q 2.4 Etude macroscopique la quantité de chaleur massique. On a des gaz parfaits alors 12 c22 − 12 c21 + h2 − h1 = w0 + q. Où, infinitésimalement : d( 21 c2 + h) = [Équation d’état des gaz parfaits] δw0 + δq. P V = nRT Cette équation se met sous d’autres 2.6 Second principe formes : – M P V = mRT A tout système fermé on associe P m – ρ= M RT pour ρ = V une grandeur non conservative S apLa loi de l’hydrostatique donne pelée entropie. S est extensive. Pour dP dz = −ρ · g, nous avons donc P = des états d’équilibre, S est une foncgz P0 · exp(− M tion d’état. ∆S = S2 − S1 = S r + S p . RT0 ) si T = T0 = cste. S p est l’entropie produite, toujours por 2.5 Etude énergétique ma- sitive. S est l’entropie reçue, due aux transferts thermiques avec l’extérieur. croscopique des gaz R 2 réel On a S r = 1 δQT où T est la temparfaits pérature au niveau de la surface du [Lois de Joule] Pour un gaz parfait, système qui échange de la chaleur. On rév a dS = δQT = T1 (dU + P dV ). On 2.9 a donc dU = T dS − P dV et dH = T dS + V dP . Il [3eme principe] L’entropie de tout de la système tend vers 0 lorsque T tend vers – 0. – Conduction de la chaleur y a trois modes de propagation chaleur : rayonnement convection (transport d’énergie par déplacement de matière). – conduction (transfert thermique 2.7 Exemples de bilans sans mouvement de matière). d’entropie. Applica- Phénomènes de transport (mécanismes tion aux machines ther- de diffusion). – transport d’électricité : j = miques −σ∇V (loi d’Ohm). – transport de matière : j = Pour une source de chaleur, source −D∇n (loi de Fick). dSsource = δQ Tsource . – transport de chaleur : j = −λ∇T [Inégalité de Carnot-Clausius] (loi de Fourier). Soit un système fermé, cyclique, Dans un gaz le coefficient λ peut qui échange de la chaleur avec n être calculé : λ = 31 lvCv , où l est le sources (températures Ti ). On a H δQsource i ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∆Si = = libre parcours moyen (parcours d’une Ti H δQi molécule entre deux chocs successifs). − Ti et ∆Sunivers ≥ 0. La machine De même dans le cas de l’autodiffusion étant cyclique, ∆S = 0. Nous avons d’un gaz on a : D = lv . 3 donc Dans le cas d’une interface entre un n I X fluide et le milieux extérieur le gradient δQi ≤0 de température devient infini, on remTi i=1 place alors la loi de Fourier par la loi de Newton δQ = h(Text − T )dSdt, où avec égalité si réversible. δQ est la chaleur reçue par le fluide en provenance de l’extérieur et h est le coefficient de transfert thermique de 2.8 Changement d’état des surface. corps purs [Equation de la chaleur] 2 ∂T – Cas 1D. ∂∂xT2 = ρc λ ∂t . [chaleur latente] On appelle chaρc ∂T – Cas 3D. ∆T = λ ∂t . leur latente de vaporisation d’un corps pur Lv à la température T la variation d’enthalpie de l’unité de masse de ce 3 Optique corps qui passe de l’état liquide à l’état gazeux à la température T. On définit de même LF chaleur latente de fusion 3.1 Optique géométrique et LS chaleur latente de sublimation. – Source lumineuse. une source de Avec ces définitions, LV , LF , LS ≥ 0. lumière peut être ponctuelle ou Au point triple, on a : LS (T ) = étendue, auquel cas elle est suLF (T ) + LV (T ). Cette relation n’est perposition de sources "poncpas vraie en général, il faut prendre en tuelles" d’étendue dS. compte l’enthalpie massique nécessaire – Rayon lumineux. C’est la forme pour passer de la température de fud’émission de l’énergie par une sion à la température d’ébullition. source lumineuse. – Intensité. Chaque élement dS centré en P donne en M un éclairement (ou une intensité) dE = L(P, M )dS, où L est fonction de la luminosité en P. – Chemin optique. Le chemin optique (OM ) = L est tel que : dL = nds, où s est l’abscisse curviligne le long du rayon lumineux comptée positivement dans le sens de propagation de la lumière. – Surface d’onde. Ce sont les surfaces telles que (OM ) = cte. – Dioptre. C’est la surface séparant deux milieux d’indices différents. [Snell-Descartes] – Réflexion. Les rayons sont dans un même plan (le plan d’incidence) et i1 = i2 ⇔ ∃β, u1 −u2 = βN – Réfraction. Les rayons sont dans un même plan (le plan d’incidence) et n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ) ⇔ ∃α, n1 u1 − n2 u2 = αN – Retour inverse. Le trajet lumineux spatial est indépendant du sens de propagation de la lumière. – Fermat. Pour aller de A à B la lumière emprunte le trajet qui rend le chemin optique stationnaire (c’est à dire extrémal). On retrouve ainsi les lois de Descartes. [Malus] Les rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces d’onde. – Objets et images. A et A0 sont images l’un de l’autre par un système optique si tout rayon issu de A (l’objet) passe par A0 (l’image). On a (AA0 ) = cte. – Réel, virtuel. Si un objet (une image) est une intersection de rayon lumineux il est réel, si c’est l’intersection de prolongements de rayons lumineux il est virtuel. – Stigmatisme. Un système est dit rigoureusement stigmatique pour le couple (A, A0 ) ssi tout rayon issu de A passe par A0 . C’est nécessaire pour pouvoir fabriquer des images "correctes". On cherche les différents dioptres permettant un stigmatisme rigoureux pour un couple de points donné. Soit I un point du dioptre, (A, A0 ) un couple de points. – Réflexion. On a AI ± IA0 = cte. L’ensemble des points I est donc un ellipsoïde ou un hyperboloïde de foyers A et A0 . – Réfraction. On a encore (AI) + (IA0 ) = nAI + n0 IA0 = cte. Si cte = 0, on suppose λ = n0 n > 1, le dioptre obtenu est une sphère de centre C de rayon R telle que : R = λ2λ−1 AA0 et 2 AC = λ2λ−1 AA0 . A et A0 sont alors appelés points de Weierstrass de dioptre sphérique. [Conditions de Gauss] Les cas de stigmatisme rigoureux étant extrêmement rares, on se contentera en pratique du stigmatisme approché assuré par les conditions de Gauss : les rayons sont paraxiaux, c’est à dire voisins de l’axe optique et frappant les dioptres et miroirs au voisinage de leur sommet. Cela permet d’obtenir les relations de conjugaison des instruments d’optique usuels. [Relations de conjugaison] – Conventions. on pose z = SA, z 0 = SA0 , R = SC, ξ = CA, ξ 0 = CA0 , σ = F A, σ 0 = F 0 A0 – Miroir sphérique. On a z10 + z1 = 2 , ξ10 + 1ξ = − R2 , σσ 0 = f f 0 et R 0 γ = − zz = ξ0 ξ 0 = − σf 0 = − σf . 0 – Dioptre sphérique. On a nz0 − nz = 0 0 n0 −n n , ξ0 − nξ = n R−n , σσ 0 = f f 0 R 0 0 0 et γ = nnz0 z = ξξ = − σf 0 = − σf . – Lentille mince d’indice n placée dans l’air. On pose ici z = OA, z 0 = OA0 et on a z10 − 1 1 1 0 0 z = f 0 = − f , σσ = f f et γ = z0 z 0 = − σf 0 = − σf , avec = (n − 1)( R1 − R1 ). correspond à une onde progres1 2 sive se déplaçant vers la droite à – Relation de Lagrange-Helmoltz. la célérité c, le terme en g(t + xc ) Pour un dioptre sphérique on a 0 correspond à une onde progresγα = αα = zz0 = nn0 γ , soit sive se déplaçant vers la gauche nαAB = n0 α0 A0 B 0 . (parfois appelée onde régressive) [Systèmes centrés] à la célérité c. – Foyers. Foyer image : ∞ → F 0 , – Cas 3D sphérique. On pose r = foyer objet : F → ∞ OM et on suppose s(r, t). Alors – Plan principaux. Plans conjuf (t− rc ) g(t+ r ) on a s = + r c . Les surr gués de grandissement égal à 1. faces d’onde sont des sphères, on Ils sont perpendiculaires à l’axe, parle d’onde sphérique. 0 on pose H et H les points d’inPar définition, une OPPS se propatersection avec l’axe du système. – Système à foyers. De tels sys- geant vers la droite s’écrit s = f (t − tèmes possédent foyers et plans xc ) = a cos(ω(t − xc )) = a cos(ωt − kx), principaux. On pose z = avec k = ωc . Ce qui donne en com0 0 0 0 HA, z = H A , f = HF , f = plexes : s = ae(i(ωt−kx)) 0 H 0 F 0 et on a alors : nz0 − nz = – si on pose r = OM et k = ku n0 n avec u le vecteur unitaire assof0 = − f . – Système afocal. Tout rayon incicié à la direction de propagation dent parallèle à l’axe ressort paon a la forme générale : s = rallèle à l’axe. On a γ = γα = cte. a cos(ωt − kr). – Système catadioptrique. Système – une expression du type s = centré possédant un miroir sphèA(y, z) cos(ωt − kx) sera consirique (qui termine nécessairedérée comme une onde plane, ment le système). Tout système les surfaces équiphases étant des catadioptrique est équivalent à plans. un miroir sphérique dont le – En optique la grandeur vibracentre Γ (resp. le sommet Σ) est toire est un champ électromagnél’image du centre C (resp. du tique qui dans le cas de l’onde sommet S) du miroir réel par la plane à pour structure : (E, B, k) lumière travaillant dans le sens est un trièdre direct, B = Ec et réfléchi. pour une propagation dans la direction Oz les composantes Ex et Ey obéissent à une équation 3.2 Ondes lumineuses d’onde. – Equation d’onde. Une grandeur – Polarisation. Ce qui donne à une S est dite ondulatoire si elle dimension : Ex = E1 cos(ωt − est représentée par une fonction kz + α1 ), Ey = E2 cos(ωt − kz + s(x, y, z, t) solution de l’équation α2 ), Ez = 0. La surface décrite d’onde par E dans le plan (Ex , Ey ) est 2 ∆s − c12 ∂∂t2s = 0. donc une ellipse. On dit donc que – Surface d’onde. Ce sont les surla polarisation est elliptique. Si faces où s = cte à t donné. E1 = E2 et si α1 − α2 = π2 [π] – Cas 1D. Les solutions de l’équal’ellipse devient un cercle et la tion d’onde sont s = f (t − polarisation est dite circulaire. Si x x ) + g(t + ). Ce sont des ondes α1 = α2 , la polarisation est dite c c planes (les surfaces d’onde sont rectiligne. des plans), le terme en f (t − xc ) – Gauche, droite. Si E tourne dans 1 f0 le plan orienté (Ex , Ey ) dans le sens trigonométrique alors la polarisation est dite gauche. Dan le cas contraire elle est dite droite. – On montre que si 0 < α1 −α2 < π alors la polarisation est gauche et si −π < α1 − α2 < 0 alors elle est droite. – Une polarisation rectiligne est somme de deux polarisations circulaires, l’une droite l’autre gauche. (on écrit : E = E1 cos(ωt − kz)ux = E1 cos(ωt − u −u u +u kz)( x 2 y + x 2 y )). Certains matériaux font tourner le plan de polarisation (k, E) d’une OPPS les traversant d’un angle α. Si du point de vue de l’observateur recevant l’OPPS le plan a tourné vers la droite la substance est dite dextrogyre, dans le cas contraire elle est lévogyre. On montre que ceci équivaut à dire que les vitesses des ondes polarisées circulairement gauche (cg ) et droite (cd ) sont différentes dans le milieu. Si le matériaux est d’épaisseur e on a l’angle de rotation : θ = 21 ωe( c1d − c1g ) = 21 k0 δ, avec la différence de marche δ = (nd − ng )e = ec0 ( c1d − c1g ). Pour λ donné rection de l’onde. On se restreint içi aux matériaux uniaxes, c’est à dire tels que : si l’onde est polarisée selon une direcion quelconque du plan (x, y) la polarisation en sortie est elliptique, si l’onde est polarisée selon x ou y, la polarisation n’est pas changée en sortie. Les directions x et y sont les lignes neutres de la lame et elles sont d’indices a priori différents. L’axe d’indice le plus grand est l’axe lent, l’autre l’axe rapide. – Lumière naturelle. La lumière naturelle est émise sous forme de trains d’ondes de durée très brève à l’échelle macroscopique (typiquement 10−10 à 10−12 secondes), l’êtat de polarisation de chacun des trains d’ondes étant indépendant (toutes les directions de polarisation sont prises aléatoirement). [Lames cristallines] On montre de la même manière que pour les substances dextrogyre et lévogyre qu’une lame cristalline introduit un déphasage en sortie φ entre les deux projections de la gandeur vibratoire (ici E), et on a : φ = cω0 (ny − nx )e = 2π dθ λ0 δ, où δ la quantité [θ] = dz appelée pouvoir est la différence de marche. On disrotatoire est indépendante de l’épaistingue tois types de lames : lame onde seur du matériaux. Dans le cas d’une (δ = pλ0 , p ∈, pas d’intéret), lame solution de concentration c on définit demi-onde (δ = pλ2 0 , p ∈) et lame le pouvoir rotatoire spécifique par : quart d’onde (δ = pλ4 0 , p ∈). θc = [θ] c . [Malus] Si le plan de polarisation – Intensité. Par définition, I = d’une onde incidente fait un angle α 2 ks , k coefficient de proportionavec la direction d’un polariseur l’innalité. Elle est ainsi proportiontensité en sortie vaut : I = I0 cos2 α. nelle à l’énergie transportée par – L’intensité doit être conçue l’onde. – Polariseur. Un polariseur est un comme la valeur de s2 moyennée sur le temps de Rréponse τ du dispositif qui ne laisse passer que τ detecteur : I = τa 0 s2 dt. Soit la composante du champ paralT la période de l’onde. Si T léle à une direction déterminée, τ, I ' s2 et si τ T, I ' s(t)2 . l’onde en sortie est polarisée rec– Dans le cas de la lumière tilignement dans la direction du naturelle, l’intensité étant une polariseur. moyenne et les angles α se suc– Lame cristalline. Milieu anisocédant aléatoirement on a : I = trope où l’indice dépend de la di- I0 cos(α)2 = I20 . [Ondes Stationnaires] – Cas sinusoïdal. On considére une OPPS incidente : si (x, t) = a cos(ωt − kx) avec un milieu tel que : ∀t, s(0, t) = 0. Il existe alors nécessairement une onde réfléchie sr , telle que pour l’onde totale s = si + sr la condition aux limites soit remplie. On écrit sr (x, t) = b cos(ω 0 t + k 0 x + φ). La condition aux limites donne : ω = ω 0 , φ = 0, a = −b. On a donc s = 2a sin(kx) sin(ωt). L’onde ne ce propage plus : elle est stationnaire. Si de plus on impose s(−L, t) = 0, cela implique kL = nπ, n ∈ et les seuls couples admissibles sont : π , n πc (kn , ωn ) = (n L L ). Ce sont les modes propres de la cavité. – Cas général. Si on écrit s = f (t − xc ) + g(t + xc ) et si on impose s(0, t) = s(L, t) = 0 on montre que l’on a f = −g, f ( 2L c )-périodique et donc en utilisant la série de fourier P+∞de f on a : s(x, t) = + n=−∞ cn sin(kn x) sin(ωn t φn ). s est la superposition des modes propres précédents. – Ondes planes progressives non sinusoïdales. Cas 1D. s(x, t) = f (x − ct) = f (u) ce qui s’écrit encore s(x, t) = R +∞ 1 i(kx−ωt) dk avec 2π −∞ A(k)e R +∞ −iku A(k) = s(u)e du. −∞ L’onde est ainsi décomposée en OPPS. – Milieu dispersif. C’est un mileu dans lequel ωk = f (k) 6= cte. – Vitesse de phase : vφ = ωk , vitesse de groupe : vG = dω dk . On a toujours vG ≤ c0 alors que vφ peut dépasser c0 . [Paquet d’onde] On suppose que la lumière est émise sous forme de trains d’onde : ∀u ∈ [− L2 , L2 ], s(u) = a cos(k0 u). Après calcul on obtient : L L A(k) = aL 2 (((k − k0 ) 2 ) + ((k + k0 ) 2 )). La largeur du pic principal d’un est ∆k = 4π L . C’est la largeur naturelle de raie (cas "idéal" : L → ∞ onde monochromatique). L est alors la longueur de cohérence de la lumière, τ = Lc est le temps de cohérence. [Effet Doppler] Une source mobile dans le référentiel (R) émet dans la direction Ox une onde de fréquence ν0 alors la fréquence reçue par un observateur de (R) est ν ' ν0 (1 + vcx ). 3.3 Interférences On admet qu’il est possible de procéder à une addition scalaire des ondes émises par deux sources à grande distance de celles ci. Si on a : en S1 , s1 (t, 0) = a cos(ωt+ α1 ) et en S2 , s2 (t, 0) = a cos(ωt + α2 ), on leur associe les grandeurs complexes (pour n = 1, 2) : sn = An e−iωt avec An = ae−iαn . On pose rn = Sn M . L’amplitude résultante en M est donc : S = A1 eikr1 + A2 eikr2 et l’intensité après calcul (en posant φ = k(r2 − r1 ) et ∆α = α2 − α1 ) : I = I0 (1 + cos(φ − ∆α)). Les surfaces d’intensité égale sont des hyperboloïdes de foyer S1 et S2 , leur trace par un plan perpendiculaire à S1 et S2 donne des franges d’interférence en forme d’anneaux et si le plan est parallèle à S1 et S2 ce sont des segments de droite si r1 ' r2 . – Différence de marche. C’est : δ = (S2 M ) − (S1 M ). – Franges brillantes. Ce sont les franges d’intensité maximale, i.e. telles que k(r2 − r1 ) − ∆α = 2nπ. Ce qui donne encore : δ = λ0 nλ0 + 2π ∆α et si ∆α = 0 on a δ = nλ0 . Ce sont des interférences constructives. – Franges sombres. On a de même λ0 ∆α et si δ = (2n + 1) λ20 + 2π ∆α = 0 on a δ = (2n + 1) λ20 – L’ordre d’interférence est le p tel que δ = pλ0 . −Imin – Visibilité. V = IImax . max +Imin – Interfrange. C’est la distance séparant deux régions d’égale intensité. – Fréquences différentes. On additionne simplement les intensités. Il n’y a plus d’interférences. (Sauf si les fréquences sont proches : on observe des battements). – Amplitudes différentes. On obtient : I = I + I 1 2 + √ 2 I1 I2 cos(φ − ∆α). [Difficultés de l’optique] – Cohérence temporelle. On ne peut réaliser d’interférences à l’aide de deux sources ponctuelles distinctes : en effet si les fréquences sont différentes le phénomène d’interférence disparait et de toute manière la phase (le terme en ∆α) varie aléatoirement d’un train d’onde à l’autre : l’intensité qui est une valeur moyenne sera alors constante : il n’y a plus d’interférences. On utilisera donc des sources secondaires (obtenue à partir d’une même source) cohérentes entre elles. – Caractère vectoriel. L’addition scalaire suppose que les grandeurs vibratoires vectorielles soient colinéaires. Cela n’est possible en toute rigueur qu’à l’infini. On utilisera donc des lentilles qui permettent de ramener des rayons allant à l’infini dans leur plan focal image donc à distance finie. – Cohérence spatiale. Les sources ne sont pas rigoureusement ponctuelles. on les considère alors comme une superposition de sources élémentaires de surface dS émettant : dI = I(x,y) S dS. [Fentes d’Young] On se place dans les conditions "classiques" : une source S dans le plan (O1 , x, y), une lentille de focale f10 , les fentes d’Young dans le plan (O, x, y) distantes d’une longueur a, une deuxième lentille de focale f 0 et l’écran (E) dans le plan (F 0 , x, y). On suppose dans un premier temps la source S ponctuelle. on observe l’intensité en M (x, 0) ∈ (E) la source ayant pour coordonnées S(y,0). On montre : ay ax I(M ) = 2Io (1 + cos(2π( λf 0 + λf 0 )). 1 0 L’interfrange vaut i = λfa , la frange 0 centrale est en : x0 = −y ff 0 . Suppo1 sons que la source S soit de largeur 2b, centrée en O : on écrit alors : dI = I0 (y)dy et on a : I(M ) = Rb ay ax I (y)(1 + cos(2π( λf 0 + λf 0 ))dy. Et −b 0 1 si I0 (y) = cte = Ib0 on a : I(M ) = 2πax I0 (1 + ( πab λf 0 ) cos( λf 0 )). Et la visibilité 1 des franges est : V = ( πab λf 0 ). 1 [Division d’amplitude] – Fabry-Pérot. C’est un ensemble de deux lames semiréfléchissantes distantes de e. Soient r1 et r2 les coefficients de réflexion de l’onde sur les deux lames à l’intérieur du dispositif. On note A1 l’amplitude complexe de l’onde transmise sans refléxion.La différence de marche ente deux rayons (différant par deux reflexions successives) est δ = 2e cos(i) où i est l’angle d’incidence. Soit avec φ = 2π λ δ le déphasage : S = A1 (1+r1 r2 eiφ +(r1 r2 )2 e2iφ +...), Imax ce qui donne I = 1+m , sin( φ ) 2 4r1 r2 avec m = (1−r (fonction 2 1 r2 ) d’Airy). Les maximums sont en pratique très pointus. On pourra ne considérer que les deux premiers rayons dans le cas d’interfaces faiblement réfléchissantes. – Michelson. Un Michelson est formellement équivalent à un Fabry-Pérot où l’on ne considère que les deux premiers rayons. Pour une lame séparant deux milieux d’indices n1 et n2 , on a : r ' 2n1 n1 −n2 n1 +n2 et t ' n1 +n2 pour des incidences proches de la normale. [Lumière polychromatique] – 2 raies. On additionne les intensités dues à chaque raie et en supposant I1 = I2 = I0 et que λ2 = λ1 + ∆λ et ∆λ λ, on obtient : I = 4I0 (1 + ∆λ ax cos(π ax f 0 λ2 ) cos(2π λf 0 ) et V = ax ∆λ cos(π f 0 λ2 ). Quand V = 0 il y a anticoïncidence et lorsque V = Vmax , il y a coïncidence. – Lumière blanche. Le spectre émis est continu, l’oeil à l’impression de voir du blanc. Cependant les longueurs d’onde telles que λ 0 δ = ax f 0 = (2n + 1) 2 présente des interférences destructives : le spectre est cannelé est le blanc est dit d’ordre supérieur. 3.4 Diffraction [Huygens-Fresnel] – Huygens (1678). Les vibrations qui se propagent à l’extérieur d’une surface fermée Σ, à l’intérieur de laquelle se trouve la source S, sont identiques à celles que l’on obtiendrait uen supprimant cette source et en la remplaçant par des sources convenablement réparties sur Σ. – Fresnel (1818). Chaque élément de surface dΣ entourant un point A de la surface Σ est une source secondaire dont l’amplitude complexe est proportionnelle à dΣ et à l’amplitude complexe en A de l’onde issue de S. Toutes les ondelettes issues des divers points A interfèrent en M pour donner la vibration résultante. = – Conséquence. dS(M ) eik0 (AM ) K(u)A0 t(A) AM dS. En général on considére que K(u) AM ' cst. [Fraunhoffer] – On considére la diffraction à l’infini dans la direction u = (α, β), par une pupille P de facteur de transmission t(A), A ∈ P . OnR Rpeut écrire alors : I = K P A0 (A)t(A)e−ik(αx+βy) dxdy – La diffraction de Fraunhoffer est la diffraction autour de l’image géométrique. – Pupille rectangulaire. On considère P = [− a2 , a2 ] × [− 2b , 2b ]. On a alors avec les notations déjà introduites, I = Io2 ( πλ αa)2 ( πλ βb). Soit dans le plan focal d’une lentille : I = Io2 ( πλ a fX0 )2 ( πλ b fY0 ). Si b → ∞, Il n’y a pas de diffraction selon Oy et on a I = Io2 ( πλ a fX0 ). – Pupille circulaire de diamètre a. On a alors : π J ( αa) I = 4I0 ( 1 πλαa )2 , où J1 est la λ fonction Besse J d’ordre 1 (premier zéro en α = 1.22 λa ). – Une augmentation de la taille de la pupille contracte la figure de diffraction et inversement. – Si la pupille a un centre de symétrie, la figure de diffraction en posséde un aussi. – Les axes de symétrie de la pupille sont axes de symétrie de la fugure de diffraction. – Une rotation dans son plan de la pupille entraine une rotation similaire de la figure de diffraction. – Si on translate la pupille dans son plan il n’y a rien de changé pour la figure de diffraction dans le plan focal d’une lentille. – Si la direction du faisceau incident devient ui = (αi , βi ) on a : S 0 (α, β) = S(α − αi , β − βi ). [Babinet] Pour des pupilles de transparences complémentaires, les amplitudes sont opposées et les intensités les mêmes en dehors de l’image géométrique. [Pupilles composées] Pour un ensemble de plusieurs pupilles Pi centrées en Oi , on a = dans k, S(k) P R R la "direction" −ikOA A (x, y)t(x, y)e = i Pi 0 −ikOOi . Si on suppose les dI = js dl. i S i (k)e pupilles identiques, S i (k) = Di (k) – Champ électromagnétique. C’est est l’amplitude diffractée la dile couple (E, B) qui agit sur q P dans −ikOOi rection k, et I(k) = e un par la force de Lorentz : f = i terme d’interférence. On a alors : q(E + v ∧ B). Dans le cadre non S(k) = D(k)I(k). La figure d’interrelativiste, pour deux référentiels férence est alors en général modulée galiléens en translation l’un par par la figure de diffraction. rapport à l’autre à la vitesse V , on a B 0 = B et E 0 = E + V ∧ B. – Fentes d’Young de largeur a dis[Equation de continuité] On a en tantes de d. On a I(α) = 2I0 (1 + 2 π chaque point d’un milieu chargé ÷j + dα)) ( αa). cos( 2π λ λ = 0. – Réseaux de N fentes. On pose ∂ρ ∂t φ = 2π – Dans un volume dS on a la λ a sin(θ) (où θ est un angle mesuré par rapport à la normale charge dq = ρdS et σ = lim→0 ρ. au plan du réseau). On a I = – js = lim→0 j. sin( N φ ) – pour un régime indépendant du I02 ( πλ b sin(θ))( sin( φ2 ) )2 . 2 temps : ÷j = 0 On sait que les maximums princi– On a l’équivalence formelle : π paux d’un réseau sont en λ a sin(θ) = jdτ ↔ jS dS ↔ Idl ↔ qv pπ, p ∈. On considèreque deux lon[Equations de Maxwell] gueurs d’onde λ et λ+∆λ pour p donné – Dans le vide. ÷E = ρ0 (M.G.), sont séparées si le maximum de l’une ÷B = 0 (M.φ), rotE = − ∂B ∂t est au moins au premier minimum de (M.F), rotB = µ0 j +0 µ0 ∂E l’autre (critère de Rayleigh). Le pou∂t (M.A.). voir de résolution d’un réseau est la λ – Dans un diélectrique. (M.G.) dequantité R = ∆λ = N p. vient ÷E = ρlibre et (M.A.) : 0r rotB = µ0 jlibre +0 r µ0 ∂E ∂t , où r est la permitivité relative du mi4 Ondes lieu. Sauf mention du contraire il y aura en général : ρ = 0 et j = 0. 5 Electromagnétisme – Dans un conducteur. On a r = 1, ρ = 0 mais σ 6= 0, si le conduc5.1 Equations de Maxwell teur est parfait : γ = ∞ donc E = 0. On ajoute la loi d’Ohm : – Charge. Ponctuelle : q, densité dq j = γE. volumique ρ = dτ , surfacique dq dq Dans un conducteur parfait (caracσ = dS , linéique λ = dl . Elle térisé pas γ = ∞) on a : E = 0, B = 0, est conservée dans tout procesρ = 0 et j = 0 (mais σ 6= 0 et js 6= 0). sus physique ou changement de – La conservation de la charge se référentiel. déduit des équations de Maxwell – Densité de courant. j = ρv, si les car ÷(rotB) = 0. charges sont surfaciques on défi– Les équations sont linéaires, on a nit js = σv la densité de courant le droit au principe de superposuperficielle. sition. – Ligne de courant. C’est la courbe – Avec la loi d’Ohm on a γ ÷ E + tangente à j à chaque instant. ∂ρ ∂ρ γρ – Intensité (traversant S). I = ∂t = 0 soit encore ∂t + 0 donc RR t jdS = dq ρ = ρ0 e− τ avec typiquement τ = dt , où dq est la S charge traversant S pendant dt. 10−18 s. Si le courant est surfacique on a : – On défini le vecteur déplacement P électrique : D =0 r E. [Potentiels] ÷B = 0 donne B = rotA, A est le potentiel vecteur et ∂A rot(E + ∂A ∂t ) = 0 donc E = −∇V − ∂t . Pour lever l’indétermination sur les potentiels on se place dans la jauge de Lorentz où : ÷A + c12 ∂V ∂t = 0. [Propagation] – Dans le vide on tire des équations de Maxwell l’équation de propa2 = 0, avec gation : ∆E − c12 ∂∂tE 2 2 µ c = 1. La même équation est 0 0 vérifiée pour B,A,V . – Si on ce place dans un diélectrique, c devient c = √0r1 µ0 = cn0 , où n est l’indice du milieu n = √ r. – En présence de densités de charges et de courants on a dans la jauge de Lorentz : ∆A − 1 ∂2A 1 ∂2V c2 ∂t2 = −µ0 j et ∆V − c2 ∂t2 = − ρ0 dont les solutions sont les potentiels retardés : V (M, t) = PM 1 ρ(P,t− c ) dτ 4π0 PM PM µ0 j(P,t− c ) dτ . 4π PM et A(M, t) = [Energie] – Puissance de la force de Lorentz agissant sur dq = ρdτ : dP dτ = jE. – L’énergie rayonnée à travers S est le flux du vecteur de Poynting Π = E∧B µ0 à travers S. – Densité volumique d’énergie électromagnétique : 2 B2 w = 0 E2 + 2µ . 0 5.2 Onde Plane Electromagnétique Dans le cas d’une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide dans la direction u on obtient avec les équations de Maxwell :Les champs E et B sont transverses (pas de composante dans la direction de propagation : Eu = 0 et Bu = 0). Les champs sont orthogonaux entre eux : EB = 0. B = Ec soit : B = uc ∧ E. Si E garde une direction fixe, l’onde est polarisée rectilignement (mais en général celle-ci est elliptique). – Pour une onde sphérique, E = f (t− rc ) uθ on montre : B = ucr ∧E. r Cette onde a localement la structure d’une onde plane. – lorsque la dépendance en u = t − x c des champs est sinusoïdale, on parle d’OPPS, représentée formellement en notation complexe par : E = E 0 ei(ωt−kr) . Sa polarisation est définie de la même manière que pour les ondes lumineuses. Propagation dans un conducteur : – on a en notation complexe : j = ∂E γE et ∂t = iωE soit formellement dans (M.A.) : rotB =0 ∂E µ0 ∗r ∂t avec ∗r = 1 + iωγ0 la permitivité complexe fictive du milieu. k est donc complexe. Dans le cas du très bon conducteur défini par 1 ≤ iωγ0 on a : k = ∓ (1−i) δ x x et E = E 0 e− δ ei(ωt− δ ) ce qui correspond à une onde se propageant en s’atténuant dans q le sens 2 des x positifs. δ = µ0 γω est l’épaisseur de peau (distance caractéristique d’atténuation). [Plasma] On fait les hypothèses : – ions positifs fixes, ions négatifs e− mobiles. – le nombre n d’électrons par unité de volume est constant. – Seule la force de lorentz intervient et on néglige l’action de B devant celle de E. On a alors : – m dv dt = −eE soit j = ρv = γ ∗ E 2 ne avec γ∗ = imω et on a encore ω γ ∗r = 1 + iω0 = 1 − ( ωp )2 où 2 ωp2 = ne m0 est la pulsation plasma. – si ω > ωp , le milieu se comporte comme un diélectrique d’indice plus petit que 1. Le milieu est dispersif. – si ω < ωp , k est imaginaire et 5.3 l’onde se propage en s’atténuant : elle ne peut donc se propager dans le plasma. −2E0 sin(kiy y) sin(ωt−kix x). On a B par rotE = − ∂B ∂t . Le champ ne forme plus un trièdre rectangle. Changements de Milieux – Courant de surface. Il est créé par la discontinuité de B et vaut i0 jS = 2B µ0 cos(ωt)uy . – Pression de radiation pr . En l’interprétant comme due au choc des photons sur la paroi on montre que pr = w. En effet, à chaque choc la paroi reçoit ∆pp = 2h̄k et le nombre N de photons incidents par unité de temps est tel que : < ΠdS >= = dN hν soit : df = dp dt Ei0 Bi0 − µ0 hν h̄kdS = −pr dS. cqfd. – Quand on recherche un champ se propageant dans une direction on peut directement supposer : E = f (y)ei(ωt−αx) uz , par exemple, et en déduire f avec l’équation de propagation. [Discontinuités du champ] Ici l’indice N désigne la composante normale d’un vecteur, et T la composante tangentielle par rapport à la surface de séparation des milieux. – DN1 − DN2 = σN2→1 – ET1 = ET2 – BN1 = BN2 – BT1 − BT2 = µ0 js ∧ N2→1 Réflexion normale sur un conducteur parfait. Conséquence directe des propriétés du conducteur parfait et des propriétés de discontinuité des champs (pour une OPPS) : – Normale. La condition aux limites impose l’existence d’un champ réfléchi E r = 0 0 E r0 ei(ω t−k x) tel que : 0 ∀t, E r0 eiω t + E i0 eiωt = 0, on a alors : ω 0 = ω (donc k 0 = k), E r0 = −E i0 , soit le champ résultant : E = 2Ei0 sin(kx) sin(ωt) et B = 2Bi0 cos(kx) cos(ωt). L’onde ne se propage plus elle est stationnaire. Aspect énergétique : i0 Π = Ei0µB sin 2kx) sin(2ωt)ux 0 B2 2 et < w >=0 Ei0 = µi0 . 0 – Deux conducteurs en regard. Le champ E doit s’annuler sur les deux conducteurs soit l = p λ2 et E = 2E0 sin(pπ xl ) sin(ωp t) où ωp = pc πl – Oblique. Champ incident : E i = E0 ei(ωt−ki r) , champ réfléchi : E r = E 1 ei(ωt−kr r) . Les conditions aux limites imposent : E 1 = −E0 et ∀(r) = (x, 0, z), ki r = kr r, soit krz = 0, kix = krx , kiy = kry (on a retrouvé les lois de Descartes). Ce qui donne pour le champ total E = – Réflexion normale sur un conducteur imparfait. Champ incident : E i = E0 ei(ωt−kx) , B i = B0 ei(ωt−kx) , B0 = ux ∧ E0 , champ réfléchi : c0 E r = E 1 ei(ωt−kx) , B r = B 1 ei(ωt−kx) , B 1 = −ux ∧ E1 c0 , champ transmis : E t = E 2 e−αx ei(ωt−αx) , Bt = E2 −αx i(ωt−αx) B2e e , B 2 = ux ∧ c∗ . p ω Avec α = µ02γω , c∗ = α(1−i) et c∗ ≤ c0 . On a alors : , B 1 ' B0 et E 1 ' −E0q π E t = 2E0 0γω e−αx ei(ωt−αx+ 4 ) , B t = 2B0 e−αx ei(ωt−αx) [Guide d’ondes] C’est une structure métallique creuse, à section rectangulaire (de côtés a et b), infiniment longue selon Oz , dans laquelle on anvisage la propagation d’une onde électromagnétique transvers électrique (TE, i.e. : uz E = 0). On écrit alors E x = E1 (x, y)ei(ωt−kz) , E y = E2 (x, y)ei(ωt−kz) , E z = 0, chaque ∂2E – Π est en r12 : c’est la conservation de l’énergie. – Π proportionnel à sin2 (θ) : le rayonnement n’est pas isotrope et est prépondérant à 90˚ du dipôle. – Π proportionnel à λ14 : le rayonnement est favorable aux faible longueurs d’onde (diffusion de Rayleigh). La puissance rayonnée à travers tout l’espace est alors : P = RI02 , où R = π a2 30 c λ2 est la résistance de rayonnement. [Antennes] Une antenne est un conducteur de longueur 2l, modélisé par une ligne de transmission, nécessaire à l’émission et la reception des ondes électromagnétiques. l’an5.4 Rayonnement du Di- tenne est accordée si l = p λ , et on 4 pôle prend en général l = λ4 . Pour calUn dipole est dit oscillant si p = culer le champ rayonné on considère qa = qauz varie dans le temps sinu- l’antenne comme une succession contisoïdalement (on considérera afin d’allé- nue de dipôles oscillants de longueur à grande distance : ger le calcul que c’est q qui varie, sans dz. Ce qui donne π µ0 ej(ωt−kr) cos( 2 cos(θ)) uθ . Le perdre toutefois en généralité). Soit en E = 2 4π I0 jc r sin(θ) complexes : q = q0 ejωt et p = p0 ejωt . rayonnement est anisotrope, principaA cette oscillation on associe un cou- lement dirigé orthogonalement à l’anjωt rant (i = dq avec tenne. dt ), soit : i = i0 e i0 = jωq. [Champs] Avec les approximations usuelles 5.5 Le Corps Noir du dipôle on obtient :Potentiel Un corps noir est un corps qui abr µ0 i(t− c ) vecteur. A(r, t) ' 4π auz sorbe intégralement le raynnement à r Soit en coordonnées sphériques : toute longueur d’onde. Il réémet tout Champ B. B r = B θ = 0 et B φ = le rayonnement reçu, selon une réparµ0 ai0 jω 1 tition spectrale indépendante du corps 4πr sin(θ)( r + c ) exp(jω(t − r (noir) considéré : c’est le rayonnement = ). Champ E. E r c i0 a 2 cos(θ) 1 jω du corps noir. r 4π0 jωr 2 ( r + c ) exp(jω(t − c ), – La loi du déplacement de Wien i0 a sin(θ) 1 1 E θ = 4π0 jωr ( r2 + jω c (r + (1893) indique comment varie le jω r maximum de cette densité specc )) exp(jω(t − c ) et E φ = 0. A grande distance on retrouve B = trale : λm T = cte = 2.9 mm.K ur – loi de Stefan (1879). la puissance c ∧E. La structure du champ est celle d’une onde sphérique assimilable locaémise par unité de surface est : e lement à celle d’une onde plane. φe = dP = σT 4 avec σ = dS −8 [Puissance rayonnée] À grande dis5.67 10 W.m−2 .K −4 . sin2 (θ) 1 – Un corps peut se comporter tance on a : < Π >= cte r2 λ4 ur . Conséquences : comme un corps noir à un coefficomposante vérifiant ∆E − c12 ∂t2 = 0, 0 et elles sont liées pas ÷E = 0. On cherche des solutions à variables séparées soit : E1 (x, y) = f (x)g(y). On a avec les conditions aux limites : nπy Ex = E1 cos( mπx a ) sin( b ) cos(ωt − kz), nπy Ey = E2 sin( mπx a ) cos( b ) cos(ωt − kz) et n2 π 2 ω2 m2 π 2 2 a2 + b2 = c20 − k . Cette onde est dite T Emn . Il y a une fréquence minimale (de coupure) admissible : νc = c0 c0 inf ( 2b , 2a ) et on des modes propres et fréquences propres pour le guide d’ondes. On généralise facilement au cas d’une cavité rectangulaire (longueur c sur Oz ). cient d’absorption près a(λ) (abconcorde avec la valeur expérisorption selective selon les lonmentale. gueurs d’onde), dans ce cas là Ce calcul mené par Planck utilise la réémission se fait comme celle pour la première fois les constantes h d’un corps noir au coefficient et kB . a(λ) près. un tel corps est dit gris. – on peut effectuer une mesure de 5.6 Electrostatique la température d’un corps rayon[Equations générales] nant thermiquement (tempéraLes équations de Maxwell ture T inconnue) en superposant donnent : ÷E = ρ0 et rotE = 0. à son rayonnement celui d’un Ce qui entraine :E = −gravV , corps noir étalon à la tempéraV est défini à une constante ture T1 connue. Si T < T1 le près, les lignes de champ sont corps apparait sombre, si T > T1 orthogonales aux équipotenle corps parait brillant et si T = tielles et orientées du potenT1 le corps semble disparaitre. tiel le plus haut au potentiel le – le rayonnement cosmologique plus de Gauss. R R bas. Théorème fossile est un rayonnement de . Equation de EdS = Qint 0 type corps noir àla température Poisson. ∆V + ρ0 = 0. Le pode 3 K. tentiel n’a pas d’extremum dans [Energie] une région vide de charges. Discontinuités. le champ E est – Le flux surfacique incident est la discontinu à travers une surface puissance reçue par unité de suri chargée : EN1 − EN2 = σ0 N2→1 , il est soit renvoyé face : φi = dP dS et ET1 = ET2 . Le potentiel soit absorbé : φi = φr + φa . est continu à travers une sur– Le flux surfacique partant φp face chargée. Champ et poten(émittance) est défini comme : tiel dus à une charge ponctuelle. φp = φr + φe . E = 4πq 0 rr3 et V = 4πq 0 1r . – A l’équilibre on a : φe = φa = φ. [Energie] Ceci est valable à toute longueur d’onde on peut donc écrire : φλ = – Energie propre d’une distribuφeλ = φaλ . On appelle u la dention de charges. La densité 2 sité volumique d’énergie du gaz d’énergie est we = 0 E2 , l’éneruc de photons on a alors : φ = 4 gie dans le volume V est W =V 2 0E (resp. φλ = u4λ c ). 2 dτ . Soit encore : W =espace 1 – La loi de Wien stipule que uν = 2 ρV dτ . ν 3 – Energie potentielle (externe). T f ( T ). Pour une charge, Ep = qV , – Modèle de Rayleigh-Jeans 8πν 2 kB T pour une (1900). uRJ = . Valable 3 ν P distribution de charges, c Ep = aux "faibles" valeurs de ν. i qi Vexti où Vexti est le potentiel en qi du champ créé – Modèle de Wien (1896). uW = ν hν 8πhν 3 par les charges extérieures à la exp(− ). valable pour ν c3 kB T distribution. "grand". [symétries] Principe de Curie : Un – Loi de Planck (1900). uν = phénomène physique posséde au moins 8πhν 3 1 c3 exp( khνT )−1 . Qui donne u = les éléments de symétrie de ses causes. B 4 2π 5 kB 4σ 4 T , avec σ = = – Si la distribution de charges est 2 3 c 15c h 5.67 10−8 W.m−2 .K −4 , ce qui invariante par translation selon Oz , le champ ne dépend pas de z. – Si la distribution de charges est invariante par rotation d’angle θ, le champ ne dépend pas de θ. – En un point appartenant à un plan de symétrie d’une distribution de charges, le champ électrostatique appartient à ce plan. – En un point appartenant à un plan d’antisymétrie d’une distribution de charges, le champ électrostatique est orthogonal à ce plan. [Champs usuels] – Sphère de rayon R, chargée avec une densité volumique uniforme ρ, charge totale Q. r ≥ R, E = ρ Q r 4π0 r 3 et r ≤ R, E = 30 r. – Sphère de rayon R, chargée avec une densité surfacique uniforme σ, charge totale Q. r ≥ R, E = Q r 4π0 r 3 et r ≤ R, E = 0. – Fil infini, chargé avec une densité linèique uniforme λ. E = 2πλ0 rr2 – Plan, chargé avec une densité surfacique uniforme σ. z > 0, E = 2σ0 uz et z < 0, E = − 2σ0 uz . – Disque, chargé avec une densité surfacique uniforme σ, sur son σΩ uz , où Ω est axe : E = 4π 0 l’angle solide sous lequel on voit le disque depuis le point M. [Dipôles] – Un dipôle est un ensemble de deux charges q > 0 et −q distantes de a. On définit le moment dipolaire : p = qa et on a alors (à grande distance) : V = 1 pr 4π0 r 3 . Les équipotentielles sont les courbes : r2 = A cos(θ), les lignes de champs vérifient : Edrr = rdθ 2 Eθ , ce qui donne : r = K sin (θ). – Développement multipolaire. On considère un ensemble de charges qi plaçées en Ai , on pose ai = OAi , r = OM P et ri = Ai M . Soit V = 4π1 0 i rqii ' 4π1 0 ( Q r + P 3(ai r)2 −a2i r2 r i qi ai r 3 + i qi 2r 5 V0 + V1 + V2 . Si Q 6= 0, P = on place l’origine au barycentre de la distribution de charges et alors P p = i qi ai = 0 et V = V0 à un terme d’ordre deux près. Si Q = 0, la quantité p est indépendante de l’origine choisie et la distribution est équivalente à un dipôle de moment p placé à l’origine. Si Q = 0 et p = 0, la distribution est un quadrupôle. – On pourait bien sur faire un DL à l’ordre n et obtenir un développement multipolaire d’ordre n. – Action d’un champ uniforme sur un dipôle. Résultante : R = 0, couple : Γ = p ∧ E, énergie potentielle : Ep = −pE. – Action d’un champ non uniforme. R = (p∇)E, Γ = p∧E(O) et Ep = −pE(O). On peut écrire de façon plus "intrinsèque" : V = − 4π1 0 ÷ pr et E = p 1 4π0 grad ÷ r . [Conducteurs] – Dans un conducteur à l’équilibre on a : E = 0R Ret donc ρ = 0, V = cte, Q = σdS. S – On appelle capacité propre du conducteur la quantité : C0 = VQ . – Pouvoir des pointes : le champ est plus intense au voisinage des zones de forte courbure du conducteur. [Coulomb] Juste au dessus de la surface d’un conducteur à l’équilibre on a E = σ0 N [Pession électrostatique] La pression s’exerçant sur un élément dSla surface du conducteur (due aux autres charges agissant sur les charges de dS) 2 est p = σ20 . C’est encore valable si il y a plusieurs conducteurs tant que l’équilibre est réalisé. C’est le seul moyen (rigoureux) de calculer la force s’exerçant sur un conducteur. [Conducteur en présence de charges] – Le potentiel doit vérifier : ∆V + ρ = 0, V = V0 sur la surface du 0 conducteur et V = 0 à l’infini, problème admettant une solution unique. – On raisonne ainsi (si c’est possible) : on cherche une distibution discrète de charges créant des surfaces équipotentielles de la forme adéquate, le potentiel est alors en tout point (sauf à l’intérieur des conducteurs) celui de l’ensemble conducteur/charges. On appelle ce procédé la méthode des images électriques. – Avec deux charges on crée des équipotentielles sphériques (points de Weierstrass du dioptre sphérique...) – Avec deux charges le plan médian est une surface équipotentielle. – Avec deux fils infinis (paralléles) on crée des équipotentielles cylindriques (le plan médian est encore une équipotentielle). [Equilibre de conducteurs] Avec la linéarité des équations de l’électrostatique on peut se contenter de connaitre deux états particuliers faciles du système de deux conducteurs A1 et A2 pour déterminer n’importe quel état du système. On choisi :V1 = 1 V et V2 = 0 V . Alors Q1 = C11 et Q2 = C21 . V1 = 0 V et V2 = 1 V . Alors Q1 = C12 et Q2 = C22 . On a alors : V1 = V1 V et V2 = 0 V . Alors Q1 = C11 V1 et Q2 = C21 V1 . V1 = 0 V et V2 = V2 V . Alors Q1 = C12 V2 et Q2 = C22 V2 Ce qui donne pour un état quelconque (V1 , V2 ) : ( Q )1 Q2 = ( C )11 C12 C21 C22 ( V )1 V2 . Cette matrice (symétrique) s’appelle la matrice capacité du système, les coefficients : C11 et C22 sont les coefficients de capacité et C12 et C21 sont les coefficients d’influence. ils ne dé- pendent que de la géométrie des conducteurs. Ils vérifient : C12 = C21 ≤ 0, Cii ≥ 0 C11 + C12 ≥ 0 et C22 + C21 ≥ 0 On généralise facilement au cas de N conducteurs. Si toutes les lignes de champ issues de A1 rencontrent A2 on dit que les deux conducteurs sont en influence totale. [Condensateurs] – Deux conducteurs en influence totale forment un condensateur. En général ceci est réalisé en en tourant le conducteur A1 par le conducteur A2 . les indices i et e désignent içi les faces internes (resp. externes des conducteurs. – Soient Q1 et Q2 = Q2i + Q2e les charges des deux conducteurs. Supposons V1 6= 0 et V2 = 0 V . – On a facilement dans la matrice capacité : C12 = −C11 et comme le potentiel est nul à l’extérieur, Q2 = Q2i = −Q1 . – Donc : Q1 = C11 (V1 − V2 ), que l’on réécrit : Q = CV , où C = C11 est la capacité du condensateur et Q la charge du condensateur. Supoosons V2 6= 0, ce qui ne change rien à ce qui se passe à l’intérieur. – Du point de vue de l’extérieur tout se passe comme si il y avait un conducteur plein des dimensions de A2 porté au potentiel V2 , on a donc Q2e = C2 V2 , où C2 est la capacité propre du conducteur équivalent à A2 . Ce qui donne : C22 = C11 + C2 Dans tout les cas on a la matrice capacité : ( C ) − C − C C + C2 En fait le nom de condensateur désigne uniquement les armatures en regard des deux conducteurs. [Capacités usuelles] On considère qu’un diélectrique r remplit l’espace entre les armatures. – Condensateur spérique. C = R2 . 4π0r RR21−R 1 – Condensateur cylindrique de h hauteur h. C = 2π0r R2 . ln( R ) 1 – Condensateur plan (surface S distance e). C = 0reS . [Energie] – pour unP système de conducteurs : Ep = 12 i Qi Vi . – Si on fait passer l’état du système de Qi , Vi à Q0i , Vi0 , on a : Wop = ∆Ep = Ep0 − Ep . – pour un condensateur : Ep = 1 2 1 2 2 C(V1 −V2 ) + 2 C2 V2 = W +We , où W est l’énergie du condensateur et We est l’énergie de la face externe de A2 . 5.7 Magnétostatique [Equations générales] Les équations de Maxwell donnent : ÷B = 0 et rotB = µ0 j, d’où l’on tire :B = rotA, A est le potentiel vecteur, défini à un gradient près. Théorème d’Ampère. H Bdl = µ0 Ienlacé . Dans la jauge de Coulomb on a : ∆A+µ0 j = 0, µ0 dτ j r. d’où l’on tire : A = 4π Discontinuités. Le champ B est discontinu à travers une surface portant une densité surfacique de courant jS : BN1 = BN2 et BT1 − BT2 = µ0 js ∧ N2→1 . Le potentiel vecteur est continu à travers une telle surface. [Biot et Savart] Le champ du à une distribution de courants est : B = µ0 jdτ ∧r 4π V r 3 [Force de Laplace] – df = jdτ ∧ B Pour deux circuits filiformes (C1 et C2 ) agissant l’un sur l’autre on a: H H µ0 – R = 4π i dl ∧ ( C1 i1 dl1 ∧ C2 2 2 r12 3 ). r12 – il n’y a pas action et réaction au niveau de dl1 et dl2 mais au niveau des résultantes globales. [Energie] B2 – Densité d’énergie : wm = 2µ . 0 – Energie comprise dans le volume B2 dτ . Soit encore : v : W =V 2µ 0 1 W = 2 espace jAdτ . – Dans le cas des P circuits filiformes : W = 12 k Ik Φk . [symétries] – Si la distribution de courants est invariante par translation selon Oz , le champ ne dépend pas de z. – Si la distribution de courants est invariante par rotation d’angle θ, le champ ne dépend pas de θ. – En un point appartenant à un plan de symétrie d’une distribution de charges, le champ magnétostatique est orthogonal à ce plan. – En un point appartenant à un plan d’antisymétrie d’une distribution de charges, le champ magnétostatique appartient à ce plan. [Champs usuels] – Fil infini d’axe Oz parcouru par 0I uθ . un courant I : B = µ2πr 0I – Fil fini : B = µ4πr (cos(θ1 ) − cos(θ2 ))uθ . – Spire de rayon a sur son axe : 0I B = µ2a sin3 (θ)uz . Attention à la définition de θ ici il est tel que cos(θ) = M OM A. – Bobine plate constituée de N spires jointives : NI B = µ02a sin3 (θ)uz . – Solénoïde circulaire d’axe ux , n spires par unité de longueur. B = µ0 nI 2 (cos(θN )−cos(θS ))ux . (l’axe Sud-Nord est pris dans le même sens que ux ). – Solénoïde infini de rayon a, d’axe uz . Si r < a, B = µ0 nIuz et si r > a, B = 0. Par convention, une intensité de 1 A circule dans deux fils infinis paralléles distants de 1 m dont la force exercée par l’un sur l’autre vaut 2 10−7 N. [Dipôles] Loin d’un circuit plan on a :A = µ0 r 4π M ∧ r 3 , où M = IS est le moment magnétique du circuit. Soit en coordonnées sphériques, avec M = ISuz : µ0 M sin(θ) A = 4π uφ et Br = r2 µ0 M sin(θ) µ0 2M cos(θ) et B . θ = 4π 4π r3 r3 Généralisation. on peut écrire selon H la nature du circuit RR : M = 1 1 r ∧ Idr, M = r ∧ jS dS 2 2 ou M = 12 r ∧ jdτ . Action d’un champ uniforme sur un circuit plan. R = 0, Γ = M ∧ B et Ep = −M B. Action d’un champ quasi uniforme. R = (M ∇)B, Γ = M ∧ B et Ep = −M B. On peut écrire de façon plus "inµ0 rot M trinséque" : A = 4π r et B = µ0 M 4π grad ÷ r . [Travail forces Laplace] On considère le déplacement d’un circuit parcouru par un courant I dans un champ magnétique B constant. Le travail total des forces de Laplace lors du déplacement est proportionnel au flux (de B) coupé lors de déplacement, soit WL = IΦc . [Maxwell] On a : WL = −∆Ep = +I∆Φ, où Φ est le flux de B à travers le cicuit. Un circuit libre d’évoluer ou de se déformer sous l’action des forces de Laplace va tendre à rendre son énergie potentielle minimale, donc à rendre le flux le traversant maximum. 5.8 Induction [ARQP] La condition de validité de l’ARQP est : les dimensions caractéristiques des circuits considérés sont négligeables devant la longueur d’onde. [Conducteurs dans l’ARQP] – On néglige le retard du à la propagation ; les potentiels retardés deviennent alors : V (M, t) = 4π1 0 sources ρ(P,t) P M dτ A= j(P,t) µ0 4π sources P M dτ . – Les équations de Maxwell deviennent : ÷E = ρ0 , ÷B = 0, rotE = − ∂B ∂t et rotB = µ0 j. – On a toujours : B = rotA et E = −∇V − ∂A ∂t . – On a de plus : ÷j = 0 : l’intensité est la même en tout point d’un circuit. – Loi d’Ohm (locale). j = γE – On a encore : ∆E − µ0 γ ∂E ∂t = = 0. Ce qui 0 et ∆j − µ0 γ ∂j ∂t implique : le courant est surfacique, avec une épaisseur caractéristique (épaisseur de peau) q 2 δ = µ0 γω . Pour des basses fréquences le courant sera volumique tandis que pour de hautes fréquences il sera surfacique : c’est l’effet de peau. [Generateurs] – Un générateur sert à mettre en mouvement des charges dans un cicuit en faisant intervenir des forces non électrostatiques qui fournissent de l’énergie au système. Si la force fm agit sur la charge q on définit le champ électromoteur par fm = qEm . – Sous l’effet du champ électromoteur, un champ électrostatique s’établit en sens contraire de telle sorte que à l’équilibre, E = −Em . – La force électromotrice du générateur est la quantité : e = RB Em dl. A – lorsque le générateur débite on a : j = γ(E + Em ) 6= 0.et sur une portion AB de circuit contenant le générateur on a VA −VB + eAB = RAB I (loi d’Ohm généralisée ou loi de Pouillet). [Induction] Expérimentalement : – il se crée dans un circuit fixe plongé dans un champ B variable un courant induit i tel que le champ Bi créé par i s’oppose aux variations de B, c’est la loi de Lenz (principe de modération). – le même phénomène apparait si c’est le circuit qui bouge dans B constant. Dans les deux cas la fem d’induction est donnée par la loi de Faraday : e = − dΦ dt , où Φ est le flux de B à travers le circuit. Si il n’y a pas d’autre fem on aura aussi e = Ri. – Circuit fixe dans un champ variable. Em = − ∂A ∂t . – Circuit mobile dans un champ constant. Em = ve ∧ B. Dans le cas général on a : Em = − ∂A ∂t + ve ∧ B. – Autoinduction. Un cicuit parcouru par un courant variable crée un champ variable dont le flux créé une fem dans le circuit lui même dit fem d’autoinduction. – Coefficients d’induction. Si deux circuits C1 et C2 agissent l’un sur l’autre on a : Φ1/2 = M12 i1 et Φ2/1 = M21 i2 avec M12 = H H dl1 dl2 µ0 4π C1 C2 r12 = M21 . M12 est le coefficient de mutuelle induction des circuits. – Dans le cas de l’autoinduction on a de même : Φ = Li, L est le coefficient d’autoinduction. 2 – on a : M12 ≤ L1 L2 , avec égalité si le couplage de circuits est par- fait. Pour un solénoïde de N spires, de longueur l et de section S : L = µ0 N 2 Sl [Energie] On a : WB = 21 Li2 = 1 B2 2 iΦ = 2µ0 dτ . C’est cette formule qui sert à mesurer L quand le calcul direct du flux est impossible. On appelle courants de Foucault les courants induits qui prennent naissance dans un conducteur et dissipent de l’énergie par effet Joule. On procéde par approximations successives : le champ B0 créé un champ E1 tel que 0 E1 = − ∂A ∂t et une densité de courant par j1 = γE1 . Ce sont dans l’approximation des bons conducteurs les seuls termes non négligeables. On calcule la j2 puissance dissipée par : dP = γ1 dτ . [Transducteurs] Ce sont des dispositifs transformant de l’énergie électrique en énergie mécanique. Il faut deux équations pour les modéliser : l’une mécanique et l’autre électrique. On effectue les calculs d’actions mécaniques soit directement avec df L = idl ∧ B, soit en considérant le circuit comme un dipôle et en écrivant (par exemple) : ΓL = M ∧ B = iS ∧ B, quand la variation de S est facile à écrire en fonction du paramètre cinématique.