Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Les vecteurs Matrices Vincent Nozick Un vecteur (colonne) : x = x1 x2 .. . xn Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices 1 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Vecteurs et transposé x= x1 x2 .. . Les vecteurs Matrices Les matrices x> = x1 x2 · · · xn x= x1 x2 .. . xn x1 x2 .. . Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Autrement dit: 2 / 47 Addition de vecteurs xn y= y1 y2 .. . x+y = x 1 + y1 x 2 + y2 .. . x n + yn yn = x1 x2 · · · xn > Conditions : x et y sont de même dimension. xn Vincent Nozick Vincent Nozick Matrices 3 / 47 Vincent Nozick Matrices 4 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Produit scalaire Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Produit scalaire Propriété géométrique : x= x1 x2 .. . y= y1 y2 .. . yn xn produit scalaire : x> · y = x P1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = ni=1 xi yi Le produit scalaire est l’intensité (signée) de la projection d’un vecteur sur un autre. Conditions : x et y sont de même dimension. Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices Multiplication matricielle 5 / 47 Type de matrices Propriétés Produit scalaire Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices 6 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Produit vectoriel Propriété géométrique : x1 x = x2 x3 u · v = kukkvk cos α où α est l’angle entre u et v (valable pour toutes dimensions). y1 y = y2 y3 x 2 y3 − x 3 y2 z = x × y = x 3 y1 − x 1 y3 x 1 y2 − x 2 y1 Applications géométriques : → trouver l’angle entre 2 vecteurs : α = ± cos−1 → trouver la projection de u sur v : projv (u) = Vincent Nozick Matrices u·v kukkvk ! u·v v · kvk kvk Conditions : défini uniquement en dimension 3. 7 / 47 Vincent Nozick Matrices 8 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Norme de vecteurs Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Les matrices Propriétés : • kxk > 0 ssi x 6= 0 kxk = 0 ssi x = 0 et • kkxk = |k|.kxk • kx + yk ≤ kxk + kyk Norme L1 : kxk1 = Pn Norme L2 : kxk2 = p x21 + ... + x2n Norme Lp : kxkp = P Norme L∞ : kxk∞ = max |x1 |, ..., |xn | i=1 |xi | n p i=1 |xi | Vincent Nozick Les vecteurs (norme de Manhattan) (norme euclidienne) 1 p Matrices Les matrices m11 m12 m13 Une matrice : M = m21 m22 m23 m31 m32 m33 Multiplication matricielle 9 / 47 Type de matrices Propriétés Les matrices Vincent Nozick Les vecteurs Les matrices 10 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Addition matricielle Élément d’une matrice : Mij m11 m12 m13 M = m21 m22 m23 m31 m32 m33 {z } | m11 m12 m13 M = m21 m22 m23 m31 m32 m33 n11 n12 n13 N = n21 n22 n23 n31 n32 n33 m11 + n11 m12 + n12 m13 + n13 A = M + N = m21 + n21 m22 + n22 m23 + n23 m31 + n31 m32 + n32 m33 + n33 i : lignes j : colonnes Matrices i j Vincent Nozick Matrices Aij = Mij + Nij 11 / 47 Vincent Nozick Matrices → O(n2 ) 12 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Multiplication matrice-vecteur Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle m11 m12 m13 x1 = m21 m22 m23 x2 m31 m32 m33 x3 y> = x> M m m m 11 12 13 x3 m21 m22 m23 m31 m32 m33 m> → produit scalaire 1• x > → produit scalaire m2• x Mx = → produit scalaire m> x 3• > x> m•1 → produit scalaire > > → produit scalaire x m•2 x M= → produit scalaire x> m•3 eme ligne de M où m> i• correspond à la i Les vecteurs où m•j correspond à la j eme colonne de M Matrices Les matrices 13 / 47 Multiplication matricielle x1 x2 = > m11 x1 + m21 x2 + m31 x3 = m12 x1 + m22 x2 + m32 x3 m13 x1 + m23 x2 + m33 x3 m11 x1 + m12 x2 + m13 x3 = m21 x1 + m22 x2 + m23 x3 m31 x1 + m32 x2 + m33 x3 Vincent Nozick Propriétés Multiplication vecteur-matrice y = Mx Type de matrices Type de matrices Propriétés Produit extérieur Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices Multiplication matricielle 14 / 47 Type de matrices Propriétés Multiplication matricielle Produit scalaire : x> y = u Produit externe : x1 x2 .. . xn xy> =A A = MN y1 , y2 , · · · , ym = ··· ··· .. . x 1 ym x 2 ym .. . xn y1 xn y2 · · · x n ym x1 y1 x2 y1 .. . x 1 y2 x 2 y2 .. . > > m> 1• n•1 m1• n•2 m1• n•3 > > = m> 2• n•1 m2• n•2 m2• n•3 > > > m3• n•1 m3• n•2 m3• n•3 eme ligne de M où m> i• correspond à la i eme et n•j correspond à la j colonne de N Aij = xi yj Vincent Nozick Matrices m11 m12 m13 n11 n12 n13 = m21 m22 m23 n21 n22 n23 m31 m32 m33 n31 n32 n33 15 / 47 Vincent Nozick Matrices 16 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Multiplication matricielle Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Strassen Introduction : • multiplication matricielle standard : O(n3 ) • avec la méthode de Strassen : O(nlog2 7 ) = O(n2.81 ) • méthode récursive. • efficace seulement sur les grosses matrices. Pour chacune des m × n case de A : 1 produit scalaire de l éléments. complexité : O(lmn) ∼ O(n3 ) Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices 17 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Strassen Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices 18 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Strassen Méthode : ae+bg r s a b u c d ce+dg g a b cf+dh e f g h × = f × = t e af+bh c d h 8 produits de sous matrices 4 additions de sous matrices Vincent Nozick Matrices 19 / 47 Vincent Nozick Matrices 20 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Strassen s af+bh t ce+dg u cf+dh a b Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés f × c d définit : = af − ah = ah + bh = ce + de = dg − de = ae + ah + de + dh = bg + bh − dg − dh = ae + af − ce − cf Les vecteurs e = Vincent Nozick g P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 h tel que : r = P5 + P4 − P2 + P6 s = P1 + P2 t = P3 + P4 u = P1 + P5 − P3 − P7 Matrices Les matrices Multiplication matricielle 21 / 47 Type de matrices Propriétés Strassen P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Les matrices Strassen r ae+bg on P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Les vecteurs = a(f − h) = (a + b)h = (c + d)e = d(g − e) = (a + d)(e + h) = (b − d)(g + h) = (a − c)(e + f ) r = P5 +P4 −P2 +P6 s = P1 + P2 t = P3 + P4 u = P1 +P5 −P3 −P7 Vincent Nozick = af − ah = ah + bh = ce + de = dg − de = ae + ah + de + dh = bg + bh − dg − dh = ae + af − ce − cf Vincent Nozick Les vecteurs P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 = a(f − h) = (a + b)h = (c + d)e = d(g − e) = (a + d)(e + h) = (b − d)(g + h) = (a − c)(e + f ) Matrices Les matrices Multiplication matricielle 22 / 47 Type de matrices Propriétés Strassen Remarques : → 7 produits de sous matrices → 18 additions de sous matrices • efficace sur les grosses matrices, mais pas sur les petites. • pas très stable numériquement. ce qui comporte moins d’opérations que 8 produits de sous matrices 4 additions de sous matrices Matrices • gestion spécifique de la mémoire. 23 / 47 Vincent Nozick Matrices 24 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Vérification du produit matriciel Les vecteurs Les matrices Type de matrices Propriétés Vérification du produit matriciel Exemple : Méthode : Soit C = AB Le produit de la matrice A avec le vecteur somme-des-lignes b de la matrice B doit être égal au vecteur somme-des-lignes c de la matrice C. Ab = c Si Ab 6= c, alors il y a une erreur de calcul. La réciproque n’est pas forcément vraie. Vincent Nozick Les vecteurs Multiplication matricielle c= Matrices Les matrices 25 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Vérification du produit matriciel 2 + 15 4 + 22 2 15 4 22 = Vincent Nozick Les vecteurs C = AB 1 3 2 3 = 2 4 0 4 17 26 b= 2+3 0+4 = Matrices Les matrices Multiplication matricielle 5 4 26 / 47 Type de matrices Propriétés Différents types de matrices Exemple : c= 17 26 b= Ab = Vincent Nozick 17 26 = 17 26 1 3 2 4 5 4 = 17 26 5 4 • matrices carrées • matrices triangulaires • matrices diagonales • matrices creuses • ... ⇒ Le calcul est probablement exact Matrices 27 / 47 Vincent Nozick Matrices 28 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrices diagonales Les vecteurs ··· ··· ··· .. . 0 0 0 .. . ··· mnn U= 29 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrices triangulaire (inférieure) L= m11 m21 m31 .. . Multiplication matricielle Matrices Les matrices Les matrices 0 m22 m32 .. . 0 0 m33 .. . ··· 0 ··· .. . mn1 mn2 mn3 · · · m11 m12 m13 0 m22 m23 0 0 m33 .. .. .. . . . 0 0 0 Vincent Nozick Les vecteurs Matrices ··· ··· ··· .. . m1n m2n m3n .. . Propriétés ··· mnn Matrices Les matrices Multiplication matricielle 30 / 47 Type de matrices Propriétés Matrice transposée 0 0 0 .. . Soit M> la transposée de M, on a : M> ij = Mji mnn Remarque : Vincent Nozick Type de matrices Matrices triangulaire (supérieure) m11 0 0 0 m22 0 0 0 m33 .. .. .. . . . 0 0 0 Vincent Nozick Les vecteurs 31 / 47 Vincent Nozick (AB)> = B> A> Matrices 32 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrice symétrique Les vecteurs Les matrices ∀i, j Mij = −Mji autrement dit : M = M> (→ M est carrée) Les vecteurs 33 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrice hermitienne ∀i, j Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices 34 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrices identité Mij = Mji ∀i, j Id = exemple : matrice Hamiltonienne en mécanique quantique Vincent Nozick Propriétés autrement dit : M = −M> (→ M est carrée et Mii = 0) Matrices Les matrices Type de matrices Matrice antisymétrique Mij = Mji Vincent Nozick Multiplication matricielle Matrices 35 / 47 Vincent Nozick 1 0 0 ··· 0 1 0 ··· 0 0 1 ··· .. .. .. . . . . . . 0 0 0 ··· 0 0 0 .. . 1 → matrice carrée → matrice diagonale matrice : Id.M = M vecteur : Id.x = x matrice : M.Id = M vecteur : x> .Id = x> Matrices 36 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrice de permutation P= 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrice inverse Soit M une matrice carrée, on a : → un 1 par ligne → un 1 par colonne → 0 pour le reste M−1 M = MM−1 = Id Si M−1 n’existe pas, M est dite singulière, sinon M est régulière. P est une matrice orthogonale P permute les éléments d’une matrice ou d’un vecteur Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices Multiplication matricielle 37 / 47 Type de matrices Propriétés Matrice inverse Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices Multiplication matricielle 38 / 47 Type de matrices Propriétés Matrice orthogonale Propriétés : −1 M−1 =M > −1 • M> = M−1 = M−> • M−1 = M> • (AB)−1 = B−1 A−1 exemple : une matrice de rotation • [diag(mi )]−1 = [diag( m1 )] i Vincent Nozick Matrices 39 / 47 Vincent Nozick Matrices 40 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Produit vectoriel Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrice de Householder Produit vectoriel : > v = v1 , v2 , v3 u2 v3 − u3 v2 z = u × v = u3 v1 − u1 v3 u1 v2 − u2 v1 u = u1 , u2 , u3 > Hu = Idn − 2 uu> kuk2 Forme matricielle : → matrice de réflexion par rapport à l’hyperplan de normale u. 0 −u3 u2 0 −u1 [u]× = u3 −u2 u1 0 avec z = [u]× v (produit matrice-vecteur) Vincent Nozick Matrices Les vecteurs Les matrices 41 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Matrice creuse Vincent Nozick Les vecteurs Matrices Les matrices Multiplication matricielle 42 / 47 Type de matrices Propriétés Rang d’une matrice Matrice qui contient beaucoup de 0. M= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Vincent Nozick 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 3 0 0 Matrices 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 Définition : Le rang d’une matrice est le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants. 43 / 47 Vincent Nozick Matrices 44 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Rang d’une matrice Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Rang d’une matrice Exemple : Exemple : 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2 Vincent Nozick Les vecteurs Les vecteurs 0 1 1 2 1 0 1 1 Matrices Les matrices 45 / 47 Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Rang d’une matrice 1 0 1 1 Vincent Nozick Les vecteurs 0 1 1 2 0 1 1 2 ⇒ rang 2 Matrices Les matrices Multiplication matricielle 45 / 47 Type de matrices Propriétés Trace d’une matrice Exemple : 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 Définition : ⇒ rang 2 La trace d’une matrice carrée est la somme des éléments de sa diagonale. n X T r(M) = aii i=1 → L3 = L1 + L2 → L4 = L1 + 2L2 → L1 et L2 sont indépendants ⇒ matrice de rang 2 Vincent Nozick Matrices 45 / 47 Vincent Nozick Matrices 46 / 47 Les vecteurs Les matrices Multiplication matricielle Type de matrices Propriétés Noyau d’une matrice Définition : Le noyau (kernel / right null space) d’une matrice M est l’ensemble des vecteurs x tels que : Mx = 0 Vincent Nozick Matrices 47 / 47