#HKM SYNTHESE MICRO N°2

ANALYSE STATIQUE COMPARATIVE ET SENSIBILITE DU CONSOMMATEUR
Décomposition de l’Effet Prix selon la nature des biens : J. R. HICKS et E. SLUTSKY
Hénock KATUALA MUANZA
1
* [email protected] *
« Tout coule, tout passe et rien ne demeure. Seul le
changement reste statique »
Adapté de Héraclite.
1. ANALYSE STATIQUE COMPARATIVE DE L’EQUILIBRE DU CONSOMMATEUR
i. Le Programme du consommateur
Soit X = (x1, x2, ..., xn) un complexe (vecteur) de n biens ; chaque composante xh
du vecteur représente la consommation en bien h.
*** Le consommateur choisit le meilleur complexe x dans un ensemble de complexes
qui sont à priori possibles pour lui
2
Il faut d’abord définir quels sont les complexes possibles et ensuite dire ce que
signifie le meilleur complexe x.
*** Le consommateur est soumis à une contrainte physique et à une contrainte
économique.
(a) Contrainte physique
Soit X l’ensemble des complexes possibles (ou l’ensemble des consommations
possibles).
La contrainte s’écrit x  X (où X est donné à priori et représente les contraintes
physiques qui sont imposées au consommateur). X peut être défini de plusieurs façons,
par exemple :
*X= 
 x  X implique que toutes les composantes de x sont non négatives (xi = 1,
2, ... , n). Dans ce cas, le consommateur n’offre rien.
*
n
R  X
certains vecteurs sont exclus de l’ensemble, par exemple pour représenter
le fait qu’on assure les besoins élémentaires (minimum vital).
*
2
R X
on peut admettre certaines composantes négatives représentant le travail,
par exemple.
(b) Contrainte économique (ou contrainte institutionnelle)
*Le consommateur dispose du revenu R et fait face au vecteur de prix P (P = p1, p2,
..., pn) et ph > 0, (h = 1, ..., n)
1
L’auteur de ce papier est étudiant en première année de licence en Economie
mathématique au sein de l’Université protestante au Congo.
e-mail : [e-mail]
2
Malinvaud, E., Leçons de théorie microéconomique, 4ème éd., Dunod, Paris, 1982, (p. 12).
** EASY - MICROECONOMIE **

*La contrainte s’écrit alors :
Rxh 
*
n
1h
h
p PX
3
, où R et p sont des données
exogènes.
(c) Meilleur complexe (meilleur panier)
Le choix du meilleur complexe dépend des préférences de l’individu. Ses préférences
sont représentées par une fonction d’utilité :
U(x) = U(x1 , x2 , . . . , xn ), Qu’il cherche à maximiser.
*Soit x* et x** deux complexes de biens. u(x*) > u(x**) signifie que le consommateur
préfère x* à x**
ii. Équilibre du consommateur
Un équilibre du consommateur est un vecteur x0 qui maximise l’utilité u(x) sous les
contraintes physiques et économiques.
(a) Données exogènes : u, X, R, p
(b) Var. endogènes : xh (h = 1, ..., n)
*Le vecteur x0 dépend de u, X, p et R. Si x0 est unique, on peut écrire :
x0 = (p , R ),
c’est-à-dire : x1 =  ( p1 , p2 , . . . , pn , R )
x2 =  ( p1 , p2 , . . . , pn , R )
xh =  ( p1 , p2 , . . . , pn , R )
Où  est la fonction de demande
4
du consommateur pour le bien h, laquelle fonction
dépend des prix et de son revenu.
iii. La représentation des préférences
Parmi l’ensemble X des consommations possibles, le consommateur choisit des complexes
de biens selon ses préférences.
On peut représenter ces préférences de deux façons :
 Soit par un préordre de préférences (relation de préférence) ;
 Soit par une fonction d’utilité [u(x)].
3
Il s’agit là de la contrainte budgétaire
4
Il s’agit là de la fonction de demande marshallienne ou classique
Droite budgétaire : 
La pente de la DB : 

Nous verrons que sous certaines hypothèses, il est équivalent de travailler avec
l’une ou l’autre de ces représentations.
(a) La théorie des préférences
*Soit «» la relation qui est définie entre les x de X.
 x1  x2 signifie que x1 est préféré à x2. C’est la relation de préférence
faible. Le consommateur pense que x1 est au moins aussi bon que x2.
En termes d’utilité : u(x1)  [u(x2)].
 x1 x2 signifie que x1 est préféré à x2. C.est la relation de préférence forte
En termes d’utilité : u(x1) > u[x2)].
 x1 ~ x2 signifie que le consommateur est indifférent entre x1 et x2. C.est la
relation d’indifférence
En termes d’utilité : u(x1) = [u(x2)].
***Axiomes de la théorie des préférences
En vertu du théorème de la « monotonicité », le consommateur étant supposé
rationnel, doit préférer plus au moins.
 Ordre total (comparaison): pour tout couple x1, x2  X, ou bien x1x2 ou bien
x1 x2. Tous les complexes de biens peuvent être comparés entre eux.
 Réflexivité : Pour tout x X, x x
 Transitivité : Si x1x2 et si x2 x3 alors x1x3. Cet axiome nous assure qu’il
y a un meilleur élément dans l’ensemble, ce qui est nécessaire pour les
problèmes de maximisation.
« Ces trois axiomes définissent un préordre sur X »
(b) La théorie de l’utilité
La fonction d’utilité est la deuxième façon de représenter les préférences des
consommateurs.
Elle aide à classer les différents complexes x suivant l’ordre dans lequel le
consommateur les choisit.
*Le mot « utilité » peut porter à confusion : la théorie de l’utilité ne représente
pas une théorie psychologique ou philosophique particulière. C’est une théorie
logique qui s’applique quelles que soient les motivations du consommateur.
Par ailleurs, pour l’économiste, u est une donnée et on ne s’intéresse pas à sa
provenance.
La « valeur numérique » donnée par U au complexe x n’a aucun sens en soi. Elle n’est
utile que dans la mesure où elle permet d’évaluer les préférences du consommateur
par rapport aux différents complexes de biens.
*Utilité ordinale
Si l’utilité représentée par u(x) est ordinale, la fonction u peut être remplacée
par n’importe quelle transformation strictement croissante
û(x) = φ[u(x)] avec φ’>0.

En d’autres termes, u peut être remplacée par n’importe quelle fonction ou
transformation strictement croissante û(x), sans que cela ne change la solution au
problème du consommateur.
En fait, û(x) et u(x) ont les mêmes surfaces d’indifférence (courbe d’indifférence,
dans le cas de deux biens).
*Utilité cardinale
Soit x1, x2, x3 et x4 avec u(x2) > u(x1) et u(x4) > u(x3).
 Peut-on comparer u(x2) - u(x1) avec u(x4) - u(x3) ?
 Peut-on savoir, par exemple, si u(x2) - u(x1) > u(x4) - u(x3) ?
Si l’utilité (ou satisfaction) représentée par u est ordinale, la réponse est non.
En effet, on a vu que dans ce cas, u peut être remplacée par une fonction monotone
croissante û(x).
Or, même si on a u(x2) - u(x1) > u(x4) - u(x3), il n’est pas certain que :
û(x2) - û(x1) > û(x4) - û(x3).
Si l’utilité représentée par u est cardinale, la fonction u pourrait être remplacée
par n’importe quelle transformation linéaire croissante
U*(x) = aU(x)+b, a>0
Et on aurait que si u(x2) - u(x1) > u(x4) - u(x3), alors u’(x2) – u’(x1) > u’(x4) –
u’(x3)
*Hypothèses sur la fonction d’utilité
H1 : u  C² (U est deux fois continûment dérivable) c.à.d. Pour résoudre le problème
de maximisation de l’utilité du consommateur, il est utile, quoique non essentiel,
que la fonction u soit dérivable deux fois.
n321h x
u
x
u
x
u
x
u
x
u...;;;
2
n
2n
1n
n121
2
1
x
u
xx
u
xx
u
xx
u
xx
u
x
u
U
;...;;
;...;;
22
22
(La matrice hessienne)
H2 : u est strictement croissante (
)0
h
x
u
, On suppose que la satisfaction du
consommateur augmente avec x (le consommateur est insatiable).
H3 : u est differentiellement strictement quasi-concave
(
0ξ U ξ' 
pour
0ξ
et
ξ'
0
x
u
h
) , ou U est la matrice hessienne de u.
*** Cette dernière hypothèse nous assure que les surfaces (courbes) d’indifférence
sont convexes.

(c) Représentation graphique de la fonction d’utilité et la courbe
d’indifférence selon la nature des biens
*FONCTION D’UTILITE
5
DU CONSOMMATEUR
* LA COURBE D’INDIFFERENCE
6
ET SES DIFFERENTES FORMES PAR NATURE DE BIEN
*** Notons que Lorsque les préférences sont concaves, le comportement qu’affiche le
consommateur est dit monomaniaque.
Ainsi, les courbes d’indifférences d’un tel consommateur sont toutes converses et
possèdent comme fonction, l’équation du cercle
7
, passant par deux points, suivante :
U = 
5
La fonction d’utilité est concave en ce que l’utilité totale augmente jusqu’à un certain seuil (point de saturation)
avec la quantité de biens consommés mais à un rythme décroissant. Ceci parce que lorsqu’un bien devient relativement
abondant, son utilité ou sa valeur relative aux yeux du consommateur diminue (loi de Gossen).
6
C’est l’économiste anglais Francis Y. Edgeworth (1845-1826) qui est l’inventeur de la notion de courbe d’indifférence.
7
Soit une autre forme adaptée suivante : U = 
 (où   
0
x
Utilité
U = u(x)
Biens imparfaitement substituables
Biens substituts parfaits
Biens compléments parfaits
Equilibre initial
Equilibre initial au coin
*formes fonctionnelles
Equilibre initial
*formes fonctionnelles
*formes fonctionnelles
Cobb-douglas : U = A
CES ou SMAC : U = A
Fonction linéaire en 
:
U =  
Fonction de Leontief :
U = min 
*Courbe d’indifférence
convexes
*Courbe d’indifférence
linéaires
*Courbe d’indifférence
sous forme de « L »