primitives integration

primitives et calcul intégral
Table des matières
1 introduction
2
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4
4
5
9
11
12
3 intégrale d’une fonction
3.1 activités . . . . . . . . . . . . . .
3.2 corrigés activités . . . . . . . . .
3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . .
3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . .
3.5 corrigés exercices . . . . . . . . .
3.6 travaux pratiques . . . . . . . .
3.6.1 algorithme et calcul d’aire
3.7 évaluations . . . . . . . . . . . .
3.8 corrigé devoir maison . . . . . . .
3.8.1 corrigé devoir maison 1 . .
3.8.2 corrigé devoir maison 2 . .
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13
13
15
18
19
24
32
32
36
47
48
51
2 primitives d’une fonction
2.1 activités . . . . . . . . .
2.2 corrigés activités . . . .
2.3 à retenir . . . . . . . .
2.4 exercices . . . . . . . . .
2.5 corrigés exercices . . . .
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1
introduction
✞
☎
1. en un certain lieu, soit f (x) = x + 1 la valeur de la température en degrés mesurée à l’heure x ou x ∈ [0; 7]
✝
✆
Cf
7
6
5
par exemple :
à la date x = 1 il fait f (1) = 1 + 1 = 2 degrés
à la date x = 6 il fait f (6) = 6 + 1 = 7 degrés
4
3
2
1
0
✞
0
☎✞
1
2
3
4
5
6
2. on cherche à déterminer la valeur de Vm (f ) , température moyenne entre les heures x = 1 et x = 6
✆✝
✝
☎
✆
Cf
7
6
5
✞
graphiquement on peut estimer que la valeur moyenne vaut Vm (f ) ≃ 4
✝
☎4
D
C
A
B
✆3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
3. par définition, la valeur moyenne cherchée est telle que
Z 6
l’aire sous la courbe entre x = 1 et x = 6 notée A =
f (x)dx ("intégrale de 1 à 6 de f de x, dx")
1
est égale à
l’aire du rectangle ABCD de même largeur ( entre x = 1 et x = 6 ) soit largeur×hauteur = (6−1)×Vm (f )
ce qui donne
Z
6
f (x)dx = (6 − 1) × Vm (f )
☞
☞
✎
Z 6
Z 6
1
f (x)dx ("intégrale de 1 à 6 de f de x, dx")
×
f (x)dx , il reste à déterminer
donc : Vm (f ) =
6−1
1
1
✎
1
✍
Cf
✌
7
7
6
6
5
D
4
C
5
4
3
3
2
2
1
A
0
0
B
1
2
3
4
5
6
✍
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Cf
✌
4. pour cela on utilise le théorème
✞
✎
Z
☞
b
a
✍
sachant que F est une primitive de f ⇐⇒ F ′ (x) = f (x)
✝
✞
f (x)dx = F (b) − F (a) où F est une primitive de f
✝
☎✌
✆
☎
✆
il suffit alors de trouver une primitive de f où f (x) = x + 1
1
or F (x) = x2 + x
2
est telle que F ′ (x) =
☛
1
× 2x + 1 = x + 1 = f (x)
2
✟
☎
✞
1
donc F (x) = x2 + x est une primitive de f (x) = x + 1
✝
✆
2
✡
✠

✄
1
2 + 6 = 18 + 6 = 24

F
(6)
=
×
6

Z 6
✂ ✁

2
f (x)dx = F (6) − F (1) avec
on a donc :

1

 F (1) = 1 × 12 + 1 = 0, 5 + 1 = ✞1, 5 ☎
✝ ✆
2
soit :
Z
6
1
✞
✝
f (x)dx = 24 − 1, 5 = 22, 5
☎
✆
☎
✞
ce qui signifie que l’aire sous la courbe de f pour x allant de 1 à 6 est de 22, 5 unités d’aires ( on
✝
✆
peut dénombrer 22,5 carrés d’une unité d’aire sous la courbe)
finalement
Z 6
1
1
×
f (x)dx = × 22, 5 = 4, 5
Vm (f ) =
6−1
5
1
✞
la valeur moyenne de f pour allant de 1 à 5 est donc d’exactement 4, 5
✝
ce qui est cohérent avec le résultat évalué graphiquement
☎
✆
Cf
7
6
5
4
graphiquement Vm (f ) ≃ 4 et algébriquement Vm (f ) = 4, 5 3
2
1
0
0
1
2
3
4
5. synthèse : (sous certaines conditions vues dans le cours)
✎
valeur moyenne de f pour x compris entre a et b = Vm (f ) =
✍
✎
intégrale de f pour x compris entre a et b = I =
✍
✞
F est une primitive de f ⇐⇒ F ′ (x) = f (x)
✝
☎
✆
Z
1
b−a
Z
b
f (x)dx
a
b
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
5
☞
✌
☞
✌
6
2
2.1
primitives d’une fonction
activités
activité 1
soient F1 et f les fonctions respectivement définies sur R par :
F1 (x) = 5x3 + 10x2 − 5x
f (x) = 15x2 + 20x − 5
1. montrer que F1′ (x) = f (x) (on dit sous cette condition que F1 est une primitive de f )
2. montrer que F2 définie sur R par F2 (x) = 5x3 + 10x2 − 5x + 1 est aussi une primitive de f
3. que dire de F définie par F (x) = 5x3 + 10x2 − 5x + k où k ∈ R est un réel quelconque ?
4. combien la fonction f admet-elle de primitives ?
5. soit G une primitive quelconque de f , on cherche à quoi ressemble nécessairement G.
pour cela, on considère la fonction H définie par H(x) = G(x) − F1 (x)
(a) montrer que H ′ (x) = 0
(b) en déduire que H(x) = k = constante pour tout x ∈ R
(c) en déduire que G(x) = F1 (x) + k pour tout x ∈ R
(d) quelle est nécessairement la forme d’une primitive de f ?
(e) en déduire la seule et unique primitive F de f telle que F (0) = 10
activité 2
1
1
+ définie sur R∗
2
x
x
2
1
x
+ ex + + lnx est une primitive de f
1. montrer que F1 telle que F1 (x) = x +
2
x
2. trouver une autre primitive F2 de f
soit la fonction f telle f (x) = 1 + x + ex −
3. trouver la primitive F de f qui vaut 0 pour x = 1
activité 3
donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableau des dérivées
1. f (x) = 0 a par exemple pour primitive : ...
2. f (x) = 10 a par exemple pour primitive : ...
3. f (x) = x a par exemple pour primitive : ...
4. f (x) = x2 a par exemple pour primitive : ...
5. f (x) = x3 a par exemple pour primitive : ...
6. f (x) =
1
a par exemple pour primitive : ...
x
7. f (x) =
1
a par exemple pour primitive : ...
x2
8. f (x) =
1
a par exemple pour primitive : ...
x3
9. f (x) = ex a par exemple pour primitive : ...
activité 4
démontrer chaque proposition
1. si F et G sont des primitives respectives de f et g alors H = F + G est une primitive de h = f + g
2. si F est une primitive de f et k ∈ R est un réel alors H = kF est une primitive de h = kf
2.2
corrigés activités
corrigé activité 1
soient F1 et f les fonctions respectivement définies sur R par :
1. F1′ (x) = 15x2 + 20x − 5 et f (x) = 15x2 + 20x − 5
F1 (x) = 5x3 + 10x2 − 5x
f (x) = 15x2 + 20x − 5
F1′ (x) = f (x)
F1 est donc une primitive de f
2. F2′ (x) = 15x2 + 20x − 5 et f (x) = 15x2 + 20x − 5
F2′ (x) = f (x)
F2 est donc aussi une primitive de f
3. F définie par F (x) = 5x3 + 10x2 − 5x + k où k ∈ R est aussi une primitive de f car
F ′ (x) = f (x)
4. la fonction f admet alors une infinité de primitives
5. soit G une primitive quelconque de f , on cherche à quoi ressemble nécessairement G.
pour cela, on considère la fonction H définie par H(x) = G(x) − F1 (x)
a. H(x) = G(x) − F1 (x)
H ′ (x) = G′ (x) − F1′ (x)
H(x) = f (x) − f (x) = 0
H ′ (x) = 0
b. H est une fonction constante car sa dérivée est nulle pour tout x ∈ R
H(x) = k = constante pour tout x ∈ R
c. H(x) = G(x) − F1 (x) = k pour tout x ∈ R
G(x) = F1 (x) + k pour tout x ∈ R
d. une primitive de f est nécessairement la forme F (x) = F1 (x) + k
e. la seule et unique primitive F de f telle que F (0) = 10 est telle que
F (x) = F1 (x) + k avec F (0) = 10
F (x) = 15x2 + 20x − 5 + k avec F (0) = 10
F (0) = 15 × 02 + 20 × 0 − 5 + k = 10
−5 + k = 10 ⇐⇒ k = 15
F (x) = 15x2 + 20x − 5 + 15
F (x) = 15x2 + 20x − 10
corrigé activité 2
soit la fonction f telle f (x) = 1 + x + ex −
1
définie sur R∗
x2
x2
1
+ ex + est une primitive de f , en effet :
2
x
−1
1
F1′ (x) = 1 + × 2x + ex + 2
2
x
1
F1′ (x) = 1 + x + ex − 2 = f (x)
x
1. F1 telle que F1 (x) = x +
2. une autre primitive F2 de f est : F2 (x) = x +
3. primitive F de f qui vaut 0 pour x = 1
F (1) = 0 et F (x) = x +
F (1) = 1 +
x2
1
+ ex + + k
2
x
12
1
+ e1 + + k = 0
2
1
1
+e+1+k =0
2
5
k =− −e
2
1 5
x2
+ lnx + − − e
F (x) = x +
2
x 2
1+
1
x2
+ lnx + + k où k ∈ R
2
x
corrigé activité 3
donner une primitive dans chaque cas en utilisant le tableau des dérivées
(a) f (x) = 0 a par exemple pour primitive : F (x) = k
(b) f (x) = 10 a par exemple pour primitive : F (x) = 10x + k
(c) f (x) = x a par exemple pour primitive : F (x) = x + k
(d) f (x) = x2 a par exemple pour primitive : F (x) =
(e) f (x) = x3 a par exemple pour primitive : F (x) =
x3
+k
3
x4
+k
4
(f) f (x) =
1
a par exemple pour primitive : F (x) = ln(x) + k
x
(g) f (x) =
−1
1
a par exemple pour primitive : F (x) =
+k
x2
x
(h) f (x) =
1
−1
a par exemple pour primitive : F (x) = 2 + k
3
x
2x
(i) f (x) = ex a par exemple pour primitive : F (x) = ex + k
corrigé activité 4
démontrons chaque proposition
1. si F et G sont des primitives respectives de f et g alors H = F + G est une primitive de h = f + g
H =F +G
H ′ = F ′ + G′
H′ = f + g
H′ = h
H = F + G est une primitive de h = f + g
2. si F est une primitive de f et k ∈ R est un réel alors H = kF est une primitive de h = kf H = kF
H ′ = kF ′
H ′ = kf
H′ = h
H = kF est une primitive de h = kf
2.3
à retenir
définition 1 (primitive d’une fonction)
Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I
✞
F est une primitive de f sur I
✝
☎
✆
⇐⇒
✞
☎
F ′ (x) = f (x) pour tout x ∈ I
✝
✆
exemple : avec F (x) = x2 + 3x et f (x) = 2x + 3 on a F ′ (x) = f (x) donc F est une primitive de f
remarque : "F est une primitive de f " équivaut à "f est la dérivée de F "
propriété 1 (forme générale des primitives)
✄
✞
☎
(1) toute ✂fonction continue ✁sur un intervalle I de R admet des primitives sur cet intervalle
✝
✆
(2) Soient
f
et
F
deux
fonctions
définies
sur
un
intervalle
I
 ✞
☎

 si ✝F est une primitive de f ✆sur I
alors
✞
✞
☎
☎

 toutes les primitives de f sont de la forme F + k où k ∈ R
✝
✆
✝
✆
exemple : avec F (x) = x2 +3x et f (x) = 2x+3, toutes les primitives de f sont de la forme F (x) = x2 +3x+k
où k est un nombre réel quelconque
remarque : si on connaît une primitive de f alors on en connaît une infinité
propriété 2 (tableau des primitives usuelles)
F (x)
k∈R
x+k
2x + k
−3x + k
ax + k
1 2
x +k
2
1 3
x +k
3
1 4
x +k
4
1
xα+1 + k
α+1
√
2 x+k
ln(x) + k
ln(ax + b) + k
−1
+k
x
−1
+k
2x2
−1
+k
(n − 1)xn−1
ex
1 ax+b
e
a
f (x)
0
1
2
−3
a∈R
x
x2
x3
xα où α ∈ R − {−1}
1
√
x
1
x
a
ax + b
1
x2
1
x3
1
où n ∈ N et n > 1
xn
ex
eax+b
propriété 3 (primitives et opérations)
(1) si F et G sont des primitives respectives de f et g sur I
(2) si F est une primitive de f sur I et k ∈ R
alors
alors
✞
✞
☎
F + G est une primitive de f + g sur I
✝
✆
☎
kF est une primitive de kf ✆sur I
1
1
1
5
exemple : une primitive de f (x) = x2 + 5x3 est F (x) = x3 + 5 × x4 = x3 + x4
3
4
3
4
✝
propriété 4 (primitives des formes usuelles)
soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et u′ sa dérivée.
quand cela est possible, on utilise le tableau suivant pour trouver une primitive F d’une fonction f connue.
F (x)
conditions
f (x)
1 2
u
2
1 3
u
3
1 4
u
4
u′ u2
1
un+1
n+1
u′ un
−1
u
−1
2u2
−1
(n − 1)un−1
u′
u2
u′
u3
u′
un
u′ u
u′ u3
lnu
u′
u
eu
u′ eu
n∈N
u 6= 0
u 6= 0
n ∈ N , n > 1 et u 6= 0
u>0
exemples :
✞
(a) f (x) = (2x +
✝
2
3)ex +3x+10
✞
☎
(c) f (x) = (2x + 3)(x2 + 3x + 10)
✝
✆
1
f = u′ u donc F = u2
2
u(x) = x2 + 3x + 10
avec
u′ (x) = 2x + 3
f = u′ eu donc F = eu
u(x) = x2 + 3x + 10
avec
u′ (x) = 2x + 3
✞
donc F (x) = ex
✝
☛
2 +3x+10
☎
☛
✟
✞
donc F (x) = ln(x2 + 3x + 10)
✝
✆
✟
1
donc F (x) = (x2 + 3x + 10)2
2
✡
✠
✆
2x + 3
(b) f (x) = 2
x
+
3x + 10 ✠
✡
′
u
f=
donc F = lnu
u
u(x) = x2 + 3x + 10
avec
u′ (x) = 2x + 3
☎
✎
☞
✍
✌
2x + 3
(d) f (x) = 2
(x + 3x + 10)3
☎
✆
u′
−1
f = 3 donc F = 2
u
2u
u(x) = x2 + 3x + 10
avec
u′ (x) = 2x + 3
✎
☞
✍
✌
−1
donc F (x) =
2
2(x + 3x + 10)2
2.4
exercices
exercice 1 :
Trouver une primitive de f sur Df dans chaque cas.
puis déterminer la primitive de f qui vaut 0 en 1 pour au moins 2 exemples
1
x
1. f (x) = x − 10
6. f (x) = ex +
3. f (x) = x3 − x2 + 5x + 2
7. f (x) = 10ex +
2. f (x) = 4x + 3
4. f (x) = 4x2 − 6x + 9
8
x
10. f (x) =
8
8x + 10
11. f (x) =
2x + 8
x2 + 8x + 12
8. f (x) = e0,2x
5. f (x) = 12x3 + 7x2 − 8x + 10 9. f (x) = 10e0,05x
12. f (x) = (6x − 10)e3x
2 −10x+4
exercice 2 :
Démontrer dans chaque cas que F est une primitive de f
(a)

 f (x) = 10 − 2e−0,2x+1

(b)
(c)




 f (x) =
e0,36x
99 + e0,36x



 F (x) = 1 ln(99 + e0,36x )
0, 36

 f (x) = 200 + 0, 02(x − 7)ex

(d)
F (x) = 10x + 10e−0,2x+1
F (x) = 200x + 0, 02(x − 8)ex
(e)
(f)

 f (x) = e−x (x − 3)2

F (x) = −e−x (x2 − 4x + 5)

F (x) = 3x2 + 52x − 24xln(x)

 f (x) = 6x + 28 − 24ln(x)



 f (x) = 9, 3 − 0, 048x −



2, 8e2x
e2x + 160000
F (x) = 9, 3x − 0, 024x2 − 1, 4ln(e2x + 160000)
2.5
corrigés exercices
3
3.1
intégrale d’une fonction
activités
activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1. soit la fonction f définie sur R par f (x) = 4
Cf
(a) calculer l’aire du rectangle hachuré
4
(b) donner une primitive F de f
Z 3
f (x)dx = F (3) − F (−4)
(c) calculer
3
2
−4
comparer les deux résultats
(d) un artisan fabrique 4 objets par heure.
quel nombre d’objets aura t-il fabriqué
sachant qu’il a déja travaillé 4h et
qu’il va encore travailler 3h ?
1
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
1
(e) en déduire la valeur moyenne m de f sur [−4; 3] sachant que m =
3 − (−4)
2. soit f définie sur R par f (x) =
(c) calculer
4
3
f (x)dx
−4
Cf
4
3
2
1
4
−2
Z
3
1
x+2
2
(a) calculer l’aire du trapèze hachuré
b+B
(rappel : Aire =
×h )
2
(b) donner une primitive F de f
Z
2
f (x)dx = F (4) − F (−2)
comparer les deux résultats
−5 −4 −3 −2 −1
0 1 2 3 4
Z 4
1
(d) en déduire la valeur moyenne m de f sur [−2; 4] sachant que m =
f (x)dx
4 − (−2) −2
1
3. soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
(a) encadrer l’aire parabolique hachurée
par deux entiers.
(b) donner une primitive F de f
Z 6
f (x)dx = F (6) − F (0)
(c) calculer
0
comparer les deux résultats
(d) en déduire la valeur moyenne m de f sur [0; 6]
1
4. soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
1
soit g définie sur R par g(x) = x + 2
2
Cf
4
3
2
1
0
0
(b) donner F et G des primitives respectives de f et g
Z 4
Z 4
g(x)dx comme ci dessus.
f (x)dx −
(c) calculer
2
comparer les résultats du a. et du c.
3
4
5
Cf
3
1
2
Cg
4
(a) encadrer l’aire hachurée par deux entiers.
1
1
1
0
0
1
2
3
4
5
activité 2 : Terminales ES - Sujet Callédonie 2005
3
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6] par : f (x) = x2 − 3x + 6
4
La courbe (Cf ) ci-dessous est représentative de f dans un repère orthonormal du plan d’origine O.
La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe (Cf ), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la
droite d’ équation x = 6.
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
Cf
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
1. Calculer, en unités d’aire, l’aire S de la partie hachurée.
En déduire l’aire en cm2 sachant que 1 unité a pour mesure 2cm en abscisses et 0,75cm en ordonnées
2. Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 6] et la représenter sur le graphique.
3. On considère un point M appartenant à la courbe (Cf ) d’abscisse x avec x ∈ [0 ; 6].
La parallè le à l’axe des ordonnées passant par M coupe l’axe des abscisses en un point H.
La parallè le à l’axe des abscisses passant par M coupe l’axe des ordonnées en un point K.
On appelle R(x) l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHM K.
Prouver que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 6], R(x) = 0, 75x3 − 3x2 + 6x.
4. On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l’intervalle [0 ; 6] telles que l’aire R(x)
du rectangle OHM K soit égale à l’aire hachurée S.
(a) Montrer que le problème précédent revient à résoudre l’équation g(x) = 0 où g est la fonction
définie sur l’intervalle [0 ; 6] par :
g(x) = 0, 75x3 − 3x2 + 6x − 36.
(b) Étudier les variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et dresser le tableau de variation de g. En déduire
que l’équation g(x) = 0 admet sur l’intervalle [0 ; 6] une solution unique α.
Donner une valeur approchée de α au centième et placer alors le point M sur le graphique
3.2
corrigés activités
corrigé activité 1 : aire sous la courbe, valeur moyenne, aire entre deux courbes et primitives
1. soit la fonction f définie sur R par f (x) = 4
Cf
4
(a) aire du rectangle hachuré :
✄
Aire = longueur × largeur = 7 × 4 = ✂ 28 U.A. ✁
✞
(b) une primitive F de f F (x) = 4x
✝
(c)
Z
3
☎
2
✆
1
3
−4
Z 3
✎
Z
−4
f (x)dx = F (3) − F (−4) = 4 × 3 − 4 × (−4) −5 −4 −3 −2 −1
✄
f (x)dx = 12 + 16 =✂28 ✁
3
✍
f (x)dx = aire du rectangle
−4
☎
✞
0
1
2
3
☞
✌
(d) il aura fabriqué 28 objets .
✝
✆
1
(e) valeur moyenne m de f sur [−4; 3] : m =
3 − (−4)
– soit f définie sur R par f (x) =
Z
3
f (x)dx =
−4
✄
1
× 28 = ✂4 ✁
7
1
x+2
2
Cf
1. aire du trapèze hachuré :
4
aire = aire du rectangle + aire du triangle
3
✄
6×3
aire = 6 × 1 +
= 6 + 9 = ✂15 U.A. ✁
2
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1
2. une primitive F de f
☛
✟
1
1 1
F (x) = × x2 + 2x = x2 + 2x
2 2
4
✡
✠
Z 4
1
1
f (x)dx = F (4) − F (−2) = ( × 42 + 2 × 4) − ( × (−2)2 + 2 × (−2))
3.
4
4
Z−2
4
✄
f (x)dx = F (4) − F (−2) = 12 − (−3) = ✂15 ✁
−2
✎
Z
4
−2
✍
f (x)dx = aire du trapèze
2
3
☞
✌
4. valeur moyenne m de f sur [−2; 4] : m =
1
4 − (−2)
Z
4
f (x)dx =
−2
✞ ☎
5
1
× 15 = = 2,5
✝ ✆
6
2
4
4
1
– soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
✞
1. 17 ≤ aire parabolique hachurée ≤ 18
✝
☎
Cf
✆
4
3
2. une primitive F de f
✟
☛
2
1 1
1
1
3
F (x) = − × x3 + 3 × x2 = − x3 + x2
2 3
2
2 ✠
✡6
1
Z 6
0
f (x)dx = F (6) − F (0)
3.
0
0 1 2 3 4
Z 6
✄
1
3
1
3
3
2
3
2
f (x)dx = (− × 6 + × 6 ) − (− × 0 + × 0 ) = 18 − 0 = ✂18 U.A. ✁
6
2
6
2
0
✎
☞
Z 6
f (x)dx = aire parabolique hachurée
0
✍
✌
1
4. valeur moyenne m de f sur [0; 6] : m =
6−0
Z
6
f (x)dx =
0
1
– soit f définie sur R par f (x) = − x2 + 3x
2
1
soit g définie sur R par g(x) = x + 2
2
Cf
☛
✟ ☛
2
✟
1
1
3
F (x) = − x3 + x2 et G(x) = x2 + 2x
6
2 ✠ ✡
4
✡
✠
Z 4
Z 4
3.
f (x)dx −
g(x)dx
1
Z
Z
f (x)dx −
1
4
1
1
0
1
4
f (x)dx −
Z
4
g(x)dx = F (4) − F (1) − ((G(4) − G(1))
1
Z
1
4
g(x)dx = F (4) − F (1) − ((G(4) − G(1))
3
32
40
1
F (4) = − × 43 + × 42 = − + 24 =
6
2
3
3
1
3
4
F (1) = − × 13 + × 12 =
6
2
3
1
G(4) = × 42 + 2 × 4 = 12
4
3
1
G(1) = × 12 + 2 × 1 =
4
2
Z 4
Z 4
40 4
9
g(x)dx =
f (x)dx −
− − (12 − ) = 2, 25
3
3
4
1
1
ce résultat est cohérent avec celui du a.
Cg
3
1. ✝2 ≤ aire hachurée ≤ 3 ✆
2. F et G des primitives respectives de f et g
✄
1
× 18 = ✂3 ✁
6
4
☎
✞
5
0
1
2
3
4
5
corrigé activité 2 : Terminales ES - Sujet Callédonie 2005 : ex 103 page 199
Z 6
f (x)dx
1. en unités d’aire, l’aire S de la partie hachurée est S =
0
S=
Z
0
6
3
( x2 − 3x + 6)dx = [F (x)]60 = [0, 25x3 − 1, 5x2 + 6x]60
4
✄
S = F (6) − F (0) = (0, 25 × 63 − 1, 5 × 62 + 6 × 6) − 0 =✂ 36 unités d’aires ✁
✞
☎
or une unité d’aire vaut 2 × 0, 75 = 1, 5cm2 ce qui donne en pour S : 36 × 1, 5 = ✝54cm2 ✆
1
2. la valeur moyenne de f sur [0 ; 6] est : m =
6−0
Z
6
f (x)dx =
0
✄
36
= ✂6 ✁
6
✞
3. R(x) l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHM K = longueur × largeur = x×f (x) = 0, 75x3 − 3x2 + 6x
✝
☎
✆
4. (a) aire R(x) du rectangle OHM K =aire hachurée S
✞
☎
⇐⇒ 0, 75x3 − 3x2 + 6x = 36 ⇐⇒ 0, 75x3 − 3x2 + 6x − 36 = 0 ⇐⇒ g(x) = 0
✝
✆
(b) variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et tableau de variation de g.
✞
• Calcul de g′ (x) : g ′ (x) = 2, 25x2 − 6x + 6
✝
• Annulation et signe de g ′ (x) :
☎
✆
g′ (x) est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 +bx+c, on utilise la règle du signe de ax2 +bx+c.
et pour g′ (x) = 0 on utilise le discriminant :
∆ = −18 < 0 donc aucune annulation et on a le tableau de signes suivant.
x
0
6
+
g′ (x)
• variations de g :
0
x
g′ (x)
6
+
54
ր
-36
g(0) = −36
g(x)

g(0) = −36 et −36 < 0



g(6) = 54 et 54 > 0
•
g
est continue sur [0; 6] en tant que fonction polynômiale de degré 3



g est strictement croissante sur [0; 6]
d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation g(x) = 0 possède alors une solution
unique α dans [0; 6]
• La calculatrice permet de voir que 4, 55 < α < 4, 56 car :
✞
☎
f (4, 55) ≃ −0, 16 < 0
donc α = 4, 55 ou 4, 56 à 10−2 près.
✝
✆
f (4, 56) ≃ 0, 093 > 0
✞
• conclusion : pour que le rectangle ait la même aire que la surface hachurée, il faut que x = α ≃ 4, 55
✝
☎
✆
3.3
à retenir
définition 2 (de l’intégrale)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; F une primitive de f ; a et b deux réels de I.
L’intégrale de a à b de f est le nombre noté :
✎
Z
b
a
✍
☞
✎
✌
a
✍
f (x)dx avec
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
☞
✌
Remarques :
(1) on lit aussi :"intégrale de a à b de f de x dx"
(2) on note aussi : F (b) − F (a) = [F (x)]ba
(3) le choix de la primitive de f n’a pas d’effet sur la valeur de l’intégrale.
propriété 5
f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I , a et b sont deux réels de I, α ∈ R
✎
☞
Z a
f (x)dx = 0
(P1) : (bornes identiques) :
a
✍
✎
(P2) : (inversion des bornes ) :
(P3) : (relation de Chasles ) :
(P4) : (linéarité) :
✎
Z
b
a
✍
Z
b
✍
✎
Z
✌
a
f (x)dx = −
b
a
✍
f (x)dx +
αf (x)dx = α
✎
Z
Z
Z
b
f (x)dx
a
c
f (x)dx =
b
b
f (x)dx
a
✎
☞
Z
a
✌
✍
(P6) : (intégrale et ordre) : si f ≥ g sur I alors
✍
Z
✌
c
f (x)dx
a
b
(P5) : (intégrale et positivité) : si f ≥ 0 sur I alors
✎✍
Z
☞
✌
(f (x) + g(x))dx =
Z
a
b
f (x)dx ≥ 0
b
a
☞
f (x)dx ≥
Z
b
☞
Z

•


Z b

•
f (x)dx = Aire entre
•

a


•
g(x)dx
a
✚
la courbe Cf de f
l’axe des abscisses
la droite verticale d’équation x = a
la droite verticale d’équation x = b
où f est positive et continue sur I avec a < b deux réels de I
f (x)dx +
a
Z
b
g(x)dx
a
☞
✌
✌ ☞
propriété 6 (de l’aire "sous" la courbe d’une fonction positive )
✛
b
✌
1U.A.
✘
Cf
✙
remarque : l’aire trouvée est exprimée en unités d’aires (U.A.)
a
O
b
Cf
définition 3 (valeur moyenne d’une fonction)
la valeur moyenne de f sur [ a ; b ] est le nombre m tel que :
✎
1
m=
b−a
✍
Z
b
f (x)dx
a
☞
✌
Remarque : C’est la hauteur m du rectangle de largeur b − a
qui une aire égale à à l’intégrale.
a
O
b
3.4
exercices
exercice 3 :
1. calculer A =
Z
2
x3 dx en utilisant deux primitives distinctes et comparer les résultats
0
2. démontrer la remarque (3) de la définition 2
exercice 4 :
1. démontrer la propriété (P1)
Z
Z 10
2
x dx +
2. déterminer A =
10
−4
x3 dx
sans aucun calculs
−4
exercice 5 :
1. démontrer la propriété (P2)
Z
Z 10
f (x)dx = 12 que vaut alors B =
2. on sait que A =
2
2
f (x)dx
?
10
exercice 6 :
1. démontrer la propriété (P3)
Z
Z 10
f (x)dx = 12 et que B =
2. on sait que A =
15
f (x)dx = 8 que vaut alors C =
10
2
exercice 7 :
1. démontrer la propriété (P4)
Z 10
Z
2. on sait que
f (x)dx = 12 et que
2
a. que vaut alors
10
g(x)dx = 18
2
Z
10
5f (x)dx
?
2
b. que vaut alors
Z
10
(f (x) + g(x))dx
?
2
c. que vaut alors
Z
2
10
(5f (x) − 3g(x))dx
?
exercice 8 :
1. on sait que f (x) < 10 sur [ 1 ; 5 ] démontrer que
Z
5
f (x)dx < 40
1
2
2. on sait que x < g(x) < x sur [ 0 ; 1 ] en déduire un encadrement de
exercice 9 :
Z
1
g(x)dx
0
1. calculer l’aire sous la courbe de la fonction cube entre -2 et 2 et faire une figure
2. calculer l’aire sous la courbe de la fonction carrée entre -2 et 2 et faire une figure
exercice 10 :
1. calculer la valeur moyenne la fonction cube entre -2 et 2 et faire une figure
2. calculer la valeur moyenne de la fonction carrée entre -2 et 2 et faire une figure
exercice 11 :
4
soit la courbe de la fonction f avec f (x) = −x + 5 − pour 1 ≤ x ≤ 4
x
Z 4
4
(−x + 5 − )dx
a. calculer
x
1
b. interpréter le résultat en termes d’aire
c. calculer la valeur moyenne de f pour x compris entre 1 et 4
Z
15
f (x)dx
2
?
exercice 12 :
calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées
a.
b.
Z
3
Z0 2
1
c.
Z
d.
(x − 4)dx
Z
1
−1
2
1
(t − 2 )dt
t
e.
Z
−1
0
3
(x2 − 1)dx
3
dx
x+2
4q dq
−2
exercice 13 :
1. on sait que

e0,36x


f
(x)
=


99 + e0,36x



 F (x) =
1
ln(99 + e0,36x )
0, 36
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [30; 40]
2. on sait que

 f (x) = 200 + 0, 02(x − 7)ex

F (x) = 200x + 0, 02(x − 8)ex
(a) calculer la valeur exacte puis approchée à 0,01 près de
Z
7
f (x)dx
1
(b) en déduire la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [1; 7]
3. on sait que f (t) = 10e0,05t
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [−20; 30]
4.

 f (x) = e−x (x − 3)2

F (x) = −e−x (x2 − 4x + 5)
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [0; 10]
5.

 f (x) = 10 − 2e−0,2x+1

F (x) = 10x + 10e−0,2x+1
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [1; 20]
6.

 f (x) = 6x + 28 − 24ln(x)

F (x) = 3x2 + 52x − 24xln(x)
Z
(a) calculer la valeur exacte de
12
f (x)dx
1
(b) en déduire la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [1; 12]
7.



 f (x) = 9, 3 − 0, 048x −



2, 8e2x
e2x + 160000
F (x) = 9, 3x − 0, 024x2 − 1, 4ln(e2x + 160000)
calculer la valeur moyenne exacte puis approchée à 0,01 près de f sur [0; 12]
Cf
exercice 14 :
f est définie sur ] − 1 ; +∞ [ par f (x) = x −
1. calculer
Z
4
(x + 1)2
3
2
4
f (x)dx
2
interpréter graphiquement le résultat
(définir la surface par un système d’inéquations)
−1
Z 4
f (x)dx
2. calculer
0
cette intégrale est-elle une aire ?
3. calculer la valeur moyenne de f entre 2 et 4
1
1U.A.
1
−1
2
3
−2
−3
−4
exercice 15 :
1)2
30(lnx −
x
a. calculer la dérivée de la fonction g définie sur ]2 ; 10 [ par g(x) = (lnx − 1)3
f est définie sur ]2 ; 10 [ par f (x) =
b. en déduire une primitive de f sur ]2 ; 10 [
c. en déduire la valeur moyenne de f sur ]2 ; 10 [
d. étudier les variations de f sur ]2 ; 10 [
exercice 16 :

1 2


 f (x) = − 4 x + 2x + 5


 g(x) = 32
x2
1. soient les aires hachurées suivantes
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cf
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
a. calculer l’aire correspondant à f
2.
b. calculer la valeur moyenne de f sur [ 0 ; 10 ]
Z 8
Z 4
f (x)dx
f (x)dx en déduire
c. calculer
0
0


 2≤x≤8
a. calculer l’aire correspondant au système :

 0 ≤ y ≤ 32
x2
32
b. calculer la valeur moyenne de : x 7−→ 2 sur [ 2 ; 8 ]
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cg
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
4
exercice 17 :
la capacité pulmonaire d’un humain exprimée en litres dépend de son âge x
110(lnx − 2)
pour x ∈ [ 10 ; 90 ]
on peut la modéliser par la fonction f telle que : f (x) =
x
1. étudier les variations de f sur [ 10 ; 90 ]
2.
a. tracer la courbe de f avec 1cm pour 10 ans et 2cm pour 1 litre.
b. déterminer graphiquement l’intervalle d’âges durant lequel la capacité reste supérieure à 4,5 L
3.
a. calculer la dérivée de g avec g(x) = (lnx − 2)2 et en déduire une primitive de f
b. en déduire la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre 20 et 70 ans à 0,1 L par défaut
exercice 18 : (calcul de surplus)
soit x la quantité (en milliers) d’un certain article disponible sur le marché.
le prix unitaire (en euros) de la demande (des consommateurs) est donné par f (x) = −9x + 75
le prix unitaire (en euros) de l’offre (des producteurs) est donné par g(x) = −x2 + 16x + 9
Définition 1 : le prix d’équilibre du marché pe , est le prix associé à la quantité qe pour laquelle le
prix de la demande est égale au prix de l’offre .
Z qe
(f (x) − pe )dx
Définition 2 : le surplus des consommateurs est égal à : Sc =
0
(correspond à l’économie réalisée par les consommateurs qui étaient près à payer plus cher jusqu’àu
prix d’équilibre)
Z qe
(pe − g(x))dx
Définition 3 : le surplus des producteurs est égal à : Sp =
0
(correspond à l’économie réalisée par les producteurs qui étaient près à vendre moins cher jusqu’àu
prix d’équilibre)
Cg
70
60
50
40
30
Cf
20
10
x
0
0
1
2
3
4
5
1. déterminer graphiquement le prix d’équilibre ainsi que la quantité à l’équilibre grâce à une des
définitions et vérifier par calcul.
2. a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des consommateurs à 0,1 mililers d’euros près
et interpréter le résultat
b. écrire Sc sous la forme d’une différence entre deux intégrales et en déduire une interprétation
graphique de Sc en termes d’aire (colorier la surface associée).
3. a. calculer grâce à une des définitions, le surplus des producteurs à 0,1 mililers d’euros près.
b. écrire Sp sous la forme d’une différence entre deux intégrales et en déduire une interprétation
graphique de Sp en terme d’aire (colorier la surface associée)
exercice 19 : (aire de la surface entre deux courbes)
7
1. estimer graphiquement un encadrement de 6
l’aire de la surface hachurée I par deux entiers

5
 f (x) = − 1 x2 + 4x − 5

4
2
2
2. sachant que :

3

g(x) = x
2
déterminer la valeur exacte de I
1
(considérer deux surfaces)
Cg
Cf
x
0
0
1
2
3
4
5
6
exercice 20 : (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) (bac 2004)
• x est la proportion cumulée de la population du pays ( entre 0 = 0% et 1 = 100%).
7
• la proportion cumulée des richesses d’un pays F est donnée en fonction de x par f (x) = 0, 9x3 + 0, 1x
de courbe Cf ci dessous. (par exemple : dans ce pays, 40% de la population détient 10% de la richesse)
• la proportion cumulée des richesses d’un pays G est donnée en fonction de x par g(x) = 0, 9x6 + 0, 1x2
de courbe Cg
• la droite D d’équation y = x représente la distribution parfaitement égalitaire
(pour tout t avec 0 ≤ t ≤ 1 on a : t% de la population détient t% de la richesse)
✎
Définition 1 : L’indice de Gini associé à une courbe de Lorentz Cf est le nombre I = 2
✍

 si I = 0 on dit qu’il y a absence d’inégalité
Définition 2 :
plus I est proche de 1 et plus l’inégalité est grande

si I = 1 on dit qu’il y a inégalité extrème
Z
1
0
(x − f (x))dx
y
0.9
D
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Cf
0.2
Cg
0.1
x
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1. Quelle proportion des richesses du pays G est détenue par 80% de la population ? (graphiquement)
2. a. Lequel des deux pays semble le plus inégalitaire ?
b. Vérifier que l’indice de Gini vaut 0 dans le cas d’un pays parfaitement égalitaire.
c. i. Calculer l’indice de Gini du pays F à 0,1 près.
ii. Ecrire I sous la forme du produit par 2 d’une différence entre deux intégrales et en déduire
une interprétation graphique de I en termes d’aire (colorier la surface associée).
d. Calculer l’indice de Gini du pays G à 0,1 près.
e. Comparer les deux pays
3. Représenter ci dessus une courbe de pays extrèmement inégalitaire.
☞
✌
3.5
corrigés exercices
corrigé exercice 1 :
4
soit la courbe de la fonction f avec f (x) = −x + 5 − pour 1 ≤ x ≤ 4
x
Z 4
4
(−x + 5 − )dx
a.
x
1
Z 4
x2
42
12
4
(−x + 5 − )dx = [− + 5x − 4lnx]41 = (− + 5 × 4 − 4ln4) − (− + 5 × 1 − 4ln1) =
x
2
2
2
1
☛
✟
15
− 4ln4
✡2
✠
b. interprétation du résultat en termes d’aire :
l’aire ✄du domaine compris entre la courbe de f et l’axe des abscisses pour x compris entre 1 et 4
vaut ✂≃ 2 unités d’aires ✁
c. valeur moyenne de f pour x compris entre 1 et 4
1
m=
4−1
Z
4
1
✟
☛
1 15
4
5 4
(−x + 5 − )dx = ( − 4ln4) = − ln4
x
3 2
2 3
✡
✠
corrigé exercice 2 :
calculer les intégrales suivantes et en déduire les valeurs moyennes associées
Z 3
(x − 4)dx
a.
✞
0
Z
3
Z
2
☎
x2
32
02
9
15
(x − 4)dx = [ − 4x]30 = ( − 4 × 3) − ( − 4 × 0) = − 12 =
2
2
2
2
2 ✆
0
✝✞
☎
Z 3
1
1 15
5
valeur moyenne de f sur [ 0 ; 3 ] : m =
=
(x − 4)dx = ×
3−0 0
3
2 ✝2 ✆
b.
(t −
1
1
)dt
t2
✄
1
t2 1 2
22
1
12 1
t2 −1 2
−
]
=
[
+
]
=
(
+
)
−
(
+
)
=
)dt
=
[
✂1 ✁
t2
2
t 1
2
t 1
2
2
2
1
1
Z 2
✄
1
1
(t − 2 )dt =✂1 ✁
valeur moyenne de f sur [ 1 ; 2 ] : m =
2−1 1
t
c.
Z
2
Z
0
(t −
4q 3 dq
−2
Z 0
−2
✞
☎
4q 3 dq = [q 4 ]30 = (04 ) − (−2)4 = ✝−16 ✆
1
valeur moyenne de f sur [ −2 ; 0 ] : m =
0 − (−2)
d.
Z
Z
0
4q 3 dq =
−2
✞ ☎
1
× (−16) =✝−8 ✆
2
1
−1
Z 1
(x2 − 1)dx
☛
✟
x3
13
(−1)3
1
1
−4
(x − 1)dx = [ − x]1−1 = ( − 1) − (
− (−1)) = − 1 + − 1 =
3
3
3
3
3
−1
✡3☛ ✠✟
Z 1
1
4
1
2
valeur moyenne de f sur [ −1 ; 1 ] : m =
(x2 − 1)dx = × (− ) = −
1 − (−1) −1
2
3
✡3 ✠
2
e.
Z
2
−1
2
3
dx
x+2
✞
☎
3
dx = [3ln(x + 2)]2−1 = 3ln(2 + 2) − (3ln(−1 + 2)) = 3ln4 − 3ln1 = ✝3ln4 ✆
−1 x + 2
Z 2
✞ ☎
1
1
3
valeur moyenne de f sur [ −1 ; 2 ] : m =
dx =
× 3ln4 = ✝ln4 ✆
3 − 0 −1 x + 2
2 − (−1)
Z
corrigé exercice 3 :
Cf
f est définie sur ] − 1 ; +∞ [ par f (x) = x −
1.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
4
(x + 1)2
3
2
4
f (x)dx
1
2
4
f (x)dx = [
x2
−1 4
−4×
]
2
x+1 2
f (x)dx = [
4 4
x2
+
]
2
x+1 2
2
4
2
4
2
−1
f (x)dx = 8 +
2
4
f (x)dx =
2
−1
1
2
3
4
−2
42
4
22
4
f (x)dx = ( +
)−( +
)
2
4+1
2
2+1
4
1U.A.
−3
−4
4
4
−2−
5
3
✞ ☎
82
120 12 30 20
+
−
−
=
≃ 5, 5
✝ ✆
15
15 15 15
15
interprétation graphique du résultat :
l’aire du domaine définit par le système d’inéquation :
2.
Z
Z
Z
Z
Z

 2≤x≤4

4
f (x)dx
0 ≤ y ≤ f (x)
0
4
f (x)dx = [
0
x2
4 4
+
]
2
x+1 0
4
f (x)dx = (
0
42
4
02
4
+
)−( +
)
2
4+1
2
0+1
4
f (x)dx = 8 +
0
4
0
4
−4
5
✞
☎
40 4 20
24
f (x)dx =
+ −
=
5
5
5
✝5 ✆
cette intégrale n’est pas une aire car la fonction change de signe entre 2 et 4
3. valeur moyenne de f entre 2 et 4
1
m=
4−2
Z
2
4
✞
☎
12
1 24
=
f (x)dx = ×
2
5
✝5 ✆
✞
☎
vaut environs 5,5 unités d’aires .
✝
✆
corrigé exercice 4 :
30(lnx − 1)2
x
a. dérivée de la fonction g définie sur ]2 ; 10 [ par g(x) = (lnx − 1)3
f est définie sur ]2 ; 10 [ par f (x) =
g = u3 =⇒ g′ = 3u2 u′ avec u = lnx − 1 =⇒ u′ =
☞
✎
1
x
1
3(lnx − 1)2
g′ (x) = 3(lnx − 1)2 × =
x ✍ x
✌
b. une primitive de f sur ]2 ; 10 [
3(lnx − 1)2
x
30(lnx − 1)2
10g′ (x) =
= f (x)
x
g′ (x) =
10g est une primitive de f
✞
☎
F (x) = 10g(x) = 10(lnx − 1)3 est une primitive de f sur ]2 ; 10 [
✝
✆
c. valeur moyenne de f sur ]2 ; 10 [
Z
Z
Z
10
f (x)dx = [10(lnx − 1)3 ]10
2
2
10
f (x)dx = 10(ln10 − 1)3 − 10(ln2 − 1)3
2
10
2
f (x)dx ≃ 22, 39
1
m=
10 − 2
m≃
Z
10
f (x)dx
2
1
× 22, 39
8
✞
✝
m ≃ 2, 8
☎
✆
d. étude des variations de f sur ]2 ; 10 [
dérivée :

1

 u = 30(lnx − 1)2 =⇒ u′ = 30 × 2 × (lnx − 1) ×
′ v − uv ′
u
u
x
avec
f = =⇒ f ′ =

v
v2

v = x =⇒ v ′ = 1
(∗)
(∗) : (u2 )′ = 2uu′
1
) × x − (30(lnx − 1)2 ) × 1
x
=
x2
30(lnx − 1)(2 − (lnx − 1)
30(lnx − 1)(3 − lnx)
60(lnx − 1) − 30(lnx − 1)2
=
=
f ′ (x) =
2
2
x
x
x2
f ′ (x)
(30 × 2 × (lnx − 1) ×
annulation et signe de la dérivée et variations de f sur ]2 ; 10 [ :
f ′ (x) =
30(lnx − 1)(3 − lnx)
est du signe de (lnx − 1)(3 − lnx) car 30 et x2 sont positifs
x2
il reste à étudier les signes de (lnx − 1) et (3 − lnx) :
avec e ≃ 2, 718
lnx − 1 ≥ 0 ⇐⇒ lnx ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ e1 ⇐⇒ x ≥ e
3 − lnx ≥ 0 ⇐⇒ −lnx ≥ −3 ⇐⇒ lnx ≤ 3 ⇐⇒ x ≤ e3
x
lnx − 1
3 − lnx
f ′ (x)
f (x)
2
+
≃ 1, 41
ց
e
0
|
0
0
avec e3 ≃ 20, 1 (hors tableau car x ∈]2 ; 10 [)
10
+
+
+
ր
f (e) =
≃ 5, 09
30(lne − 1)2
=0
e
corrigé exercice 5 :

1 2


 f (x) = − 4 x + 2x + 5
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0


 g(x) = 32
x2
1. soient les aires hachurées suivantes
Cf
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
Cg
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910
a. aire correspondant à f :
1
f (x) = − x2 + 2x + 5
4
1
F (x) = − x3 + x2 + 5x
12
S1 =
Z
10
f (x)dx = [F (x)]10
0 = [−
0
1 3
x + x2 + 5x]10
0 = F (10) − F (0)
12
☛
✟
800
1
200
=
U.A. ≃ 66, 7
S1 = (− × 103 + 102 + 5 × 10) − 0 =
12
12 ✡ 3
✠
b. valeur moyenne de f sur [ 0 ; 10 ] :
Z
1
10 − 0
Z
2.
10
0
☛
✟
20
200
1
×
=
≃ 6, 7
f (x)dx =
10
3
✡3 ✠
4
☛
✟
92
368
1
=
U.A. ≃ 30, 7
f (x)dx = F (4) − F (0) = (− × 43 + 42 + 5 × 4) − 0 =
c.
12
12 ✡3
0
✠
✟
☛
Z 8
184
92
f (x)dx = 2 ×
=
U.A.
on en déduit par symétrie de la courbe que
3 ✡3
0
✠


 2≤x≤8
a. aire correspondant au système :

 0 ≤ y ≤ 32
x2
32
x2
g(x) =
G(x) = −
S2 =
Z
32
x
8
2
S2 = (−
g(x)dx = [G(x)]82 = [−
32 8
] = G(8) − G(2)
x 2
✄
32
32
) − (− ) = 12= ✂ 12 U.A. ✁
8
2
32
b. valeur moyenne de : x 7−→ 2 sur [ 2 ; 8 ] :
x
Z 8
✄
1
1
m=
g(x)dx = × 12= ✂ 2 ✁
8−2 2
6
corrigé exercice 6 :
la capacité pulmonaire d’un humain exprimée en litres dépend de son âge x
110(lnx − 2)
pour x ∈ [ 10 ; 90 ]
on peut la modéliser par la fonction f telle que : f (x) =
x
1. variations de f sur [ 10 ; 90 ]
• dérivée :
110(lnx − 2)
110lnx − 220
=
x
x
1
☛
✟
(110 × ) × x − (110lnx − 220) × 1
330 − 110lnx
x
′
=
f (x) =
x2
x2
✡
✠
f (x) =
• annulation et signe de f ′ (x), varations de f :
f ′ (x) est du signe du numérateur car un carré est positif
☎
✞
330
′
3
f (x) = 0 ⇐⇒ 330 − 110lnx = 0 ⇐⇒ lnx =
⇐⇒✝x = e ✆
110
330
⇐⇒ x > e3
f ′ (x) < 0 ⇐⇒ 330 − 110lnx < 0 ⇐⇒ lnx >
110
330
f ′ (x) > 0 ⇐⇒ 330 − 110lnx > 0 ⇐⇒ lnx <
⇐⇒ x < e3
110
10
x
′
f (x)
+
d’où :
f (x)
≃ 3, 3
2.
ր
e3 ≃ 20
0
≃ 5, 5
f (10) =
ց
110(ln10 − 2)
≃ 3, 3
10
≃ 3, 1
a. courbe de f avec 1cm pour 10 ans et 2cm pour 1 litre.
x
f (x)
10
3.3
20
5.5
30
5.1
40
4.6
b. graphiquement :
✞
✝
f (x) > 4, 5 ⇐⇒ x ∈] 12 ; 42 [
3.
90
50
4.2
☎
70
3.5
80
3.3
90
3.1
☎
✆
a. g(x) = (lnx − 2)2 = u2
1
g′ (x) = 2(lnx − 2) × = 2uu′
x
☛
✟
2(lnx
−
2)
g ′ (x) =
x
✡
✠
✞
60
3.8
F (x) = 55 × (lnx − 2)2
✝
✆
est une primitive de f
2(lnx − 2)
car F ′ (x) = 55 ×
= f (x)
x
5
Cf
4
3
2
b. valeur moyenne de la capacité pulmonaire
entre 20 et 70 ans à 0,1 L par défaut.
Z 70
1
m=
f (x)dx
70 − 20 20
1
m = (F (20) − F (70))
50
✞
m ≃ 4,5 L
✝
☎
✆
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
corrigé exercice 7 : (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) (bac 2004)
• x est la proportion cumulée de la population du pays ( entre 0 = 0% et 1 = 100%).
• la proportion cumulée des richesses d’un pays F est donnée en fonction de x par f (x) = 0, 9x3 + 0, 1x de
courbe Cf ci dessous. (par exemple : dans ce pays, 40% de la population détient 10% de la richesse)
• la proportion cumulée des richesses d’un pays G est donnée en fonction de x par g(x) = 0, 9x6 + 0, 1x2 de
courbe Cg
• la droite D d’équation y = x représente la distribution parfaitement égalitaire
(pour tout t avec 0 ≤ t ≤ 1 on a : t% de la population détient t% de la richesse)
✎
Définition 1 : L’indice de Gini associé à une courbe de Lorentz Cf est le nombre I = 2
✍

 si I = 0 on dit qu’il y a absence d’inégalité
Définition 2 :
plus I est proche de 1 et plus l’inégalité est grande

si I = 1 on dit qu’il y a inégalité extrème
Z
y
0.9
D
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Cf
0.2
Cg
0.1
Ch
x
0
0
✞
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
☎
1. ✝30% ✆des richesses du pays G est détenue par 80% de la population (graphiquement)
2.
a. le pays
(G
✞ semble
☎ le plus inégalitaire :
✝
✞30% ✆des
☎ richesses du pays G est détenue par 80% de la population
car :
✝≃ 55% ✆des richesses du pays F est détenue par 80% de la population
b. Indice de Gini dans le cas d’un pays parfaitement égalitaire.
I =2
I =2
Z
Z
1
(x − h(x))dx avec h(x) = x
0
1
0
(x − x)dx = 2
Z
1
0
✄
0dx = [k]10 = k − k = ✂0 ✁
1
0
(x − f (x))dx
☞
✌
c. i. Indice de Gini du pays F à 0,1 près.
I=2
I=2
I=2
Z
Z
Z
1
(x − f (x))dx
0
1
(x − (0, 9x3 + 0, 1x))dx
0
1
(−0, 9x3 + 0, 9x)dx
0
✞
☎
1
1
14
12
I = 2 × [−0, 9 × x4 + 0, 9 × x2 ]10 = 2 × ((−0, 9 ×
+ 0, 9 × ) − (0)) = 0, 45
✝
✆
4
2
4
2
ii. Ecrire I sous la forme du produit par 2 d’une différence entre deux intégrales et en déduire une
interprétation graphique de I en termes d’aire (colorier la surface associée).
I=2
Z
1
0
Z
(x − f (x))dx = 2(
1
0
xdx −
Z
1
f (x)dx)
0
I = 2(aire du triangle - aire sous la courbe de f )
I = 2(aire entre la droite D et la courbe de f )
d. Calculer l’indice de Gini du pays G à 0,1 près.
I =2
I =2
I =2
Z
Z
Z
1
(x − g(x))dx
0
1
(x − (0, 9x6 + 0, 1x2 ))dx
0
1
0
(−0, 9x6 − 0, 1x2 + x)dx
I = 2 × [−0, 9 ×
✞
✝
0, 68
☎
✆
1 7
1
1
17
13
12
x − 0, 1 × x3 + x2 ]10 = 2 × ((−0, 9 ×
− 0, 1 ×
+ ) − (0) =≃
7
3
2
7
3
2
e. Comparer les deux pays
Selon l’indice de Gini :
✞
le pays G est beaucoup plus inégalitaire que le pays F car 0, 68 > 0, 45
✝
✞
☎
✆
☎
3. Représenter ci dessus une courbe de pays extrêmement inégalitaire. voir ✝Ch ✆
3.6
3.6.1
travaux pratiques
algorithme et calcul d’aire
Algorithme et calcul d’aire
Pour une fonction f continue et positive sur un intervalle [a; b]
Z b
f (x)dx
On veut obtenir une la valeur approchée de : I =
a
quand on entre les valeurs de a et b ainsi que la formule de la fonction
1. approximation de l’aire par la méthode des rectangles
Z
b
f (x)dx = aire sous la courbe entre a et b
a
Cf
M = somme des aires des rectangles supérieurs
Aire = I =
m = somme des aires des rectangles inférieurs
I≃
b
f (x3 )
f (x2 )
f (x3 )
b
f (x2 )
b
b
b
b
f (x1 )
f (x0 )
b
b bb b
b
b bb b
x2 = a + 2 ×
x3 = a + 3 ×
b−a
4
b−a
4
b−a
4
x4 = b
x1 = a + 1 ×
x0 = a
b−a
4
x4 = b
x3 = a + 3 ×
b−a
4
b−a
4
x2 = a + 2 ×
x1 = a + 1 ×
x0 = a
b−a
b−a
b−a
b−a
× f (x0 ) +
× f (x1 ) +
× f (x2 ) +
× f (x3 )
4
4
| 4 {z
} | 4 {z
}
aire 1er rect inf
aire 2nd rect inf
b−a
[f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 )]
4
b−a
b−a
b−a
b−a
× f (x1 ) +
× f (x2 ) +
× f (x3 ) +
× f (x4 )
4
4
4
4
{z
} |
{z
}
|
aire 1er rect sup
M=
b
f (x4 )
b
f (x1 )
f (x0 )
b
n = 4 (rectangles)
f (x4 )
M=
f (x)dx
a
n = 4 (rectangles)
m=
b
a
M +m
(moyenne)
2
d’autant plus précis que le nombre de rectangles
est grand
m=
Z
aire 2nd rect sup
b−a
[f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 )]
4
pour l’algorithme, on utilise ce principe en prenant une valeur de n supérieure à 4 pour améliorer
la précision
☛
✟
b−a
pour un entier naturel n > 1 on a xi = a + i ×
pour i allant de 0 à n
n ✠
✡
✓
✏
m=
✒
n−1
b−aX
n
i=0
✓
f (xi ) M =
✑
✒
n
b−aX
n
✏
☛
✟
m+M
f (xi ) I ≃
2
✡
✠
i=1
✑
2. algorithme et programmes :
(a) recopier un des programmes suivants dans votre calculatrice
algorithme
Début
programme pour TI
//Variables
disp "A"
a,b,n, larg , inf, sup, L, x , i, fi, fj , I
input A
//Entrées
programme pour Casio
demander à l’utilisateur la valeur de a disp "B"
"A" : ?−→ A
demander à l’utilisateur la valeur de b input B
"B" : ?−→ B
demander à l’utilisateur la valeur de n disp "N"
"N" : ?−→ N
input N
//Initialisations
(B-A)/N −→L
(B-A)/N −→L
affecter à larg la valeur (b-a)/n
0−→F
0−→F
affecter à inf la valeur 0
0−→ S
0−→ S
affecter à sup la valeur 0
0−→I
0−→I
affecter à i la valeur 0
While I < N
While I < N
//Traitements
A+I*L−→X
A+I*L−→X
TANS QUE i < n FAIRE
F+Y1 −→ F
F+Y1 −→ F
| affecter à x la valeur a + i*larg
A+(I+1)*L−→X
A+(I+1)*L−→X
| affecter à fi la valeur f(x)
S+Y1 −→ S
S+Y1 −→ S
| affecter à inf la valeur inf + fi
I+1−→ I
I+1−→ I
| affecter à x la valeur a + (i+1)*larg
WhileEnd
End
| affecter à fj la valeur f(x)
F*L −→ F
F*L −→ F
| affecter à sup la valeur sup + fj
S*L −→S
S*L −→S
| affecter à i la valeur i+1
(F+S)/2 −→ T
(F+S)/2 −→ T
fin TANS QUE
FN
Disp F
affecter à inf la valeur L * inf
SN
Disp S
affecter à sup la valeur L * sup
TN
Disp T
affecter à I la valeur (inf+sup)/2
(pour Y1 : VARS, F4, F1)
//Sortie
(pour Y1 :
afficher inf
Y-VARS,
afficher sup
Function )
afficher I
Fin
3. utiliser le programme de la calculatrice pour trouver une valeur approchée des intégrales suivantes à
0,01 près et vérifier par calcul
Z 1
xdx ≃
(a) I =
0
calcul :
(b) I =
Z
1
0
calcul :
(c) I =
Z
1
0
calcul :
(d) I =
Z
(e) I =
x3 dx ≃
10
0
calcul :
Z
x2 dx ≃
10 − xdx ≃
1
−1
calcul :
x2 dx ≃
3.7
évaluations
évaluation primitives
nom, prénom : ...
exercice 1 ( cours)
1. F est une primitive de f ⇐⇒ ...
2. si F est une primitive de f su run intervalle I alors toute autre primitive de f est de la forme : ...
3.
a. compléter le tableau ci dessous :
b. donner une primitive F de la fonction f définie par f (x) = x2 + x + 10 +
F (x)
1
1
+ 2 pour x > 0
x
x
f (x)
0
10
a∈R
x
x2
x3
1
x
1
x2
1
x3
4. soient F et f les fonctions respectivement définies sur R par :
a. démontrer que F est une primitive de f
b. déterminer la primitive de f qui vaut 0 en x = 1
F (x) = 5x3 + 10x2 − 5x + 10
f (x) = 15x2 + 20x − 5
5. Démontrer que F est une primitive de f avec :

2x − 3

F (x) = 2



x +4


2(x + 1)(4 − x)

 f (x) =
(x2 + 2)2
F (x)
1 2
u
2
1 3
u
3
1 4
u
4
1
un+1
n+1
6. trouver une primitive de f dans chacun des cas en utilisant la tableau ci contre :
−1
u
1. f (x) = 3(3x + 5)2
−1
2u2
−1
(n − 1)un−1
lnu
eu
2. f (x) =
1
lnx
x
3. f (x) =
3
(3x + 5)2
4. f (x) =
10
3x + 5
f (x)
u′ u
u′ u2
u′ u3
u′ un
u′
u2′
u
u3′
u
un
u′
u
u′ eu
évaluation calcul intégral
nom, prénom : ...
exercice 1 : (compléter les résultats de cours)
Z b
f (x)dx = ...
où ... est une ...
1.
de f
a
2. pour une fonction f positive sur [a; b] :
Z
b
f (x)dx = aire de la surface comprise entre :
a
(faire un dessin)















3. la valeur moyenne m de f entre a et b est : m = ...
exercice 2 :
1. calculer les intégrales suivantes
a.
b.
c.
Z
Z
Z
6
(x2 + x − 4)dx
0
2
1
1
1
( − 2 )dt
t
t
0
2q 3 dq
−2
2. calculer la valeur moyenne de f entrer 0 et 6 pour f (x) = x2 + x − 4
(utiliser le résultat du 1.a.)
exercice 3 :
1. estimer graphiquement la valeur de I =
Z
7
5
f (x)dx
1
à une unité d’aire près : I ≃ ...
6
pour x > 0
x+1
a. montrer que F telle que F (x) = 4x + 6ln(x + 1)
est une primitive de f pour x > 0
2. on sait que f (x) = 4 +
6
Cf
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
b. en déduire la valeur exacte de I écrite sous la forme
n + lnp où n et p sont deux entiers puis donner une valeur approchée de I à 0,1 près.
5
c. en déduire la valeur moyenne de f sur [1 ; 5] à 0,1 près et représenter cette valeur sur le graphique.
corrigé évaluation calcul intégral
exercice 1 : (compléter les résultats
Z b
✞
☎
f (x)dx = F (b) − F (a) où
1.
✝
a
✆
nom, prénom : ...
de cours)
✄
✂F ✁est une primitive de f
Cf
2. pour une fonction f positive sur [a; b] :
✗
✔

Z b
 la courbe de F
f (x)dx = aire de la surface comprise entre :
l’axe des abscisses

a
pour x compris entre a et b
✖
✕ a
✎
☞
Z b
1
3. la valeur moyenne m de f entre a et b est : m =
f (x)dx
b−a a
✍
✌
exercice 2 :
1. calculer les intégrales suivantes
a.
Z
Z
b.
Z
Z
c.
Z
Z
6
(x2 + x − 4)dx
0
6
(x2 + x − 4)dx = [
0
✄
63
62
x3 x2
+
− 4x]60 = ( +
− 4 × 6) − (0) = ✂66 ✁
3
2
3
2
2
1
1
( − 2 )dt
t
t
2
1
1
1
1
−1 2
1
1
]1 = [lnt + ]21 = (ln2 + ) − (ln1 + ) = ln2 −
( − 2 )dt = [lnt −
t
t
t
t
2
1
2✠
✡
1
1
☛
0
2q 3 dq
−2
0
✞ ☎
1
1
1
1
2q 3 dq = [2 × q 4 ]0−2 == [ q 4 ]0−2 = ( × 04 ) − ( × (−2)4 ) = ✝−8 ✆
4
2
2
2
−2
2. calculer la valeur moyenne de f entrer 0 et 6 pour f (x) = x2 + x − 4
1
m=
6−0
Z
0
6
(x2 + x − 4)dx =
✄
1
× 66 = ✂11 ✁
6
✟
b
exercice 3 :
1. estimer graphiquement la valeur de I =
✄
à une unité d’aire près : ✂I ≃ 23 ✁
Z
7
5
f (x)dx
1
6
Cf
5
4
6
pour x > 0
x+1
a. montrer que F telle que F (x) = 4x + 6ln(x + 1)
est une primitive de f pour x > 0 :
2. on sait que f (x) = 4 +
3
2
1
0
0
F (x) = 4x + 6ln(x + 1)
1
2
3
4
5
✟
☛
1
6
F ′ (x) = 4 + 6 ×
=4+
= f (x)
C.Q.F.D.
x+1
x+1
✡
✠
b. en déduire la valeur exacte de I écrite sous la forme
n + lnp où n et p sont deux entiers puis donner une valeur approchée de I à 0,1 près.
I = F (5) − F (1) = (4 × 5 + 6ln(5 + 1)) − (4 × 1 + 6ln(1 + 1))
I = 20 + 6ln(6) − 4 − 6ln(2))
I = 16 + ln(66 ) − ln(26 )
66
)
26
6
I = 16 + ln(( )6 )
2
I = 16 + ln(
I = 16 + ln((3)6 )
✞
✝
✞
I = 16 + ln(729)
✝
I ≃ 22, 6
☎
✆
☎
✆
c. en déduire la valeur moyenne de f sur [1 ; 5] à 0,1 près et représenter cette valeur sur le graphique.
1
m=
5−1
Z
1
5
f (x)dx =
✞ ☎
1
× (16 + ln(729)) ≃ 5, 7
✝ ✆
4
corrigé devoir maison
exercice 1 : (31p187)
✞
☎ 7−3
a. g1′ (0) = 4 =
coefficient directeur de la tangente (AD) avec A(0; 3) et D(1; 7)
✝
✆ 1−0
✞
☎ 1 − (−1)
g2′ (0) = 2 =
coefficient directeur de la tangente (BE) avec B(0; −1) et E(1; 1)
✝
✆
1−0
✞
☎ −3 − (−1)
g3′ (0) = 2 =
coefficient directeur de la tangente (CF ) avec C(0; −1) et D(1; −3)
✝
✆
1−0

F est une primitive de f donc F ′ = f

✞ ☎
b. f donc F ′ est négative puis positive donc F est décroissante puis croissante
seule ✝C3 ✆convient

f (−1) = F ′ (−1) ≃ 2, 75
(le coefficient directeur de la tangente à C3 en x = −1 est ≃ 2, 75, ce qui n’est pas le cas pour C2 )
✄
On peut tracer ✂une infinité ✁de courbes représentant une autre primitive de f car f admet une infinité
de primitives
exercice 2 : (107p201)
1. f (x) =
3x2
− 2x + 3 + ln(x + 1) sur [ 0 ; 6 ]
4
✎
☞
✍
✌
3x
1
3x(x + 1) − 4(x + 1) + 2
3x2 − x − 2
f ′ (x) =
−2+
=
=
2
x+1
2(x + 1)
2(x + 1)
☛
✟
2
f ′ (x) = 0 ⇐⇒ 3x2 − x − 2 = 0 et 2(x + 1) 6= 0 ⇐⇒ x ∈ { − ; 1 } en utilisant le discrimi3
✡
✠
nant
x
−x−2
2(x + 1)
f ′ (x)
0
+
-
3x2
d’où le tableau de variations :
1
0
0
6
+
+
+
3
f (x)
ց
≃ 2, 4
ր
≃ 20
✞
☎
2. le coût marginal est minimal quand f est minimale, c’est à dire pour x = 1 millier d’objets
✝
✆
(d’après les variations de f )
3. F (x) = (x + 1)ln(x + 1) − x
a. F ′ (x) = 1 × ln(x + 1) + (x + 1) ×
✞
1
− 1 = ln(x + 1)
x+1
donc F est une primitive de x 7−→ ln(x + 1)
✝
☎
✆
b. le coût total de production CT est une primitive du coût marginal f
3 1 3
1
× x − 2 × x2 + 3x + (x + 1)ln(x + 1) − x + k
4 3
2
1 3
soit : CT (x) = x − x2 + 2x + (x + 1)ln(x + 1) + k
4
donc CT (x) =
de plus CT (0) = 10 car les coûts fixes sont de 10 milliers d’euros
donc : CT (0) =
1
× 03 − 02 + 2 × 0 + (0 + 1)ln(0 + 1) + k = 10
4
☛
✟
1
soit k = 10 conclusion : CT (x) = x3 − x2 + 2x + (x + 1)ln(x + 1) + 10
4
✡
✠
evaluation
nom, prénom : ...
exercice 1 : (aire de la surface entre deux courbes)
7
1. estimer graphiquement un encadrement de
6
l’aire de la surface hachurée I par deux entiers
5
où I est en unités d’aires :
... ≤ I ≤ ...

5
1

 f (x) = − x2 + 4x −
2
2
2. sachant que :


g(x) = x
Z 5
f (x)dx
a. calculer la valeur exacte de
Cg
4
3
Cf
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
b. calculer la valeur exacte de
Z
5
g(x)dx
1
c. en déduire la valeur exacte de l’aire hachurée I et vérifier la cohérence avec le résultat graphique
corrigé evaluation
exercice 1 : (aire de la surface entre deux courbes)
7
1. on estime graphiquement un encadrement de
6
l’aire de la surface hachurée I par deux entiers
5
☎
✞
4
où I est en unités d’aires : ✝4 ≤ I ≤ 5 ✆

5
1

f (x) = − x2 + 4x −



2
2
2. sachant que :


g(x) = x


a.
Z
5
f (x)dx = [
1
Z
5
Z
5
x3
Cg
3
Cf
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x2
−1
5
1
5
×
+4×
− x]51 = [− x3 + 2x2 − x]51
2
3
2
2
6
2
1
5
1
5
f (x)dx = (− × 53 + 2 × 52 − × 5) − (− × 13 + 2 × 12 − × 1)
6
2
6
2
1
✞
☎
R5
52
17, 33
1 f (x)dx = 3 ≃ ✝
✆
b.
Z
g(x)dx = [
1
5
g(x)dx =
1
R5
1
x2 5
]
2 1
52 12
−
2
2
✄
f (x)dx = ✂12 ✁
c. valeur exacte de l’aire hachurée I =
Z
5
1
f (x)dx −
Z
5
g(x)dx =
1
ce qui est cohérent avec le résultat graphique de la question 1.
✞
☎
16
52
− 12 =
≃ 5, 33
✝
✆
3
3
corrigé devoir maison
exercice 1 : (96 page 197)

f (x) = ax2 + bx





f (1) = a × 12 + b × 1 = 1
a+b=1
Cf passe par A(1; 1)
=⇒
a.
2 + b × 0, 5 = 0, 3 =⇒
f
(0,
5)
=
a
×
0,
5
0,
25a + 0, 5b = 0, 3





Cf passe par C(0, 5 ; 0, 3)
1.
=⇒
a+b=1
=⇒
a + 2b = 1, 2
a+b=1
=⇒
b = 0, 2
✞
☎
a = 0, 8
=⇒ f (x) = 0, 8x2 + 0, 2x
✝
✆
b = 0, 2
b. la courbe Cf est un relativement bon ajustement du nuage car elle passe par l’ensemble des points
du nuage sauf le point de coordonnées (90; 83)
x
y
f (x)
2.
Z
1
✞
0
0
0
0
10
2,8
2,8
25
10
10
50
30
30
75
60
60
x3
x2
f (x)dx = 0, 8 ×
+ 0, 2 ×
3
2
90
83
82,8
1
0
100
100
100
8 3
1
=
x + x2
30
10
1
=(
0
☎
✞
8
1
11
× 13 +
× 12 ) − (0) =
≃ 0, 37
✝
✆
30
10
30
☎
L’aire sous la courbe pour x compris entre 0 et 1 vaut environs 0,37 unités d’aires ✆
✝
Z 1
f (x)dx)
3. indice de Gini = I = 2×Aire entre la courbe et la droite = 2 × (0, 5 −
0
☎
✞
11
22
8
I = 2 × (0, 5 − ) = 1 −
=
≃ 0,27
✝
✆
30
30
30
exercice 2 : (99 page 197)
1.
✄
a. la quantité d’équilibre est✄ de 100(e − 1) tonnes soit environs ✂172 tonnes ✁à une tonne près
le prix d’équilibre est de ✂1 euro le kilo ✁
✄
b. chiffre d’affaire = 100(e − 1) × 1000 ≃ ✂172000 euros ✁
2.
a. Cf1 est une droite d’équation y = ax + b qui passe par A(0; e) et E(e − 1; 1)
donc : a =
yE − yA
−(e − 1)
1−e
=
= −1 soit y = −x + b
=
xE − xA
e−1
e−1
✞
avec A(0; e) on a de plus : e = −0 + b donc b = e donc f1 (x) = −x + e
✝
b. surplus des consommateurs = aire du triangle =
3.
☎
✆
✄
(e − 1)(e − 1)
(e − 1)2
=
≃ ✂1476 euros ✁
2
2
a. d’après la courbe C2 , la fonction f2 est positive sur [0 ; 3] donc sa primitive F est croissante sur
[0 ; 3]
b. f2 (0) = 0 donc F ′ (0) = f2 (0) = 0 donc la courbe C de la fonction F admet une tangente
horizontale en x = 0
c. la courbe Γ2 est la courbe de F car Γ1 n’a pas de tangente horizontale en x = 0 et Γ3 ne passe
pas par P (0; 1)
Z e−1
✄
f2 (x)dx = [F (x)]10 = F (e − 1) − F (0) = 2 − 1 = ✂1 ✁
d.
0
e. le surplus des producteurs vaut donc (e − 1) × 1 −
Z
e−1
0
✄
f2 (x)dx = e − 2 ≃ ✂718 euros ✁
3.8
corrigé devoir maison
3.8.1
corrigé devoir maison 1
corrigé devoir maison
y
Exercice 1 :
4
(a) sachant que la courbe de f est C2
on voit que f croît strictement sur [−5; −2]
donc f ′ est strictement positive sur [−5; −2]
donc
la courbe de f ′ est au dessus de l’axe
✞
☎ (Ox) sur [−5; −2]
′
le courbe de f est donc la courbe C1
✝
✞
✆
☎
C est donc la courbe de F ✆
✝3
☎✞
✞
(b) f (0) = 0 f ′ (0) = −1
✝
✞
✆✝☎✞
☎
✆
F (0) = −2 F ′ (0) = f (0) = 0
✝
✞
✆✝
☎✞
(c) f (3, 5) ≃ 0 f ′ (3, 5) ≃ 2
✝
✞
✆✝☎✞
☎
✆✝
3
Cf 2
1
x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
☎
1
2
−2
✆
−3
✆
F (3, 5) ≃ −5 F ′ (3, 5) = f (3, 5) ≃ 0
✝
Cf ′
CF
−4
☎
✆
−5
Exercice 2
Partie A : aucune justification n’est demandée
1. On note f ′ (0) le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur ?
a.
✞
f ′ (0) = 1
✝
☎
✆
b.
f ′ (0) = 2
c.
f ′ (0) = 0
f ′ (0) est le coefficient directeur de la droite T tangente à la courbe de f en x = 0
0−2
(T ) passe par A(0; 2) et D(−2; 0) donc f ′ (0) =
=1
−2 − 0
2. Quel est le signe de f ′ (2) ?
a.
positif strict
b.
✞
négatif strict
✝
☎
✆
c.
nul
f est strictement décroissante en x = 2 donc f ′ (2) < 0
3. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation f ′ (x) = 0 ?
a.
b.
S = {−5; 2}
✞
✝
S = {1}
☎
✆
c. S = {2}
f ′ (x) = 0 ⇐⇒la tangente à la courbe est horizontale ⇐⇒ x = 1
4. Soit F une primitive de f , quelle est la valeur de F ′ (0) ?
a.
F ′ (0) = 1
b.
✞
F ′ (0) = 2
✝
☎
✆
c.
F ′ (0) = 0
F est une primitive de f donc F ′ (x) = f (x) sur I donc F ′ (0) = f (0) = 2
5. quelle est la valeur de F ′ (1) ?
a.
F ′ (1) = 0
b.
F ′ (1) = 1
c.
✞
b.
négatif strict
c.
nul
F ′ (1) = f (1) = e
F ′ (1) = e
✝
6. Quel est le signe de F ′ (−5) ?
a.
✞
☎
positif strict ✆
✝
F ′ (−5) = f (−5) est positif strict
☎
✆
3
4
7. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation F ′ (x) = 0 ?
a.
b.
S = {−5; 2}
c.
S = {1}
F ′ (x) = 0 ⇐⇒ f (x) = 0 ⇐⇒ x = 2
✞
✝
S = {2}
☎
✆
Partie B : chaque réponse doit être justifiée
1. Parmi les trois courbes ci dessous, l’une est la représentation graphique de la fonction dérivée f ′ de la
fonction f . Laquelle ?
☎
✞
a. La courbe (C1 )
b. La courbe (C2 )
c. La courbe (C3 )
✝
✆
la fonction f est croissante sur [-5 ;1] puis décroissante sur [1 ;2,5]
donc
la fonction f ′ est positive sur [-5 ;1] puis négative sur [1 ;2,5]
seule la courbe (C3 ) convient
2. Parmi les trois courbes ci dessous, l’une
est la représentation graphique d’une primitive F de la fonction
5
f, F étant définie sur l’intervalle −5 ;
. Laquelle ?
2
✞
La courbe (C1 )
✝
a.
☎
✆
b.
La courbe (C2 )
c. La courbe (C3 )
la fonction f est la dérivée de la fonction F
or la fonction f est positive sur [-5 ;2] puis négative sur [2 ;2,5]
donc la fonction F est croissante sur [-5 ;2] puis décroissante sur [2 ;2,5]
seule la courbe (C1 ) convient
Exercice 3 :
(a) en unités d’aire, l’aire S de la partie hachurée est S =
Z
6
f (x)dx
0
S=
Z
6
0
3
( x2 − 3x + 6)dx = [F (x)]60 = [0, 25x3 − 1, 5x2 + 6x]60
4
✄
S = F (6) − F (0) = (0, 25 × 63 − 1, 5 × 62 + 6 × 6) − 0 =✂ 36 unités d’aires ✁
☎
✞
or une unité d’aire vaut 2 × 0, 75 = 1, 5cm2 ce qui donne en pour S : 36 × 1, 5 = ✝54cm2 ✆
1
(b) la valeur moyenne de f sur [0 ; 6] est : m =
6−0
Z
0
6
f (x)dx =
✄
36
= ✂6 ✁
6
✞
(c) R(x) l’aire, en unités d’aire, du rectangle OHM K = longueur × largeur = x×f (x) = 0, 75x3 − 3x2 + 6x
✝
(d)
i. aire R(x) du rectangle OHM K =aire hachurée S
✞
☎
⇐⇒ 0, 75x3 − 3x2 + 6x = 36 ⇐⇒ 0, 75x3 − 3x2 + 6x − 36 = 0 ⇐⇒ g(x) = 0
✝
✆
☎
✆
ii. variations de g sur l’intervalle [0 ; 6] et tableau de variation de g.
✞
• Calcul de g′ (x) : g ′ (x) = 2, 25x2 − 6x + 6
✝
• Annulation et signe de g ′ (x) :
☎
✆
g′ (x) est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 +bx+c, on utilise la règle du signe de ax2 +bx+c.
et pour g′ (x) = 0 on utilise le discriminant :
∆ = −18 < 0 donc aucune annulation et on a le tableau de signes suivant.
x
g′ (x)
0
6
+
• variations de g :
x
g′ (x)
0
6
+
54
g(x)
ր
-36
g(0) = −36

g(0) = −36 et −36 < 0



g(6) = 54 et 54 > 0
•
g est continue sur [0; 6] en tant que fonction polynômiale de degré 3



g est strictement croissante sur [0; 6]
d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation g(x) = 0 possède alors une solution
unique α dans [0; 6]
• La calculatrice permet de voir que 4, 55 < α < 4, 56 car :
☎
✞
f (4, 55) ≃ −0, 16 < 0
donc α = 4, 55 ou 4, 56 à 10−2 près.
✝
✆
f (4, 56) ≃ 0, 093 > 0
✞
• conclusion : pour que le rectangle ait la même aire que la surface hachurée, il faut que x = α ≃ 4, 55
✝
☎
✆
3.8.2
corrigé devoir maison 2
corrigé devoir maison
Exercice 1 : (121 page 160)
1. (a) on détermine graphiquement
✞
☎ que :
prix d’équilibre = p0 = 3 centaines d’euros
✝
✞ ✆
7
☎
✝
✞
✆
☎
(b)
Z
5
Z0
0,4x
e
4
3
2
✌
1
0, 4 0,4x 5
dx = [
e ]0 = [e0,4x ]50
0, 4
5
0,4×5
f (x)dx = e
0
(c) Sp = p0 × q0 −
Z
5
0
0,4×0
−e
=
✞
e2
✝
Cf
5
(b) chiffre d’affaire = p0 × q0 = 15
✝
✆
centaines
de milliers
d’euros
✎
☞
Z 5
2. (a)
f (x)dx ≃ 6 U.A. graphiquement
✍0
Cg
6
quantité d’équilibre = q0 = 5 milliers
x
0
− 1 ≃ 6, 39
✞
✝
☎
0
1
2
3
4
✆
f (x)dx = 15 − 6, 39 ≃ 8, 61
☎
✆
✄
3. on estime graphiquement que le surplus des consommateurs est d’environs ✂13 ✁U.A.
donc Jeanne à raison
5
Exercice 2 : (122 page 161)
Partie A :
3
1
1. f (x) = x +
− 1 sur [0; 1]
2
x+1
−1
3(x + 1)2 − 2
3x2 + 6x + 1
3
=
=
(a) i. f ′ (x) = +
2 (x + 1)2
2(x + 1)2
2(x + 1)2
ii. f ′ (x) est du signe du trinôme 3x2 + 6x + 1 car 2(x + 1)2 est positif strict sur [0; 1]
iii. f est dons strictement croissante sur [0; 1]
3
1
1
(−0, 5x + 1)(x + 1) − 1
(b) x − f (x) = x − ( x +
− 1) = −0, 5x + 1 −
=
2
x+1
x+1
x+1
−0, 5x2 − 0, 5x + x + 1 − 1
−0, 5x2 + 0, 5x
0, 5x(−x + 1)
x − f (x) =
=
=
x+1
x+1
x+1
sur [0; 1], x − f (x) est du signe de −x + 1 car 0, 5x est positif ainsi que x + 1
or −x + 1 s’annule en x = 1 et est positif sur [0; 1]
(c) conclusion : x − f (x) ≥ 0 sur [0; 1]
donc f (x) ≤ x sur [0; 1]
donc Cf est une courbe de Lorentz
2. g(x) = ex − (e − 2)x − 1
(a)
i. g ′ (x) = ex − (e − 2)
ii. g ′ (x) > 0 ⇐⇒ ex − (e − 2) > 0
⇐⇒ ex > e − 2
⇐⇒ ln(ex ) > ln(e − 2)
⇐⇒ x > ln(e − 2)
(de même pour > ou = )
iii. d’où le tableau
x
g′ (x)
0
ln(e − 2)
0
-
1
+
(b) g(0) = e0 − (e − 2) − 1 = −(e − 2)
g(1) = e1 − (e − 2) − 1 = 1
3. h(x) = −ex + (e − 1)x + 1
x
0
ln(e − 1)
h′ (x)
+
0
(a)
≃ 0, 2
h(x)
ր
0
1
ց
h(ln(e − 1) ≃ 0, 2
0
(b) x − g(x) = x − (ex − (e − 2)x − 1) = −ex + (e − 1)x + 1 = h(x)
(c) h(x) ≥ 0 sur [0; 1]
donc x − g(x) ≥ 0 sur [0; 1]
donc x ≥ g(x) sur [0; 1]
donc Cg est une courbe de Lorentz
Partie B
1. g(0, 5) ≃ 30%
50% des exploitations les plus petites représentent au total ≃ 30% de la superficie des exploitations
du pays G
Z 1
Z 1
h(x)dx
x − g(x)dx =
2. (a) A =
0
Z 1 0
x2
h(x)dx = [−ex + (e − 1) + x]10 = −e + (e − 1) × 0, 5 + 1 − (−1) = 1, 5 − 0, 5e
2
0
(b) γG = 2A = 3 − e ≃ 0, 282
Z 1
1
3
x2 3
x−f (x)dx = 2×[ − x2 −ln(x+1)+x]10 = 2×[− x2 −ln(x+1)+x]10 = 2( −ln(2)) ≃
3. γF = 2×
2 4
4
4
0
0, 14
– le pays F est plus égalitaire car γF < γG , 0, 14 < 0, 282)
– oui, car l’aire comprise entre la première bissectrice et la courbe est plus petite pour f que pour g pour
x ∈ [0; 1]