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978-613-8-44348-3

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Systèmes asservis linéaires continus: cours et exercices corrigés
Book · January 2019
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2 authors:
Chérif Aida
Djamila Zehar
Université Mohamed El Bachir El Ibrahimi de Bordj Bou Arréridj
Université Mohamed El Bachir El Ibrahimi de Bordj Bou Arréridj
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Š±”‹ˆÃ†ƒǡ‡Šƒ”Œƒ‹Žƒ
Ͳ ϭͲ
Avant-propos
La MDMRULWpGHVSURFHVVXVLQGXVWULHOVQpFHVVLWHQWOHFRQWU{OHG¶XQFHUWDLQQRPEUHGHJUDQGHXUV
physiques telles que la température, la pression, le niveau, le débit, le pH, la concentration, etc.
Il appartient à la chaîne de régulation (et plus généralement à la chaîne d'asservissement) de
maintenir ces grandeurs à des niveaux prédéterminés. La chaîne de régulation automatique
renferme en une partie le système en boucle ouverte et le système en boucle fermée qui se
caractérise par son organisation fonctionnelle ainsi que ses principaux éléments.
Ce document couvre une bonne compréhension des systèmes asservis, pris dans leur sens le
plus large, est DFWXHOOHPHQW QpFHVVDLUH j WRXWHV OHV WHFKQLTXHV GH O¶LQJpQLHXU électronique,
mécanique, FRPPXQLFDWLRQV K\GUDXOLTXH JpQLH FKLPLTXH ,O V¶DJLW GDQs cet ouvrage de
développer OHVRXWLOVGHEDVHHVVHQWLHOOHPHQWG¶DQDO\VHPDLVDXVVLG¶DERUGHUODTXHVWLRQGHOD
V\QWKqVHGHWHOVV\VWqPHVWDQWO¶H[SpULHQFHDHIIHFWLYHPent montré que la compréhension «au
VHQVGHO¶DXWRPDWLFLHQªGHVV\VWqPHVERXFOés (ou asservis) était féconde.
La première partie concerne des généralités sur les systèmes asservis. Ce chapitre contient
O¶HQVHPEOH des notions essentielles à O¶pWXGHJpQpUDOHGHVV\VWqPHV.
Le chapitre II HVW FRQVDFUpH DX O¶XWLOH GH modélisation des systèmes linéaires continus
(transformée de Laplace). Il contient O¶HQVHPEOHGHVQRWLRQVHVVHQWLHOOHVjO¶pWXGHJpQpUDOHGH
O¶DXWRPDWLTXH
Le chapitre III est consacrée à la représentation temporelle des systèmes linéaires O¶pTXDWLRQ
différentielle, la fonction de transfert et ODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDW.
Le chapitre IV aborde les schémas blocs et algèbre de diagrammes, différentes structures des
systèmes complexes sont simplifiées par des schémas blocs.
Le chapitre V concerne les réponses temporelles des systèmes pour les systèmes de 1 ére ordre
et 2éme ordre. Le chapitre VI présente les réponses fréquentielles des systèmes pour les systèmes
de 1ére ordre et 2éme ordre.
Le chapitre VII concerne les analyses des systèmes asservis tels que la stabilité et la précision
et enfin les correcteurs sont représentés dans le chapitre VIII.
'DQV O¶HQVHPEOH GH FH GRFXPHQW QRXV DYRQV FKRLVL GH Gptailler tous les développements
WKpRULTXHVGH PDQLqUHVLPSOHSHUPHWWDQWDXO¶pWXGLDQWG¶DFFpGHUUDSLGement à une meilleure
compréhension de la discipline.
Ͳ ϮͲ
Sommaire
Chapitre I : Introduction aux systèmes asservis
I.1 Notion de systèmes «««««««««««««««««««««««««««7
I.2 Classification des systèmes««««««««««««««««««««««««
I.2.1 Les systèmes linéaires««««««««««««««««««««««««««
I.2.2 Les systèmes invariants«««««««««««««««««««««««««
I.2.3 Les systèmes à modèle déterministe««««««««««««««««««««
I.2.4 Les systèmes causals««««««««««««««««««««««««««
I.2.5 Les systèmes continus et discrets««««««««««««««««««««««
I.2.6 Les systèmes asservis«««««««««««««««««««««««««
I.2.6.1 Systèmes en boucle ouverte (BO)««««««««««««««««««««
I.2.6.2 Systèmes en boucle fermée (BF)««««««««««««««««««««
I.3 Performances des systèmes aVVHUYLV««««««««««««««««««««
,0RGpOLVDWLRQG¶XQV\VWqPe««««««««««««««««««««««««
,,GHQWLILFDWLRQG¶XQV\VWqPH««««««««««««««««««««««««
Chapitre II : Transformée de Laplace
II.1 Signaux tests«««««««««««««««««««««««««««««
II.1.1 Impulsion de Dirac««««««««««««««««««««««««««
II.1.2 Fonction échelon«««««««««««««««««««««««««««
II.1.3 Fonction rampe««««««««««««««««««««««««««««
II.1.4 Sinusoide««««««««««««««««««««««««««««««
II.2 Transformée de Laplace«««««««««««««««««««««««««
II.2.1 Définition««««««««««««««««««««««««««««««
II.2.2 Propriétés«««««««««««««««««««««««««««««
II.2.3 Transformées inverses«««««««««««««««««««««««« ....17
II.2.3.1 Cas où les pôles de F(p) sont tous simples«««««««««««««««««
II.2.3.2 Cas où le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur««««««««
II.2.3.3 Cas où F(p) admet un pôle multiple«««««««««««««««««««
II.2.3.4 Cas où F(p) admet deux pôles complexes«««««««««««««««««
Exercices sur la transformée de Laplace««««««««««««««««««««
Solutions des exercices«««««««««««««««««««««««««««
Exercices supplémentaires«««««««««««««««««««««««««....27
Ͳ ϯͲ
Chapitre III Représentation temporelles des systèmes
III.1 Représentation par une équation différentielle««««««««««««««««
III.2 Représentation par fonction de transfert «««««««««««««««««««
,,,5HSUpVHQWDWLRQG¶pWDWGXV\VWqPH«««««««««««««««««««««
,,,&RUUHVSRQGDQFHHQWUHUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDWHWIRQFWLRQGHWUDQVIHUW««««««««
,,,3DVVDJHGHODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDWjODIRQFWLRQGHWUDQVIHUW««««««««««
,,,3DVVDJHGHODIRQFWLRQGHWUDQVIHUWjODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDW««««««««««
III.4.2.1 Méthode des variables de phase««««««««««««««««««««
,,,2EWHQWLRQG¶XQPRGqOHG¶pWDWDYHF$GLDJRQDOH««««««««««««««
III.4.2.3 ObWHQWLRQG¶XQPRGqOHG¶pWDWDYHF$FRPSDJQH««««««««««««««
Exercices sur les représentations temporelles des systèmes««««««««««««
Solutions des exercices«««««««««««««««««««««««««««
Exercices supplémentaires«««««««««««««««««««««««««
Chapitre IV : Schémas blocs et algèbre de diagrammes
IV.1 Schémas blocs««««««««««««««««««««««««««««
IV.1.1 Définition des schémas blocs (ou schéPDVIRQFWLRQQHOV «««««««««««
IV.1.2 Simplification ± Réduction«««««««««««««««««««««««
IV.2 Diagrammes de fluence«««««««««««««««««««««««««
Exercices sur schémas blocs et algèbre de diagrammes««««««««««««««
Solution des Exercices«««««««««««««««««««««««««««
Exercices supplémentaires«««««««««««««««««««««««««
Chapitre V : Réponse temporelle des systèmes à temps continu
V.1 Pôles et zéros«««««««««««««««««««««««««««««
9&DOFXOGHODUpSRQVHGHODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDW«««««««««««««««« 53
V.3 Calcul de la réponse à partir de la fonction de transfert«««««««««««««
V.4 Réponse impulsionnelle et réponse indicielle«««««««««««««««««
V.4.1 Réponse impulsionnelle««««««««««««««««««««««««
95pSRQVHLQGLFLHOOH«««««««««««««««««««««««««««55
V.5 Réponse temporelle des systèmes du premier et du second ordre«««««««««
V.5.1 Systèmes du premier ordre«««««««««««««««««««««««
V.5.2 Systèmes du second ordre«««««««««««««««««««««««
Exercices sur les réponses temporelles des systèmes«««««««««««««««
Ͳ ϰͲ
Solutions des exercices«««««««««««««««««««««««««««
Exercices supplémentaires««««««««««««««««««««««««««
Chapitre VI: Réponse fréquentielle des systèmes à temps continu
VI.1 Définition««««««««««««««««««««««««««««««
VI.2 Diagrammes de BODE«««««««««««««««««««««««««
VI.2.1 Système de premier ordre«««««««««««««««««««««««
VI.2.2 Système de deuxième ordre««««««««««««««««««««««
VI.3 Diagramme de Nyquist«««««««««««««««««««««««««
VI.3.1 Systèmes de premier ordre«««««««««««««««««««««««
9,6\VWqPHVGHVHFRQGRUGUH«««««««««««««««««««««««...76
VI.4 Diagramme de Black««««««««««««««««««««««««««
Exercices sur réponse fréquentielle des systèmes à temps continu««««««««««
Solution des exercices«««««««««««««««««««««««««««
Exercices supplémentaires««««««««««««««««««««««««««
Chapitre VII : Analyse des systèmes à temps continu
VII.1 Commandabilité et observabilité«««««««««««««««««««««
VII.1.1 Commandabilité««««««««««««««««««««««««««
VII.1.2 Observabilité««««««««««««««««««««««««««««
VII.2 Stabilité««««««««««««««««««««««««««««««
VII.2.1 Stabilité BIBO«««««««««««««««««««««««««««
VII.2.2 Condition sur les pôles««««««««««««««««««««««««5
VII.2.3 Critère de Routh-Hurwitz«««««««««««««««««««««««
VII.2.4 Critère géométrique de Nyquist (Critère de Rivers)«««««««««««««
VII.2.5 Critère de Rivers dans le plan de Bode««««««««««««««««««
VII.2.6 Marges de stabilité«««««««««««««««««««««««««
VII.2.6.1 Marge de gain (MG)««««««««««««««««««««««««
VII.2.6.2 Marge de Phase ሺ‫߮ܯ‬ሻ««««««««««««««««««««««««
9,,3UpFLVLRQG¶XQV\VWqPHDVVHUYL««««««««««««««««««««««
VII.3.1 Erreur statique (erreur de position)«««««««««««««««««««
VII.3.2 Erreur de vitesse (erreur de traînage)««««««««««««««««««
([HUFLFHVVXUO¶DQDO\VHGHVVystèmes à temps continu«««««««««««««««
Solutions des exercices««««««««««««««««««««««««««
Exercices supplémentaires«««««««««««««««««««««««««
ͲϱͲ
Chapitre VIII : Les correcteurs
VIII.1 Principe««««««««««««««««««««««««««««««
VIII.2 Contrôleur proportionnel (P)««««««««««««««««««««««
VIII.3 Correcteur Proportionnel Dérivé (correcteur PD)««««««««««««««
VIII.4 Correcteur Proportionnel Intégral (correcteur PI)««««««««««««««
VIII.5 Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (correcteur PID)««««
Ͳ ϲͲ
I.4 0RGpOLVDWLRQG¶XQV\VWqPH
/DPRGpOLVDWLRQG¶XQV\VWqPHSHXWrWUHREWHQXHSDUO¶pFULWXUHGHVORLVGHODSK\VLTXHORrsque
les paramètres du système sont bien connus.
I.5 ,GHQWLILFDWLRQG¶XQV\VWqPH
/RUVTXHO¶RQQHVDLWSDVPHWWUHOHV\VWqPHHQpTXDWLRQRQDUHFRXUVjO¶pWXGHGHODUpSRQVHGX
système à diverses excitations, pour en construire un modèle par identification.
Dans les deux cas, c-à-d. OD PRGpOLVDWLRQ HW LGHQWLILFDWLRQ G¶XQ V\VWqPH à partir du modèle
REWHQX OD SKDVH G¶DQDO\VH FRQVLVWH j GpGXLUH OHV GLIIpUHQWHV SURSULpWpV FDUDFWpULVWLTXHV GX
système.
Ͳ ϭϮͲ
•‹ሺ߱‫ݐ‬ሻ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Sinus
Cosinus amorti
Sinus amorti
߱
‫݌‬ଶ ൅ ߱ ଶ
݁ ି௔௧ ‘•ሺ߱‫ݐ‬ሻ ‫ ݑ‬ሺ‫ ݌‬൅ ܽሻ
ሺ‫ ݌‬൅ ܽሻଶ ൅ ߱ ଶ
߱
݁ ି௔௧ •‹ሺ߱‫ݐ‬ሻ ‫ݑ‬
ሺ‫ ݌‬൅ ܽሻଶ ൅ ߱ ଶ
Tableau II.1 : Transformées de Laplace des fonctions les plus courantes
II.2.2 Propriétés
La transformée de Laplace a plusieurs propriétés intéressantes qui rendent le calcul de fonctions
complexes plus simple. On note entre autre la linéarité, dérivée et les théorèmes de valeurs
finales et initiales. Le tableau suivant montre ces propriétés.
Propriétés
1
Théorème
Nom
ஶ
‫ܮ‬ሾ݂ሺ‫ݐ‬ሻሿ ൌ ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ න ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ݁ ି௣௧ ݀‫ݐ‬
Définition
଴
2
‫ܮ‬ሾ݂݇ሺ‫ݐ‬ሻሿ ൌ ݇‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ
Linéarité
3
‫ܮ‬ሾ݂ଵ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ݂ଶ ሺ‫ݐ‬ሻሿ ൌ ‫ܨ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ܨ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ
Linéarité
4
‫ܮ‬ሾ݁ ି௔௧ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻሿ ൌ ‫ܨ‬ሺ‫ ݌‬൅ ܽሻ
Translation
5
‫ܮ‬ሾ݂ሺ‫ ݐ‬െ ߬ሻሿ ൌ ݁ ିఛ௣ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ
Retard
temporelle
7
8
‫ܮ‬൤
݀௡ ݂
൨ ൌ ‫݌‬௡ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ
݀‫ ݐ‬௡
௧
‫ ܮ‬ቈන ݂ ሺ߬ሻ݀߬቉ ൌ
଴
‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫݌‬
Dérivée
Intégration
9
݂ ሺλሻ ൌ Ž‹ ‫ܨ݌‬ሺ‫݌‬ሻ
Valeur finale
10
݂ ሺͲሻ ൌ Ž‹ ‫ܨ݌‬ሺ‫݌‬ሻ
Valeur initiale
௣՜଴
௣՜ஶ
Tableau II.2 : Propriétés
Ͳ ϭϲͲ
Convolution
La convolution est plus simple dans le domaine de Laplace :
‫ܮ‬ሼ݄ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ݔ כ‬ሺ‫ݐ‬ሻሽ ൌ ‫ ܪ‬ሺ‫݌‬ሻܺሺ‫݌‬ሻ
II.2.3 Transformées inverses
Après avoir multiplié les transformées de Laplace de h(t) et x(t), pour obtenir la réponse finale
dans le domaine du temps, il faut faire la transformée inversH/¶H[SUHVVLRQREWHQXHHVWVRXYHQW
une fonction rationnelle de p F¶HVW OH UDSSRUWGH GHX[ SRO\Q{PHV GH p. Pour la plupart des
V\VWqPHVSK\VLTXHVO¶H[SUHVVLRQREWHQXHHVWXQHIRQFWLRQUDWLRQQHOOHGHp. Si on peut inverser
Q¶LPSRUWHTXHOOHIRQFWLRQUDWLRQQHOOHGHp, on peut résoudre les problèmes de convolution.
'HIDoRQJpQpUDOHLOIDXWWURXYHUODWUDQVIRUPpHLQYHUVHG¶XQHIRQFWLRQTXLDODIRUPH
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܰሺ‫݌‬ሻ
ܽ௡ ‫݌‬௡ ൅ ܽ௡ିଵ ‫݌‬௡ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽଵ ‫ ݌‬൅ ܽ଴
ൌ
‫ܦ‬ሺ‫݌‬ሻ ܾ௠ ‫݌‬௠ ൅ ܾ௠ିଵ ‫݌‬௠ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾଵ ‫ ݌‬൅ ܾ଴
2QSHXWpFULUHO¶H[SUHVVLRQGHF(p) sous une autre forme :
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ݇
ሺ‫ ݌‬൅ ‫ݖ‬ଵ ሻሺ‫ ݌‬൅ ‫ݖ‬ଶ ሻ ǥ ሺ‫ ݌‬൅ ‫ݖ‬௡ ሻ
ሺ‫ ݌‬൅ ‫݌‬ଵ ሻሺ‫ ݌‬൅ ‫݌‬ଶ ሻ ǥ ሺ‫ ݌‬൅ ‫݌‬௡ ሻ
Où zi est appelé un zéro de F(p): ce sont les racines du numérateur, et pi est appelé un pôle de
F(p) : ce sont les racines du dénominateur. De façon générale, F(p) est appelée la fonction de
transfert.
II.2.3.1 Cas où les pôles de F(p) sont tous simples
Dans le cas où le degré du polynôme numérateur de F(p) est inférieur strictement à celui de son
polynôme dénominateur, F(p) peut être mise sous la forme :
௡
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܴ௜
ܰሺ‫݌‬ሻ
ൌ෍
‫ ݌‬െ ‫݌‬௜
‫ܦ‬ሺ‫݌‬ሻ
௜ୀଵ
N(p) et D(p) sont respectivement les polynômes numérateur et dénominateur de F(p). n est
O¶RUGUHGHD(p). pi sont les racines D(p), ils sont appelés les pôles et Ri sont des nombres réels
ou complexes, ils sont appelés les résidus.
ோ
Sachant que la transformation de Laplace inverse de ௣ି௣೔ est donnée par :
೔
ܴ௜
‫ିܮ‬ଵ ൤
൨ ൌ ܴ௜ ݁ ௣೔௧
‫ ݌‬െ ‫݌‬௜
La transformation de Laplace inverse est donnée par :
ͲϭϳͲ
௡
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܴ௜ ݁ ௣೔௧
௜ୀଵ
Les résidus Ri de F(p VRQWVLPSOHPHQWFDOFXOpVSDUO¶H[SUHVVLRQ :
ܴ௜ ൌ Ž‹ ሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬௜ ሻ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ
௣՜௣೔
Exemple
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ʹ
ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ ʹሻ
On peut écrire :
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܭ‬ଵ
‫ܭ‬ଶ
ʹ
ൌ
൅
ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ ʹሻ ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻ ሺ‫ ݌‬൅ ʹሻ
‫ܭ‬ଵ ൌ ʹ
Pour trouver K2, on IDLWOHPrPHSURFHVVXVVDXITX¶RQPXOWLSOLHSDU p + 2) cette fois.
‫ܭ‬ଶ ൌ െʹ
Donc,
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ʹ
െʹ
൅
‫݌‬൅ͳ ‫݌‬൅ʹ
Qui donne la transformée inverse suivante :
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሺʹ݁ ି௧ െ ʹ݁ ିଶ௧ ሻ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Note : La fonction u(t) doit être appliquée à toute transformée inverse. Cependant, pour alléger
OHWH[WHRQQ¶pFULUDSOXVOHu(t).
II.2.3.2 Cas où le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur
/RUVTXHOHGHJUpGXQXPpUDWHXUQ¶HVWSDVLQIpULHXUjFHOXLGXGpQRPLQDWHXUGHODIRQFWLRQ la
décomposition en élément simple ne peut pas être effectuée. Pour expliquer comment pouvoir
calculer la transformation GH /DSODFH LQYHUVH G¶XQH IRQFWLRQ SRXU ODTXHOOH OH GHJUp GH VRQ
numérateur est égal à celui de son dénominateur considérons O¶H[HPSOHVXLYDQW
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ʹ‫݌‬ଶ ൅ ͺ‫ ݌‬൅ ͷ
ʹ‫݌‬ଶ ൅ ͺ‫ ݌‬൅ ͷ
ൌ
ଶ
ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ ʹሻ
‫ ݌‬൅ ͵‫ ݌‬൅ ʹ
Le degré du numérateur de F(p pWDQWpJDOjFHOXLGHVRQGpQRPLQDWHXUDILQG¶effectuer la f(t)
décomposition HQpOpPHQWVVLPSOHVRQGRLWG¶DERUGHIIHFWXHUXQHGLYLVLRQHXFOLGLHQQHGHVRQ
numérateur sur on dénominateur. On obtient
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ʹ ൅
ʹ‫ ݌‬൅ ͳ
ʹ‫ ݌‬൅ ͳ
ൌ ʹ൅
ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ ʹሻ
‫݌‬ଶ ൅ ͵‫ ݌‬൅ ʹ
On peut décomposée en éléments simples comme suit
ͲϭϴͲ
‫ ܨ‬ሺ‫ ݏ‬ሻ ൌ ʹ െ
͵
ͳ
൅
‫݌‬൅ͳ ‫݌‬൅ʹ
La transformé de Laplace inverse est donnée par :
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ʹߜሺ‫ݐ‬ሻ െ ݁ ି௧ ൅ ͵݁ ିଶ௧
ߜ ሺ‫ݐ‬ሻ: La fonction impulsion.
II.2.3.3 Cas où F(p) admet un pôle multiple
2QVXSSRVHTXHO¶RUGUHGHPXOWLSOLFLWpGHFHS{OHHVWpJDOjm. Dans ce cas, F(p) est écrite sous
la forme :
௡ି௠
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ෍
௜ୀଵ
ܿ଴
ܿ௠
ܿଵ
ܴ௜
൅
൅ ‫ڮ‬൅
൅
ሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ
‫ ݌‬െ ‫݌‬௜ ሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௠ ሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௠ିଵ
Il faut noter que dans ce cas aussi, F(p) est décomposé en n termes puisque le degré de son
dénominateur est égal à n. La transformation de Laplace inverse des termes simples est de la
forme ܴ௜ ݁ ௣೔௧ . Par contre, La transformation de Laplace inverse des termes dus à la racine
multiple est donnée sous la forme
ܿ௜
൨ ൌ ܿ௜ ‫ ݐ‬௥ିଵ ݁ ௣బ ௧ ‫ ݎ‬ൌ ͳǡ ‫݉ ڮ‬
‫ିܮ‬ଵ ൤
ሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௥
Les coefficients ci sont calculés comme suit :
ܿ଴ ൌ ሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௠ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻȁ௣ୀ௣బ
ܿଵ ൌ
݀
ሾሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௠ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሿȁ௣ୀ௣బ
݀‫݌‬
ܿଶ ൌ
ͳ ݀ଶ
ሾሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௠ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሿȁ௣ୀ௣బ
ʹǨ ݀‫݌‬ଶ
ܿଶ ൌ
ͳ ݀ଶ
ሾሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௠ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሿȁ௣ୀ௣బ
ʹǨ ݀‫݌‬ଶ
ܿ௜ ൌ
ͳ ݀௜
ሾሺ‫ ݌‬െ ‫݌‬଴ ሻ௠ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሿȁ௣ୀ௣బ
݅Ǩ ݀‫݌‬௜
Exemple
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫݌‬െʹ
‫݌‬െʹ
ൌ
‫݌‬ଷ ൅ ͷ‫݌‬ଶ ൅ ͺ‫ ݌‬൅ Ͷ ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ ʹሻଶ
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܴଵ
ܿ଴
ܿଵ
൅
൅
‫ ݌‬൅ ͳ ሺ ‫ ݌‬൅ ʹ ሻଶ ‫ ݌‬൅ ʹ
ܴଵ ൌ ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻȁ௣ୀିଵ ൌ െ͵
ܿ଴ ൌ ሺ‫ ݌‬൅ ʹሻଶ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻȁ௣ୀିଶ ൌ Ͷ
ͲϭϵͲ
ܿଵ ൌ
݀ ‫݌‬െʹ
൤
൨ฬ
ൌ͵
݀‫ ݌ ݌‬൅ ͳ ௣ୀିଶ
6DWUDQVIRUPDWLRQGH/DSODFHLQYHUVHV¶pFULWDORUV :
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ െ͵݁ ି௧ ൅ Ͷ‫ି ݁ݐ‬ଶ௧ ൅ ͵݁ ିଶ௧
II.2.3.4 Cas où F(p) admet deux pôles complexes
Lorsque la fonction F(p) possède un pôle complexe, il est évidenWTX¶HOOHHQSRVVqGHGHX[S{OHV
complexes conjugués. Dans ce cas, au lieu de la décomposer en éléments simples comme dans
le cas de pôles réels simples, il est recommandé de procéder comme suit. Pour illustrer la
PpWKRGHFRQVLGpURQVO¶H[HPSOHQXPpULTXHVXLYDQW
Exemple
Calculer la transformation de Laplace inverse de la fonction F(p) donnée par :
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ൌ
‫݌‬ଶ ൅ ‫ ݌‬൅ ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ξ͵
ξ͵
ቆ‫ ݌‬൅ ʹ ൅ ݆ ቇ ቆ‫ ݌‬൅ െ ݆ ቇ
ʹ
ʹ
ʹ
Au lieu de la décomposer en éléments simples, il est préférable de réécrire F(p) sous la forme
particulière suivante qui fait ressortir la transformation de Laplace de la fonction sinus.
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
ξ͵
ξ͵
ቆ‫ ݌‬൅ ൅ ݆ ቇ ቆ‫ ݌‬൅ െ ݆ ቇ
ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
ͳ
ൌ
ଶ
ͳ
ξ͵
ቀ‫ ݌‬൅ ቁ ൅ ቆ ቇ
ʹ
ʹ
ଶ
Pour utiliser la transformation de Laplace de la fonction sinus, il faut alors multiplier et diviser
F(p) par le terme
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ξଷ
‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ
ଶ
devient :
ξ͵
ʹ
ʹ
ξ͵
ͳ ଶ
ξ͵
ቀ‫ ݌‬൅ ቁ ൅ ቆ ቇ
ʹ
ʹ
ଶ
La transformation de Laplace est donnée par
݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ
ʹ
ξ͵
ଵ
݁ ିଶ௧ •‹ ቆ
ξ͵
‫ݐ‬ቇ
ʹ
ͲϮϬͲ
Exercices sur la transformée de Laplace
Exercice N°1
Trouver la transformation de Laplace des fonctions suivantes :
1. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݑݐ߱݊݅ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ.
2. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ ି௔௧ ‫ݑݐ߱݊݅ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
3. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܿ‫ݑݐ߱ݏ݋‬ሺ‫ݐ‬ሻ.
4. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ ି௔௧ ܿ‫ݑݐ߱ݏ݋‬ሺ‫ݐ‬ሻ.
Exercice N°2
Donner la transformation de Laplace de la fonction f :
‫ Ͳݐ‬൑ ‫ ݐ‬൑ ͳ
݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ቄ
ʹ െ ‫ ͳݐ‬൑ ‫ ݐ‬൑ ʹ
Exercice N°3
Trouver la transformation de Laplace de la fonction :
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ʹ݁ ି௧ ‘• ͳͲ‫ ݐ‬െ ‫ ݐ‬ସ ൅ ͸݁ ିሺ௧ିଵ଴ሻ ‫ݑ‬ሺ‫ ݐ‬െ ͳͲሻ
Exercice N°4
Trouver O¶RULJLQHGHVIRQFWLRQVVXLYDQWHV :
ଶ௣ାଷ
1. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ሺ௣ାଷሻ
ଵ଴
2. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାସሻሺ௣ାଶሻయ
3. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௣మ ିଷ
ଶ௣మ ା௣ିଵ
Exercice N°5
En utilisant les théorèmes des valeurs initiale et finale, calculez ݂ሺͲሻ et ݂ሺλሻ pour les fonctions
suivantes :
1. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
2. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௣మ ାଶ௣ାସ
௣య ାଷ௣మ ାଶ௣
௣య ାଶ௣మ ା଺௣ା଼
௣య ାସ௣
Exercice N°6
Calculer les transformées de Laplace inverse des fonctions suivantes :
ͲϮϭͲ
Exercice N°10
5pVRXGUHO¶pTXDWLRQdifférentielle suivante :
‫ݕ‬ሷ ൅ ʹ‫ݕ‬ሶ ൅ ʹ ൌ ݁ ି௧ avec ‫ݕ‬ሺͲሻ ൌ ͳ‡–‫ݕ‬ሶ ሺͲሻ ൌ ʹ
Solutions des exercices
Exercice N°1
1. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ •‹ ߱‫ݑ ݐ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ାஶ
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ න
•‹ ߱‫ି ݁ ݐ‬௣௧ ݀‫ݐ‬
଴
ାஶ
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ න
଴
݁ ௝ఠ௧ െ ݁ ି௝ఠ௧ ି௣௧
݁ ݀‫ݐ‬
ʹ݆
ͳ ାஶ
ܺሺ‫݌‬ሻ ൌ න ൣ݁ ିሺ௣ି௝ఠሻ௧ െ ݁ ିሺ௣ା௝ఠሻ௧ ൧݀‫ݐ‬
ʹ݆ ଴
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
߱
൤
െ
൨ൌ ଶ
‫ ݌‬൅ ߱ଶ
ʹ݆ ‫ ݌‬െ ݆߱ ‫ ݌‬൅ ݆߱
2. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ ି௔௧ •‹ ߱‫ݐ‬
ାஶ
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ න
•‹ ߱‫ି ݁ ݐ‬ሺ௔ା௣ሻ௧ ݀‫ݐ‬
଴
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
߱
൤
െ
൨ൌ
ሺ‫ ݌‬൅ ܽ ሻ ଶ ൅ ߱ ଶ
ʹ݆ ‫ ݌‬൅ ܽ െ ݆߱ ‫ ݌‬൅ ܽ ൅ ݆߱
3. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‘• ߱‫ݐ‬
ାஶ
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ න
‘• ߱‫ି ݁ ݐ‬௣௧ ݀‫ݐ‬
଴
ାஶ
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ න
଴
݁ ௝ఠ௧ ൅ ݁ ି௝ఠ௧ ି௣௧
݁ ݀‫ݐ‬
ʹ
ͳ ାஶ
ܺሺ‫݌‬ሻ ൌ න ൣ݁ ିሺ௣ି௝ఠሻ௧ ൅ ݁ ିሺ௣ା௝ఠሻ௧ ൧݀‫ݐ‬
ʹ ଴
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
‫݌‬
൤
൅
൨ൌ ଶ
ʹ ‫ ݌‬െ ݆߱ ‫ ݌‬൅ ݆߱
‫ ݌‬൅ ߱ଶ
4. ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ ି௔௧ ‘• ߱‫ݐ‬
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ሺ‫ ݌‬൅ ܽ ሻ
ሺ‫ ݌‬൅ ܽ ሻଶ ൅ ߱ ଶ
Ͳ ϮϯͲ
Exercice N°2
ଵ
ଶ
‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ න ‫ି ݁ݐ‬௣௧ ݀‫ ݐ‬൅ න ሺʹ െ ‫ݐ‬ሻ݁ ି௣௧ ݀‫ݐ‬
଴
ଵ
ଵ
‫ܫ‬ଵ ൌ න ‫ି ݁ݐ‬௣௧ ݀‫ ݐ‬ൌ െ
଴
݁ ି௣ ͳ ͳ ି௣
൅ െ ݁
‫݌‬ଶ ‫݌‬ଶ ‫݌‬
ଶ
‫ܫ‬ଶ ൌ න ሺʹ െ ‫ݐ‬ሻ݁ ି௣௧ ݀‫ ݐ‬ൌ ଵ
‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ܫ‬ଵ ൅ ‫ܫ‬ଶ ൌ
െ݁ ି௣ ݁ ିଶ௣ ͳ ି௣
൅ ଶ ൅ ݁
‫݌‬
‫݌‬
‫݌‬ଶ
ͳ ିଶ௣
݁ ି௣ െ ͳ ଶ
ሾ݁
െ ʹ݁ ି௣ ൅ ͳሿ ൌ ൬
൰
ଶ
‫݌‬
‫݌‬
Exercice N°3
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ʹ݁ ି௧ ‘• ͳͲ‫ ݐ‬െ ‫ ݐ‬ସ ൅ ͸݁ ିሺ௧ିଵ଴ሻ ‫ݑ‬ሺ‫ ݐ‬െ ͳͲሻ
‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ʹ ൈ ܶ‫ܮ‬ሼ݁ ି௧ ‘• ͳͲ‫ݐ‬ሽ െ ܶ‫ܮ‬ሼ‫ ݐ‬ସ ሽ ൅ ͸ ൈ ܶ‫ܮ‬൛݁ ିሺ௧ିଵ଴ሻ ‫ݑ‬ሺ‫ ݐ‬െ ͳͲሻൟ
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ʹ ൈ
‫݌‬൅ͳ
ʹͶ
݁ ିଵ଴௣
െ ହ ൅͸ൈ
ଶ
ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻ ൅ ͳͲͲ ‫݌‬
‫݌‬൅ͳ
Exercice N°4
ଶ௣ାଷ
஺
஻
1. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ሺ௣ାଷሻ ൌ ௣ ൅ ௣ାଷ
‫ ܣ‬ൌ ͳǢ ‫ ܤ‬ൌ ͳ
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
൅
‫݌ ݌‬൅͵
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሺͳ ൅ ݁ ିଷ௧ ሻ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ଵ଴
஺
஺
஺
஺
భ
మ
య
2. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାସሻሺ௣ାଶሻయ ൌ ௣ାସ ൅ ሺ௣ାଶሻ
య ൅ ሺ௣ାଶሻమ ൅ ሺ௣ାଶሻ
ͷ
ͷ
ͷ
‫ ܣ‬ൌ െ Ǣ‫ܣ‬ଵ ൌ ͷǢ‫ܣ‬ଶ ൌ െ Ǣ ‫ܣ‬ଷ ൌ
Ͷ
ʹ
Ͷ
ͷ ିସ௧ ͷ ଶ ିଶ௧ ͷ ିଶ௧ ͷ ିଶ௧
݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ െ ݁
൅ ‫݁ ݐ‬
െ ‫݁ݐ‬
൅ ݁
Ͷ
ʹ
ʹ
Ͷ
3. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௣మ ିଷ
ଶ௣మ ା௣ିଵ
ൌ
Exercice N°5
௣మ ାଶ௣ାସ
1. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣య ାଷ௣మ ାଶ௣
Ž‹ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ž‹ ‫ ܨ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ Ž‹ ‫݌‬
௧՜଴
௣՜ஶ
௣՜ஶ
Ž‹ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ž‹ ‫ ܨ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ Ž‹ ‫݌‬
௧՜ஶ
௦՜଴
௣՜଴
‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫ ݌‬൅ Ͷ
ൌͳ
‫݌‬ଷ ൅ ͵‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫݌‬
‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫ ݌‬൅ Ͷ
ൌʹ
‫݌‬ଷ ൅ ͵‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫݌‬
Ͳ ϮϰͲ
2. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௣య ାଶ௣మ ା଺௣ା଼
௣య ାସ௣
Ž‹ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ž‹ ‫ ܨ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ Ž‹ ‫݌‬
௧՜଴
௣՜ஶ
௣՜ஶ
Ž‹ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ž‹ ‫ ܨ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ Ž‹ ‫݌‬
௧՜ஶ
௣՜଴
௣՜଴
‫݌‬ଷ ൅ ʹ‫݌‬ଶ ൅ ͸‫ ݌‬൅ ͺ
ൌλ
‫݌‬ଷ ൅ Ͷ‫݌‬
‫݌‬ଷ ൅ ʹ‫݌‬ଶ ൅ ͸‫ ݌‬൅ ͺ
‫݌‬ଷ ൅ ʹ‫݌‬ଶ ൅ ͸‫ ݌‬൅ ͺ
ൌ Ž‹ ‫݌‬
௣՜଴ ‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ʹ݆ ሻሺ‫ ݌‬െ ʹ݆ ሻ
‫݌‬ଷ ൅ Ͷ‫݌‬
A cause de la présence de deux pôles imaginaires purs, la condition de calcul de ݂ ሺλሻ
Q¶HVWSDVVDWLVIDLVDQWH
Exercice N°6
ሺ௣ି଼ሻ
௣ି଼
1. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ି଼ሻమ ାଶହ ൌ ሺ௣ି଼ሻమ ାሺହሻమ
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሺ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሻ ൌ ሾ݁ ଼௧ ‘•ሺͷ‫ݐ‬ሻሿ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
௣ାଵ
௣
ଵ
ଶ
2. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ାସ ൌ ௣మ ାሺଶሻమ ൅ ଶ ௣మ ାሺଶሻమ
ͳ
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሺ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሻ ൌ ൤ ‘•ሺʹ‫ݐ‬ሻ ൅ •‹ሺʹ‫ݐ‬ሻ൨ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ʹ
ሺ௣ିଶሻ
௣ିଶ
3. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ିଶሻమ
ାସ
ൌ ሺ௣ିଶሻమାሺଶሻమ
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሺ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሻ ൌ ሾ݁ ଶ௧ ‘•ሺʹ‫ݐ‬ሻሿ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ଵ
4. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻమ ൅
ଵ
ଵ
௣మ ାଵ
ଵ
ൌ ሺ௣ାଵሻమ ൅ ௣మ ାሺଵሻమ
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሺ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻሻ ൌ ሾ‫ି ݁ݐ‬௧ ൅ •‹ሺ‫ݐ‬ሻሿ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Exercice N°7
1. ‫ݕ‬ሷ ൅ Ͷ‫ݕ‬ሶ ൅ ͵‫ ݕ‬ൌ ͸
֜ ‫݌‬ଶ ܻሺ‫݌‬ሻ ൅ Ͷ‫ܻ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ͵ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ
֜ ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
͸
‫݌‬
͸
ʹ
͵
ͳ
ൌ െ
൅
‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ ͵ሻ ‫ ݌ ݌‬൅ ͳ ‫ ݌‬൅ ͵
֜ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ൫ܻሺ‫݌‬ሻ൯ ൌ ሾʹ െ ͵݁ ି௧ ൅ ݁ ିଷ௧ ሿ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
2. ‫ݕ‬ሷ ൅ ͵‫ݕ‬ሶ ൅ ʹ‫ ݕ‬ൌ ͳ
֜ ‫݌‬ଶ ܻሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ ݌‬െ ʹ ൅ ͵‫ܻ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ͵ ൅ ʹܻሺ‫݌‬ሻ ൌ
֜ ࢅ ሺ ࢖ሻ ൌ
ି࢖૛ ି࢖ା૚
࢖ሺ࢖ା૚ሻሺ࢖ା૛ሻ
ൌ
ଵ
૚
૛࢖
െ
૚
࢖ା૚
൅
૚
૛ሺ࢖ା૛ሻ
ଵ
֜‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሺܻሺ‫݌‬ሻሻ ൌ ቂଶ െ ݁ ି௧ െ ଶ ݁ ିଶ௧ ቃ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Ͳ ϮϱͲ
ͳ
‫݌‬
Exercice N°8
1. Calculons la transformée de Laplace de la fonction f(t)
W
‫ܣ‬
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ݁ ି௣௧ ݀‫ ݐ‬ൌ න ‫ି ݁ܣ‬௣௧ ݀‫ ݐ‬ൌ െ ሾ݁ ି௣௧ ሿW଴
‫݌‬
଴
ାஶ
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ න
଴
஺
'¶R : ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ ሾͳ െ ݁ ିW௣ ሿ
2. On remarque que :
݃ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ݂ ሺ‫ ݐ‬െ ܶሻ ൅ ݂ ሺ‫ ݐ‬െ ʹܶሻ ൅ ‫ ڮ‬൅ ݂ ሺ‫ ݐ‬െ ݊ܶሻ avec ݊ ՜ λ
On a alors:
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ܮ‬ሾ݃ሺ‫ݐ‬ሻሿ ൌ ‫ܮ‬ሾ݂ሺ‫ݐ‬ሻሿ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
ൌ ‫ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ
ͳ െ ݁ ି்௣
ͳ െ ݁ ି்௣
‫ܣ‬ሺͳ െ ݁ ିW௣ ሻ
‫݌‬ሺͳ െ ݁ ି்௣ ሻ
Exercice N°9
On applique le théorème (les pôles de F(p) ont des parties réelles négatives).
݂ሺλሻ ൌ Ž‹ ‫ܨ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ Ž‹
௣՜଴
௣՜଴ ‫ ݌‬ଶ
͵
ൌ ͲǤ͸
൅ ʹ‫ ݌‬൅ ͷ
On peut confirmer ce résultat avec la valeur calculée de f (t).
Exercice N°10
Il suffit pour résoudre cette équation d'en calculer la transformée de Laplace :
ͳ
ʹ
ሾ‫݌‬ଶ ܻሺ‫݌‬ሻ െ ‫ ݌‬െ ʹሿ ൅ ʹሾ‫ܻ݌‬ሺ‫݌‬ሻ െ ͳሿ ൅ ൌ
‫݌ ݌‬൅ͳ
Alors
ଶ
ଵ
ܻሺ‫݌‬ሻሾ‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫݌‬ሿ ൌ ‫ ݌‬൅ Ͷ െ ௣ ൅ ௣ାଵ
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ Ͷሻ െ ʹሺ‫ ݌‬൅ ͳሻ ൅ ‫݌‬
‫݌‬ଶ ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ ʹሻ
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܽ ܾ
ܿ
݀
൅ ൅
൅
‫݌‬ଶ ‫ ݌ ݌‬൅ ͳ ‫ ݌‬൅ ʹ
ൌ
െͳ ͵
ͳ
ͳ
൅ െ
െ
‫݌‬ଶ ‫ ݌ ݌‬൅ ͳ ‫ ݌‬൅ ʹ
Ce qui permet d'écrire, par transformée inverse de Laplace :
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ െ‫ ݐ‬൅ ͵ െ ݁ ି௧ െ ݁ ିଶ௧
Ͳ ϮϲͲ
Exercices supplémentaires
Exercice 1
Calculer la transformée de Laplace de la fonction suivante :
௧
݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ቄ݁ ‫ ݐ‬൑ ʹ
͵‫ ݐ‬൐ ʹ
Exercice 2
Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes :
1. ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͵ ൅ ʹ‫ ݐ‬ଶ
2. ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͷ •‹ሺ͵‫ݐ‬ሻ െ ͳ͹݁ ିଶ௧
3. ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ ି௧ ‫•‘ ݐ‬ሺʹ‫ݐ‬ሻ
Exercice 3
Calculer la transformée de Laplace de la fonction suivante :
ʹ‫ ݐݐ‬൑ ʹ
݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ቄ
Ͷ‫ ݐ‬൐ ʹ
Exercice 4
Calculer la transformée de Laplace inverse des fonctions suivantes :
1. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௣
௣ା଺
ହ௣
2. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻమ
௣ାଵ
3. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ିଽ
௣
4. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ିଶሻమ ାଽ
௣ାସ
5. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ାସ௣ା଼
ଵ
6. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻሺ௣మ ାଵሻ
௣ାଷ
7. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ିଶሻሺ௣ାଵሻ
௣
8. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻమ ାହ
ଵ
9. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ିଶ௣ାଶ
10. ‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ଵ
௣మ ାସ
Exercice 5
ଶ
Soit ‫ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ O¶LPDJHG¶XQFRXUDQWi(t) telle que : ‫ ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ା଻௣ାଵଶ
1. Calculer ݅ሺͲሻ et ݅ሺλሻ en utilisant les théorèmes de la valeur initiale et finale.
ͲϮϳͲ
2. Déterminer ݅ሺ‫ݐ‬ሻ.
Exercice 6
2QFRQVLGqUHO¶H[SUHVVLRQVXLYDQWHDYHF ܻሺ‫݌‬ሻ la transformée de Laplace de la sortie ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ G¶XQ
système linéaire :
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ ൅ ͷ‫ ݌‬൅ ͵‫݌‬ଶ
ሺ‫݌‬ଶ ൅ ͳሻሺͳ ൅ ͵‫݌‬ሻ
Calculer ‫ݕ‬ሺͲሻ, ‫ݕ‬ሺλሻ et
ௗ௬ሺ଴ሻ
ௗ௧
Exercice 7
Soit la fonction s(t) définie par :
Ͳ‫ ݐ‬൏ Ͳ
‫ݐܣ‬
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ൞ Ͳ ൏ ‫ ݐ‬൏ ܶ
ܶ
‫ ݐܣ‬൐ ܶ
Avec A et T sont des constantes et t désigne la variable temps.
1. Tracer la fonction s(t).
2. Calculer, en utilisant la définition, la transformée de Laplace de s(t).
Exercice 8
On considère le signal x(t) défini par :
Ͳ‫ ݐ‬൏ Ͳ
‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ൝‫ Ͳݐ‬൑ ‫ ݐ‬൏ ͳͲ
Ͳ‫ ݐ‬൑ ͳͲ
1. Tracer la fonction ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ.
2. On note ܺሺ‫݌‬ሻ la transformée de Laplace du signal x(t).
ଵ
Montrer que ܺ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ െ
ଵାଵ଴௣
௣మ
݁ ିଵ଴௣
Exercice 9
Calculer les valeurs des fonctions y(t), ‫ݕ‬ሺͲሻǡ ‫ݕ‬ሶ ሺͲሻǡ ‫ݕ‬ሺλሻ dont les transformations de Laplace
Y(p) sont données par :
ଵାଷ௣
x
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻమ ሺ௣ାଶሻ
x
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣మ
௣ାଶ
ାଷ௣ାଵሻ
Exercice 10
Trouver la transformation de Laplace inverse des fonctions Y(p)
௣ାଶ
x
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣మ
x
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻమ ሺ௣ାଷሻ
ା଻௣ାଵଶሻ
௣ାଶ
ͲϮϴͲ
௣ାଶ
x
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣మ ାସ௣ା଻ሻ
x
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
x
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ݁ ିଷ௣
ଷ௣మ ାଶ
௣ሺ௣ାଵሻ
ଷ௣ାଵ
௣ାଵ
Exercice 11
6RLWO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH :
‫ݕ‬ሷ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ͳͲ‫ݕ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͲǤͳ݁ሺ‫ݐ‬ሻ
Pour laquelle les conditions initiales sont : ‫ݕ‬ሺͲሻ ൌ Ͳǡ ‫ݕ‬ሶ ሺͲሻ ൌ Ͳ
1. 'pWHUPLQHUO¶H[SUHVVLRQGHY(p) en fonction de E(p)
2. Quel est le SRO\Q{PHFDUDFWpULVWLTXHGHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH"
3. 'pWHUPLQHUODVROXWLRQGHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHORUVTXHH W HVWXQpFKHORQXQLWDLUH
ͲϮϵͲ
Chapitre III Représentation temporelles des systèmes
Tous les systèmes étudies sont causaux linéaires et invariants.
III.1 Représentation par une équation différentielle
Dans le cas où un système à temps continu à la fois linéaire et invariant possède une seule entrée
et une seule sortie, sa relation entrée-sortie peut être décrite par une équation différentielle
G L\
GL H
σQL F DL L σP
L EL GWL
GW
Où
x
Les coefficients ai et bi sont des constants réelles, telles que ac, an, b0 et bm soient non
nuls.
x
n, m sont des entiers positifs tels que mdn, n HVWO¶RUGUHGXV\VWqPH
x
cdn est un entier positif ou nul appelé classe du système. x
La solution de cette équation appelée réponse temporelle du système.
Exemple : Circuit RC
Soit le circuit RC
Figure III.1 : Circuit RC
Les équations électriques sont :
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܴ݅ ൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݅ൌ‫ܥ‬
݀‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
Nous pouvons REWHQLUXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHG¶RUGUHUHOLDQWODVRUWLHs(t) HWO¶HQWUpHe(t).
݀‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
݀‫ݏ‬
ͳ
ͳ
݀‫ݏ‬
൅
‫ݏ‬ൌ
݁
ܴ‫ ܥ‬൅ ‫ ݏ‬ൌ ݁ ՜
݀‫ܥܴ ݐ‬
ܴ‫ܥ‬
݀‫ݐ‬
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܴ‫ܥ‬
ͲϯϬͲ
III.2 Représentation par fonction de transfert
2Q SHXW GRQQHU G¶XQ V\VWqPH OLQpDLUH LQYDULDQWPRQR-entrée mono-sortie une représentation
H[WHUQHVLPSOHREWHQXHSDUWUDQVIRUPDWLRQGHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHQpTXDWLRQDOJpEULTXH
Pour cela on utilise la transformée de Laplace.
6RLWXQV\VWqPHOLQpDLUHLQYDULDQWG¶HQWUpHe et de sortie y. on appelle fonction de transfert du
V\VWqPHOHUDSSRUWGHVWUDQVIRUPpHVGH/DSODFHGHODVRUWLHHWGHO¶HQWUpHjFRQGLWLRQLQLWLDOHV
nulles (CI=0).
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܻሺ‫݌‬ሻ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
Le terme de transmittance synonyme de fonction de transfert est parfois utilisé.
Remarques
x
Le concept de fonction de transfert permet de représenter le comportement dynamique
du système de manière algébrique (le rapport sortie/entrée est variable dans le temps).
x
La fonction de transfert est une caractéristique indépendante de l'amplitude et de la
nature de l'entrée du système.
x
C'est un modèle entrée-sortie qui ne contient aucune information sur la structure interne
physique du système.
Exemple 1
1RXVUHSUHQRQVO¶H[HPSOHGXFLUFXLW5&
݀‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ܴ‫ܥ‬
൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
En prenant la transformée de Laplace
‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ܴ‫ܵ݌ܥ‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ܵሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺܴ‫ ݌ܥ‬൅ ͳሻܵሺ‫݌‬ሻ
On peut former la fonction de transfert :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ܵሺ‫݌‬ሻ
ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ͳ ൅ ܴ‫݌ܥ‬
Exemple 2 : Amortisseur
Considérons le système décrit par la figure suivante :
ͲϯϭͲ
III.4 &RUUHVSRQGDQFHHQWUHUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDWHWIRQFWLRQGHWUDQVIHUW
III.4.1 3DVVDJHGHODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDWjODIRQFWLRQGHWUDQVIHUW
Appliquons-la WUDQVIRUPpHGH/DSODFHjODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDW
݀‫ݔ‬
൝ ݀‫ ݐ‬ൌ ‫ ݔܣ‬൅ ‫݁ܤ‬
‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔܥ‬൅ ‫݁ܦ‬
On obtient le système :
൜
‫ܺ݌‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ‫ܺܣ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൅ ‫ܧܤ‬ሺ‫݌‬ሻ
ܻሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ‫ܺܥ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൅ ‫ܧܦ‬ሺ‫݌‬ሻ
Soit:
ܺ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ ൈ ‫ ܤ‬ൈ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
൜
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ܺܥ‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ܧܦ‬ሺ‫݌‬ሻ
Où I est la matrice identité.
Finalement :
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሾ‫ ܥ‬ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ ‫ ܤ‬൅ ‫ܦ‬ሿ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ൌ ‫ ܥ‬ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ ‫ ܤ‬൅ ‫ܦ‬
ܷሺ‫݌‬ሻ
Exemple 1
Calculer la fonction de transfert du système suivant :
ͳͲ
Ͳ
ͳ
Ͳ
‫ݔ‬ሶ ൌ ൥ Ͳ
Ͳ
ͳ ൩‫ ݔ‬൅ ൥ Ͳ ൩݁
Ͳ
െͳ െʹ െ͵
ሾ
ሿ
‫ݕ‬ൌ ͳ Ͳ Ͳ‫ݔ‬
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܥ‬ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ ‫ ܤ‬൅ ‫ܦ‬
‫݌‬
‫ ܫ݌‬െ ‫ ܣ‬ൌ ൥Ͳ
Ͳ
Ͳ
‫݌‬
Ͳ
Ͳ
‫݌‬
Ͳ
ͳ
Ͳ
Ͳ൩ െ ൥ Ͳ
Ͳ
ͳ ൩ ൌ ൥Ͳ
‫݌‬
ͳ
െͳ െʹ െ͵
െͳ
‫݌‬
ʹ
Ͳ
െͳ ൩
‫݌‬൅͵
ሺ‫݌‬ଶ ൅ ͵‫ ݌‬൅ ʹሻ
‫݌‬൅͵
ͳ
െͳ
‫݌‬ሺ ‫ ݌‬൅ ͵ ሻ
‫݌‬ቮ
݆ܽ݀ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻ
െ‫݌‬
െሺʹ‫ ݌‬൅ ͳሻ ‫݌‬ଶ
ൌ
ൌ
‫݌‬ଷ ൅ ͵‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫ ݌‬൅ ͳ
†‡–ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻ
ቮ
ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ
Finalement on trouve la fonction de transfert suivante :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳͲሺ‫݌‬ଶ ൅ ͵‫ ݌‬൅ ʹሻ
‫݌‬ଷ ൅ ͵‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫ ݌‬൅ ͳ
Exemple 2
'pWHUPLQHUODIRQFWLRQGHWUDQVIHUWjSDUWLUGHODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDWVXLYDQWH :
ͲϯϯͲ
‫ݔ‬ሶ ൌ ቂ
െ͵
െʹ
‫ ݕ‬ൌ ሾͳ
ͳ
Ͳ
ቃ‫ ݔ‬൅ ቂ ቃ݁
ͳ
ͳ
Ͳሿ ‫ݔ‬
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܥ‬ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ ‫ ܤ‬൅ ‫ܦ‬
ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻି૚ ൌ
ͳ
‫݌‬െͳ
ͳ
ൈ൤
൨
െʹ
‫݌‬൅͵
ሺ‫ ݌‬൅ ͵ሻሺ‫ ݌‬െ ͳሻ ൅ ʹ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
ൈ ሺͳ
ሺ‫ ݌‬൅ ͵ሻሺ‫ ݌‬െ ͳሻ ൅ ʹ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
‫݌‬ଶ ൅ ʹ‫ ݌‬െ ͳ
Ͳሻ ൈ ൬
‫݌‬െͳ
െʹ
ͳ
Ͳ
൰ቀ ቁ
‫݌‬൅͵ ͳ
III.4.2 3DVVDJHGHODIRQFWLRQGHWUDQVIHUWjODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDW
III.4.2.1 Méthode des variables de phase
Une méthode pour FRQYHUWLU XQH IRQFWLRQ GH WUDQVIHUW j XQ HVSDFH G¶pWDW OD PpWKRGH GHV
variables de phase.
Soit une équation différentielle :
݀ ௡ିଵ ‫ݕ‬
݀‫ݕ‬
݀௡ ‫ݕ‬
൅ ܽ௡ିଵ ௡ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽଵ
൅ ܽ଴ ൌ ܾ଴ ݁
௡
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
On choisit la sortie y(t) et les (n- GpULYpHVFRPPHYDULDEOHVG¶ptat. Donc :
‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݕ‬
‫ۓ‬
݀‫ݕ‬
ۖ ‫ݔ‬ଶ ൌ
݀‫ݐ‬
‫ڭ‬
‫۔‬
݀ ௡ିଵ ‫ݕ‬
ۖ
‫ݔە‬௡ ൌ ݀‫ ݐ‬௡ିଵ
Puis, on dérive de chaque côté :
݀‫ݕ‬
‫ݔ ۓ‬ሶ ଵ ൌ
݀‫ݐ‬
ۖ
ۖ
݀ଶ‫ݕ‬
‫ݔ‬ሶ ଶ ൌ
݀‫ݐ‬
‫۔‬
‫ڭ‬
ۖ
݀௡ ‫ݕ‬
ۖ
ൌ
‫ݔ‬ሶ
௡
‫ە‬
݀‫ ݐ‬௡
En combinant les équations, on obtient :
‫ݔ‬ሶ ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ሶ ଶ ൌ ‫ݔ‬ଷ
‫ڭ‬
‫۔‬
‫ݔ‬ሶ ௡ିଵ ൌ ‫ݔ‬௡
ۖ
‫ݔە‬ሶ ௡ ൌ െܽ଴ ‫ݔ‬ଵ െ ܽଵ ‫ݔ‬ଶ ‫ ڮ‬െ ܽ௡ିଵ ‫ݔ‬௡ ൅ ܾ଴ ݁
‫ۓ‬
ۖ
Sous forme matricielle,
ͲϯϰͲ
‫ݔ‬ሶ ଵ
Ͳ
‫ݔ ۍ‬ሶ ‫Ͳ ۍ ې‬
ଶ
‫ێ‬
‫ێ ۑ‬
‫ۑ ڭ ێ‬ൌ‫ڭ ێ‬
‫ݔ‬ሶ
‫ ێ‬௡ିଵ ‫Ͳ ێ ۑ‬
‫ݔ ۏ‬ሶ ௡ ‫ۏ ے‬െܽ଴
ͳ
Ͳ
Ͳ Ͳ
ͳ Ͳ
Ͳ
Ͳ
െܽଵ
Ͳ
‫ݔ‬ଵ
‫Ͳ ڮ‬
Ͳ
‫ݔ ۍ ې Ͳ ڮ‬ଶ ‫ې Ͳ ۍ ې‬
‫ۑ ێ ۑ ڭ ێۑ‬
‫ڰ‬
‫ێۑ‬
‫ۑ‬൅ ‫݁ۑ ڭ ێ‬
ͳ ‫ݔێ ۑ‬௡ିଵ ‫ۑ Ͳ ێ ۑ‬
െܽ௡ିଵ ‫ݔ ۏ ے‬௡ ‫ܾۏ ے‬଴ ‫ے‬
Et la sortie,
‫ ݕ‬ൌ ሾͳ
Ͳ
Ͳ
‫ݔ‬ଵ
‫ݔ ۍ‬ଶ ‫ې‬
‫ێ‬
‫ۑ‬
‫Ͳ ڮ‬ሿ ‫ۑ ڭ ێ‬
‫ݔ‬
‫ ێ‬௡ିଵ ‫ۑ‬
‫ݔ ۏ‬௡ ‫ے‬
Exemple
&RQYHUWLUODIRQFWLRQGHWUDQVIHUWVXLYDQWHHQHVSDFHG¶pWDW :
ʹͶ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ‫݌‬ଷ ൅ ͻ‫݌‬ଶ ൅ ʹ͸‫ ݌‬൅ ʹͶ
On a : ሺ‫݌‬ଷ ൅ ͻ‫݌‬ଶ ൅ ʹ͸‫ ݌‬൅ ʹͶሻܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ʹͶ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ݕ‬ഺ ൅ ͻ‫ݕ‬ሷ ൅ ʹ͸‫ݕ‬ሶ ൅ ʹͶ‫ ݕ‬ൌ ʹͶ݁
/HVYDULDEOHVG¶état sont :
‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݕ‬
‫ۓ‬
ۖ ‫ݔ‬ଶ ൌ ݀‫ݕ‬
݀‫ݐ‬
ଶ
‫۔‬
ۖ‫ ݔ‬ൌ ݀ ‫ݕ‬
ଶ
‫ە‬
݀‫ ݐ‬ଶ
/HVpTXDWLRQVG¶pWDW
‫ݔ‬ሶ ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ሶ ଶ ൌ ‫ݔ‬ଷ
൞
‫ݔ‬ሶ ଷ ൌ െʹͶ‫ݔ‬ଵ െ ʹ͸‫ݔ‬ଶ െ ͻ‫ݔ‬ଷ ൅ ʹͶ݁
‫ ݕ‬ൌ ‫ݔ‬ଵ
En forme de matrices :
‫ݔ‬ሶ ଵ
Ͳ
ͳ
Ͳ ‫ݔ‬ଵ
Ͳ
൥‫ݔ‬ሶ ଶ ൩ ൌ ൥ Ͳ
Ͳ
ͳ ൩ ൥‫ ݔ‬ଶ ൩ ൅ ൥ Ͳ ൩ ݁
‫ݔ‬ሶ ଷ
െʹͶ െʹ͸ െͻ ‫ݔ‬ଷ
ʹͶ
‫ݔ‬ଵ
‫ ݕ‬ൌ ሾͳ Ͳ Ͳሿ ൥‫ݔ‬ଶ ൩
‫ݔ‬ଷ
III.4.2.2 2EWHQWLRQG¶XQPRGqOHG¶pWDWDYHF$GLDJRQDOH
Il faut commencer par décomposer la fonction de transfert en éléments simples
x
Alors :
Cas où tous les pôles sont distincts
௒ሺ௣ሻ
ாሺ௣ሻ
ఈ
ൌ σ௡௜ୀଵ ௣ି೔O ൅ ‫ܦ‬
(*)
೔
ͲϯϱͲ
On choisit alors les variableVG¶pWDWVXFFHVVLYHVWHOOHVque :
ܺ௜ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ͳ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ ݌‬െ O௜
Pour i = 1, 2«Q. on en déduit que :
‫ܺ݌‬௜ ሺ‫݌‬ሻ ൌ O௜ ܺ௜ ሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
Soit :
ௗ௫೔
ௗ௧
ൌ O ௜ ‫ݔ‬௜ ൅ ݁
)LQDOHPHQWG¶DSUqV
Oଵ ‫ڮ‬
݀‫ݔ‬
ൌ൥‫ڭ‬
݀‫ݐ‬
Ͳ
‫ ݕ‬ൌ ሾߙଵ
‫ڰ‬
‫ڮ‬
‫ڮ‬
(**)
HW
RQREWLHQWODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDWVRXVODIRUPHGLDJRQDOH :
Ͳ
ͳ
‫ ڭ‬൩‫ ݔ‬൅ ൥‫ڭ‬൩ ݁
O௡
ͳ
ߙ௡ ሿ‫ ݔ‬൅ ‫݁ܦ‬
8QHWHOOHUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDWHVWGLWHVRXVIRUPHPRGDOH
x
Cas où les pôles ne sont pas tous distincts
'DQVFHFDVFRQVLGpURQVOHFDVG¶XQS{OH Ȝ1 de multiplicité p, alors :
௡
ߙ௣
ܻሺ‫݌‬ሻ
ߙଵ
ߙଶ
ߙ௜
ൌ
൅
൅‫ڮ‬൅
൅ ෍
൅‫ܦ‬
ሺ‫ ݌‬െ O ௜ ሻ ௣
‫ ݌‬െ O௜
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ‫ ݌‬െ Oଵ ሺ‫ ݌‬െ Oଵ ሻଶ
௜ୀ௣ାଵ
2QFKRLVLWDORUVOHVYDULDEOHVG¶pWDWVXFFHVVLYHVWHOOHVTXH :
ͳ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ ݌‬െ Oଵ
ͳ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ܺଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ሺ‫ ݌‬െ Oଵ ሻଶ
‫ڭ‬
ͳ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ܺ௣ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ሺ‫ ݌‬െ Oଵ ሻ௣
ͳ
‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻǢ ’‘—”݅ ൌ ‫ ݌‬൅ ͳ ‫݊ ڮ‬
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ ە‬ଵ
‫ ݌‬െ Oଵ
ܺଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
On en déduit que :
‫ܺ݌‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ Oଵ ܺଵ ሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ܺ݌‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ Oଵ ܺଶ ሺ‫݌‬ሻ ൅ ܺଵ ሺ‫݌‬ሻ
‫ڭ‬
‫ܺ݌‬௣ ሺ‫݌‬ሻ ൌ Oଵ ܺ௣ ሺ‫݌‬ሻ ൅ ܺ௣ିଵ ሺ‫݌‬ሻ
‫ܺ݌ە‬௜ ሺ‫݌‬ሻ ൌ O௜ ܺ௜ ሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ ܧ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ’‘—”݅ ൌ ‫ ݌‬൅ ͳ ‫݊ ڮ‬
Ͳ ϯϲͲ
O
‫ ۍ‬ଵ
݀‫ͳ ێ ݔ‬
ൌ ‫ڭ‬
݀‫ێ ݐ‬
‫Ͳێ‬
‫Ͳۏ‬
‫ڮ‬
O௣ାଵ
‫ڮ‬
ߙଶ
‫ ݕ‬ൌ ሾߙଵ
Ͳ
‫ݔ‬ଵ
ͳ
Ͳ ‫ېͲۍ ې ڭ ۍ ې‬
‫ݔێ ۑۑ ڭ‬௣ାଵ ‫ ۑ‬൅ ‫݁ ۑۑͳێێ‬
‫ێ‬
‫ۑ‬
Ͳ ‫ۑͳێ ۑ ڭ ێ ۑ‬
‫ݔ‬
‫ۏ‬
O௡ ‫ ے‬௡ ‫ےͳۏ ے‬
‫ߙ ڮ ڮ‬௡ ሿ‫ ݔ‬൅ ‫݁ܦ‬
III.4.2.3 2EWHQWLRQG¶XQ PRGqOHG¶pWDWDYHF$FRPSDJQH
/DIRQFWLRQGHWUDQVIHUWGXV\VWqPHV¶pFULW :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܻሺ‫݌‬ሻ ܰሺ‫݌‬ሻ ܾ଴ ൅ ܾଵ ‫ ݏ‬൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ௠ ‫ ݏ‬௠
ൌ
ൌ
ܽ଴ ൅ ܽଵ ‫ ݌‬൅ ‫ ڮ‬൅ ‫݌‬௡
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ‫ܦ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
2QFKRLVLWOHYHFWHXUG¶pWDWx tel que x1 vérifie :
‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ܺଵ ሺ‫݌‬ሻ ൈ ‫ܦ‬ሺ‫݌‬ሻ
൜
ܻ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ܺଵ ሺ‫݌‬ሻ ൈ ܰሺ‫݌‬ሻ
Soit :
‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ‫݌‬௡ ൅ ܽ௡ିଵ ‫݌‬௡ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽ଴ ሻܺଵ ሺ‫݌‬ሻ
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺܾ௠ ‫݌‬௠ ൅ ܾ௠ିଵ ‫݌‬௠ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ଴ ሻܺଵ ሺ‫݌‬ሻ
En choisissant alors x2, x3«[n de sorte que :
‫ۓ‬
ۖ
ௗ௫భ
ௗ௧
ௗ௫మ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
ൌ ‫ݔ‬ଷ
ௗ௧
‫۔‬
‫ڭ‬
ۖௗ௫೙షభ
‫ ە‬ௗ௧ ൌ ‫ݔ‬௡
(*)
On a ; pour i = 1«Q
d xi
dt
i
d xi
d ti
'¶DSUqVE(p):
݀ ௡ ‫ݔ‬ଵ
݀ ௡ିଵ ‫ݔ‬ଵ
ൌ െܽ௡ିଵ
െ ‫ ڮ‬െ ܽ଴ ‫ݔ‬ଵ ൅ ݁
௡
݀‫ݐ‬
݀‫ ݐ‬௡ିଵ
Soit, avec :
݀‫ݔ‬௡ିଵ
݀‫ݔ‬௡
ൌ െܽ௡ିଵ
െ ‫ ڮ‬െ ܽ଴ ‫ݔ‬ଵ ൅ ݁
݀‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
(WHQILQG¶DSUqV
ͲϯϳͲ
݀‫ݔ‬௡
ൌ െܽ௡ିଵ ‫ݔ‬௡ െ ‫ ڮ‬െ ܽ଴ ‫ݔ‬ଵ ൅ ݁
݀‫ݐ‬
/¶pTXDWLRQG\QDPLTXHGXV\VWqPHV¶pFULWGRQF :
Ͳ
‫Ͳ ۍ‬
݀‫ێ ݔ‬
ൌ Ͳ
݀‫Ͳ ێ ݐ‬
‫ێ‬
‫ۏ‬െܽ଴
ͳ
Ͳ
Ͳ
Ͳ
െܽଵ
Ͳ ‫Ͳ ڮ‬
Ͳ
‫ېͲۍ‬
ͳ Ͳ Ͳ ‫ې‬
‫ۑ‬
‫ۑ ێ‬
‫ ݔ ۑ Ͳ ͳ ڮ‬൅ ‫݁ ۑͲێ‬
‫ۑڭێ‬
‫ۑ ͳ ڮ ڮ‬
‫ےͳۏ‬
‫ ڮ ڮ‬െܽ௡ିଵ ‫ے‬
/DIRUPHGHODPDWULFHG¶pYROXWLRQA est dite compagne horizontale. Il reste alors à déterminer
la sortie :
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺܾ௠ ‫݌‬௠ ൅ ܾ௠ିଵ ‫݌‬௠ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ଴ ሻܺଵ ሺ‫݌‬ሻ
ͲϯϴͲ
Solutions des exercices
Exercice N°1
1. /¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH
On pose ܼ ൌ
భ
೛಴
భ
ோభ ା
೛಴
ோభ ൈ
ோ
ൌ ଵାோభ ஼௣
భ
‫ݕ‬
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܴଶ ൈ ݅ ֜ ݅ ൌ
ܴଶ
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܼ݅ ൅ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݁ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ
ܴଵ
‫ݕ‬൅‫ݕ‬
ܴଶ ሺͳ ൅ ܴଵ ‫݌ܥ‬ሻ
ܴଵ ܴଶ ‫ݕܥ‬ሶ ൅ ሺܴଵ ൅ ܴଶ ሻ‫ ݕ‬ൌ ܴଵ ܴଶ ‫݁ܥ‬ሶ ൅ ܴଶ ݁
2. Fonction de transfert
ܻሺ‫݌‬ሻሾܴଵ ܴଶ ‫ ݌ܥ‬൅ ሺܴଵ ൅ ܴଶ ሻሿ ൌ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻሾܴଶ ൅ ܴଵ ܴଶ ‫݌ܥ‬ሿ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ܴଶ ൅ ܴଵ ܴଶ ‫݌ܥ‬
ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ሺܴଵ ൅ ܴଶ ሻ ൅ ܴଵ ܴଶ ‫݌ܥ‬
Exercice N°2
A/ ‫ݕ‬ሷ ൅ ‫ ݕ‬ൌ ݁ሺ‫ݐ‬ሻ.
La fonction de transfert de ce système :
ܻሺ‫݌‬ሻሺ‫݌‬ଶ ൅ ͳሻ ൌ ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫݌‬ଶ
ͳ
൅ͳ
B/ ‫ݕ‬ሷ ൅ Ͷ‫ݕ‬ሶ ൅ Ͷ‫ ݕ‬ൌ ͵‫ݔ‬ሶ ൅ ʹ‫ݔ‬.
ܻሺ‫݌‬ሻሺ‫݌‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݌‬൅ Ͷሻ ൌ ሺ͵‫ ݌‬൅ ʹሻܺሺ‫݌‬ሻ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
͵‫ ݌‬൅ ʹ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ൌ
ܺሺ‫݌‬ሻ ሺ‫ ݌‬൅ ʹሻଶ
Exercice N°3
ͳ ͳ
ͳ
ቃ ‫ ݔ‬൅ ቂ ቃ ‫ݑ‬Ǣ ‫ ݕ‬ൌ ሾͲ ͳሿ‫ݔ‬Ǥ
‫ݔ‬ሶ ൌ ቂ
Ͳ െͳ
ͳ
ିଵ
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܥ‬ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻ ‫ ܤ‬൅ ‫ܦ‬
x
‫ ܫ݌‬െ ‫ ܣ‬ൌ ൤
‫݌‬െͳ
Ͳ
ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ ൌ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
െͳ
൨
‫݌‬൅ͳ
ͳ
‫݌‬൅ͳ
൬
Ͳ
‫݌‬ଶ െ ͳ
ͳ
൰
‫݌‬െͳ
ͳ
‫݌‬൅ͳ
ͲϰϬͲ
Ͳ
ͳ
Ͳ
ቃ ‫ ݔ‬൅ ቂ ቃ ‫ݑ‬Ǣ ‫ ݕ‬ൌ ሾͳ
‫ݔ‬ሶ ൌ ቂ
െͳ െʹ
ͳ
‫݌‬
െͳ
‫ ܫ݌‬െ ‫ ܣ‬ൌ ൬
൰
ͳ ‫݌‬൅ʹ
x
ͳ
‫݌‬൅ʹ
൬
‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ʹሻ ൅ ͳ െͳ
ሺ‫ ܫ݌‬െ ‫ܣ‬ሻିଵ ൌ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳሿ‫ݔ‬Ǥ
ͳ
൰
‫݌‬
ͳ
‫݌‬൅ͳ
Exercice N°4
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ʹͲ
‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ Ͷሻ
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ͷ ͳ
ͷ ʹͲ ͳ
െ
൅
‫ ݌ ͵ ݌‬൅ͳ ͵‫ ݌‬൅ Ͷ
2QFKRLVLWOHVYDULDEOHVG¶pWDWV :
ଵ
‫ܺ ۓ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ ൈ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ۖ
ଵ
ܺଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ାଵ ൈ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫۔‬
ۖܺ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ଵ ൈ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ ە‬ଷ
௣ାସ
‫ݔ‬ሶ ଵ
Ͳ
൭‫ݔ‬ሶ ଶ ൱ ൌ ൭Ͳ
‫ݔ‬ሶ ଷ
Ͳ
‫ ݕ‬ൌ ൬ͷ െ
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
֜
‫ݔ‬ሶ ଵ ൌ ݁
൝‫ݔ‬ሶ ଶ ൌ െ‫ݔ‬ଶ ൅ ݁
‫ݔ‬ሶ ଷ ൌ ݁ െ Ͷ‫ݔ‬ଷ
‫ݔ‬ଵ
Ͳ
ͳ
Ͳ ൱ ൭‫ݔ‬ଶ ൱ ൅ ൭ͳ൱ ݁
െͶ ‫ݔ‬ଷ
ͳ
Ͳ
െͳ
Ͳ
‫ݔ‬ଵ
ʹͲ ͷ
൰ ൭ ‫ݔ‬ଶ ൱
͵ ͵ ‫ݔ‬ଷ
ͳͲ
‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ʹሻሺ‫ ݌‬െ ͳሻଶ
On choisit les variables G¶pWDWV :
ଵ
‫ۓ‬
ۖ
ۖ
ܺଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ ൈ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ଵ
ܺଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ሺ௣ାଶሻ ൈ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ଵ
‫ܺ ۔‬ଷ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ൈ ‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ
௣ሺ௣ାଶሻሺ௣ିଵሻ
ۖ
ۖ
ଵ
‫ܺە‬ସ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ሺ௣ାଶሻሺ௣ିଵሻሺ௣ିଵሻ ൈ ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
֜
‫ݔ‬ሶ ଵ ൌ ݁
‫ݔ‬ሶ ଶ ൌ ‫ݔ‬ଵ െ ʹ‫ݔ‬ଶ
൞
‫ݔ‬ሶ ଷ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ
‫ݔ‬ሶ ସ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ
ͲϰϭͲ
‫ݔ‬ሶ ଵ
Ͳ
‫ݔ‬ሶ ଶ
ͳ
൮ ൲ ൌ ቌͲ
‫ݔ‬ሶ ଷ
Ͳ
‫ݔ‬ሶ ସ
‫ ݕ‬ൌ ሺͲ Ͳ
Ͳ
െʹ
ͳ
Ͳ
Ͳ
Ͳ
Ͳ
ͳ
ͳ
‫ݔ‬ଵ
ͳ
Ͳ
‫ݔ‬ଶ
Ͳ
ቍ ቌ‫ ݔ‬ቍ ൅ ቌͲቍ ݁
ଷ
Ͳ
Ͳ
‫ݔ‬ସ
Ͳ
ͳ
‫ݔ‬ଵ
ͳͲሻ ൭‫ݔ‬ଶ ൱
‫ݔ‬ଷ
Exercices supplémentaires
Exercice N°1
2QFRQVLGqUHXQV\VWqPHUpJLSDUO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH
ͲǤͷ
݀‫ݕ‬
൅ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͷ݁ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
1. Calculer la fonction de transfert de ce système ‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௒ሺ௣ሻ
ாሺ௣ሻ
2. /HVLJQDOG¶HQWUpHHVWXQpFKHORQXQLWp'RQQHUO¶H[SUHVVLRQGH ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ.
3. En déduire ܻሺ‫݌‬ሻ.
4. Déterminer la valeur finale de ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ en utilisant le théorème de la valeur finale.
5. &DOFXOHUO¶H[SUHVVLRQGHs(t) et retrouver le résultat précédent.
Exercice N°2
/HVpTXDWLRQVUpDJLVVDQWOHIRQFWLRQQHPHQWG¶XQJURXSHLQGXVWULHOVRQWGRQQpHVSDUOHV\VWqPH
suivant :
ͳǤ͸‫ݑ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͷ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
߬:ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ : ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݑܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
1. La fonction de transfert ‫ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ G¶HQWUpHܸሺ‫݌‬ሻ et de sortie ܷሺ‫݌‬ሻ.
2. La fonction de transfert ‫ܪ‬ሺ‫݌‬ሻ G¶HQWUpHܷሺ‫݌‬ሻ et de sortie :ሺ‫݌‬ሻ.
3. (QGpGXLUHOHVFKpPDIRQFWLRQQHOGXJURXSHG¶HQWUpH ܸሺ‫݌‬ሻ et de sortie :ሺ‫݌‬ሻ.
Ͳ ϰϮͲ
x
La boucle 1 ne touche pas la boucle 2
x
La boucle 1 ne touche pas la boucle 3
x
La boucle 2 ne touche pas la boucle 3
Donc, si on prend les gains de boucle 2 à la fois :
x
1 et 2 : ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ଵ ‫ܩ‬ସ ‫ܪ‬ଶ
x
1 et 3 : ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ଵ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ
x
2 et 3 : ‫ܩ‬ସ ‫ܪ‬ଶ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ
Et 3 à la fois :
x
1 et 2 et 3 : ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ଵ ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ସ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ
4. Calcul de ο
οൌ ͳ െ ሾ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ଵ ൅ ‫ܩ‬ସ ‫ܪ‬ଶ ൅ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ ൅ ‫ܩ‬ଶ ‫ܩ‬ଷ ‫ܩ‬ସ ‫ܩ‬ହ ‫ ଼ܩ ଻ܩ ଺ܩ‬ሿ
൅ ሾ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ଵ ‫ܩ‬ସ ‫ܪ‬ଶ ൅ ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ଵ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ ൅ ‫ܩ‬ସ ‫ܪ‬ଶ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ ሿ െ ሾ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ଵ ‫ܩ‬ଶ ‫ܪ‬ସ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ ሿ
ο௞ ൌ οଵ ൌ ͳ െ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ
On retrouve donc la fonction de transfert suivante :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݏ‬ሻ ൌ
‫ܥ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ܶଵ οଵ ሾ‫ܩ‬ଵ ‫ܩ‬ଶ ‫ܩ‬ଷ ‫ܩ‬ସ ‫ܩ‬ହ ሿሾͳ െ ‫ܪ ଻ܩ‬ସ ሿ
ൌ
ൌ
ܴሺ‫ݏ‬ሻ
ο
ο
Exercice N°3
ଶ଴
1. ‫ܪ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ାସ௣ାଶଷ
ଶሺ௣ାଷሻ
2. ‫ܪ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ାସ௣ାଶଷ
On applique le théorème de superposition, on aura :
ܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ܪ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ܪ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻܺሺ‫݌‬ሻ
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ʹͲ
ʹ ሺ‫ ݌‬൅ ͵ ሻ
ʹͲ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ʹሺ‫ ݌‬൅ ͵ሻܺሺ‫݌‬ሻ
‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൅ ଶ
ܺ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ ݌‬൅ Ͷ‫ ݌‬൅ ʹ͵
‫݌‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݌‬൅ ʹ͵
‫݌‬ଶ ൅ Ͷ‫ ݌‬൅ ʹ͵
Exercice N°4
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܪ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ‫ܪ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ‫ܪ‬ଷ ሺ‫݌‬ሻ
ͳ ൅ ‫ܪ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ‫ܪ‬ଷ ሺ‫݌‬ሻ‫ܪ‬ସ ሺ‫݌‬ሻ ൅ ‫ܪ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ‫ܪ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ‫ܪ‬ହ ሺ‫݌‬ሻ
Ͳ ϱϬͲ
Chapitre V : Réponse temporelle des systèmes à temps
continu
V.1 Pôles et zéros
Soit la fonction de transfert suivante :
‫ ܨ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܽ௠ ‫݌‬௠ ൅ ܽ௠ିଵ ‫݌‬௠ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽ଴
ܾ௡ ‫݌‬௡ ൅ ܾ௡ିଵ ‫݌‬௡ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ଴
Ou
ሺ௣ି௭ ሻሺ௣ି௭ ሻǥሺ௣ି௭ ሻ
‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ି௣భሻሺ௣ି௣మ ሻǥሺ௣ି௣೘ ሻ
భ
మ
೘
Où ݊ ൒ ݉
Zéro : Cause la fonction de transfert à devenir zéro ሺ‫ݖ‬ଵ ǡ ‫ݖ‬ଶ ǡ ‫ ڮ‬ǡ ‫ݖ‬௠ ሻ
Pôle : où la fonction de transfert devient infinie ሺ‫݌‬ଵ ǡ ‫݌‬ଶ ǡ ‫ ڮ‬ǡ ‫݌‬௡ ሻ.
On peut représenter les pôles et zéros par un diagramme. Ce diagramme donne de O¶Lnformation
sur le type de système et le type de réponse du système, et peut être une façon UDSLGHG¶DQDO\VHU
un système.
Exemple
Soit la fonction suivante :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫݌‬൅ʹ
‫݌‬൅ͷ
Le zéro est z1 = -2 et le pôle est p1 = -5. Le diagramme des pôles est donné dans la figure V.1.
Le zéro est représenté SDUXQFHUFOH ³R´ HWOHpôle SDUXQHFURL[ ³u´ Figure V.1: Diagramme de pôles et zéros
V.2 &DOFXOGHODUpSRQVHGHODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDW
'DQVOHFDVGHODUHSUpVHQWDWLRQG¶pWDW OHUpJLPHOLEUHDVVRFLpjO¶pTXDWLRQG\QDPLTXHG¶pWDW :
dx
dt
Ax Bu
HVWREWHQXHSDUUpVROXWLRQGHO¶pTXDWLRQhomogène :
Ͳ ϱϮͲ
dx
dt
Ax
/DVROXWLRQGHFHWWHpTXDWLRQKRPRJqQHGRQQHODUpSRQVHOLEUHGHO¶pWDWGHV\VWqPHTXLSUHQG
la forme : x(t) ĭ ( t,t 0 ) x ( t 0 )
La matrice ĭ ( t,t 0 ) G¶RUGUHQHVWDSSHOpHPDWULFHGHWUDQVLWLRQ
/D UpSRQVH IRUFpH GH O¶pWDW SRXU GHV &, QXOOHV 2Q PRQWUH TX¶HOOH V¶pFULW :
x(t)
t
³ ĭ (t, IJ B u (W ) dIJ
t0
t
Donc la solution complète : x(t) ĭ ( t, t 0 ) x ( t 0) ³ ĭ (t, IJ B u (W ) dIJ
t0
/DUpSRQVHGXV\VWqPHV¶pFULWdonc :
C §¨ ĭ ( t, t 0 ) x ( t 0) ³ ĭ (t, IJ B u (W ) dIJ ·¸ D u (t)
t0
©
¹
t
y(t)
V.3 Calcul de la réponse à partir de la fonction de transfert
L'analyse temporelle consiste à étudier la réponse d'un système représenté par sa fonction de
transfert à un signal d'entrée variant dans le temps. Le signal d'entrée peut en principe être
quelconque.
'¶DSUqVODGpILQLWLRQGHODIRQFWLRQGHWUDQVIHUW ܻ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൈ ܷሺ‫݌‬ሻ.
/DUpSRQVHG¶XQV\VWqPHOLQpDLUHLQYDULDQWG¶HQWUpHX W HWGHVRUWLH\ W SHXWV¶pFULUHVRXVOD
forme : ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݃ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Où g(t) est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert.
Classiquement, on peut apprendre beaucoup des systèmes en observant la réponse aux entrées
suivantes :
x
Impulsion de Dirac ֜Réponse impulsionnelle
x
Echelon ֜Réponse indicielle
x
Rampe ֜Réponse en vitesse
x
Sinusoïde ֜Réponse fréquentielle
V.4 Réponse impulsionnelle et réponse indicielle
V.4.1 Réponse impulsionnelle
2QDSSHOOHUpSRQVHLPSXOVLRQQHOOHG¶XQV\VWqPHVDUpSRQVHjXQHLPSXOVLRQGH'LUDF
Impulsion de Dirac : VRLWI W XQH IRQFWLRQFRQWLQXHHQ$ORUV O¶LPSXOVLRQGH'LUDFHVWOD
distribution į W telle que :
³
f
f
f W į IJ dW
f(0)
ͲϱϯͲ
La réponse impulsionnelle du système est :
ାஶ
‫ ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ݃ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൈ ߜ ሺ ‫ ݐ‬ሻ ൌ න
݃ሺ߬ሻߜሺ‫ ݐ‬െ ߬ሻ݀߬
ିஶ
6RLWSDUGpILQLWLRQGHO¶LPSXOVLRQGHDirac : y(t) = g(t).
/DUpSRQVHLPSXOVLRQQHOOHG¶XQV\VWqPHSHXWGRQFrWUHREWHQXHHQFDOFXODQWODWUDQVIRUPpHGH
Laplace inverse de sa fonction de transfert.
V.4.2 Réponse indicielle
On appelle réponse indicielle G¶XQV\VWqPHVDUpSRQVHjXQpFKHORQunité :
­
U(t) ®
¯ 1,
0, si t 0
si t t 0
V.5 Réponse temporelle des systèmes du premier et du second ordre
V.5.1 Systèmes du premier ordre
8Q V\VWqPH OLQpDLUH LQYDULDQW j WHPSV FRQWLQX G¶RUGUH XQ HVW GpFULW SDU XQH pTXDWLRQ
GLIIpUHQWLHOOHG¶RUGUHXQjFRHIILFLHQWVFRQVWDQWVUHOLDQWVRQHQWUpHu(t) et sa sortie y(t):
‫ ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ൅ ߬
݀‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ൌ ‫ݑܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
Où IJ est la constante de temps du système et K son gain statique.
En appliquant la transformée de Laplace à cette équation à condition initiale nulle (y(0) = 0).
On peut alors définir la fonction de transfert (ou transmittance) du système de premier ordre
par la forme canonique de suivante :
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܭ‬
ܻሺ‫݌‬ሻ
ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ͳ ൅ ߬‫݌‬
Exemple :
Figure V.2 : Circuit RC
1. Trouver la relation entre s(t), e(t), R et C.
2. 0RQWUHUTXHO¶RQSHXWPHWWUHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHVRXVODIRUPHFDQRQLTXH :
La relation entre s(t), e(t), R et C
ͲϱϰͲ
ܴ‫ܥ‬
݀‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
A condition initiale est nulle s 0 0 la fonction de transfert est définit par :
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ଵ
ଵାఛ௣
avec ߬ ൌ ܴ‫ܥ‬
Réponse indicielle :
On considère une entrée ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݑܧ‬ሺ‫ݐ‬ሻ où ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳ (t > 0) est un échelon unitaire décrit par la
figure suivante :
Figure V.3 : Echelon unitaire
‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ
‫݌‬
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൈ ‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܭ‬
‫݌‬ሺͳ ൅ ߬‫݌‬ሻ
‫ݐ‬
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሾܵሺ‫݌‬ሻሿ ൌ ‫ ܭ‬൬ͳ െ ‡š’ ൬െ ൰൰ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
߬
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܭ‬൫ͳ െ ‡š’൫െ ‫ݐ‬ൗ߬൯൯‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Figure V.4 : 5pSRQVHLQGLFLHOOHG¶XQV\VWqPHGHére ordre.
ͲϱϱͲ
Pour le système de premier ordre on définit les paramètres suivants :
Temps de montée (tr) : Temps nécessaire pour passer de 10% à 90% de la valeur maximale :
ቐ
௧భൗ
ఛቁ
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ଵ ሻ ൌ ‫ ܭ‬ቀͳ െ ݁ ି
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ଶ ሻ ൌ ‫ ܭ‬ቀͳ െ ݁
௧
ି మൗఛ
ൌ ͳͲΨ‫ܭ‬
ቁ ൌ ͻͲΨ‫ܭ‬
‫ ݐ‬ൌ ͲǤͳͳ߬
֜ ൜ ଵ
‫ݐ‬ଶ ൌ ʹǤ͵Ͳ߬
‫ݐ‬௥ ൌ ‫ݐ‬ଶ െ ‫ݐ‬ଵ ൌ ʹǤ͵Ͳ߬ െ ͲǤͳͳ߬ ൎ ʹǤʹ߬
Constante de temps : ‫ݏ‬ሺ߬ሻ ൌ ‫ ܭ‬ሺͳ െ ݁ ିଵ ሻ ൌ ͲǤ͸͵‫ܭ‬
&¶HVWOHWHPSVDXERXWGXTXHOODUpSRQVHDWWHLQWGHODYDOHXUILQDOH/DFRQVWDQWHGH temps
du système caractérise la rapidité du régime transitoire.
Temps de stabilisation à 5% (ou de réponse) ts:
‫ݏ‬ሺ͵߬ሻ ൌ ‫ܭ‬ሺͳ െ ݁ ିଷ ሻ ൌ ͲǤͻͷ‫ܭ‬
Le temps de réponse est défini comme étant le temps au bout duquel la réponse du système ne
V¶pFDUWHSDVGHSOXVGHGHVRQpWDWSHUPDQHQW
Pour le système de premier ordre ts à 95% 3W
Réponse à une impulsion
e(t) G(t) 1 pour t 0
݇
݇
ܵሺ‫݌‬ሻ
ൌ
֜ ܵ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ͳ ൅ ߬‫݌‬
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ͳ ൅ ߬‫݌‬
‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ͳ ֜ ܵ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
௞
݇
ͳ
݇
ቍ
ൌ ቌ
ͳ ൅ ߬‫ ͳ ߬ ݌‬൅ ‫݌‬
߬
೟
Donc : ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ఛ ݁ ିഓ
‫ݏ‬ሺ߬ሻ ൌ ͲǤ͵͹
݇
߬
Figure V.5 : 5pSRQVHLPSXOVLRQQHOOHG¶XQV\VWqPHGH ére ordre.
ͲϱϲͲ
Réponse à une rampe
On a ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܧ‬଴ ‫ݑݐ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, soit ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ܵ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൈ ‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܵ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ܵ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ாబ
௣మ
‫ܧܭ‬଴
‫݌‬ଶ ሺͳ ൅ ߬‫݌‬ሻ
‫ܧܭ‬଴
‫ܤ ܣ‬
‫ܥ‬
ൌ ൅ ൅
‫݌‬ଶ ሺͳ ൅ ߬‫݌‬ሻ ‫݌ ݌‬ଶ ͳ ൅ ߬‫݌‬
݇‫ܧ‬଴
ͳ
߬ଶ
߬
቉
ൌ ݇‫ܧ‬଴ ቈെ ൅ ଶ ൅
ͳ ൅ ߬‫݌‬
൅ ߬‫݌‬ሻ
‫݌ ݌‬
‫ ݌‬ଶ ሺͳ
En appliquant la transformée inverse de Laplace, on obtient :
‫ݐ‬
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሾܵሺ‫݌‬ሻሿ ൌ ‫ܧܭ‬଴ ߬ ൬ െ ͳ ൅ ‡š’൫െ ‫ݐ‬ൗ߬൯൰ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
߬
Pour t WHQGYHUVO¶infini
/¶pTXDWLRQGHO¶DV\PSWRWH‫ ݕ‬ൌ ‫ܧܭ‬଴ ሺ‫ ݐ‬െ ߬ሻ
Figure V.6 : Réponse à une rampe
V.5.2 Systèmes du second ordre
8Q V\VWqPH OLQpDLUH LQYDULDQW j WHPSV FRQWLQX G¶RUGUH GHX[ HVW GpFULW SDU XQH pTXDWLRQ
GLIIpUHQWLHOOHG¶RUGUHGHX[jFRHIILFLHQWVFRQVWDQWVUHOLDQWVRQHQWUpHu(t) et sa sortie y(t) :
݀ ଶ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
൅ ʹ[߱଴
൅ ߱଴ଶ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫߱ܭ‬଴ଶ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ ݐ‬ଶ
݀‫ݐ‬
Où [ et ߱଴ sont des constantes réelles strictement positives et K une constante réelle non nulle ;
ȟ HVWOHFRHIILFLHQWG¶DPRUWLVVHPHQWGXV\VWqPH߱଴ sa pulsation propre non amortie et K son
gain statique.
En appliquant la transformée de Laplace à conditions initiales nulles (‫ݕ‬ሺͲሻ‡–‫ݕ‬ሶ ሺͲሻ ൌ Ͳ)
ͲϱϳͲ
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫߱ܭ‬଴ଶ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ൌ ଶ
ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ‫ ݌‬൅ ʹ[߱଴ ‫ ݌‬൅ ߱଴ଶ
‫ܭ‬
ʹ[
‫݌‬ଶ
ͳ൅߱ ‫݌‬൅ ଶ
߱଴
଴
Exemple 1 :
Soit la fonction suivante :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
͵͸
‫݌‬ଶ ൅ ͶǤʹ‫ ݌‬൅ ͵͸
Trouver [ et ߱଴
߱଴ ൌ ξ͵͸ ൌ ͸
ʹ[߱଴ ൌ ͶǤʹ ֜ [ ൌ ͲǤ͵ͷ
Exemple 2 :
2QDSSOLTXDQWODORLGHPDLOOHRQGpWHUPLQHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGXFLUFXLW
݀݅ሺ‫ݐ‬ሻ
൅ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܴ݅ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ܮ‬
݀ ଶ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
֜ ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥܮ‬
൅ ܴ‫ܥ‬
൅ ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
൞
݀‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
݀‫ ݐ‬ଶ
݅ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬
݀‫ݐ‬
(Q DSSOLTXDQW OD WUDQVIRUPpH GH /DSODFH 7/ j FRQGLWLRQ LQLWLDOHV QXOOHV j O¶pTXDWLRQ
différentielle précédente on obtient :
‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ‫݌ܥܮ‬ଶ ൅ ܴ‫ ݌ܥ‬൅ ͳሻܻሺ‫݌‬ሻ
La fonction de transfert du circuit est défini par :
ͳ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ͳ
‫ܥܮ‬
ൌ
ൌ
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫݌ܥܮ‬ଶ ൅ ܴ‫ ݌ܥ‬൅ ͳ ‫݌‬ଶ ൅ ܴ ‫ ݌‬൅ ͳ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫ܮ‬
‫ܥܮ‬
Soit :
ͲϱϴͲ
ͳ
‫߱ ۓ‬଴ଶ ൌ
‫ܥܮ‬
ۖ
ۖ
ۖ
ͳ
߱଴ ൌ ඨ
‫ܥܮ‬
‫۔‬
ۖ
ͳ
‫ܥ‬
ۖ
ۖ[ ൌ ܴඨ
ʹ
‫ܮ‬
‫ە‬
Réponse indicielle :
La solution GH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH GpSHQG GHV UDFLQHV GH O¶pTXDWLRQ FDUDFWpULVWLTXH
associée :
‫݌‬ଶ ൅ ʹ[߱଴ ‫ ݌‬൅ ߱଴ଶ ൌ Ͳ
οᇱ ൌ ߱଴ଶ ൫[ଶ െ ͳ൯
a. Système du second ordre hyper-amorti [! οᇱ ൐ Ͳ
/¶pTXDWLRQFDUDFWpULVWLTXHjGHX[S{OHVUpHOV
‫݌ۓ‬ଵ ൌ െ[߱଴ ൅ ߱଴ ට[ଶ െ ͳ ൌ െ ଵ
ఛ
భ
‫۔‬
ଵ
ට ଶ
‫݌ە‬ଶ ൌ െ[߱଴ െ ߱଴ [ െ ͳ ൌ െ ఛమ
La réponse indicielle : /¶HQWUpHDSSOLTXpHHVWXQpFKHORQGHSRVLWLRQ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൈ ‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
݇
‫݌‬ሺͳ ൅ ߬ଵ ‫݌‬ሻሺͳ ൅ ߬ଶ ‫݌‬ሻ
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݇ ൤ͳ ൅
‫ݐ‬
‫ݐ‬
ͳ
൬߬ ‡š’ ൬െ ൰ െ ߬ଶ ‡š’ ൬െ ൰൰൨ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
߬ଵ
߬ଶ
߬ଶ െ ߬ଵ ଵ
b. Système du second ordre critique ሺ[ ൌ ͳሻ
On a: [ ൌ ͳ ֜ οൌ Ͳ
‫݌‬ଵ ൌ ‫݌‬ଶ ൌ െ߱଴ ൌ െ
ͳ
߬
Réponse indicielle
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൈ ‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܭ‬
‫݌‬ሺͳ ൅ ߬‫݌‬ሻଶ
‫ݐ‬
‫ݐ‬
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݇ ൤ͳ െ ൬ͳ ൅ ൰ ‡š’ ൬െ ൰൨ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
߬
߬
ͲϱϵͲ
Figure V.6 : Réponse indicielle pour [ ൒ ͳ
c. Système du second ordre oscillant amorti ሺ૙ ൏ [ ൏ ૚ሻ
[ ൏ ͳ ֜ οᇱ ൏ ͳ
'RQFO¶pTXDWLRQFDUDFWpULVWLTXHjGHX[S{OHVFRPSOH[HVFRQMXJXpV
‫݌ۓ‬ଵ ൌ െ[߱଴ ൅ ݆߱଴ ටͳ െ [ଶ
‫۔‬
ଶ
ට
‫݌ە‬ଵ ൌ െ[߱଴ െ ݆߱଴ ͳ െ [
Réponse indicielle
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൈ ‫ ܧ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫݌‬ሺ ‫ ݌‬ଶ
݇߱଴ଶ
൅ ʹ[߱଴ ‫ ݌‬൅ ߱଴ଶ ሻ
‫ۍ‬
‫ې‬
‡š’ሺെ[߱଴ ‫ݐ‬ሻ
‫ ݏ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ݇ ‫ ͳ ێ‬െ
•‹ ቆ߱଴ ටͳ െ [ଶ ‫ ݐ‬൅ ߮ቇ‫ݑ ۑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
‫ێ‬
‫ۑ‬
ටͳ െ [ଶ
‫ۏ‬
‫ے‬
ටͳ െ [ଶ
߮ ൌ ܽ‫݊ܽݐܿݎ‬
[
߮ ൌ ƒ” ‘•ሺ[ሻ
Pour le système du second ordre oscillant amorti, on définit :
x
Pseudo pulsation du système
Cette pseudo pulsation est définie par : ߱௣ ൌ ߱଴ ටͳ െ [ଶ
x
Temps de montée
ͲϲϬͲ
Temps nécessaire pour passer de 0% à 100% de la valeur maximale : ‫ݐ‬௥ ൌ
x
గିఝ
ఠ೛
Temps de premier dépassement : On appelle temps de premier dépassement, l'instant
où la sortie atteint son premier maximum. On le note par tp.
‫ݐ‬௣ ൌ
x
గ
ఠబ ටଵି[మ
: Temps de premier pic
Dépassement : On appelle amplitude de premier dépassement, l'amplitude du premier
maximum sur la valeur finale de la sortie.
‫ ܦ‬ൌ ‡š’ ‫ۇ‬െ
[ߨ
‫ۊ‬
ටͳ െ [
ଶ
‫ۉ‬
‫ی‬
݁݊ΨǢ ‫ܦ‬Ψ ൌ ͳͲͲ ൈ ‡š’ ቌെ
[గ
ටଵି[మ
ቍ
Figure V.7 : 5pSRQVHVLQGLFLHOOHVG¶XQV\VWqPHGHVHFRQGRUGUHSRXU [ ൏ ͳ
ͲϲϭͲ
Exercices sur les réponses temporelles des systèmes
Exercice N°1
Calculer la réponse indicielle et la réponse impulsionnelle des deux systèmes définie par les
fonctions de transfert suivantes :
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ʹሺ‫ ݌‬൅ ͳሻ
‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ͵ሻଶ
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
‫݌‬൅Ͷ
ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫݌‬ଶ െ Ͷ‫ ݌‬൅ Ͷሻ
Exercice N°2
Considérons le circuit RC présenté sur la figure suivante :
/HVLJQDOG¶HQWUpHLQMHFWpHVW݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͵‫ݐ‬.
'RQQHUO¶H[SUHVVLRQGHy(t).
Exercice N°3
2QFRQVLGqUHXQV\VWqPHGXVHFRQGRUGUHG¶pTXDWLRQ :
‫ݕ‬ሷ ൅ ͲǤͶ‫ݕ‬ሶ ൅ ͲǤʹͷ‫ ݕ‬ൌ ݁.
1. Ecrire la fonction de transfert selon la forme.
2. Donner la valeur de K, la fréquence propre f0 et du facteur G¶DPRUWLVVHPHQW[.
Exercice N°4
Soit un système dont la fonction de transfert est :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
െ‫ ݌‬൅ ͷ
‫݌‬ଶ ൅ ͷ‫ ݌‬൅ Ͷ
Calculer la réponse temporelle du système y(t ORUVTXHO¶HQWUpHe(t) est :
1. Une impulsion de Dirac.
2. Un échelon unitaire.
Exercice N°5
Pour chacun des systèmes suivants du 1er ordre, calculez les réponses indicielles, puis tr et ts à
5% :
ͲϲϮͲ
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ͷ
‫݌‬൅ͷ
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ʹͲ
‫ ݌‬൅ ʹͲ
Exercice N°6
Pour chacun des systèmes suivants du 2ème ordre, calculez [,߱଴ , tp, tr, ts, à 5% et d% :
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
‫݌‬ଶ
ͳʹͲ
൅ ͳʹ‫ ݌‬൅ ͳʹͲ
ͲǤͲͳ
‫ ݌‬ଶ ൅ ͲǤͲͲʹ‫ ݌‬൅ ͲǤͲͳ
Exercice N°7
Soit le système à retour unitaire suivant :
Calculez K afin d'assurer un dépassement d%”10% sur la réponse indicielle.
Exercice N°8
On considère le circuit RC suivant :
Le circuit est initialement au repos s (0) = 0, R =10kW et C = 2.2Nf
1. (WDEOLUO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHQWUHe(t) et s(t).
2. Réponse à une entrée en échelon : e(t) = E.u (t) avec E =1.
a. Etablir la solution générale s (t) en utilisant la transformée de Laplace.
b. 7UDFHUO¶DOOXUHGHODUpSRQVHLQGLFLHOOHHWFDOFXOHUOHWHPSVGHUpSRQVHj
Exercice N°9
Soit la fonction suivante :
ͲϲϯͲ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳͲͲ
‫݌‬ଶ ൅ ͳͷ‫ ݌‬൅ ͳͲͲ
Trouver tp, D, tr et ts.
Solutions des exercices
Exercice N°1
x
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ଶሺ௣ାଵሻ
௣ሺ௣ାଷሻమ
La réponse indicielle :
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳ ֜ ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ଵ
௣
ʹȀͻ ʹȀʹ͹
ͶȀͻ
ʹȀʹ͹
ʹ ሺ‫ ݌‬൅ ͳ ሻ
ൌ ଶ ൅
െ
െ
ሺܲ ൅ ͵ ሻଶ ‫ ݌‬൅ ͵
‫݌‬
‫݌‬
‫ ݌‬ଶ ሺ‫ ݌‬൅ ͵ ሻଶ
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ିܮ‬ଵ ሺܻሺ‫݌‬ሻሻ
ʹ
ʹ Ͷ ିଷ௧
ʹ
‫ ݕ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ൤ ‫ ݐ‬൅
െ ‫݁ݐ‬
െ ݁ ିଷ௧ ൨ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ʹ͹ ͻ
ʹ͹
ͻ
La réponse impulsionnelle :
ௗ௬ሺ௧ሻ
݃ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ
x
ௗ௧
ଶ
ସ
ଶ
ൌ ଽ ൅ ଷ ‫ି ݁ݐ‬ଷ௧ െ ଽ ݁ ିଷ௧
௣ାସ
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻሺ௣మ
ା௣ାଵሻ
La réponse indicielle :
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳ ֜ ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
Ͷ
͵
െ
൅
‫݌ ݌‬൅ͳ
ͳ
‫݌‬
ʹǤͳ ൈ ݁ ଻଺௝
ͳ
ξ͵
‫ ݌‬െ ቆെ െ ݆ ቇ
ʹ
ʹ
௧
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͷ െ ͵݁ ି௧ ൅ ͶǤʹ݁ ିଶ ‘• ቆ͹͸ ൅
൅
ʹǤͳ ൈ ݁ ି଻଺௝
ͳ
ξ͵
‫ ݌‬െ ቆെ ൅ ݆ ቇ
ʹ
ʹ
ξ͵
ቇ‫ݐ‬
ʹ
La réponse impulsionnelle
݃ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ
ି௧
௧
݀‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ξ͵
ξ͵
ξ͵
ൌ ͵݁ ି௧ െ ʹǤͳ݁ ଶ ‘• ቆ͹͸ ൅ ቇ ‫ ݐ‬൅ ͶǤʹ݁ ିଶ ቆ͹͸ ൅ ቇ •‹ ቆ͹͸ ൅ ቇ ‫ݐ‬
݀‫ݐ‬
ʹ
ʹ
ʹ
Exercice N°2
/¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGHFLUFXLW :
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܴ݅ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ͲϲϰͲ
݅ ሺ‫ ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬
݀‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݀‫ݐ‬
ௗ௦
On obtient : ܴ‫ܥ‬
ௗ௧
൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁ሺ‫ݐ‬ሻ
La fonction de transfert :
ௌሺ௣ሻ
ଵ
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ாሺ௣ሻ ൌ ଵାோ஼௣
݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͵‫ ܧ ֜ ݐ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
͵
‫݌‬ଶ
͵
‫݌‬ଶ ሺܴ‫ ݌ܥ‬൅ ͳሻ
ܵ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
௧
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͵ܴ‫ ܥ‬൬݁ ିோ஼ ൅
‫ݐ‬
െ ͳ൰ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ܴ‫ܥ‬
Exercice N°3
‫݌‬ଶ ܻሺ‫݌‬ሻ ൅ ͲǤͶ‫ܻ݌‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ͲǤʹͷܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ሾ‫݌‬ଶ ൅ ͲǤͶ‫ ݌‬൅ ͲǤʹͷሿܻሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ֜ ‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ൌ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ͳ
ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ‫݌‬ଶ ൅ ͲǤͶ‫ ݌‬൅ ͲǤʹͷ
Ͷ
ͲǤͶ
‫݌‬ଶ
ͳ൅
ͲǤʹͷ ‫ ݌‬൅ ሺͲǤʹͷሻଶ
K=4 ; ߱௡ ൌ ͲǤͷ‫݀ܽݎ‬Ȁ‫ [ ;ݏ‬ൌ ͲǤͶ
Exercice N°4
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
െ‫ ݌‬൅ ͷ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
‫݌‬ଶ ൅ ͷ‫ ݌‬൅ Ͷ
1. La réponse impulsionnelle (E(p)=1)
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
െ‫ ݌‬൅ ͷ
െ‫ ݌‬൅ ͷ
ʹ
͵
ൌ
ൌ
െ
‫݌‬ଶ ൅ ͷ‫ ݌‬൅ Ͷ ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻሺ‫ ݌‬൅ Ͷሻ ‫ ݌‬൅ ͳ ‫ ݌‬൅ Ͷ
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሺʹ݁ ି௧ െ ͵݁ ିସ௧ ሻ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ଵ
2. La réponse indicielle ሺ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ሻ
ܻ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ ͷȀͶ
ʹ
͵ȀͶ
െ‫ ݌‬൅ ͷ
ൈ ൌ
െ
൅
‫݌‬
‫݌‬൅ͳ ‫݌‬൅Ͷ
‫݌‬ଶ ൅ ͷ‫ ݌‬൅ Ͷ ‫݌‬
ͷ
͵
‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ൬ െ ʹ݁ ି௧ ൅ ݁ ିସ௧ ൰ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Ͷ
Ͷ
Exercice N°5
x
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ହ
௣ାହ
ͲϲϱͲ
ଵ
߬ ൌ ହs, tr = 0.44s, ts=0.6s
x
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ଶ଴
௣ାଶ଴
ଵ
߬ ൌ ଶ଴s, tr = 0.11s, ts=0.15s
Exercice N°6
ଵଶ଴
x
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ାଵଶ௣ାଵଶ଴ ൌ
ଵ
ଵା
భ
భ
௣ା ௣మ
భబ
భమబ
‫ݐ‬௠ ൌ ͲǤʹ͵ͷ‫ݏ‬
‫ ݐ‬ൌ ͲǤ͵Ͷ͵‫ݏ‬
֜ ൞ ௣
൞
߱଴ ൌ ͳͲǤͻͷ‫݀ܽݎ‬Ȁ‫ݏ‬
‫ݐ‬௦ ൌ ͲǤͷ‫ݏ‬
݀Ψ ൌ ͳʹǤ͹ͺΨ
[ ൌ ͲǤͷͶͺ
x
ଵ
଴Ǥ଴ଵ
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ା଴Ǥ଴଴ଶ௣ା଴Ǥ଴ଵ ൌ ଵା଴Ǥଶ௣ାଵ଴଴௣మ
‫ݐ‬௠ ൌ ͳͷǤͺ‫ݏ‬
‫ݐ‬௣ ൌ ͵ͳǤͶ‫ݏ‬
൜
֜൞
߱଴ ൌ ͲǤͳ‫݀ܽݎ‬Ȁ‫ݏ‬
‫ݐ‬௦ ൌ ͵ ൈ ͳͲଷ ‫ ݏ‬ൌ ͷͲ݉݊
݀Ψ ൌ ͻ͸ǤͻΨ
[ ൌ ͲǤͲͳ
Exercice N°7
Calculons K DILQG¶DVVXUHUXQGpSDVVHPHQW ݀Ψ ൑ ͳͲΨ sur la réponse indicielle.
‫ܶܤܶܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
‫ܭ‬
ܻሺ‫݌‬ሻ
ͳ
‫ ݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ʹ ሻ
ൌ
ൌ
‫ܭ‬
ͳ
ʹ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ͳ ൅ ‫ ݌‬൅ ‫݌‬ଶ
ͳ൅ ሺ
‫ܭ‬
‫ܭ‬
‫ ݌ ݌‬൅ ʹሻ
‫ [ʹ ۓ‬ൌ ʹ ͳ
ۖ߱଴ ‫ܭ‬
[ൌ
֜
֜ ቐ
‫ܭ‬
ξ
‫ ͳ ۔‬ൌͳ
߱
ൌ
ξ‫ܭ‬
ۖ ߱ଶ ‫ܭ‬
଴
‫ ە‬଴
ିగ൮
݀Ψ ൌ ݁
֜
ͳ
ξ‫ܭ‬
[
൙
ටଵି[మ
൲
ൈ ͳͲͲΨ ൑ ͳͲΨ ֜ [ ൒ ͲǤͷͻ
൒ ͲǤͷͻ ֜ ‫ ܭ‬൑
ͳ
֜ ‫ ܭ‬൑ ʹǤͺ͹
ሺͲǤͷͻሻଶ
Exercice N°8
1. Loi des mailles :
݁ሺ‫ݐ‬ሻ െ ܴ݅ሺ‫ݐ‬ሻ െ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
ͲϲϲͲ
ଵ
On a : ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ஼ ‫ݐ݀݅ ׬‬
ௗ௦
Alors : ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܴ‫ ܥ‬ௗ௧ ൅ ‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ଵ
2. ‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣
a. On passe à la transformée de Laplace, on obtient :
ܴ‫ܵ݌ܥ‬ሺ‫݌‬ሻ ൅ ܵሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
֜ ܵ ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ
ͳ ൅ ܴ‫݌ ݌ܥ‬ሺͳ ൅ ܴ‫݌ܥ‬ሻ ‫݌‬ሺͳ ൅ ߬‫݌‬ሻ
௧
‫ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ൬ͳ െ ݁ ିఛ ൰ ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
b. ߬ ൌ ܴ‫ ܥ‬ൌ ͳͲǤ ͳͲଷ ൈ ʹǤʹǤ ͳͲଽ ൌ ʹʹߤ‫ݏ‬
‫ݐ‬௥ ሺͷΨሻ ൌ ͵߬ ൌ ͸͸ߤ‫ݏ‬
Exercice N°9
On a :
߱଴ ൌ ξͳͲͲ ൌ ͳͲ
[ൌ
ͳͷ
ൌ ͲǤ͹ͷ
ʹǤͳͲ
‫ۓ‬
ۖ
Donc :
‫ݐ‬௣ ൌ
గ
ఠబ ටଵି[మ
ି
ൌ ͲǤͶ͹ͷ‫ݏ‬
[ഏ
‫ ܦ۔‬ൌ ݁ ටభష[మ ൌ ʹǤͺ͵ͺΨ
ۖ
ସ
‫ݐ ە‬௦ ൌ [ఠబ ൌ ͲǤͷ͵͵‫ݏ‬
߱଴ ‫ݐ‬௥ ൌ ʹǤ͵ ֜ ‫ݐ‬௥ ൌ ͲǤʹ͵‫ݏ‬
ͲϲϳͲ
Exercices supplémentaires
Exercice N°1
Soit un système de second ordre avec des pôles ‫݌‬ଵǡଶ ൌ െͶ േ ݆ͺ
Calculer [ǡ ߱଴ ǡ ‫ܦ‬ǡ ‫ݐ‬௣ ǡ ‫ݐ‬௦
Exercice N°2
Soit le montage RC suivant :
1. Déterminer ‫ ܪ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௏ೞ ሺ௣ሻ
ாሺ௣ሻ
2. Déduire la nature du système ainsi que ses paramètres caractéristiques en fonction de R
et C.
3. Pour ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳͲ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ܴ ൌ ͳͲͲ:ǡ ‫ ܥ‬ൌ ͳߤ‫ ܨ‬calculer et tracer ܸ௦ ሺ‫ݐ‬ሻ.
Exercice N°3
Soit le montage RL suivant :
1. Déterminer ‫ ܪ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௏ೞ ሺ௣ሻ
ாሺ௣ሻ
2. Représenter ܸ௦ ሺ‫ݐ‬ሻ pour ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ʹ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ܴ ൌ ͳͲͲ:ǡ ‫ ܮ‬ൌ ͳ݉‫ܪ‬
Exercice N°4
ସ
Soit la fonction de transfert ‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ାଶ
1. Déterminer [, ߱଴ ǡ ݇
2. Représenter la réponse indicielle s(t).
ͲϲϴͲ
Exercice N°5
Soit le montage suivant :
1. Déterminer ‫ ܪ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
௏಴ ሺ௣ሻ
ாሺ௣ሻ
2. Déterminer les paramètres caractéristiques du système en fonction de R, L et C.
3. 'pWHUPLQHUO¶pTXDWLRQFDUDFWpULVWLTXH
4. Conclure sur la stabilité du système pour
5. Calculer s(t) pour e(t)=u(t).
6. Calculer D%, tp et ts à ±5%.
Exercice N°6
Soit un système décrit par sa fonction de transfert
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ͵
‫݌‬ଶ ൅ ͵‫ ݌‬൅ ͳ
1. Déterminer [ǡ ߱଴ ǡ ݇.
2. Déterminer s(t) et la représenter pour e(t)=2u(t).
Exercice N°7
Soit le système décrit par la fonction de transfert suivante :
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ ൅ ʹ‫݌‬
‫݌‬ଶ
൅‫݌‬൅
ͳ
Ͷ
1. Donner la nature de ce système,
2. Mettre ce système sous sa forme canonique.
3. Donner la réponse indicielle de ce système.
4. Calculer le temps de stabilisation de ce système (temps de réponse)
Exercice N°8
ଵ
On prend : ‫ ܪ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ଵା଴Ǥଶହ௣
1. Donner la réponse indicielle unitaire.
2. La représenter en précisant les valeurs particulières.
3. Déterminer le temps de stabilisation à 5%.
Exercice N°9
On considère un système de fonction de transfert définie par :
ͲϲϵͲ
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ʹ
ͳ ൅ ͲǤͳ‫݌‬
1. 4XHOHVWO¶RUGUHGXV\VWqPH
2. Donner les valeurs du gain statique et de la constante du temps du système.
3. 7UDFHUO¶DOOXUHGHVDUpSRQVHLQGLFLHOOHXQLWDLUH
Exercice N°10
Trouver [ et dire quel est le type de réponse pour chaque cas :
1. ‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ଵଶ
௣మ ା଼௣ାଵଶ
ଵ଺
2. ‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ା଼௣ାଵ଺
ଶ଴
3. ‫ܩ‬ଷ ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣మ ା଼௣ାଶ଴
ͲϳϬͲ
Chapitre VI
Réponse fréquentielle des systèmes à temps continu
VI.1 Définition
&RQVLGpURQVXQV\VWqPHOLQpDLUHG RUGUHTXHOFRQTXHDYHFXQHHQWUpHHWXQHVRUWLH6LO¶HQWUpH
est sinusoïdale ݁ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܧ‬଴ •‹ሺ߱‫ݐ‬ሻ, la propriété linéaire du système fait que la sortie sera
également une sinusoïde, de même pulsation que l'entrée. On aura: ‫ ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܵ଴ •‹ሺ߱‫ ݐ‬൅ ߮ሻ.
Dans une analyse harmonique d'un système, on va faire le lien entre la fonction de transfert et
la réponse de ce système à une sinusoïde. Cette réponse sera caractérisée par deux paramètres :
‫ ݊݅ܽܩ‬ൌ ௌబ
ாబ
; ݀݁‫ ݁݃ܽݏ݄ܽ݌‬ൌ ߮
Ces deux paramètres dépendent de la pulsation ߱ de l'entrée.
ௌሺ௣ሻ
Soit : ‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ாሺ௣ሻ
On appelle réponse harmonique du système la fonction ‫ܩ‬ሺ‫ ݌‬ൌ ݆߱ሻ.
La connaissance de G (jZ) permet donc de déduire le comportement fréquentiel du système.
La réponse harmonique G (jZ pWDQWXQQRPEUHFRPSOH[HIRQFWLRQG¶XQHYDULDEOHFRPSOH[H ;
RQO¶LOOXVWUHOHSOXVVRXYHQWSDUGHVGLDJUDPPHVPHWWDQWHQFRUUHVSRQGDQFHOHPRGXOH ȁ‫ܩ‬ሺ݆߱ሻȁ
et O¶DUJXment ߮ሺ݆߱ሻ ൌ ”‰ሺ‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻሻ.
Le gain en décibels correspond à ‫ܩ‬ௗ஻ ሺ߱ሻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ȁ‫ܩ‬ሺ݆߱ሻȁ
Exemple
Soit la fonction suivante :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ͳ
‫݌‬൅ʹ
Calculer la fonction de transfert dans le domaine fréquentiel.
La fonction de transfert est : ‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
ͳ
ʹ െ ݆߱ ʹ െ ݆߱
ൈ
ൌ
ʹ ൅ ݆߱ ʹ െ ݆߱ Ͷ ൅ ߱ ଶ
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
ʹ
߱
െ݆
Ͷ ൅ ߱ଶ
Ͷ ൅ ߱ଶ
ଵ
ଶା௝ఠ
/¶DPSOLWXGHHVW
ͲϳϭͲ
ȁ‫ܩ‬ሺ݆߱ሻȁ ൌ ඨ൬
ଶ
ଶ
߱
ʹ
൰ ൅ቀ
ቁ
ଶ
ଶ
Ͷ൅߱
Ͷ൅߱
La phase :
߱
߮ ൌ െ ƒ” –ƒ ቀ ቁ
ʹ
VI.2 Diagrammes de BODE
Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes. La première donne le module de G(j Z)
en décibels (dB), dans un plan semi logarithmique :
‫ܩ‬ௗ஻ ሺ߱ሻ ൌ ʹͲ݈‫݃݋‬ଵ଴ ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻȁ
LD VHFRQGH GRQQH O¶DUJXPHQW GH *(jZ), généralement exprimé en degrés (deg), quand la
pulsation ߱ varie :
߮ሺ݆߱ሻ ൌ ”‰ሺ‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻሻ
On utilise traditionnellement les termes gain et de phase, plutôt que les termes module et
argument.
VI.2.1 Système de premier ordre
/DIRQFWLRQGHWUDQVIHUWG¶XQV\VWqPHGHSUHPLHURUGUHV¶pFULWVRXVODIRUPH
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
‫ܭ‬
ͳ ൅ ߬‫݌‬
En posant ‫ ݌‬ൌ ݆߱, ‫ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ devient :
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
௄
ଵା௝ఛఠ
ൌ
௄
ଵା௝
ଵ
avec ߱଴ ൌ ఛ
ഘ
ഘబ
ఠ
௄
On définit la pulsation réduite ‫ ݑ‬ൌ ఠ on obtient : ‫ ܩ‬ሺ݆‫ݑ‬ሻ ൌ ଵା௝௨
బ
x
Module de G(ju)
ȁ‫ܩ‬ሺ݆‫ݑ‬ሻȁ ൌ
‫ܭ‬
ξͳ ൅ ‫ݑ‬ଶ
‫ܩ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ ‫ ܭ‬െ ʹͲ Ž‘‰ ඥͳ ൅ ‫ݑ‬ଶ
x
Argument de ‫ܩ‬ሺ݆‫ݑ‬ሻ
߮ ൌ െ ƒ” –ƒሺ‫ݑ‬ሻ
Comportement asymptotique
Si ‫ ֜ ͳ ا ݑ‬ȁ‫ ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻȁ ൌ ‫ܩ ֜ ܭ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺ‫ ܭ‬ሻ ǡ߮ ൌ Ͳ
௄
గ
௨
ଶ
Si ‫ ֜ ͳ ب ݑ‬ȁ‫ ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻȁ ൌ ֜ ‫ܩ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺ‫ ܭ‬ሻ െ ʹͲ Ž‘‰ ‫ ݑ‬ǡ߮ ൌ െ ƒ”‰ሺ݆‫ݑ‬ሻ ൌ െ
ͲϳϮͲ
Si ‫ ݑ‬ൌ ͳ ֜ ȁ‫ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻȁ ൌ
߮ ൌ ƒ”‰ ቀ
ଵ
ଵା௝
௄
ଵା௝
֜ ‫ܩ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺ‫ܭ‬ሻ െ ʹͲ Ž‘‰ ξʹ ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺ‫ ܭ‬ሻ െ ͵݀‫ܤ‬,
ቁ ൌ െ ƒ”‰ሺͳ ൅ ݆ሻ ൌ െ
గ
ସ
La représentation asymptotique de Bode en amplitude est donc composée de deux asymptotes :
x
Si Z tend vers 0 le gain tend vers une asymptote horizontale G¶pTXDWLRQ ‫ܩ‬ௗ஻ ൌ
ʹͲ Ž‘‰ሺ‫ܭ‬ሻ.
x
Si ߱ est de multiplicité par 10, le gain chute de 20 dB RQGLWTX¶RQDXQHDV\PSWRWHGH
pente -20 dB/décade notée (-1).
ଵ
Les deux asymptotes se croisent pour ߱ ൌ ߱଴ ൌ , cette fréquence est appelée fréquence de
ఛ
cassure ou coupure.
Figure VI.1 : 'LDJUDPPHGH%RGHG¶XQV\VWqPHGHSUHPLHURUGUH
VI.2.2 Système de deuxième ordre
/DIRQFWLRQGHWUDQVIHUWG¶XQV\VWqPHGHGHX[LqPHRUGUHV¶pFULWVRXVODIRUPH :
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
‫ܭ‬
ʹ[
‫ ݌‬ଶ
ͳ ൅ ߱ ‫ ݌‬൅ ቀ߱ ቁ
଴
଴
En posant ‫ ݌‬ൌ ݆߱, G(p) devient :
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
‫ܭ‬
߱
߱ ଶ
ͳ ൅ ʹ[݆
൅ ቀ݆ ቁ
߱଴
߱଴
On définit la pulsation réduite ൌ
ఠ
ఠబ
, on obtient : ‫ ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ
ͲϳϯͲ
௄
ଵି௨ మ ାଶ[௝௨
Avec :
‫ ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺȁ‫ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻȁሻ
൜ ௗ஻
߮ ൌ ƒ”‰ሺ‫ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻሻ
ȁ‫ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻȁ ൌ
avec
௄
ටሾଵି௨ మ ሿమ ାସ[మ ௨ మ
൞
ଶ[௨
ƒ”‰ሾ‫ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻሿ ൌ െ ƒ” –ƒ ቂଵି௨మ ቃ
Comportement asymptotique
Si ‫ ֜ ͳ ا ݑ‬ȁ݃ሺ‫ݑ‬ሻȁ ൎ ‫ܩ ֜ ܭ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺ‫ ܭ‬ሻǡ߮ ՜ Ͳ
௄
Si ‫ ֜ ͳ ب ݑ‬ȁ݃ሺ‫ݑ‬ሻȁ ൎ ௨మ ֜ ‫ܩ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺ‫ ܭ‬ሻ െ ͶͲ Ž‘‰ ‫ ݑ‬ǡ ߮ ՜ െߨ
Le GLDJUDPPHGHJDLQSRVVqGHDORUVGHX[DV\PSWRWHVO¶XQHKRUL]RQWDOHHQ 20log (K) de pente
nulle et la seconde de pente 40 dB/décade passant par le point ሺʹͲ Ž‘‰ሺ‫ ܭ‬ሻǡ ߱଴ ሻ. Le déphasage
maximal vaut quant à lui ±180°.
Figure VI.2: 'LDJUDPPHGH%RGHG¶XQV\VWqPHGHGHX[LqPHRUGUH
VI.3 Diagramme de Nyquist
Le diagramme de Nyquist est lieu de G(j Z) dans le plan complexe, lorsque ߱ varie de
f à f . Ce diagramme est orienté selon les Ȧ croissants. Il représente dans le plan
complexe la partie imaginaire en fonction de la partie réelle et qui évolue en fonction de ߱.
En pratique, il suffit de tracer ‫ܩ‬ሺ݆߱ሻ pour les seules variables positives de ߱ puis de compléter
SDUV\PpWULHSDUUDSSRUWjO¶D[HGHVUpHOV
VI.3.1 Systèmes de premier ordre
/DIRQFWLRQGHWUDQVIHUWG¶XQV\VWqPHGHSUHPLHURUGUHV¶pFULWVRXVODIorme :
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ ‫ܭ‬
ͳ ൅ ߬‫݌‬
Dans le plan complexe, ‫ܩ‬ሺ݆߱ሻ V¶pFULW :
ͲϳϰͲ
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
‫ܭ‬
‫ ܭ‬ሺͳ െ ݆߬߱ሻ
ൌ
ൌ ܴ݁ሺ߱ሻ ൅ ݆‫݉ܫ‬ሺ߱ሻ
ͳ ൅ ݆߬߱
ͳ ൅ ሺ߬߱ሻଶ
Où :
‫ܭ‬
ͳ ൅ ሺ߬߱ሻଶ
െ߬߱‫ܭ‬
‫݉ܫ ۔‬ሺ߱ሻ ൌ ‫ە‬
ͳ ൅ ሺ߬߱ሻଶ
‫ܴ݁ۓ‬ሺ߱ሻ ൌ ߱
0
൅λ
ܴ݁
K
0
‫݉ܫ‬
0
0
Il reste à tracer Re et Im, On peut montrer que cette courbe est un cercle. En effet :
‫ ܭ‬ଶ
‫ ܭ‬ଶ
൬ܴ݁ െ ൰ ൅ ‫݉ܫ‬ଶ ൌ ൬ ൰
ʹ
ʹ
௄
Le lieu de Nyquist d'un système du premier ordre est un demi-cercle de centre ቀͲǡ ቁ et de rayon
ଶ
௄
.
ଶ
Figure VI.3: Diagramme de Nyquist de 1ére ordre.
VI.3.2 Systèmes de second ordre
/DIRQFWLRQGHWUDQVIHUWG¶XQV\VWqPHGHGHX[LqPHRUGUHV¶pFULWVRXVODIRUPH :
ͲϳϱͲ
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
‫ܭ‬
ʹ[
‫ ݌‬ଶ
‫݌‬൅ቀ ቁ
ͳ൅
߱଴
߱଴
En posant ‫ ݌‬ൌ ݆߱, G(p) devient :
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
‫ܭ‬
߱
߱ ଶ
ͳ ൅ ʹ[݆
߱଴ ൅ ቀ݆ ߱଴ ቁ
On définit la pulsation réduite ൌ
௄൫ଵି௨ మ൯
௄
ఠ
ఠబ
, on obtient :
ଶ௄[௨
‫ ܩ‬ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ଵି௨మାଶ[௝௨ ൌ ሺଵି௨మሻమାସ[మ ௨మ െ ݆ ሺଵି௨మ ሻమାସ[మ ௨మ ൌ ܴ݁ሺ߱ሻ ൅ ݆‫݉ܫ‬ሺ߱ሻ
‫ݑ‬
0
൅λ
ܴ݁
K
0
‫݉ܫ‬
0
0
Figure VI.4 : Diagramme de Nyquist de 2éme ordre.
VI.4 Diagramme de Black
Le diagramme de Black est le lieu orienté des points de coordonnées M Ȧ , GdB Ȧ lorsque Z
varie de f à f . On fait en général apparaître le point critique de coordonnées (-180, 0) lors
du tracé de ce lieu, pour les mêmes raisons.
ͲϳϲͲ
Exercices sur réponse fréquentielle des systèmes à temps continu
Exercice N°1
Tracer les diagrammes de Bode (gain et phase) des systèmes suivants :
ଵ
x
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ାଵ଴଴
x
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻሺ௣ାଵ଴଴ሻ
ଵ଴଴଴
Exercice N°2
Tracer les diagrammes de Black et Nyquist des systèmes suivants :
ହ
x
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ଵାଶ௣
x
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺଵା௣ሻሺଵାଶ௣ሻ
ହ
Solution des exercices
Exercice N°1
x
ଵ
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ௣ାଵ଴଴
On pose ‫ ݌‬ൌ ݆߱
ͳ
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
ͳͲͲ ൅ ݆߱
‫ܩ‬ௗ஻ ሺ߱ሻ ൌ ʹͲ ൈ Ž‘‰ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻȁ ൌ ʹͲ Ž‘‰
߮ ൌ ƒ”‰൫‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ൯ ൌ െ ƒ” –ƒ ቀ
‫ܭ‬
ξ߱ ଶ
൅ ͳͲͲଶ
߱
ቁ
ͳͲͲ
Etude asymptotique :
Si ߱ ՜ Ͳ ֜ ቊ
‫ܩ‬ௗ஻ ൌ െʹͲ Ž‘‰൫ξͳͲͲଶ ൯ ൌ െͶͲ݀‫ܤ‬
߮ ൌ Ͳι
‫ ܩ‬՜ െλƒ˜‡ —‡’‡–‡ ൌ െʹͲ†Ȁ†± ƒ†‡
Si ߱ ՜ λ ֜ ൜ ௗ஻
߮ ൌ െͻͲι
Si ߱ ൌ ͳͲͲ‫݀ܽݎ‬Ǥ ‫ି ݏ‬ଵ ֜ ൜
‫ܩ‬ௗ஻ ൌ െʹͲ Ž‘‰ሺͳͲͲଶ ൅ ͳͲͲଶ ሻ ൌ െͶ͵݀‫ܤ‬
߮ ൌ െͶͷι
ͲϳϳͲ
x
ଵ଴଴଴
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻሺ௣ାଵ଴଴ሻ ൌ
ଵ
௣ାଵ଴଴
ൈ
ଵ଴଴଴
௣ାଵ
ൌ ‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൈ ‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ
ͳ
‫ ݌‬൅ ͳͲͲ
On pose ‫ ݌‬ൌ ݆߱
ͳ
‫ܩ‬ଵ ሺ݆߱ሻ ൌ
ͳͲͲ ൅ ݆߱
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
‫ܩ‬ଵௗ஻ ሺ߱ሻ ൌ ʹͲ ൈ Ž‘‰ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻȁ ൌ ʹͲ Ž‘‰
߮ଵ ൌ ƒ”‰൫‫ܩ‬ଵ ሺ݆߱ሻ൯ ൌ െ ƒ” –ƒ ቀ
‫ܭ‬
ξ߱ ଶ
൅ ͳͲͲଶ
߱
ቁ
ͳͲͲ
Etude asymptotique :
Si ߱ ՜ Ͳ ֜ ቊ
‫ܩ‬ଵௗ஻ ൌ െʹͲ Ž‘‰൫ξͳͲͲଶ ൯ ൌ െͶͲ݀‫ܤ‬
߮ଵ ൌ Ͳι
‫ ܩ‬՜ െλƒ˜‡ —‡’‡–‡ ൌ െʹͲ†Ȁ†± ƒ†‡
Si ߱ ՜ λ ֜ ൜ ଵௗ஻
߮ଵ ൌ െͻͲι
Si ߱ ൌ ͳͲͲ‫݀ܽݎ‬Ǥ ‫ି ݏ‬ଵ ֜ ൜
x
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
‫ܩ‬ଵௗ஻ ൌ െʹͲ Ž‘‰ሺͳͲͲଶ ൅ ͳͲͲଶ ሻ ൌ െͶ͵݀‫ܤ‬
߮ଵ ൌ െͶͷι
ଵ଴଴଴
௣ାଵ
On pose ‫ ݌‬ൌ ݆߱
ͳͲͲͲ
‫ܩ‬ଶ ሺ݆߱ሻ ൌ
ͳ ൅ ݆߱
‫ܩ‬ଶௗ஻ ሺ߱ሻ ൌ ʹͲ ൈ Ž‘‰ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻȁ ൌ ʹͲ Ž‘‰
ͳͲͲͲ
ξ߱ ଶ ൅ ͳ
ͲϳϴͲ
߱
߮ଶ ൌ ƒ”‰൫‫ܩ‬ଶ ሺ݆߱ሻ൯ ൌ െ ƒ” –ƒ ቀ ቁ
ͳ
Etude asymptotique :
‫ܩ‬
ൌ ʹͲ Ž‘‰ሺͳͲͲͲሻ ൌ ͸Ͳ݀‫ܤ‬
Si ߱ ՜ Ͳ ֜ ൜ ଶௗ஻
߮ଶ ൌ Ͳι
‫ܩ‬
՜ െλƒ˜‡ —‡’‡–‡ ൌ െʹͲ†Ȁ†± ƒ†‡
Si ߱ ՜ λ ֜ ൜ ଶௗ஻
߮ଶ ൌ െͻͲι
ൌ ͷ͹݀‫ܤ‬
‫ܩ‬
Si ߱ ൌ ͳ‫݀ܽݎ‬Ǥ ‫ି ݏ‬ଵ ֜ ൜ ଶௗ஻
߮ଶ ൌ െͶͷι
x
Etude asymptotique :
‫ ܩ‬ൌ ͸Ͳ െ ͶͲ ൌ ʹͲ݀‫ܤ‬
Si ߱ ՜ Ͳ ֜ ൜ ௗ஻
߮ ൌ Ͳι
‫ ܩ‬՜ െλƒ˜‡ —‡’‡–‡ ൌ െͶͲ†Ȁ†± ƒ†‡
Si ߱ ՜ λ ֜ ൜ ௗ஻
߮ଶ ൌ െͳͺͲι
Si ߱ ‫ א‬ሾͳǡͳͲͲሿ‫݀ܽݎ‬Ǥ ‫ି ݏ‬ଵ ֜ ൜
‫ܩ‬ௗ஻ ൌ െλƒ˜‡ —‡’‡–‡ ൌ െʹͲ†Ȁ†± ƒ†‡
߮ ‫ א‬ሾെͶͷιǡ െͳ͵ͷιሿ
Exercice N°2
x
ହ
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ଵାଶ௣
Diagramme de Black
ͲϳϵͲ
Diagramme de Nyquist
x
ହ
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺଵା௣ሻሺଵାଶ௣ሻ
Diagramme de Black
x
ହ
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺଵା௣ሻሺଵାଶ௣ሻ
ͲϴϬͲ
Diagramme de Nyquist
Exercices supplémentaires
Exercice N°1
Tracer les lieux de Bode des fonctions de transferts suivantes :
ହ
x
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ଵାଶ଴௣
x
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵ଴ሻሺ௣ାଶ଴଴ሻ
ଵ଴
Exercice N°2
Tracer les diagrammes de Bode, Nyquist et Black pour les fonctions suivantes :
ଵ
x
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ ௣
x
x
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ͳ ൅ ߬‫݌‬
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ͳ െ ߬‫݌‬
ଵ
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
x
ଵିఛ௣
Exercice N°3
Soit le système décrit par la fonction de transfert suivante :
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͳ ൅ ʹ‫݌‬
‫݌‬ଶ
൅‫݌‬൅
ͳ
Ͷ
x
Tracer le diagramme asymptotique de Bode de ce système.
x
Tracer le diagramme de Black de ce système.
ͲϴϭͲ
Exercice N°4
Une étude harmonique, pour identifier la fonction de transfert du moteur H(p), a donnée les
résultats suivants :
1. Tracer sur le document ci-après les diagrammes de Bode.
2. En déduire le gain statique et la constante du temps.
Exercice N°5
Tracer les lieux de Bode des fonctions de transferts suivantes
ହ
x
‫ ܨ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ଵାଶ଴௣
x
‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵ଴ሻሺ௣ାଶ଴଴ሻ
ଵ଴
Exercice N°6
On considère un système de fonction de transfert définie par :
‫ ܪ‬ሺ‫ ݏ‬ሻ ൌ
ʹ
ͳ ൅ ͲǤͳ‫݌‬
1. 'RQQHUO¶H[SUHVVLRQGHȁ‫ܪ‬ሺ݆߱ሻȁ et ƒ”‰ȁ‫ܪ‬ሺ݆߱ሻȁ
2. On définit le gain en décibel par ‫ܪ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰ȁ‫ܪ‬ሺ݆߱ሻȁet la phase en degré.
3. Quelle sont les valeurs du gain et phase dans les trois cas suivant :
x
Z՜Ͳ
x
Z՜λ
x
Z ൌ ͳͲ”ƒ†Ȁ•
4. 'RQQHUO¶DOOXUHGHVGLDJUDPPHVGH%RGH
Exercice N°7
Tracer les Diagrammes de Bode asymptotiques (gain et phase) pour chaque système:
ଵ଴଴଴
1. ‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻሺ௣ାଵ଴଴ሻ.
2. ‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
3. ‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ
ଵ଴଴଴ሺ௣ାଵሻ
௣ሺ௣ାଵ଴ሻ
.
ଵ଴௣
ሺ௣ାଵሻሺ௣ାଵ଴଴ሻ
.
ͲϴϮͲ
Exercice N°8
Tracer les diagrammes de Bode du système suivant;
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ሺ௣ାଵሻሺ௣ାଵ଴଴ሻ
ሺ௣ାଵ଴ሻమ
.
Exercice N°9
Tracer le Diagramme de Nyquist pour chacun des systèmes suivants:
‫ܩ‬ଵ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
Ͷ
‫݌‬ሺ‫ ݌‬൅ ͷሻ
‫ܩ‬ଶ ሺ‫݌‬ሻ ൌ
͸
ሺ‫ ݌‬൅ ͳሻ
ͲϴϯͲ
Chapitre VII : Analyse des systèmes à temps continu
VII.1 Commandabilité et observabilité
VII.1.1 Commandabilité
La cRPPDQGDELOLWpG¶XQV\VWqPHFDUDFWpULVHVDFDSDFLWpjYRLUVRQFRPSRUWHPHQWG\QDPLTXH
pYROXHUVRXVO¶DFWLRQGHVDFRPPDQGH
Théorème
8QV\VWqPHOLQpDLUHLQYDULDQWG¶pTXDWLRQG\QDPLTXHG¶pWDW :
ௗ௫
ௗ௧
ൌ ‫ ݔܣ‬൅ ‫ ݑܤ‬est commandable
si et seulement si la matrice de commandabilité :
ܿ‫ ݉݋‬ൌ ሺ‫ܤ‬
‫ܤܣ‬
ǥ
‫ܣ‬௡ିଵ ‫ܤ‬ሻ est de rang n.
VII.1.2 Observabilité
/¶REVHUYDELOLWp G¶XQ V\VWqPH FDUDFWpULVH OD SRVVLELOLWp GH GpWHUPLQHU VRQ pWDW j SDUWLU GHV
mesures de sa sortie.
Théorème
Un système linéaire invariant dont la représentation G¶pWDW :
ௗ௫
ൌ ‫ ݔܣ‬൅ ‫ݑܤ‬
ቊ ௗ௧
est observable si et seulement si la matrice G¶REVHUYDELOLWp :
‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔܥ‬൅ ‫ݑܦ‬
‫ܥ‬
ܱܾ‫ ݏ‬ൌ ቌ ‫ ܣܥ‬ቍ
‫ڭ‬
‫ܣܥ‬௡ିଵ
est de rang n
VII.2 Stabilité
La VWDELOLWpG¶XQV\VWqPHHVWXQHDXWUHFDUDFWpULVWLTXHIRQGDPHQWDOH
VII.2.1 Stabilité BIBO
6LO¶RQFRQVLGqUHGXV\VWqPHYLV-à-vis de sa réponse, on adopte la définition suivante :
Un système est stable si toute entrée bornée produit une sortie bornée (BIBO : bounded input
bounded output).
ͲϴϰͲ
VII.2.2 Condition sur les pôles
Un système linéaire invariant à temps continu est stable si tous ses pôles sont à partie réelle
strictement négative.
Figure VII.1 : Domaine de stabilité
Exemples :
x
௣ିଶ
‫ ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ሺ௣ାଵሻሺ௣ାଶሻ
Les pôles : ‫݌‬ଵ ൌ െͳǢ‫݌‬ଶ ൌ െʹ
x
le système est stable.
௣ାଶ
‫ ܩ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ሺ௣ିଵሻሺ௣ାଶሻ
Les pôles : ‫݌‬ଵ ൌ ͳǢ‫݌‬ଶ ൌ െʹ
le système est instable.
VII.2.3 Critère de Routh-Hurwitz
Soit ‫ܦ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ܽ௡ ‫݌‬௡ ൅ ܽ௡ିଵ ‫݌‬௡ିଵ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽଵ ‫݌‬ଵ ൅ ܽ଴ le polynôme dénominateur de la fonction de
transfert du système considérer. Le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer le signe des
racines de D(p) sans pour autant avoir à calculer leur valeur.
Tableau de Routh
/HVGHX[SUHPLqUHVOLJQHVGXWDEOHDXVRQWpFULWHVjO¶DLGHGHVFRHIILFLHQWVGHD(p).
Les autres lignes sont formées de termes calculés à partir de ces coefficients.
an
an-2
an-4
«
ܽ଴
an-1
an-3
an-5
«
ܽ૚
ܾଵ
ܾଶ
ܾଷ
«
ܾ௡
ܿଵ
ܿଶ
ܿଷ
«
ܿ௡
«
«
«
«
«
‫ݍ‬ଵ
‫ݍ‬ଶ
‫ݍ‬ଷ
«
‫ݍ‬௡
ͲϴϱͲ
Exemples
Le système est stable en boucle fermée.
/HV\VWqPHQ¶HVWSDVVWDEOHHQERXFOHIHUPpH
VII.2.5 Critère de Rivers dans le plan de Bode
Un système stable en boucle ouverte est stable en boucle fermée si la courbe de gain de ‫ܩ‬ௗ஻
FRXSHO¶D[HGHV abscisses pour une phase ߮ሺ߱ሻ ൐ െͳͺͲ
Exemple
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ʹͲ
‫݌‬ଶ െ ʹ‫ ݌‬൅ ͳ
ͲϴϴͲ
Le système est instable en BF car ‫ ܩܯ‬൐ Ͳǡ ‫ ߮ܯ‬൏ Ͳ
VII.2.6 Marges de stabilité
2Q pYDOXH TXDQWLWDWLYHPHQW OD VWDELOLWp G¶XQ V\VWqPH j O¶DLGH G¶LQGLFHV DSSHOpV PDUJHV GH
stabilité, déterminés à partir de la réponse harmonique en boucle ouverte.
VII.2.6.1 Marge de gain (MG)
Définition 1 : La marge du gain est le facteur par lequel il faut multiplier le gain de la fonction
de transfert en Boucle ouverte pour amener son module à la valeur unitaire.
‫ ܩܯ‬ൌ
ͳ
ԡܱ‫ܣ‬ԡ
‫ܩܯ‬ௗ஻ ൌ ʹͲ Ž‘‰
ͳ
ൌ െʹͲ Ž‘‰ԡܱ‫ܣ‬ԡ
ԡܱ‫ܣ‬ԡ
Définition 2 : /DPDUJHGXJDLQF¶HVWO¶pFDUWHQJDLQSDUUDSSRUWjdB lorsque le déphasage
est de -180°.
‫ܩܯ‬ௗ஻ ൌ െʹͲ Ž‘‰ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻȁ
Avec
ƒ”‰൫‫ ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻ൯ ൌ െߨ
Si ‫ܩܯ‬ௗ஻ ൐ Ͳ, le système est stable en BF.
Si ‫ܩܯ‬ௗ஻ ൏ Ͳ, le système est instable en BF.
Si ‫ܩܯ‬ௗ஻ ൌ Ͳ, le système est instable en BF
ͲϴϵͲ
En pratique, la ‫ܩܯ‬ௗ஻ ൐ ͺ݀‫ ܤ‬ou la ‫ܩܯ‬ௗ஻ ൐ ͳͷ݀‫ܤ‬
VII.2.6.2 Marge de Phase ሺࡹ࣐ሻ
&¶HVWO¶pFDUWHQSKDVHSDUUDSSRUWj-180° lorsque le gain du système en boucle ouverte est égal
à 1 (0 dB).
‫ ߮ܯ‬ൌ ‫݃ݎܣ‬൫‫ ܩ‬ሺ݆߱஻ ሻ൯ ൅ ߨ
Avec : ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱஻ ሻȁௗ஻ ൌ Ͳ
Si ‫ ߮ܯ‬൐ Ͳ, le système est stable en BF.
Si ‫ ߮ܯ‬൏ Ͳ, le système est instable en BF.
Si ‫ ߮ܯ‬ൌ Ͳ, le système est juste oscillant en BF.
En pratique, ‫ ߮ܯ‬൐ Ͷͷι
Théorème (stabilité et marges de stabilité) : Le système est stable en boucle fermée si la
marge de phase ou la marge de gain du système en boucle ouverte est positive.
Exemple
Soit un système de fonction de transfert en boucle ouverte ‫ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ placé dans une boucle de
régulation à retour unitaire.
‫ ܩ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ͷ
ଷ
‫݌‬
ቀͳͲͲ ൅ ͳቁ
1. Calculer la marge de gain.
2. Calculer la marge de phase.
Correction
1. Marge de gain
‫ ܩ‬ሺ݆߱ሻ ൌ
ͷ
ͷ
ଷ ൌ
݆߱
݆߱
݆߱
݆߱
ቀ
൅ ͳቁ
ቀ
ͳͲͲ ൅ ͳቁ ቀͳͲͲ ൅ ͳቁ ቀͳͲͲ ൅ ͳቁ
ͳͲͲ
‫ܩܯ‬ௗ஻ ൌ െʹͲ Ž‘‰ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻȁ
‫݃ݎܣ‬ሺ‫ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻሻ ൌ െߨ
߱஺
߱஺
߱஺
ቁ െ ܽ‫ ݃ݐܿݎ‬ቀ
ቁ െ ܽ‫ ݃ݐܿݎ‬ቀ
ቁ
ͳͲͲ
ͳͲͲ
ͳͲͲ
‫݃ݎܣ‬ሺ‫ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻሻ ൌ െ͵ܽ‫݃ݐܿݎ‬ሺ߱஺ ȀͳͲͲሻ
߱஺
‫݃ݎܣ‬ሺ‫ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻሻ ൌ െߨ ֜ െ͵ܽ‫ ݃ݐܿݎ‬ቀ
ቁ ൌ െߨ
ͳͲͲ
߱஺
ቁ ൌ െߨ
െ͵ܽ‫ ݃ݐܿݎ‬ቀ
ͳͲͲ
‫݃ݎܣ‬ሺ‫ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻሻ ൌ െܽ‫ ݃ݐܿݎ‬ቀ
ͲϵϬͲ
߱஺
ቁ ൌ െߨȀ͵
ͳͲͲ
ߨ
߱஺ ൌ ͳͲͲ –ƒ ቀ ቁ ൌ ͳ͹͵Ǥʹ‫݀ܽݎ‬Ȁ‫ݏ‬
͵
െܽ‫ ݃ݐܿݎ‬ቀ
‫ܩܯ‬ௗ஻ ൌ െʹͲ Ž‘‰ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻȁ
ͷ
ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱஺ ሻȁ ൌ
ଶ
ටቀ ߱஺ ቁ ൅ ͳ
ͳͲͲ
ଷ
ͷ
ൌ
ଶ
ටቀͳ͹͵Ǥʹቁ ൅ ͳ
ͳͲͲ
ଷ
ൌ
ͷ
ͺ
‫ܩܯ‬ௗ஻ ൌ Ͷ݀‫ܤ‬
2. Marge de phase
‫ ߮ܯ‬ൌ ‫ ܩ݃ݎܣ‬ሺ݆߱஻ ሻ ൅ ߨ
Avec : ȁ‫ ܩ‬ሺ݆߱஻ ሻȁ ൌ ͳ
ȁ‫ܩ‬ሺ݆߱஻ ሻȁ ൌ
ହ
మ
ටቀ ഘಳ ቁ ାଵ
భబబ
య
ൌͳ
ଷ
߱ ଶ
ඨቀ ஻ ቁ ൅ ͳ ൌ ͷ
ͳͲͲ
ඨቀ
߱஻ ଶ
య
ቁ ൅ ͳ ൌ ξͷ ൌ ͳǤ͹
ͳͲͲ
߱஻ ൌ ͳ͵ͺǤͺ‫݀ܽݎ‬Ȁ‫ݏ‬
‫݃ݎܣ‬൫‫ ܩ‬ሺ݆߱஻ ሻ൯ ൌ െ͵ܽ‫ ݃ݐܿݎ‬൬
ͳ͵ͺǤͺ
൰ ൌ െͳ͸ʹǤ͸ι
ͳͲͲ
‫ ߮ܯ‬ൌ െͳ͸ʹǤ͸ι ൅ ͳͺͲ ൌ ͳ͹ǤͶι
VII.3 3UpFLVLRQG¶XQV\VWqPHDVVHUYL
VII.3.1 Erreur statique (erreur de position)
Soit H(p) la fonction de transfert en boucle fermée.
On appelle erreur statique (ou erreur de position) du système en boucle fermée, le paramètre ߝ௣
défini par :
ߝ௣ ൌ Ž‹ ሾͳ െ ‫ܪ‬ሺ‫݌‬ሻሿ
௣՜଴
&HWWHHUUHXUGHSRVLWLRQHVWXQGHVSDUDPqWUHVTXLSHUPHWG¶pYDOXHUODSUpFLVLRQG¶XQV\VWqPH
en boucle fermée, plus ߝ௣ est faible la précision du système est meilleure.
ͲϵϭͲ
ͺ
൐ ͳͲ‫ܭ‬
͵
Ͳ ൏ ‫ ܭ‬൏ ͲǤʹ͸͸͹
Exercice N°2
a3=0, le système est instable pour toute valeur de K.
Exercice N°3
‫ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ
ͳͲͲͲ
ܻሺ‫݌‬ሻ
ൌ
ൌ
‫ ܧ‬ሺ‫݌‬ሻ ͳ ൅ ‫ܩ‬ሺ‫݌‬ሻ ‫݌‬ଷ ൅ ͳͲ‫݌‬ଶ ൅ ͵ͳ‫ ݌‬൅ ͳͲ͵Ͳ
On crée la table de Routh
‫݌‬ଷ
‫݌‬ଶ
‫݌‬ଵ
‫݌‬଴
1
1
-72
103
31
103
0
0
0
0
0
0
On a deux changements de signe dans la première colonne, donc deux racines réelles positives
֜ instable.
Exercice N°4
La table de Routh est :
‫݌‬ହ
‫݌‬ସ
‫݌‬ଷ
‫݌‬ଶ
‫݌‬ଵ
‫݌‬଴
1
2
Ͳ ՜ ߝ
͸ߝ െ ͹
ߝ
Ͷʹߝ െ Ͷͻ െ ͸ߝ ଶ
ͳʹߝ െ ͳͶ
3
3
6
3.5
3
5
3
0
0
0
0
0
0
On prend la limite :
‫݌‬ଶ ǣŽ‹
ఌ՜଴
͸ߝ െ ͹
ൌ െλ ൏ Ͳ
ߝ
Ͷʹߝ െ Ͷͻ െ ͸ߝ ଶ Ͷͻ
ൌ
൐Ͳ
ఌ՜଴
ͳͶ
ͳʹߝ െ ͳͶ
Il y a deux changements de signeሺ†‡‫݌‬ଷ ‫݌‬ଶ ‡–†‡‫݌‬ଶ ‫݌‬ଵ ሻ. Le système est donc instable.
‫݌‬ଵ ǣŽ‹
Exercice N°5
ͲϵϰͲ
La fonction de transfert en boucle fermée :
‫ܭ‬
‫ܭ‬
ሺ‫ ݌‬൅ ͹ሻሺ‫ ݌‬൅ ͳͳሻ
ൌ ଷ
‫ ܪ‬ሺ‫ ݌‬ሻ ൌ
ଶ ൅ ͹͹‫ ݌‬൅ ‫ܭ‬
‫ܭ‬
‫݌‬
൅
ͳͺ‫݌‬
ͳ൅ ሺ
‫ ݌ ݌‬൅ ͹ሻሺ‫ ݌‬൅ ͳͳሻ
La table de Routh :
‫݌‬ଷ
‫݌‬ଶ
‫݌‬ଵ
‫݌‬଴
1
18
ͳ͵ͺ͸ െ ‫ܭ‬
ͳͺ
K
77
K
0
0
Pour que le système soit stable, il ne doit pas y avoir de changement de signe dans la première
colonne.
ͳ͵ͺ͸ െ ‫ܭ‬
൐ Ͳ ֜ ‫ ܭ‬൏ ͳ͵ͺ͸
ͳͺ
Pour que le système soit instable,
ͳ͵ͺ͸ െ ‫ܭ‬
൏ Ͳ ֜ ‫ ܭ‬൐ ͳ͵ͺ͸
ͳͺ
Exercices supplémentaires
Exercice N°1
6RLWO¶pTXDWLRQFDUDFWpULVWLTXHVXLYDQWH:
‫ܦ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫݌‬ଷ ൅ ͵‫݌‬ଶ ൅ ͵‫ ݌‬൅ ͳ ൅ ‫ܭ‬
Etudier la stabilité du système par le critère de ROUTH
Exercice N°2
Utiliser le critère de Routh-Hurwitz et vérifier la stabilité des systèmes donnés par les équations
caractéristiques suivantes :
x
‫݌‬ଷ ൅ ʹ‫݌‬ଶ ൅ ͳͲ‫ ݌‬൅ ͶͲͲ ൌ Ͳ
x
‫݌‬ଷ ൅ ʹͲ‫݌‬ଶ ൅ ͳͲ‫ ݌‬൅ ͳͲͲ ൌ Ͳ
ͲϵϱͲ
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