A-3 Solide en mouvement 2

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Cours Chapitre A-3
Solide en mouvement
I) Objectifs
- Enoncer des lois de la mécanique
- Utiliser des lois de la mécanique dans le cadre de mouvements de rotation et de
translation.
- Participer au dimensionnement d’un moteur.
II) Introduction
La mécanique est la branche de la science qui étudie le mouvement des systèmes matériels
et leurs déformations. Elle a pour but de décrire et prévoir les mouvements de ces systèmes.
En physique, un système est une partie de l'univers physique que l’on cherche à analyser.
Toute chose en dehors du système est appelée environnement et n'est pas pris en compte
dans l'analyse excepté pour son influence sur le système.
Un système est dit isolé s’il ne peut échanger ni énergie ni matière avec l'extérieur.
Force :
Une force est un phénomène qui provoque l'accélération ou la déformation d'un corps. On
la représente par un vecteur.
Si un système est soumis à un ensemble de n
forces
i
F
(i = 1 à n) au même point
d’application A, alors on peut considérer qu’il
est soumis à une seule force résultante
R
:
1
F
2
F
R
A
i
n
i1
RF
Cette propriété des forces permet de séparer une force en plusieurs composantes, par
exemple en ses composantes normale (l'effort d'appui
N
) et tangentielle (l'effort de
frottement
T
).
N
T
R
A
x
A
α
y
A
Ax
Ay
Rappel de trigonométrie :
Ax = A cos(α)
Ay = A sin(α)
Exercices 1 à 3
III) Description du mouvement
Référentiel :
Pour décrire le mouvement, il est nécessaire de choisir un référentiel (le mouvement dépend
du référentiel utilisé).
Référentiel 1
Référentiel 3
Référentiel 2
Position :
La position d’un point matériel M est repérée par les coordonnées du vecteur de position
OM xi yj zk  
, O étant le point d’origine du repère et M le point considéré.
k
j
i
y
x
O
M
z
OM xi yj zk
L'ensemble des positions successives du mobile au cours du temps constitue la trajectoire.
Vitesse :
La vitesse curviligne, est la distance Δd parcourue pendant un intervalle de temps Δt :
d
vt
en m.s-1
Le vecteur vitesse ou la vitesse dans l'espace, est le vecteur :
21
t0
OM OM dOM
v lim t dt
Sa norme vaut la vitesse curviligne v, son sens et sa direction sont ceux du mouvement du
point M.
Accélération :
L'accélération moyenne a sur un intervalle de temps Δt est définie de la manière suivante :
21
21
vv v
at t t
en m.s-2
v1 est la vitesse à l'instant t1 et v2 est la vitesse à l'instant t2.
En vectoriel :
2
21 2
t0
vvdv d OM
a lim t dt dt

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Remarque: Soit
t
a
la projection du vecteur accélération
a
sur la tangente à la trajectoire :
t
a
et
G
v
sont de même sens, le
mouvement est accéléré.
t
a
et
G
v
sont de sens opposé, le
mouvement est décéléré.
a
et
G
v
ont même direction, le
mouvement est rectiligne.
Centre d'inertie d’un système :
Le centre d’inertie G d’un solide est le centre des masses, c’est le point de ce système dont
le mouvement est généralement le plus simple.
Mouvement rectiligne :
la trajectoire décrite est une droite ! Le mouvement est dit rectiligne uniforme si la vitesse
v est constante ; cela correspond au mouvement d'un objet lancé dans l'espace.
L’évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un corps dans un mouvement
rectiligne uniforme est donné ci-dessous.
OM (en m)
0
0
,
5
1
1
,
5
t (en s)
v (en m.s-1)
0
0
,
5
1
1
,
5
t (en s)
a (en m.s-2)
0
0
,
5
1
1
,
5
t (en s)
Trajectoire
Positions successives à intervalles de temps réguliers
O
y
x
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré si l’accélération est constante. Ceci
correspond à la chute libre (sans frottement) d'un objet lâché avec une vitesse initiale nulle.
L’évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un corps dans un mouvement
rectiligne uniformément accéléré est donné ci-dessous.
OM (en m)
0
0
,
5
1
1
,
5
t (en s)
v (en m.s-1)
t (en s)
0
0
,
5
1
1
,
5
a (en m.s-2)
t (en s)
0
0
,
5
1
1
,
5
Trajectoire
Positions successives à intervalles de temps réguliers
O
y
x
Rem : Dans la cas de la chute des corps, a = -g , où g est l'accélération de la pesanteur.
Mouvement circulaire :
Le centre d'inertie du mobile décrit un cercle. (une bille dans une gouttière circulaire,
pendule à fil dont le fil reste tendu, ou un train sur un rail circulaire).
Si on note α l’angle qui repère la position
du centre d’inertie, alors la vitesse
angulaire est donnée par la relation :
α
Ω
d
dt
 Avec
O
α en rad,
t en s
Ω en rad.s-1
Le mouvement est dit circulaire uniforme si sa vitesse angulaire Ω est constante.
On a :
Ω
r
v = r Ω
v
A
M
O
Le vecteur vitesse est tangent au cercle, on voit aussi que l'accélération est toujours dirigée
vers le centre du cercle (on parle d’accélération centrale centripète), et sa norme vaut

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2
v
ar
Ceci explique que lorsque l'on tourne en voiture, plus le virage est serré (r est faible), plus
l'accélération est importante.
a
v
v
a
C
Exercices 4 à 6
IV) Enoncé du Principe fondamental de la dynamique ou
deuxième lois de Newton :
En physique, un référentiel galiléen, est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel
la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement de translation
rectiligne uniforme par rapport à ce référentiel.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un système et le
vecteur accélération de son centre d'inertie vérifient la relation :
F ma
-2
F somme vectorielle des forces (N)
m masse du solide (kg)
a vecteur accélération (m.s )
Rem : Pour un objet immobile ou en mouvement de translation rectiligne uniforme,
l’accélération est nulle, donc :
F0
(on revient au principe de la statique).
P
R
G
Mobile sans
frottements
Ce mobile est donc soit immobile (
v0
), soit en translation à une vitesse constante.
V) Principe fondamental de la dynamique appliqué à un
mouvement autour d’un axe fixe :
F
d
F
d
A
A
α
l
MP (
F) = d F
MP (
F) = d F = l F cos(α)
α
P
Levier
P (Pivot)
Le moment M d’une force
F
par rapport à un pivot P est donné par la relation :
MP (
F
) = d F
Avec F intensité de la force en N, d distance d’application de la force au pivot en m et M
moment de la force en N.m.
Rem : Le couple est un système d'actions de deux forces de même valeur et de sens opposé.
F
d
B
M (couple) = C = 2 d F = AB F
-F
A
P (Pivot)
Principe fondamental de la dynamique appliqué à un mouvement autour d’un axe
fixe :
Pour le mouvement de rotation autour d’un axe fixe :.
d
J (F)
dt
M
2
-2
J moment d'inertie (en kg.m )
d accélération angulaire (rad.s )
dt
Théorème fondamental de la dynamique appliqué à l’arbre moteur :
Lors du bilan des efforts sur un arbre moteur d’inertie J et de vitesse de rotation angulaire Ω
on a :
Dans le cas de ce mobile sans frottements, le
poids
P
et la réaction du support
R
sont de
même intensité, de même direction mais de
sens opposés. Leur somme s’annule.
F 0 m a
donc
a0
on en déduit que
v cte
.

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moteur résistant
dΩ
J = C - C
dt
Avec :
moteur
C
moment du couple délivré par le moteur.
résistant
C
somme des moments des couples résistants
Formulaire concernant les réducteurs mécaniques : (Pour information)
Liaison directe :
Moteur
J1
Charge
J2
Ω1
12
J = J +J
J1 Moment d’inertie du moteur
J2 Moment d’inertie de la charge
Liaison par réducteur :
Moteur
J1
Charge
J2
r1
r2
Ω1
Ω2
 Rapport de vitesse :
21
12
rΩ
m = =
rΩ
 Moment d’inertie ramené sur l’arbre moteur :
On note C’ le couple et J’ le moment d’inertie perçu par le moteur à cause de la charge
(de couple résistant C2 et de moment d’inertie J2).
Si le réducteur est parfait, on peut écrire que la puissance fournie par le moteur se
retrouve intégralement transmise à la charge. Donc P1 = P2
Or P1 = C’ Ω1 et P2 = C2 Ω2 C’ =
1
d
J' dt
et C2 =
2
2d
Jdt
On en déduit
1
d
J' dt
Ω1 =
2
2d
Jdt
Ω2 et
2
2 2 2
2 2 2 2
11 1 1
dΩ
Ω dΩ Ω 1
dt
J' J J J
dΩΩ dΩ Ω m
dt
Le moment d’inertie total perçu par le moteur sera donc :
2
11
2
J
J = J + J' J + m
VI) Résumé
Vitesse :
d
vt
Accélération :
21
21
vv v
at t t
Vitesse angulaire :
t
Principe fondamental de la dynamique pour
la résultante des forces :
F ma
Moment d’une force : MP (
F
) = d F
Couple : C = 2 d F
Principe fondamental de la dynamique pour
la résultante des moments :
d
J (F)
dt
M
Principe fondamental de la dynamique pour
la résultante des moments :
moteur résistant
dΩ
J = C - C
dt
Moment d’inertie sur l’arbre moteur :
21
12
rΩ
m = =
rΩ
2
11
2
J
J = J + J' J + m
Exercices 7 à 10