Cours De Statistique Et �conom�trie

POLYCOPIÉ DE COURS DE STATISTIQUE ET ÉCONOMÉTRIE
MODÈLE LINÉAIRE
M. BONNEU, E. LECONTE
Université des Sciences Sociales
Place Anatole France
31042 Toulouse

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Table des matières
Introduction 5
1 Outils algébriques et probabilistes 11
1.1 Eléments d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Matrices.................................. 11
1.1.2 Espaceseuclidiens ............................ 16
1.1.3 Dérivation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Vecteursaléatoires ................................ 20
1.2.1 Rappels sur les variables aléatoires réelles (v.a.r.) . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Vecteuraléatoire ............................. 23
1.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Loi normale dans IRn(Gaussienne) ....................... 28
1.3.1 Diverses caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Non corrélation et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3 Lois de distribution des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Modèle linéaire 35
2.1 Formulation du modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Hypothèses du modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Définition de l’estimateur MCO du paramètre β............. 37
2.2.2 Propriétés de l’estimateur MCO ˆ β.................... 39
2.2.3 Estimation de la variance résiduelle σ2.................. 39
2.3 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Représentation des individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Espace des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Coefficient de corrélation multiple (empirique) ou coefficient de déter-
mination ................................. 43
2.3.4 Interprétation et critique de l’utilisation de R2.............. 43
3 Induction statistique dans le modèle linéaire 47
3.1 Modèle linéaire gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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4TABLE DES MATIÈRES
3.1.1 Définition................................. 47
3.1.2 Estimateur maximum de vraisemblance EMV ou MLE ........ 48
3.1.3 Loi de probabilité des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.4 Estimation par intervalle de confiance (IC) . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.5 Prévision pour une valeur future x0= (x1
0, . . . , xp
0)0........... 54
3.2 Testsd’hypothèses ................................ 54
3.2.1 Estimation sous contrainte linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Test de student de signification d’un coefficient βj........... 55
3.2.3 Test de Fisher de signification de plusieurs coefficients . . . . . . . . . 56
3.2.4 Test de Fisher d’une hypothèse linéaire générale . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Critiques du modèle linéaire gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Testdelinéarité.............................. 58
3.3.2 Analysedesrésidus............................ 60
3.3.3 Détection de valeurs aberrantes ou influentes . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.4 Sélection des variables exogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Modèles linéaires gaussiens particuliers 71
4.1 Analyse de variance à un facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.1 Exemple ................................. 72
4.1.2 Approche intuitive de l’analyse de variance . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.4 Testd’hypothèses............................. 77
4.2 Analyse de variance à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Exemple ................................. 78
4.2.2 Modélisation statistique et estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 Testsd’hypothèses............................ 80
4.2.4 Interprétation de l’interaction de deux facteurs . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Analysedecovariance .............................. 87
4.3.1 Modélisation avec interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 Testsd’hypothèses............................ 90
5 Généralisation du modèle linéaire gaussien 91
5.1 Moindres carrés généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.1 Estimateur des moindres carrés généralisés . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.2 Estimateur des moindres carrés pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.3 Autocorrélation des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Régressionstochastique.............................. 98
5.2.1 Modèles linéaires conditionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2 Approximation d’une v.a. ypar un vecteur aléatoire x.......... 99
Bibliographie 105
Tables statistiques 107

Introduction
En économétrie, quand on est en présence de plusieurs variables, le but n’est pas uniquement
de les étudier en tant que variables aléatoires, mais essentiellement de modéliser leurs relations.
Cadre de ce cours : MODELES EXPLICATIFS
Expliquer une variable endogène yquantitative par pvariables exogènes, dites expli-
catives.
Les données se présentent sous la forme du tableau suivant :
Variables y
endogène x1··· xp
u.s. 1 y1x1
1xp
1
.
.
..
.
..
.
..
.
.
u.s. i yix1
ixp
i
.
.
..
.
..
.
..
.
.
u.s. n ynx1
nxp n
u.s. : unité statistique représentant un individu d’une population ou le temps.
x1, . . . , xp: variables quantitatives ou qualitatives exogènes.
y: variable quantitative endogène.
Exemple 1.
On considère 101 succursales d’une entreprise. L’objectif est d’expliquer le chiffre d’affaire
de chaque succursale au moyen de variables telles que : marge commerciale, charge salariale,
nombre de vendeurs,...Les données sont stockées dans un fichier informatique sous la forme
suivante :
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