A-3 Solide en mouvement 2

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Cours Chapitre A-3
III) Description du mouvement
Solide en mouvement
Référentiel :
Pour décrire le mouvement, il est nécessaire de choisir un référentiel (le mouvement dépend
du référentiel utilisé).
I) Objectifs
-
Référentiel 3
Référentiel 1
Référentiel 2
Enoncer des lois de la mécanique
Utiliser des lois de la mécanique dans le cadre de mouvements de rotation et de
translation.
Participer au dimensionnement d’un moteur.
II) Introduction
La mécanique est la branche de la science qui étudie le mouvement des systèmes matériels
et leurs déformations. Elle a pour but de décrire et prévoir les mouvements de ces systèmes.
En physique, un système est une partie de l'univers physique que l’on cherche à analyser.
Toute chose en dehors du système est appelée environnement et n'est pas pris en compte
dans l'analyse excepté pour son influence sur le système.
Un système est dit isolé s’il ne peut échanger ni énergie ni matière avec l'extérieur.
Position :
La position d’un point matériel M est repérée par les coordonnées du vecteur de position
OM  xi  yj  zk , O étant le point d’origine du repère et M le point considéré.
OM  xi  y j  zk
z
k
M
y
O
Force :
Une force est un phénomène qui provoque l'accélération ou la déformation d'un corps. On
la représente par un vecteur.
i
x
j
L'ensemble des positions successives du mobile au cours du temps constitue la trajectoire.
Si un système est soumis à un ensemble de n
forces F i (i = 1 à n) au même point
d’application A, alors on peut considérer qu’il
est soumis à une seule force résultante R :
F1
n
R   Fi
R
i 1
A
Vitesse :
La vitesse curviligne, est la distance Δd parcourue pendant un intervalle de temps Δt :
v
F2
Cette propriété des forces permet de séparer une force en plusieurs composantes, par
exemple en ses composantes normale (l'effort d'appui N ) et tangentielle (l'effort de
frottement T ).
Ay
N
Ay
T
Exercices 1 à 3
BTS Electrotechnique (Physique Appliquée)
Le vecteur vitesse ou la vitesse dans l'espace, est le vecteur : v  lim OM 2  OM1  dOM
t 0
t
dt
Sa norme vaut la vitesse curviligne v, son sens et sa direction sont ceux du mouvement du
point M.
Ax = A cos(α)
Ay = A sin(α)
A
α
Ax
en m.s-1
Accélération :
L'accélération moyenne a sur un intervalle de temps Δt est définie de la manière suivante :
Rappel de trigonométrie :
R
d
t
Ax
a
v 2  v1 v

t 2  t1
t
en m.s-2
v1 est la vitesse à l'instant t1 et v2 est la vitesse à l'instant t2.
v  v1 dv d 2 OM
En vectoriel :
a  lim 2


t  0
t
dt
dt 2
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cours Chapitre A-3 "Mécanique du solide"
L’évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un corps dans un mouvement
rectiligne uniformément accéléré est donné ci-dessous.
Remarque: Soit a t la projection du vecteur accélération a sur la tangente à la trajectoire :
v (en m.s-1)
a (en m.s-2)
OM (en m)
a t et v G sont de même sens, le
mouvement est accéléré.
t (en s)
0
a t et v G sont de sens opposé, le
mouvement est décéléré.
0 ,5
1
1 ,5
t (en s)
0
0 ,5
1
1 ,5
t (en s)
0
0 ,5
1
1 ,5
Positions successives à intervalles de temps réguliers
y
a et v G ont même direction, le
mouvement est rectiligne.
Centre d'inertie d’un système :
Le centre d’inertie G d’un solide est le centre des masses, c’est le point de ce système dont
le mouvement est généralement le plus simple.
Mouvement rectiligne :
la trajectoire décrite est une droite ! Le mouvement est dit rectiligne uniforme si la vitesse
v est constante ; cela correspond au mouvement d'un objet lancé dans l'espace.
L’évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un corps dans un mouvement
rectiligne uniforme est donné ci-dessous.
v (en m.s-1)
OM (en m)
Trajectoire
x
O
Rem : Dans la cas de la chute des corps, a = -g , où g est l'accélération de la pesanteur.
Mouvement circulaire :
Le centre d'inertie du mobile décrit un cercle. (une bille dans une gouttière circulaire,
pendule à fil dont le fil reste tendu, ou un train sur un rail circulaire).
Si on note α l’angle qui repère la position
du centre d’inertie, alors la vitesse
angulaire est donnée par la relation :
a (en m.s-2)

d
dt
Avec
α en rad,
t en s
Ω en rad.s-1
Ω
α
O
t (en s)
0
0 ,5
1
1 ,5
0
0 ,5
1
1 ,5
Le mouvement est dit circulaire uniforme si sa vitesse angulaire Ω est constante.
On a :
t (en s)
t (en s)
0
0 ,5
1
1 ,5
Positions successives à intervalles de temps réguliers
v
v=rΩ
M
y
Ω
Trajectoire
O
x
r
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré si l’accélération est constante. Ceci
correspond à la chute libre (sans frottement) d'un objet lâché avec une vitesse initiale nulle.
BTS Electrotechnique (Physique Appliquée)
A
O
Le vecteur vitesse est tangent au cercle, on voit aussi que l'accélération est toujours dirigée
vers le centre du cercle (on parle d’accélération centrale centripète), et sa norme vaut
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cours Chapitre A-3 "Mécanique du solide"
V) Principe fondamental de la dynamique appliqué à un
mouvement autour d’un axe fixe :
v2
r
Ceci explique que lorsque l'on tourne en voiture, plus le virage est serré (r est faible), plus
l'accélération est importante.
a
F
v
Levier
a
a
d
l
P
v
C
α
A
P (Pivot)
F
α
A
d
MP (F ) = d F
MFP ( ) = d F = l F cos(α)
Exercices 4 à 6
Le moment M d’une force F par rapport à un pivot P est donné par la relation :
IV) Enoncé du Principe fondamental de la dynamique ou
deuxième lois de Newton :
MP ( F ) = d F
Avec F intensité de la force en N, d distance d’application de la force au pivot en m et M
moment de la force en N.m.
En physique, un référentiel galiléen, est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel
la résultante des forces est nulle) est soit immobile, soit en mouvement de translation
rectiligne uniforme par rapport à ce référentiel.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un système et le
vecteur accélération de son centre d'inertie vérifient la relation :
Rem : Le couple est un système d'actions de deux forces de même valeur et de sens opposé.
F
 F somme vectorielle des forces (N)

m masse du solide (kg)

-2
a vecteur accélération (m.s )
 F  ma
P (Pivot)
G
Mobile sans
frottements
Dans le cas de ce mobile sans frottements, le
poids P et la réaction du support R sont de
même intensité, de même direction mais de
sens opposés. Leur somme s’annule.
 F  0  m a donc a  0
P
on en déduit que v  cte .
Ce mobile est donc soit immobile ( v  0 ), soit en translation à une vitesse constante.
BTS Electrotechnique (Physique Appliquée)
B
-F
M (couple) = C = 2 d F = AB F
Rem : Pour un objet immobile ou en mouvement de translation rectiligne uniforme,
l’accélération est nulle, donc :  F  0 (on revient au principe de la statique).
R
d
A
Principe fondamental de la dynamique appliqué à un mouvement autour d’un axe
fixe :
Pour le mouvement de rotation autour d’un axe fixe :.
J
d
  M (F)
dt
 J moment d'inertie (en kg.m 2 )

 d
accélération angulaire (rad.s-2 )

 dt
Théorème fondamental de la dynamique appliqué à l’arbre moteur :
Lors du bilan des efforts sur un arbre moteur d’inertie J et de vitesse de rotation angulaire Ω
on a :
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cours Chapitre A-3 "Mécanique du solide"
J
VI) Résumé
dΩ
= C moteur - C résistant
dt
Vitesse : v 
Avec :
Cmoteur moment du couple délivré par le moteur.
Crésistant somme des moments des couples résistants
Vitesse angulaire :  
Formulaire concernant les réducteurs mécaniques : (Pour information)
Liaison directe :
Ω1
J = J1 +J 2
Charge
Moteur
J1 Moment d’inertie du moteur
J2
J1
J2 Moment d’inertie de la charge
Accélération : a 

t
Moment d’une force : MP ( F ) = d F
Couple :
C=2dF
Principe fondamental de la dynamique pour
la résultante des moments :
Liaison par réducteur :
Ω1
J
r1
Moteur
J1
Ω2
r2

d
t
dΩ
= C moteur - C résistant
dt
v 2  v1 v

t 2  t1
t
Principe fondamental de la dynamique pour
la résultante des forces :
 F  ma
Principe fondamental de la dynamique pour
la résultante des moments :
J
d
  M (F)
dt
Moment d’inertie sur l’arbre moteur :
J
r
Ω
J = J1 + J'  J1 + 22
m= 2 = 1
m
r1
Ω2
Exercices 7 à 10
Charge
J2
Rapport de vitesse :
m=
r2
Ω
= 1
r1
Ω2
 Moment d’inertie ramené sur l’arbre moteur :
On note C’ le couple et J’ le moment d’inertie perçu par le moteur à cause de la charge
(de couple résistant C2 et de moment d’inertie J2).
Si le réducteur est parfait, on peut écrire que la puissance fournie par le moteur se
retrouve intégralement transmise à la charge. Donc P1 = P2
d
d 2
Or P1 = C’ Ω1 et P2 = C2 Ω2
C’ = J ' 1
et
C2 = J 2
dt
dt
dΩ 2
d
d 2
Ω2
dΩ 2 Ω 2
1
On en déduit J ' 1 Ω1 = J 2
Ω2 et
J'  J 2 dt
 J2
 J2 2
dt
dt
dΩ1 Ω1
dΩ1 Ω1
m
dt
Le moment d’inertie total perçu par le moteur sera donc : J = J1 + J'  J1 + J 2
m2
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